线性代数讲义4_特征值与实对称矩阵的正交变换对角化(精简版)
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线性代数讲义4
特征值与实对称矩阵的正交变换对角化(精简版)
张宏浩
2015/10/22
1
相似矩阵
设
f ( x ) an x n
a1 x a0 ,
记
f ( A) a n A n
称 f (A) 为方阵 A 的多项式. 对于方阵
a1 A a0 E
B P 1 AP , 有 B k P 1 A k P , f ( B ) P 1 f ( A) P
2015/10/22 4
设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
其中
cn
c1 (a11 a22
ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. 注: 方阵 A 的特征多项式也记为 | AlE | , 除了可能差 一个负号外与 |lE A| 并无本质性的差异.
相似矩阵 设 A, B 为 n 阶方阵, 若存在可逆矩阵 P, 使
P 1 AP B
则称 B 是 A 的相似矩阵. 称 P 为相似变换矩阵.
• 矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.
2015/10/22 2
可相似对角化方阵的多项式计算 若存在可逆矩阵 P, 使 P1AP 为对角矩阵 L, 则称 方阵 A 可相似对角化. 此时有
2015/10/22
设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
其中
cn
c1 (a11 a22
ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. 定理2 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值). 证明 设 A 与 B 相似, 即有可逆阵 P, 使
2015/10/22 7
9 2 2 练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>> 2 4 6
解 方阵 A 的特征多项式为
|lE A|
l 9
2 2
2 2 l 6 4 4 l 6
l 9
2 2
2 0 l 9 2 0 l 6 l 10 4 l2 0 4 l 10 2 4 l 10
A P L P 1 , Ak P L k P 1 , f ( A) Pf ( L ) P 1
而对于对角阵 L diag(l1,…, ln), 有
k L k diag (l1k , , ln ), f ( L ) diag[ f ( l1 ), , f ( ln )]
由此可方便地计算 A 的多项式. 定理1 n阶方阵 A与对角阵 L diag(l1,…, ln) 相似 的充分必要条件是存在线性无关向量组 p1,…, pn 满足
Ap l p
那么称数 l 为 A 的特征值, 特征值 l 的特征向量. • p 为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量, 也即 p 为方 称非零向量 p 为 A 对应于
程组 (lE A) x 0 的任一非零解.
• l 为方阵 A 的特征值的充分必要条件是 |lE A | 0. • 对应于 n 阶方阵 A的特征值 l 有 nR(lEA) 个线性 无关的特征向量, 称属于 l 的线性无关特征向量组.
k 2
5
n
设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
源自文库其中
cn
c1 (a11 a22
ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. • 在复数范围内, n 阶方阵有 n 个特征值(重根按重数算). • 设 l1,…, ln 为 A 的所有特征值, 则有
Api li pi ( i 1,
提示: 当 P ( p1,…, pn )可逆时, 是 AP PL.
2015/10/22
, n) , ln pn )
3
P1AP L 的充要条件
AP ( Ap1 ,
, Apn ), PΛ (l1 p1 ,
方阵的特征值与特征向量
方阵的特征值与特征向量 设 A 为方阵, 如果存在数 l 和非零向量 p, 使
l a11
|lE A| a21 an1
a12 l a22 an 2
n n k k 2
a1n a2 n
l ann
l ( aii )l
n i 1 n n 1
(l a11 )
2015/10/22
(l ann ) bk l
ck l n k
P 1 AP B , 故
| l E B | | l E P 1 AP | | P 1 (l E A) P | | P 1 | | l E A | | P | | l E A |
推论 若对角阵L 是 A 的相似矩阵, 则L 以 A 的特征值 为对角元素.
(l 10)(l 2 11l 10) (l 1)(l 10)2
方阵 A 的特征值为
2015/10/22
l1 1, l2 l3 10.
8
9 2 2 练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>> 2 4 6
解 当 l1 1 时, 解方程组 ( E A) x 0. 由
| l E A | (l l1 )
特征值的性质 (1) (2)
(l ln ) l ( l i )l
n i 1
n
n 1
ck l n k
k 2
n
| A | l1
ln ;
ann . A 的迹, 记为 tr(A).
