正比例函数与一次函数知识点归纳

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《正比例函数与一次函数》知识点归纳知识讲解

《正比例函数与一次函数》知识点归纳《正比例函数》知识点一、表达式：y=kx （k≠0的常数）二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线；说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”；三、性质特征：1、图像经过的象限:k>0时，直线过原点，在一、三象限；k<0时，直线过原点，在二、四象限；2、增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；四、成正比例关系的几种表达形式:1、y与x成正比例：y=kx (k≠0);2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0);3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0);《一次函数》知识点一、表达式：y=kx+b（k≠0, k, b为常数）注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

二、图像：一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。

说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”；（2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）；直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.三、性质特征：1、图像经过的象限：（1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限；（2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限；（3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限；（4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限；2、增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；3、一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”：（1） k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；（2）∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜程度∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大；∣k∣越小，直线越平缓，直线越远离y轴，与x轴的夹角越小；(3) b的作用：b决定直线与y轴的交点位置b>0时，直线与y轴正半轴相交(或与y轴的交点在x轴的上方)；b﹤0时，直线与y轴负半轴相交（或与y轴的交点在x轴的下方）；（4）k和b的共同作用：k和b共同决定直线所经过的象限四、直线的平移规律：直线y=kx+b可以由直线y=kx平移得到当b>0时，将直线y=kx：向上平移b个单位得到直线y=kx+b；当b﹤0时，将直线y=kx：向下平移∣b∣个单位得到直线y=kx+b；五、两条直线平行和垂直：直线m：y=ax+b; 直线n: y=cx+d（1）当a=c，b≠d时，直线m∥直线n,反之也成立；例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

《正比例函数与一次函数》知识点归纳

《正比例函数与一次函数》知识点归纳《正比例函数》知识点表达式：y=kx （心0的常数）图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1,说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kX'；性质特征：1、图像经过的象限：k>0时，直线过原点，在一、三象限；k<0时，直线过原点，在二、四象限；增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由高降低;，直线从左往右由低升高;1、y与x成正比例：y=kx （k工0）;2、y 与x+ a 成正比例：y=k（x + a）（k 工0）;3、y + a与x成正比例：y + a=kx （k工0）;4、y + a 与x+ b 成正比例：y + a= k（x + b）（k 工0）;《一次函数》知识点表达式：y=kx+b （心0, k, b为常数）注意：（1）k M0,自变量x的最高次项的系数为1 ；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

四、成正比例关系的几种表达形式：的直线;2、、图像:一次函数y=kx+b （k丰0, b丰0）的图像是：一条经过（」,0）和k （0, b）的直线。

说明：（1）一次函数y=kx+b （k工0, b工0）的图像也叫做“直线y=kx+b” ;（2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-丄，0）；k直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.三、性质特征：1、图像经过的象限：（1）、k>0, b>0时，直线经过一、二、三象限；（2）、k>0, b< 0时，直线经过一、三、四象限；（3）、k < 0,b>0时，直线经过一、二、四象限；（4）、k < 0, b < 0时，直线经过二、三、四象限；b/02、增减性及图像走向:k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；3、一次函数y=kx+b （k工0, b工0）中“ k和b的作用”：（1）k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低;k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高;（2）I k I的作用：l k I决定直线的倾斜程度I k I越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大;I k I 越小，直线越平缓，直线越远离 y 轴，与x 轴的夹角越小；(3) b 的作用：b 决定直线与y 轴的交点位置b>0时，直线与y 轴正半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的上方)；b <0时，直线与y 轴负半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的下方)；(4) k 和b 的共同作用：k 和b 共同决定直线所经过的象限四、直线的平移规律：直线y=kx+b 可以由直线y=kx 平移得到当b>0时，将直线y=kx :向上平移b 个单位得到直线y=kx+b ;当b < 0时，将直线y=kx :向下平移I b I 个单位得到直线y=kx+b ;五、两条直线平行和垂直：直线 m y=ax+b;直线n: y=cx+d(1)当a=c ， b M d 时，直线m//直线n,反之也成立；例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x 平行。

