2离散信号的频域分析
第三章第二节离散信号频域分析
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m) x2 (n m)
m 0
N 1
x2 (m) x1 (n m)
m 0
N 1
证： y(n) IDFS[ X 1 (k ) X 2 (k )]
j
2
j j e 2 e 2
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4
2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
若 则有
2．周期序列的移位 设
则 如果m>N，则m=m1+Nm2
3．周期卷积 设 和 DFS系数分别为
都是周期为N的周期序列，它们的
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对m都是周 期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的， 周期卷积仅在 一个周期内求和。 相乘和相加运 算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出 n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓， 就得到周期卷积 。 周期卷积满足交换律
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
离散信号的频域分析
e
j
3
n
j n
e 3
1
j 2 n1
(e 6
j 2 n(16)
e6
)
2
9
例1：已知正弦序列 x(n) cos n ，分别求出当 2 和 3 时，傅立叶级数表达式及相应的频谱。
x(n)
5
X
j 2 kn
(k)e 6
1
j 2 n1
j 2 kn
x(n) X (k)e N
k 0
考虑到：N→∞，2 N 0 ,记为 d;
(2 N) k （由离散量变为连续量），而
1 N d 2 , 同时
N 1
2
0
傅立叶变换式
k 0
于是，X (e j ) lim N X (k) x(n)e jn
也可简记为 X (e j) DTFT x(n), x(n) IDTFT X (e j)
或 x(n) DTFT X (e j )
15
3.2.2 非周期序列的傅立叶变换
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 X (e j ) 称为x(n)的离散时间傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform, DTFT）或频谱密度函数，简称频 谱。 x(n)称为X (e j ) 的离散时间傅立叶反变换(IDTFT)或原 函数。
x(n)e N
N n0
X (k)
1
N 1
j 2 kn
x(n)e N ,
离散信号频域分析心得体会
离散信号频域分析心得体会离散信号频域分析是数字信号处理中的重要内容，通过将信号从时域转换到频域，可以获得信号在频率上的特性，进而对信号进行分析和处理。
在学习离散信号频域分析的过程中，我积累了以下一些心得体会。
首先，离散信号频域分析的核心是傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，可以将一个信号分解成不同频率的频谱分量。
在学习傅里叶变换的时候，我深刻体会到信号的频域表示与时域表示是等价的，它们只是从不同的角度描述了信号的特性。
傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，它本质上是将信号分解成一系列复指数函数的和，每一个复指数函数对应一个频率的分量。
通过对频谱的分析，可以获取信号在不同频率上的能量分布情况，了解信号的频率组成，并根据不同的应用目的选择合适的频率范围进行分析和处理。
其次，离散信号的频域分析主要涉及到离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）等算法。
DFT是一种将离散时间域信号转换为离散频率域信号的变换，通常需要进行大量的计算，计算复杂度较高。
为了提高计算效率，人们提出了FFT算法，能够在O(NlogN)的时间复杂度内完成频域分析。
在学习FFT算法的过程中，我深刻感受到它的高效性和重要性。
FFT算法通过将原始信号的长度分解成多个小问题，并利用变位运算和加减运算进行计算，从而大大提高了计算速度。
掌握了FFT算法，可以极大地简化频域分析的计算过程，提高信号处理的效率。
此外，离散信号频域分析的应用十分广泛。
在通信领域，频域分析可以用于调制解调、信道估计、频谱分析等；在图像处理领域，频域分析可以用于图像压缩、滤波、增强等；在音频处理领域，频域分析可以用于音频合成、音乐分析等。
通过对信号进行频域分析，可以提取信号的关键特征，为后续的处理和应用打下基础。
在实际应用中，我们可以根据具体场景和需求，选择合适的频域分析方法和算法，对信号进行处理和优化。
最后，学习离散信号频域分析需要具备一定的数学基础和计算机编程能力。
《信号与系统》离散信号的频域分析实验报告
信息科学与工程学院《信号与系统》实验报告四专业班级电信 09－班姓名学号实验时间 2011 年月日指导教师陈华丽成绩实验名称离散信号的频域分析实验目的1. 掌握离散信号谱分析的方法：序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换，进一步理解这些变换之间的关系；2. 掌握序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换的Matlab实现；3. 熟悉FFT算法原理和FFT子程序的应用。
4. 学习用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。
实验内容1.对连续信号)()sin()(0tutAetx taΩα-=（128.444=A，πα250=，πΩ250=）进行理想采样，可得采样序列50)()sin()()(0≤≤==-nnunTAenTxnx nTaΩα。
