随机信号分析第一章
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随机信号分析 第一章随机信号基础2
y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt
x
F(x)
=
0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
随机信号分析第一章 概率论1
例 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命， 这是个随机试验. 设t表示灯泡的使用寿命，则样本空间 S={t|t≥0}.
• 特殊事件
样本空间Ω和空集Φ 作为Ω的子集也看作事件. 由于Ω包含所有的基本事件，故在每次试验中，必 有一个基本事件e∊ Ω发生，即在试验中，事件S必 然发生；因此, Ω是必然事件. 又因在Φ 中不包含任何一个基本事件，故在任何一 次试验中,Φ 永远不会发生；因此,Φ 是不可能事件. 常用Ω ,Φ 分别表示必然事件与不可能事件. 必然事件与不可能事件可以说不是随机事件，但是 为了研究的方便，还是把它们作为随机事件的两个 极端情形来处理.
（b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先 已知的； （c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的
人们将满足上述（a）、（ b ）、（ c ）三个条件的试 验，称为随机试验，简称为试验，以字母E来表示.
随机试验的每一个可能的结果称为基本事件，也称 作样本点，用字母e表示. • 随机试验E的全体基本事件所构成的集合，称为E的 的样本空间，记为Ω. 例 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反 面出现情况，这也是个随机试验. 故样本空间 S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.
在这个随机试验中，若设 A表示事件“第一次出现正面”.
在一次试验中，A发生当且仅当在这次试验中出现 基本事件 (正，正)，(正，反) 中的一个. 这样可以认为A是由(正，正)，(正，反)组成的， 而将A定义为它们组成的集合 A={(正，正)，(正，反)}. 又如 事件B表示“两次出现同一面”
都发生的对立事件是至少一个不发生；至少一个发 生的对立事件是都不发生. 对偶原理在事件的运算中经常用到，它可以推广到 更多个事件的情况，即
随机信号分析第一章
第1章 概率论基础
本章将复习与总结概率论的基本知识 也扩充一些新知识点，比如：
1) 利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的 概率密度函数，
2) 随机变量的条件数学期望 3) 特征函数 4) 瑞利与莱斯分布 5) 随机变量的基本实验方法
合肥工1业/1大08学
1.1 概率论复习
合肥工2业/1大08学
1.1概率论复习
电子科技大学通信学院
合肥工60业/1大08学
1.4 随机变量数字特征
2020/6/8
合肥工业大学
61
1.2 随机变量要点回顾
2020/6/8
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62
1.2 随机变量要点回顾
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63
1.2 随机变量要点回顾
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64
1.2 随机变量要点回顾
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37
1.2 随机变量要点回顾
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1.2 随机变量要点回顾
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1.2 随机变量要点回顾
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1.2 随机变量要点回顾
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1.2 随机变量要点回顾
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
本章将复习与总结概率论的基本知识 也扩充一些新知识点，比如：
1) 利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的 概率密度函数，
2) 随机变量的条件数学期望 3) 特征函数 4) 瑞利与莱斯分布 5) 随机变量的基本实验方法
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1.2 随机变量要点回顾
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1.2 随机变量要点回顾
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1.3 随机变量的函数
