平稳时间序列模型的建立
数学建模(平稳时间序列分析)
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
模型 识别
参数 估计
模
序
N
模型
Y型
列
检验
优
预
化
测
计算样本相关系数
样本自相关系数 样本偏自相关系数
nk
(xt x)( xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
t 1
ˆkk
Dˆ k Dˆ
ˆk
模型识别
基本原则
拖尾 q阶截尾
均值
Ext
1 1
0 p
协方差
(k
)
2
GiGik
i0
自相关系数
(k) (k) (0)
G jG jk
j0
G
2 j
j0
ARMA模型的相关性
自相关系数拖尾 偏自相关系数拖尾
例2.7:考察ARMA模型的相关性
拟合模型ARMA(1,1): xt 0.5xt1 t 0.8t 并直观地考察该模型自相关系数和偏自 相关系数的性质。
例2.5— (1)xt 0.8xt1 t
自相关系数按复指数单调收敛到零
例2.5:— (2)xt 0.8xt1 t
例2.5:— (3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例2.5:— (4)xt xt1 0.5xt2 t
Exs t 0,s t
特别当0 0 时，称为中心化 AR( p)模型
平稳时间序列建模步骤
平稳时间序列建模步骤什么是时间序列建模时间序列建模是一种用于分析和预测时间序列数据的统计方法。
时间序列是按照时间顺序排列的一组连续观测值，例如每日销售额、每月气温、每年股票收益等。
通过建立时间序列模型，我们可以探索时间序列的内在规律和趋势，并做出相应的预测。
平稳时间序列建模是时间序列建模的一种常用方法，它假设时间序列的统计特性在时间上是不变的。
平稳时间序列具有恒定的均值、方差和自协方差，这使得我们可以应用各种经典的时间序列模型进行建模和预测。
以下是平稳时间序列建模的步骤：步骤一：数据收集和观察首先，我们需要收集要建模的时间序列数据。
可以从各种数据源获取时间序列数据，包括经济指标、物理测量、金融数据等等。
收集到数据后，我们需要对数据进行观察，检查数据的特点、趋势、异常值等，并做必要的数据清洗和准备工作。
步骤二：时间序列分解时间序列通常由趋势、季节性和随机因素组成。
为了更好地分析和建模时间序列，我们需要先对时间序列进行分解，将其拆分为这些组成部分。
常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。
加法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之和，而乘法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之积。
选择合适的分解模型可以根据时间序列的特点和趋势来确定。
步骤三：平稳性检验平稳性是时间序列建模的前提之一。
在进行建模之前，我们需要对时间序列的平稳性进行检验。
平稳性检验可以通过统计检验方法来进行，例如单位根检验、ADF检验等。
如果时间序列不平稳，我们需要进行差分处理，使其变成平稳序列。
步骤四：模型选择和拟合在确定时间序列的平稳性后，我们可以选择合适的时间序列模型进行拟合。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）等。
模型选择可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来辅助判断。
ACF图可以显示序列之间的相关性，PACF图可以显示去除其他变量的直接相关性。
时间序列上机实验ARMA模型的建立
实验一ARMA模型建模一、实验目的学会检验序列平稳性、随机性。
学会分析时序图与自相关图。
学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计，以及掌握利用ARMA模型进行预测的方法。
学会运用Eviews软件进行ARMA模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。
二、基本概念宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。
AR模型：AR模型也称为自回归模型。
它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测，自回归模型的数学公式为：乂2『t2 川p y t p t式中：p为自回归模型的阶数i（i=1，2，，p）为模型的待定系数，t为误差，yt 为一个平稳时间序列。
MA模型：MA模型也称为滑动平均模型。
它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。
滑动平均模型的数学公式为：y t t 1 t 1 2 t 2 川q t q式中：q为模型的阶数；j（j=1，2，，q）为模型的待定系数；t为误差；yt为平稳时间序列。
