2014年12月数学真题(全国首发解析)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案〔四川卷〕一．选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，如此A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．假设0a b >>，0c d <<，如此一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c < 【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c <5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，如此输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2，否如此，S 的值为1.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，如此不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2014年(大纲全国卷)数学(理科) 高考真题及答案解析
函数是( ).
A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)
【答案】D
【解析】因为函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称,
而函数图像与其反函数的图像关于直线 y=x 对称,
所以这两个函数的反函数图像也关于直线 x+y=0 对称.
设函数 y=f(x)的反函数图像上任一点 P(x,y),
62
是
.
【答案】(-∞,2]
4
【解析】f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x.
令 t=sin x,∵x∈
π,π
62
,∴t∈
1 2
,1
,
∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1
1 2
<
t
<
1
,
由题意知2×(-2)
≤
1 ,∴a≤2,
2
∴a 的取值范围为(-∞,2].
11.(2014 大纲全国,理 11)已知二面角α-l-β为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则
异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ).
A.1
B. 2
C. 3
D.1
4
4
4
2
【答案】B
【解析】如图,在平面α内过 C 作 CE∥AB,
则∠ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,
【答案】C
【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=csoins3355°°, ∴csoins3355°°>sin 35°>sin 33°. ∴c>b>a,选 C.
(完整word版)2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学,推荐文档
2014年普通高等学校招生全国统一考试(2新课标H 卷)数学(文)试题一、选择题( 本大题共12题, 共计60分)1.已知集合A { 2,0,2}, B {x|x 2 x 20},则 A n B=()A. B. 2 C. {0}D. { 2}2.1 3i (1 i)A.1 2iB. 1 2iC. 1 2iD. 1 2i3.函数f (x)在x X o 处导数存在，若p: f(X o ) 0 : q:x X o 是f (x)的极值点，贝U( )A • p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件 4. 设向量 a,b 满足 a b J T0 , a b 76，则 a b=() A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列｛a n ｝的公差是2,若a 2,a 4,a 8成等比数列，贝U ｛a n ｝的前n 项和S n()1 (表示1cm )，图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，贝U 切削的部分的体积A. n(n 1)B. n(n 1)C.咛D n(n 1)26.如图，网格纸上正方形小格的边长为27 D.1与原来毛坯体积的比值为( )7•正三棱柱ABC ABQ i 的底面边长为2，侧棱长为.3 , D 为BC 中点，则三棱锥A BQ® 的体积为A.3B.32C.128•执行右面的程序框图，如果输入的 x ，t 均为2， 则输出的S （A.4B.5C.6D. 7x 3y 3 0,10•设F 为抛物线C:y 2+3x 的焦点，过F 且倾斜角为是（ ）A 迈3B.6C.12D.7,311若函数f xkx Inx 在区间1,单调递增， 则k 的取值范围是（）A., 2B., 1C. 2,D. 1,AB （）12.设点 M x o ,1，若在圆 O:x 2+y 2 1上存在点N ，使得 OMNx y 19.设x , y 满足约束条件x y 10,0,则z x 2y 的最大值为（A.8B.7C.2D.130的直线交C 于A, B 两点，则 45，则x o 的取值范围二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13•甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3种颜色的运动服中选择1种，则他们 选择相同颜色运动服的概率为 ________ .14.函数 f(x) sin(x ) 2sin cosx 的最大值为 __________________ . 15•偶函数y f(x)的图像关于直线x 2对称，f(3)3，则f( 1)= __________ .116. ----------------------------------数列｛a n ｝满足 a n 1 __________ ,a 8 2，则 &1 a n三、解答题：17. (本小题满分12分)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB 1, BC 3, CD DA 2 . (1) 求 C 和 BD ； (2) 求四边形ABCD 的面积.A.[ -1,1]B. c.D. T-718. (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，E是PD的中点.(1)证明：PB〃平面AEC ；(2)设AP 1,AD 3，三棱锥P ABD的体积V求A到平面PBC的距离.19. (本小题满分12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下:甲輻门1-乙邯门3594404 4S97J1224566777X9976653321)0i 6«1 f 23 4 6昌E98K77766555554443J321007001134496655200S12334563222090 H 45610000(1) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;(3) 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.2 2设F I,F2分别是椭圆C:冷每1(a b 0)的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴a b垂直，直线MF i与C的另一个交点为N.3(1) 若直线MN的斜率为上，求C的离心率；4(2) 若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN | 5| F i N |，求a,b.21.(本小题满分12分)已知函数f (x) x3 3X2 ax 2，曲线y f (x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求 a ；(2)证明：当k 1时，曲线y f (x)与直线y kx 2只有一个交点.20.(本小题满分12分)如图，P是eO外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与eO相交于B,C , PC 2PA , D为PC的中点，AD的延长线交eO于点E.证明：(1)BE EC ；2(2) AD DE 2PB2在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos , [0,].2（1）求C得参数方程；（2）设点D在C 上, C在D处的切线与直线l : y ,3x 2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标•23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲1设函数 f （x） |x | | x a | （a 0）a（1）证明：f（x） 2 ；（2）若f （3）5,求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标U卷）1. B【解析】试题分析：由已知得，B 2, -1 ,故AI B 2，选B. 考点：集合的运算. 2. B【解析】试题分析：由已知得， S (1 3i)(1D1 2i ，选B.1 i (1 i)(1 i) 2考点：复数的运算. 3. C【解析】试题分析：若x X o 是函数f(x)的极值点，则f (X o ) 0 ；若f (X o ) 0，则X X o 不一定是 极值点，例如f (X ) X 3，当X 0时，f (0)0，但X 0不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C .考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件. 4. A【解析】r 2 r r r 2r 2 r r r 2r r试题分析：由已知得， a 2a b b10， a 2a b b 6，两式相减得，4a b4，r r 故 a b 1.考点：向量的数量积运算. 5. A【解析】试题分析：由已知得，a 42 a 2 a 8，又因为｛a n ｝是公差为2的等差数列，故(a 22d)2 a ? (a ? 6d)，@ 4)2a ? (a ?12)，解得 a ? 4，所以务 a ? (n 2)d 2n ，故 S n n(a1 an) n(n 1).2【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和. 6. C【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体. 其中小圆柱底面半径为2、高为4,大圆柱底面半径为3、高为2,则其体积和为 224 32 2 34而圆柱形毛坯体积为 32 6参考答案:数学(文)试题参考答案102754 ，故切削部分体积为20 ，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为54 考点：三视图.7. C【解析】试题分析：如下图所示，连接AD，因为ABC是正三角形，且D为BC中点，则AD BC，又因为BB i 面ABC ，故BB i AD ，且BB i I BC B ，所以AD 面BCC i B i ，所以AD 是 三棱锥 A B 1DC 1 的高，所以 V A ^DS -S B ^DC . AD - ,3 -、3 1 .33考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积. 8. D【解析】试题分析：输入x 2,t 2，在程序执行过程中，M,S,k 的值依次为M 1,S 3,k 1 ；M 2,S 5,k2 ;M 2,S 7,k3，程序结束，输出S 7 .考点：程序框图. 9. B【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数 z x 2y 变形为y lx -，当Z 取到2 2最大值时，直线y lx Z 的纵截距最大，故只需将直线 ylx 经过可行域，尽可能2 2 2平移到过A 点时，Z 取到最大值.10. C【解析】试题分析：由题意，得F (― ,0).又因为k tan300 -—，故直线AB 的方程为y —3 (x ―)，43 3 4与抛物线y 2=3x 联立，得16x 2 168x 90，设A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)，由抛物线定义得，x 1 x 2 p3—12，选 C.21、抛物线的标准方程; 11. D【解析】x y 1 0x 3y 3 0，得A(3,2)，所以ZmaxAB168 16 考点: 2、抛物线1 1 试题分析：f '（x ） k —,由已知得f '（x ） 0在x 1, 恒成立，故k —,因为x 1 ,xx所以0 1 1，故k 的取值范围是1,•x【考点】利用导数判断函数的单调性. 12. A【解析】试题分析：依题意，直线 MN 与圆0有公共点即可，即圆心0到直线MN 的距离小于等于1 即可，过0作OA MN,垂足为 A ，在Rt OMA 中，因为 OMA 45°，故 0A| OM|sin45° 亍|0M | 1，所以 0M 迈，则 J x °2 1 V2，解得 1 x 0 1 .【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、 白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有 9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白， 蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）.他们选择相同颜色运动服有 3种不同的结果，即 （红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为 P --.9 3考点：古典概型的概率计算公式. 14. 1 【解析】 试 题分 析： 由 已 知 得13.13sin( x)f （x） sin xcos cosxs in 2cos xs in sin xcos cosxs in1，故函数f（x） sin（x ） 2sin cosx的最大值为1.考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质.15. 3【解析】试题分析：因为y f （x）的图像关于直线x 2对称，故f （3） f （1） 3，又因为y f（x）是偶函数，故f（ 1）f（1） 3.考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性.三、解答题(17) 解：(I )由题设及余弦定理得B D 2BC 2 CD 22BC CD cosC=13 12cosC①B D 22 2AB DA2AB DA cos A5 4cosC .②1._由①，②得 cosC —，故 C 600， BD 。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合A={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ .2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ .3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则（第3题）100 80 90 110 120 底部周长/cm（第6题）21V V 的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值X 围是▲ .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值X 围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .（第12题）PDCA17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a b y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程； (2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，某某数m 的取值X 围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明:}{n a 是“H 数列”; (2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB= ∠D ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵 1 2 1 1,1 x 2 -1A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，向量 2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，x ，y 为实数． 若Aa =Ba ，求x+y 的值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 212222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x>0，y>0，证明： 22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (l)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 123,,x x x ，随机 变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分） 已知函数 0sin ()(0)xf x x x=>，设 ()n f x 为 1()n f x -的导数，n N *∈． (1)求 122222f f πππ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2)证明：对任意的 n N *∈，等式 124442n n nf f πππ-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都成立．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1、集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,如此B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】此题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