初三数学函数知识点归纳

初三数学函数知识点归纳一、函数的概念1. 定义在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。

2. 函数的表示方法解析法：用数学式子表示两个变量之间的函数关系，如。

列表法：通过列出自变量与函数的对应值来表示函数关系，例如，在研究正方形面积与边长的关系时，可列出时，；时，等表格。

图象法：用图象来表示函数关系，如一次函数的图象是一条直线。

二、一次函数1. 定义形如是常数，的函数叫做一次函数。

当时，叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

2. 一次函数的图象与性质图象：一次函数的图象是一条直线，叫做直线在轴上的截距。

当，时，图象经过一、二、三象限；当，时，图象经过一、三、四象限；当，时，图象经过一、二、四象限；当，时，图象经过二、三、四象限。

性质当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。

3. 一次函数的解析式的确定通常采用待定系数法，设出函数解析式，根据已知条件列出关于、的方程组，解方程组求出、的值，从而确定函数解析式。

三、反比例函数1. 定义形如为常数，的函数叫做反比例函数。

2. 反比例函数的图象与性质图象：反比例函数的图象是双曲线。

当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大。

反比例函数图象关于原点对称，它的对称轴是直线和。

3. 反比例函数解析式的确定同样采用待定系数法，设，把已知点的坐标代入求出的值即可确定解析式。

四、二次函数1. 定义形如是常数，的函数叫做二次函数。

2. 二次函数的图象与性质图象：二次函数的图象是一条抛物线。

顶点坐标：。

对称轴：直线。

性质当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，函数有最大值。

一次函数知识点梳理

一次函数知识点梳理1、正比例函数是指形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数。

2、正比例函数的图象是一条经过原点和（1,k）的直线，我们称它为直线y=kx。

当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降。

3、确定一个正比例函数，需要确定常数k，其基本步骤是：设出含有待定系数的函数解析式y=kx，把已知条件代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程，解方程求出待定系数k，将求得的待定系数的值代回解析式。

4、一次函数是指形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0）的函数，当b=0时，y=kx，因此正比例函数是一种特殊的一次函数。

5、一次函数的图象是经过（0,b）和另一点的直线，根据几何知识，经过两点能画出一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。

6、一次函数y=kx＋b的图象可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到。

7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0，b>0经过第一、二、三象限，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k>0，b<0经过第一、三、四象限，图象从左到右上升，y随x的增大而减小。

k0经过第一、二、四象限，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

k<0，b<0经过第二、三、四象限，图象从左到右下降，y随x的增大而增大。

k>0，b=0经过第一、三象限，图象从原点开始，从左到右上升。

k<0，b=0经过第二、四象限，图象从原点开始，从左到右下降。

8、直线y1=kx＋b与y2=kx的图象位置关系：y1与y2平行，但y1的截距比y2的截距大|b|个单位长度。

1.当斜率k和截距b为正数时，将y=kx的图像向上平移b 个单位，就得到y=kx+b的图像。

2.当斜率k为正数，但截距b为负数时，将y=kx的图像向下平移|b|个单位，就得到y=kx+b的图像。

一次函数知识点大全

一次函数知识点大全一、一次函数和正比例函数的概念1．概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x的正比例函数.（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.★判断一个等式是否是一次函数先要化简（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.(正比例函数)（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.二、函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.三、一次函数性质1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．2. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．y=kx (k>0)y=kx (k<0)3.点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P 必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．四、一次函数与方程1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．2. 坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示．3. 一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．（3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．5. 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值；（4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。

