高一理科知识点总结

数学

必修一

一、集合

一、集合有关概念

集合的含义

集合的中元素的三个特性：

元素的确定性如：世界上最高的山

元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

列举法：{a,b,c……}

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

Venn图:

4、集合的分类：

有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：

B

A?

有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/

B或B

?/

A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

二、函数

1、函数定义域、值域求法综合

2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略

3、恒成立问题的求解策略

4、反函数的几种题型及方法

5、二次函数根的问题——一题多解

&指数函数y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)

(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)

指数函数对称规律：

1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称

2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称

3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称幂函数y=x^a(a属于R)

1、幂函数定义：一般地，形如

α

x

y=)

(R

a∈

的函数称为幂函数，其中

α为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）

>

α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间)

,0[+∞

上是增函数．特别地，当

1

>

α时，幂函

数的图象下凸；当

1

0<

<α时，幂函数的图象上凸；

（3）

<

α时，幂函数的图象在区间)

,0(+∞

上是减函数．在第一象限内，当

x从右边趋向原点时，图

象在y

轴右方无限地逼近

y

轴正半轴，当

x趋于∞

+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数

)

)(

(D

x

x

f

y∈

=

，把使

)

(=

x

f

成立的实数

x叫做函数

)

)(

(D

x

x

f

y∈

=

的零点。

2、函数零点的意义：函数

)

(x

f

y=

的零点就是方程

)

(=

x

f

实数根，亦即函数

)

(x

f

y=

的图象与

x

轴交点的横坐标。

即：方程

)

(=

x

f

有实数根

?函数)

(x

f

y=

的图象与

x轴有交点?函数)

(x

f

y=

有零点．

3、函数零点的求法：

○1（代数法）求方程

)

(=

x

f

的实数根；

○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数

)

(x

f

y=

的图象联系起来，并利用函数的性

质找出零点．

4、二次函数的零点： 二次函数

)0(2≠++=a c bx ax y ．

（1）△＞０，方程02

=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两

个零点．

（2）△＝０，方程02

=++c bx ax

有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一

个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程

02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． 三、平面向量

已知两个从同一点O 出发的两个向量OA 、OB ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OC 就是向量OA 、OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量a ，有：0＋a ＝a ＋0＝a 。 |a ＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。 数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa 的方向和a 的方向相同，当λ < 0时，λa 的方向和a 的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。 设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa （3）λ(a ± b) = λa ± λb （4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a 、b ，那么|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积或内积，记作a?b ，θ是a 与b 的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。 a?b 的几何意义：数量积a?b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数 1、善于用“1“巧解题

2、三角问题的非三角化解题策略

3、三角函数有界性求最值解题方法

4、三角函数向量综合题例析

5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sin

y x =

cos y x = tan y x =

函 数 性 质

图象

定

义域R R,2

x x k k

π

π

??

≠+∈Z

??

??

值域[]1,1

-[]1,1

-R

最值当

2

2

x k

π

π

=+()

k∈Z

时，max

1

y=

；当

2

2

x k

π

π

=-

()

k∈Z

时，min

1

y=-

．

当

()

2

x k k

π

=∈Z

时，

max

1

y=

；当

2

x kππ

=+

()

k∈Z

时，min

1

y=-

．

既无最大值也无最小值

周

期

性

2π2ππ

奇

偶

性

奇函数偶函数奇函数

单调性在

2,2

22

k k

ππ

ππ

??

-+

??

??

()

k∈Z

上是增函数；在

3

2,2

22

k k

ππ

ππ

??

++

??

??

()

k∈Z

上是减函数．

在

[]()

2,2

k k k

πππ

-∈Z

上

是增函数；在

[]

2,2

k k

πππ

+

()

k∈Z

上是减函数．

在

,

22

k k

ππ

ππ

??

-+

?

??

()

k∈Z

上是增函数．

对称性对称中心

()()

,0

k k

π∈Z

对称轴

()

2

x k k

π

π

=+∈Z

对称中心

()

,0

2

k k

π

π

??

+∈Z

?

??

对称轴

()

x k k

π

=∈Z

对称中心

()

,0

2

k

k

π

??

∈Z

?

??

无对称轴

必修四

角

α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{} 36036090,

k k k

αα

?<

o o o

第二象限角的集合为{} 36090360180,

k k k

α?+

o o o o

第三象限角的集合为{} 360180360270,

k k k

αα

?+<

第四象限角的集合为{} 360270360360,

k k k

αα

?+<

终边在x轴上的角的集合为

{}

180,

k k

αα=?∈Z

o

终边在y

轴上的角的集合为

{}

18090,

k k

αα=?+∈Z

o o

终边在坐标轴上的角的集合为{}

90,

k k

αα=?∈Z

o

3、与角α终边相同的角的集合为

{}

360,

k k

ββα

=?+∈Z

o

4、已知α是第几象限角，确定

()*

n

n

α

∈N

所在象限的方法：先把各象限均分

n等份，再从x轴的正半

轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n

α

终边所落在的

区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做

1弧度．口诀：奇变偶不变，符号看象限．

(以上k∈Z)其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα?tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα?tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—----?cos—---

2 2

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—----?sin—----

2 2

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----?cos—-----

2 2

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----?sin—----- 2 2

物理

第一章力

知识要点：

1、本专题知识点及基本技能要求

（1）力的本质

（2）重力、物体的重心

（3）弹力、胡克定律

（4）摩擦力

（5）物体受力情况分析

1、力的本质：（参看例1、

2、3）

（1）力是物体对物体的作用。

※脱离物体的力是不存在的，对应一个力，有受力物体同时有施力物体。找不到施力物体的力是无中生有。（例如：脱离枪筒的子弹所谓向前的冲力，沿光滑平面匀速向前运动的小球受到的向前运动的力等）