属于根底题，难度系数较小。
2、复数2)25(i z -=(i 为虚数单位〕，如此z 的实部为▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。
【点评】此题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。
属于根底题，难度系数较小。
〔第33、右图是一个算法流程图，如此输出的n 的值是▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，此题202>n是否成立，假设不成立，如此n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；假设成立，如此输出n 的值。
此题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，如此输出的n 的值为5【点评】此题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。
属于根底题，难度系数较小。
4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，如此所取2个数的乘积为6的概率是▲ ．【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏〞的列举出来：〔1，2〕，〔1，3〕〔1，6〕，〔2，3〕，〔2，6〕，〔3，6〕，共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是〔1，6〕和〔2，3〕，如此概率为31。
【点评】此题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。
2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学全国Ⅰ卷试卷及参考答案与试题解析
2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学全国Ⅰ卷全国1卷试卷及参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0},B＝{x|－2≤x＜2},则A∩B＝( )A.[1,2)B.[－1,1]C.[－1,2)D.[－2,－1]2.(5分)＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数4.(5分)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B.3 C.m D.3m5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. B. C. D.6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y＝f(x)在[0,π]的图象大致为( )A. B. C.D.7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M＝( )A. B. C. D.8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα＝,则( )A.3α－β＝B.3α＋β＝C.2α－β＝D.2α＋β＝9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题：p 1：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2 p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2p 3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3 p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1其中真命题是( )A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p310.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若＝4,则|QF|＝( )A. B.3 C. D.211.(5分)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x＞0,则实数a的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(2,＋∞)C.(－∞,－1)D.(－∞,－2)12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6B.6C.4D.4二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若＝(＋),则与的夹角为.16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a＝2且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC,则△ABC面积的最大值为.三、解答题17.(12分)已知数列{an }的前n项和为Sn,a1＝1,an≠0,anan＋1＝λSn－1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明：an＋2－an＝λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列？并说明理由.18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8＜Z＜212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附：≈12.2.若Z～N(μ,σ2)则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明：AC＝AB1；(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,AB＝BC,求二面角A－A1B1－C1的余弦值.20.(12分)已知点A(0,－2),椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程；(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.21.(12分)设函数f(x)＝ae x lnx＋,曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y＝e(x－1)＋2.(Ⅰ)求a、b；(Ⅱ)证明：f(x)＞1.选修4-1：几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB ＝CE.(Ⅰ)证明：∠D＝∠E；(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB＝MC,证明：△ADE为等边三角形.选修4-4：坐标系与参数方程23.已知曲线C：＋＝1,直线l：(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 选修4-5：不等式选讲24.若a＞0,b＞0,且＋＝.(Ⅰ)求a3＋b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a＋3b＝6？并说明理由.2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0},B＝{x|－2≤x＜2},则A∩B＝( )A.[1,2)B.[－1,1]C.[－1,2)D.[－2,－1]【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.【解答】解：由A中不等式变形得：(x－3)(x＋1)≥0,解得：x≥3或x≤－1,即A＝(－∞,－1]∪[3,＋∞),∵B＝[－2,2),∴A∩B＝[－2,－1].故选：D.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.【解答】解：＝＝－(1＋i)＝－1－i,故选：D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【解答】解：∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x),f(－x)•g(－x)＝－f(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,|f(－x)|•g(－x)＝|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,f(－x)•|g(－x)|＝－f(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.|f(－x)•g(－x)|＝|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,故选：C.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.4.(5分)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B.3 C.m D.3m【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.【解答】解：双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)可化为,∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为＝0,∴点F到C的一条渐近线的距离为＝.故选：A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题.5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. B. C. D.【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况,利用古典概型概率公式求解即可.【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24＝16种情况, 周六、周日都有同学参加公益活动,共有24－2＝16－2＝14种情况,∴所求概率为＝.故选：D.【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y＝f(x)在[0,π]的图象大致为( )A. B. C.D.【分析】在直角三角形OMP中,求出OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.【解答】解：在直角三角形OMP中,OP＝1,∠POM＝x,则OM＝|cosx|,∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)＝OM|sinx|＝|cosx|•|sinx|＝|sin2x|,其周期为T＝,最大值为,最小值为0,故选：C.【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用.7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M＝( )A. B. C. D.【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.【解答】解：由程序框图知：第一次循环M＝1＋＝,a＝2,b＝,n＝2；第二次循环M＝2＋＝,a＝,b＝,n＝3；第三次循环M＝＋＝,a＝,b＝,n＝4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M＝.故选：D.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα＝,则( )A.3α－β＝B.3α＋β＝C.2α－β＝D.2α＋β＝【分析】化切为弦,整理后得到sin(α－β)＝cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项A,B,然后验证C满足等式sin(α－β)＝cosα,则答案可求.【解答】解：由tanα＝,得：,即sinαcosβ＝cosαsinβ＋cosα,sin(α－β)＝cosα＝sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴当时,sin(α－β)＝sin()＝cosα成立.故选：C.【点评】本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题.9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题：p 1：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2 p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2p 3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3 p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1其中真命题是( )A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【分析】作出不等式组的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可. 【解答】解：作出图形如下：由图知,区域D为直线x＋y＝1与x－2y＝4相交的上部角型区域,p1：区域D在x＋2y≥－2 区域的上方,故：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2成立；p 2：在直线x＋2y＝2的右上方和区域D重叠的区域内,∃(x,y)∈D,x＋2y≥2,故p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2正确；p 3：由图知,区域D有部分在直线x＋2y＝3的上方,因此p3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3错误；p 4：x＋2y≤－1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方,故p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1错误；综上所述,p1、p2正确；故选：C.【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于难题.10.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若＝4,则|QF|＝( )A. B.3 C. D.2【分析】求得直线PF的方程,与y2＝8x联立可得x＝1,利用|QF|＝d可求.【解答】解：设Q到l的距离为d,则|QF|＝d,∵＝4,∴|PQ|＝3d,∴不妨设直线PF的斜率为－＝－2,∵F(2,0),∴直线PF的方程为y＝－2(x－2),与y2＝8x联立可得x＝1,∴|QF|＝d＝1＋2＝3,故选：B.【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题.11.(5分)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x＞0,则实数a的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(2,＋∞)C.(－∞,－1)D.(－∞,－2)【分析】由题意可得f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),f(0)＝1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.【解答】解：∵f(x)＝ax3－3x2＋1,∴f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),f(0)＝1；①当a＝0时,f(x)＝－3x2＋1有两个零点,不成立；②当a＞0时,f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞,0)上有零点,故不成立；③当a＜0时,f(x)＝ax3－3x2＋1在(0,＋∞)上有且只有一个零点；故f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞,0)上没有零点；而当x＝时,f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞,0)上取得最小值；故f()＝－3•＋1＞0；故a＜－2；综上所述,实数a的取值范围是(－∞,－2)；故选：D.【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用,属于基础题.12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6B.6C.4D.4【分析】画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可.【解答】解：几何体的直观图如图：AB＝4,BD＝4,C到BD的中点的距离为：4,∴.AC＝＝6,AD＝4,显然AC最长.长为6.故选：B.【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为－20 .(用数字填写答案)【分析】由题意依次求出(x＋y)8中xy7,x2y6,项的系数,求和即可.