广州中考高分突破数学教师课件第16节相似三角形
合集下载
数学相似三角形课件
求解过程
一旦构造了相似三角形并确定了其面积比，就可以利用这个比例关系来求解未知的三角形面积。这通常 涉及到比例运算和代数方程的解法。
03
相似三角形在代数中的应用
比例性质及运算规则
80%
比例的基本性质
在两个比例中，如果两组数的比 值相等，则这两个比例是相等的 。
100%
比例的运算规则
包括合比性质、等比性质、分比 性质以及复合比性质，这些规则 在解决相似三角形问题时经常用 到。
其他领域应用举例
地理学
在地理学中，相似三角形可以用 于计算地球上两点之间的距离和 方位角，以及绘制地图和导航。
艺术和动画
艺术家和动画师可以利用相似三角 形来创建透视效果和比例准确的图 像，使作品更加逼真和生动。
经济学和金融
在经济学和金融领域，相似三角形 可以用于分析市场趋势、预测股票 价格等，通过历史数据的相似模式 来预测未来走向。
通过正弦、余弦定理可以推导 出三角形的面积公式 S=1/2bc×sinA，以及判断三角 形形状的条件等。
解直角三角形问题
已知两边求第三边
利用勾股定理或正弦、余弦定理求解。
已知两边及夹角求其他元素
通过正弦、余弦定理或三角函数关系式求解。
实际应用问题
如测量、航海、地理等问题中，常需解直角三角形，通过选择合适 的三角函数关系式进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
01
02
03
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对 应角相等，则称这两个三 角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比 例，对应角相等，面积比 等于相似比的平方。
相似三角形的判定
通过角角角（AAA）、边 角边（BAB）、角边角 （ABA）等判定方法确定 两个三角形是否相似。
一旦构造了相似三角形并确定了其面积比，就可以利用这个比例关系来求解未知的三角形面积。这通常 涉及到比例运算和代数方程的解法。
03
相似三角形在代数中的应用
比例性质及运算规则
80%
比例的基本性质
在两个比例中，如果两组数的比 值相等，则这两个比例是相等的 。
100%
比例的运算规则
包括合比性质、等比性质、分比 性质以及复合比性质，这些规则 在解决相似三角形问题时经常用 到。
其他领域应用举例
地理学
在地理学中，相似三角形可以用 于计算地球上两点之间的距离和 方位角，以及绘制地图和导航。
艺术和动画
艺术家和动画师可以利用相似三角 形来创建透视效果和比例准确的图 像，使作品更加逼真和生动。
经济学和金融
在经济学和金融领域，相似三角形 可以用于分析市场趋势、预测股票 价格等，通过历史数据的相似模式 来预测未来走向。
通过正弦、余弦定理可以推导 出三角形的面积公式 S=1/2bc×sinA，以及判断三角 形形状的条件等。
解直角三角形问题
已知两边求第三边
利用勾股定理或正弦、余弦定理求解。
已知两边及夹角求其他元素
通过正弦、余弦定理或三角函数关系式求解。
实际应用问题
如测量、航海、地理等问题中，常需解直角三角形，通过选择合适 的三角函数关系式进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
01
02
03
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对 应角相等，则称这两个三 角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比 例，对应角相等，面积比 等于相似比的平方。
相似三角形的判定
通过角角角（AAA）、边 角边（BAB）、角边角 （ABA）等判定方法确定 两个三角形是否相似。
相似三角形_课件
相似三角形
探究猜想
探究1：
如图，任意画两条直线 l1,l2 ，再画三条与l1,l2 相交的平行 线 l3l4l5。分别量度 l3l4l5 在l1 上截得的两条线段和在 l2 上截得 的两条线段 DE, EF的长度，AB : BC 与 DE : EF 相等吗？任意 平移l5 ，再量得AB, BC, DE, EF 的长度，AB : BC 与DE : EF相 等吗？
给我一个支点我可以撬起整个地球！
如图，铁道口的栏杆短臂长 1m ，长臂16m
长0.5m，当短臂端点下降时 8 m ，长臂端点升
高
。
B
16m
C 0.5m ┛ 1m O
A
？
┏
D
A
D
甲
乙
丙
EF
B
C
如何运用“三角形的相似知识”来说
明“平行光线的照射下，同一时刻物高与 影长成比例”？
想一想
怎样利用相似三角形的有关 知识测量旗杆的高度？
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么 这两个三角形相似。 三角形相似的判定方法2：
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的 夹角相等，那么这两个三角形相似。
