北师大版数学八年级上册导学案：7.3.2平行线的证明(练习案)
《新北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明学案》
活动 3：观察下列命题， ，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？ （1） 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； （2） 如果 a=b,那么 a2=b2； （3） 如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全 等。 结构特征： 结论：一般地，每个命题都由 知的事项， “ “ ”引出的部分是结论。 和 两部分组成。 是已
x 5 3 x ，那么 x=4； 2 3
， ，常常可以 ，这种例
。要说明一个命题是 而不具备命题的 。
（4） 两个锐角之和一定是钝角； （5） 如果 x 2 0 ，那么 x 0 ； （6） 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。 课堂检测： 指出下列命题的条件和结论分别是什么？各是什么命题？ （1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形； （3）直角三角形的两锐角互余； （4）两直线平行，同位角相等； 反思
2、n 为正整数时，n2+3n+1 的值一定是质数吗？
3、当 n 为整数时， （n+1）2－（n－1）2 的值一定是 4 的倍数吗？
作业： 1、已知 n 为正整数，你能肯定 2n+4－2n 一定是 30 的倍数吗？
2、观察各式规律： 12+（1×2）2+22=（1×2+1）2 22+（2×3）2+32=（2×3+1）2 32+（3×4）2+42=（3×4+1）2 写出第 2013 行的式子，第 n 行的式子，并验证你的结论。
”的形式，其中“
”引出的部分是条件，
即时练习：指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？ （1） 如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2） 如果 a≠b,b≠c,那么 a≠c; （3） 全等的三角形的面积相等； （4） 如果室外气温低于 0℃，那么地面上的水一定会结冰。 结论：一个命题有正确的和错误的，我们把正确的命题称为 不正确的命题称为 举出一个例子，使它具备命题的 子称为 即时训练： 指出下列各命题的条件和结论，并指出哪些是真命题，哪些是假命题，并 通过反例来说明假命题。 （1） 如果 5 月 4 日是星期一，那么 5 月 11 日也是星期一； （2） 三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3） 如果
八年级数学上册 北师大 第七章 平行线的证明
二、合作探究（理解）
1、画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考：画出的平行线，被第三条直线所截的同位角的关系是怎样的？
平行公理：两直线平行，同位角相等，你会证明吗？自学教材上关于它的证明。
2、利用平行公理，你能得到两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角有什么关系呢？
（2）菱形的四条边都相等；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）等角的余角相等；
（5）对顶角相等。
五、收获盘点（升华）
六、当堂检测（达标）
教材随堂练习1，2
七、课外作业（巩固）
1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。
②完成《练习册》中的本节内容。
2、思考题：
学习反思：
.
课题
定义与命题（二）
4、如图，A、B、C、D在同一直线上，AD∥EF．
(1)∠E＝78°时，∠1、∠2各等于多少度？为什么？
(2)∠F=58°时，∠3、∠4各等于多少度？为什么？
四、拓展延伸（提高）
五、收获盘点（升华）
证明命题的一般步骤：(1)根据题意画出图形（若已给出图形，则可省略）
(2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证；(3)经过分析，找出已知退出求证的途径，写出证明过程；(4)检查证明过程是否正确完善。
1、我们知道，一个平角等于180°.所以要验证三角形内角和是不是180°，我们可以把三角形的三个角拼在一起，看是否能组成一个平角.请你用准备好的三角形纸片进行验证，你能想到几种验证的方法？把你验证的结果用几何图形画出来：
【我来证明】
2、你能用几何语言写出上面的验证过程吗？你能想到几种证明方法？
北师大版数学八年级上册第7章平行线的证明学案
7.1 为什么要证明学习目标：1.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识. 2.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等学习重点：运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否． 学习难点：运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否 学习过程： 课前热身： 自主学习：（1）当n=0，1，2，3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n 2-n+11的值都是质数．填写下表，并回答问题．是一个质数，但当n=____ 时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性． （2）设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：)(16.021221m c c ≈=-+πππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头． 课堂小结：布置作业: 习题7.1 教学反思： 教师反思：学生反思：7.2.1 定义与命题学习目标：1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题.2.了解命题中的真命题、假命题的定义.学习重点：对命题语句特征的判断 学习难点：对命题语句特征的判断 学习过程：课前热身：1.下面的句子是定义的是（ ）A.对顶角相等 B 两点之间的线段长度叫做两点之间的距离 C.任何一个三角形一定有直角 D.锐角都小于钝角 2.下列句子中是命题的是（ ）A ．美丽的天空 B.过直线m 外一点作直线m 的平行线 C.你的作业做完了吗 D. 所有的合数都是偶数 3. 下列句子中，哪些是命题，哪些不是命题 （1）对顶角相等（2）如果是有理数，那么12a ＞0； （3）两个锐角和大于直角 （4）任何一个三角形一定有直角 （5）1是质数（6）不相交的两条线叫做平行线 （7）奇数一定是质数吗？ （8）画一个半径是1cm 的圆 （9）任何数的绝对值都是正数 （10）两点能确定一条直线吗？自主学习：命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定。
八年级数学上册第七章平行线的证明7.3平行线的判定教案北师大版(2021年整理)
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平行线的判定课题平行线的判定课时安排共（1 )课时课程标准172-174学习目标1．会用“同位角相等，两直线平行"证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．2．会用平行线的三个判定定理解决问题．教学重点平行线的三个判定定理．教学难点灵活应用平行线的三个判定定理解决问题．教学方法合作交流法教学准备让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．课前作业前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实,你能证明它们吗？试试看．教学过程教学课堂合作交流二次备课(修改人：）环节一先阅读教材第172页定理1的内容及其证明过程，然后完成下面的问题．问题1如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2当∠1＝∠2时,直线a、b有什么关系？为什么?课中作业证明:∵∠1＝∠2(已知），∠1＝∠3（对顶角相等）．∴∠3＝∠2(等量代换）．∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．环节二如下图，∠2与∠3是什么位置关系？课中作业环节三已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论．仿例：如图所示，一个合格的弯形管道经两次拐弯后，如果∠C＝68°，∠B＝112°，则AB与CD的位置关系是__平行__，理由是__同旁内角互补，两直线平行__．课中作业1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究"得出的“结论"展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论"展示在黑板上，通过交流“生成新知"．课后作业设计：课本177页习题（修改人： )板书设计：平行线,的判定)错误!教学反思：本节课通过经历探索平行线的判定方法的过程,发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式．。
北师大版八年级上第七章平行线的证明导学案
7.1为什么要证明学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解通过观察、猜测得到的结论不一定正确；2、要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.【重点难点】要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理. 知识概览图你能肯定吗⎪⎩⎪⎨⎧推理举出反例实验验证新课导引观察下图中的图形．图(1)中AB ，CD 的位置关系是怎样的?图(2)中线段a 与b 相等吗?图(3)中线段d 与a ，b ，c 哪一条在同一直线上?【问题探究】 观察图形，图(1)中AB ∥CD ，图(2)中线段a ＝b ，图(3)中线段d 与a 在同一条直线上，那么你知道用什么方法来检验对上述问题回答的正确与否呢?点拨 对于上面观察得到的数学结论可以用实验验证后加以检验． 教材精华知识点 观察和实验得到的结论可靠吗教材中首先给出了一个几何问题，经过反复画不同形状的四边形，反复度量，可能会得出“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”的结论，但是我们的度量准确吗?我们所画的几个四边形有足够的代表性吗?我们的结论肯定能成立吗?教材中给出的第二个例子是“对于所有自然数n ，n 2-n +11的值都是质数吗?”这是一个十分容易得出错误结论的问题．事实上，当n =0，1，2，…，9，10时，n 2-n +11的值都是质数，而当n ＝11时，n 2-n +11＝112变成了合数．当我们依次对自然数进行实验时，若次数达不到11，则很可能得出错误结论．教材中给出的第三个例子是“用一根比地球赤道长1 m 的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一颗红枣吗?能放进一个拳头吗?”这个问题若凭直觉去判断，偌大一个地球，围赤道的铁丝仅比赤道长1 m ，那还剩什么间隙了，但实际计算一下，又会让人感到意外，铁丝与地球赤道之间的间隙为(C 表示赤道的周长)π＝ππ21221C C -+≈0.16(m)，这样的间隙不仅可以放进一颗红枣，而且也能放进一个拳头．通过上面几个例子，会使我们产生这样的认识：通过观察、验证、归纳、猜想所得出的结论未必是正确的，是值得怀疑的．这样就引出了一个问题——如何判断一个数学结论的正确与否呢?拓展 (1)依靠经验、观察或实验能发现一些数学结论．(2)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须进行推理，这也就是证明的必要性．(3)检验数学结论的常用方法：①实验验证；②举出反例；③推理．(4)遇到问题要大胆猜测并尝试用所学知识证明结论．课堂检测基础知识应用题1、当n 为正整数时，式子n 2+n +41的值都是质数吗?综合应用题2、观察下列各式及其验证过程．.833833322322++＝；＝验证： 3.833133)13(3133)33(838322233+=-+-=-+-==(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4154的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式所反映的规律，写出用n (n 为任意自然数，且n ≥2)表示的等式，并进行验证．探索创新题3、如图6-2所示，线段AM ∥DN ，直线l 与AM ， DN 分别交于点B ，C ，直线l 绕BC 的中点P 旋转(点C 由 D 点向N 点方向移动)．(1)线段BC 与AD ，AB ，CD 围成的图形在初始状态下，形状是△ABD (即△ABC )，请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形的名称；(2)任取变化过程中的两个图形，测量AB ，CD 的长度后，分别计算每一个图形中的AB +CD (结果精确到1 cm)，比较这两个和是否相等，试说明理由．体验中考1、如图6-5所示的是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n (n 是正整数)个图案中由个基础图形组成．2、如图6—6所示，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE ＝AB ，过点C 作CF ⊥DE ，垂足为E ．(1)猜想AD 与CF 的大小关系； (2)请证明猜想的结论．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 本题主要考查举出反例的方法来判断问题．解：当n ＝40时，式子n 2+n +41＝402+40+41＝412，412不是质数． ∴当n 为正整数时，式子n 2+n +41的值不都是质数． 【解题策略】 解此题的方法是举出反例对问题作出判断．2.解：（1）4，＝1544154验证：4.15441441441444415415422233+-+--+-＝）（＝）（＝＝(2)由题设及(1)可猜想：对于任意自然数n (n ≥2)，都有n,1122-+=-n nn n n验证：n 1)1(1)(112223232-+-=-+-=-=-n nn n n nn n n n n n＝.12-+n nn 【解题策略】 此题运用由特殊到一般的思想对问题作出猜想，并加以推理论证．