【解答】解：(x＋y)8的展开式中,含xy7的系数是：8.含x2y6的系数是28,∴(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为：8－28＝－20.故答案为：－20【点评】本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 A .【分析】可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.【解答】解：由乙说：我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说：我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为A.故答案为：A.【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若＝(＋),则与的夹角为90°. 【分析】根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论.【解答】解：在圆中若＝(＋),即2＝＋,即＋的和向量是过A,O的直径,则以AB,AC为邻边的四边形是矩形,则⊥,即与的夹角为90°,故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a＝2且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC,则△ABC面积的最大值为.【分析】由正弦定理化简已知可得2a－b2＝c2－bc,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解：因为：(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC⇒(2＋b)(a－b)＝(c－b)c⇒2a－b2＝c2－bc,又因为：a＝2,所以：,△ABC面积,而b2＋c2－a2＝bc⇒b2＋c2－bc＝a2⇒b2＋c2－bc＝4⇒bc≤4所以：,即△ABC面积的最大值为.故答案为：.【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.三、解答题17.(12分)已知数列{an }的前n项和为Sn,a1＝1,an≠0,anan＋1＝λSn－1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明：an＋2－an＝λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列？并说明理由.【分析】(Ⅰ)利用an an＋1＝λSn－1,an＋1an＋2＝λSn＋1－1,相减即可得出；(Ⅱ)对λ分类讨论：λ＝0直接验证即可；λ≠0,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.可得λ＝an＋2－an＝(an＋2－an＋1)＋(an＋1－an)＝2d,.得到λSn＝,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.【解答】(Ⅰ)证明：∵an an＋1＝λSn－1,an＋1an＋2＝λSn＋1－1,∴an＋1(an＋2－an)＝λan＋1∵an＋1≠0,∴an＋2－an＝λ.(Ⅱ)解：①当λ＝0时,an an＋1＝－1,假设{an}为等差数列,设公差为d.则an＋2－an＝0,∴2d＝0,解得d＝0,∴an ＝an＋1＝1,∴12＝－1,矛盾,因此λ＝0时{an}不为等差数列.②当λ≠0时,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.则λ＝an＋2－an＝(an＋2－an＋1)＋(an＋1－an)＝2d,∴.∴,,∴λSn＝1＋＝,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ＝4.此时可得,an＝2n－1.因此存在λ＝4,使得{an}为等差数列.【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8＜Z＜212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附：≈12.2.若Z～N(μ,σ2)则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544. 【分析】(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出；(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z～N(200,150),从而求出P(187.8＜Z＜212.2),注意运用所给数据；(ii)由(i)知X～B(100,0.6826),运用EX＝np即可求得.【解答】解：(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200,s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z～N(200,150),从而P(187.8＜Z＜212.2)＝P(200－12.2＜Z＜200＋12.2)＝0.6826；(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X～B(100,0.6826),所以EX＝100×0.6826＝68.26.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明：AC＝AB1；(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,AB＝BC,求二面角A－A1B1－C1的余弦值.【分析】(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,可证B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10＝CO,进而可得AC＝AB1；(2)以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值.【解答】解：(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,∵侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,且O为BC1和B1C的中点,又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,又B10＝CO,∴AC＝AB1,(2)∵AC⊥AB1,且O为B1C的中点,∴AO＝CO,又∵AB＝BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,∴OA,OB,OB1两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y 轴的正方向,的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系,∵∠CBB 1＝60°,∴△CBB 1为正三角形,又AB ＝BC, ∴A(0,0,),B(1,0,0,),B 1(0,,0),C(0,,0)∴＝(0,,),＝＝(1,0,),＝＝(－1,,0),设向量＝(x,y,z)是平面AA 1B 1的法向量,则,可取＝(1,,), 同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量＝(1,－,),∴cos ＜,＞＝＝,∴二面角A －A 1B 1－C 1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.20.(12分)已知点A(0,－2),椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为,F 是椭圆的右焦点,直线AF 的斜率为,O 为坐标原点.(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设过点A 的直线l 与E 相交于P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 【分析】(Ⅰ)通过离心率得到a 、c 关系,通过A 求出a,即可求E 的方程； (Ⅱ)设直线l ：y ＝kx －2,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)将y ＝kx －2代入,利用△＞0,求出k的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ 的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程.【解答】解：(Ⅰ) 设F(c,0),由条件知,得又,所以a ＝,b 2＝a 2－c 2＝1,故E 的方程.….(5分)(Ⅱ)依题意当l ⊥x 轴不合题意,故设直线l ：y ＝kx －2,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)将y＝kx－2代入,得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0,当△＝16(4k2－3)＞0,即时,从而又点O到直线PQ的距离,所以△OPQ的面积＝,设,则t＞0,,当且仅当t＝2,k＝±等号成立,且满足△＞0,所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为：y＝x－2或y＝－x－2.…(12分)【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力.21.(12分)设函数f(x)＝ae x lnx＋,曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y＝e(x－1)＋2.(Ⅰ)求a、b；(Ⅱ)证明：f(x)＞1.【分析】(Ⅰ)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)＝2,f′(1)＝e,解出即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－,设函数g(x)＝xlnx,函数h(x)＝,只需证明g(x)min ＞h(x)max,利用导数可分别求得g(x)min,h(x)max；【解答】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝＋,由题意可得f(1)＝2,f′(1)＝e,故a＝1,b＝2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)＝e x lnx＋,∵f(x)＞1,∴e x lnx＋＞1,∴lnx＞－,∴f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－,设函数g(x)＝xlnx,则g′(x)＝1＋lnx,∴当x∈(0,)时,g′(x)＜0；当x∈(,＋∞)时,g′(x)＞0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,＋∞)上单调递增,从而g(x)在(0,＋∞)上的最小值为g()＝－.设函数h(x)＝xe－x－,则h′(x)＝e－x(1－x).∴当x∈(0,1)时,h′(x)＞0；当x∈(1,＋∞)时,h′(x)＜0,故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,从而h(x)在(0,＋∞)上的最大值为h(1)＝－.综上,当x＞0时,g(x)＞h(x),即f(x)＞1.【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力.选修4-1：几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB ＝CE.(Ⅰ)证明：∠D＝∠E；(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB＝MC,证明：△ADE为等边三角形.【分析】(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D＝∠CBE,由CB＝CE,可得∠E＝∠CBE,即可证明：∠D＝∠E；(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A＝∠CBE,进而可得∠A＝∠E,即可证明△ADE为等边三角形.【解答】证明：(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠D＝∠CBE,∵CB＝CE,∴∠E＝∠CBE,∴∠D＝∠E；(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB＝MC知MN⊥BC,∴O在直线MN上,∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A＝∠CBE,∵∠CBE＝∠E,∴∠A＝∠E,由(Ⅰ)知,∠D＝∠E,∴△ADE为等边三角形.【点评】本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程23.已知曲线C：＋＝1,直线l：(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x＝2cosθ、y＝3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程；(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.【解答】解：(Ⅰ)对于曲线C：＋＝1,可令x＝2cosθ、y＝3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l：,由①得：t＝x－2,代入②并整理得：2x＋y－6＝0；(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ＋α)＝－1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ＋α)＝1时,|PA|取得最小值,最小值为.【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.选修4-5：不等式选讲24.若a＞0,b＞0,且＋＝.(Ⅰ)求a3＋b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a＋3b＝6？并说明理由.【分析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥2,再利用基本不等式求得a3＋b3的最小值. (Ⅱ)根据 ab≥2及基本不等式求的2a＋3b＞8,从而可得不存在a,b,使得2a＋3b＝6.【解答】解：(Ⅰ)∵a＞0,b＞0,且＋＝,∴＝＋≥2,∴ab≥2,当且仅当a＝b＝时取等号.∵a3＋b3 ≥2≥2＝4,当且仅当a＝b＝时取等号,∴a3＋b3的最小值为4.(Ⅱ)∵2a＋3b≥2＝2,当且仅当2a＝3b时,取等号.而由(1)可知,2≥2＝4＞6,故不存在a,b,使得2a＋3b＝6成立.【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.。
2014年数学(理)参考答案
数学（理）（北京卷）参考答案 第 1 页（共 6 页）绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D（6）D（7）D（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-（10（11）221312x y -= 2y x =± （12）8 （13）36（14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠1127=-=． （Ⅱ）在ABD △中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB⋅∠===∠． 在ABC △中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=． 所以7AC =．（16）（共13分）解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4．所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”．则C AB AB=，,A B独立．根据投篮统计数据，3()5P A=，2()5P B=．()()()P C P AB P AB=+33225555=⨯+⨯1325=．所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为13 25．（Ⅲ）EX x=．数学（理）（北京卷）参考答案第 2 页（共6 页）数学（理）（北京卷）参考答案 第 3 页（共 6 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ．又因为AB ⊄平面PDE ， 所以//AB 平面PDE ．因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF 平面PDE FG =， 所以//AB FG ．（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥．如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC −−→=．设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,AB AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1z =，则1y =-．所以(0,1,1)=-n ． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin |cos ,|||||BCBC BC α−−→−−→−−→⋅=〈〉=n n n 12=． 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6．设点H 的坐标为(,,)u v w ．