一次函数与正比例函数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题4.4一次函数与正比例函数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数与正比例函数的定义1.定义若两个变量x,y的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.2.一次函数与正比例函数的关系(1)正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中b=0的特例,即正比例函数都是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数,(2)若已知y与x成正比例,则可设函数关系式为y=kx(k≠0);若已知y是x的一次函数,则可设函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0)【知识点2】一次函数的关系式列一次函数的步骤(1)认真分析，理解题意；(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；(3)写出一次函数的关系式；(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题,还要考自变量的取值要使实际问题有意义.特别提醒（1）确定一次函数关系式的方法：（2）按相等关系写出含有两个变量的等式；（3）将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函数关系式的形式.【考点一】一次函数与正比例函数的定义【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？2πC r =，22003y x =+，200t v =，2(3)y x =-，(50)s x x =-．【分析】根据一次函数与正比例函数逐个分析判断即可求解．一般地，两个变量x 、y 之间的关系式可以表示成形如y kx =的函数（k 为常数，x 的次数为1，且0k ≠），那么y kx =就叫做正比例函数．一次函数的定义：一次函数y kx b =+中k b 、为常数，0k ≠，自变量次数为1．解：2πC r =，是正比例函数，2πk =；22003y x =+是一次函数，23k =，200b =；200t v=不是一次函数，也不是正比例函数；2(3)y x =-26x =-+，是一次函数，2k =-，6b =；(50)s x x =-250x x =-+，不是正比例函数也不是一次函数．【点拨】本题考查了正比例函数与一次函数的定义，掌握正比例函数与一次函数的定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）若y 关于x 的函数(4)y a x b =-+是正比例函数，则a ，b 应满足的条件是（）A ．4a ≠且0b ≠B ．4a ≠-且0b =C ．4a =且0b =D ．4a ≠且0b =【答案】D【分析】正比例函数的解析式为y kx =，其中0k ≠，据此求解．解： (4)y a x b =-+是正比例函数，∴40a -≠且0b =，∴4a ≠且0b =．故选D ．【点拨】本题考查根据正比例函数的定义求参数，解题的关键是掌握正比例函数中一次项系数不能为0，无常数项．【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考期中）下列关系式：①6x y =；②321y x =+；③25y x =-+；④221y x =+；⑤5y x =-．其中y 是x 的一次函数的有个．【答案】3【分析】形如y kx b =+（0k ≠，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，进而判断得出答案．解：函数①6xy =，③25y x =-+，⑤5y x =-是一次函数，共有3个，②321y x =+，④221y x =+，不是一次函数，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．【考点二】一次函数与正比例函数的参数【例2】（2022秋·安徽安庆·八年级校考阶段练习）已知函数1012y m x m =-+-（）．（1）m 为何值时，这个函数是一次函数；（2）m 为何值时，这个函数是正比例函数．【答案】（1）10m ≠；（2）12m =【分析】（1）根据一次函数的定义求解；（2）根据正比例函数的定义求解．解：（1）根据一次函数的定义可得：100m -≠，∴当10m ≠时，这个函数是一次函数；（2）根据正比例函数的定义，可得：100m -≠且120m -=，∴12m =时，这个函数是正比例函数．【点拨】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如()0y kx b k =+≠的函数叫做一次函数，特别的，当0b =时，()0y kx k =≠叫做正比例函数，熟知概念是关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，且当213x x =+时，211y y =-，则k 的值为（）A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【分析】分别把点()11,A x y ，()22,B x y 代入一次函数y kx b =+，根据213x x =+，211y y =-时，即可得出结论．解：一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，∴1122y kx b y kx b =+=+，，∴1212y y kx kx -=-，213x x =+ ，211y y =-，∴121213x x y y -=-=-，，31k ∴-=，即13k =-．故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．【变式2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知()2835my m x m -=++-是关于x 的一次函数，则m =.【答案】3【分析】根据一次函数的定义得到281m -=且30m +≠，据此求出m 的值即可．解：()2835my m x m -=++- 是关于x 的一次函数，281m ∴-=且30m +≠，解得：3m =，故答案为：3．【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如()0y kx b k =+≠的函数，叫做一次函数，会利用x 的指数构造方程，会利用k 限定字母的值是解题关键．【考点三】求一次函数的自变理或函数值【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数()()2324m y m x m -=++-，（1）当m 是何值时函数是一次函数．（2）当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当1x =时的函数值．（3）点(),2A n 在此一次函数图象上，则n 的值为多少．【答案】（1）2m =；（2）42y x =-，当1x =时，2y =；（3）1n =【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）所求代入m 得值求出对应的函数关系式，再把1x =代入对应的函数关系式求出此时y 的值即可；（3）代入2y =，求出此时x 的值即可得到答案．（1）解：∵函数()()2324my m x m -=++-是一次函数，∴22031m m +≠⎧⎨-=⎩，∴2m =，∴当2m =时，函数()()2324my m x m -=++-是一次函数；（2）解：由（1）得()()232442my m x m x -=++-=-，∴当1x =时，4122y =⨯-=；（3）解：在42y x =-中，当422y x =-=时，1x =，∴()1,2A ，∴1n =．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如y kx b =+（其中k 、b 都是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数．【举一反三】【变式1】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）不论实数k 取何值，一次函数3y kx =-的图象必经过的点是（）A ．()0,3-B ．()0,3C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】令0x =，求出y 值即可得解．解：一次函数3y kx =-，当0x =时，=3y -，∴不论k 取何值，函数图象必过点(0,3)-．故选：A ．【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【变式2】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线34y x =+过点(,)P a b ，则32023a b -+的值为．【答案】2019【分析】把(,)P a b 代入34y x =+即可得到34a b +=，代入32023a b -+即可求解．解：直线34y x =+过点(,)P a b ，34b a ∴=+，34a b ∴-=-，32023420232019a b ∴-+=-+=，故答案为：2019．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系y kx b =+是解题的关键．【考点四】列函数解析式及求函数值【例4】（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x （人)与这趟公交车每月的利润（利润=收入费用-支出费用）y （元)的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）x （人)50010001500200025003000⋯y （元)3000-2000-1000-010002000⋯请回答下列问题：（1）自变量为，因变量为；（2）y 与x 之间的关系式是；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数，公交车每月的利润；（2）24000y x =-；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案；（2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式；（3）把x =4000代入函数关系式求出y 的值即可．（1）解：由题意可知：自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．故答案为：每月的乘车人数，公交车每月的利润．（2）解：从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，∴每位乘客坐一次车需要10005002÷=（元)，即函数关系式为：2(500)300024000y x x =--=-．（3）解：当4000x =时，2400040004000y =⨯-=（元)．答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．【点拨】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·八年级课时练习）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A ．()1203004S t t =-≤≤B ．()3004S t t =≤≤C ．()120300S t t =->D ．()304S t t ==【答案】A【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t 的取值范围即可．解：∵汽车行驶的路程为：30t ，∴汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系为：12030S t =-，∵120304÷=，∴自变量t 的取值范围是04t ≤≤，故选：A ．【点拨】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系．【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）一根长为24cm 的蜡烛被点燃后，每分钟缩短1.2cm ，则其剩余长度y （cm ）与燃烧时间x （min ）的函数关系式为，自变量的取值范围是．【答案】y =24-1.2x0≤x ≤20【分析】根据题意，剩下的蜡烛长度=总长度-已经燃烧的长度，已经燃烧的长度=每分钟缩短长度×燃烧时间，即可写出解析式；列出关系式，根据蜡烛最长的燃烧时间可得自变量的取值范围；解：由题意可得：函数关系式为：y=24-1.2x ，∵x 0≥，y 0≥∴24-1.2x 0≥∴x 20≤．∴自变量x 的取值范围是0≤x≤20．故答案为：y=24-1.2x ，0≤x≤20．【点拨】本题目考查一次函数的实际应用，正确理解题意，找到实际问题中的等量关系是解题的关键．。