3、分析 此题用动态的思维方式来研究图形的变化情况．CB 以中点P 为中心，点C 由D 点向N 点移动，且CB 是按顺时针方向旋转的． 解：(1)其余的各种特殊四边形分别为一般梯形、等腰梯形、直角梯形和平行四边形．(2)经测量、计算，两个图形中的AB +CD 都相等．如图6-3所示，过点P 作PP ′∥AM ，交AD 于点P ′，∴PP ′是梯形AB 1C 1D 的中位线，∴AB 1+C 1D ＝2PP ′．同理AB 2+C 2D ＝2PP ′， ∴这两个和是相等的． 体验中考1、 分析 第(1)个图中有4个基础图形，即3×1+1． 第(2)个图中有7个基础图形，即3×2+1． 第(3)个图中有10个基础图形，即3×3+1． 第(4)个图中有13个基础图形，即3×4+1． ……第n 个图中有3·n +1＝3n +1．故填3n +1．【解题策略】 解决本题的关键是准确地找出其中的规律．2、 分析 通过观察，再根据已知条件，可猜想AD ＝CF ．再运用理论进行推理论证猜想的结论正确．解：(1)AD ＝CF ．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ∥AB ， ∴∠AED ＝∠FDC ， ∵DE ＝AB ＝CD ．又∵CF ⊥DE ，∴∠CFD ＝∠A ＝90°，在△AED 和△FDC 中，(∠A ＝∠CFD ，∠AED ＝∠FDC ， DE ＝DC )， ∴△AED ≌△FDC ，∴AD ＝CF ．7.2定义与命题学习目标、重点、难点【学习目标】1、 定义和命题的含义；会判断某些语句是不是命题；2、 了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论；3、 了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；【重点难点】1、定义和命题的含义2、命题的构成，能区分命题中的条件和结论3、命题中的真命题、假命题、定理的含义知识概览图定义与命题⎩⎨⎧在数学中的应用证明的概念定理公理命题的条件与结论命题定义、、、、、新课导引我们前面学习了很多数学语句，如：能使方程成立的未知数的值，叫做方程的解；三角形的内角和等于180°． 【问题探究】 阅读上述语句你发现有什么特点?点拨 第一句是对“方程的解”的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出“方程的解”的定义；第二句是判断一件事情的句子，我们把它叫做命题．教材精华知识点1 定义对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．例如：“有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角；是“对顶角”的定义.拓展在定义中，必须提示该事物与其他事物的本质属性的区别，定义必须严密．知识点2 命题判断一件事情的句子，叫做命题．例如：张平的爸爸是劳动模范；同位角相等，两直线平行；老虎会爬树；小红每次考数学，成绩都是全班第一．这些都是命题．知识点3 命题的条件和结论每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．例如：命题“如果a＝b，b＝c，那么a＝c”中，“a＝b，b＝c”是条件，“a＝c”是结论．又如：命题“矩形的四个顶角都相等”中，“矩形”是条件，“四个顶角都相等”是结论.知识点4 真命题与假命题正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．例如：“如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”是真命题；“菱形的四个角都相等”是假命题；“等边三角形的三个内角都是60°”是真命题．要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．当说明一个命题是假命题时，常举一个反例．例如：“若a2=b2，则a＝b”这一命题，我们知道(-2)2＝22，但-2≠2，由此可判断“若a2＝b2，则a＝b”是假命题．知识拓展“错误的命题不是命题”是错误的，实际上错误的命题也是命题.知识点5 公理、定理、证明挑选一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理．除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明．经过证明的真命题称为定理．本套教材所选用的公理如下．1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．3．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．4．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．5．三边对应相等的两个三角形全等．6．全等三角形的对应边相等、对应角相等．此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理．例如：“如果直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c“那么a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”是定理．又如：“经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等”是定理．如何证明将在以后的几节中介绍．课堂检测基础知识应用题1、判断下列句子是不是命题．(1)人离不开空气；(2)洪水滔滔；(3)若a>b，b>c，则a>c；(4)自然数不是负数；(5)我们现在学习的图形主要是平面图形；(6)延长线段AB；(7)梯形中没有相互平行的线段．2、下列命题的条件是什么?结论是什么?是真命题还是假命题?(1)每一个有理数都对应数轴上的一个点；(2)一个三角形的三个内角中，可能有两个钝角；(3)小红的三角板中有—个钝角；(4)任何一条线段都是由无数个点组成的．综合应用题3、下列语句中，哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题．指出它是真命题还是假命题．(1)小于直角的角是锐角；(2)一个角的补角只有一个；(3)∠l与∠2是同旁内角吗?(4)直线AB与CD相交于点C；(5)平面内两条相交直线不可能垂直于同一条直线．探索创新题4、某中学开田径运动会，其中一个项目是由5名运动员进行100米短跑比赛，赛后5名观众介绍了这场比赛结果：甲说：“A是第二名，B是第三名．”乙说：“C是第三名，D是第五名．”丙说：“D是第一名，C是第二名.”丁说；“A是第二名，E是第四名．”戊说：“B是第一名，E是第四名．”他们最后都声明：“我们的话只有一半是真的．”求这5名运动员的名次究竟各是多少.体验中考1、判断下列两个结论：①正三角形是轴对称图形，②正三角形是中心对称图形，正确的是( )A. ①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确2、已知下列命题：①若|x|＝3，则x＝3；②当a>b时，若c>0，则ac>bc；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④矩形的两条对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) A．1个B．2个C．3个D．4个学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析看一个句子是不是命题，主要看这个句子里是否隐含着条件和结论这两个部分，或者这个句子能否改写咸“如果……那么……”的形式．解：(1)是．(2)不是．(3)是．(4)是．(5)是．(6)不是．(7)是．【解题策略】根据命题的概念及结论来判断2解：(1)条件是“每一个有理数”，结论是“都对应数轴上的一个点”．是真命题．(2)条件是“一个三角形的三个内角中”，结论是“可能有两个钝角”．是假命题．(3)条件是“小红的三角板”，结论是“其中有一个钝角”．是假命题．(4)条件是“任何一条线段”，结论是“都是由无数个点组成的”．是真命题．3、分析命题是判断某一件事情的句子，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是正确的还是错误的，因此疑问句或一般陈述句都不是命题，即(3)(4)都不是命题．命题中如果结论正确就是真命题，如果结论错误就是假命题，而不必管其语句的形式是肯定还是否定．在本题所给的语句中，(2)显然是混淆了补角与邻补角的概念，所以(2)是假命题．解：(1)(2)(5)是命题；(1)(5)是真命题；(2)是假命题．【解题策略】首先找出命题，再从命题中指出真命题；学会利用反例来证明一个命题是错误．4、分析我们将5名观众介绍的结果列成表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍半真半假，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况(分别见表1和表2)．解：①若甲认为A 为第二名是真的，则B 为第三名是假的，这样可以依次推出：丙认为D 为第一名是真的，丁认为E 为第四名是假的，戊认为B 是第一名是真的，这样B ，D 都是第一名．从而产生了矛盾，这种情况应舍去(见表1)．②若甲认为A 为第二名是假的，则B 为第三名是真的，这样可以依次推出：乙认为D 为第五名是真的，丙认为C 为第二名是真的，丁认为E 为第四名是真的，戊认为B 为第一名是假的(见表2)．所以A ，B ，C ，D ，E 的名次分别为1，3，2，5，4．体验中考1、分析 本题是考查轴对称图形和中心对称图形的概念，正三角形是轴对称图形，有三条对称轴，但它不是中心对称图形而是旋转对称图形．故选C ．解题策略 解决本题的关键是把握好轴对称图形和中心对称图形的概念.2、分析 原命题与逆命题均为真命题的有②③．故选B ．7.3为什么它们平行学习目标、重点、难点【学习目标】1、 熟练掌握证明的基本步骤和书写格式；2、 会根据“同位角相等，两直线平行”（公理）证明“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”（定理），并能应用这些结论. 【重点难点】1、 证明的基本步骤和书写格式2、 两直线平行的判定公理及两个判定定理知识概览图为什么它们平行⎩⎨⎧的几何问题利用已有知识证明简单及两个判定定理的证明两直线平行的判定公理新课导引同学们在物理中学到了潜望镜，如右图所示，在镜管中，AB 与CD 是两块与水平方向成45°角的平面镜，这样水面上的光线就可以进入到人的眼睛．【问题探究】观察上图可知入射光线与射入到人眼的光线是平行的，你知道它们为什么平行吗?点拨因为内错角相等，两直线平行.教材精华知识点1 两直线平行的判定公理及两个判定定理两直线平行的判定公理．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．两直线平行的判定定理．(1)两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．知识点2 利用已有知识证明简单的几何问题证明步骤：(1)根据题意画出图形；(2)依照所画图形，将条件写为已知，结论写为求证；（3）根据已有的定义、定理进行推理论证．知识拓展(1)当题中给出图形、已知、求证时，直接论证即可；(2)为了方便，在证明过程中，用“∵”’代替因为，“∴”代替所以．分别读作因为、所以．规律方法小结1．有关平行线的判定如下表：（推论的概念以后将学到）2．证明两条直线平行有以下几种方法：(1)从“角”的方面去考虑，即去找同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补．(2)证平行四边形，得对边平行.（3）三角形三条中位线分别平行于三边．(4)梯形中位线平行于两底．(5)证比例线段，得两直线平行.课堂检测基础知识应用题1、如图6-14所示，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°．其中能判定a∥b的是( )A．①②③④B．①③④C．①③ D. ②④综合应用题2、如图6-16所示，根据图形及上下文的含义推理并填空．(1)∵∠A＝(已知)，∴AC∥ED( )；(2)∵∠1＝(已知)，∴AC∥ED( )；(3)∵∠A+ ＝180°(已知)，∴AB∥FD( )；(4)∵∠1+ ＝180°(已知)，∴AC∥DE( )．探索创新题3、已知如图6-18所示，∠1＝∠2，OE⊥OA于点O，EH⊥CD于点H，∠5＝∠6．求证BE∥AO．体验中考1、如图6-20所示，已知∠l＝∠2，∠3＝55°，则∠4的度数是( )A．110°B．115°C．120°D．125°2、如图6-2l所示，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1＝130°，则∠2等于( )A．40°B．50°C.130°D．140 °学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查判断两直线平行的方法及对顶角、邻补角的性质．∵∠1＝∠2，∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．∵∠4+∠7＝180°，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．∵∠2＝∠3，∴∠5+∠3＝∠5+∠2＝180°，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．故选B.解题策略熟练掌握平行线判定方法.2分析本题主要考查两直线平行的判定方法．答案：(1)∠BED同位角相等，两直线平行(2)∠DFC内错角相等，两直线平行(3)∠AFD同旁内角互补，两直线平行(4)∠DFA同旁内角互补，两直线平行.【解题策略】灵活运用平行线的判定方法．3、证明：∵OE⊥OA，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠4＝90°．又∵EH⊥CD，∴∠4+∠6＝90°．∴∠1＝∠6．又∵∠5＝∠6，∴∠1＝∠5．又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠2．∴BE∥AO(内错角相等，两直线平行)．【解题策略】要证BE∥AO，则需找BE，AO被OB所截得到的内错角，即证∠2=∠5即可.4、分析我们将5名观众介绍的结果列成表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍半真半假，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况(分别见表1和表2)．