ARMA模型：自回归模型和滑动平均模型的组合，便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA，数学公式为：y t 1 y t 1 2 y t 2 p y t p t 1 t 1 2 t 2 q t q三、实验内容（1）通过时序图判断序列平稳性；（2）根据相关图，初步确定移动平均阶数q 和自回归阶数p；（3）对时间序列进行建模四、实验要求学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA模型的阶数p和q,学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。
五、实验步骤1．模型识别（1）绘制时序图在Eviews 软件中,建立一个新的工作文件, 500个数据。
通过Eviews 生成随机序列“ e，再根据“ x=*x（-1）*x（-2）+e ”生成AR（2）模型序列“ x” 默认x（1）=1, x（2）=2,得到下列数据，由于篇幅有限。
第三章线性平稳时间序列模型
可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依 模型中， 时刻值依赖于两部分， 可见 模型中 时刻值依赖于两部分 赖于它的前一期的值x 另一部分是依赖于与x 赖于它的前一期的值 t-1；另一部分是依赖于与 t-1不相关 的部分ε 的部分 t 可将AR(1)模型写成另一种形式： 模型写成另一种形式： 可将 模型写成另一种形式
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + εt
其中： (1) p ≠ 0 (2) εt是白噪声序列 (3) Exsε t = 0, ∀s < t
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
那么我们就说xt遵循一个p阶自回归或AR(p)随机过程。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。 ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。 ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。 对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下 ϕ (B )(1 − B) d xt = θ ( B)ε t 其中： ϕ (B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
(二).二阶自回归模型，AR(2)
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 + εt
平稳时间序列模型的建立概述
平稳时间序列模型的建立概述平稳时间序列模型是一种常用的时间序列分析方法，用于描述和预测时间序列数据的变化模式。
该模型假设时间序列数据的统计特性在时间上保持不变，即均值和方差不随时间发生明显的变化。
以下是平稳时间序列模型的建立概述。
第一步是数据的预处理。
在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。
去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。
去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。
第二步是对预处理后的序列进行统计特性分析。
这包括计算序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数等统计指标。
通过分析这些指标，可以了解序列的平稳性、周期性和相关性等统计特性。
第三步是根据统计分析结果选择适合的时间序列模型。
常用的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
选择模型的原则是使模型具有较好的拟合效果并具有良好的预测性能。
第四步是模型参数的估计与诊断。
对于选定的时间序列模型，需要估计模型的参数。
这可以通过最大似然估计或最小二乘估计等方法进行。
估计得到模型参数之后，需要对模型进行诊断检验，判断模型是否合理。
常用的诊断方法包括残差平稳性检验、残差序列的白噪声检验和残差的自相关函数和偏自相关函数检验等。
第五步是模型预测与评估。
通过已建立的平稳时间序列模型，可以对未来的序列数据进行预测。
预测的准确性可以通过计算预测误差和拟合优度等指标进行评估。
若模型的预测效果较好，则可应用该模型进行实际预测。
总之，平稳时间序列模型的建立过程包括数据的预处理、统计特性分析、模型选择、参数估计与诊断以及模型预测与评估等步骤。
通过这些步骤的实施，可以建立一个合理且具有较好预测效果的平稳时间序列模型。
平稳时间序列模型的建立概述（续）第一步是数据的预处理。
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
第五章 平稳时间序列模型的建立
2. 样本偏自相关函数截尾性的判断方法
可以证明：若序列xt为AR(p)序列，则
k>p后，序列的样本偏自相关函数ˆkk 服
从渐近正态分布，即近似的有：