第五章一次函数专题5.2 一次函数与正比例函数-重难点题型(含解析)

一次函数与正比例函数6大题型【题型1 一次函数的概念】【例1】（2021春•娄星区期末）在下列函数中：①y ＝﹣8x ；②；③；④y ＝﹣8x 2+5；⑤y ＝﹣0.5x ﹣1，一次函数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1-1】（2020秋•肥西县校级月考）下列函数：（1）y ＝3x ；（2）y ＝2x ﹣1；（3）；（4）y ＝x 2﹣1；（5）中，是一次函数的有（）个A ．4B ．3C ．2D ．1【变式1-2】（2021春•汉阴县期末）在①y ＝﹣8x ：②y ：③y1；④y ＝﹣5x 2+1：⑤y＝0.5x ﹣3中，一次函数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1-3】下列语句中，y 与x 是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y （千米）与行驶时间x （时）之间的关系（2）圆的面积y （厘米2）与它的半径x （厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x 月后这个棵树的高度为y 厘米，y 与x 的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x 千克大米时，花费y 元，y 与x 的关系．A ．1B ．4C ．3D ．2【题型2 利用一次函数的概念求值】【例2】（2021春•昭通期末）若y ＝（k ﹣2）x |k ﹣1|+1表示一次函数，则k 等于（）A ．0B ．2C ．0或2D ．﹣2或0【变式2-1】（2021春•雨花区期中）若函数y ＝（m +2）x |m |﹣1﹣5是一次函数，则m 的值为（）A ．±2B ．2C ．﹣2D ．±1【变式2-2】（2021春•杨浦区期末）如果y ＝kx +x +k 是一次函数，那么k 的取值范围是．【变式2-3】已知y ＝（k ﹣1）x |k |+（k 2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x＝3时，y的值；（3）当y＝0时，x的值．【题型3 正比例函数的概念】【例3】（2021春•萝北县期末）若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m ＝．【变式3-1】函数y＝（k+1）是正比例函数，则常数k的值为．【变式3-2】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为．【变式3-3】已知函数y＝2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a＝　．定系数法。