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1.3 随机变量的函数
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第1章
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。 概率论和数理统计是描述和 研究随机现象统计规律性的数学学科， 它们研究大量随机现 象内在的统计规律、 建立随机现象的物理模型并预测随机现 象将要产生的结果。
第一章 随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点， 所对应的实数xk是某个 实数集R1上的点。 因此， 一维实随机变量X(ξ)就是从原样 本空间Ω到新空间R1的一种映射， 如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。 为了书写简便， 没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数， 简写为X。 本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量， 用 相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值， 用 R1表示一维实随机变量的值域。 简单地说， 随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件， 设A1, A2, …，AN为同一样本空间上 的一组事件， 若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章 随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)， 即i j ，
第一章 随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。 概率论和数理统计是描述和 研究随机现象统计规律性的数学学科， 它们研究大量随机现 象内在的统计规律、 建立随机现象的物理模型并预测随机现 象将要产生的结果。
第一章 随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点， 所对应的实数xk是某个 实数集R1上的点。 因此， 一维实随机变量X(ξ)就是从原样 本空间Ω到新空间R1的一种映射， 如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。 为了书写简便， 没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数， 简写为X。 本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量， 用 相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值， 用 R1表示一维实随机变量的值域。 简单地说， 随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件， 设A1, A2, …，AN为同一样本空间上 的一组事件， 若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章 随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)， 即i j ，
随机信号分析第一章2010
F XY ( x , y ) FY ( y | x ) = FX ( x ) p XY ( x , y ) pY ( y | x ) = p X ( x)
n维随机变量及其分布 维随机变量及其分布
定义 n维随机变量 ( X 维随机变量
1
, X
2
,L , X
n
)
的n维（联合）分布函数为 维 联合）分布函数为
+∞ −∞
p(x) ≥ 0
性质2 概率密度函数在整个取值区间积分为1 性质2：概率密度函数在整个取值区间积分为1，即
∫
p ( x ) dx = 1
x2 x1
性质3：概率密度函数在(x 区间积分， 性质 ：概率密度函数在(x1,x2)区间积分，得到该区 间的取值概率
P { x1 < X ≤ x 2 } =
1.1随机变量的概念 § 1.1随机变量的概念
抛硬币：可能出现正面或反面； 例1 抛硬币：可能出现正面或反面； 从一批产品中任取10件 例2 从一批产品中任取 件，抽到 的废品数可能是0,1,2,…,10中的一 的废品数可能是 中的一 个数； 个数； 掷色子：可能出现1,2,3,4,5,6点 例3 掷色子：可能出现 点
F XY ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y }
(x,y)的二维联合概率密度，简称为二维概率密度 的二维联合概率密度，简称为二维概率密度 二维概率密度: 的二维联合概率密度
p XY
性质1： 性质 ：
∂ F XY ( x , y ) ( x, y) = ∂x∂y
2
二维概率密度具有以下性质： 二维概率密度具有以下性质：
F ( x1 , x 2 ,L , x n ) = P{ X
随机信号分析第一章习题讲解
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析_第一章_概率论基础