解：①若甲认为A 为第二名是真的，则B 为第三名是假的，这样可以依次推出：丙认为D 为第一名是真的，丁认为E 为第四名是假的，戊认为B 是第一名是真的，这样B ，D 都是第一名．从而产生了矛盾，这种情况应舍去(见表1)．②若甲认为A 为第二名是假的，则B 为第三名是真的，这样可以依次推出：乙认为D 为第五名是真的，丙认为C 为第二名是真的，丁认为E 为第四名是真的，戊认为B 为第一名是假的(见表2)．所以A ，B ，C ，D ，E 的名次分别为1，3，2，5，4．体验中考1、分析 本题主要考查直线截平行线所成角的位置关系，由图6—20可知∠4＝∠5，∠2＝∠6，由∠1＝∠2可知∠1＝∠6，故l 1∥l 2，所以∠3+∠5＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，故∠4＝∠5＝180°-∠3＝180°-55°＝125°.故选D.2、分析 因为AB ∥CD ，∠l 与∠2为同位角，所以∠2＝∠l ＝130°．故选C ．7.4平行线的性质学习目标、重点、难点【学习目标】1、 了解平行线性质定理和判定定理在条件和结论上的区别，体会互逆的思维过程；2、 能熟练应用平行线的性质公理及定理【重点难点】两直线平行的性质公理及两个性质定理知识概览图如果两条直线平行⎩⎨⎧的几何问题利用已有知识证明简单及两个性质定理两直线平行的性质公理新课导引你能测量如右图所示的斜坡的倾斜程度吗?工人师傅是这样做的：将量角器斜放在坡面上，取中心点引直线BC ，当BC 平行于水平面时，这时得到的角β的度数就是坡角α的度数.教材精华知识点两直线平行的性质公理及两个性质定理两直线平行的性质公理.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等(两直线平行，同位角相等)．两直线平行的性质定理．(1)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等(两直线平行，内错角相等)．(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补(两直线平行，同旁内角互补)平行线的性质补充结论．(1)垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一条直线．(2)夹在两平行线问的平行线段相等．(3)两条平行线间的距离处处相等.(4)经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．(5)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或者互补.课堂检测基础知识应用题1、如图6-31所示，已知∠3＝∠4，若要使∠l＝∠2，则需( )A．∠l＝∠3 B. ∠2＝∠3C. ∠l＝∠4 D．AB∥CD综合应用题2、已知如图6-34所示，AB∥CD，∠1＝∠3．求证AC∥BD．探索创新题3、已知如图6-38所示，C，P，D在同一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1＝∠2．求证∠E＝∠F．体验中考1、如图6-40所示，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB，若∠AEC＝100°，则∠D等于( )A．70°B．80°C．90°D．100°学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析当AB∥CD时，∠1+∠3＝∠2+∠4(两直线平行，内错角相等)．又∠3＝∠4，所以∠1＝∠2．故选D.【解题策略】把已知条件和要求证的结论在一起分析可知，需要∠BAD＝∠CDA，因此需条件AB∥CD2.证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠3(已知)，∴∠3＝∠2(等量代换)．∴AC∥BD(同位角相等，两直线平行)．【解题策略】此题在证明过程中首先使用了平行线的性质定理，然后又使用了平行线的判定公理，使证明的过程有了初步的综合性.3、分析图中线段较多，所注字母也较多，应思路清晰．题中要证∠E＝∠F，显然必须先证AE∥FP，而要证得此结论，只有一对内错角可入手；再由已知两角互补能推出AB∥CD，这时能得出内错角∠BAP＝∠APC，再加上∠1＝∠2，便可推出所要证的结论．证明：∵∠BAP与∠APD互补(已知)，∴AB∥CD(同旁内角互补．两直线平行)．∴∠BAP＝∠APC(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠EAP ＝∠BAP -∠2＝∠APC -∠1＝∠APF (等式的性质)． ∴AE ∥FP (内错角相等，两直线平行)． ∴∠E ＝∠F (两直线平行，内错角相等)．【解题策略】 两条直线平行的判定、性质的应用，注意它们的区别． 体验中考1、分析 由题意知∠D ＝∠BEC ＝180°-∠AEC =180°-100°＝80°．故选B ．7.5三角形内角和定理的证明学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用2、体会思维实验和符号化的理性作用【重点难点】“三角形内角和定理”的证明及其简单应用知识概览图三角形内角和定理⎩⎨⎧用三角形内角和定理的应明三角形内角和定理的证新课导引在探究“勾股定理”时，我们应用拼图的方法，如右图所示，图形I 与Ⅱ是30°角的直角三角板，图形Ⅲ是45°角的直角三角板，由面积公式得2212122)b a )((c ab b a +⨯=++，所以a 2+b 2=c 2．教材精华知识点1 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°． 拓展 直角三角形两锐角互余． 知识点2 三角形内角和定理的证明 已知△ABC ，如图6-58所示． 求证∠A +∠B +∠C ＝180°．证法1：如图6-58所示，作BC 的延长线CD ，过点C 作CE ∥BA ，则∠1＝∠A ，∠2＝∠B ．∵∠1+∠2+∠ACB ＝180°，∴∠A +∠B +∠ACB ＝180°．证法2：如图6-59所示，过点A 作PQ ∥BC ，则∠1＝∠B ，∠2＝∠C ．∵∠1+∠2+∠BAC =180°，∴∠BAC +∠B +∠C =180°.本定理还有多种证法，如图6-60所示，过点P (点P 在三角形的一边上或三角形内部或三角形外部)作AB ，BC ，CA 的平行线，你发现如何证明了吗?试一试吧!拓展 三角形内角和定理的证明思路：作平行线转移三角形的一个或两个或三个内角，构造平角．课堂检测基本概念题1、如图6-61所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，试说明∠A +∠B =90°．基础知识应用题2、如图6-62所示，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A =35°，则∠BDC 的度数为 ．综合应用题3、已知如图6-65所示，AB∥CD．求证∠P＝∠A+∠C．探索创新题4、在△ABC中，∠B比∠A的2倍少5°，∠C比∠A多21°，求∠A，∠B，∠C的度数．体验中考1在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为( )A．30°B．40°C．50°D．60°2、若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°．【解题策略】也就是说“直角三角形两锐角互余”.2.分析本题主要考查三角形内角和定理．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A=35°，∠1=20°，∴∠2＝25°，∴∠DBC+∠DCB＝100°．在△BCD中，∠BDC＝180°-∠DBC-∠DCB＝80°．故填80°．【解题策略】灵活运用三角形内角和定理．3、分析连接AC，构造三角形，应用三角形内角和定理及平行线性质进行证明．证明：如图6-65所示，连接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°．即∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠PCD＝180°．∵∠CAP+∠ACP+∠P＝180°，∴∠P+180°-∠BAP-∠PCD＝180°，∴∠P＝∠BAP+∠PCD．【解题策略】此题作辅助线的方法很多，可以过点P作AB或CD的平行线，也可以延长AP(或延长CP)均可解决此题.4、分析本题考查三角形内角和定理与方程的综合应用.根据题意列出方程，解方程即可求出各角的度数．解：设∠A等于x°，则∠B＝(2x-5)°，∠C＝(x+21)°．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x°+(2x-5)°+(x+21)°＝180°．解这个方程，得x＝41．∴2x-5＝2×41-5＝77，x+21＝41+21＝62．∴∠A＝41°，∠B＝77°，∠C＝62°．【解题策略】运用方程思想解决几何问题.体验中考1、分析本题主要考查三角形内角和定理，∠A＝180°-∠B-∠C=60°．故选D．2、分析本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理．50°角既可以作为顶角也可以作为底角．当50°角作为底角时，顶角为180°-2×50°＝80°，所以这个等腰三角形的顶角的度数为50°或80°．故选D。
2019版八年级数学上册 第七章 平行线的证明 7.3 平行线的判定学案(新版)北师大版
2019版八年级数学上册第七章平行线的证明 7.3 平行线的判定学案（新版）北师大版3. 平行线的判定：⑴________相等，两直线平行；⑵________相等，两直线平行；⑶________互补，两直线平行；⑷平行于同一条直线的两条直线互相______.四、课堂探究——质疑解疑、合作探究简述为：__________________________.已知：∠1和∠2是直线被直线c截出的内错角，且∠1=∠2，求证：∥证明：2019版八年级数学上册第七章平行线的证明7.3 平行线的判定学案（新版）北师大版3. 平行线的判定：⑴ ________相等，两直线平行；⑵________相等，两直线平行；⑶________互补，两直线平行；⑷ 平行于同一条直线的两条直线互相______. 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点1：平行线判定定理的证明你能利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，证明“内错角相等，两直线平行”吗？定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述为：__________________________.已知：∠1和∠2是直线,a b 被直线c 截出的内错角，且∠1=∠2，求证：a ∥b证明：你能利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，证明“同旁内角互补，两直线平行”吗？定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简述为：__________________________.已知：∠1和∠2是直线,a b 被直线c 截出的同旁内角，且∠1与∠2互补. 求证：a ∥b证明：例题：如图1，能判定AB ∥CD 的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠3=∠4C ．∠1=∠4D ．∠2=∠3A 41BEDA1练习：1. 如图2，能判定直线AB∥CD的条件是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠4=180°D．∠3+∠4=90°2．如图3，∠1=∠2，则下列结论正确的是（）A．AB∥CD B．AD∥BC C．AB∥CE D．AD ∥CE探究点2：平行线判定定理的综合应用例题：如图，∠AOB=120°，∠OBD=30°，OA⊥AC，求证：AC∥DB•练习：1. 如图，已知∠OEB=130°，∠FOD=25°，OF平分∠EOD，求证：AB∥CD．2．如图，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，求证：BF∥CE．探究点：平行线判定定理的实际应用例题：木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，a∥b，你能说明是什么道理吗？练习：物理实验发现：光线从空气射入玻璃中，会发生折射现象，•光线从玻璃射入空气中，同样也会发生折射现象．如图所示的是光线从空气射入玻璃中，再从玻璃射入空气中的示意图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，那么光线AB与CD是否平行？并说明理由．五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1．如图4，点E在AD•的延长线上，•下列条件中不能判断AB∥CD的是（）A．∠3=∠4B．∠A+∠ADC=180°C．∠1=∠2D．∠A=∠52．如图5，在下列条件中不能判断L1∥L2的是（）A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠4+∠5=180°D．∠2+∠4=180°3．如图6，能说明AD∥BC的条件是（）A．∠2=∠3B．∠1=∠4C．∠1+∠2=∠3+∠4D．∠A+∠C=180°4．如图7，能说明AB∥DE的有（）①∠1=∠D；②∠CFB+∠D=180°；③∠B=∠D；④∠BFD=∠D．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图8，下列条件中，不能判定直线AB∥CD 的是（）A．∠BAD=∠ADCB．∠A EC=∠ADCC．∠A EF=∠GCED．∠A EC+∠GCE=180°6．如图9,不能说明AE∥BD的有（）A．∠1=∠2B．∠A=∠CBDC．∠BDE+∠DEA=180°D．∠3=∠47. 如图10,下列条件中,能判断AB∥CD的是( )A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD8．如图，已知DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，∠1=∠2，∠ADC=∠ABC，那么AB与CD 平行吗？说明你的理由．图9图8图5 图4图6 图734DCBA21图10。
BS北师版 初二八年级数学 上册第一学期秋季(导学案)第七章 平行线的证明(全章 分课时)
