复合函数微分典型例题
第6章 多元函数微分学5-8导学解答(6.2.1 复合函数的微分法6.2.2 全微分形式不变性)
6.2 多元函数微分法6.2.1 复合函数的微分法 6.2.2 全微分形式不变性一、相关问题1.设(,,)u f x xy xyz =，其中f 具有一阶连续偏导数，显然u 是,x y ，z 的三元函数，如何求u 的一阶偏导数及二阶偏导数．2.一元函数的一阶微分形式的变性是什么？二、相关知识1.如何确定复合函数的中间变量及自变量？2.如何确定复合函数的高阶导数中的中间变量及自变量？三、练习题1.设22ln(1),2sin ,3z x y x t y t =++==，求dy dt。
解 这里z 是函数，,x y 是中间变量，t 是自变量．复合关系图为则222222224c o s 62c o s 3111d y x y x t yt d t x y x y x y+=⋅+⋅=++++++． 2.设(,,)z f x u v =可微，(,,)u g x v y =，(,)v h x y =的偏导数存在，求dz ，zx ∂∂，z y∂∂。
解 由于函数有多重复合结构，用全微分形式的不变性较简便123 dz f dx f du f dv =++ 又 123d u g d x g d vg dy =++，12dv h dx h dy =+ 12123312121312212332222 ()() ()()dz f dx f g dx g dv g dy f h dx h dy f f g f h f g h dx f g f h f g h dy∴=+++++=++++++故12131221zf fg fh f g h x∂=+++∂，2332222z f g f h f g h y ∂=++∂。
3.设20(,)x ytz f t e dt =⎰，其中f 具有连续一阶偏导数，求dz 及2zx y∂∂∂。
解 由于222222(,)(,)(2)x y x y dz f x y e dx y f x y e xydx x dy ==⋅+ 所以22(,)2x y zf x y e xy x∂=∂ 故2222222312122(,)()222()x y x y x y zxf x y e x f x e f xy xf x y f e f x y∂''''=++⋅=++∂∂。
复合函数微分法
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一元复合函数求导法则
一、 复合函数的求导法则
定理17.5 若函数 x = ϕ(s, t ), y =ψ(s, t )
, ( ， 在点(s, t ) ∈ D 可微 z = f ( x, y) 在点 x, y)可微 则复合函数z = f (ϕ(s, t ),ψ(s, t ))
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注意： 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程 变形与验证解的问题中经常遇到, 变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个 例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与 常用导数符号. 常用导数符号.
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例. 设
f 具有连续偏导数, 具有连续偏导数
2 2 2
x2 + y2 +z2
⋅ 2 xsin y
= 2 x (1+ 2 x sin y) e
2 2
x2 + y2 +x4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂x ∂ f dy ∂ f ∂z ⋅ + = ⋅ + ⋅ ∂y ∂ x ∂y ∂ y dy ∂z ∂y
u
x y z
x yx
= 0 + 2 yex + y +z +2ze
1 x x ∂ r y ∂θ x = , = = 2 = 2 y 2 2 r x +y ∂ y r ∂ y 1+ ( x )
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u
r θ
x yx y
例4 用多元复合函数微分法 计算下列一元函数 的导数： 的导数：
1 ） （ y= x
x
4.1 复合函数微分法
在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间 变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元 函数的导数记号。
例如：设 z f (u , v ) ， u ( x, y ) 和 v ( x) ， 则 z f [ ( x, y ), ( x )] ，
z z u z dv x u x v d x z z u y u y
dz z du z dv （全导数公式） 。 dx u d x v d x
证明：给 x 以增量 x ，则 u、v 相应的增量 u, v ，
从而 z f (u, v ) 有全增量 z f (u u, v v ) f (u, v ) ，
2
第五章
x u y z v x
9
第五章
复合函数微分法
特殊地 z f ( u, x , y )
其中 u ( x , y )
即 z f [ ( x , y ), x , y ],
z f u f , x u x x
z
z f u f . y u y y
u x y
区 别 类 似
x
y
两者的区别
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
把 z f ( u, x , y ) 变而对 x 的偏导数
把 复 合 函 数 z f [ ( x , y ), x , y ] 中的 u 及 y 看作不
z z 有时采用下面的记号更为方便清晰： f1 u1 f 2 , f1 u2 f 3 x y 其中 f i ( i 1, 2, 3) 表示函数 f 对第 i 个变量的偏导数． 10
复合函数微分法
∵ z f (u, v ) 在 ( u, v ) 处可微，
第五节复合函数微分法与隐函数微分法在一元函数的复合求导中，有...