一次函数知识点总结

一次函数知识点总结1、正比例函数一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.2、正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.3、正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数k；（4）将求得的待定系数的值代回解析式.4、一次函数一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.5、一次函数的图象（1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过（0，b）和两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.（2）一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b）， .即横坐标或纵坐标为0的点.6、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0,b>0 经过第一、二、三象限k>0,b<0经过第一、三、四象限k>0,b=0经过第一、三象限k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0 b>0经过第一、二、四象限k<0,b<0经过第二、三、四象限K《0,b=0经过第二、四象限k<0 图象从左到右下降，y随x的增大而减小8、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：(1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．(2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．9、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b)．10、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为( ，0)与y轴交点坐标为(0，b)基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

完整版)一次函数知识点梳理

完整版)一次函数知识点梳理一次函数知识点梳理1、正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

2、正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的直线，我们称它为直线y=kx。

当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

3、正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k≠0）中的常数k，其基本步骤是：1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx（k≠0）；2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；3）解方程，求出待定系数k；4）将求得的待定系数的值代回解析式。

4、一次函数一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。

当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

5、一次函数的图象1）一次函数y=kx＋b（k≠0）的图象是经过（0,b）和另外一点的直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b。

2）一次函数y=kx＋b的图象的画法。

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。

一般情况下，先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），再选取横坐标或纵坐标为1的点。

6、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。

7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k | b | 图象经过的象限 | 图象走势 |0 |。

知识点16正比例函数与一次函数图象、性质及其应用

斜率决定图象的倾斜程度
正比例函数的斜率决定了直线的倾斜程度，斜率越大，直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓。
正比例函数性质分析
比例系数决定函数增减性
正比例函数的增减性由比例系数决定。当比例系数大于0时，函数值随自变量增大而增大；当比例系数小于0时，函数值随自变量增大而减小。
函数值与自变量成正比
在正比例函数中，函数值与自变量成正比关系，即当自变量成倍增加时，函数值也成倍增加。
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实际问题中的一次关系
线性增长问题
某个量随时间的变化而线性增长，如年龄、身高等。
线性减少问题
某个量随时间的变化而线性减少，如汽车行驶中的油耗等。
定价问题
在商品销售中，销售额与销售量之间的一次函数关系，即销售额=单价×销售量。
综合应用举例
速度、时间、路程的综合应用
在解决行程问题时，需要同时考虑速度、时间和路程三个因素，利用正比例函数和一次函数进行求解。
04
正比例函数与一次函数应用
实际问题中的正比例关系
匀速运动问题
当物体做匀速直线运动时，其速度与时间成正比例关系，即速度=路程/时间。
工作量问题
在工作效率一定的情况下，工作总量与工作时间成正比例关系，即工作总量=工作效率×工作时间。
购物问题
在购买同一种商品时，总价与商品数量成正比例关系，即总价=单价×数量。
03
一次函数图象与性质
一次函数图象特点
01
02
03
直线性
一次函数的图象是一条直线。
斜率
直线的斜率等于一次函数的比例系数。
截距
直线在y轴上的截距等于一次函数的常数项。
一次函数性质分析