第七章 平行线的证明 7.1 为什么要证明一、自主预习（感知）课前收集有关哥德巴赫猜想的相关资料，上课时与同伴交流二、合作探究（理解）1、某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n 2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流． 提示：可列表归纳n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n 2-n+11 是否为质数2、如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？三、轻松尝试（运用）1.如图中两条线段a 与b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.第1小题图 第2小题图2.如图中三条线段a 、b 、c ,哪一条线段与线段d 在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.3.当n 为正整数时，n 2+3n +1的值一定是质数吗？四、拓展延伸（提高）五、收获盘点（升华）要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推理六、当堂检测（达标）教材P164页，习题7.1 1，2，3七、课外作业（巩固）1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。
②完成《学练优》中的本节内容。
2、思考题：7.2 定义与命题第1课时定义与命题学习目标：1．了解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义2．会区分命题的条件和结论一、学习过程：情景引入自学指导：独立完成下列问题，小组内完成统一（5分钟）2.如图表示某地的一个灌溉系统图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一化工厂，如果他们向河中处理污水，下游河水便会受到污染。
如果B处水流受到污染，那么____处水流便受到污染;如果C处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；二、新知学习：自学指导：阅读165页内容，完成下列问题（10分钟）1.上面“如果……那么……”都是对事情进行判断的句子_________________________,叫做命题例如：熊猫没有翅膀. 对顶角相等. 你还须能举出这样的例子吗？2.举出一些不是命题的句子3.观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
北师大版八年级数学上册第7章平行线的证明7.4平行线的性质学案
7.4 平行线的性质学习内容（学习过程）一、自主预习（感知）1、七年级时我们学过两条直线平行的性质？它们是：2、一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠B是130°，第二次拐的角∠C是多少度？二、合作探究（理解）1、画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考：画出的平行线，被第三条直线所截的同位角的关系是怎样的？平行公理：两直线平行，同位角相等，你会证明吗？自学教材上关于它的证明。
2、利用平行公理，你能得到两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角有什么关系呢？你能证明它们吗？（1）证明：两直线平行，内错角相等（2）证明：两直线平行，同旁内角相等3、议一议：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？三、轻松尝试（运用）1、已知平行线AB、CD被直线AE所截(1)若∠1=110°,可以知道∠2是多少度吗？为什么？(2)若∠1=110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？(3)若∠1=110°，可以知道∠4是多少度吗，为什么？2、如图是梯形有上底的一部分，已知量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？3、如图，已知直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°(1)∠DAB等于多少度？为什么？(2)∠EAC等于多少度？为什么？(3)∠BAC、∠BAC＋∠B＋∠C各等于多少度？4、如图，A、B、C、D在同一直线上，AD∥EF．(1)∠E＝78°时，∠1、∠2各等于多少度？为什么？(2)∠F=58°时，∠3、∠4各等于多少度？为什么？四、拓展延伸（提高）五、收获盘点（升华）证明命题的一般步骤：(1)根据题意画出图形（若已给出图形，则可省略）(2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证；(3)经过分析，找出已知退出求证的途径，写出证明过程；(4)检查证明过程是否正确完善。
八年级数学上册 第七章 平行线的证明导学案2(新版)北师大版
八年级数学上册第七章平行线的证明导学案2（新版）北师大版2、了解定义、命题、公理和定理的含义、3、平行线的性质定理和判定定理、4、三角形的内角和定理及推论、5、使学生在证明过程中积极投入，全力以赴，享受合作的快乐。
重点：1、平行线的性质定理和判定定理的应用、2、三角形内角和定理及其推论的应用、3、证明的步骤及书写格式、难点：证明过程的书写、一、梳理本章的知识结构图、（举例说明）本章重点：证明一个命题是真命题的基本步骤是：（1）根据题意，（2）根据条件、结论，结合图形，（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，专题研究：1、下列语句中，是命题的为()、A、延长线段AB到CB、垂线段最短C、过点O作直线a∥bD、锐角都相等吗判断的依据是、2、下列命题中是真命题的为()、A、两锐角之和为钝角B、两锐角之和为锐角C、钝角大于它的补角D、锐角大于它的余角3、下列四个命题中，真命题有()、(1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等、(2)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2、(3)一个角的余角一定小于这个角的补角、(4)如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补、A、1个B、2个C、3个D、4个解题方法：4、“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是()、A、两条直线B、交点C、两条直线相交D、只有一个交点5、“同角的余角相等”的题设是__________，结论是__________。
解题方法：。
6、若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍，等于与它相邻的内角的2倍，则三角形各角的度数为( )、A、45，45，90B、30，60，90C、25，25，130D、36，72，72应用的知识点有：。
7、如图所示，∠B＝∠C，则∠ADC与∠AEB的大小关系是()、A、∠ADC＞∠AEBB、∠ADC＝∠AEBC、∠ADC＜∠AEBD、大小关系不能确定应用的知识点是：8、补充理由:如图所示，若∠1+∠2=180，∠1=∠3，EF与GH 平行吗？解：EF∥GH,理由如下∠1+∠2=180（）∴AB∥_______（）又∠1=∠3（）∴∠2+∠________=180（）∴EF∥GH （）9、如图所示，已知直线BF∥DE，∠1＝∠2，求证：GF∥BC、解题技巧：要求两直线平行，需找。
北师大版初中数学八年级上册《第七章 平行线的证明 4 平行线的性质》 赛课导学案_0
《平行线的性质》教学设计【内容】北师大版八年级上册第七章第四节《平行线的性质》【基于标准】1.掌握平行线的性质定理：两平行直线被第三条直线所截，同位角相等.了解平行线性质定理的证明.2.探索并证明平行线的性质定理：两平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.3.了解平行于同一直线的两直线平行.【基于对教材的理解】在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，上一节课安排的《平行线的判定》和本节课安排的《平行线的性质》旨在让学生从简单的几何证明（平行线的判定与性质）入手，逐步形成一个更为清晰的证明思路。
在证明过程中，初步掌握证明的要求和格式，认识到证明的严谨性，做到步步有据，发展学生的推理能力。
本节课定理得证明都要求画出相应的图形，写出具体的已知、求证、证明，并在证明过程中要求注明证明的依据。
【基于对学情的分析】1.学生已有知识基础在七年级下册，学生已经探索过平行线的性质，并且已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，特别是上一节课的学习，使学生对简单的证明步骤有了更为清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基础．2.已有的活动经验在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础．3.学习本节可能出现的难点之前的学习中，证明题都给出了已知求证，学生只需思考证明思路，并规范的用数学符号和数学语言写出证明过程即可，但是现在定理的证明需要先正确写出定理的已知、求证，这可能会是本节的难点。
【学习目标】1.借助已经证明过的定理，通过教师引导，合作交流，展示，会证明两直线平行，内错角相等（或同旁内角互补）。
2.通过定理的证明，能用自己的语言归纳命题证明的一般思路，并会利用定理求角度。
【学习重点】平行线性质定理：两直线平行，内错角相等（或同旁内角互补）的证明。
北师大版八年级数学上册第七章 平行线的证明 章末复习导学案
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明章末复习导学案1、本章知识回顾1．命题：判断一件事情的语句．2．公理：公认的正确命题．(1)同位角相等，两直线平行；(2)两直线平行，同位角相等；(3)三边分别相等的两个三角形全等；(4)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；(5)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；(6)全等三角形对应边相等，对应角相等．3．定理：经过证明的真命题．(1)内错角相等，两直线平行；(2)同旁内角互补，两直线平行；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)三角形三个内角的和等于180°；(6)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(7)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；(8)三角形的外角和等于360°．4．证明：推理的过程．2、课堂精讲精练【例1】下列各命题是假命题的是(D)A．如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形B．每个角都等于60°的三角形是等边三角形C．如果a3＝b3，那么a＝bD．对应角相等的三角形是全等三角形【跟踪训练1】下列5个命题：①同旁内角互补；②等角的余角相等；③全等三角形的周长相等；④斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；⑤对于函数y＝－0.2x＋11，y随x的增大而增大．其中是真命题的有②③(填序号)．【例2】如图，已知四边形ABCD，AB∥CD，点E是BC延长线上一点，连接AC，AE，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：(1)∠BAE＝∠DAC；(2)∠3＝∠BAE；(3)AD∥BE.证明：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，即∠BAE＝∠DAC.(2)∵AB∥CD，∴∠4＝∠BAE.∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠BAE.(3)∵∠3＝∠BAE，∠BAE＝∠DAC，∴∠3＝∠DAC.∴AD∥BE.【跟踪训练2】如图，∠ADE＋∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F.(1)AD与BC平行吗？请说明理由；(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？(3)若BE平分∠ABC.试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E＋∠F＝90°.解：(1)AD∥BC.理由如下：∵∠ADE ＋∠BCF＝180°，∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∴∠BCF ＝∠ADC.∴AD ∥BC.(2)AB∥EF.理由如下：∵AF 平分∠BAD，∠BAD ＝2∠F，∴∠BAF ＝12∠BAD＝∠F. ∴AB ∥EF.(3)①∵AB∥EF，∴∠ABE ＝∠E.∵BE 平分∠ABC，∴∠ABC ＝2∠ABE＝2∠E.②∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC＝180°.∵∠BAD ＝2∠F，∠ABC ＝2∠E，∴2∠E ＋2∠F＝180°.∴∠E ＋∠F＝90°.【例3】 如图，在△ABC 中，三条内角平分线AD ，BE ，CF 相交于点O ，OG ⊥BC 于点G.(1)若∠ABC＝40°，∠BAC ＝60°，求∠BOD 和∠COG 的度数；(2)若∠ABC＝α，∠BAC ＝β，猜想∠BOD 和∠COG 的数量关系，并说明理由．解：(1)∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，∴∠OAB ＝12∠BAC＝30°，∠OBA ＝12∠ABC＝20°. ∴∠BOD ＝∠OAB＋∠OBA＝50°.∵CF 平分∠ACB，∴∠OCG ＝12∠ACB＝12(180°－∠ABC－∠BAC)＝40°. ∴∠COG ＝90°－∠OCG＝50°.(2)∠BOD 和∠COG 相等．理由如下：∠BOD ＝∠OAB＋∠OBA＝12∠BAC＋12∠ABC＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB＝90°－∠OCG ＝∠COG.【跟踪训练3】 在△ABC 中，射线AG 平分∠BAC 交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动(不与点G 重合)，过点D 作DE∥AC 交AB 于点E.(1)如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分∠EDB.①若∠BAC＝100°，∠C ＝30°，则∠AFD＝115°；若∠B＝40°，则∠AFD＝110°；②试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系？请说明理由；(2)如图2，点D 在线段BG 上运动时，∠BDE 的角平分线所在直线与射线AG 交于点F ，试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系，并说明理由．解：(1)②∠AFD＝90°＋12∠B.理由如下： ∵DE ∥AC ，∴∠EDB ＝∠C.∵AG 平分∠BAC，DF 平分∠EDB，∴∠BAG ＝12∠BAC，∠FDG ＝12∠EDB＝12∠C . ∵∠DGF ＝∠B＋∠BAG，∴∠AFD ＝∠DGF＋∠FDG＝∠B＋∠BAG＋∠FDG＝∠B＋12(∠BAC＋∠C) ＝∠B＋12(180°－∠B) ＝90°＋12∠B.(2)∠AFD＝90°－12∠B.理由如下： ∵∠EDB ＝∠C，∠BAG ＝12∠BAC，∠BDH ＝12∠EDB＝12∠C， 又∵∠AH F ＝∠B＋∠BDH，∴∠AFD ＝180°－∠BAG－∠AHF＝180°－12∠BAC－∠B－∠BDH ＝180°－12∠BAC－∠B－12∠C ＝180°－∠B－12(∠BAC＋∠C) ＝180°－∠B－12(180°－∠B) ＝180°－∠B－90°＋12∠B ＝90°－12∠B.。