三角形相似的判定方法3：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比、周长的比等于相似比。
利用影长来 测高。
Ｏ
怎样测量 旗杆的高度呢？
Ｏ′
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
求旗杆高度的方法：
因为旗杆的高度不
能直接测量，我们可以
利用
旗杆的
人身高和
高度和影长 相似于 影长组成的三
探究猜想
探究1：
如图，任意画两条直线 l1,l2 ，再画三条与l1,l2 相交的平行 线 l3l4l5。分别量度 l3l4l5 在l1 上截得的两条线段和在 l2 上截得 的两条线段 DE, EF的长度，AB : BC 与 DE : EF 相等吗？任意 平移l5 ，再量得AB, BC, DE, EF 的长度，AB : BC 与DE : EF相 等吗？
给我一个支点我可以撬起整个地球！
如图，铁道口的栏杆短臂长 1m ，长臂16m
长0.5m，当短臂端点下降时 8 m ，长臂端点升
高
。
B
16m
C 0.5m ┛ 1m O
A
？
┏
D
A
D
甲
乙
丙
EF
B
C
如何运用“三角形的相似知识”来说
明“平行光线的照射下，同一时刻物高与 影长成比例”？
想一想
怎样利用相似三角形的有关 知识测量旗杆的高度？
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么 这两个三角形相似。 三角形相似的判定方法2：
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的 夹角相等，那么这两个三角形相似。
三角形相似的判定方法3：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比、周长的比等于相似比。
利用影长来 测高。
Ｏ
怎样测量 旗杆的高度呢？
Ｏ′
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
求旗杆高度的方法：
因为旗杆的高度不
能直接测量，我们可以
利用
旗杆的
人身高和
高度和影长 相似于 影长组成的三
相似三角形PPT免费
这一性质可以用来解决一些与面 积有关的问题，如计算相似三角 形的面积、判断两个三角形面积
的关系等。
在实际应用中，相似三角形的面 积比与相似比关系也经常被用来 进行面积或体积的测量和计算。
2024/1/27
10
03 相似三角形在几何中的应 用
2024/1/27
11
平行线间距离问题
利用相似三角形性质求解平行线间距离
2024/1/27
这一性质可以用来解决一些与 长度比例有关的问题，如线段 的比例、面积的比例等。
在实际应用中，相似三角形的 对应边成比例这一性质也经常 被用来进行长度或距离的测量 和计算。
9
面积比与相似比关系
相似三角形的面积比等于相似比 的平方，即如果两个三角形相似 且相似比为k，那么它们的面积
之比为k^2。
感谢您的观看
2024/1/27
27
相似三角形PPT免费
2024/1/27
1
contents
目录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念 • 相似三角形性质探究 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形在三角函数中的应用 • 相似三角形在生活中的应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
2
01 相似三角形基本概念
2024/1/27
3
定义与性质
18
05 相似三角形在生活中的应 用举例
2024/1/27
19
建筑设计中视觉效果优化
利用相似三角形原理，在建筑设计中 实现视觉效果的优化，如调整建筑立 面的比例和角度，营造出更加和谐、 美观的外观。
利用相似三角形在建筑设计中的应用 ，还可以解决一些实际问题，如采光 、通风等。
通过相似三角形的变换，实现建筑立 面的层次感和立体感，增强建筑的视 觉冲击力。
相似三角形完整版PPT课件
通过已知条件推导出新的相似关系，逐步 构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
《相似——相似三角形》数学教学PPT课件(3篇)
3.比例线段的性质
性质：（1）基本性质：如果a∶b=c∶d或ab=cd，那么ad=bc；特 别地，如果a∶b=b∶c或ab=bc，那么b2=ac.
（2）合比性质：如果ab=cd，那么a±bb=c±dd.
4.相似多边形
定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
注意：仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应角 相等的两个多边形也不一定相似，如矩形.
注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼 此相似.