1.2.2 全概率公式
假设样本空间S分为N个互斥事件Bn (n=1, 2, …, N), 即： Bi ∩ Bj = (i≠ j =1, 2, …, N) 及
i 1
Bi S
N
则
P[ A] P[ A | Bi ]P[ Bi ]
i 1
N
1.2.3 贝叶斯公式
P[ Bi | A] P[ Bi ]P[ A | Bi ] / P[ A] P[ Bi ]P[ A | Bi ] /( P[ Bi ]P[ A | Bi ])
f XY ( x, y)dxdy 1
则称(X, Y)为连续型的二维随机变量， FXY(x, y)为其连续型的联合分布函数； fXY(x, y)为(X, Y)的联合密度函数。
如果联合密度函数fXY(x, y)在点(x,y) 处连续，则
2 FXY ( x, y) f XY ( x, y) xy
F(b1,b2) - F(a1,b2) - F(b1,a2) + F(a1,a2) 0 y b2 a2 x a1 b1
离散型概率分布函数
Y
X
y1 y2 … yj … p11 p21 … pi1 … p12 p22 … pi2 … … p1j … … p2j … … … … … pij … … … …
1. 4 多维随机变量及其分布
n个随机变量X1 , X2 , … , Xn的总体 X=(X1 , X2 , … , Xn)为n维随机变量。 1.4.1 二维随机变量 设X, Y为定义在同一概率空间(S, £ , P)上的两个随机变量，则(X, Y) 称为二维 随机变量，对于任意x,y R ，令 FXY(x, y)= P[X<x, Y<y] 称FXY(x,y)为(X,Y)的二维联合分布函数。
随机信号分析(第3版)第一章 习题答案
解： （1）用 Bi 表示第 i 批的所有零件组成的事件，用 D 表示所有次品零件组成的事件。
P ( B1 ) = P ( B2 ) = P ( B3 ) = P ( B4 ) =
100 = 0.05 2000 100 P ( D B3 ) = = 0.1 1000
1 4
P ( D B1 ) =
200 = 0.4 500 100 P ( D B4 ) = = 0.1 1000
22. 23. 24. 已知随机变量 X 服从 [0, a] 上的均匀分布。 随机变量 Y 服从 [ X , a] 上的均匀分布， 试求 （1） （2）
E (Y X ), (0 ≤ X ≤ a ) ； EY a+X 2
⎞ a+a/2 3 = a ⎟= 2 4 ⎠
解： （1）对 x ∈ [0, a ] 有， E (Y X ) =
1 −x f XY ( x, y ) = e 2π
2
+ y2 2
, ( x, y ) ∈ R 2 1 2 =−1， 1 2 − 2 , (u, v ) ∈ R 2
2
u+v 1 ⎧ x= ⎪ ⎪ 2 ，J = 2 由反函数 ⎨ 1 ⎪y = u −v ⎪ ⎩ 2 2
1 −u fUV ( u , v ) = e 4π 1 −u （2）由于, e 4π
2 2
（2） f ( x ) = 0.3δ ( x − 1) + 0.7δ ( x + 1)
E ( X ) = φ ′(0) / j = 1× 0.3 + ( −1) × 0.7 = −0.4 E ( X 2 ) = −φ ′′(0) = 12 × 0.3 + ( −1) × 0.7 = 1 Var ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = 1 − 0.16 = 0.84
随机信号分析第一章 - 马氏过程
参考资料：•《概率论与数理统计》，工程数学，先修课教材•《随机信号分析》，朱华等编，北京理工大学出版社•《随机信号分析解题指南》，李永庆等编，北京理工大学出版社•《概率、随机变量与随机过程》，[美]A·帕普里斯著•研究生系列教材《随机过程》，张卓奎、陈慧婵编著，西安电子科技大学出版社第一章 随机过程马尔可夫过程的概念当随机过程在时刻1i t -所处的状态为已知的条件下，过程在时刻1()i i t t ->所处的状态，与过程在时刻1i t -以前所处的状态无关，而仅与过程在时刻1i t -的状态有关，则称该过程为马尔可夫过程。
这种特性称为随机过程的“无后效性”或马尔可夫性。
2i -i1i -2()i X t -()i X t 1()i X t -状态有限的马尔可夫链称为有限马尔可夫链。
规定一随机变量序列12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可把此序列看作连续型随机过程()X t →采样→(),1,2,n n X X t n ==⋅⋅⋅称为随机变量序列12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 也记作{(),1,2,,}X n n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅或{}n X ，简记为()X n 或n X 。
状态连续定义：若对于任意的n ，有1211(|,,,)(|)X n n n X n n F x x x x F x x ---⋅⋅⋅= （1）写成概率形式11221111{|,,,}{|}n n n n n n n n n n P X x X x X x X x P X x X x ------≤==⋅⋅⋅==≤=即，如果在112211,,,n n n n X x X x X x ----==⋅⋅⋅=条件下n X 的条件分布，等于仅在11n n X x --=条件下n X 的条件分布，则称此随机变量序列n X 为马尔可夫序列。