图1给出了)(txa的幅频特性曲线，由此图可以确定对)(txa采用的采样频率。
分别取采样频率为1KHz、300Hz和200Hz，画出所得采样序列)(nx的幅频特性)(ωj eX。
并观察是否存在频谱混叠。
图1 连续信号)()sin()(0tutAetx taΩα-=2. 设)52.0cos()48.0cos()(nnnxππ+=（1）取)(nx（100≤≤n）时，求)(nx的FFT变换)(kX，并绘出其幅度曲线。
（2）将(1)中的)(nx以补零方式加长到200≤≤n，求)(kX并绘出其幅度曲线。
（3）取)(nx（1000≤≤n），求)(kX并绘出其幅度曲线。
（4）观察上述三种情况下，)(nx的幅度曲线是否一致？为什么？3. （1）编制信号产生子程序，产生以下典型信号供谱分析用。
11,03()8,470,n nx n n nn+≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它2()cos4x n nπ=3()sin8x n nπ=4()cos8cos16cos20x t t t tπππ=++10.80.60.40.20100200300400500xa(jf)f /Hz（2）对信号1()x n ，2()x n ，3()x n 进行两次谱分析，FFT 的变换区间N 分别取8和16，观察两次的结果是否一致？为什么？（3）连续信号4()x n 的采样频率64s f Hz =，16,32,64N =。
离散信号的频域分析
时频变换的基本概念：时频变换是信号处理 中的一种重要方法，它能够将信号的时域和 频域信息相互转换。
添加 标题
离散信号的频域与时域的关系：离散信号的 频域与时域之间存在密切的关系。通过时频 变换，可以分析离散信号在不同时间点的频 率特征，从而更好地理解信号的特性和行为。
添加 标题
时频变换的不变性：时频变换具有一些重要 的性质，其中最重要的是时频变换的不变性。 这意味着通过时频变换得到的信号的时域和 频域特征在变换前后保持不变。
数字调制解调的 优势：抗干扰能 力强、传输距离 远等
数字音频信号 的频域分析
音频压缩与编 码
数字滤波器设 计
音频特效处理
图像压缩：离散信号的频域分析有助于图像压缩，减少存储空间和传输带宽。
图像增强：通过频域处理，可以增强图像的细节和对比度，提高图像质量。
图像识别：利用离散信号的频域特征，可以实现图像识别和分类，应用于人脸识别、物体检测等 领域。
时频变换的应用：时频变换在信号处理、 通信、雷达、声呐等领域有着广泛的应用。 通过时频变换，可以实现对信号的快速、 准确的分析和处理，从而提高信号处理的 效率和精度。
时频变换的基本原理
离散信号的频域与时域的关 系
离散信号的频域分析方法
时频变换在信号处理中的应 用
汇报人：XX
时频变换的对称性：离散信号的频域与时域之间存在对称性，即频域和时域的变换具有相互对 应的关系。
离散信号的时频分析：利用时频变换的方法，将离散信号表示为时频平面上的分布，以便同时 分析其时间和频率特性。
时频变换的物理意义：离散信号的时频变换具有物理意义，可以揭示信号在不同时间和频率下 的表现和特征。
添加 标题
离散性：离散信号的频谱是离散的，即只有某些特定的频率分量存在。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
3、 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 4、 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即
时域和频域都是离散的、周期的 规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。 1、如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函 数。 2、在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函 数。 3、如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期 的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 4、离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都 是离散周期的。
对于，将以为周期进行周期延拓，得到所示的周期序列， 周期为16， 求的DFS。 可以看出，在时，处频谱的幅度和处是一样的。也就是说，点数越多， 频谱越精确。
..2 离散周期序列的傅里叶变换 各种形式的傅里叶变换 1、 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续
函数 2、 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率
例：设， f0=50 Hz，以采样频率对进行采样， 得到采样信号和时域离 散信号， 求)、和的傅里叶变换的FT。
2.5 序列的Z变换 双边Z变换的定义：序列x(n)的Z变换定义为： 式中：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中，对 n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
为单边Z变换： 适用于因果序列，如果不特别强调，均用双边Z变换对信号进行分析和 变换。 Z变换成立条件： Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示
在模拟系统中， 的傅里叶变换为 对于时域离散系统中， ，它的傅立叶变换 对于
（
例：求对进行的周期延拓后的周期序列的傅立叶变换FT 注意：对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列 的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数 的画法。 例：设 ，为有理数，求其FT 物理含义：的FT是在处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行 延拓。