最新北师大版八年级数学上册 第七章 平行线的证明 教案教学设计(含教学反思)
第七章平行线的证明7.1 为什么要证明 (1)7.2 定义与命题 (4)第1课时定义与命题 (4)第2课时定理与证明 (7)7.3平行线的判定 (10)7.4平行线的性质 (14)7.5 三角形内角和定理 (17)第1课时三角形内角和定理的证明 (17)第2课时与三角形外角有关的定理 (21)第七章归纳总结 (25)7.1 为什么要证明【知识与技能】1.经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.2.发展学生的推理意识.【过程与方法】通过观察、猜想、验证、归纳等方法让学生多角度思考问题、解决问题.【情感态度】让学生明白仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明，培养学生科学严谨的学习态度.【教学重点】体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.【教学难点】感受证明的必要性.一、创设情境，导入新课教材第162页“做一做”上方的问题.【教学说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论是否正确.二、思考探究，获取新知验证结论的正确性.做一做：教材第162页“做一做”.【教学说明】（1）中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；（2）中利用先猜想再验证的方法；培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题.【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.三、运用新知，深化理解1.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下雨，这个判断是的.（填“正确”或“不正确”）2.下列说法不正确的是（）A.若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角.B.若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2.C.若直线a∥b,a⊥c,则b⊥c.D.若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2.3.如图，甲沿着ACB由A到B，乙沿着ADEFB由A到B，同时出发，速度相等，则（）A.甲先到B.乙先到C.甲乙同时到D.不确定4.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，连结EF,EF与AD和BC有怎样的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？5.当a=1,b=2时，12+22>2×1×2;当a=-1,b=3时，（-1）2+32>2×（-1）×3；当a=-12,b=-3时，（-12）2+（-3）2>2×(-12)×(-3).于是猜想：对于任意实数总有a2+b2>2ab成立.这个结论正确吗？说明理由.【教学说明】让学生独立完成，检查学生对于所学知识的掌握程度，根据反馈的情况适当查漏补缺，有困难的学生采用互相交流的形式得出结论.【答案】1.不正确； 2.A; 3.C4.EF∥AD∥BC.EF=12(AD+BC).这个结论对所有的梯形都成立.证明：连结AF并延长交BC的延长线于点G.∵AD∥BC,∴∠D=∠FCG,∠DAF=∠G,又∵F是CD的中点，∴DF=CF,∴△ADF≌△GCF(AAS),∴AD=CG,AF=GF.又∵E是AB的中点，∴AE=BE,∴EF=12BG=12(BC+CG)=12(BC+AD).5.解：不正确.当a=b时，a2+b2=2ab,找得到实数a、b，如a=b=1,使得a2+b2=2ab 成立，因为对于任意的实数a、b都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0成立，所以a2+b2≥2ab 成立，而不是a2+b2>2ab.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流.【教学说明】让学生大胆发言，进行知识的提炼和归纳总结，与同学交换意见相互补充，利于共同提高.1.布置作业：习题7.1中的第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.学生的直观判断、实验操作得出的结论可能带有极大的片面性.数学是一门科学，讲究的是周密的计算和合乎逻辑的推理证明，不能想当然，让学生在学习过程中不断去体会.7.2 定义与命题第1课时定义与命题【知识与技能】1.了解定义、命题的概念.2.能分清命题的组成，会判断一个命题的真假，学会用反例说明一个命题是假命题.【过程与方法】通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得知识体验.【情感态度】在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.【教学重点】命题的概念及真假的判断.【教学难点】对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”形式.一、创设情境，导入新课（1）阅读新华社酒泉2013年6月11日这篇报导：神舟十号载人飞船于6月11日上午发射，……神舟十号飞船搭乘两名航天员，执行多天飞行任务.按计划，飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空，运行在轨道倾角42.4°，近地点高度为200千米，远地点高度为347千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道.要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？（2）什么叫做平行线？（在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线）.什么叫做物质的密度？（单位体积内所含某一物质的质量叫做密度）.【教学说明】用熟悉的背景和提出的两个问题引入，为下面给出定义的概念得以顺理成章.二、思考探究，获取新知1.定义问题1：从以上两个问题中，你能得出什么是定义吗？并举例说明.【教学说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用学生举例的形成加深对概念的理解与掌握.【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.2.命题问题2：下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们交流.（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2）对顶角相等；（3）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（5）你喜欢数学吗？（6）作线段AB=CD.【教学说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排了不是命题的问题参入，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断.【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题.问题3：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的特征？与同学们交流.（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（2）如果a=b，那么a2=b2;（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.【教学说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深了命题的理解.【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.问题4：指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同学们交流.（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a≠b,b≠c,那么a≠c;（3）全等三角形的面积相等；（4）如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会结冰.【教学说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自己学的知识对命题做出正确的判断.【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.三、运用新知，深化理解1.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是，结论是 .2.若a2=b2,则a=b.这个命题是命题（填“真”或“假”）.3.下列语句不是命题的有（）个①相等的角是直角；②两点之间线段最短；③煤球是白色的；④连线A、B 两点.A.0B.1C.2D.34.下列句子哪些是命题？是命题的判断真假.①对顶角相等；②画一个角等于已知角；③两直线平行，同位角相等；④a，b两直线平行吗？⑤鸟是动物；⑥若a2=4，求a的值；⑦若｜a｜=｜b｜，则a=b.【教学说明】由学生自主完成，通过练习，使学生对知识的理解由浅入深，从感性上升到理性，及时反馈，便于发现问题、解决问题、提高课堂效率.提高45分钟的质量.【答案】1.两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行；2.假；3.B;4.命题有：①③⑤⑦；真命题有：①③⑤；假命题有：⑦.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾定义、命题、条件、结论、真命题、假命题和反例的概念等知识点.2.谈谈你对本节课的收获.【教学说明】使学生对本节课的知识有一个完整的认识，进一步形成知识网络.不断对知识进行提炼和归纳，有助于概念的理解.1.布置作业：习题7.2中的第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课概念比较多，千万不要死记硬背，在教学中要利用实例帮助理解记忆.对于命题中的条件和结论不很明显的改写成“如果……那么……”的形式有些困难，这方面有待今后不断强化提升.第2课时定理与证明【知识与技能】1.了解公理、定理、证明的含义.2.体验、理解证明的必要性.3.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题.【过程与方法】通过书写完整的证明过程培养学生的逻辑思维能力和体验证明的方式方法.【情感态度】利用证明的过程培养学生科学严谨的学习习惯.【教学重点】证明的含义和表述格式.【教学难点】按规定格式表述证明的过程.一、创设情境，导入新课我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？【教学说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样的方式作为证实其他命题的出发点和依据.二、思考探究，获取新知1.公理、定理的概念问题1：什么是公理？什么是定理？问题2：我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？【教学说明】给出概念，直入主题.回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理和定理.【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则.等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.2.证明问题3：什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？【教学说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写证明过程有个心理准备.例已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD.由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下：证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）.∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（外角的定义）.∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）定理：对顶角相等.注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由，证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配.三、运用新知，深化理解1.关于直线的公理的内容是.2.如果a=b，b=c，那么，这一结论的根据是.3.命题“无论a取任何实数，式子a2-4a+7的值都是正数”是真命题还是假命题？请说明理由.4.