导数与微分 小结、习题课

2)
2
ln( x 2
4)]
1 y
y
1 3
1 x 1
3 3x
2
4x x2
4
y
1 3
y
1 x 1
3 3x
2
4x x2
4
=
1 3
3
(x 1)来自百度文库3x 2) (x2 4)2
1 x 1
3 3x 2
4x x2 4
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二、综合举例
四、解答题
4、已知下列函数在 x 0处可导，求 a ， b 的值.
7. 曲线 y f (x) 在点 (x0, f (x0 )) 处有切线，
则 f (x0 ) 一定存在. （ × ）
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二、综合举例
二、单项选择题
3.
已知 f (3) 2 ， lim f (3 h) f (3) （
h0
2h
D
）.
A. 3
2
B. 3 2
C. 1
D. 1
5. 若 y x2 ln x ，则 y （ D ）.
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数。 （5）高阶导数
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 其求导方法是对变量进行一阶求导的结果再次求导。
（6）参数方程导数
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一、 基本概念与基本性质
1、微分的定义
微分与导数的联系公式
2、微分的运算法则 d(u v) du dv d(uv) vdu udv
e x , f (x)
a bx,
x 0; x 0.
解： f (x) 在 x 0可导 ,所以 f (x) 在 x 0 处一定连续，
则
f
(0)
lim
x0
f
(x)
lim
x0
f (x)
a 1
f (0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
ex 1
lim
1
x x0
f (0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
为 0.02
.
7.
设
y
ecos
x
，则
d2 y dx2
(sin2x-cosx)ecosx
.
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四、课后巩固
作业：
1、课后整理好上课已经讲解的复习题 2. 2、书面作业：p58 复习题 2 的第四大题 1、（1）（3）；2；3；
5；
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(
cot
x)
1
1 x
2
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一、 基本概念与基本性质
3、导数的运算
（１）四则运算法则
设u u( x),v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv,
lim
xx0
f
(x)
存在.
（√
）
6. y f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 y f (x)
在 x0 处可微. （ √ ）
8. 偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数. （ √ ）
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三、课堂测试
二、单项选择题
2.
设
f
(x)
x
sin
x
，则
f
π 2
（
B
）.
π
A. 1 B. 1 C. 2
(sec x) sec xtgx
(a x ) a x ln a
(loga
x )
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
( x ) x1
(cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(csc x) csc xctgx
(e x ) e x
A. sin x B. sin x C. cos x D. cos x
解: y cos x sin( x )
y
cos(
x
) 2
2 sin( x
2
2 )
sin(
x
2
) 2
y cos( x 2 ) sin( x 3 )
2
2
y(n) sin( x n )
2
同理可得
(cos x)(n) cos( x n )
1．导数的概念及其几何意义 （１）定义
（２）导数的几何意义
函数 y f (x) 在点x0 处的导数 f ( x0 )等于函数
所表示的曲线C 在相应点( x0 , y0 ) 处的切线斜率。
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一、 基本概念与基本性质
2、基本导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
（4）(u)
v
uv v2
uv
(v
0).
（２）复合函数的求导法则
设 y f (u)，而u ( x)，则复合函数y f [( x)]
的导数为
dy dy du dx du dx
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一、 基本概念与基本性质
（３）隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导。
（４）对数法求导
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一、 基本概念与基本性质
第2章 小结、习题课
一、概念性质 二、综合举例 三、课堂测试 四、课后巩固
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一、 基本概念与基本性质
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数定义
y lim x0 x
基本公式 几何意义 高阶导数
微分
dy yx
求导法则
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一、 基本概念与基本性质
(1 bx) 1
lim
b
x0
x
f (x) 在 x 0处可导，
则 f(0) f(0), 即b 1
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三、课堂测试
学生课堂练习
复习题2
一、判断题（正确打“√”，错误打“”）
2. 若 f (x) 在 x0 处不连续，则 f (x0 ) 必不存在. （ √ ）
4.
若
f
(x0 ) 存在，则
x r( sin)
8.
摆线参数方程为
y
r(1
cos)
，
则
dy dx
sin φ/ (1-cosφ)
.
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二、综合举例
四、解答题 1、求下列函数的导数
(4)
y
3
(x 1)(3x (x2 4)2
2)
解：
ln
y
1 3
ln
(x
1)(3x (x2 4)
2)
1 [ln(x 3
1)
ln(3x
3、微分形式的不变性
d(Cu) Cdu
d
(u) v
vdu v2
udv
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二、综合举例
复习题 2
一、判断题（正确打“√”，错误打“”）
1. y x 在 x 0 处连续且可导. （ × ）
3.
(
ln
4
)
1 4
.
（× ）
5. 若 f (x) 在 x0 处不可导，则在 x0 处必不连续. （ × ）
A. 2ln2 B. 2ln x 1 C. 2ln x 2 D. 2ln x 3
7. 由方程 sin y xey 0 所确定的曲线在点 (0,0) 处的切线斜
率为（ B ）.
A. 1 B. 1
1
C. 2
D.
1 2
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二、综合举例
9. 已知y sin x ， 则y(10) （ B ）.
2
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二、综合举例
三、填空题
2.曲线 y ln x ex 在 x 1处的切线方程是 y=(1+e).x-1
4. 设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 3) , 则 f (2) -2
.
6. 设方程 x2 y2 x y 1 确定的隐函数 y y (x) ，
则 y (y-2x) / (2y-x) .
1
设
f
(x)
在
x0
处可导，则
lim
x0
f
(x0
x) x
f (x0 )
-f /(x0) .
3. 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物
体的温度T 与时间t 的函数关系为T T(t) ，则该物体在时刻 t 的冷却
速度为 D T / d t .
5. 函 数 y x 1 在 点 x 0 处 、 当 x 0.04 时 的 微 分
D.
π 2
4. 设 y cos x2，则dy （ C ）.
A. 2xcos x2dx B. 2xcos x2dx C. 2xsin x2dx D. 2xsin x2dx
6.
d(ln x) dx
（
A ）.
2
2
A. x B. x x
1
C. 2x x
2 D. x
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三、课堂测试
三、填空题