实对称矩阵的特征值和特征向量 (2)

A 0 A 0 A 0 (4.11)
实对称矩阵特征值的性质
对最后一式取复数转置， 得到
T A 0 T
两边再右乘 ， 得到
定理4.12 实对称矩阵 的特征值都是实数。
T A 0 T 0 T 0 T (0 0 ) T 0
证明：设 1 ，2 是实对称矩阵 A 的不同特征值， 1 ，
2分别是属于特征值 1 ，2 的特征向量。
于是 A1 11 (1 0) ， A2 22 (2 0)
对上面第一式两边左乘

T 2
，
得到
2T
A1

1
T 2
1
而
（4.12）

T 2
A1

是实对称矩阵，特征值 1 2 1 （二重）对应特征 向量 (2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 和 3 8 对应特征向量 (1, 0, 1)T
都正交。 当然，(2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 彼此不正交，但可以通过
标准正交化方法 把它们化为标准正交组。
定理4.14 设 A 是阶 n 实对称矩阵, 则 存在正交阵 Q , 使 QT AQ Q1AQ 为对角阵.
及1与Q0 的各列向量都正交， 所以
1T
Q0T
AQ0 AQ0

Q11 AQ1

1
0
0 Q0T AQ0



1
0
0 A1
其中 A1 Q0T AQ0 为 n 1 阶实对称矩阵。 根据归纳法假设， 对 A1 存在 n 1 阶正交矩阵 Q2 使得
Q21A1Q2 Q2T A1Q2 diag(2 , 3 , , n )
注意：它们都是属于 i 的线性无关特征向量！！
第四步 令 Q (11,12 , ,1n1 , ,m1,m2 , ,mnm ) ，
则 Q 是正交阵, QT AQ Q1AQ 为对角阵， 且
n1 n2
nm
QT AQ Q1AQ diag(1, ,1 ,2 , ,2 , ,m , ,m )
令
Q3

1 0
0 Q2

Fra Baidu bibliotek
,
Q

Q1Q3
，
则 Q3,Q 均为 n 阶正交矩阵， 并且
Q 1 A Q

Q31 (Q11 A Q1 )Q3


1 0
0 Q2
1


1
0
0 1 A1 0
0 Q2


1 0
0 Q2 1


1
0
0 A1

1 0
0 Q2



1
0
0 Q2T A1Q2
diag(1, 2 , 3, , n )
这表明 Q 1 AQ 为对角矩阵。 根据数学归纳法原理，
对任意 n 阶实对称矩阵定理结论成立。
二、 实对称矩阵对角化方法
根据定理4.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。 具体步骤如下:
证明： 对矩阵 A 的阶数 n 用数学归纳法。 当 n 1 时, 定理结论显然成立. 假设对于所有 n 1 阶实对称矩阵来说定理成立。
下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。
设 1 是 A 的一个特征值，1 是属于特征值 1 的特征
向量,
显然单位向量 1

1
1
1
也是
A
特征向量. 故不妨设1是单位向量，
附注： 矩阵 主对角线元素（特征值！）排列顺序
与 Q 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。
§3.3 实对称矩阵特征值和特征向量
实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。
这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，永远可以对角化。
一、 实对称矩阵特征值的性质
定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。
证明：设 A 是n 阶实对称矩阵，0是矩阵 A 的在复数 域上的任一特征值，属于 0 的特征向量为
(a1, a2 , , an )T 则 A 0 ( 0) ，于是，两边取复数共轭得到
求出它的一个基础解系 i1,i2 , ,ini (i 1,2, , m) ； 第三步 利用施米特正交化方法，把 i1,i2 , ,ini
正交化，得到正交向量组 i1, i2 , , ini ，
再把 i1, i2 , , ini 单位化，得到一个 标准正交组 i1, i2, , ini ， (i 1,2, , m) ；
的属于 1 的 记 Q1 是以 1
为
第一列任意正交矩阵。把 Q1 分块为 Q1 (1,Q0 )， 其中
Q0 为 n (n 1) 矩阵。
则
Q11 AQ1

Q1T
AQ1


1T
Q0T
A(1,Q0 )


1T
Q0T
A1 A1
注意到
A1 11 1T1 1, A AT
第一步 对给定实对称矩阵 A ， 解特征方程，
det(E A) 0
求出 A 的所有特征值, 设 A 的所有不同的特征值为
1, 2 , , m
其中 i 为 ni 重的，n1 n2 nm n ； 第二步 对每个 i , 解齐次线性方程组 (i E A) X 0
( AT 2
)T
1

( A 2
)T
1

(2 2 )T
1

2
T 2
1
于是有
1
T 2
1

2
T 2
1

(1

2
)
T 2
1

0
这样，由1

2 得到

T 2
1

0，即 1
与
2
是正交的。
【注】实对称矩阵 A 的属于不同特征值的
特征向量相互正交的线性无关组。 例1 在§4.1中里4中，矩阵 3 2 4 A 2 0 2 4 2 3
由于 T 2 0 ，所以有
0 0 0 0 0 这样，0 是实数。由 0 的任意性，实对称矩阵 A 的 特征值都是实数。
附注：进一步地有，实对称矩阵 A 的属于特征值的 特征向量都是实数向量。
定理4.13 实对称矩阵 A 的属于不同
特征值的特征向量相互正交。