第五节 复合函数微分法与隐函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.分布图示★ 链式法则(1) ★ 链式法则(2) ★ 链式法则(3)★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 全微分形式的不变性★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 隐函数微分法(1)★ 例12 ★ 例13 ★ 隐函数微分法(2)★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题6-5内容要点一、多元复合函数微分法1．复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数),(v u f z =,)(t u u =,)(t v v =构成复合函数)](),([t v t u f z =.dtdvv z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= （5.1） 公式(5.1)中的导数dtdz称为全导数. 2、复合函数的中间变量为多元函数的情形设),,(v u f z =),,(y x u u =),(y x v v =构成复合函数)],,(),,([y x v y x u f z =,xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5.3) ,yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5.4) 3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3 如果函数),(y x u u =在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数, 函数)(y v v =在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([y v y x u f z =在对应点),(y x 的两个偏导数存在, 且有,xu u z x z ∂∂∂∂=∂∂ (5.7) .dydv v z y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5.8) 注：这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的，x z ∂∂是把复合函数],),,([y x y x u f z =中的y 看作不变而对x 的偏导数，x f ∂∂是把函数),,(y x u f z =中的u 及y 看作不变而对x 的偏导数. y z ∂∂与yf∂∂也有类似的区别.在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:,),(1u v u f f ∂∂=' ,),(2v v u f f ∂∂='vu v u f f ∂∂∂=''),(212 ,这里下标1表示对第一个变量u 求偏导数，下标2表示对第二个变量v 求偏导数，同理有2211,f f '''' , 等等.二、全微分形式的不变性根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性. 以二元函数为例，设),(v u f z =, ),(),,(y x v v y x u u ==是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z .dv vz du u z ∂∂+∂∂=由此可见，尽管现在的u 、v 是中间变量，但全微分dz 与x 、y 是自变量时的表达式在形式上完全一致. 这个性质称为全微分形式不变性. 适当应用这个性质，会收到很好的效果.三、 隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程0),(=y x F (5.11)来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且,0),(00≠y x F y ,0),(00=y x F 则方程0),(=y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(x f y = 它满足),(00x f y = 并有.yx F Fdx dy -= (5.12) 定理5 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 且,0),,(,0),,(000000≠=z y x F z y x F z则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =, 它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy zx F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂ (5.14)例题选讲多元复合函数微分法例1 (E01) 设,sin t uv z +=而,cos ,t v e u t == 求导数.dtdz 解dt dz tzdt dv v z dt du u z ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t +-=例2 (E02) 设,sin v e z u =而,,y x v xy u +== 求x z ∂∂和.yz ∂∂ 解x z ∂∂xvv z x u u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=1c o s s i n ⋅+⋅=v e y v e u u )cos sin (v v y e u +=)],cos()sin([y x y x y e xy +++= y z ∂∂yv v z y u u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=1cos sin ⋅+⋅=v e x v e u u )cos sin (v v x e u +=)].cos()sin([y x y x x e xy +++=例3 求y x y x z 2422)3(++=的偏导数.解 设,322y x u +=,24y x v +=则.v u z = 可得,1-⋅=∂∂v u v u z ,ln u u vz v ⋅=∂∂ ,6x x u =∂∂,2y y u =∂∂,4=∂∂xv2=∂∂y v 则x z ∂∂xvv z x u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=4ln 61⋅⋅+⋅⋅=-u u x u v v v 12422)3)(24(6-+++=y x y x y x x )3ln()3(4222422y x y x y x ++++ y z ∂∂yv v z y u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=2ln 21⋅⋅+⋅⋅=-u u y u v v v 12422)3)(24(2-+++=y x y x y x y ).3ln()3(2222422y x y x y x ++++例4 设,sin ,),,(2222y x z e z y x f u z y x ===++ 求xu∂∂和.y u ∂∂ 解x u ∂∂xzz f x f ∂∂∂∂+∂∂=y x ze xe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++ ,)sin 21(22422sin 22yx y xe y x x +++=y u ∂∂yzz f y f ∂∂∂∂+∂∂=y x ze ye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++ .yx y xe y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=例5 (E03) 设),,(,y x u u xy z