离散时间系统频域分析
离散时间系统频域分析离散时间系统的频域分析是研究离散时间信号在频域上的性质和行为的方法。
在离散时间系统频域分析中，使用离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），来将离散时间信号从时域转换到频域。
通过分析信号在频域上的频谱分布和频谱特性，可以得到离散时间系统的频率响应和频域特性，对信号的频域分布和频率区间进行评估和分析。
离散时间傅里叶变换是时域信号分析的重要工具，它可以将离散时间信号从时域转换到频域。
离散时间傅里叶变换的定义可以表示为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j*2πkn/N)]其中，X(k)是离散时间信号在频域的频谱，x(n)是离散时间信号，N是信号的长度，k是频谱的索引。
离散时间傅里叶变换将时域信号分解成多个频率成分，通过频谱的幅度和相位信息，可以得到信号在频域上的分布情况。
通过离散时间傅里叶变换可以得到离散时间信号的频谱，进而分析信号在频域上的频率响应和频域特性。
频谱可以反映信号在不同频率上的能量分布情况，通过观察频谱的幅度和相位，可以得到信号的频率成分、频带宽度和频率特性等信息。
在离散时间系统频域分析中，常用的分析工具有频谱图、功率谱密度、频率响应等。
频谱图可以将信号的频谱以图形形式展示出来，通过观察频谱图的形状和分布，可以得到信号在频域上的特点。
功率谱密度是指信号在不同频率上的功率分布情况，可以评估信号在不同频率上的能量分布情况。
频率响应是指系统对不同频率信号的响应情况，可以评估系统对不同频率信号的滤波和增益特性。
离散时间系统频域分析的应用包括信号处理、通信系统、控制系统等领域。
在信号处理中，通过频域分析可以对信号进行滤波、去噪、频域变换等操作，提高信号的质量和分析能力。
在通信系统中，通过频域分析可以评估信号传输和接收的性能，并对系统进行优化和改进。
在控制系统中，通过频域分析可以评估系统的稳定性和控制特性，提高系统的响应速度和稳定性。
离散信号的频域分析
DFS
⊗为周期卷积的符号，两周期序列x(n)和h(n)的周期卷积定义为： x(n) ⊗ h(n)=h(n) ⊗ x(n) = ∑ x(k )h(n − k )
k =0 N −1
周期卷积和线性卷积的惟一区别在于周期卷积时仅仅在单个 周期内求和，而线性卷积则是对所有k值求和。
k=1,-1 其余
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 k
X (kω 0 )
⋯
−1 0 1 2 3 4 5 6
⋯
k
X1(kΩ01)
其频谱图为：
⋯
−5
−1 0 1 2 3 4 5
⋯
7 11 13
13
π − jk n 1 7 X 2 (k Ω02 ) = ∑ x(n)e 4 8 n =0
频谱如图：
X 2 ( k Ω 02 )
（2）泄露 泄露误差是由于截取波形的时间长度不恰当造成的。 从原来比较集中的谱线由于截取信号长度不当，出现了分散的 扩展谱线的现象，称之为频谱泄露或者功率泄露。
二、非周期信号的频域分析 （DTFT Discrete Time Fourier Transformation） 1、定义 序列x(n)的离散时间傅里叶变换定义为：
因此：
X(kΩ0)
1 X (k Ω0 ) = 2 0 k=1,5 k=0,2,3,4
1 2
0 12 34 5 6
x(n)
2π π Ω0 = = 解：基本频率： N 3
1
⋯
−1 0 1
⋯
n
周期信号的频谱为：
π − jk n 1 5 X (kΩ0 ) = ∑ x(n)e 3 6 n=0 π 5π − jk − jk 1 = [ x(0) + x(1)e 3 + x(5)e 3 ] 6 π π − jk jk 1 1 πk 3 3 = [1+ e + e ] = [1+ 2cos ] 6 6 3
离散信号与系统的时域和频域分析
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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本章说明
与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
SAP_03_02_离散时间信号的频域分析
P25
（2）奈奎斯特间隔、奈奎斯特频率
其中:
m 1 最大允许抽样间隔Ts （f m ） 2 fm 2
称“奈奎斯特间隔”。
最低允许抽样频率
fs 2 fm
称“奈奎斯特频率”
注：连续信号f (t )(满足抽样定理)经此抽样后的频谱Fs 重复F 是 不会产生混叠，即抽样信号f s (t )可完全保留其全部信息。
《信号分析与处理》
2、离散时间傅立叶变换DTFT
非周期序列可看作为周期序列的周期N→∞ 的极限情况 极限情况下各谐波分量的复振幅X(kΩ0)→0
limN X (k ) x(n)e
N 0 n
jk 0n
N , 0 (2 / N ) d , k 0 x(n) 为有限长 T
线性性质 周期卷积定理 复共轭 位移性质 帕斯瓦尔定理
《信号分析与处理》
1．线性性质
设
DFS DFS xN (n) X N (k )，yN (n) YN (k )
则
DFS N (n) byN (n) aX N (k ) bYN (k ) ax
《信号分析与处理》
2、周期卷积定理
设 DFS DFS xN (n) X N (k )，hN (n) H N (k )
DFS 则 xN (n) * hN (n) X N (k ) H N (k )
DFS xN (n)hN (n) N X N (k ) 1
《信号分析与处理》
P24
2、时域抽样定理
（1）时域抽样定理
武汉工程大学matlab实验二离散时间信号的分析实验【范本模板】
武汉工程大学数字信号处理实验报告二专业班级：14级通信03班学生姓名：秦重双学号：1404201114实验时间：2017年5月3日实验地点：4B315指导老师: 杨述斌实验一离散时间信号的分析实验一、实验目的①认识常用的各种信号,理解其数学表达式和波形表示。