性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比；
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.
注意：利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时， 要注意对应关系。
若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_6____.
若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为__9___.
相似三角形
E
E
F
M
F N
G
G
若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,
试求AF:FB的值.
添平行线构造相似三角形的基本图形。
基本图形2
“A”字型 当∠ADE＝ ∠C 时， ⊿ADE∽ ⊿ACB.
【解析】设第n个矩形是正方形， 则n个矩形的高为3n， ∴22.5-3n22.5=315,解得n=6,选C.
［预测变形３］电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD， AB∥CD，AB=2 m，CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则P到AB 的距离是（C）
A.56 m B.67 m C.65 m D.103 m 【解析】设P列AB的距离为x，则有x3=25 ,∴x=65,选C.
相似三角形PPT课件
利用相似三角形的性质，通过已知三 角形的面积和相似比求解未知三角形 的面积。
通过构造相似三角形，使得已知三角 形和未知三角形分别对应相似三角形 的对应边和对应高，从而求解未知三 角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角 形的性质求解其体积。例如，对于两 个相似的棱锥，其体积之比等于其对 应边长之比的立方。
平行线截割定理
定理内容
两条平行线被一组横截线所截， 则对应线段成比例。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似三 角形的性质证明。
应用举例
证明线段成比例、求解线段长度等 。
射影定理
定理内容
在直角三角形中，斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比例中 项；每一条直角边是这条直角边 在斜边上的射影和斜边的比例中
性质
相似三角形的对应角相等 ，即如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则∠C = ∠C'。
判定方法
可以通过测量两个三角形 的对应角来判断它们是否 相似。
对应边成比例
定义
如果两个三角形的对应边 成比例，则称这两个三角 形相似。
性质
相似三角形的对应边成比 例，即如果AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则 △ABC ∽ △A'B'C'。
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似 三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度 等问题。
直角三角形中特殊角性质
30°角所对直角边等于斜边一半
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
45°角所对直角边等于斜边一半乘以√2
通过构造相似三角形，使得已知三角 形和未知三角形分别对应相似三角形 的对应边和对应高，从而求解未知三 角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角 形的性质求解其体积。例如，对于两 个相似的棱锥，其体积之比等于其对 应边长之比的立方。
平行线截割定理
定理内容
两条平行线被一组横截线所截， 则对应线段成比例。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似三 角形的性质证明。
应用举例
证明线段成比例、求解线段长度等 。
射影定理
定理内容
在直角三角形中，斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比例中 项；每一条直角边是这条直角边 在斜边上的射影和斜边的比例中
性质
相似三角形的对应角相等 ，即如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则∠C = ∠C'。
判定方法
可以通过测量两个三角形 的对应角来判断它们是否 相似。
对应边成比例
定义
如果两个三角形的对应边 成比例，则称这两个三角 形相似。
性质
相似三角形的对应边成比 例，即如果AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则 △ABC ∽ △A'B'C'。
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似 三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度 等问题。
直角三角形中特殊角性质
30°角所对直角边等于斜边一半
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
45°角所对直角边等于斜边一半乘以√2
中考数学总复习 第16讲 相似三角形 新版 新人教版
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————第16讲相似三角形d)a··、的比叫做黄金比．判定三角形相似的思路：①条件中若一对等角，可再找一对等角.）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，二、经典试做1．已知△ABC ∽△DEF ，∠A ＝80°，∠B ＝20°， 那么△DEF 的各角的度数分别是______________．2．如图27211，直线CD ∥EF ，若OE ＝7，CE ＝4，则OD OF＝________.图27211 3．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果AC ＝6，A ′C ′＝2.4，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为________．4．如图若∠BAD ＝∠CAE ，∠E ＝∠C ，则________∽________.E C5．