一次函数和正比例函数

一次函数和正比例函数
一次函数：
一次函数是指一元函数f(x)=ax+b，其中a,b(a ≠ 0)常数。

当x 增加1时，y的变化量相同，变化量由a来决定，而b用来表示当x=0时，y的值。

因此一次函数的特征：一次函数的图像在一般都是一条直线，因为x变化量固定，y也就是恒定地增加，函数约束在一个程度上也固定，所以是直线。

正比例函数：
正比例函数是一种特殊的一次函数，它的一般式为f(x)=ax，这里的a是一个正数，表示正比的程度，当a增大时，函数增加的速率就越快。

其性质可表示为：当x增大一个单位，则函数值也增大a个单位。

正比例函数的图像也是一条直线，和一次函数一样，因为正比关系也是一种“等比例”关系，要满足直线性，不可避免地要与x轴距离固定，它们也是强制约束，所以也是一条直线。

一次函数与正比例函数有以下共同特点：
（1）其函数形式均为一次函数，即f(x) = ax + b和f(x) = ax。

（2）函数的图像都是一条直线，只是正比关系的斜率a不一样而已。

正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳正比例函数：解析式：y=kx（k为常数，k工0） ,k叫做函数的比例系数;（注意：x的指数为1）图像：过原点的直线；必过点：（0,0 ）和（1，k）；走向：k>o,图像过一三象限，k<0,图像过二四象限；y yK>0k<0/ \0OJx IV x倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小,也就是越靠近x轴；如图：yy=2x//y=xO yx增减性：k>O,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；一次函数：解析式：y=kx+b（k，b为常数，k^ 0），k叫做函数的比例系数,（注意：x的指数为1,b为直线与y轴交点的纵坐标）；正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0时的一种情况；图像：一条直线；必过点：（0，b）（-b/k，0）；走向：k>o, b>0,图像过一二三象限，k>0,b<0,图像过一三四象限;y yk>0,b<0O O /x x倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠近x轴；如图：yy=2x /F y=xk>0,b>0k<o，b>0,图像过一二四象限k<o ，b>0,图像过二三四象限增减性：k>O,y 随x 的增大而增大；k<0, y 随x 的增大而减小；平移：y=kx+b,向上平移 m 个单位：y=kx+b+m;向下平移 n 个单位：y=kx+b-n;向左平移 m 个单位：y=k （x+m ）+b;向右平移 n 个单位：y=k （x-n ）+b;简称：上加下减，左加右减；（注：上加下减到代数式后面，左加右减到x 后面，直接与x进行加减，与系数和指数都没关系）；反比例函数：解析式：y=k/x （k 为常数，k z 0）图像：双曲线（图像无限靠近坐标轴, 所在象限：k>0图像经过一三象限；增减性：k>0,y 随x 的增大而减小；k<0,y 随x 的增大而增大;反比例函数知识点归纳1、基础知识（一）反比例函数的概念但永不相交。

八年级数学《一次函数与正比例函数》知识点总结

八年级数学《一次函数与正比例函数》知识点总结1．一次函数的定义若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量)．谈重点一次函数的条件函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x ，y 的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式．【例1】下列函数中，是一次函数的是( )．A ．y ＝7x 2B ．y ＝x －9C ．y ＝6xD ．y ＝1x ＋1 解析：A× x 的次数是2，不是1，所以它不是一次函数． B√ 符合一次函数的一般形式． C× 含有自变量x 的代数式不是整式，所以不是一次函数． D× 答案：B2．正比例函数的定义对于一次函数y ＝kx ＋b ，当b ＝0，即y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)时，我们称y 是x 的正比例函数．辨误区一次函数与正比例函数的关系需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b ＝0，且k ≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．【例2】下列函数中，是正比例函数的是( )．A ．y ＝－2xB ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝－2x 2D ．y ＝－2x 解析：A √ 符合正比例函数的一般形式．B×b＝1≠0，所以它不是正比例函数．C×x的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数.D×含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.答案：A辨误区正比例函数的判断要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y＝kx＋b(k≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y＝kx(k≠0)的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式．点技巧如何列函数关系式列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．【例3】甲、乙两地相距30 km，某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地，并继续向乙地走．(1)试分别确定甲、丙两地距离s1(km)及丙、乙两地距离s2(km)与时间t(h)之间的函数关系式．(2)它们是什么函数．分析：路程＝速度×时间，s2＝30－s1.解：(1)s1＝4t，s2＝30－4t.(2)两个函数都是一次函数，而s1＝4t还是正比例函数．点评：此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．联系：①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b ＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．【例4－1】在下列函数中，x 是自变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y ＝3x ；(2)y ＝1x ；(3)y ＝－3x ＋1；(4)y ＝x 2.分析：这类判断题，应严格按照有关函数的定义，看函数是不是可以表示为规定的形式．解：一次函数是(1)y ＝3x 和(3)y ＝－3x ＋1.其中(1)y ＝3x 还是正比例函数，(2)、(4)既不是一次函数，也不是正比例函数．【例4－2】已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式．分析：设正比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，要求出待定系数k ，必须有x 与y 的一组对应值，所以关键是要将已知条件转化为具体的数值．因为当x ＝0时，y ＝0，所以我们可以根据题意，给出一对特殊值：当x ＝1时，y ＝－2.这就是我们需要的等量关系．解：设正比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，根据题意，当x ＝1时，y ＝－2.代入函数解析式，得－2＝k .故所求函数解析式为y ＝－2x .5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．辨误区写解析式，定自变量的范围通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围．【例5】一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L，行驶了1 h 后发现已耗油1.5 L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；(2)如果摩托车以60 km/h的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L时，老王行驶了多少千米？分析：根据油箱中原有油9 L,1 h耗油1.5 L，则t h耗油1.5t L，得到行驶t h后油箱中剩余油量为(9－1.5t)L，由此可得出函数关系式．解：(1)Q＝9－1.5t，由9－1.5t＝0，得到t＝6，故t的取值范围为0≤t≤6.(2)由3＝9－1.5t，得t＝4.于是s＝v t＝60×4＝240(km)．故老王行驶了240 km.。