这一分布函数常称为转移分布。
概率论回顾：(|){|}F x y P X x Y y =≤=为在Y y =下X 的条件分布函数。
随机信号分析-1 随机过程(1)
X(ξ , t) 是随机过程的一个样本
X(ξ , t) 是一个随机变量 X(ξ , t) 是一个确定值
14
随机过程的定义
随机过程判断举例 例1.1 随机初相正弦波X(t)=A cos(ω0t+Φ )， A和ω0是正常数， Φ服从[0, 2π]上的均匀分布。判断其是否为随机过程. 从定义1的角度考虑： Φ是随机变量，每次观测其取值是随 机的，从而得到不同的样本函数，且该函数是时间函数； 从定义2的角度考虑，固定t时，X(t)是随机变量Φ的函数，也
18
随机过程的概率分布
根据定义2，对随机过程采样，可得多维随机变量。在满足 一定采样间隔要求下，随机过程的统计特性可由该多维随机 变量的统计特性反映；因此可将概率论中对随机变量的概率 统计特性的研究方法推广到随机过程的研究中。 随机过程的一维概率分布 定义3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，对任意固定t1∈T 和实数x1 ∈R， 称Fx (x1 ; t1)=P {X(t1) ≤ x1} 为该过程的一维分布函数；若Fx
f X x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn
1
2
n 2
1 ' 1 exp X C X 1 2 2 C
C是协方差矩阵，X=(x1 , x2 , …, xn）
24
随机过程的数字特征
有限维概率密度函数族可完全确定随机过程的全部统计特性， 但有时得到该函数族相当困难，甚至不可能 幸运的是，很多时候只需要掌握随机过程的几个统计值即可； 这些统计值即为随机过程的数字特征，有数学期望、均方值、 方差、相关函数等。 数字特征既能描述随机过程的重要特性，又便于实际测量； 对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然 后用随机变量的分析方法来计算。
随机信号分析pdf第一章
x
−∞
⎧ ( x − m) 2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ dx 2σ 2 ⎭ 2πσ ⎩
（1.3.16）
标准正态分布函数通常用Φ(x)表示，即
Φ ( x) = ∫
2 均匀分布
x
−∞
⎧ x2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ dx 2π ⎩ 2⎭
（1.3.17）
如果随机变量 X 的概率密度函数为
⎧ 1 ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪ ⎩ 0
x≥0 x<0
其中 a、b 为常数，则称 X 服从韦伯分布，参数 a 称为尺度参数，b 称为形状参数，雷达的地杂波 的幅度特性通常可以用韦伯分布来描述，概率密度曲线如图 1.3(e)所示。 6 对数正态分布 如果随机变量 X 的概率密度为
⎧ 1 ⎧ ln 2 ( x / m) ⎫ exp ⎨− ⎪ ⎬ f ( x) = ⎨ x 2πσ 2σ2 ⎭ ⎩ ⎪ 0 ⎩
∫
x2
x1
f ( x)dx ，这说明随机变量 X 落在区间 ( x1 , x 2 ] 上的
概率等于图 1.2 中阴影区的面积。从这条性质我们也可以看出，对于连续型随机变量，有
P( X = x) = 0
f ( x)
0
x1
x2
x
图 1.2 随机变量 X 落在区间 ( x1 , x 2 ) 上的概率 对于离散型随机变量，由于它的概率分布函数是阶梯型，那么它的概率密度函数是一串 δ 函数 之和， δ 函数出现在随机变量的取值点，强度为取该值的概率。即
(1.3.15)
2
其中 m、σ为常数，则称 X 服从正态分布，正态分布通常也简记为 N (m, σ ) 。均值为 0，方差为 1 的正态分布 N (0,1) 称为标准正态分布。正态分布随机变量的概率密度是一个高斯曲线，所以又称 为高斯随机变量，概率密度曲线如图 1.3(a)所示。 正态分布函数，
随机信号分析第1章-随机变量与随机向量
（1）从盒子中任意选取一电阻器作为R的实验中， 样本空间S及其各基本实验结果出现的概率。
（2）经过分压器变换之后，随机变量V的值域空间
Rv和各基本结果的概率。
阻值（ ） 电阻器个数
500
100
30
200
40
+
12V
r0
R
V
E
_
500
15
1000
15
4
解（1）基本可能结果有4个，
s1 (R 100 ), s2 (R 200 ), s3 (R 500 ), s4 (R 1000 )
❖ 例 一个电子服务系统为5个用户服务。若一个用户 使用系统时，系统输出功率为0.6W，而且各用户 独立使用系统，使用概率均为0.3。
（1）求电子服务系统输出功率的概率；
（2）系统输出大于2W时，系统过载，求其过载概 率。
解（1）设输出功率为X，与使用系统的用户数有 关，且X=0.6K ,K取0，1，2，3，4，5，则输出功 率也相应的为0W，0.6W，1.2W，1.8W，2.4W， 3.0W 。输出功率X的概率等于使用系统的用户数K 的概率。在该系统中，使用的用户数K是一个二项 式分布的随机变量。