已知：如图∠AOB=∠COD.求证：∠1=∠2.5.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别是点D、E.求证：PD=PE.【教学说明】学生独立完成，加深对所学知识的理解和检查跟证明有关的掌握情况，特别是对于证明过程的表述教师要及时指导.【答案】1.两点确定一条直线；2.a=c，等量代换；3.是真命题.∵a2-4a+7=a2-4a+4+3=(a-2)2+3,无论a为任何实数，（a-2)2≥0,(a-2)2+3>0,即式子a2-4a+7的值是正数.4.证明：∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，即∠1=∠2.5.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知）.∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）.∵OC平分∠AOB（已知）.∴∠AOC=∠BOC（角平分线定义）.又∵OP=OP（公共边）.∴△PDO≌△PEO（AAS).∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.四、师生互动，课堂小结1.师生共回顾公理、证明的概念和证明的步骤与格式.2.本节课你掌握了哪些知识？还存在什么疑问？与大家交流.【教学说明】通过回顾本课知识点，学生之间相互交流，对知识不断总结归纳，特别是对于几何证明要结合图形加以训练.1.布置作业：习题7.3中的第1、2题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课从已学的八条基本事实出发，利用这些结论进行有关几何问题的证明，培养学生逻辑思维能力和严密的推理能力，这是本节课教学的重点，也是难点.7.3平行线的判定【知识与技能】1.理解并掌握平行线的判定方法.2.经历探索直线平行的条件的过程，并能运用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”进行简单的证明.【过程与方法】经过观察、想象、推理、交流等活动，进一步加强学生空间观念、推理能力和有条理的表述能力.【情感态度】在活动中培养学生良好的习惯、与他人合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时也能够认同他人.【教学重点】探索两直线平行的条件.【教学难点】运用直线平行的判定方法解决问题.一、创设情境，导入新课前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看.【教学说明】通过复习旧知识的形式，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备.两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角.同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？【教学说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望.二、思考探究，获取新知1.内错角相等，两直线平行.问题1：如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2：当∠1=∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？【教学说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想.由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的.为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下：证明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等）.∴∠3=∠2（等量代换）.∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.2.同旁内角互补，两直线平行.问题1：如右图，∠2与∠3是什么位置关系？问题2：当∠2+∠3=180°时，直线a、b有什么关系？为什么？【教学说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力.在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件.这个证明的过程，教师可以引导学生自己书写.【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论.三、运用新知，深化理解1.已知：如图，∠1=76°，要使a∥b,则∠3= .2.若a∥b,b∥c,则a c ;若a⊥b,a⊥c，则b c.3.如图，直线a、b被直线c所截，以下四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2+∠3=180°，④∠4=∠7，其中能判定a∥b的是（）A.①②B.①③C.①④D.③④4.如图，直线EF交AB、CD于N、M，且∠EMC=65°,∠MNB=115°,则下列结论正确的是（）A.AE∥DFB.AB∥CDC.∠A=∠DD.∠E=∠F.5.如图，填空.（1）由∠A+∠ADC=180°,可得∥ .（2）由∠DBC=∠BCE,可得∥ .（3）由∠A=∠CBE,可得∥ .【教学说明】学生自主完成，加深对所学两个定理的理解与记忆和检测学生对知识的掌握情况，有困难的学生教师及时给予点拨和强化指导.【答案】1.104°；2.∥，∥；3.A；4.B；5.（1）DC AE；（2）BD CE;（3）AD BC四、师生互动，课堂小结1.到目前为止，你有多少种判定两条直线平行的方法？与大家共享.2.学习过程中你有哪些疑惑？请与同学们交流.【教学说明】通过小结的形式让学生在大脑中对平行线的判定方法形成知识体系，培养学生归纳总结的能力和综合运用的能力.1.布置作业：习题7.4中的第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.学生对于三线八角的掌握比较牢固.根据角之间的关系判断哪两条直线平行很准确.由于刚学书写证明过程，还有不少学生的逻辑推理能力不强，在今后的训练中不断完善.7.4平行线的性质【知识与技能】经历探索平行线的性质的过程，初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和计算.【过程与方法】在学习过程中进一步培养学生的推理能力.发展学生的空间观念.【情感态度】培养学生的唯物主义观点，使学生逐步养成言之有据的习惯.【教学重点】平行线性质的探索及性质的理解.【教学难点】运用平行线的性质和判定结合去解决问题.一、创设情境，导入新课现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法.在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？【教学说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程的学习做准备.二、思考探究，获取新知平行线的性质及其证明.问题1：我们已经探索过平行四边形的性质，两直线平行，同位角相等，那它如何证明呢？【教学说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的.此题的证明可以让学生感受反证法.问题2：利用上面的定理，你能证明其他两条性质吗？试一试！【教学说明】培养学生的逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心.问题3：例已知：如图，b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角.求证：b∥c.【教学说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力.发展他们的数学思维和空间观念.【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行.讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流.【教学说明】通过学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好的方法.三、运用新知，深化理解1.如图，已知∠1=100°,∠2=80°,∠3=105°,则∠4= .2.如图，AB∥CD∥EF，则∠A+∠ACE+∠E= .3.如图BD平分∠ABC，ED∥BC,则图中相等的角共有（）A.2对B.3对C.4对D.5对4.如图，已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，∠1=40°.求∠2的度数.5.如图，已知A、B、C同在一条直线上,D、E、F同在一条直线上，且∠A=∠F,∠C=∠D,判断AE与BF的位置关系，并说明理由.【教学说明】通过对练习的处理，培养学生的口语表达能力和逻辑推理能力.使学生逐步学会运用推理的方法去证明问题，在具体的问题情境中能自觉地运用转化的思想去解决问题.对学习有困难的学生教师及时给予指导和点拨.【答案】1.105°；2.360°；3.D.4.解：∵AB∥CD,∴∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°.又∵EG平分∠BEF,∴∠3=12∠BEF=12×140°=70°.∵AB∥CD,∴∠2=∠3=70°.5.AE∥BF.证明：∵∠C=∠D,∴DF∥AC.∴∠A=∠1,∵∠A=∠F,∴∠1=∠F.∴AE∥BF.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾平行四边形的三条判定性质以及由例题得出的一个结论.2.谈谈你对本节课的收获与不足.【教学说明】通过引导学生回顾平行线的判定与性质.加强它们之间的区别和联系，进一步体会综合运用过程中的方法思路.1.布置作业：习题7.5中的第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课主要是平行线性质定理的推理，重在培养学生的逻辑思维能力和规范的推理过程的表述.再到平行线的性质与判定的综合运用，加深对所学知识的认识，提高运用知识解决实际问题的能力.在证明的过程中，图形有着至关重要的辅助作用.7.5 三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理的证明【知识与技能】学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理重新研究证明，并能利用三角形的内角和解决有关问题.【过程与方法】感受探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生有条理地思考问题和合乎情理地表达问题的能力.通过渗透“化归”的数学思想，培养学生解决数学问题的基本方法.【情感态度】通过师生共同探究活动确认“三角形内角和是180°”，培养学生的概括、总结能力，激发学生探索问题的兴趣和体会学习数学的价值.【教学重点】三角形内角和定理的证明和利用三角形内角和进行有关的证明与计算.【教学难点】用不同的方法证明三角形内角和定理.一、创设情境，导入新课我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？【教学说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法，为后面的证明做准备.二、思考探究，获取新知三角形内角和定理的证明.思考：（1）如图，如果我们只把∠A移到了∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流.【教学说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤.【归纳结论】三角形的内角和等于180°.思考：（1）你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？（2）如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC（如图），他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流.【教学说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是180°，从而培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理能力和证明方法再次得到深化.运用所学的知识，你能解决下面的问题吗？例如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.【教学说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用.注意向学生分析解决问题的思路和方法.三、运用新知，深化理解1.在△ABC中，∠A=80°,∠B-∠C=40°,则∠C= .2.∠A=∠B+∠C,则这个三角形是 .3.直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数为（）A.45°B.135°C.45°或135°D.都不对4.若△ABC的一个内角是另一个内角的23，也是第三个内角的45，则它的三个内角的度数为（）A.30°，60°，90°B.40°，60°，80°C.48°，52°，80°D.48°，72°，60°5.如图，AD、AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B=35°，∠C=45°，求∠DAE的度数.【教学说明】让学生自主完成，加深对三角形内角和定理的理解和检验学生运用的情况，第5题教师可以引导，对有困难的学生及时帮助、纠正强化.【答案】1.30°；2.直角三角形；3.C；4.D.5.解：在△ABC中，∠B=35°,∠C=45°,∴∠BAC=180°-(35°+45°)=100°.又∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=12∠BAC=12×100°=50°.在△ACD中，∠ADC=90°,∠C=45°,∴∠CAD=90°-45°=45°.∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-45°=5°.四、师生互动，课堂小结你掌握了哪些证明三角形内角和定理的方法？在证明的过程中遇到了哪些困难？请与大家共同交流.【教学说明】帮助学生回顾本节课的证明方法、加深对三角形内角和定理的理解和掌握，便于灵活熟练的运用.1.布置作业：习题7.6中的第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.。