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH PC λ−−→−−→= (01λ<<)， 即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-．所以2u λ=，v λ=，22w λ=-．因为n 是平面ABF 的法向量，所以0AH −−→⋅=n ，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=．解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,)333．所以2PH =．数学（理）（北京卷）参考答案 第 4 页（共 6 页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）由()cos sin f x x x x =-得()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-．因为在区间π(0,)2上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0f x f =≤．（Ⅱ）当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“s i n xb x<”等价于“sin 0x bx -<”．令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立．当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0g x g <=对任意π(0,)2x ∈恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π(0,)2x ∈使得00()cos 0g x x c '=-=．()g x 与()g x '在区间π(0,)2上的情况如下：因为(g x 00．进一步，“()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g c =-≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π(0,)2x ∈恒成立．所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1．数学（理）（北京卷）参考答案 第 5 页（共 6 页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． 所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c 故椭圆C的离心率c e a ==．（Ⅱ）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：设点,A B 的坐标分别为00(,),(,2)x y t ，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥，所以0OA OB −−→−−→⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-． 当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =故直线AB的方程为x =O 到直线AB的距离d 此时直线AB 与圆222x y +=相切． 当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=． 圆心O 到直线AB 的距离d =．又220024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切．数学（理）（北京卷）参考答案 第 6 页（共 6 页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）1()257T P =+=，21()1max{(),24}1max{7,6}8T P T P =++=+=．（Ⅱ）2()max{,}T P a b d a c d =++++，2()max{,}T P c d b c a b '=++++．当m a =时，2()max{,}T P c d b c a b c d b '=++++=++．因为a b d c b d ++++≤，且a c d c b d ++++≤，所以22()()T P T P '≤． 当m d =时，2()max{,}T P c d b c a b c a b '=++++=++．因为a b d c a b ++++≤，且a c d c a b ++++≤，所以22()()T P T P '≤． 所以无论m a =还是m d =，22()()T P T P '≤都成立．（Ⅲ）数对序列:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)P 的5()T P 值最小，12345()10,()26,()42,()50,()52T P T P T P T P T P =====．。
2014年全国卷数学试题及答案(理)
工.设集合 M = {x | x 2 − 3 x − 4 < 0} ， N = {x | 0 ≤ x ≤ 5} ，则 M I N = A． (0, 4] B． [0, 4)
0
C． [ −1, 0)
0
D． ( −1, 0]
0
左.设 a = sin 33 ， b = cos 55 ， c = tan 35 ，则 A． a > b > c 4.若向 B． b > c > a C． c > b > a D． c > a > b
C．75 种
D．150 种
x2 y2 3 + 2 = 1 (a > b > 0) 的 、右焦点为 F1 、 F2 ，离心率为 ，过 F2 的 2 a b 3
直线 l 交 C 于 A、B 两点，若 ∆AF1 B 的周长为 4 3 ，则 C 的方程为 A．
x2 y 2 + =1 3 2
B．
x2 + y2 = 1 3
r r r r r r r r r r a, b 满足 | a |= 1 ， (a + b) ⊥ a ， (2a + b) ⊥ b ，则 | b |=
B． 2 男 生、5 C．1 D．
A．2 5.有 6
2 2
男 生、1 女 生组成 个 疗小组，则
女 生，从中选出 工
工1 教育网
的选法共有 A．60 种 6.已知椭圆 C B．70 种
已知抛物线 C
y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F，直线 y = 4
Q，且 | QF |=
5 | PQ | . 4
1 求 C 的方程 2 过 F 的直线 l C 相交于 A、B 两点，若 AB 的 垂直平 线 l
MBA联考数学真题2014年12月_真题(含答案与解析)-交互
MBA联考数学真题2014年12月(总分75, 做题时间90分钟)一、问题求解题(下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的) 1.若实数a、b、c满足a:b:c=1:2:5，且a+b+c=24，则a 2 +b 2 +c 2 =______．SSS_SINGLE_SELA 30B 90C 120D 240E 270该题您未回答:х该问题分值: 3答案:E[解析] 设a=k，b=2k，c=5k，代入a+b+c=24，k+2k+5k=24，因k=2，则a=3，b=6，c=15，得a 2 +b 2 +c 2 =3 2 +6 2 +15 2 =270．2.某公司共有甲、乙两个部门，如果从甲部门调10人到乙部门，那么乙部门的人数是甲部门的2倍；如果把乙部门的调到甲部门，那么两个部门的人数相等，该公司总人数为______．SSS_SINGLE_SELA 150B 180C 200D 240E 250该题您未回答:х该问题分值: 3答案:D[解析] 设甲、乙两个部门各有x，y人，3.设m、n是小于20的质数，满足条件|m-n|=2的{m，n}共有______．SSS_SINGLE_SELA 2组B 3组C 4组D 5组E 6组该题您未回答:х该问题分值: 3答案:C[解析] 枚举质数：2，3，5，7，11，13，17，19发现满足|m-n|=2的集合有{3，5}，{5，7}，{11，13}，{17，19}共4组．4.如图所示，BC是半圆的直径，且BC=4，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为______．A．B．C．D．E．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该题您未回答:х该问题分值: 3答案:A[解析] 如下图所示，易得∠AOB=120°，5.某人驾车从A地赶往B地，前一半路程比计划多用了45min，速度只有计划的80%，若后一半路程的平均速度为120km/h，此人还能按原定时间到达B地，则A、B两地距离为______．SSS_SINGLE_SELA 450kmB 480kmC 520kmD 540kmE 600km该题您未回答:х该问题分值: 3答案:D[解析] 设A，B两地距离为Skm，原定时间为t，6.在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩为80，81，81.5，三个班的学生分数之和为6592，三个班共有学生______人．SSS_SINGLE_SELA 85B 86C 87D 88E 90该题您未回答:х该问题分值: 3答案:B[解析] 设甲、乙、丙三个班分别有x，y，z人，则80x+81y+81.5z=6952，若85人，按照每班均分最多81.5分算：85×81.5=6927.5＜6952，不可能；若87人，按照每班均分最少80分算：87×80=6960＞6952，不可能；所以，应该是86人．或估算：人数应该介于两者之间，应该是86人．7.有一根圆柱形铁管，厚度为0.1m，内径为1.8m，长度为2m，若将其熔化后做成长方体，则长方体的体积为______m 3．SSS_SINGLE_SELA 0.38B 0.59C 1.19D 5.09E 6.28该题您未回答:х该问题分值: 3答案:C[解析] 长方体的体积和圆柱体积相同，(注意内径为圆柱内圆的直径)，8.如图所示，梯形ABCD的上底与下底分别为5，7．E为AC与BD的交点，MN过点E且平行于AD，则MN=______．A．B．C．D．E．SSS_SIMPLE_SINA B C D E 该题您未回答:х该问题分值: 3答案:C[解析]9.已知x1，x2是方程x 2 -ax-1=0的两个实根，则=______．•**+2•**+1•**•****+2SSS_SIMPLE_SINA B C D E该题您未回答:х该问题分值: 3答案:A[解析]10.一件工作，甲、乙两人合作需要2天，人工费2900元；乙、丙两人合作需要4天，人工费2600元；甲、丙两人合作2天完成全部工作量的，人工费2400元；则甲单独完成这件工作需要的时间与人工费为______．SSS_SINGLE_SELA 3天，3000元B 3天，2580元C 4天，3000元D 4天，2700元E 4天，2900元该题您未回答:х该问题分值: 3答案:A[解析] 设甲、乙、丙单独做各需x，y，z天，每天各需a，b，c元，即甲单独做需3天．11.若直线y=ax与圆(x-a) 2 +y 2 =1相切，则a 2 =______．A．B．C．D．E．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该题您未回答:х该问题分值: 3答案:E[解析] 圆心(a，0)，直线方程ax-y=0，半径r=1，利用圆心到直线的距离d等于半径r，代入解得12.设点A(0，2)和B(1，0)，在线段AB上取一点M(x，y)(0＜x＜1)，则以x，y 为两边的矩形面积的最大值为______．A．B．C．D．E．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该题您未回答:х该问题分值: 3答案:B[解析] 直线AB方程为：2x+y=2，利用均值不等式得：即13.某新兴产业在2005年末至2009年末产值的年平均增长率为q，在2009年末至2013年末产值的年平均增长率比前年下降了40%，2013年末产值约为2005年产值的14.46(≈1.95 4 )倍，则q为______．SSS_SINGLE_SELA 30%B 35%C 40%D 45%E 50%该题您未回答:х该问题分值: 3答案:E[解析] 设2005年末产值为a，则2009年末产值为a(1+q) 4，2013年末产值为a(1+q) 4 (1+0.6q) 4，列方程即12q 2 +32q-19≈0，(2q-1)(6q+19)≈0，q≈50%．14.某次网球比赛的四强对阵为甲对乙、丙对丁，两场比赛的胜者将争夺冠军，选手之间相互获胜的概率如下，则甲获得冠军的概率为______．SSS_SINGLE_SELA 0.165B 0.245C 0.275D 0.315E 0.330该题您未回答:х该问题分值: 3答案:A[解析] 分两种情况讨论：(1)甲胜乙：且丙胜丁、最后甲胜丙；(2)甲胜乙：且丁胜丙、最后甲胜丁．甲获得冠军的概率为P(A)=0.3×(0.5+0.8+0.5×0.3)=0.165．15.平面上有5条平行直线，与另一组n条平行直线垂直，若两组平行线共构成280个矩形，则n=______．SSS_SINGLE_SELA 5B 6C 7D 8E 9该题您未回答:х该问题分值: 3答案:D[解析] 所以n=8．二、条件充分性判断(要求判断每题给出的条件(1)与条件(2)能否充分支持题干中陈述的结论．A、B、C、D、E五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断)• A.条件(1)充分，但条件(2)不充分．• B.条件(2)充分，但条件(1)不充分．• C.条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分．• D.条件(1)充分，条件(2)也充分．• E.条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．SSS_SIMPLE_SIN1.信封中装有10张奖券，只有一张有奖．从信封中同时抽取2张，中奖概率为P；从信封中每次抽取1张奖券后放回，如此重复抽取n次，中奖概率为Q，则P＜Q．(1)n=2． (2)n=3．A B C D E该题您未回答:х该问题分值: 3答案:B[解析] 同时抽取2张，等可能事件概率，则中奖概率为从信封中每次抽取1张奖券后放回，属于独立重复试验，正面比较麻烦，考虑反面做比较好．条件(1)n=2时，中奖概率为P＞Q，故不充分．条件(2)n=3时，中奖概率为所以P＜Q，故充分．SSS_SIMPLE_SIN2.已知p，q为非零实数，则能确定的值．(1)p+q=1． (2)A B C D E该题您未回答:х该问题分值: 3答案:B[解析] (1)p+q=1，得p=1-q，代入不确定．SSS_SIMPLE_SIN3.已知a，b为实数，则a≥2或b≥2．(1)a+b≥4．(2)ab≥4．A B C D E该题您未回答:х该问题分值: 3答案:A[解析] a，b两数平均数大于或等于2，则a，b至少有一个大于或等于2．或画出图形，如下图所示，容易观察：a+b≥4 a≥2或b≥2，充分．(2)ab≥4，举反例：a=-3，b=-4，显然不满足a≥2或b≥2，不充分．SSS_SIMPLE_SIN4.圆盘x 2 +y 2≤2(x+y)被直线L分成面积相等的两部分．(1)L：x+y=2． (2)L：2x-y=1．A B C D E该题您未回答:х该问题分值: 3答案:D[解析] x 2 +y 2≤2(x+y)，即(x-1) 2 +(y-1) 2≤2，过其圆心(1，1)即可．(1)x+y=2满足；(2)2x-y=1满足．SSS_SIMPLE_SIN5.已知{an }是公差大于零的等差数列，Sn是{an}的前n项和，则Sn≥S10，n=1，2，…(1)a10 =0． (2)a11a10＜0．A B C D E 该题您未回答:х该问题分值: 3答案:D[解析](1)a10 =0，d＞0，说明a1，a2…a9＜0，即(Sn)min=S10=S9，则Sn≥S10，充分．(2)a11 a10＜0，因为d＞0，所以a10＜0，a11＞0，(Sn)min=S10，故Sn ≥S10，充分．SSS_SIMPLE_SIN6.几个朋友外出游玩，购买了一些瓶装水，则能确定购买的瓶装水数量．(1)若每人分三瓶，则剩余30瓶．(2)若每人分10瓶，则只有1人不够．A B C D E该题您未回答:х该问题分值: 3答案:C[解析] 设有x 个朋友，y 瓶水，显然(1)与(2)均不充分， 由题意得3x+30=y ，又 代入y=3x+30到不等式中，解得所以x=5即y=45．SSS_SIMPLE_SIN7.已知M=(a 1 +a 2 +…a n-1 )(a 2 +a 3 +…a n )，N=(a 1 +a 2 +…a n )(a 2 +a 3 +…a n-1 )，则M ＞N ．(1)a 1 ＞0． (2)a 1 a n ＞0．A B C D E 该题您未回答:х 该问题分值: 3 答案:B[解析] 作差：整体代入法，设S=a 1 +a 2 +…+a n ，M-N=(a 1 +a 2 +…+a n-1 )(a 2 +a 3 +…+a n )-(a 1 +a 2 +…+a n )(a 2 +a 3 +-…+a n-1 )=(S-a n )(S-a 1 )-S(S-a 1 -a n )=S 2 -a 1 S-a n S+a n a 1 -S 2+a 1 S+a n S =a 1 a n ， M ＞Na 1 a n ＞0，(1)a 1 ＞0不充分；(2)a 1 a n ＞0充分．SSS_SIMPLE_SIN8.设{a n }是等差数列，则能确定数列{a n }． (1)a 1 +a 6 =0． (2)a 1 a 6 =-1．A B C D E 该题您未回答:х 该问题分值: 3 答案:E[解析] a 1 、a 6 为方程x 2 -1=0的两根，x=1或x=-1， 所以 因为有两个数列，显然无法确定．SSS_SIMPLE_SIN9.已知x 1 ，x 2 ，x 3 都是实数，x 为x 1 ，x 2 ，x 3 的平均数，则 k=1，2，3．(1)|x k |≤1，k=1，2，3． (2)x 1 =0．A B C D E 该题您未回答:х 该问题分值: 3 答案:C[解析] (1)|x k |≤1，k=1，2，3， x 1 ，x 2 ，x 3 ∈[-1，1]，依次取1，-1，-1，则不充分．(2)x 1 =0，显然不充分；联合不妨以x 2 为例：即证明其最大值小于或等于1．当x2 =1，x3=-1时．取最大值且等于1，则SSS_SIMPLE_SIN10.底面半径为r，高为h的圆柱体表面积记为S1，半径为R的球体表面积记为S2，则S1≤S2．A B C D E该题您未回答:х该问题分值: 3答案:C[解析] S1=2πrh+2πr 2，S2=4πR 2，S1≤S2，代入得2πrh+2πr 2≤4πR 2，即4R 2≥2rh+2r 2，这是题干成立的充要条件．(1) 即2R≥r+h 4R 2≥(r+h) 2，(r+h) 2 -(2rh+2r 2 )=h 2 -r 2，无法判断其大小，不充分．(2) ．取R→0，显然不充分．联合即相加消去R，得h≥r．即(r+h) 2≥2rh+2r，所以联合起来充分，故选C．1。