ˆkk
~
N (0, 1 ) n
此处n表示样本容量。于是可得：
P( ˆkk
1 ) 31.7% n
P( ˆkk
2 ) 4.5% n
在实际进行检验时，可对每个k>0，分
将上式展开得：
xt 1xt1 p xtp 0 at 1at1 2at2 qatq
此时，所要估计的未知参数有p+q+1个。
式中：
0 (1 1 2 p )
即有:
0
11 2 p
在实际估计模型时，可将θ0看作一个常数估计， 若θ0显著不为0，则μ≠0，此时θ0 、 μ 有如上关系。 若θ0显著为0，则可认为μ=0，在最终模型中将此常数 项去掉即可。
– 原假设：序列非平稳
H0：1 1
– 备择假设：序列平稳
检验统计量
H0：1 1
– –
时 1 1 时 1 1
t (1 )
ˆ1 1 S (ˆ1 )
渐近 N (0,1)
ˆ1 1 S(ˆ1)
DF统计量
1 1 时
t (1 )
ˆ1 1 S (ˆ1 )
渐近 N (0,1)
1 1 时
ˆ1 S (ˆ1
对ACF和PACF的截尾性作一判断。
1. 样本自相关函数截尾性的判断方法
理 则论k>上q后证，明序：列若的序样列本xt自为相MA关(q函)序数列ˆ k，渐
近服从正态分布，即：
ˆ k
~
N (0, 1 (1 2 q
n
时间序列模型概述
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于预测时间序列数据的统计模型。
时间序列数据是一系列按照时间顺序排列的数据点。
例如，股票价格、气温、销售额都是时间序列数据。
时间序列模型能够分析数据中的趋势、周期性和季节性，提供对未来的预测。
时间序列模型的建立是基于以下几个假设：1. 时序依赖：时间序列数据中的每个数据点都依赖于之前的数据点。
这意味着前一时刻的数据对当前时刻的数据有影响。
2. 稳定性：时间序列数据的统计特性在时间上保持不变。
这意味着数据的平均值和方差不会随时间而变化。
3. 随机性：时间序列数据中的噪声是随机的，即不受任何规律的干扰。
为了建立时间序列模型，我们需要对数据进行预处理和分析。
首先，我们需要对数据进行平稳性检验，确保数据的均值和方差在时间上保持不变。
如果数据不稳定，我们可以采用一些技术，如差分操作，将其转化为稳定的形式。
接下来，我们需要对时间序列数据进行分解，找出其中的趋势、周期性和季节性。
常用的分解方法有加法分解和乘法分解。
加法分解将时间序列数据分解为趋势、季节性和误差项的和，乘法分解将时间序列数据分解为趋势、季节性和误差项的乘积。
在分解的基础上，我们可以选择适合的时间序列模型进行建模和预测。
常见的时间序列模型有：1. 自回归移动平均模型（ARMA）：基于时间序列数据的自回归和移动平均过程。
ARMA模型适用于没有趋势和季节性的时间序列数据。
2. 自回归积分移动平均模型（ARIMA）：在ARMA模型的基础上，增加了对时间序列数据的差分操作。
ARIMA模型适用于具有趋势但没有季节性的时间序列数据。
3. 季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）：在ARIMA 模型的基础上，增加了对时间序列数据的季节性差分操作。
SARIMA模型适用于具有趋势和季节性的时间序列数据。
4. 季节性分解模型（STL）：将时间序列数据进行分解，然后对趋势、季节性和残差进行建模。
STL模型适用于具有明显季节性的时间序列数据。
ARIMA模型
ARIMA模型⼀、ARIMA模型介绍ARIMA模型全称为⾃回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹⾦斯(Jenkins)于70年代初提出⼀著名时间序列预测⽅法[1]，所以⼜称为box-jenkins模型、博克思-詹⾦斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分⾃回归移动平均模型，AR是⾃回归， p为⾃回归项； MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
所谓ARIMA模型，是指将⾮平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进⾏回归所建⽴的模型。
ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、⾃回归过程（AR）、⾃回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。
ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移⽽形成的数据序列视为⼀个随机序列，⽤⼀定的数学模型来近似描述这个序列。
这个模型⼀旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。
⼆、ARIMA模型建模过程1. 检查平稳性平稳性就是围绕着⼀个常数上下波动且波动范围有限，即有常数均值和常数⽅差。
如果有明显的趋势或周期性，那它通常不是平稳序列。
不平稳序列可以通过差分转换为平稳序列。
d阶差分就是相距d期的两个序列值之间相减。