如图27213，DE ∥FG ∥BC ，图中共有相似三角形( ) A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对图27213 6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，有下列条件：①AB A ′B ′＝BC B ′C ′；②BC B ′C ′＝ACA ′C ′；③∠A ＝∠A ′；④∠C ＝∠C ′. 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组7．如图27214，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，求证：AD 2＝CD ·BD .9．如图27215，已知△ABC ，延长BC 到点D ，使CD ＝BC . 取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E .(1)求AE AC的值；(2)若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长．图2721510．如图27216，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6.若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)求出△BDE 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？4．已知△ABC 和△DEF 相似且对应中线的比为3∶4，则△ABC 和△DEF 的周长比为____________．5．高为3米的木箱在地面上的影长为12米，此时测得一建筑物在水面上的影长为36米，则该建筑物的高度为______米．7．如图27226，直立在B 处的标杆AB ＝2.4 m ，直立在F 处的观测者从E 处看到标杆顶A 、树顶C 在同一条直线上(点F ，B ，D 也在同一条直线上)．已知BD ＝8 m ，FB ＝2.5 m ，人高EF ＝1.5 m ，求树高CD .图272269．如图在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图272289．如图27315，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA ′，求四边形AA ′C ′C 的周长(结果保留根号)．图27315。
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
相似三角形优质教育课件
复杂图形中相似三角形识别与运用
在复杂图形中识别相似三角形， 并运用相似三角形的性质解决问
题。
引导学生掌握在复杂图形中寻找 相似三角形的方法，提高解题能
力。
通过实例分析，让学生理解相似 三角形在复杂图形中的应用，培 养学生的几何直观和逻辑推理能
力。
04
相似三角形在生活实际问题中 应用
Chapter
引导学生理解相似三角形对应边 成比例的原理，掌握求解方法。
举例说明如何利用相似三角形求 线段长度的实际问题，提高学生
解决问题的能力。
利用相似三角形解决角度问题
通过相似三角形的性质，推导 角度关系，解决角度问题。
引导学生理解相似三角形对应 角相等的原理，掌握角度求解 方法。
举例说明如何利用相似三角形 解决角度问题的实际问题，提 高学生分析问题的能力。
射影定理介绍
射影定理是指在直角三角形中，斜边上的垂线将斜边分为两段，这两段
与垂线和斜边的乘积相等。该定理在相似三角形中有重要应用。
02
射影定理在相似三角形中的证明
通过构造相似三角形和运用相似三角形的性质，可以证明射影定理在相
似三角形中的适用性。
03
射影定理在解题中的应用举例
通过具体例题，展示射影定理在解决相似三角形问题中的实际应用，提
引导学生探索相似三角形在更多 领域的应用，如建筑设计、机械 制造等，培养学生的实践能力和 创新意识。
提高解题能力和思维 水平
通过大量的练习和训练，提高学 生的解题能力和思维水平，让学 生能够更加熟练地运用所学知识 解决实际问题。同时，鼓励学生 参加数学竞赛等活动，拓展视野 、提高水平。
THANKS
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两直 角边在斜边上的射影，每条直角边是 这条高和斜边的比例中项。由此可以 三角形的三边对应成比 例，则这两个直角三角形相似。
相似三角形的判定ppt
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
两角对应相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
• 两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
应用
在几何图形中，利用相似三角形可以求解线段长度、角度大小等问题。
在物理、工程等领域，相似三角形的应用也十分广泛，如利用相似三角 形测量高度、距离等。
展望相似三角形在数学领域的发展前景
需要注意的是，必须 是两个对应的角分别 相等，而不是任意两 个角相等。
此判定方法基于角的 相等性，无需考虑三 角形的边长。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如果两个三角形的两边成比例，并且 夹角相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，必须是两边成比例且 夹角相等，而不是任意两边和任意夹 角。
此判定方法同时考虑了边长和角度的 因素。
定义上的联系
相似三角形和全等三角形都是基于三角形的形状和大小进行比较的概念。全等 三角形是形状和大小都完全相同的三角形，而相似三角形则是形状相同但大小 不一定相同的三角形。
性质上的联系
相似三角形和全等三角形都具有一些共同的性质。例如，它们都遵循三角形的 内角和为180°的规则，以及对应角相等、对应边成比例等性质。
三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三边成比例，则这两 个三角形相似。
此判定方法仅考虑三角形的边长，无需 考虑角度。
需要注意的是，必须是三边成比例，而 不是任意两边或一边。同时，由于浮点 数计算的精度问题，在实际应用中需要 设定一定的误差范围来判断三边是否成
比例。
03 相似三角形的应用
测量高度和距离
求解角度问题
相似三角形PPT课件
A
D
B
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
C
A
D
B
常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD
常用的成比例的线段：
AC BC ABCD AC2 AD AB BC2 BD AB
CD2 AD DB
例题
A
已知：DE∥BC，EF∥AB.