北师大版八年级上册第7章精品导学案
八年级数学上册第七章《平行线的证明》导学案7.3 平行线的判定一、学习目标：(1)使学生进一步理解并掌握判定两条直线平行的方法；(2)了解简单的逻辑推理过程.二、学习重点：判定两条直线平行方法的应用三、学习难点：简单的逻辑推理过程.。
四、学习过程：（一）自主预习：预习课本P13172—P15173页并完成以下练习）（二）预习检测：1、判定两条直线平行的方法有哪些？判定方法1：__________________________判定方法2：__________________________判定方法3：__________________________ 2、如图(1)（1）如果∠1=∠4，根据_______________，可得AB∥CD；（2）∠1=∠2，根据_______________，可得AB∥CD；（3）果∠1+∠3=1800，根据__________，可得AB∥CD .如图(2)（1）如果∠1=∠D，那么______∥_______；（2）如果∠1=∠B，那么______∥_______；（3）如果∠A+∠B=1800，那么_____∥____（4）如果∠A+∠D=1800，那么____∥____；3、如图3，⑴直线AD与BC被直线AB所截，∠1和∠2是，∠2和∠DAB 是，⑵∠5和∠6是直线和直线被直线所截而形成的内错角；4、如图4，⑴∠1和∠2是角，它们是由直线和直线被直线所截而成的，⑵∠EDC和∠DAB是角，它们是由直线和直线被直线所截而成的；（二）合作交流：合作探究一: （一）结合以下习题考虑判断两直线平行有哪些方法。
1、如图10，,如果∠3=∠7,或______,那么___//___,理由是____________;如果∠5=∠3,或_______,那么____//___,理由是______________;如果∠2+ ∠5= ___ 或者_____,那___//__理由是__________.3、如图11(1)如果已知∠1=∠3，则可判定AB∥______,其理由是__________________;(2)如果已知∠4+∠5=180°，则可判定__//___,其理由是__________________;(3)如果已知∠1+∠2=180°，则可判定CDE1223456A D图2A BC DEF12 34图1图3图5图11___∥___,其理由是__________________;(4)如果已知∠5+∠2=180°那么根据对顶角相等有∠2=__,因此可知∠4+∠5= ____,所以可确定 ___________∥______,其理由是__________________;(5)如果已知∠1=∠6，则可判定_____∥______,其理由是__________________.4、如图12,若∠2=∠6,则______∥____ 如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°那么__∥__, 如果∠9=_____,那么AD∥BC;5、如图13，在下列结论给出的条件中，不能判定AB ∥DF 的是（ ）A 、∠2＋∠A = 180°B 、∠3 = ∠AC 、∠1 = ∠4D 、∠1 = ∠合作探究二: 1、在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?2、如图，已知CD ⊥AD ，DA ⊥AB ，∠1＝∠2。
北师大版数学八年级上册导学案：7.3.2平行线的证明(练习案)
经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
1A B C DE F12亲爱的同学，“又是一年芳草绿，依旧十里杏花红”。
当春风又绿万水千山的时候，我们胜利地完成了数学世界的又一次阶段性巡游。
今天，让我们满怀信心地面对这张试卷，细心地阅读、认真地思考，大胆地写下自己的理解，盘点之前所学的收获。
7.3.2平行线的判定【基础过关】1．两条直线被第三条直线所截，下列条件不能判定两直线平行的是（ ）A ．同位角相等B ．内错角相等C ．同旁内角相等D ．同旁内角互补 2．两条平行线被第三条直线所截而成的角中，角平分线互相平行的是（ ）A ．同位角和同旁内角B ．内错角和同旁内角C ．同位角和内错角D ．以上结论都不对 3．已知，如图1，下列条件中不能判定直线1l ∥2l 的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠4=∠5D ．∠2+∠4=180°4．如图2∥BC 的条件是A ．∠ACB =∠BAC B ．∠ABC +∠BAE =180°C ．∠ACB +∠BAD =180° D ．∠ACB =∠BAD 5.如图3，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．(1)∠1=∠2，_________． (2)∠A =∠3，_________．(3)∠ABC +∠C =180°，________．6.如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________． 【活学活用】7、已知：如图，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ．求证：AB ∥CD ．8、已知：如图，AD 是一条直线，∠1=65°，∠2=115°.求证：BE ∥CF ．l 2l 154321 AB C D E 231ABC D E 图3 21 A B C D经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。
29、已知：如图，∠1=∠2，∠3=100°，∠B =80°.求证：EF ∥C D.【能力提升】10、已知：如图，B 、E 分别是AC 、DF 上一点，12,C D ∠=∠∠=∠．求证：A F ∠=∠．11、如图，已知∠A=∠1，∠E=∠2，AC ⊥CE ，求证：AB ∥DE.本文使用Word 编辑，排版工整，可根据需要自行修改、打印，使用方便。
132.北师大版八年级数学上册7.3 平行线的判定(导学案)
7.3 平行线的判定学习目标：1.经历学习的过程，探索归纳出平行线判定的方法，并能熟练运用。
2.通过对平行线判定的探究，获得参与数学活动的体验，增强学习热情。
学习重点：平行线的判定及其运用。
学习难点：用数学语言表达简单的说理过程。
学习方法：自主学习+合作探究。
课前延伸学案1、如图，在同一平面内两条直线a、b被第三条直线c所截，形成几个角？其中“同位角”“内错角”“同旁内角”有哪些？2、“若两条直线a、b不相交它们就是平行线”这句话对吗？为什么？3、上图中，若直线a∥b,你能得到那些相等或互补的角？说出你的理由。
课内探究学案【自主学习】1、如果有a、b两条直线，如何判断它们是否平行？2、按要求作图：用直尺和三角板过点P做已知直线a的平行线b。
21C 43b aP ●a【合作探究】 能否由平行线的画法找到判断两直线平行的条件？如图，把直尺的一边作为第三条直线，在画平行线的过程中，始终保持什么角相等？ 由此你能猜想两条直线平行的依据吗？平行线判定公理：简称：你能用符号语言表述平行线判定公理吗？∵ （ ） ∴ （ ）【小试牛刀】1、如图③ ∵∠1=∠2，∴_______∥________（ ）。
∵∠2=∠3，∴_______∥________（ ）。
【合作交流】1、两条直线被第三条直线所截形成“三线八角”，同时得到同位角、内错角和同21a bc3 41BA21MGA BC DEFHN旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行，那么，能否利用内错角和同旁内角来判定两直线平行呢？2、如图2(1) ∠1=∠2时,a与b是什么关系?(2) ∠2与∠3是什么位置关系的角?(3)当∠2=∠3时,a与b平行么?(4)当∠2+∠4=180°时,a与b平行么?通过以上你能总结出什么结论？平行线判定方法2：简称：平行线判定方法3：简称：【知识运用】完成推理，写出依据1、如图④∵∠1=∠2，∴_______∥________（）。
最新北师大版八年级上册第7章《平行线的证明》导学案(全章打包,含答案)
7.1 为什么要证明【学习目标】1．初步体会观察、猜测得到的结论不一定正确．2．通过探索，初步了解数字中推理的重要性．3．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．【学习重点】判断一个结论正确与否需要进行推理．【学习难点】理解数学推理的重要性．学习行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．情景导入生成问题在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界．在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论．那这样得到的结论都是正确的吗？如果是正确的，那么用什么方法说明它的正确性呢？解：不一定都是正确的，如果正确，需要用推理证明的方法来说明它的正确性．自学互研生成能力知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗先阅读教材第162页“做一做”之前的内容，然后完成书中设置的两个问题，最后与同伴进行交流．【说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论不一定正确．知识模块二启发学生有理有据地推理师生合作共同完成教材第162页“做一做”的学习与探究．【说明】(1)中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；(2)中利用先猜想再验证的方法，培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题的能力．【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗知识模块二启发学生有理有据地推理检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________7.2 定义与命题第1课时定义与命题【学习目标】1．理解定义与命题的概念．2．掌握命题的结构、形式及种类．3．能从具体实例中，了解命题的概念，并会区分真假命题．【学习重点】命题的相关概念．【学习难点】对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”的形式．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．这节课我们就一起研究定义与命题．自学互研生成能力知识模块一定义先阅读教材第165页“议一议”上面的内容，弄清“定义”的概念．【说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用举例的形式加深对概念的理解与掌握．【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识．为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．知识模块二命题阅读教材第165页“议一议”的内容，弄清命题的概念，并与同伴进行交流．【说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排不是命题的问题参加，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断．【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题．如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题．知识模块三命题的组成阅读教材第166页“想一想”部分的内容．弄清一个命题的组成，并与同伴进行交流．【说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深对命题的理解．【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．知识模块四命题的分类仿例：下列命题是真命题的是( D)A．若a2＝b2，则a＝bB．若a2>b2，则a>bC．若|a|>|b|，则a>bD．若a3＝b3，则a＝b学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间.阅读教材第166页“做一做”的内容，然后与同伴进行交流．【说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自学的知识对命题作出正确的判断．【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一定义知识模块二命题知识模块三命题的组成知识模块四命题的分类检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时命题的证明【学习目标】1．理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别．2．理解证明命题的思路、书写的格式，能对推理论证有初步的认识．【学习重点】命题证明的一般步骤．【学习难点】探索命题证明的思路及思维方向．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．情景导入生成问题我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？【说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样的方式作为证实其他命题的出发点和依据．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．自学互研生成能力知识模块一公理、定理的概念阅读教材第168页和第169页例题前面部分的内容，然后解答下列问题：问题1什么是公理？什么是定理？问题2我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？【说明】给出概念，直入主题．回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理和定理．【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据．知识模块二定理的证明师生合作完成下面问题的学习与探究．问题3什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？【说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写过程有个心理准备．例：已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC＝∠BOD.