如果⼀个时间序列经过差分运算后具有平稳性，则该序列为差分平稳序列，可以使⽤ARIMA模型进⾏分析。
2、确定模型阶数AIC准则：即最⼩信息准则，同时给出ARMA模型阶数和参数的最佳估计，适⽤于样本数据较少的问题。
⽬的是判断⽬标的发展过程与哪⼀个随机过程最为接近。
因为只有样本量⾜够⼤时，样本的⾃相关函数才⾮常接近原时间序列的⾃相关函数。
具体运⽤时，在规定范围内使模型阶数由低到⾼，分别计算AIC值，最后确定使其值最⼩的阶数，就是模型的合适阶数。
时间序列分析知识点总结(1)
一.时间序列分析的相关概念♦随机过程：若对于每一个特定的t ∈T ，X(t)是一个随机变量，则称这一族无穷多个随机变量{X(t),t ∈T}是一个随机过程。
♦纯随机过程：随机过程X(t)(t=1,2,…)，如果是由一个不相关的随机变量序列构成的，即对于所有s ≠t ，随机变量X t 和X s 的协方差均为零，则称其为纯随机过程。
♦♦♦♦独立增量随机过程：任意两相邻时刻上的随机变量之差是相互独立的，则称其为独立增量随机过程。
二阶矩过程：若随机过程{X(t),t ∈T}，对每个t ∈T ，X(t)的均值和方差存在，则称其为二阶矩过程。
正态过程：若{X(t)}的有限维分布都是正态分布，则称{X(t)}为正态随机过程。
平稳过程(严平稳)：如果对于时间t 的任意n 个值t 1,t 2,…,t n 和任意实数 ，随机过程X(t)的n 维分布函数满足关系式F n (x 1,x 2,…,x n ; t 1,t 2,…,t n ) = F n (x 1,x 2,…,x n ; t 1+ε,t 2+ε,…,t n+ε)，则称X(t)为平稳过程。
即是统计特性不随时间的平移而变化的过程。
♦宽平稳：若随机过程{X(t),t ∈T}的均值和协方差存在，且满足①EX t ∈a,∀t ∈T ；②E[X t+τ-a][X t -a]=R(τ),∀t,t+τ∈T ，则称{X(t),t ∈T}为宽平稳随机过程，R(τ)为X(t)的协方差函数。
♦非平稳随机过程：不具有平稳性的过程就是非平稳过程。
即序列均值或协方差与时间有关时，就可以认为是非平稳的。
♦♦自相关：指时间序列观察资料互相之间的依存关系。
动态性(记忆性)：指系统现在的行为与其历史行为的相关性。
如果某输入对系统后继n 个时刻的行为都有影响，就说该系统具有n 阶动态性。
二.刻画时间序列统计特性的各种数字特征的定义、性质等♦均值函数其中，F t (x)为随机序列X t 的分布密度函数。
平稳时间序列分析-ARMA模型(1)
即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。
与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数 (partial autocorrelation，简记为PACF)则是消除 了中间变量Xt-1，…，Xt-k+1 带来的间接相关后的 直接相关性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1 的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量。
(3)xt xt1 0.5xt2 t
(4)xt xt1 0.5xt1 t
例3.1平稳序列时序图
(1)xt 0.8xt1 t
(3)xt xt1 0.5xt2 t
例3.1非平稳序列时序图
(2)xt 1.1xt1 t
(4)xt xt1 0.5xt1 t
从时序图上可以看出，（1）（3）模型平稳， （2）（4）模型非平稳。
0
2 X
2
12
在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有
||<1。
而AR(1)的算子多项式方程：
(z) 1z 0
的根为z=1/ AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根大于1。
2、AR(2)模型平稳条件
xt 1xt1 2 xt2 t
特征根为
1 1
12 42
2
2 1
12 42
xt xt1 t
特征根为 ，平稳条件 1
平稳域为 ; 1
AR(1)模型的平稳性条件也可以如下讨论：
对1阶自回归模型AR(1)
X t X t1 t
方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差：
E(
X
2 t
)
2
E(
X
2 t 1
时间序列分析实验指导书
《时间序列分析》实验指导书一、实验教学简介«时间序列分析»是统计学本科专业的专业必修课，同时也是核心课程，尤其强调理论与实践的有机结合。
实验教学是该课程教学中的重要组成部分。
实验教学的主要内容有：时间序列平稳性检验和纯随机性检验；平稳时间序列的建模；非平稳时间序列的确定性模型的识别；建立ARIMA 模型；残差序列的建模；单位根检验和协整检验。
本课程实验教学主要采用国际权威统计软件—SAS 软件进行统计分析，实验数据来自国内外优秀教材、各类统计年鉴、教师科研课题的部分数据、国内外专业期刊等二、实验教学目的与任务通过本课程的实验教学，要使学生对时间序列的基本概念、基本原理、基本方法有直观的认识，能熟练应用时间序列分析处理动态数据，培养学生利用时间序列分析对社会经济现象及自然现象作定量分析的能力，掌握时间序列分析的统计思想，以此提高学生解决实际问题的基本素质，锻炼学生的动手能力、独立思考能力和团队合作能力。
