谈概率论及其应用

谈概率论及其应用

赵杰

(渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国)

摘要本文论述了一些概率计算的基本公式，如独立事件，古典概型，条件概

率，全概率公式，Bayes公式及独立试验和Bernoulli概型等，并介绍了随机

变量的两个数字特征——数学期望，方差的概念，通过它们在实际生活中应用

的简单例子，如掷骰子，对某种疾病的预测等，得出了概率论对于解决大量现

实生活问题有着极其重要的作用的结论。在实际生活中可应用到游戏、医疗、

比赛、经济等方方面面，从大量看似偶然的事件中寻找出解决问题的一般规律，

应用概率计算的基本公式从而得出需要求出的事件所发生的概率，由此可避免

或减少许多不必要的麻烦。而通过对数学期望和方差概念的了解，能够对分布

列的整体及优劣程度做出判断，从而能够更快更准确地把握随机变量的整体性

质。可见，概率论这门数学对于解决大量现实问题有着巨大的作用。但本文论

述的有关概率论的基础知识都是非常简单和基础的，有关概率计算的知识还很

多，那么与之相关的应用范围也必将更为广泛。

关键词概率独立事件数学期望方差

引言

我们都知道明天早上的太阳将从东方升起，这是必然发生的事。但世界上有更多的事在我们看来是带有偶然性的，从一副扑克牌中任抽一张，是红是黑，无法预知，这就是偶然的。但在大量的偶然事件中，却也存在着规律性，例如:反复多次抽取扑克牌，会发现抽到红牌或黑牌的次数大体上各占一半，这就是规律，这种规律称之为统计规律，这一类试验称为随机试验。试验所代表的现象称为随机现象。

在我们生活中，每天都会有不能预先确定的事情发生。学生不能肯定明天考试时会碰到什么题目，球迷无法预知下场比赛鹿死谁手，炮手不知一发炮弹打出去能否命中目标。面临这些不确定的事件，我们应如何决策？这就需要研究大量发生的似乎是偶然的事件的一般规律。概率

论这门数学，就是研究大量偶然事件发生的宏观数量规律的学问。

一 怎样寻找概率

一般地，设E 为一试验，如果不能事先准确地预言它的结果，而且在相同条件下可以重复进行，就称随机试验。随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间。通常用ω表示基本事件，用Ω表示样本空间]2[。

例1 E ——掷一枚普通的硬币而观察所出现的面；1ω—正，2ω—反，于是，Ω由两个基本事件构成，即},{21ωω=Ω；

例2 E ——自标号为n ,.....,2,1的几个同样的灯泡中任取其一，

i ω—取得第i 号，},......,,{21n ωωω=Ω。这时如果简记i ω为i ，则得=Ω{n ,.....,2,1}；

例3 E ——计算某电话交换台在上午九点钟内所得到呼唤次数。i ω—得i 次呼唤；},......,,,{210n ωωωω=Ω如果简记i ω为i ，则得=Ω{,.....2,1,0}。

抛掷一枚硬币，看它落地后是正面朝上还是反面朝上，可以占卜，或决定一件事，或赌输赢，很早有人就这么做了。大家相信，用均匀的硬币来赌正反面，是公平的游戏。因为出正面与出反面机会均等，各占一半，用数学语言来说，就叫做“出正面的概率是2

1，出反面的概率也是

2

1

”。事实果然不错 当人们多次抛掷时，出正面的次数与总抛掷次数之比往往很接近2

1。

如果连投3次，至少出现两次正面的概率是多少呢？现在我们来分析一下，连投3次，可能有8种情形：

正正正 正正反 正反正 正反反 反反反 反反正 反正反 反正正

这8种情形机会均等，每种情形出现的概率都是8

1，其中有四种情形

至少出现两次正面，所以，3次出现两次正面的概率是2

1。

这种情形，叫做8个“基本事件”，而“至少出现两次正面”也是一个“事件”，它可以分解成一些基本事件。把一个“事件”分解成几个基本事件，把基本事件的概率加起来，便是这个事件的概率。这是寻找概率的基本方法。

例 掷骰子比掷钱币情况复杂一些，骰子有6面，各面分别是1点到6点，均匀的骰子，每个面朝上的机会均等，概率都是6

1，均匀的骰子，每个面朝上的机会均等，概率都是6

1，如果只掷一次，基本事件就有6个。“出偶数点”这个事件由3个基本事件组成，概率为2

1，“点数大于2的概率为3

26

4=。连掷两次骰子，基本事件就有36个，机会均等，概率各占

36

1”。两次的点数之和大于5这个事件包含了(1,6)(1,5)(2,4)(2,5)(2,6) (3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1) (6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6),其26个基本事件，它发生的概率是

18

133626=。 可见，应用概率论来解决生活中看似偶然却存在规律的事件，可使其明朗化，简单化。

事实上，用这种方法计算概率比较麻烦。对于更复杂的问题，概率论提供了许多公式来计算概率。

二 概率计算的有关公式

其中最基本的公式是加法公式 若A 和B 是不可能同时发生事件，则

A 和

B 至少有一个发生的概率=A 的概率+B 的概率。 定义 事件之间的关系

1°包含数若事件A发生必然导致事件B的发生，则称A包含于B。记作B

A⊂；

2°相等若B

A⊂且A

B⊂称A与B相等记作A=B；

3°差的关系若A发生，B不发生所形成的事件，称为A与B的差，记作A-B=A-A B=B

A；

4°积的关系若A与B同时发生，称为A与B的积(交)记作AB或B

A ；

5°和(并)的关系A与B至少发生一个称为A与B的和(并)，记作B

A+或B

A ；

6°互不相容(互斥) 若AB=ϕ，称为A与B互补；

7°对立(互逆)关系若AB=ϕ，且Ω

=

B

A ，则称A与B是对立(互逆)，即ϕ

=

A

A ，Ω

=

A

A。

运算法则

1°BA

AB=

A

B

B

A

=——交换律

2°)

(

)

(BC

A

C

AB=

)

(

)

(C

B

A

C

B

A

=——结合律

3°)

(

)

(

)

(C

A

B

A

C

B

A

=

)

(

)

(

)

(C

A

B

A

C

B

A

=——分配律

4°B

A

B

A

=B

A

B

A

=

一般地，

n

i i

n

i

i

A

A

1

1=

=

=，

n

i

i

n

i

i

A

A

1

1=

=

=——对偶原则

（一）独立事件

一位老战士向新伙伴介绍经验：“当敌人向我们的阵地打炮的时候，你最好滚到新弹坑里藏身。因为短时间内不太可能有两发炮弹落到同一个地方!”