2014年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}2.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( )A.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.设向量a,b满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a·b=()A.1B.2C.3D.54.钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5B.√5C.2D.15.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.137.执行下面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=( )A.4B.5C.6D.78.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.39.设x,y满足约束条件{x+y-7≤0,x-3y+1≤0,3x-y-5≥0,则z=2x-y的最大值为( )A.10B.8C.3D.210.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A.3√34B.9√38C.6332D.9411.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.√3010D.√2212.设函数f(x)=√3sinπxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案)14.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为.15.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.16.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(Ⅰ)证明{a n+12}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(Ⅱ)证明1a1+1a2+…+1a n<32.18.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√3,求三棱锥E-ACD的体积.19.(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(Ⅰ)求y 关于t 的线性回归方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: b ^=∑i=1n(t i -t )(y i -y )∑i=1n(t i -t )2,a ^=y -b ^t .20.(本小题满分12分)设F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N.(Ⅰ)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(Ⅱ)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a,b.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-e-x-2x.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(Ⅲ)已知1.414 2<√2<1.414 3,估计ln 2的近似值(精确到0.001).请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.证明:(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD·DE=2PB2.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标].方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2(Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=√3x+2垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲|+|x-a|(a>0).设函数f(x)=|x+1a(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.D 由已知得N={x|1≤x ≤2},∵M={0,1,2},∴M∩N={1,2},故选D.2.A 由题意得z 2=-2+i,∴z 1z 2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.3.A 由|a+b |=√10得a 2+b 2+2a ·b =10,① 由|a-b |=√6得a 2+b 2-2a ·b =6,② ①-②得4a ·b =4,∴a ·b =1,故选A.4.B S △ABC =12AB ·BCsin B=12×1×√2sin B=12,∴sin B=√22,若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC 为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BCcos B=1+2-2×1×√2×(-√22)=5,∴AC=√5.故选B.5.A 由条件概率可得所求概率为0.60.75=0.8,故选A.6.C 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2 cm,高为4 cm;另一个圆柱的底面半径为3 cm,高为2 cm.设零点的体积V 1=π×22×4+π×32×2=34π(cm 3).而毛坯的体积V=π×32×6=54π(cm 3),因此切削掉部分的体积V 2=V-V 1=54π-34π=20π(cm 3),所以V 2V =20π54π=1027.故选C.评析 本题考查了三视图和圆柱的体积,考查了空间想象能力和运算求解能力,正确得到零件的直观图是求解的关键. 7.D k=1,M=11×2=2,S=2+3=5;k=2,M=22×2=2,S=2+5=7; k=3,3>t,∴输出S=7,故选D.8.D y'=a-1x+1,x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.9.B 由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由{x +y -7=0,x -3y +1=0得A(5,2).当直线2x-y=z 过点A 时,z=2x-y 取得最大值.其最大值为2×5-2=8.故选B.10.D 易知直线AB 的方程为y=√33(x -34),与y 2=3x 联立并消去x 得4y 2-12√3y-9=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=3√3,y 1y 2=-94.S △OAB =12|OF|·|y 1-y 2|=12×34√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=38√27+9=94.故选D.评析 本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了数形结合和运算求解的能力.利用根与系数的关系进行整体运算是求解的关键.11.C 解法一:取BC 的中点Q,连结QN,AQ,易知BM ∥QN,则∠ANQ 即为所求, 设BC=CA=CC 1=2, 则AQ=√5,AN=√5,QN=√6, ∴cos∠ANQ=AN 2+NQ 2-AQ 22AN ·NQ =2√5×√6=2√30=√3010,故选C.解法二:以C 1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA=CC 1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,-2),∴cos<AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√6=√30=√3010,故选C. 12.C f '(x)=√3πm cos πx m, ∵f(x)的极值点为x 0, ∴f '(x 0)=0,∴√3πm cos πx 0m=0, ∴πm x 0=kπ+π2,k ∈Z , ∴x 0=mk+m2,k ∈Z ,又∵x 02+[f(x 0)]2<m 2,∴(mk +m 2)2+[√3sin (kπ+π2)]2<m 2,k ∈Z , 即m 2(k+12)2+3<m 2,k ∈Z ,∵m≠0,∴(k +12)2<m 2-3m 2,k ∈Z ,又∵存在x 0满足x 02+[f(x 0)]2<m 2,即存在k ∈Z 满足上式,∴m 2-3m 2>[(k +12)2]min,∴m 2-3m >(12)2,∴m 2-3>m 24,∴m 2>4,∴m>2或m<-2,故选C.评析 本题考查了函数的极值问题,三角函数求值、恒成立等问题.考查分析问题、解决问题的能力. 二、填空题 13.答案12解析 T r+1=C 10r x 10-r a r ,令10-r=7,得r=3, ∴C 103a 3=15,即10×9×83×2×1a 3=15,∴a 3=18,∴a=12.14.答案 1解析 f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sin φcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sin x,∴f(x)的最大值为1.15.答案(-1,3)解析∵f(2)=0, f(x-1)>0,∴f(x-1)>f(2),又∵f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递减,∴f(|x-1|)>f(2),∴|x-1|<2,∴-2<x-1<2,∴-1<x<3,∴x∈(-1,3).评析本题考查了偶函数的性质,利用f(|x|)=f(x)是求解的关键.16.答案[-1,1]解析解法一:当x 0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0<x0≤1.综上,-1≤x0≤1.解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM·sin 45°≤1,,∴OM2≤2,∴x02+1≤2,∴x02≤1,∴-1≤x0≤1.∴OM≤1sin45°评析 本题考查了数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由a n+1=3a n +1得a n+1+12=3(a n +12).又a 1+12=32,所以{a n +12}是首项为32,公比为3的等比数列. a n +12=3n 2,因此{a n }的通项公式为a n =3n -12.(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a n =23n -1. 因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n-1,所以13n -1≤12×3n -1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32(1-13n )<32. 所以1a 1+1a 2+…+1a n <32. 评析 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩求和是本题的难点.18.解析 (Ⅰ)连结BD 交AC 于点O,连结EO.因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点.又E 为PD 的中点,所以EO ∥PB.又EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.(Ⅱ)因为PA ⊥平面ABCD,ABCD 为矩形,所以AB,AD,AP 两两垂直.如图,以A 为坐标原点,AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向,|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,√3,0),E (0,√32,12),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,12).设B(m,0,0)(m>0),则C(m,√3,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,√3,0). 设n 1=(x,y,z)为平面ACE 的法向量,则{n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{mx +√3y =0,√32y +12z =0, 可取n 1=(√3m ,-1,√3).又n 2=(1,0,0)为平面DAE 的法向量,由题设|cos<n 1,n 2>|=12,即√33+4m 2=12,解得m=32. 因为E 为PD 的中点,所以三棱锥E-ACD 的高为12. 三棱锥E-ACD 的体积V=13×12×√3×32×12=√38.评析 本题考查线面平行的判定,利用空间向量解二面角问题,考查了学生的空间想象能力.19.解析 (Ⅰ)由所给数据计算得 t =17×(1+2+3+4+5+6+7)=4, y =17×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, ∑i=17(t i -t )2=9+4+1+0+1+4+9=28, ∑i=17(t i -t )(y i -y )=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,b ^=∑i=17(t i -t)(y i -y)∑i=17(t i -t)2=1428=0.5, a ^=y -b ^t =4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为y ^=0.5t+2.3.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b ^=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入(Ⅰ)中的回归方程,得y ^=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.评析 本题考查了回归直线方程的求解,注意回归直线恒过点(t ,y )是关键,考查了回归系数b ^的几何意义.考查了学生的计算求解能力.20.解析 (Ⅰ)根据c=√a 2-b 2及题设知M (c,b 2a ),2b 2=3ac. 将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac,解得c a =12或c a =-2(舍去).故C 的离心率为12.(Ⅱ)由题意,得原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,所以直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a =4,即b 2=4a.① 由|MN|=5|F 1N|得|DF 1|=2|F 1N|.设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则{2(-c -x 1)=c,-2y 1=2,即{x 1=-32c,y 1=-1.代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.②将①及c=√a 2-b 2代入②得9(a 2-4a)4a 2+14a =1. 解得a=7,b 2=4a=28,故a=7,b=2√7.评析 本题考查了椭圆的几何性质,考查用代数方法研究圆锥曲线问题及向量的运算等基础知识.21.解析 (Ⅰ)f '(x)=e x +e -x -2≥0,等号仅当x=0时成立.所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.(Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e 2x -e -2x -4b(e x -e -x )+(8b-4)x,g'(x)=2[e 2x +e -2x -2b(e x +e -x )+(4b-2)]=2(e x +e -x -2)(e x +e -x -2b+2).(i)当b≤2时,g'(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.(ii)当b>2时,若x满足2<e x+e-x<2b-2,即0<x<ln(b-1+√b2-2b)时,g'(x)<0.而g(0)=0,因此当0<x≤ln(b-1+√b2-2b)时,g(x)<0.综上,b的最大值为2.-2√2b+2(2b-1)ln 2.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,g(ln√2)=32当b=2时,g(ln√2)=3-4√2+6ln 2>0,2>0.692 8;ln 2>8√2-312+1时,ln(b-1+√b2-2b)=ln√2,当b=3√24-2√2+(3√2+2)ln 2<0,g(ln√2)=-32<0.693 4.ln 2<18+√228所以ln 2的近似值为0.693.评析本题考查了导数的应用,同时考查了分类讨论思想和运算能力.22.解析(Ⅰ)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,⏜=EC⏜.所以∠DAC=∠BAD,从而BE因此BE=EC.(Ⅱ)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB,由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.评析本题考查了圆的切割线定理,相交弦定理.考查了推理论证能力.23.解析(Ⅰ)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为{x=1+cost,y=sint(t为参数,0≤t≤π).(Ⅱ)设D(1+cos t,sin t).由(Ⅰ)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t=√3,t=π3.故D的直角坐标为(1+cosπ3,sinπ3),即(32,√32).评析本题考查了极坐标化平面直角坐标,普通方程化参数方程的方法,考查了数形结合思想.24.解析(Ⅰ)由a>0,得f(x)=|x+1a |+|x-a|≥|x+1a-(x-a)|=1a+a≥2.所以f(x)≥2.(Ⅱ)f(3)=|3+1a|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+1a ,由f(3)<5得3<a<5+√212.当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5得1+√52<a≤3.综上,a的取值范围是(1+√52,5+√212).评析本题考查了含绝对值不等式的解法,考查了分类讨论思想.。