初二数学正比例反比例一次函数知识点总结

正比例、反比例、一次函数第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)第三象限(－、－)第四象限(＋，－)；x 轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x 轴上，y 轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y 轴上，若两个点关于x 轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。

原点（x ，y ）（x ，-y ）；（x ，y ）（-x ，y ）；（x ，y ）（-x ，-y ）对称1、一次函数，正比例函数的定义（1）如果y=kx+b(k,b 为常数，且k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数。

（2）当b ＝0时，一次函数y=kx+b 即为y=kx(k ≠0).这时，y 叫做x 的正比例函数。

注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。

2、正比例函数的图象与性质（1）正比例函数y=kx(k ≠0)的图象是过（0，0）（1，k ）的一条直线。

3、一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是必过点（0，b ）和点（－k b ，0）的一条直线。

注：（0,b ）是直线与y 轴交点坐标，（－kb ，0）是直线与x 轴交点坐标.x 轴对称 y 轴对称4、一次函数y=kx+b(k≠0, k b 为常数)中k 、b的符号对图象的影响（1）k>0, b>0⇔直线经过一、二、三象限（2）k>0, b<0⇔直线经过一、三、四象限（3）k<0, b>0⇔直线经过一、二、四象限（4）k<0, b<0⇔直线经过二、三、四象限5、对一次函数y=kx+b 的系数k, b 的理解。

（1）k(k ≠0)相同，b 不同时的所有直线平行，即直线l 1:y=k 1x+b 1；直线l 2:y=k 2x+b 2( k 1，k 2均不为零，k 1，b 1，k 2， b 2为常数)k 1=k 2 k 1=k 2l 1∥l 2平行 l 1与l 2重合b 1≠b 2 b 1=b 2（2）k(k ≠0)不同，b 相同时的所有直线恒过y 轴上一定点（0,b ），例如：直线y=2x+3, y=-2x+3, y=21x+3均交于y 轴一点（0，3） 6、直线的平移：所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，平移得到的直线k 不变，直线沿y 轴平移多少个单位，可由公式︱b 1－b 2︱得到，其中b 1，b 2是两直线与y 轴交点的纵坐标，直线沿x 轴平移多少个单位，可由公式︱x 1－x 2︱求得，其中x 1，x 2是由两直线与x 轴交点的横坐标。

正比例、一次函数笔记

正比例函数、一次函数、反比例函数（一）正比例函数：1、一般形式：y=kx (其中k是比例系数，k≠0)2、图像：是一条经过原点的直线。

3、简单作图：（0,0）、（1，k）4、性质：当k＞0时，图像经过一、三象限；y随x的增大而增大；当k＜0时，图像经过二、四象限；y随x的减小而减小。

5、特殊的直线：一、三象限的角平分线：y=x;二、四象限的角平分线：y=-x（二）一次函数：1、一般形式：y=kx +b(其中k、b是常数，k≠0)2、图像：当b≠0时，是一条不经过原点的直线，当b=0时，图像是经过原点的直线。

3、直线与坐标轴的交点：与x轴的交点（bk-，0）；与y轴的交点（0，b）4、简单作图：（bk-，0）、（0，b）5、k、b的几何意义：k决定直线的倾斜程度：当k＞0时，图像从左向右上升；当k＜0时，图像从左向右下降。

b是直线与y轴交点的纵坐标：当b＞0时，直线与y轴的交点在正半轴；当b＜0时，直线与轴的交点在负半轴。

6、性质：（1）当k＞0时，图像从左向右上升， y随x的增大而增大；当k＜0时，图像从左向右下降， y随x的增大而减小。

（2）当b＞0时，直线与y轴的交点在正半轴；当b＜0时，直线与y轴的交点在负半轴。

（3）经过的象限：与k、b都有关。

一般根据k、b的几何意义，先确定b对应的大致位置，再确定k对应的倾斜程度,画出大概图像，从而决定经过的象限。

这也是画大致图像的方法。

（三）反比例函数：1、一般形式：y=kx(其中k是常数，k≠0)，还有：y=kx-1、xy=k 、x=ky、等。

2、图像：是双曲线。

3、性质：当k＞0时，图像位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图像位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

