谈概率论及其应用

谈概率论及其应用赵杰(渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国)摘要本文论述了一些概率计算的基本公式，如独立事件，古典概型，条件概率，全概率公式，Bayes公式及独立试验和Bernoulli概型等，并介绍了随机变量的两个数字特征——数学期望，方差的概念，通过它们在实际生活中应用的简单例子，如掷骰子，对某种疾病的预测等，得出了概率论对于解决大量现实生活问题有着极其重要的作用的结论。

在实际生活中可应用到游戏、医疗、比赛、经济等方方面面，从大量看似偶然的事件中寻找出解决问题的一般规律，应用概率计算的基本公式从而得出需要求出的事件所发生的概率，由此可避免或减少许多不必要的麻烦。

而通过对数学期望和方差概念的了解，能够对分布列的整体及优劣程度做出判断，从而能够更快更准确地把握随机变量的整体性质。

可见，概率论这门数学对于解决大量现实问题有着巨大的作用。

但本文论述的有关概率论的基础知识都是非常简单和基础的，有关概率计算的知识还很多，那么与之相关的应用范围也必将更为广泛。

关键词概率独立事件数学期望方差引言我们都知道明天早上的太阳将从东方升起，这是必然发生的事。

但世界上有更多的事在我们看来是带有偶然性的，从一副扑克牌中任抽一张，是红是黑，无法预知，这就是偶然的。

但在大量的偶然事件中，却也存在着规律性，例如:反复多次抽取扑克牌，会发现抽到红牌或黑牌的次数大体上各占一半，这就是规律，这种规律称之为统计规律，这一类试验称为随机试验。

试验所代表的现象称为随机现象。

在我们生活中，每天都会有不能预先确定的事情发生。

学生不能肯定明天考试时会碰到什么题目，球迷无法预知下场比赛鹿死谁手，炮手不知一发炮弹打出去能否命中目标。

面临这些不确定的事件，我们应如何决策？这就需要研究大量发生的似乎是偶然的事件的一般规律。

概率论这门数学，就是研究大量偶然事件发生的宏观数量规律的学问。

一 怎样寻找概率一般地，设E 为一试验，如果不能事先准确地预言它的结果，而且在相同条件下可以重复进行，就称随机试验。

随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间。

通常用ω表示基本事件，用Ω表示样本空间]2[。

例1 E ——掷一枚普通的硬币而观察所出现的面；1ω—正，2ω—反，于是，Ω由两个基本事件构成，即},{21ωω=Ω；例2 E ——自标号为n ,.....,2,1的几个同样的灯泡中任取其一，i ω—取得第i 号，},......,,{21n ωωω=Ω。

这时如果简记i ω为i ，则得=Ω{n ,.....,2,1}；例3 E ——计算某电话交换台在上午九点钟内所得到呼唤次数。

i ω—得i 次呼唤；},......,,,{210n ωωωω=Ω如果简记i ω为i ，则得=Ω{,.....2,1,0}。

抛掷一枚硬币，看它落地后是正面朝上还是反面朝上，可以占卜，或决定一件事，或赌输赢，很早有人就这么做了。

大家相信，用均匀的硬币来赌正反面，是公平的游戏。

因为出正面与出反面机会均等，各占一半，用数学语言来说，就叫做“出正面的概率是21，出反面的概率也是21”。

事实果然不错 当人们多次抛掷时，出正面的次数与总抛掷次数之比往往很接近21。

如果连投3次，至少出现两次正面的概率是多少呢？现在我们来分析一下，连投3次，可能有8种情形：正正正 正正反 正反正 正反反 反反反 反反正 反正反 反正正这8种情形机会均等，每种情形出现的概率都是81，其中有四种情形至少出现两次正面，所以，3次出现两次正面的概率是21。

这种情形，叫做8个“基本事件”，而“至少出现两次正面”也是一个“事件”，它可以分解成一些基本事件。

把一个“事件”分解成几个基本事件，把基本事件的概率加起来，便是这个事件的概率。

这是寻找概率的基本方法。

例 掷骰子比掷钱币情况复杂一些，骰子有6面，各面分别是1点到6点，均匀的骰子，每个面朝上的机会均等，概率都是61，均匀的骰子，每个面朝上的机会均等，概率都是61，如果只掷一次，基本事件就有6个。

“出偶数点”这个事件由3个基本事件组成，概率为21，“点数大于2的概率为3264=。

连掷两次骰子，基本事件就有36个，机会均等，概率各占361”。

两次的点数之和大于5这个事件包含了(1,6)(1,5)(2,4)(2,5)(2,6) (3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1) (6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6),其26个基本事件，它发生的概率是18133626=。

可见，应用概率论来解决生活中看似偶然却存在规律的事件，可使其明朗化，简单化。

事实上，用这种方法计算概率比较麻烦。

对于更复杂的问题，概率论提供了许多公式来计算概率。

二 概率计算的有关公式其中最基本的公式是加法公式 若A 和B 是不可能同时发生事件，则A 和B 至少有一个发生的概率=A 的概率+B 的概率。

定义 事件之间的关系1°包含数若事件A发生必然导致事件B的发生，则称A包含于B。

记作BA⊂；2°相等若BA⊂且AB⊂称A与B相等记作A=B；3°差的关系若A发生，B不发生所形成的事件，称为A与B的差，记作A-B=A-A B=BA；4°积的关系若A与B同时发生，称为A与B的积(交)记作AB或BA ；5°和(并)的关系A与B至少发生一个称为A与B的和(并)，记作BA+或BA ；6°互不相容(互斥) 若AB=ϕ，称为A与B互补；7°对立(互逆)关系若AB=ϕ，且Ω=BA ，则称A与B是对立(互逆)，即ϕ=AA ，Ω=AA。