ϕ=+= 求.,,222yx zx z x z ∂∂∂∂∂∂∂ 解),,(y x y xu y x z x ϕ+=∂∂+=∂∂ ),,(2222y x x u x u y x x z x x z xx ϕ=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂).,(1122y x yx ux u y y x z y y x z xy ϕ+=∂∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂例6 设),,(22y x e f z xy-= 其中),(ηξf 有连续的二阶偏导数, 求.,22yz y z ∂∂∂∂解 设,xy e =ξ,22y x -=η则xz ∂∂x f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=ηηξξξ∂∂=f ye xy η∂∂+f x 2 y x z ∂∂∂2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=ξf ye y xy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+ηf x y 2 ξ∂∂=f exyξ∂∂+f xye xy 22ξ∂∂+f xye xy ηξ∂∂∂-f e y xy 222ηξ∂∂∂+f e x xy 222224η∂∂-f xy ξ∂∂+=f xy e xy)1(222ξ∂∂+f xye xy 例7 (E04) 设),,(xyz z y x f w ++= 其中函数f 有二阶连续偏导数，求x w∂∂和zx w ∂∂∂2.解 令,z y x u ++=,xyz v =记,),(1uv u f f ∂∂=',),(212v u v u f f ∂∂∂='' 同理记,2f ',11f '',22f ''. x w ∂∂xvv f x u u f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=;21f yz f '+'= z x w ∂∂∂2)(21f yz f z '+'∂∂=;221z f yz f y z f ∂'∂+'+∂'∂= z f ∂'∂1zvv f z u u f ∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=11;1211f xy f ''+''= z f ∂'∂2zvv f z u u f ∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=22;2221f xy f ''+''= zx w∂∂∂2)(222121211f xyf f yz f y f xy f ''+''+'+''+''=.)(22221211f y f z xy f z x y f '+''+''++''=例8 利用全微分形式不变性解本节的例2.设,sin v e z u = 而,xy u = ,y x v += 求x z 和.y z解 dz )s i n (v e d u =,c o s s i nv d v e v d u e u u+= 因du )(xy d =,xdy ydx +=dv )(y x d +=,dy dx +=代入后归并含dx 及dy 的项,得dz dx v e y v e u u )cos sin (+⋅=,)cos sin (dy v e x v e u u +⋅+即dy yzdx x z ∂∂+∂∂dx y x y x y e xy )]cos()sin([+++=.)]cos()sin([dy y x y x x e xy ++++ 比较上式两边的dx 、dy 的系数,得x z )],cos()sin([y x y x y e xy +++=y z )].cos()sin([y x y x x e xy +++=它们与例2的结果一样.全微分形式的不变性例9 (E05) 利用一阶全微分形式的不变性求函数222z y x xu ++=的偏导数.解du =2222222222)()()(z y x z y x xd dx z y x ++++-++2222222)()222()(z y x zdz ydy xdx x dx z y x ++++-++= .)(22)(2222222z y x xzdzxydy dx x z y ++---+=所以 x u ∂∂,)(2222222z y x x z y ++-+=y u ∂∂,)(22222z y x xy ++-=z u∂∂.)(22222z y x xz ++-=例10 求函数xyyx z -+=1arctan的全微分. 解 设,y x u +=,1xy v -=则,arctan vuz =于是dz dv v z du u z ∂∂+∂∂=du v v u 1)(112⋅+=dv v u vu ⎪⎭⎫⎝⎛-++22)(11).(122udv vdu v u -⋅+= 由,y x u +=,1xy v -=,dy dx du +=),(xdy ydx dv +-=代入上式,得 =dz22)1()(1xy y x -++[)1(xy -)(dy dx +)(y x ++)(xdy ydx +].1122y dyx dx +++=例11 (E06) 已知,02=+--z xy e z e 求x z ∂∂和yz∂∂. 解 ,0)2(=+--z xy e z e d∴,02)(=+---dz e dz xy d e z xydz e z )2(-),(ydx xdy e xy +=- dz .)2()2(dy e xe dx e ye z xyz xy -+-=--故所求偏导数x z∂∂,2-=-z xy e ye y z ∂∂.2-=-z xy e xe隐函数微分法例12 (E07) 验证方程0122=-+y x 在点(0, 1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导 数、当0=x 时1=y 的隐函数)(x f y =,求这函数的一阶和二阶导数在0=x 的值.证 令,1),(22-+=y x y x F 则x F ,2x =y F ,2y =)1,0(x F ,0=)1,0(y F 2=,0≠依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某领域内能唯一确定一个有连续导数,当0=x 时1=y 的隐函数),(x f y =函数的一阶和二阶导数为dx dy yxF F =,y x -=0=x dx dy ,0= 22dx y d 2y y x y '-=2)(yyx x y --=,13y -=022=x dx y d .1-=例13 求由方程0=+-y x e e xy 所确定的隐函数y 的导数.,0=x dxdydx dy解 此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之. 令,y x e e xy F +-=则x F ,x e y -=y F ,ye x +=dxdy y x F F -=,y x e x y e +-=由原方程知0=x 时，,0=y 所以0=x dx dy 00==+-=y x yx e x y e .1=例14 (E08) 求由方程y z z x ln =所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数.,yz x z ∂∂∂∂ 解 设,ln ),,(yzz x z y x F -=则,0),,(=z y x F 且.1,1,1222z zx y z y z x z F y y z z y y F z x F +-=⋅--=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=∂∂ 利用隐函数求导公式，得.)(,2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=-=∂∂+=-=∂∂例15 求由方程a a xyz z (333=-是常数)所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数xz ∂∂和.yz ∂∂ 解 令,3),,(33a xyz z z y x F --=则x F ',3yz -=y F ',3xz -=z F '.332xy z -=显然都是连续.