D
E
求证：△ADE∽△EFC. B
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知）
A
B
C
B1
A1
即：
如果
AB A1B1
BC B1C1
AC A1C1
,
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
小练习
已知：AB BC AC ，求证：∠BAD=∠CAE。
AD DE AE
A
解：∵ AB BC AC ，
AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE
D
∴∠BAC=∠DAE B
E C
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12
cm，那么A′B′C′的最大边长是________2。4cm
9. 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_:_4__。
即∠BAD=∠CAE
探究2
边S 角A 边S
已知：
AB A1B1
BC B1C1
k,
∠B =∠B1 .
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
A
B
C B1
C1
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
19
不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
【高分突破】中考数学第16节相似三角形课件精品
最新中小学课件
6
★课前预习★
1.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，
AC
上，DE∥BC，已知
AE=6，
AD BD
=
3 4
，则
EC
的
长是（ ）
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
解析：∵DE∥BC，∴ AD = AE ， BD EC
即 6 = 3 ，解得 EC=8． EC 4
答案：B．
最新中小学课件
10
5.（2014•武汉）如图，线段 AB 两个端点的 坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小
为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标
为（ ）
A.（3，3）
B.（4，3）
C．（3，1）
D．（4，1）
最新中小学课件
11
解析：∵线段 AB 的两个端点坐标分别 为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB
．
最新中小学课件
成比例 ． ，面积比等
5
3.相似多边形 (1)定义：各角对应相等，各边对应成比例，的两个多边形叫做相 似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． (2)性质： ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例． ②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 4．图形的位似 (1)位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在 直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点 叫位似中心，此时相似比又称位似比． (2)位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离比等于 位似比 ，位似图形周长的比等于 位似比 ；面积 比等于 位似比的平方 ．
【广东中考高分突破】数学教师课件第16节相似三角形
解析：根据已知条件得下半身长是 165 ×0.6=99cm， 设选的高跟鞋的高度是 xcm，则根据黄
金分割的定义得： 解得：x≈7.8cm． 答案：C．
考点归纳：本考点近些年广州中考均未考查， 但本考点是初中数学的重要内容，因此有必 要掌握.本考点一般出题考查难度中等，为 中等难度题，解答的关键是掌握线段成比例 和黄金分割. 判定四条线段是否成比例，只要把四条线段 按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与 后两条线段之比是否相等即可，求线段之比 时，要先统一线段的长度单位，最后的结果 与所选取的单位无关系．
7.如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同
学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好
在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身
高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相
距
米．
解析：设两个同学相距 x 米，
∵△ADE∽△ACB，
∴，
∴
，
解得：x=1．
答案：1．
8.如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三 边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边 形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、 AB=c． （1）求线段BG的长； （2）求证：DG平分∠EDF； （3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG 相似，求证：BG⊥CG．
为（ ）
A.（3，3）
B.（4，3）
C．（3，1）
D．（4，1）
解析：∵线段 AB 的两个端点坐标分别 为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB
缩小为原来的 后得到线段 CD， ∴端点 C 的坐标为：（3，3）． 答案：A．
★考点突破★
考点 1 比例线段（★★） 母题集训
．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
黄金分割点，也就是说，若此比值越接近
0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女
士身高为1.65 m，躯干与身高的比为0.60，为
了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那
6
整理ppt
★课前预习★
1.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，
AC
上，DE∥BC，已知
AE=6，
AD BD
=
3 4
，则
EC
的
长是（ ）
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
解析：∵DE∥BC，∴ AD = AE ， BD EC
即 6 = 3 ，解得 EC=8． EC 4
答案：B．
形被斜边上的高分成的两个三角形
与 原三角形 相似．补 充：若 CD 为
斜 边上的 高（如下图），则
且
(3)性质： ①相似三角形的对应角 相等 ．
②相似三角形的对应线段（边，高，中线，角平分线）
③相似三角形的周长比等于
相似比
于 相似比的平方
．
5
成比例 ． ，面积比等
整理ppt
3.相似多边形 (1)定义：各角对应相等，各边对应成比例，的两个多边形叫做相 似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． (2)性质： ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例． ②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 4．图形的位似 (1)位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在 直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点 叫位似中心，此时相似比又称位似比． (2)位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离比等于 位似比 ，位似图形周长的比等于 位似比 ；面积 比等于 位似比的平方 ．
试内容
未考
在近五年广州
市中考，本节
考查的重点是
相似三角形的判 相似三角形的
定与性质
判定与性质，
相似三角形的判 多与圆、二次
定与性质
函数、梯形、
相似三角形的判 三角形等综合
定与性质
考查，综合性
未考
较强，难度中
等偏难.