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案
2014年全国⼀卷⾼考理科数学试卷及答案2014年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试全国课标I 理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀．选择题：共12⼩题，每⼩题5分，共60分。
在每个⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的⼀项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的⼀个焦点，则点F 到C 的⼀条渐近线的距离为AB .3CD .3m5.4位同学各⾃在周六、周⽇两天中任选⼀天参加公益活动，则周六、周⽇都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，⾓x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂⾜为M ，将点M 到直线OP 的距离表⽰为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像⼤致为7.执⾏下图的程序框图，若输⼊的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22π9.不等式组124x y x y +≥??-≤?的解集记为D .有下⾯四个命题：1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3pB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3p10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上⼀点，Q 是直线PF 与C 的⼀个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯⼀的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗实线画出的是某多⾯体的三视图，则该多⾯体的个条棱中，最长的棱的长度为A .B .D .4第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(四川.理)含详解
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。
第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 24s R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径n ()(1)(0,1,2,...)k k n kn P k C p p k n -=-= 第一部分（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)16 (B)13 (C)12 （D ）23答案：B解析：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==。
2、复数1i i-+=(A)2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i 答案：A解析：12i i i i i-+=--=- 3、1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23l l ⇒13l l ⊥ (C)233l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 答案：B解析：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定 4、如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF答案D 解析：B AC ++=+5、5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—辽宁卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-.若对所有,[0,1x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ）A ．12 B ．14 C ．12π D ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求： （1）a 和c 的值； （2）cos()BC -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0有01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 参考答案一、选择题1. D [解析] 由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．2. A [解析] 由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝52－i，故z ＝2＋3i.3. C [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .4. B [解析] B [解析] 由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与a 相交，故D 错误． 5. A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．6. D [解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，A 33C 34＝24.7. B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分⎝⎛⎭⎫占圆柱的14后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π8. C [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所得a 1d <0.9. B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增10. D [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2，3)在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为x ＋2＝m (y －3)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得到y 2－8my ＋24m ＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m ＝－12(舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率k BF ＝8－08－2＝43. 11. C C [解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，g (x )恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令个g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝ －（x －9）（x ＋1）x 4，故g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a ≤－2.解法一：12. B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤14.当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝14.解法二：解法三：解法四：13.299[解析] 当x ＝9时，y ＝5，则|y －x |＝4；当x ＝5时，y ＝113，则|y －x |＝43；当x ＝113时，y ＝299，则|y －x |＝49<1.故输出y ＝299.14.23[解析] 正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积S 1＝2⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 31－1＝83，故质点落在阴影区域的概率P ＝834＝23. 15. 12 [解析] 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.16. 2- [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2， 当且仅当4a 21＝3b213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.17.（Ⅰ）由2BA BC ⋅=得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以ac =6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b =3，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得a =2，c =3或a =3，c =2. 因为a >c ,∴ a =3，c =2. （Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ===由正弦定理，得2sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos9C===.于是cos()cos cos sin sinB C B C B C-=+=1723393927⋅+⋅=.18.（Ⅰ）设1A表示事件“日销售量不低于100个”，2A表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A=++⨯=.2()0.003500.15P A=⨯=.()0.60.60.1520.108P B=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C==⋅-=,333(3)0.60.216P X C==⋅=,分布列为19.（Ⅰ）证明：（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，又EF⊂面EFO，所以EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A (0，-1，),D(,-1,0)，C (0,2,0),因而11(0,),,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥. （Ⅱ）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角； 在△EOC 中，EO =12EC=12BC ·cos 30°，由△BGO ∽△BFC 知，BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO =2EO OG =,从而sin ∠EGO，即二面角E -BF -C （方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又311(,,0),(0,,)2222BF BE ==,由220n BF nBE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得其中一个2(1,n =，设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos |cos ,|||||||5n nn n n n θ⋅=<>==⋅因sin θ即二面角E -BF -C 20.（Ⅰ）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y =时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 得坐标为 ， 由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+， 解得b 12=3，因此C 2方程为22163x y += 显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=，又12,y y 是方程的根，因此1212232y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩①②，由12,3x y x m=+=+得12122221212122()266()32x x m y y m m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122(2,2),(2)AP x y BP x y =--=-由题意知0A P B P ⋅=，所以12121212))40x x x x y y y y ++++=⑤，将①，②，③，④代入⑤式整理得22110m -+=，解得12m =-或12m =-+，因此直线l 的方程为1)0x y --=，或1)0x y +-=. 21.（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<，函数()f x 在(0,)2π上为减函数，又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<，所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =. （Ⅱ）考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+，令t x π=-，则[,]2x ππ∈时，[0,]2t π∈， 记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++，则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ ，由（Ⅰ）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0(,)2t x π∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点. 在0(,)2x π上()u t 是减函数，由0()0,()4ln 202u x u π>=-<，存在唯一的10(,)2t x π∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1(,)2x ππ∈，使1()0g x =.因1110,x t t x π=->，所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF 垂直EP ，所以∠PF A =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°， 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB .由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .23.（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y +=得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）.(Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-， 化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24.（Ⅰ）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<； 所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4MN x x =≤≤.当x MN ∈时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—新课标Ⅱ卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷Ⅱ）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合0,1,2M =｛｝，2{|320}N x x x =-+≤，则M N =( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}2．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A ．