所以，当z F 'xy z 332-=0≠时，由隐函数存在定理得x z ∂∂zx F F ''=xy z yz 3332---=,2xy z yz -=y z ∂∂z y F F ''=xy z xz 3332---=.2xyz xz -=例16 (E09) 设,04222=-++z z y x 求 .22x z∂∂ 解 令,4),,(222z z y x z y x F -++=则x F ,2x =z F ,42-=z∴xz ∂∂z x F F -=,2z x -=22x z ∂∂2)2()2(z x z xz -∂∂+-=2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不一定非得套公式，尤其在方程中含有抽象函数时，利用求偏导或求微分的过程则更为清楚.例17 设),,(xyz z y x f z ++= 求.,,zy y x x z ∂∂∂∂∂∂ 解 z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅=x z xy yz f x z f v u 1x z ∂∂,1vu v u xyf f yzf f --+= 把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得0⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂⋅=y x yz xz f y x f v u 1y x∂∂,v u v u y z ff x z f f ++= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂⋅=z y xz xy f z y f v u 1zy ∂∂.1v u vu x z f f xyf f +--=例18 设方程ze z y x =++确定了隐函数),,(y x z z =求.,,22222y zy x z x z ∂∂∂∂∂∂∂解 方程两边分别对x 求偏导和对y 求偏导,得,1xze x z z ∂∂=∂∂+.1x z e y z z ∂∂=∂∂+ 所以,11-=∂∂z e x z .11-=∂∂z e y z 22x z ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=x z x x z e e z z ∂∂⋅-=2)1(111)1(2-⋅--=z z z e e e .)1(3--=z z e e 同理 22y z∂∂.)1(3--=z z e e课堂练习1.设),(xyz xy x f w ++= 求.,,zw y w x w ∂∂∂∂∂∂ 2.设),sin (sin sin x y F x u -+=其中F 是可微函数, 证明.cos cos cos cos y x x yuy x u ⋅=∂∂+∂∂ 3.设,⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ其中ϕ为可微函数, 求y z y x z x ∂∂+∂∂.。
复合函数复习题
复合函数复习题复合函数复习题复合函数是数学中的一个重要概念，它在数学分析、微积分等领域中有着广泛的应用。
本文将通过一些复合函数的复习题来帮助读者巩固和加深对复合函数的理解。
题目一：设函数f(x)=2x+3，g(x)=x^2-1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。
解答：首先计算f(g(x))，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))=2(g(x))+3=2(x^2-1)+3=2x^2-2+3=2x^2+1。
接下来计算g(f(x))，将f(x)代入g(x)中得到g(f(x))=(f(x))^2-1=(2x+3)^2-1=4x^2+12x+9-1=4x^2+12x+8。
题目二：设函数f(x)=sin(x)，g(x)=cos(x)，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。
解答：首先计算f(g(x))，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))=sin(g(x))=sin(cos(x))。
接下来计算g(f(x))，将f(x)代入g(x)中得到g(f(x))=cos(f(x))=cos(sin(x))。
题目三：设函数f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。
解答：首先计算f(g(x))，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))=e^(g(x))=e^(ln(x))=x。
接下来计算g(f(x))，将f(x)代入g(x)中得到g(f(x))=ln(f(x))=ln(e^x)=x。
通过以上的题目，我们可以看出，复合函数的计算方法就是将内层函数的结果代入外层函数中。
在计算过程中，需要注意函数的定义域和值域，以避免出现无定义或者不符合实际的结果。
除了上述的题目，还可以通过一些实际问题来深入理解复合函数的概念。
例如，假设有一个汽车在以恒定的速度行驶，速度为v，时间为t，我们可以定义一个函数f(t)=vt来表示汽车行驶的距离。
现在假设汽车的速度是随时间变化的，速度函数是g(t)=2t+3，我们可以求出复合函数f(g(t))来表示汽车行驶的距离与时间的关系。
多元复合函数与隐函数微分法
Fx 2xy,zFysin zx2z, F zcoz sx2y,
所以z Fx x Fzc来自2xyz ， ozsx2y
zyF Fzy cozxs 2zx2y.
24
例11 设 隐 函 数 z z ( x ,y ) 由 方 程 sz ix 2 n y 确 定 z ， 求 z , z . x y
解法2 方程两边关于x求偏导数,
所以
zexy(xyy21), zexy(x2xy1) .
x
y
15
例8 求下列函数的偏导数和全微分.
(2)zxlnx2(2y)
解 dzd[xlnx2(2y)]
ln x 2 ( 2 y )d x x d [lx 2 n 2 y ()]
lnx2 (2y)dxxd(xx2222yy)
[lx n 22 (y)x2 2 x2 2y]d xx22 x 2yd y,
求
z x
z (0,0) , y
. ( 0 , 0 )
解 视 z 为 x ,y 的 二 元 函 数 z z ( x ,y ),
方程两边关于x 求偏导数,
y3z2zz4x4z3z5z4z0，
x
x x
当 xy 0时 , z 1， 代入上式得
1 5 z 0， z 1 ;
x
x (0,0) 5
27
例12 由 方 程 y 3 z x 4 z z 5 1 确 定 隐 函 数 z z ( x ,y ) ，
解得 y y2 ex . cosy2xy
21
二元隐函数存在定理 设 函 数 F (x,y,z)满 足 :
1 )F (x 0,y 0,z0) 0； 2) 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内 F 具有连续偏导数
复合函数的微分法
ux z
vy
求偏导数
z z u z v x u x v x
两条路径： zz
u v
x x
z z u z v y u y v y
两条路径： zz
u v
y y
口诀: 并联相加，串联相乘；一元全导，多元偏导.
一、复合函数的微分法
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数
类比：二元复合函数求偏导
z f x, y, x, y
复合关系
z f u,v,u x, y,v x, y
结构图
ux
z vy
微分法
? ? z
z
x
y
一、复合函数的微分法
情形1：复合函数的中间变量为一元函数
z f x, x
复合关系 z f u,v,u x,v x
结构图 求全导数
z
复合函数微分法的步骤：
第一步：根据复合函数拆解复合关系；
第二步：结合结构图分析路径；
第三步：根据路径求全导数或者偏导数.
口 诀:
并联相加，串联相乘； 一元全导，多元偏导.