3
整理ppt
1.比例的基本性质
★考点梳理★
(1)两条线段的长度之比叫做两条线段的比.
（2）相似三角形的判定定理
①相似三角形的判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相似；②相似三
角形的判定定理 2：
三边对应成比例的两个三角形相似；③相似三角形的判定定理 3：两边对
应成比例且夹角相等的两个三角形相似．④平行于三角形一边的直线和其
他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．⑤直角三角
解析：∵D、E 分别为 AB、AC 的
中点，∴DE= BC，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，
答案：1：4．
整理ppt
4. （2014•佛山）若两个相似三角形的 面积之比为1：4，则它们的周长之比 为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
解析：∵两个相似三角形的面积之比为 1：4， ∴它们的相似比为1：2， ∴它们的周长之比为1：2． 答案A．
(2)在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，
那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段.
(3)若
或
，则 b 叫做 a，c 的比例中项．
(4)比例的基本性质：
(5)合比性质：
(6)等比性质： （7）黄金分割：如右图．
点 C 为线段 AB 上一点， ，若
. ，则点 C 为线段 AB 的黄金
7
整理ppt
2.（2014•邵阳）如图，在▱ABCD中，F 是BC上的一点，直线DF与AB的延长线 相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点 P，请从图中找出一组相似的三角 形： ．
解析：∵BP∥DF， ∴△ABP∽△AED． 答案△ABP∽△AED．
8
整理ppt
3. （2014•张家界）如图，△ABC中，D、 E分别为AB、AC的中点，则△ADE与 △ABC的面积比为 ．
第16节 相似三角形
1
整理ppt
★中考导航★
考纲要求 1. 理解比例的基本性质，理解线段的比、成比例线段，通过 建筑、艺术上的实例了解黄金分割． 比例的基本性质有：
2. 掌握相似图形的性质（相似多边形的对应角相等，对应边成 比例，面积的比等于对应边比的平方）． 3. 了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件． 4. 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．
5. 通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形 的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）．
2
整理ppt
考点 年份
1. 比 例线 段 2. 相 2013 似三 角形 2011 的判 定与 2010 性质 3. 位 似图 形
题型 分值
解 答3 题 解 答3 题 解 答3 题
近五年广州市考 高频考点分析
缩小为原来的 后得到线段 CD， ∴端点 C 的坐标为：（3，3）． 答案：A．
12
整理ppt
★考点突破★
考点 1 比例线段（★★） 母题集训
1. （2011 广东）将下图中的箭头缩小到原来 的1，得到的图形是（ ）
2
A． B． C．
D．
解析：∵图中的箭头要缩小到原来的1，
2
∴箭头的长、宽都要缩小到原来的1；
分割点，
，一条线段有 2 个黄金分割点．
（8）平行线分线段成比例定理：①平行线分线段成比例定理：三条平行
线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直 线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
4
整理ppt
2．相似三角形
(1)定义：对应角相等， 对应边 成比例的三角形叫做相似三角形．
10
整理ppt
5.（2014•武汉）如图，线段 AB 两个端点的 坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小
为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标
为（ ）
A.（3，3）
B.（4，3）
C．（3，1）
D．（4，1）
11
整理ppt
解析：∵线段 AB 的两个端点坐标分别 为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB
2
选项 B 箭头大小不变；选项 C 箭头扩大；选项
D 的长缩小、而宽没变1．3 答案：A．
整理ppt
中考预测
2. 美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，
但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀
称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这
个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至
肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的