函数的最值知识点总结与 题型归纳

函数的最值

知识梳理

1. 函数最大值

一般地，设函数()y f x =的定义域为I . 如果存在实数M 满足：

①对于任意x 都有()f x M ≤.②存在0x I ∈，使得0()f x M =.那么，称M 是函数()y f x =的最大值.

2. 函数最小值

一般地，设函数()y f x =的定义域为I . 如果存在实数M 满足：

①对于任意x 都有()f x M ≥.②存在0x I ∈，使得0()f x M =.那么，称M 是函数()y f x =的最小值. 注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．

3. 函数的最值与其单调性的关系．

（1）若函数在闭区间[,]a b 上是减函数，则()f x 在[,]a b 上的最大值为 f (a )，最小值为 f (b )；

（2）若函数在闭区间[,]a b 上是增函数，则()f x 在[,]a b 上的最大值为 f (b )，最小值为 f (a )．

4．二次函数在闭区间上的最值．

探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出()y f x =的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．

例题精讲 【例1】求函数()3f x x =在[0,3]上的最大值和最小值．

解：因为函数()3f x x =在[0,3]上单调递增

所以()3f x x =在[0,3]上的最大值为(3)339f =⨯=；

()3f x x =在[0,3]上的最小值为(0)300f =⨯=；

【例2】求函数1

2-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：函数12-=x y 的图象如下图所示，所以1

2-=x y 在区间[2，6]上单调递减； 所以12-=x y 在区间[2，6]上的最大值为2221

=-； 最小值为22615

=-. 题型一 利用图象求最值

【例3】求下列函数的最大值和最小值.

（1）25332,[,]22

y x x x =--∈- （2）|1||2|y x x =+--

解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为 x ＝－1.

画出函数的图象，由下图，可知：

当1x =-时，max 4y =；当32x =时，min 94

y =-.

所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-最大值为4，最小值为94

-. （2）3,2|1||2|21,

123,1

x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩ 作出函数图象，如下图，可知：[3,3]y ∈-

所以函数的最大值为 3, 最小值为－3.

题型二 利用函数单调性求最值

【例4】求函数9()f x x x

=+在[1,3]x ∈上的最大值和最小值. 分析：先判断函数的单调性，再求最值.

解：因为1213x x ≤<≤ 所以12121299()()()f x f x x x x x -=+-+121299()x x x x =-+-211212

9()x x x x x x -=-+ 因为1213x x ≤<≤所以120x x -<，129x x ≤ 所以12

910x x -<，所以12()()0f x f x ->,12()()f x f x > 所以9()f x x x

=+在区间[1,3]上单调递减； 所以求函数()f x 在[1,3]x ∈上的最小值为918(3)333f =+

=，最大值为9(1)1101f =+=. 题型三 函数最值的应用

【例5】已知函数22()x x a f x x

++=，[1,)x ∈+∞ （1）当12

a =时，求函数()f x 的最小值. （2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求a 的取值范围.

解：（1）当12a =时，2122()x x f x x ++=

设121x x ≤<

则121212

11()()(2)(2)22f x f x x x x x -=++-++ 因为120x x -<，所以1221x x >，12210x x ->

所以12()()0f x f x -<，12()()f x f x <

所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增

所以的最小值为17(1)1222

f =++=. （2）()0f x >对[1,)x ∈+∞恒成立?

220x x a ++>对[1,)x ∈+∞恒成立?

22a x x >-- 对[1,)x ∈+∞恒成立．

令222(1)1u x x x =--=-++，其在[1,)+∞上是减函数，

∴当1x =时，max 3u =-. 因此3a >-.

故实数a 的取值范围是(3,)-+∞．

课堂练习

仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1．函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋7 x ∈[－1，1]

，则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A ．10,6 B ．10,8 C ．8,6 D ．以上都不对 2．已知f (x )在R 上是增函数，对实数a 、b 若a ＋b ＞0，则有( )

A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )

B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )

C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b )

D ．f (a )－f (b )＜f (－a )＋f (－b )

3. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝

a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)

D ．(0,1] 4．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( )

A ．最大值4，最小值0

B ．最大值0，最小值－4

C ．最大值4，最小值－4

D ．最大值、最小值都不存在

5．函数y ＝－x 2－10x ＋11在区间[－1,2]上的最小值是________．

6．如果函数f (x )＝－x 2＋2x 的定义域为[m ，n ]，值域为[－3,1]，则|m －n |的最小值为________．

7. 已知函数2()23f x x x =--，若[,2]x t t ∈+时，求函数()f x 的最值.

8. 求函数()1

x f x x =-在区间[2,5]上的最大值和最小值. 9. 已知函数 f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5].

（1）当 a ＝－1 时，求 f (x )的最大值和最小值；

（2）求使函数 y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数的 a 的取值范围．