②掌握在计算机中生成及绘制数值信号波形的方法。
③掌握序列的简单运算及计算机实现与作用。
④理解离散时间傅里叶变换、Z变换及它们的性质和信号的频域特性。
二、实验设备计算机,MATLAB语言环境。
三、实验基础理论1、序列的相关概念离散时间信号用一个称为样本的数字序列来表示。
一般用｛x［n］｝表示，其中自变量n的取值范围是﹣∞到﹢∞之间的整数。
为了表示方便，序列通常直接用x[n]表示。
离散时间信号可以是一个有限长序列，也可以是一个无限长序列。
有限长（也称为有限时宽)序列仅定义在有限的时间间隔中：﹣∞≤N1 ≤N2 ≤+∝。
有限长序列的长度或时宽为N=N1 -N2+1。
满足x[n+kN］=x[n]（对于所有n）的序列称为周期为N的周期序列,其中N取任意正整数；k取任意整数；2、常见序列常见序列有单位取样值信号、单位阶跃序列、矩形序列、斜变序列、单边指数序列、正弦序列、复指数序列等。
3、序列的基本运算序列的基本运算有加法、乘法、倒置（反转）、移位、尺度变换、卷积等。
4、离散傅里叶变换的相关概念5、Z变换的相关概念四．实验内容与步骤1、知识准备认真复习以上基础理论,理解本实验所用到的实验原理。
2、离散时间信号（序列）的产生利用MATLAB语言编程和绘制单位样值信号、单位阶跃序列、指数序列、正弦序列及随机离散信号的波形，以加深对离散信号时域表示的理解。
①单位取样值信号Matlab程序x=0;y=1;stem(x，y）；title（'单位样值’）；axis([—2,2，0,1]）；②单位阶跃序列Matlab程序n0=0;n1=—5;n2=5；n=[n1:n2］;x=［（n—n0）>=0];stem(n，x）；xlabel（'n'）；ylabel（’x(n)’）；title(’单位阶跃序列’）;③指数序列、正弦序列Matlab程序n=［0：10］;x=(1/3)。
ch1_2离散信号频域分析
X (e j
)
XN
(e j
)
0
一致收敛
若
x[k] 2 能量有限
k
则
lim π
N π
X (e j ) X N (e j ) 2 d 0
均方收敛
✓ 若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT。 ✓ 若序列满足能量有限，存在DTFT。（充分条件）
DFS
例：
c
p
Sa ( ck ) DTFTX (e j
]e
j2π N
mk
N 1
~x [k ]WNmk
k 0
k 0
X~[m]称为周期序列 ~x[k] 的离散Fourier级数(DFS)，
也称为周期序列 ~x[k] 的频谱。
DFS
周期序列DFS的定义
X~[m N ]
~x[k N ]WN(mN )k
~x[k]WNmk X~[m]
k N
k N
若为实序列，则有 X~[m] X~ [m]
| X~[m] || X~[m] |
[m] [m]
X~R [m] X~R [m] X~I [m] X~I [m]
DFS
DFS的基本性质
3. 对称特性 若 ~x[k] 为偶对称的实序列，则有
X~[m]为实序列， 且为偶对称
若 ~x[k] 为奇对称的实序列，则有
1 x[k]
-N
M
0
M
解 :
X~[m] DFS{x[k]}
M
2π j km
eN
k M
k N
当取m=0, N, 2N, 时，有 X[m] 2M 1
当m取其他值时，利用等比级数的求和公式有
j2 π mM
离散时间信号和系统的频域分析
离散时间信号和系统的频域分析离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析，其中离散时间信号是对连续时间信号进行采样得到的，而离散时间系统是对连续时间系统进行离散化得到的。
频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行研究和分析。
对于离散时间信号，其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进行均匀采样，得到指定的采样间隔，得到离散时间序列。
在频域上，其频谱是周期性的，并且频谱是以单位圆为单位周期的。
频域分析的目的是研究离散时间信号在频率域上的特性，包括频谱范围、频率分辨率、功率谱密度等。
离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换（DTFT）来实现。
DTFT是信号在频域上的完全变换，将一个离散时间信号映射到一个连续的频率域函数。
DTFT是一个复数函数，表示信号在不同频率上的振幅和相位。
频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小，相位可以表示信号在该频率上的相对位置。
除了DTFT之外，还可以使用离散傅里叶变换（DFT）进行频域分析。
DFT是DTFT的一种计算方法，可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。
DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样，并进行频域变换得到的。
DFT的结果是一个离散的频域信号，也称为频谱。
DFT通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来快速计算。
离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。
频率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。
对于线性时不变系统，其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。
频率响应函数拥有类似信号的频谱特性，可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。
频域分析在离散时间信号与系统中有着广泛的应用。
首先，频域分析可以帮助我们理解信号的频率构成和能量分布情况，有助于对信号进行合理的处理和分析。
其次，频域分析可以快速计算离散时间系统的响应，能够有效地评估系统的性能和稳定性。