求（1）X的分布函数F(x);
（2） PX 1
解（1）
x
F (x) f ( )d
F (x) x 1e d 1 ex
2
2
x0
F (x) 0 1e d x 1e d 1 1 ex
2
02
2
（2）P X 1 1exdx 1 e1
12
2
x0
12
❖ 离散型随机变量的概率密度函数和分布函数
（3）F(x,y)是x，y的单增函数。
随机信号分析第一章
02
随机信号的统计描
述
概率密度函数
定义
概率密度函数（PDF） 是描述随机信号在各个 时刻取值概率分布的函 数。
性质
概率密度函数具有非负 性、归一化性质，即概 率密度函数在全域上的 积分等于1。
计算方法
可以通过直方图法、核 密度估计法等方法计算 概率密度函数。
概率分布函数
定义
概率分布函数（CDF）是描述随机信号取值小于或等 于某个值的概率的函数。
随机信号的特性
统计特性
随机信号的统计特性包括均值、 方差、概率分布等，这些特性描 述了信号的平均行为和不确定性 。
时间特性
随机信号的时间特性包括自相关 函数、互相关函数、功率谱密度 等，这些特性描述了信号在不同 时间点的相关性以及频率成分。
随机信号的应用
通信
在通信领域，随机信号可用 于扩频通信、无线通信等领 域，以提高通信的抗干扰能 力和保密性。
05
随机信号的采样定
理
采样定理的内容
采样定理定义
对于一个时间连续的模拟信号，如果以不高于其最高频率分量的频 率进行采样，则可以无失真地恢复原始信号。
采样定理的数学表达式
如果信号的最高频率为Fmax，则采样频率应不小于2Fmax。
采样定理的意义
采样定理是数字信号处理的基础，它确保了从离散样本中能够准确 重建原始信号。
雷达与声呐
在雷达与声呐领域，随机信 号可用于目标检测、测距、 定位等方面，以提高探测的 精度和可靠性。
地球物理学
在地球物理学领域，随机信 号可用于地震勘探、矿产资 源探测等方面，以揭示地球 内部结构和物质分布。
金融与经济
在金融与经济领域，随机信 号可用于股票价格分析、市 场预测等方面，以揭示市场 动态和经济发展趋势。
随机信号分析 第1章概率论
b
1.5随机变量函数
一个对机变量的函数Y=g(X)描述为：观察由实验得到实数x，然后完成由 Y=g(x)定义的算术运算。典型例子如下图所示：
y y y
x x
x
y=bx (a)线性变换
kx, x 0 y 0, x 0 (b)半波整流
y=x2 (c)平方律
为了说明求随机变量函数统计量的直接方法。考察上图a的情形，假设X 的概率密度函数已知，求Y的概率密度函数。
df ( y ) PY ( y ) | | PX [ x f ( y )] dy
1.6统计平均
对于离散随机变量X：定义统计平均（也叫期望，均值，集平均值）为
E[ X ] xi P( xi )
I 1
N
这一定义可以推广到X的函数的平均。例如，若Y=g(X),则
E[Y ] yi P( yi )
由于 Y y} { 的概率等于 X y / b}概率，即有 Y (Y y) P X (X y/b). { P 由概率密度函数定义直 接得到：
PY ( y )
d 1 PX ( X y / b) PX ( x y / b) dy |b|
Y的取值范围是X的取值范围乘以b。
b( x)
2. 概 率 密 度 函 数 定义 :
d f ( x) F ( x) , dx
性质 :
①
f ( x) 0
非负
②
a
f ( x)dx 1
归一性
③
b
f ( x)dx F (b) F (a) p[a X ( A) b]
区间性
离散分布 连续分布
p( x) P(x) (x - x i )
第一章 随机信号基础
样本空间，记为 S
2017/5/2
10/93
4. 随机事件（ Random Event ）
实验 E 中满足一定条件的样本点的集合称为随机
事件, 是S的子集。记为 A , B , …
每个样本点称为基本事件，样本空间S是必然事 件，Ø是不可能事件。
一 基本概念
5. 随机变量 Random Variable（R.V.）
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二 随机变量分布律
d) P x1 X x2 , y1 Y y2 FXY x2 , y2 FXY x1 , y2 FXY x2 , y1 FXY x1 , y1
e) 离散RV：
FXY x , y Pij u x xi , y y j
随机变量不同于普通变量，表现在两点上：
随机变量可以有多个取值，并且永远不能预知它到底
会取哪个值；
随机变量取值是有规律的，这种规律用概率特性来明
确表述；
因此，凡是讨论随机变量就必然要联系到它的取值范 围与概率特性。
2017/5/2
14/93
一 基本概念 (3）多维随机变量(随机向量)
e1· e2· X1(· )
p3
f X x Pi x xi
i 1
m
x1
f x p p2
1
x
30/93
x1
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x2
x3
二 随机变量分布律
2.二维
1）定义
X ,Y
f XY x , y 2 FXY x , y xy
联合概率密度：
称 f X x 或 fY y 为 f XY x, y 的边缘概率密度函数。
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的理论与方法，必然是“张冠李戴”
t
无法得到正确的处理结果。
14
随着科学技术的进步，人们越来越发现，在自然界中所 遇到的大量信号均属于随机信号。如：