二、典型例题
例1
设 z uv,u et , v cos t ，求 dz .
dt
解： dz z du z dv
dt u dt v dt
z z u z dv y u y v dy
2ueu2v2 x2 cos y 2veu2v2 sin y
ex4 sin2 ycos2 y x4 1 sin 2 y
小结
复合函数 的微分法
复合关系 结构图 求偏(全)导
y
二、典型例题
例3
设 z eu2v2 ,u x2 sin y,v cos y , 求 z , z .
复合函数微分法
§2 复合函数微分法1．求下列复合函数的偏导数或导数： (1) 设 )arctan(xy z =, xe y =, 求dxdz ; (2) 设xyy x e xyyx z 2222++=,求yz x z ∂∂∂∂,; (3) 设22y xy x z ++=,2t x =,t y =,求dtdz ; (4) 设y x z ln 2=,v u x =,v u y 23−=,求求vz u z ∂∂∂∂,;(5) 设),(xy y x f u +=,求yux u ∂∂∂∂,; (6) 设),(z y y x f u =,求zu y u x u ∂∂∂∂∂∂,,. 解：(1) 令xy u =, 则 u z arctan =, xe y =,x x =,xxx ex e x y x xe y x y dx dy y u du dz x u du dz dx dz 2222221)1(11++=+++=∂∂+∂∂=. (2)xyy x xyy x e y x y x y xy y x e y x y x y x z 22222222222222)()(++−⋅++−=∂∂xyy x e xy yx yx y x 22)1(22222+++−=.xyy x e xy yx xy y x y z 22)1(22222+++−=∂∂(3)t t t y x t y x dtdy y z dt dx x z dt dz 2341)2(2)2(23++=⋅++⋅+=∂∂+∂∂= (4)]233)23ln(2[311ln 222v u uv u vu y x v y x u y y z u x x z u z −+−=⋅⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ]231)23ln(1[222v u v u vv u v yy z v x x z v z −+−−=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5) 由于xdy f ydx f dy f dx f xy d f y x d f du 221121)()(+++=++=dy xf f dx yf f )()(2121+++=所以2121,xf f yu yf f x u +=∂∂+=∂∂. (6)22121,1,1f z y z u f z f yx y u f y x u −=∂∂+−=∂∂=∂∂. 2．设 )(22y x f yz −=,其中f 为可微函数，验证211y z y z y x z x =∂∂+∂∂. 证：设22y x u −=，则)()(22u f u f xy x u u z x z ′=∂∂∂∂=∂∂，)()()(222u f u f u f y y z +′=∂∂， 所以 22)()(2)()(211yz u f u f y yu f u f y yzy x z x =′++′−=∂∂+∂∂. 3．设 )sin (sin sin y x f y z −+=，其中f 为可微函数，证明：1sec sec =∂∂+∂∂y yzx x z . 证：设y x u sin sin −=, 则x u f x z cos )(′=∂∂，y u f yzcos ))(1(′−=∂∂，所以 1))(1()(sec sec =′−+′=∂∂+∂∂u f u f y yzx x z 4．设 ),(y x f 可微，证明: 在坐标旋转变换θθsin cos v u x −=，θθcos sin v u y +=之下,22)()(y x f f +是一个形式不变量，即若),cos sin ,sin cos (),(θθθθv u v u f v u g +−=则必有2222)()()()(v u y x g g f f +=+ (其中旋转角θ是常数).证：因为θθsin cos y x u f f g +=，θθcos )sin (y x v f f g +−=，22)()(v u g g +θθθθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 2sin cos 22222222y x y x y x y x f f f f f f f f −+++= 22222222)()()cos (sin )cos (sin y x y x f f f f +=+++=θθθθ故2222)()()()(v u y x g g f f +=+.5．设)(u f 是可微函数, )23()2(),(t x f t x f t x F −++=，试求:)0,0(x F 与)0,0(t F解：f f f F x ′=⋅′+′=43, 0)2(2=−⋅′+⋅′=f f F t 故 )0(4)0,0(f F x ′=, 0)0,0(=t F .6．若函数),,(z y x F u =满足恒等式),,(),,(z y x F t tz ty tx F k= )0(>k ,则称),,(z y x F 为k 次齐次函数. 试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数 ),,(z y x F 为k 次齐次函数的充要条件是：),,(),,(),,(),,(z y x kF z y x zF z y x yF z y x xF z y x =++，并证明：xy yx xy z −+=222为2次齐次函数.证明：必要性：设),,(),,(z y x F t tz ty tx F k=,令tz ty tx ===ζηξ,,，代入上式并两边对t 求导得),,(),,(),,(),,(1z y x F kt zF yF xF k −=++ζηξζηξζηξζηξ.令1=t , 则有),,(),,(),,(),,(z y x kF z y x zF z y x yF z y x xF z y x =++.充分性：设),,(1),,,(tz ty tx F t t z y x G k= )0(>t ，令tz ty tx ===ζηξ,,, 求G 关于t 的偏导数得[]{}),,(),,(),,(),,(11ζηξζηξζηξζηξζηξkF t zF yF xF tt G k −++=∂∂+. 由已知 0=∂∂t G,于是G 仅是关于z y x ,,的函数. 记 ),,(),,(z y x G z y x =ϕ, 所以),,(),,(tz ty tx F z y x t k =φ, 令1=t , 则有),,(),,(z y x F z y x =φ.因此),,(),,(tz ty tx F z y x F t k =.故F 为k 次齐次函数. 因为 ),())(()()())((),(2222y x z t ty tx ty tx ty tx ty tx z =−+=，所以),(y x z 为2次齐次函数.7．设),,(z y x f 具有性质),,(),,(z y x f t z t y t tx f nmk= )0(>t ，证明: (1) ,,1(),,(m knxz x y f x z y x f =; (2) ),,(),,(),,(),,(z y x nf z y x mzf z y x kyf z y x xf z y x =++. 