（2）力作用的相互性决定了力总是成对出现：

※甲乙两物体相互作用，甲受到乙施予的作用力的同时，甲给乙一个反作用力。作用力和反作用力，大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，它们总是同种性质的力。（例如：图中N与N '均属

弹力，f f

00

与

'

均属静摩擦力）

（3）力使物体发生形变，力改变物体的运动状态（速度大小或速度方向改变）使物体获得加速度。

※这里的力指的是合外力。合外力是产生加速度的原因，而不是产生运动的原因。对于力的作用效果的理解，结合上定律就更明确了。

（4）力是矢量。

※矢量：既有大小又有方向的量，标量只有大小。

力的作用效果决定于它的大小、方向和作用点（三要素）。大小和方向有一个不确定作用效果就无法确定，这就是既有大小又有方向的物理含意。

（5）常见的力：根据性质命名的力有重力、弹力、摩擦力；根据作用效果命名的力有拉力、下滑力、支持力、阻力、动力等。

2、重力，物体的重心（参看练习题）

（1）重力是由于地球的吸引而产生的力；

（2）重力的大小：G=mg，同一物体质量一定，随着所处地理位置的变化，重力加速度的变化略有变化。从赤道到两极G→大（变化千分之一），在极地G最大，等于地球与物体间的万有引力；随着高度的变化G→小（变化万分之一）。在有限范围内，在同一问题中重力认为是恒力，运动状态发生了变化，即使在超重、失重、完全失重的状态下重力不变；

（3）重力的方向永远竖直向下（与水平面垂直，而不是与支持面垂直）；

（4）物体的重心。

物体各部分重力合力的作用点为物体的重心（不一定在物体上）。重心位置取决于质量分布和形状，质量分布均匀的物体，重心在物体的几何对称中心。

确定重心的方法：悬吊法，支持法。

3、弹力、胡克定律：（参看例）

（1）弹力是物体接触伴随形变而产生的力。

※弹力是接触力

弹力产生的条件：接触（并发生形变），有挤压或拉伸作用。

常见的弹力：拉力，绳子的张力，压力，支持力；

（2）弹力的大小与形变程度相关。形变程度越重，弹力越大。

（3）弹力的方向：弹力的方向与施力物体形变方向相反（是施力物体恢复形变的方向），与接触面垂直。

※

准确分析图中A物体受到的支持力（弹力），结论：两物体接触发生形变，面面接触弹力垂直面（图1—1），点面接触垂直面（图1—2、1—3），接触面是曲面，弹力则垂直于过接触点的切面（图1—4）。

（4）胡克定律：

内容：在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧伸长（或压缩）的长度成正比。

数学表达式：F=Kx (x长度改变量：

'='-

x x x x x

现长原长

00

,

)

4、摩擦力

（1）摩擦力发生在相互接触且挤压有相对运动或相对运动趋势的物体之间。

发生相对运动，阻碍相对运动的摩擦力称为滑动摩擦力。有相对运动的趋势，阻碍相对运动趋势的摩擦力称为静摩擦力。

※摩擦力是接触力

摩擦力产生的条件：接触、挤压，有相对运动或相对运动趋势存在。（含盖了产生弹力的条件）

（2）摩擦力的方向：总是与相对运动或相对运动趋势方向相反，与接触面相切。

※判断相对运动方向，或相对运动趋势方向是确定摩擦力方向的关键。当根据摩擦力产生的条件，确定存在摩擦力时，以此力的施力物体为参照物，判断受力物体相对运动（或相对运动趋势）方向，摩擦力方向与相对运动（或相对运动趋势）方向相反，从而找到摩擦力的方向：（见例）

物块A放在小车B上，置于水平面上：

a、没加任何力：A、B处于静平衡状态，由于A、B受重力作用，A与B接触，车轮与地面接触，并均有挤压，但无相对运动，也没相对运动趋势存在，无摩擦力产生。

b、A物体上加一个水平力'F，AB处于静止状态。分析A，由于受到力'F的作用，以B为参

照物，A相对B有向右的趋势，所以受到与趋势相反的静摩擦f

0。

根据作用力反作用力的关系，小车B受到水平A拖予的静摩擦力'f

0。小车B受到水平向右的

静摩力'f

0的作用，相对地面有向右的运动趋势，但没动，受到地面施予的与运动趋势方向相反的静摩擦

力''f

0（结论：

''=''==

f f f f f F

00000

，，

）。

C、A物体受到水平向右的力F作用，A、B相对静止，一起沿水平向右加速运动：

分析A物体：仍受到一个拉力F和B施予的静摩擦力

f

A

0。（

F f m a

A A

-=

0）。

分析B物体：受到A施予的f

A

0的反作用力

f

B

0的同时，AB相对地面向右运动，地面给B物

体一个向左的滑动摩擦力f

。（据题意：

f f m a

B B

-=

）

小车B受到f

B

0静摩擦力的作用，在小车向右加速运动的过程中，

f

B

0与B小车运动方向相同；

f

B

0不但对B做功，而且做的还是正功；在效果上起着动力的作用。（3）摩擦力的大小

滑动摩擦力f N

=μ·

，

N为正压力

静摩擦力是一组值，其中有一个最大值，称为最大静摩擦（使物体开始运动时的静摩擦力）。

不能用f N

=μ·

来计算，只能根据作用力、反作用力的关系，平衡条件或牛顿二定律求解。