5运筹学课件

2、状态变量为sk
3、决策变量为 : uk x k
4、 状 态 转 移 方 程s ： k 1 s1 10 显然有： u1 x1
s u
k
k
s 2 s1 u1 u2 x 2
k
s k s k 1 u k 1 uk x k
5、 阶 段 指 标 函 数g ：( x k )

显然当 x s 3 时，函数取极大值为 2s ;
* 3 2 3
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当k=2时,
这是一个函数求极值问 题,利用微分方法可求得 该函数有极小值.
9 而x2 s2 是极小值点。 4
0
x2
s2
s
f 2 ( s 2 ) m ax9 x 2 f 3 ( s 3 )
而极大值只能在[0，s2 ]的端点取得， 即： f 2(s 2)
减函数
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* 2 另取 x2 0，（ f 2 s2） 2 s2 0 x1 s1
2 此时 （ f1 s1） max 4 x1 （ 2 s1 x1） 2 （ f1 10） max 4 x1 （ 2 s1 x1） 0 x1 10
又是一个求极值问题，微分求解 x1 s1 1。 比较 [0， 10] 的端点， 当x1 0 时, （ f1 10） 200
2 g1 ( x1 ) 4 x1 , g2 ( x2 ) 9 x2 , g3 ( x3 ) 2 x3
m axz 4 x1 9 x 2 2 x
2 3
x1 x 2 x 3 10 x i 0 ( i 1、3
课堂练习题
[例].某公司有资金10万元，若投资项目i （i=1,2,3）的投资额为 xi 时,其效益分别为: 问应如何分配投资数额才能使总收益最大? 可列出它的静态模型:
[分析]:这是一个表面与时 间没有任何关系的问题,但 要用动态规划的方法去解 则必须把它划分为“时 段”.本题可划分为3个时 段,每段只决定对一个投资 项目的投资额.这样把问题 分解为3阶段决策问题.
* 此时x2 0 * 此时x2 s2
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当k 1时, f1 ( s1 ) max 4 x1 f 2 ( s2 )
0 x1 s1
f 2(s 2) x
2

s2
9 s2时 max 4 x1 9 s2
0 x1 10
max 4 x1 9 s1 9 x1
x2 0 2 2s2 ， f
2(s 2)
x2 s2
9s2
m ax 9 x
0 x 2 s2 0 x 2 s2
0 x 2 s2
2 m ax 9 x 2 2 s 3

2
2( s 2 x 2 ) 2

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要讨论 s 2 的具体情况:
9 当s2 时, f (s 2) f (s 2) , 2 2 x2 0 x2 s2 2 9 当s2 时, f (s 2) f (s 2) , 2 2 x2 0 x2 s2 2 到此第二阶段的决策已做出.
6、 递 推 方 程 为 ：
） max g（ ） f k （ ） , k 1， 2， 3 k sk k xk 1 s k 1 f（ 0 x k s k ） 0 4 s4 f（
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当k 3时, f（ ） max 2 x , 3 s3
0 x 3 s 3 2 3
0 x1 10
max 9 s1 5 x1 * 9 s1
0 x1 10 x1 0
注 :当 f
2(s 2) x 2 s 2
* 2
* 9 s2时, x2 s2 ,
9 即 : s2 x s2 , 2 9 而 s2 s1 x1 * 10 0 , x1 0 2 此结论与前矛盾, 故舍去.
* 当x1 10 时, （ f1 10） 40 x1 0 * 再由状态方程顺推：s 2 s1 x1 10 0 10
9 * * s2 x2 0 x3 10 2 最优方案为全部资金投到第三个项目.
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