此外，频域分析还可以进行滤波器设计、信号压缩、信号重构等应用。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
1第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性22.1 引言信号和系统的分析方法:时域分析方法和变换域分析方法。
频域变换（傅里叶变换->复频域拉氏变换）连续时间信号(系统微分方程)频域变换（傅里叶变换->复频域Z 变换）时域离散信号(系统差分方程)本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。
3第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质5例2.2.1 设x(n)=R 4(n)，求x(n)的DTFT 图2.2.1 R (n)的幅度与相位曲线sin /2ω常用序列的傅立叶变换7(2)()j M nn x n eωπ∞−+=−∞=∑二、序列离散时间傅里叶变换（DTFT）的性质1. DTFT 的周期性()()j j nn X e x n eωω∞−=−∞=∑(2)()j M X eωπ+=时域离散，频域周期函数。
周期是2π。
由于DTFT 的周期，一般只分析0-2π之间的DTFT 。
2. 线性1122:()[()],()[()]j j X e DTFT x n X e DTFT x n ωω==若1212:[()()]()()j j DTFT ax n bx n aX e bX e ωω+=+则3. 时移与频移00(0:[()](),[()]()j n j nj j DTFT x n n eX e DTFT ex n X eωωωωω−−−==则:()[()]j X e DTFT x n ω=若4. 反转7. 帕斯维尔(Parseval)定理8. 频域微分序列的Fourier变换的对称性质*()x n−)n也可分解成：e−*(e对称性质•序列Fourier 变换()()j x n X e ωRe[()]()j e x n X e ωIm[()]()j o j x n X e ω()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω实数序列的对称性质•序列Fourier 变换Re[()]()()j j e x n X e X e ωω=Im[()]0()0j o j x n X e ω==()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω)j eω−变换满足共轭对称性()]j X eω−Im[()]j X e ω−)arg[结论：z序列分成实部与虚部两部分，实部对应的DTFT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的DTFT具有共轭反对称性。
离散系统频域分析及matlab实现
离散系统频域分析及matlab实现
离散系统频域分析是对离散系统在频域上的特性进行研究的一种方法，主要包括幅频
特性和相频特性。
频域分析可以通过傅里叶变换、z变换等数学工具进行处理，并通过MATLAB等工具进行模拟实现。
幅频特性是指系统在不同频率下输出信号的幅度随输入信号幅度变化的特性。
幅频特
性通常用幅度响应函数来描述，它表示了系统对输入信号不同频率分量的增益或衰减程度。
以传递函数为基础的离散系统可以通过对其传递函数进行离散化得到差分方程和单位抽样
响应，然后通过对单位抽样响应进行傅里叶变换得到离散系统的频率响应函数。
在MATLAB 中，可以使用freqz函数计算离散系统的频率响应函数，并进一步计算幅度响应函数。
对于复杂的离散系统，可以通过级联、并联和反馈等方法进行分析和设计。
在MATLAB 中，可以使用series、parallel和feedback等函数进行组合模拟。
《信号与系统(第2版)》配套课件 离散时间信号与系统的复频域分析1
z 1，求x[k]
解： 将X(z)化为z的负幂，可得
X
(
z
)
1
2 0.5z
0.5z 1 1 0.5
z
2
A 1 z 1
B 1 0.5z1
A
(1
z 1)
X
(z)
z 1
2 0.5z1 1 0.5z1
z1 1
B
(1 0.5z1) X
(z)
z 0.5
2 0.5z1 1 z 1
z0.5 1
将X(z)进行z反变换，可得
]}
1
1 a
z
1
,
za
e j0k u[k ]
Z
1 1 e j0 z1 ,
z 1
利用Euler公式和线性特性，可得
Z cos(0k)u[k]=Z e j0ku[k] / 2 Z e j0ku[k] / 2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ 系统函数H(z)的另一种定义 零状态响应的频域表示
yzs[k] x[k]* h[k]
利用z变换 的卷积特性
Yzs (z) X (z)H (z)
H (z) Yzs (z) X (z)
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ H(z) 的物理意义
x[k]
h[k]
1
1 z1 cos(0 ) 2z1 cos(0 )
z
2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
解c：os( 0k )u[k ]
离散信号与系统的频谱分析实验报告
实验二 离散信号与系统的频谱分析一、实验目的1.掌握离散傅里叶变换（DFT ）及快速傅里叶变换（FFT ）的计算机实现方法。
2.检验序列DFT 的性质。
3.掌握利用DFT （FFT ）计算序列线性卷积的方法。
4.学习用DFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差，以便在实际中正确应用DFT 。
5.了解采样频率对谱分析的影响。
6.了解利用FFT 进行语音信号分析的方法。
二、实验设备1.计算机2.Matlab 软件7.0以上版本。
三、实验内容1.对不同序列进行离散傅里叶变换并进行分析；DFT 共轭对称性质的应用（通过1次N 点FFT 计算2个N 点实序列的DFT ）。
2.线性卷积及循环卷积的关系，以及利用DFT （FFT ）进行线性卷积的方法。