由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下：证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)．定理：对顶角相等．注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由，证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配．仿例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，求证：∠1＝∠A，∠2＝∠B.证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵∠1＋∠B＝90°，∴∠2＝∠B，同理可证：∠1＝∠A.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一公理、定理的概念知识模块二定理的证明检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________7.3 平行线的判定【学习目标】1．会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．2．会用平行线的三个判定定理解决问题．【学习重点】平行线的三个判定定理．【学习难点】灵活应用平行线的三个判定定理解决问题．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看．【说明】通过复习旧知识，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备．两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角．同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？【说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望．自学互研生成能力知识模块一内错角相等，两直线平行先阅读教材第172页定理1的内容及其证明过程，然后完成下面的问题．问题1如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2当∠1＝∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想．由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的．为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下：证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)．∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．知识模块二同旁内角互补，两直线平行先阅读教材第172页定理2的内容及证明过程，然后完成下面的问题．问题3如下图，∠2与∠3是什么位置关系？学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．问题4当∠2＋∠3＝180°时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力．在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件．这个证明的过程，老师可以引导学生自己书写．【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论．仿例：如图所示，一个合格的弯形管道经两次拐弯后，如果∠C＝68°，∠B＝112°，则AB与CD的位置关系是__平行__，理由是__同旁内角互补，两直线平行__．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一内错角相等，两直线平行知识模块二同旁内角互补，两直线平行检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________7．4 平行线的性质【学习目标】1．初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和证明．2．进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．【学习重点】平行线的性质的探索及性质的应用．【学习难点】运用平行线的性质和判定去解决问题．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．情景导入生成问题现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？【说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程的学习做准备．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．自学互研生成能力知识模块一两直线平行，同位角相等师生合作共同完成教材第175页性质定理1的证明及探究过程．【说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的．此题的证明可以让学生感受反证法．知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补阅读教材第176页平行线性质定理2和性质定理3的内容及证明过程，然后自己完成定理的证明．【说明】培养学生逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心．知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行先阅读教材第176页例题及证明过程，然后完成下面的问题．例：已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.【说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力．发展他们的数学思维和空间观念．【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行．讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流．【说明】通过与学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好的方法．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一两直线平行，同位角相等知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________7.5 三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理【学习目标】1．会证明三角形的内角和定理，并能运用三角形内角和定理解题．2．初步学会利用辅助线证题．【学习重点】三角形内角和定理的证明和应用．【学习难点】用不同方法证明三角形内角和定理．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？【说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法，为后面的证明做准备．自学互研生成能力知识模块一三角形内角和定理的证明先阅读教材第178页的内容，再完成下面的思考．思考：(1)如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流．【说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤．【归纳结论】三角形的内角和等于180°.思考：(1)你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？(2)如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC(如图)，这样的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流．【说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是180°，从而培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理和证明方法再次得到深化．知识模块二三角形内角和定理的应用先独立完成下面问题的解答，然后再对照教材第179页例1的规范格式自评自纠．例：如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．【说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用．注意向学生分析解决问题的思路和方法．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形内角和定理的证明知识模块二三角形内角和定理的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时三角形外角的定理【学习目标】1．了解三角形的外角定义，掌握三角形外角的两个定理．2．能综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行几何证明与计算．【学习重点】三角形外角的性质定理．【学习难点】运用三角形外角性质定理进行有关计算时能准确地推理．学习行为提示：每组抽一位学生上黑板做，其余学生在座位上完成，组长检查每组完成情况，最后老师给每组评分．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题旧知回顾：1在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是直角三角形．2．一个三角形的三个内角中，至少有( B)A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( C)A．50°B．55°C．60°D．65°自学互研生成能力知识模块一三角形外角的定理先阅读教材第181页例2上面的内容，然后完成下面的问题：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如图，∠1是△ABC的外角．学习行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．展示目标：通过知识模块一的展示掌握证明三角形外角定理的方法；通过对知识模块二的展示，总结运用三角形外角的定理进行几何证明和计算的一般方法和步骤．问题1你能在图中画出△ABC的其他外角吗？∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？【说明】结合图形，学生通过观察、思考、讨论等一系列活动，既巩固了对概念的理解，又让学生进行证明，培养了学生的推理论证能力．【归纳结论】三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．知识模块二运用三角形外角的定理进行证明你能运用所学的知识解决下面的问题吗？问题2(1)已知：在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.第(1)题图第(2)题图(2)已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.你们的证明方法一样吗？与大家共同交流．【说明】学生的讨论、交流、解决问题的过程，也是一个培养学生发散思维与创新能力的过程，它不受教师点拨的思维定式的影响，可以提高学生的思维灵活性．仿例：如图D是△ABC中∠ACB的外角的平分线与BA的延长线的交点．求证：∠BAC>∠B＋∠D.证明：∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠ECD＝∠B＋∠D，∴∠ACD＝∠B＋∠D，∵∠BAC>∠ACD，∴∠BAC>∠B＋∠D.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形外角的定理知识模块二运用三角形外角的定理进行证明检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版八年级上册第七章 平行线的证明学案
观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等． （2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．（3）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形． （4）如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形．（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形． ② 总结命题的结构特征（1）上述命题都是“如果……，那么……”的形式． （2）“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论．（3）一般地命题都可以写成“如果……,那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件和结论．3、定义与命题① 定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义；② 命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．知识点二、相交线1、相交线（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交。
（2）相交：在同一平面内，有一个公共点的两条直线称为相交线。
（3）邻补角与对顶角定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。
邻补角互补。
定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
对顶角相等。
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等 即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°注意：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。