6
l1
ln a11 a22
特征值与实对称矩阵的正交变换对角化(精简版)
张宏浩
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相似矩阵
设
f ( x ) an x n
a1 x a0 ,
记
f ( A) a n A n
称 f (A) 为方阵 A 的多项式. 对于方阵
a1 A a0 E
B P 1 AP , 有 B k P 1 A k P , f ( B ) P 1 f ( A) P
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设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
其中
cn
c1 (a11 a22
ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. 注: 方阵 A 的特征多项式也记为 | AlE | , 除了可能差 一个负号外与 |lE A| 并无本质性的差异.
相似矩阵 设 A, B 为 n 阶方阵, 若存在可逆矩阵 P, 使
P 1 AP B
则称 B 是 A 的相似矩阵. 称 P 为相似变换矩阵.
• 矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.
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可相似对角化方阵的多项式计算 若存在可逆矩阵 P, 使 P1AP 为对角矩阵 L, 则称 方阵 A 可相似对角化. 此时有
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设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
其中
cn
c1 (a11 a22
ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. 定理2 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值). 证明 设 A 与 B 相似, 即有可逆阵 P, 使
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9 2 2 练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>> 2 4 6
解 方阵 A 的特征多项式为
|lE A|
l 9
2 2
2 2 l 6 4 4 l 6
l 9
2 2
2 0 l 9 2 0 l 6 l 10 4 l2 0 4 l 10 2 4 l 10
A P L P 1 , Ak P L k P 1 , f ( A) Pf ( L ) P 1
而对于对角阵 L diag(l1,…, ln), 有
k L k diag (l1k , , ln ), f ( L ) diag[ f ( l1 ), , f ( ln )]
由此可方便地计算 A 的多项式. 定理1 n阶方阵 A与对角阵 L diag(l1,…, ln) 相似 的充分必要条件是存在线性无关向量组 p1,…, pn 满足
Ap l p
那么称数 l 为 A 的特征值, 特征值 l 的特征向量. • p 为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量, 也即 p 为方 称非零向量 p 为 A 对应于
程组 (lE A) x 0 的任一非零解.
• l 为方阵 A 的特征值的充分必要条件是 |lE A | 0. • 对应于 n 阶方阵 A的特征值 l 有 nR(lEA) 个线性 无关的特征向量, 称属于 l 的线性无关特征向量组.
k 2
5
n
设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
源自文库其中
cn
c1 (a11 a22
ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. • 在复数范围内, n 阶方阵有 n 个特征值(重根按重数算). • 设 l1,…, ln 为 A 的所有特征值, 则有
Api li pi ( i 1,
提示: 当 P ( p1,…, pn )可逆时, 是 AP PL.
2015/10/22
, n) , ln pn )
3
P1AP L 的充要条件
AP ( Ap1 ,
, Apn ), PΛ (l1 p1 ,
方阵的特征值与特征向量
方阵的特征值与特征向量 设 A 为方阵, 如果存在数 l 和非零向量 p, 使
l a11
|lE A| a21 an1
a12 l a22 an 2
n n k k 2
a1n a2 n
l ann
l ( aii )l
n i 1 n n 1
(l a11 )
2015/10/22
(l ann ) bk l
ck l n k
P 1 AP B , 故
| l E B | | l E P 1 AP | | P 1 (l E A) P | | P 1 | | l E A | | P | | l E A |
推论 若对角阵L 是 A 的相似矩阵, 则L 以 A 的特征值 为对角元素.
(l 10)(l 2 11l 10) (l 1)(l 10)2
方阵 A 的特征值为
2015/10/22
l1 1, l2 l3 10.
8
9 2 2 练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>> 2 4 6
解 当 l1 1 时, 解方程组 ( E A) x 0. 由
| l E A | (l l1 )
特征值的性质 (1) (2)
(l ln ) l ( l i )l
n i 1
n
n 1
ck l n k
k 2
n
| A | l1
ln ;
ann . A 的迹, 记为 tr(A).
6
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ln a11 a22