3.比较计算序列的DFT 和FFT 的运算时间。
4.利用FFT 实现带噪信号检测。
5.利用FFT 计算信号频谱及功率谱。
6.扩展部分主要是关于离散系统采样频率、时域持续时间、谱分辨率等参数之间的关系，频谱的内插恢复，对语音信号进行简单分析。
四、实验原理1.序列的离散傅里叶变换及性质离散傅里叶变换的定义：10, )()]([)(102-≤≤==∑-=-N k en x n x DFT k X N n nk Nj π离散傅里叶变换的性质：（1）DFT 的共轭对称性。
若)()()(n x n x n x op ep +=，[])()(n x DFT k X =，则：)()]([k X n x DFT R ep =， )()]([k jX n x DFT I op =。
（2）实序列DFT 的性质。
若)(n x 为实序列，则其离散傅里叶变换)(k X 为共轭对称，即10),()(*-≤≤-=N k k N X k X 。
（3）实偶序列DFT 的性质。
若)(n x 为实偶序列，则其离散傅里叶变换)(k X 为实偶对称，即10),()(-≤≤-=N k k N X k X 。
离散时间信号的频域分析实验报告
实验名称：离散时间信号的频域分析一、实验目的1.对离散信号和系统在频域中进行分析，可以进一步研究它们的性质。
学会通过matlab，对离散时间序列的三种表示方法：离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和Z变换。
二、实验内容1、修改程序P3.1，计算如下有限长序列的离散时间傅里叶变换：g[n]=[1357911131517]并重做习题Q3.2。
讨论你的结果。
你能解释相位谱中的跳变吗？2、选取两个改变了长度的序列以及两个不同的时移值，重做习题Q3.73、编写一个MATLAB程序，用一个N点复数离散傅里叶变换计算两个长度为N的实数序列的N点离散傅里叶变换，并将结果同直接使用两个N点离散傅里叶变换得到的结果进行比较。
4、选取两个不同的时移量，重做习题Q3.335、选取两个不同长度的序列，重做习题Q.336、选取另外两组等长序列重做习题Q3.36三、主要算法与程序1、w=-4*pi:8*pi/511:4*pi;num=[1357911131517];den=[1];h=freqz(num,den,w);%Plot the DTFTsubplot(2,2,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle('H(e^{j\omega})的实部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,2)plot(w/pi,imag(h));gridtitle('H(e^{j\omega})的虚部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,3)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('|H(e^{j\omega})|幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,4)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('[H(e^{j\omega})]相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('以弧度为单位的相位');2、(1)序列为[9123456789]，时移为30; %离散时间傅立叶变换的时移性质clf;w=-pi:2*pi/255:pi;wo=0.4*pi;D=30;num=[9123456789];h1=freqz(num,1,w);h2=freqz([zeros(1,D)num],1,w);subplot(2,2,1)plot(w/pi,abs(h1));gridtitle('原序列的幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,2)plot(w/pi,abs(h2));gridtitle('时移D=30后序列的幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,3)plot(w/pi,angle(h1));gridtitle('原序列的相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,4)plot(w/pi,angle(h2));gridtitle('时移D=30后序列的相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');(2)序列为[12345678910]，时移为50;D=50;num=[12345678910];3、clf;g=[1124];h=[2321];x=g+i*h;N=length(x)-1;n=0:N;gk=fft(g);hk=fft(h);xk=fft(x);xk1=fft(conj(x));gk1=(xk+xk1)/2;hk1=(xk-xk1)/2i;subplot(4,2,1)stem(n,abs(gk));gridtitle('实部序列gk的离散傅里叶变换的幅度')xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,2)stem(n,abs(hk));gridtitle('虚部序列gk的离散傅里叶变换的幅度')xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,3)stem(n,abs(gk1));gridtitle('通过xk得到的gk1的离散傅里叶变换的幅度') xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,4)stem(n,abs(hk1));gridtitle('通过xk得到的hk1的离散傅里叶变换的幅度') xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