5-B ．5C ．4i -+D ．4i -- 3．设向量,a b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=( )A ．1B ．2C ．3D ．54．钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC ，则AC =( )A ．5B ．2 D ．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075．，连续两天优良的概率是06．，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．08．B ．075．C ．06．D ．045． 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727 B ． 59 C ． 1027D ． 13 7．执行右图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．设,x y 满足约束条件70,310,350.x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．210．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（ ）A C ．6332 D ．9411．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M N ,分别是1111A B AC ,的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A ．110 B ．25 C12．设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A ．()(),66,-∞-⋃∞B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题13．10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________．(用数字填写答案) 14．函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________．15．已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f =．若(1)0f x ->，则x 的取值范围是______．16．设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是____．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1211132n a a a +++<． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面 ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB AEC ∥平面；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，1AP = ，AD =，求三棱锥E ACD - 的体积．19． （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆa y bt=- 20．（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆22221x y a b+= （0a b >> ）的左右焦点，M 是C上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b ． 21．（本小题满分12分）已知函数()2x x f x e e x -=--。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—湖北卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B ． 1 C ． i - D ． i 2． 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B ．54 C ． 1 D ．42 3． 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4.根据如下样本数据A.0,0>>b a B ．0,0<>b a C ．0,0><b a D ．0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①．②．③．④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） 图和俯视图分别为图1-1A ．①和②B ．①和③C ．③和②D ．④和② 6.若函数f (x )，g (x )满足()()110f x g x dx -=⎰，则称f (x )，g (x )为区间[-1，1] 上的一组正交函数，给图③ 图①图④图② 第7题图出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A ．81 B ．41 C ． 43 D ．87 8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227 B ．258C ．15750D ．355113 9．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） ABC ．3D ．2 10．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(||)|2|3).2f x x a x a a =-+--若,(1)(),x R f x f x ∀∈-≤则实数a 的取值范围为（ ）A ．11[,]66- B．[ C ． 11[,]33- D．[二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________．12．直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．13．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________．14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数． （1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________17．（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18（本小题满分12分）已知等差数列满足：=2，且，成等比数列．（1） 求数列的通项公式．（2） 记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP ．（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． (1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ． (1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—湖南卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一． 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1． 满足(z ii i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样．系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．3 4．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．205．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]-的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C D 1 9．已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 10．已知函数221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A ．(-∞ B ．(-∞ C ．( D ．( 二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，则AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 .12．如图3，已知,AB BC 是O 的两条弦，,AO BC AB BC ⊥=则O 的半径等于 。
2014年全国统一高考数学试卷及解析(理科)(大纲版)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1、（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A、﹣1+3iB、﹣1﹣3iC、1+3iD、1﹣3i2、（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A、（0，4]B、[0，4）C、[﹣1，0）D、（﹣1，0]3、（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A、a＞b＞cB、b＞c＞aC、c＞b＞aD、c＞a＞b4、（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A、2B、C、1D、5、（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A、60种B、70种C、75种D、150种6、（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A、+=1B、+y2=1C、+=1D、+=17、（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A、2eB、eC、2D、18、（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A、B、16πC、9πD、9、（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A、B、C、D、10、（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A、6B、5C、4D、311、（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A、B、C、D、12、（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A、y=g（x）B、y=g（﹣x）C、y=﹣g（x）D、y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13、（5分）的展开式中x2y2的系数为、（用数字作答）14、（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为、15、（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于、16、（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是、三、解答题17、（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B、18、（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4、（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n、19、（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2、（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小、20、（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立、（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望、21、（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|、（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程、22、（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）、（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）、参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1、（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A、﹣1+3iB、﹣1﹣3iC、1+3iD、1﹣3i题目分析：直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求、试题解答解：∵z==，∴、故选：D、点评：本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题、2、（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A、（0，4]B、[0，4）C、[﹣1，0）D、（﹣1，0]题目分析：求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解、试题解答解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4、∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）、故选：B、点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题、3、（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A、a＞b＞cB、b＞c＞aC、c＞b＞aD、c＞a＞b题目分析：可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得、试题解答解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C、点评：本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题、4、（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A、2B、C、1D、题目分析：由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||、试题解答解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，故选：B、点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题、5、（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A、60种B、70种C、75种D、150种题目分析：根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案、试题解答解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C、点评：本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同、6、（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A、+=1B、+y2=1C、+=1D、+=1题目分析：利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程、试题解答解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1、故选：A、点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题、7、（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A、2eB、eC、2D、1题目分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率、试题解答解：函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C、点评：本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础、8、（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A、B、16πC、9πD、题目分析：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积、试题解答解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=、故选：A、点评：本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题、9、（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A、B、C、D、题目分析：根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论、试题解答解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===、故选：A、点评：本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力、10、（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A、6B、5C、4D、3题目分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10、再利用对数的运算性质即可得出、试题解答解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10、∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4、故选：C、点评：本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题、11、（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A、B、C、D、题目分析：首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案、试题解答解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===、故选：B、点评：本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题、12、（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A、y=g（x）B、y=g（﹣x）C、y=﹣g（x）D、y=﹣g（﹣x）题目分析：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x 