运算法则1°BAAB=ABBA=——交换律2°)()(BCACAB=)()(CBACBA=——结合律3°)()()(CABACBA=)()()(CABACBA=——分配律4°BABA=BABA=一般地，ni iniiAA11===，niiniiAA11===——对偶原则（一）独立事件一位老战士向新伙伴介绍经验：“当敌人向我们的阵地打炮的时候，你最好滚到新弹坑里藏身。

因为短时间内不太可能有两发炮弹落到同一个地方!”很多人都有类似的想法：新弹坑要安全一点，因为两发炮弹落到一点的可能性小；昨天有飞机失事，今天乘机要安全一些，因为连续两天都有飞机失事的可能性小；王大嫂生了三个孩子都是女儿，下一个很可能是男孩了；掷硬币一连出现五次正面，第六次总该出反面了吧!这种想法的产生，是因为他们没有认识到独立事件的“独立性”。

一发炮弹落在什么地方，和另一发炮弹之间没有关系，它们是相互独立的。

昨天从香港飞往纽约的飞机是否失事，与今天从北京飞往上海的飞机是否安全，它们也彼此无关，是相互独立的事件。

(这种独立性是一般的假设。

因为炮打出一发炮弹，其性能、位置会有变化，会对下一发的落点产生影响；一架飞机失事，会引起其他航空公司的注意，加强安全措施，消除隐患)，头胎生女生男与二胎生男生女，前几次掷硬币的结果与下一次出正面还是反面，都是彼此独立的。

独立事件的概率彼此不受影响。

即使你一连掷出了100次正面，再掷下一次硬币时，出正面的概率仍是21，只要硬币本身是均匀的。

硬币没有记忆，它不会因为自己前几次出现了正面而决定变个花样。

两个独立事件同时发生的概率，等于两个事件的概率之积，这条规律对我们计算概率很有帮助。

连掷三次硬币都出现正面概率是多少？根据独立性，马上可以回答，其概率是81212121=⨯⨯。

因为掷一次出正面的概率是21。

这就不用把“掷三次”的所有基本事件都写出来了。

一般而言，若A 与B 是相互性独立的事件，则A 与B 同时发生的概率=A 的概率×B 的概率。

（二） 古典概型定义 (1) },......,{21n ωωω=Ω即样本点有限。

(2)每一个样本点发生的概率相同，即np p p n 1)(......)()(21====ωωω称为古典概型。

设A 是其中任意事件，不妨设A 中含n 中k 个样本点。

},......,,{21ik i i A ωωω=则k nk A p ,)(=表示A 中有利点的个数 n 表示样本点总数]1[。

例 盒子中有5个红球，3个白球，从中任选2个，问两球颜色相同的概率？解 232528,C C k C n +==2813)(282325=+==⋅∴C C C n k p 例 有n 个人等可能地分配到)(n N N ≥个房间中去，求下列事件的概率 (1)指定n 个房间各住1个； (2)恰好有n 个房间各住1个； (3)恰好有1个房间住了k 人。

解 样本点总数n N (1)n Nn A p n k !)(,!1== (2)n NnNP n C k ==!2 n n NNP B p =)((3)kn k nNN C C k --=)1(13 nkn k n N NN C C C p --=)1()(1 （三） 条件概率，全概率公式，Bayes 公式 1 条件概率王大伯有两个孩子。

“两个孩子都是男孩”的概率是多少？ 如果粗略地统计，生男、生女的概率各占一半。

两个都是男孩的概率就是412121=⨯。

如果王大伯告诉你：“我的大孩子是男孩”。

那么“两个孩子都是男孩”的概率就不是41而是21了。

因为只要看老二是男是女——两种可能性各占一半。

如果王大伯说：“我至少有一个男孩”。

答案又如何呢？也许令你奇怪：这时，“两个都是男孩”的概率就变成基本事件。

这并不多，只有4个：男、男 男、女 女、男 女、女当我们对情形一无所知时，只能从这四个基本事件出发，考虑 两个男孩的概率是41。

当我们知道大孩子是男孩时，具本事件中的“女、男”，“女、女”，被排除了，只剩下两个，在这两个之中都是男孩的概率是21当我们知道至少有一个男孩时，基本事件中只排除了“女、女”。

这时，两个男孩的概率是31。

这样从头算起，在很多情形下是不必要的。

“条件概率”的概念可以帮我们把问题变得简单一些。

定义 设A 、B 是任意两个条件，且0)(>A P ，则称)()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 的条件概率，记作 )/(A B P 即)()()/(A P AB P A B p =，同理)/()()/()()()()()/(B A P B P A B P A P AB P B P AB P B A p ==⇒=乘法公式。

用这个公式，你容易验证刚才的计算结果：用B 表示“两个都是男孩”，1A 表示“大的是男孩”2A 表示“至少有一个男孩”则43)(,21)(41)()()(2121=====A P A P B P B A P B A P于是212141)()()/(111===A P B A P A B P314341)()()/(222===A P B A P A B P2 全概率公式例 中国、古巴、日本、美国四国排球邀请赛，按淘汰制进行，现中国队与古巴队分在一个小组且已胜出，日本队与美国队分在一小组，它们各自取胜的机率是50%，而中国队与日本队比赛取胜的机率是90%，与美国队比赛取胜的机率是65%，问中国最后能取得冠军的机率是多少？分析：此题中，日本队与美国队的比赛中，日本占胜美国、与美国占胜日本的概率相同，均为50%，而我们知道这两个事件是不相容的。