证：(1) 在),,(),,(z y x f t z t y t tx f nmk=中令 xt 1=，得),,(),,1(z y x f x x z x y f n m k −=，即),,1(),,(mk nx z x y f x z y x f =(2) 令z t y t tx mk===ζηξ,,，并对),,(),,(z y x f t z t y t tx f nmk=两边关于t 求导得),,(),,(),,(),,(111z y x f nt zf mt yf kt xf n m k −−−=++ζηξζηξζηξζηξ，令1=t , 则有),,(),,(),,(),,(z y x nf z y x mzf z y x kyf z y x xf z y x =++.8．设由行列式表示的函数)( )( )( )()(1111t a t a t a t a t D nn n n "##"=，其中 ),,2,1,( )(n j i t a ij "= 的导数都存在，证明∑=′′=nk nn n kn kn t a t a t a t a t a t a dt t dD 111111)( )( )( )( )( )()("##"##" . 证：记 ),,2,1,( )(n j i t a x ij ij "==,且nnn n n nnn ij x x x x x x x x x x x x x f ),,,,,(2122221112111211"""""""""=, (1)由行列式定义知f 为2n 元可微函数，易见))(,),(,),(),(()(1211t a t a t a t a f t D nn ij ""=.于是由复合函数求导法则知)()(1,1,t a x fdt dx x f t D ijijnj i ij ij nj i ′⋅∂∂=⋅∂∂=′∑∑==. (2) 记(1)的右边行列式中ij x 的代数余子式为ij A ,则ij ij nj i nn ij A x x x x x f ∑==1,1211),,,,,(""，从而 ij ij A x f=∂∂ 代入(2)得)()()(11t A t a t D ij ijn i nj ′==′∑∑==.其中)(t A ij 是将ij A 的元素kL x 换为)(t a kL 后得的1−n 阶行列式，它恰为行列式)( )( )( )( )( )( )( )( )(212111211t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n n kn k kn "###"###"′′′ 中)(t a ij′的代数余子式, 于是由(3)知 ∑=′′′=′n i nn nn n ini i n t a t a t a t a t a t a t a t a t a t D 112111211)( )( )( )( )( )( )( )( )()("###"###".。
8-4复合函数微分法
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例 1：设z eu sin v ，u xy，v x y，求 z 和 z 。
x y
解： z z u z v eu sin v y eu cosv 1
x u x v x eu( ysinv cosv) e xy[ ysin( x y) cos( x y)]
x
f x
. (u,v , x )
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备用题
1、利用全微分形式不变性再解例1.
解： dz d( eu sin v ) eu cos v dv d (x y)
( yd x xd y) e x y[ y sin( x y) cos( x y)]d x
d(x y) (dx d y)
则 dz f du f dv f ，试问 dz 与 f 是否相
dx u dx v dx x
dx x
同？为什么？
思考题解答：不相同 等式左端的 z是作为一个自变量 x 的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为 u,v, x的三元函数，
即
dz dx
x
f u
(
u,v
,
x
)
du dx
x
f v
dv (u,v,x) dx
lim o( ) ( xu )2 ( xv )2 0
x0
x
x
故（1）式两边取极限，令 x 0 ，则有
z z u z v x u x v x
同理可证 z z u z v y u y v y
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链式法则如下图所示
u
z v
x
z z u z v x u x v x
y z z u z v
复合函数例题
复合函数例题
复合函数例题是一种涉及到多个函数的问题，通常会要求计算多个函数之间的关系。
这类函数包括多项式、对数函数、指数函数以及三角函数等等，它们都可以用来描述和表示不同的函数关系。
复合函数例题的特点在于，它要求考生计算多个函数的组合，并且这些函数的关系可能也存在很多种变形。
因此，考生在解决复合函数例题时，必须要掌握不同函数之间的关系，熟悉函数的性质、求导和积分的方法，以及如何将多个函数组合起来，并利用相应的知识来解决问题。
举例来说，有一道复合函数例题如下：
已知函数f(x)＝2x⁴+x³-1，求函数g(x)=f(x)+f'(x)的值。
解：
首先用链式法则求出f'(x)的值：
∴f'(x)=8x³ + 3x²
将f'(x)的值代入g(x)中：
∴g(x)=2x⁴+x³-1+8x³+3x²=10x³+4x²-1
即g(x)=10x³+4x²-1
以上就是关于复合函数例题的详细说明。
可以看出，复合函数例题是一种涉及多个函数之间关系的问题，考生
在解决这类问题时，需要掌握函数的性质、求导和积分的方法，以及多个函数之间的组合关系。
只有掌握这些知识，才能有效地解决复合函数例题。
复合函数的偏导数和全微分--非常重要
例 2 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ，v = cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
dz ∂z du ∂z dv ∂z = ⋅ + ⋅ + dt ∂u dt ∂v dt ∂t
= ve − u sin t + cos t
t
= e cos t − e sin t + cos t
链式法则如图示
u
x
z
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ = + ⋅ . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
类似地再推广，设 u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) 、 类似地再推广，
w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合 的偏导数，
2
∂f 2′ ∂f 2′ ∂u ∂f 2′ ∂v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; = ⋅ + ⋅ ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂ 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 ∂x∂z
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.