（1）－自由电子随机游动，在电阻上产生的“热噪声”。 （2）－某交叉路口每天24小时测量的噪音的分贝记录。 （3）－证卷交易所中，某股票每周涨落的记录。 （4）－反映人的生理、心理活动的“脑电波”。 (5)－反映地球物理特性的“地震信号”。 (6)－人说话时发出的“语音信号”。 （7）－雷达自动跟踪到的某飞行器的“运动轨迹”。 (8)－雷达接收到的目标信号的“幅度与相位”。
7
分析确定信号所用的数学工具有：微富积氏分变、换线、性拉代氏数变、换复、变等函等数
分析随机信号所用的数学工具有：随机概过率程论理论
上述的所有
数学工具
概率论研究的对象－－随机变量 X
随机过程理论研究的对象－－随机过程 X (t)
8
（一）课程的特点、地位、作用和任务：
20
教材及主要参考书
教材：随机信号分析基础（第4版） 王永德 王军 （编著）
电子工业出版社
参考教材：
李晓峰,周宁等编著 随机信号分析(第4版) 电子工业出版社
随机信号分析 赵淑清 郑薇（编著） 哈尔滨工业大学出版社
随机信号处理 陆光华 彭学愚 西安电子科技大学出版社
21
参考书籍
李晓峰,周宁等编著,随机信号分析(第4版)，电子工业出版社
29
30
1.1 概率的基本概念
定义(概率的统计定义) ：
在一定条件下,重复做 N 次实验, NA为 N 次实验中
事A发生的次数,如果随着
N
逐渐增大,频率
N A 逐渐稳定
N
在某一数值p附近,则数值p称为事件A在该条件下发生的
概率,记作
P(A.) p
注: (1) 频率具有稳定性 (2) 当试验次数N较大时,经常用频率代替概率
定义：设A、B为随机试验的两个事件，且P(A)>0，则 称
P(B | A) P(AB) / P(A), P(A) 0 (1.2.1)
为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。 类似地，P(B)>0
P(A | B) P(AB) / P(B), P(B) 0 (1.2.2)
35
1.2.2 乘法定理 设P(B)>0，则有 P(AB) P(A | B)P(B)
随机信号是通信、信号与信息处理、自动控制等学科 领域必须研究的信号形式。比如通信电子信息类专业的后 修课程中需要对随机信号进行处理的课程有：通信原理、 雷达原理、现代数字信号处理、信息论、图像信号处理、 语音信号处理、线性控制系统等等课程。
5
－课程的特点与研究方法－
学会用统计的观点来看研究对象－随机信号 由于随机信号是随机变化和不确定的，只有它的统计
12
根据信号的取值是否确定，可将信号分为确定信号和随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号，且信号的取值是确定的。 随机信号：给定一个时间值时，信号的取值不确定，只知其取某一数值的 概率。
调制信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
13
确定信号－－随时间做有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函 数来描述。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测它 未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的 还是这种波形。
若事件{A1},{A2},{A3}是统计独立的，则满足下列关系
P( A1A2 ) P( A1)P( A2 ) P( A1A3) P( A1)P( A3) P( A2 A3) P( A2 )P( A3)
P( A1A2 A3) P( A1)P( A2 )P( A3)
37
1.2.4 全概率公式
Radar： Radio Detection And Ranging
18
随机信号分析是一门研究随机变化过程的特 点与规律性的学科。
本课程主要介绍随机信号分析和处理的基本 概念、基本理论和基本方法及其应用。从分布 律、数字特征和特征函数引出随机信号的基本 概念，分别在时域和频域讨论随机信号的特点。
19
2
《信号与系统》与《随机信号分析》是电子信息 类专业两门主要的专业基础课，前者主要以分析确定 性的信号与系统为主要内容，后者则以分析随机信号 以及与系统的相互作用为主要内容。
随机信号分析是随机与信号分析的结合。随机性
的分析运用概率论的理论；信号分析运用信号与系统
理论，因此，本课程是概率论与信号与系统的结合 。
统计的概念； 模型的概念； 物理概念，注重数学推演结果和结论的物理意义
11
(三) 课程教学方法与手段：
结合多媒体教学手段以课堂教学为主，布置一 定量的作业。
(四) 课程与其它课程的联系：
该课程要在学生学习《高等数学》、《线性代 数》、《概率论与数理统计》课程后进行，也是 电子信息与通信工程等各专业课程的基础课。
22
罗鹏飞等,随机信号分析与处理,清华大学出版社
23
讲授总目录
绪论 第1章 概率论简介 第2章 随机信号概论 第3章 平稳随机过程 第4章 随机信号的功率谱密度 第5章 随机信号通过线性系统 第7章 窄带随机过程
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课程的教学组织及时间安排
绪论 1 概率论基础 2 随机信号概论
3 平稳随机过程
它具有三个特点：重复性，明确性，随机性. 2、随机试验的样本点——随机试验的每一个可能
结果.