的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得、试题解答解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）故选：D、点评：本题考查反函数的性质和对称性，属中档题、二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13、（5分）的展开式中x2y2的系数为70、（用数字作答）题目分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数、=•（﹣1）试题解答解：的展开式的通项公式为T r+1 r••=•（﹣1）r••，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，故答案为：70、点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题、14、（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5、题目分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案、试题解答解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）、化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得、由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大、此时z max=1+4×1=5、故答案为：5、点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题、15、（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于、题目分析：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果、试题解答解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：、点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题、16、（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2] 、题目分析：利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x 的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围、试题解答解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1、∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=、∴，解得：a≤2、∴a的取值范围是（﹣∞，2]、故答案为：（﹣∞，2]、点评：本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题、三、解答题17、（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B、题目分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出、试题解答解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=、∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题、18、（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4、（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n、题目分析：（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4，进而可得结论；（2）通过a n=13﹣3n，分离分母可得b n=（﹣），并项相加即可、试题解答解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d=﹣4，∴{a n}的通项为：a n=17﹣4n；（2）∵a n=17﹣4n，∴b n===﹣（﹣），于是T n=b1+b2+……+b n=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]=﹣（﹣）=、点评：本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题、19、（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2、（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小、题目分析：（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得、试题解答解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan点评：本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题、20、（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立、（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望、题目分析：记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求、（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可、试题解答解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31、（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38、故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2点评：本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题、21、（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|、（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程、题目分析：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程、（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|、把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|、由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程、试题解答解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=、又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）、故C的方程为y2=4x、（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4、∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）、又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3、过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）、故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0、点评：本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题、22、（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）、（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）、题目分析：（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式、试题解答解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数、②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数、（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立、②假设当n=k时结论成立，即，=ln（a n+1）＞ln（），则当n=k+1时，a n+1a k+1=ln（a k+1）＜ln（），即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014年12月管理类联考数学真题解析
全国数学名师孙华明独家第一发布
一、问题求解：第1-15小题，每小题3分，共45分。
下列每题给出的A、B、C、D、E五
A、2组
B、3组
C、4组
D、5组
E、6组
解析：本题课堂反复强调的质数的掌握，列举所有20以内的质数只有2，3，5，7，11，13，17，19，那么显然只有（3，5），（5，7），（11，13），（17，19）四组，属于简单题。
选C。
4、如图1，BC 是半圆的直径，且4BC =，030=∠ABC ,则图中阴影部分的面积为（ ）
A 、
334-π B 、3234-π C 、332
+π D 、323
2
+π E 、322-π
解析：显然阴影部分的面积为一个120度的扇形减一个三角形，那么就是
22134223343
S ππ=⨯-⨯=-，选A 。
5、某人驾车从A 地赶往B 地，前一半路程比计划多用了45分钟，速度只有计划的80%，若后一半路程的平均速度为120千米/小时，此人还能按原定时间达到B 地，则A 、B 两地距离为（ ）
A 、450千米
B 、480千米
C 、520千米
D 、540千米
E 、600千米 解析：设半个路程为S ，那么列方程得：340.8S S v v +=
，和34120
S S
v -=，那么联合两个方程得：2702540S S =⇒=，选D 。
6、在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩为80,81,81.5，三个班的学生分数之和为6952，三个班共有（ ）
A 、85
B 、86
C 、87
D 、88
E 、90 解析：显然答案应该在695286.980=和6952
85.381.5
=之间，选B 。
7、有一根圆柱形铁管，厚度为0.1m ，内径为1.8m ，长度为2m ，若将其熔化后做成长方体，则长方体的体积为（ ）
A 、0.38
B 、0.59
C 、1.19
D 、5.09
E 、6.28
解析：圆柱体的体积问题，(
)
22
10.920.38 1.19V ππ=-⨯==，属于简单题。
选C 。
8、如图2，梯形ABCD 的上底与下底分别为5,7，E 为AC 与BD 的角度，MN 过点 E 且平行于AD ，则MN=（ ）
A 、
526 B 、211 C 、635 D 、7
36 E 、740 解析：考查相似三角形，课堂反复强调，
5535
121212ME ME BC BC =⇒=⨯=
，而7735
121212
NE NE AD AD =⇒=⨯=
，所以
353535
12126
MN ME NE =+=+=。
选C 。
9、已知21,x x 是方程012=--ax x 的两个实根，则=+2
221x x （ ）
A 、22+a
B 、12+a
C 、12-a
D 、22-a
E 、2+a 解析：韦达定理考查，反复强调，()2
2
2
2
12121222x x x x x x a +=+-=+，选A 。
属于简单题。
10、一件工作，甲、乙合作需要2天，人工费2900元，乙丙两个人合作需要4天，人工费2600元，甲、丙两人合作2天完成全部工作量的6
5
，人工费2400元，则甲单独完成这件工作需要的时间与人工费为（ ）
A 、3天，3000元
B 、3天，2580元
C 、4天，3000元
D 、4天，3000
E 、4天，2900元
解析：设甲、乙、丙三人的效率分别为,,x y z ，列式得：
172111214354
12x y x y z y z x y z z x ⎧+=⎪⎧⎪++=⎪⎪⎪+=⇒⇒=⎨⎨
⎪⎪+=
⎪⎪⎩+=⎪⎩
，再设甲、乙、丙三人的每天报酬分别为,,a b c ，那么()()()229001650
42600100065022400
a b x y z b c x y z x z +=⎧++=⎪⎧+=⇒⇒=⎨⎨
+=⎩⎪
+=⎩，甲完成工程所需要的人工费为3000元。
选A 。
本题计算量稍大。
11、若直线ax y =，与圆()122
=+-y a x 相切，则=2
a （ ）
A 、
231+ B 、231+ C 、25 D 、351+ E 、2
5
1+ 解析：由242222215
1112
1
a d r a a a a a a +=⇒=⇒=+⇒--⇒=
+，选E 。
12、设点()2,0A 和()0,1B ,在线段AB 上取一点()()10,<<x y x M ，则以y x ,为两边的矩形面积的最大值为（ ）
A 、
85 B 、21 C 、83 D 、41 E 、 8
1
解析：显然AB 的直线方程为：12212
x y
x y +=⇒+=，则面积
()()2
11
2221222
x x S xy x x x x +-⎛⎫==-=-≤= ⎪⎝⎭，选B 。
13、某新兴产业在2005年末至2009年末产值的年平均增长率为q ，在2009年末至2013年末产值的年平均增长率比前面下降了40%，2013年末产值约为2005年产值的14.46(
)4
95
.1≈倍，则q 为（ ）
A 、30%
B 、35%
C 、40%
D 、45%
E 、50% 列式为：()()(
)
4
4
4
24110.614.461 1.60.6 1.95q q q q
++=⇒++=
()()21
60160950619105050%2
q q q q q +-=⇒+-=⇒=
=，选E 。
本题由于计算量稍大，可以使用选项验证的方法，其实明显只有50%最为适合。
14、某次网球比赛的四强对阵为甲对乙，丙对丁，两场比赛的胜者将争夺冠军，选手之间相互获胜的概率如下，
则甲获得冠军的概率为（ ）
A 、0.165
B 、0.245
C 、0.275
D 、0.315
E 、0.330 解析：独立性事件的概率，最后甲获胜概率有两种情况：第一种情况为：甲胜乙，丙胜丁，再甲胜丙，概率10.30.50.30.045P =⨯⨯=；第二种情况为：甲胜乙，丁胜丙，再甲胜丁，概率20.30.50.80.12P =⨯⨯=；最终的概率为：0.0450.120.165P =+=。
选A
102
919110100Q P ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，不充分，条件（2）3
927110.271101000
Q P ⎛⎫
=-==> ⎪⎝⎭，充分，
选B 。
17、已知q p ,为非零实数，则能确定
()
1-p q p
的值
（1）1=+q p （2）
111=+q
p 11
出11100,0a a ><，显然也充分，选D 。
21、几个朋友外出游玩，购买了一些瓶装水，则能确定购买的瓶装水数量（ ） （1）若每人分三瓶，则剩余30瓶 （2）若每人分10瓶，则只有1人不够
解析：同余问题，条件（1）说明总数被3除余30，即330N k =+，条件（2）说明总数被10除有余数，即()101N k m =-+明显两个条件都不充分，联合：
()3301017405,5N k k m k m k m =+=-+⇒+=⇒==，显然联合充分。
选C 。
)()231n n a a a a -++
（2）01>n a a
解析：本题在技巧解析会直接讲过：设2341n a a a a -+++
+=()a t a t =++，
10n a a >，明显条件（充分；条件（2）单独也不充分，只能联合，得：232322133
k x x x x
x x x +--=-=≤，充分。
选C 。
25、底面半径为r ,高为h 的圆柱体表面积记为1S ，半径为R 的球体表面积记为2S ，则
21S S ≤ A
（1）2h r R +≥
（2）3
2h
r R +≤ 解析：本题可以用蒙猜大法选C 。