第五节
复合函数的偏导数和全微分
一、链式法则
定理 定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导 ， 函数 z = f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏 导数， 导数，则复合函数 z = f [φ ( t ),ψ ( t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算： 导，且其导数可用下列公式计算：
多元复合函数的微分法习题
2 2
为可微函数，证明： ，求 f 为可微函数，证明：
1 ∂z 1 ∂z z + = 2。 x ∂x y ∂y y y x 3. 设 f ( u, v ) 是二元可微函数， z = f ( , ) ，求 是二元可微函数， x y x ∂z ∂z +y 。 ∂x ∂y
y 1 ∂z ′ = f 1′ ⋅ ( − 2 ) + f 2 ⋅ ， y ∂x x 1 x ∂z ′ = f1′ ⋅ + f 2 ⋅ ( − 2 ) ， x ∂y y x ∂z ∂z + y = 0。 ∂x ∂y
x y ∂z 4. 设 z = f ( xy , ) + g( ) ， f , g 均为可微函数，求 。 均为可微函数， y x ∂x ∂z 1 y y ′ = f 1′ ⋅ y + f 2 ⋅ + g ′( )( − 2 ) 。 y x ∂x x
2 2
为可微函数，证明： ，求 f 为可微函数，证明：
1 ∂z 1 ∂z z + = 2。 x ∂x y ∂y y 令
u = x2 − y2 ， z = y ， f ( u)
y 2 xy ∂z ∂u f ′( u ) ， =− 2 ⋅ f ′( u ) = − 2 ∂x ∂x f ( u) f ( u)
x y ∂z 4. 设 z = f ( xy , ) + g( ) ， f , g 均为可微函数，求 。 均为可微函数， y x ∂x x 5. 设 z = sin( xy ) + ϕ ( x , ) ，其中ϕ 有二阶连续偏导数， 有二阶连续偏导数， y
多元复合函数微分法
du m udvi .
dx i1vi dx
全导数公式图示
v1
v2
u
+
vi
x
vm
du m u dvi
dx i1 vi dx
定理 (全导数公式) 现在证明定理
设 u f 函 ( v 1 , , v m ) ,v i 数 i ( x )( i 1 , , m ) 可
u f(1 ( x ) , ,m ( x ).)
x
y
z
t
u f ( x , y , z ) , y y ( x ) , z z ( x ) .
duuudyudz dx x ydx zdx
x
u
y
z
x
你做对了吗 ?
二.链导法则
一般多元复合函数的求导法则
假设所有出现的函数求导运算均成立, 试想一下如何求下面函数的导数：
zf(u ,v,w ), u u ( x , y ) , v v ( x , y ) , w w ( x , y ) .
0.
| |v | | v 1 2 v m 2
定理获证
例
设 zxsinx , 求 d z .
dx
解 令 z xy , ysinx, 则
x
dz z z dy dx x y dx
z
x
y
yxy1 xylnxcoxs
xsinxsinxcoxslnx
x
例
设以下函数满足定理的条件,
写出二元和三元函数的全导数公式:
谢谢聆听！
你我同行，共同进步。
解 令 ux2y2,
ux r
vcoxsy, z
则 zf(u,v),
v y
z zuxzuy zvxzvy r uxr uyr vxr vyr
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⎞ ⎟ ⎠
cosθ
+
⎛ ⎜ ⎝
∂2u ∂y 2
sin θ
+
∂2u ∂y∂x
cosθ
⎞ ⎟
sin
θ
⎠
4
=
∂2u ∂x2
cos2
θ
+
2
∂2u ∂x∂y
sin θ
cosθ
+
∂2u ∂y 2
sin 2
θ
，
又 ∂u = ∂u ∂x + ∂u ∂y = − ∂u r sinθ + ∂u r cosθ ，
∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂x
' v
(v)
⋅1+
gu'
(u)
⋅
y
=
−
sin(x + x+ y
y)
+
y
⋅
sin( xy) xy
=
−
sin(x + x+ y
y)
+
sin( xy ) x
同理，
f
' y
(
x,
y)
=
sin( xy ) y
−
sin(x + y) x+ y
例 5 设 z = f (x, y) 二阶连续可微，且 dz = (x2 − c) ydx + (ax3 + x + b sin xy)dy ，试确定常数 a,b, c
∂z = exy cos(x + y) ⋅1+ sin(x + y) ⋅ exy ⋅ y = exy [ y sin(x + y) + cos(x + y)],
∂x
∂z = exy cos(x + y) ⋅1+ sin(x + y) ⋅ exy ⋅ x = exy [ x sin(x + y) + cos(x + y)],