,5)stem(n,angle(gk));gridtitle('实部序列gk的离散傅里叶变换的相位')xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位'); subplot(4,2,6)stem(n,angle(hk));gridtitle('虚部序列hk的离散傅里叶变换的相位')xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位'); subplot(4,2,7)stem(n,angle(gk1));gridtitle('通过xk得到的gk1的离散傅里叶变换的相位') xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位'); subplot(4,2,8)stem(n,angle(hk1));gridtitle('通过xk得到的hk1的离散傅里叶变换的相位') xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位');4、function y=circshift(x,M)if abs(M)>length(x)M=rem(M,length(x));endif M<0M=M+length(x);endy=[x(M+1:length(x))x(1:M)];%离散傅里叶变换的圆周时移性质，时移为10x=[0246810121416];N=length(x)-1;n=0:N;y=circshift(x,10);XF=fft(x);YF=fft(y);subplot(2,2,1);stem(n,abs(XF));gridtitle('原序列的离散傅里叶变换的幅度');xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(2,2,2);stem(n,abs(YF));gridtitle('圆周移位10后的序列的离散傅里叶变换的幅度'); xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(2,2,3);stem(n,angle(XF));gridtitle('原序列的离散傅里叶变换的相位');xlabel('时间序号n');ylabel('相位');subplot(2,2,4);stem(n,angle(YF));gridtitle('圆周移位10后的序列的离散傅里叶变换的相位'); xlabel('时间序号n');ylabel('相位');%离散傅里叶变换的圆周时移性质，时移为20y=circshift(x,20);5、序列为x=[0246810121416]，时移为10；序列为x=[02468101214161820]，时移为10；6、function y=circonv(x1,x2)L1=length(x1);L2=length(x2);if L1~=L2,error('长度不相等的序列'),endy=zeros(1,L1);x2tr=[x2(1)x2(L2:-1:2)];for k=1:L1sh=circshift(x2tr,1-k);h=x1.*sh;y(k)=sum(h);end%离散傅里叶变换的圆周卷积g1=[1234567];g2=[21-12-113];ycir=circonv(g1,g2);disp('圆周卷积的结果');disp(ycir)G1=fft(g1);G2=fft(g2);yc=real(ifft(G1.*G2));disp('离散傅里叶变换乘积的离散傅里叶逆变换的结果=');disp(yc)四、实验结果与分析图1图2.1图2.2图3图4.1图4.2图5.1序列长度9图5.2序列长度11Q6、圆周卷积的结果18183225393925离散傅里叶变换乘积的离散傅里叶逆变换的结果=18.000018.000032.000025.000039.000039.000025.0000、五、实验小结通过这次实验，我对离散信号和系统在频域中进行分析，进一步研究了它们的性质。
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H ( e j )
arg H (e j )
称为系统幅频特性 称为系统的相频特性
系统的频率响应反映了系统对各次谐波信号的传输能力。
9
特征函数
一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数 （通常是复数） 乘以输入， 则称该信号为系统的特征函 数，而幅度因子称为系统的特征值。 线性非移变系统的特征函数是复指数函数。
等式右边交换求和次序
Y (e Y (e ) )
k j
x ( k ) h ( n k )e
n
k
x ( k )e
jk
n
j ( n k ) h ( n k ) e
Y (e j ) X (e j ) H (e j )
上式代入给定输入，
y ( n)
k
h(k ) Ae
jn k
j ( n k )
Ae
h( k )e
j
jk
Ae jn H (e j )
AH (e ) e
jn arg[ H ( e j )]
j j H ( e ) arg[ H ( e )]均为常数， 当 给定时， 和
18
19
20
以上分析可以得出如下结论: 采样定理(山农定理)：若x a (t ) 是个限带模拟信号，其最 高频率分量小于 0 ，如果用大于2 0 的采样频率对x a (t ) 进 行采样,则模拟信号 x a (t ) 可以由其采样值唯一地确定。
shannon theorem
假定 xa (t ) 是个限带模拟信号， 信号的最高频率分量为 0 ， 当采样频率满足
10
特征函数
已知线性非移变系统的单位样值响应为 h(n) ， 设系统的输 入为：
x(n) Ae
解：根据线性卷积有
jn
A 为常数。求系统的零状态响应 y (n) 。
y(n) x(n) * h(n) h( n ) * x ( n )
k
h(k ) x(n k )
11
特征函数
13
傅里叶变换的时域卷积定理
线性非移变系统的零状态响应
y (n) x(n) * h(n)
k
x(k )h(n k )
jn
两边取傅里叶变换
n
y ( n )e
j
jn
n k