28
3.随机试验的样本空间（Ω或S Sample Space） ——随机试验的所有样本点构成的集合.
4.基本事件（Event）——Ω的单元素子集，即每个 样本点构成的集合.
5.随机事件——Ω的子集，常用F表示. 6.必然事件（Ω），包含所有样本点。 7.不可能事件（Φ），不包含任何样本点。
和处理的基本概念及它的基本理论和方法，从
而初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，
培养学生运用概率论与随机过程分析方法解决
实际问题的能力。
建立：利用统计学概念，建立随机信号的系统
函数和数学模型，分析数学推演的结果和结论
的物理意义的思想。
10
本课程是一门专业技术基础课，不过多追求数学上的 严密，注重的是要掌握随机信号分析的基本原理和方 法，对复杂的理论和数学问题着重采用与实际的电子 工程技术问题相联系的途径和方法去处理。
若P(A)>0，则有 P(AB) P(B | A)P(A)
乘法定理可以推广到n个事件之积的情况。设 A1,A2,…, An为n个事件(n>=2)，且P(An| A1,A2,…, An-1)>0则有
P( A1A2... An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )... P( An | A1A2... An1)
称为随机试验 E 的概率空间。
32
1.1.2 概率的主要性质:
(1)P(Φ)=0，P(Ω)=1，逆不一定成立. (2)加法公式
若AB= Φ,则P(A+B)=P(A)+P(B) 即:若A1,A2,…,An两两互斥,则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
33
(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)，P(Ω-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)； P(A)≤P(B);
3
随机信号分析与处理是一门研究随机信号 的特点与规律的学科，它广泛应用于雷达、 通信、自动控制、随机振动、地震信号处理、 图像处理、气象预报、生物电子等领域。近 几年来，随着现代科学技术，特别是信息科 学技术的发展，随机信号处理已是现代信号 处理的重要理论基础和有效方法之一。
4
随着现代化发展的需要，掌握这套方法，已不仅仅是 我们通信、信息类专业的要求，也已成为所有科技领域、 金融、管理、生物医学等许多专业的需要。
规律才是确定的，因此对随机信号而言，从描述方式、推 演方式到分析方法都是在统计意义上讨论与定义的。所以 必须学会用统计的观点来看所有随机的问题。
6
－课程的特点与研究方法－
学习时必须注重物理概念的理解 该课程是电子信息类和相关专业的一门专业基础课
程，不是一门数学课程，课程中用到的许多数学理论 是处理随机信号问题的数学工具。学习时除了注意处 理随机信号的方法外，更重要的是深入理解数学推演 结果、结论的物理意义。对一些复杂的数学推演的中 间步骤不必死记硬背，更不必深究其数学上的严密性， 重在掌握分析的思路与方法。
随机信号－－随时间做无规律的、未知的、“随机”的变化。无法用 确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。 这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。
t
另外，信息在传输的过程中，不仅
传输的信号多数本身具有随机性，同
时它们还要受到传输系统（随机）噪
声的影响，使结果具有更加复杂的
随机性。如果使用经典的、确定信号
统原理》及从事统计信号处理研究 应用领域：雷达、通信、信号与信息处理、
自动控制、随机振动、地震信号处理、图像 处理、气象预报、生物电子等领域。
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第1章 概率论简介
1.1 概率的基本概念
1.1 .1概率的基本概念 概率的概念与日常生活中事件出现的机会，
或者说几率相关。与概率统计定义相关的几个定义： 1、随机试验（Random Experiment 简称E）— —对随机现象进行的观察与科学实验.
(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), ， P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC) P(BC)+P(ABC)