1 z
∂z ∂x
=
xy ⋅
2x x2 + y2
+
y ln(x2
+
y2)
，
1 z
∂z ∂y
=
xy
⋅
2y x2 + y2
+
x ln(x2
+
y2)
因此，
∂z ∂x
=
z
⎡ 2x2 y
⎢ ⎣
x2
+
y2
+
y ln(x2
+
y
2
⎤ )⎥
⎦
=
(x2
+
y2 )xy
⎡ ⎢ ⎣
2x2 y x2 + y2
+
y ln(x2
+
复合函数微分典型例题
例１ 设 z = eu sin v ，而 u = xy, v = x + y ，求 ∂z , ∂z ． ∂x ∂y
解法１ ∂z = ∂z∂u + ∂z∂v ∂x ∂u∂x ∂v∂x
= eu sin v ⋅ y + eu cos v ⋅1 = exy [ y sin(x + y) + cos(x + y)]
a= 1, 3
b = 0,
c = −1
例 6 设 z = f (xy, x + y), f 二阶连续可微，求 ∂2 z ∂x∂y
解： zx'
=
f1' y +
f2' ，其中
f1' =
f1' (xy, x + y),
f
' 2
=
f2' (xy, x + y) ，注意： f1' 和
f
' 2
仍上 x, y 的复合函数，求它们的偏导数时还要用链式法则求
r
cosθ
+r
cosθ
⎛ ⎜ ⎝
∂2u ∂y 2
r
cosθ
+
∂2u ∂y∂x
r
sin θ
⎞ ⎟ ⎠
−
∂u ∂y
r
sin θ
=
∂2u ∂x2
r2
sin 2
θ
−
2
∂2u ∂x∂y
r2
sin θ
cosθ
+
∂2u ∂y 2
r2
cos2
θ
−
∂u ∂x
r
cosθ
−
∂u ∂y
r
sin θ
，
于是得到： 1 r
∂ ∂x
⎞ ⎟⎠
∂y ∂θ
⎤ ⎥ ⎦
−
∂u ∂x
r
cosθ
+r
cosθ
⎡∂
⎢ ⎣
∂x
⎛ ⎜ ⎝
∂u ∂y
⎞ ⎟ ⎠
∂x ∂θ
+
∂ ∂y
⎛ ⎜ ⎝
∂u ∂y
⎞ ⎟ ⎠
∂y ∂θ
⎤ ⎥ ⎦
−
∂u ∂y
r
sin θ
=
−r
sin θ
⎛ ⎜ ⎝
∂2u ∂x2
r
sin θ
+
∂2u ∂x∂y
r
cosθ
⎞ ⎟ ⎠
−
∂u ∂x
∂y
例 2 设 z = (x2 + y2 )xy ，求 ∂z , ∂z ∂x ∂y
解法 1 令 u = x2 + y2 , v = xy 则 z = uv ，于是
∂z ∂x
=
∂z∂u ∂u∂x
+
∂z∂v ∂v∂x
=
vu v −1
⋅2x
+ uv
ln u
⋅
y
=
(x2
+
y2 )xy
⎡ ⎢ ⎣
2x2 y x2 + y2
1+ ux' + vx' = 0,
x
+
u
⋅
u
' x
+
vvx'
=
0
将
ux' , vx' ，看作未知量，用克莱姆法则解得： ux'
=
x−v v−u
, vx'
=
u v
−x −u
，第一个式子
两边对 x 求偏导，注意 u, v 是 x, y 的函数，得：
u '' xx
=
(1 −
vx' )(v
− u) − (x − v)(vx' (v − u)2
∂z − ∂z ∂x ∂y
解 记 F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − ϕ(x + y + z, x2 + y2 + z2 ) ，则
Fx'
=
2x
−
(ϕ1'
+
2
xϕ
' 2
),
Fy'
=
2y
−
(ϕ1'
+
2 yϕ2' ),
Fz'
=
2z
− (ϕ1'
+
2zϕ2' ) ，
∂z − ∂z = − Fx' + Fy' = 2(x − y)(1− ϕ2' ) ∂x ∂y Fz' Fz' 2z(1− ϕ2' ) − ϕ1'
5
例 10 求由方程 sin z = xyz 所确定的函数 z = z(x, y) 的偏导数 ∂z ⋅ ∂z ∂x ∂y
解法 1 令 F (x, y, z) = sin z − xyz ，则 Fx' = − yz, Fy' = −xz, Fz' = −xy, 故
∂z ∂x
=
−
Fx' Fz'
=
− − yz cos z − xy
⎛ ⎜⎝
r
∂u ∂r
⎞ ⎟⎠
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
=
1 r
∂u ∂r
+
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
=
∂2u ∂x2
(cos2
θ
+
sin 2
θ
)
+
∂2u ∂y 2
(cos2
θ
+
sin 2
θ
)
=
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y 2
上面的计算过程是将 x, y 看作中间变量，r ，θ 看作自变量，自然也可以将 r,θ 看作中间变量， x ， y 看作自变量来计算
z"xy
= ( f1' y +
f2' ) y
=
f1' +
y(
f ''
11
y
+
f ''
12
)
+
(
f
'' 21
y
+
f '' 22
)
=
f1' +
y2
f ''
11
+
2
yf1'2'
+
f '' 22