x(k )h(n k )e
jn
则称为x(n)奇序列（odd sequence），通常用下标o表示，即xo(n) 。 任何序列都可以表示为偶序列与奇序列之和，即
x ( n) x e ( n) x o ( n)
其中
1 xe (n) [ x(n) x(n)] 2
xo (n)
1 [ x(n) x(n)] 2
26
Re[ x(n)] Re[ x(n)]
Im[ x(n)] Im[ x(n)]
则称为x(n)共轭反对称序列（conjugate antisymmetric sequence）， 通常表示为： x (n) x * (n)
0 o
任何序列x(n)都可以表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和：
S 2 0 时，则有
1 xa (t ) 2
1 xa (t ) 2
0
0
X a ( j)e jt d
X a ( j)e jt d
（取非零值区间积分） （积分区间的零值扩展）
s 2 s 2
21
T xa (t ) 2
因为 所以
X (e
j
s 2 s 2
若 F j j ax ( n ) by ( n ) aX ( e ) bY ( e ) 则 2 时间位移特性
若 F jn0 j x ( n n ) e X ( e ) 则 0 3 频率位移特性 若 则
F x(n) X (e j )
F x(n) X (e j )
y (n)
y (t )
经处理后的数字信号 阶梯形式的连续时间信号 光滑的模拟信号(连续时间信号)
y a (t )
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两个基本问题
1. 信号的功能是传载信息, 将一个连续时间信号转变为幅值和时间都离散的信号(数 字信号)会不会丢失原有信号中的信息? 2. 将数字信号恢复成连续时间信号能否得到原有信号的全部信息? 第一个问题的回答分两个部分研究: 一是研究时间离散是否会造成信息丢失? 二是幅值离散(量化)是否会造成信息的丢 失? 前一个问题由数字信号处理理论中的采样定理回答, 后一个问题回答是肯定的 , 信号幅值的量化总是造成某些信息的丢失, 换句话说, 量化的信号幅值是连续信号幅 值的一种近似, 它由数字信号处理论中的量化效应理论给予研究。
F x(n)e j0n X (e j ( 0 ) )
25
4对称特性 若x(n)为实数序列，即 且有
x(n) x (n)
x ( n) x ( n)
则称x(n)为偶序列（even sequence），通常用下标e表示，即xe(n)。 若x(n)为实数序列，且
x ( n) x ( n)
1 f (n) 2
n
f (n)e jn
式中 为数字角频率。
F (e j )e Байду номын сангаасn d
F (e j ) 是 的连续函数，而且是以 2 为周期的函数。
7
系统的频率响应
线性非时变连续时间系统单位冲击响应 h(t ) 的傅里叶变换
H ( j) h(t )e jt dt
n
T x ( n) 2
T
T
e j (t nT ) d
非因果系统
上式中方括弧内的积分为
sin[ (t nT )] T
T
(t nT )
，
g (t )
sin(
t
T t T
)
(称为内插函数)
而
xa (t )
n
sin[ (t nT )] T x ( n)
T
(t nT )
(称为内插公式)
22
23
离散信号的傅里叶变换 非周期序列 f(n) 的傅里叶变换的定义为:
F (e
j
)
n
f ( n) e
jn
1 f (n) 2
F (e j )e jn d
式中ω 为数字角频率。 注意:序列的傅里叶变换是ω 的连续函数，即离散信号的傅里叶 变换是频域中连续的函数。还因为
n
F e
n
jn0t
式中
f (t )e jn0t dt ， 0 2 。 T
jn 0t
即展开成基波频率 0 整倍数频率上复指数函数 e
的加权和。
2 N
一个周期序列是否也可以展开成基波频率 0 呢？ 注意到 e
jn 0t
整倍数频率上复指数 e
jk 0 n
的加权和
F x* (n) X * (e j )
上式说明反序列的共轭序列的傅里叶变换等于原序列傅里叶变换的共 轭函数。这个性质再一次表明了时域和频域的对称性。
28
周期序列的傅里叶级数
一个周期为 T 的连续时间信号 f (t ) 可以展开成傅里叶级数，即
f (t )
1 Fn T
T 2 T 2
12
特征函数
以上分析说明， 线性非移变系统的特征函数为复指数序 列。复指数信号有时也称为谐波信号。 线性非移变系统在谐波信号的激励下其响应也为同频
j H ( e ) 因子（幅频特性在 率的谐波函数，但其振幅乘上
j arg[ H ( e )] 弧度（相频 该频率上的取值） ，相位增加了
特性在该频率上的取值。 ） 实际上系统的频率响应反映了系统对各次谐波的传输 能力。
称为系统的频率响应，通常 H ( j) 为复函数
H ( j)
argH ( j)
称为系统幅频特性 称为系统的相频特性
8
系统的频率响应
类似地，线性非移变离散时间系统的单位样值响应 h(n) 的 傅里叶变换
H (e j )
n
jn h ( n ) e
j H ( e ) 也是复函数 也称为系统的频率响应，通常
14
采样定理
15
简单信号处理系统的基本结构
xa (t )
限带滤 波器
x(t )
A/D 转换器
x(n)
数字信号 处理器
y(n)
D/A 转换器
y(t )
平滑滤 波器
ya (t )
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x a (t ) 为模拟信号(连续时间信号),可能含有高频成分 x (t ) 也是模拟信号,但它的较高频率分量已被滤除 x ( n ) 是采样后的数字信号
F (e
j ( 2 )
)
n
f (n)e
j ( 2 ) n
n
f (n)e jn F (e j )
所以任何序列的傅里叶变换都是以2π为周期的频域连续函数。
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序列的傅里叶变换具有如下性质：
1 线性特性
F x(n) X (e j ) F y(n) Y (e j )
3
傅里叶级数