4、k的几何意义：︱k︱=S矩形或︱k︱=2S△（其中，S矩形指过双曲线上任意一点作x、y轴的垂线，这两条垂线和坐标轴围城的矩形的面积。

而S△是（四）待定系数法具体步骤：1、设。

正比例函数与一次函数

一次函数：1、一次函数与正比例函数：一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，叫做正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、一次函数图象：⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0bk⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．3、一次函数性质：一次函数 ()0k kx b k =+≠k ，b符号0k >0k < 0b >0b <0b =0b >0b <0b = 图象Ox y yx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小（1）一次函数图象的位置在一次函数y kx b =+中： ⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限． ⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．（2）一次函数图象的增减性在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．4、用待定系数法求一次函数解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．yxO 5、特殊一次函数：含有绝对值的一次函数对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们通常采用零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．例题：【例1】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？⑴15x y +=-⑵5xy =- ⑶21y x =-- ⑷35xy =--⑸()()212y x x x =--- ⑹21x y -=【例2】已知28(3)1my m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？【例3】一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是；当0k >，0b >时，直线y kx b =+过象限；当0k >，0b <时，直线y kx b =+过象限；当0k <，0b >时，直线y kx b =+过象限；当0k<，0b <时，直线y kx b =+过象限．(0)y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴的交点分别为、；其中、分别叫做该一次函数在x 轴、y 轴上的截距．【例4】已知一次函数(5)1y a x a =-+-的图象如图所示，则a 的取值范围是．【例5】下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠）的图像是下图中的（）xyOxyO x yOO yxA B C D【例6】一次函数(2)3y k x k =-+-的图象能否不经过第三象限?为什么?O2121-1xy 【例7】若一次函数22222mm y x m --=+-的图象经过第一、第二、三象限，求m 的值．【例8】已知0abc =/，并且a b b c c ap c a b+++===，则直线y px p =+一定通过象限．【例9】已知一次函数()22312y a x a =-+-．求：①a 为何值时，一次函数的图象经过原点．②a 为何值时，一次函数的图象与y 轴交于点()0,9．【例10】已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（）A ．2y x =-B ．2(10)y x x =--<<C ．12y x =-D ． 1(10)2y x x =--<<【例11】已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =．求y 与x 之间的函数关系式．【例12】如果(0)y kx k =≠的自变量增加4，函数值相应地减少16，则k 的值为（） A ．4 B ．- 4 C ．14 D ． 14-【例13】一次函数y mx n =+（0m ≠），当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式．【例14】已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P （-1，2），求这个一次函数的解析式．t/minS/km301694012O【例15】右图是某汽车行驶的路程()S km 与时间()min t 的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：⑴汽车在前9分钟内的平均速度是； ⑵汽车在中途停了多长时间？； ⑶当3016t ≤≤时，求S 与t 的函数关系式．练习题：1、已知函数1(2)k y k x -=- （k 为常数）是正比例函数，则k = ．2、已知y +m 与x +n （m,n 为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？3、已知1(2)2m y m x m -=-++是一次函数，求它的解析式．4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是． O yxl 4l 3l 2l 1Oyxl 4l 3l 2l 15、如图，一次函数1y ax a =+的图象大致是（）AB C DyxO y x O y x O O x y6、函数y ax b =+①和y bx a =+②（0ab ≠）在同一坐标系中的图像可能是（）7、若一次函数2(1)12ky k =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是．8、已知一次函数(3)(2)y k x k =-+- （k 为常数）的图象经过一、二、三象限，求k 取值范围．☆9、若11,A x y （），22(,)B x y 为一次函数，31y x =-的图象上的两个不同点，且120x x ≠，设111y M x +=，221y N x +=，则（） A ． M N > B ． M N < C ． M N = D ．以上都不对10、已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围．11/已知一次函数的图象经过（3，2）和（1，-2）两点．求这个一次函数的解析式．12、求证：点A （2，2），B （1-，72），C （12，3-）在一条直线上．13、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式．A ．B ．C ．D ．②②②②①①①①O x y O x y O x y y x OF时间（小时）距离（千米）O ED C B4653212051015253014、如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．yxO3214321A15、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （时）之间关系的函数图象．⑴根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？⑵小明出发两个半小时离家多远？⑶小明出发多长时间距家12千米？16、某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品件数（件）生产乙产品件数（件）所用总时间（份） 10 10 350 3020850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1．50元，每生产一件乙产品可得2．80元．根据以上信息，回答下列问题：⑴小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ ⑵小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？。