三、实验内容与基本要求实验一、时间序列平稳性检验和纯随机性检验（验证性实验） （3课时）实验题目：1945-1950年费城月度降雨量数据如下（单位：mm ），见下表。
9.3 80.0 40.9 74.9 84.6 101.1 225.0 95.3 100.6 48.3 144.5 128.338.4 52.3 68.6 37.1 148.6 218.7 131.6 112.8 81.8 31.0 47.5 70.196.8 61.5 55.6 171.7 220.5 119.4 63.2 181.6 73.9 64.8 166.9 48.0137.7 80.5 105.2 89.9 174.8 124.0 86.4 136.9 31.5 35.3 112.3 143.0160.8 97.0 80.5 62.5 158.2 7.6 165.9 106.7 92.2 63.2 26.2 77.052.3 105.4 144.3 49.5 116.1 54.1 148.6 159.3 85.3 67.3 112.8 59.4（1） 计算该序列的样本自相关系数k ∧ρ（k=1,2,……,24）。
线性平稳时间序列模型
第二节 建立线性时序模型旳原理 ——动态性
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动态性：就是指时间序列各观察值之间旳 有关性。
从系统旳观点看：动态性即指系统旳记忆 性，也就是某一时刻进入系统旳输入对 系统后继行为旳影响，图示如下：
输入
系统
输出（响应）
例
（1）某人在某一天打了一针，假如当日旳反应 是疼痛 0 ，而后来没有其他反应，那么系统 旳输入、输出如下：
假如一种时间序列是纯随机旳，得到一种 观察期数为 n旳观察序列，那么该序列旳 延迟非零期旳样本自有关系数将近似服 从均值为零，方差为序列观察期数倒数 旳正态分布
ˆ k
~
N (0, 1 ) n
,k 0
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2.假设条件
原假设：延迟期数不大于或等于m 期旳序 列值之间相互独立
H 0：1 2 m 0, m 1
这种情况可用模型概括为：xt 1at1
（3）假如当日旳反应是疼痛 0 ，第二天 出现了红肿 1 ，那么：
时间 输入 输出
t ：1 2 at: 0 1 xt：0 0
3 45 0 00 1 0 0
这种情况可用模型概括为：xt 0at 1at1
（4）假如打针后来各个时刻都存在相应旳反 应，那么，有关该刺激旳总旳概括为：
原则正态白噪声序列纯随机性检验
样本自有关图
返回例题
检验成果
延迟
延迟6期 延迟12期
Q统计量检验
Q统计量值
P值
4.3435
0.63
14.171
0.29
因为P值明显不小于明显性水平 ，所以该序列不能
拒绝纯随机旳原假设。
返回例题
第八章 平稳时间序列建模(ARMA模型)
p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：
ut c 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(5.2.4) 其中：参数 c 为常数；1 , 2 ,…, p 是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声
序列。
4
2. 移动平均模型MA(q)
q 阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方 程：
ut t 1 t 1 q t q
(5.2.5)
其中：参数 为常数；参数1 , 2 ,…, q 是 q 阶移动
平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声 序列。
AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。
8
2．MA(q) 模型的可逆性
考察MA(q) 模型
ut (1 1 L 2 L2 q Lq ) t
2 E ( t ) 0
2
(5.2.16)
t t
qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若
1 1 z 2 z q z 0
在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着 自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。
20
4. ARMA(p,q)模型的估计选择
EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模 型采取回推技术(Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点
L0utut。则式（5.2.7）可以改写为：
(1 1 L 2 L 2 p Lp ) ut c t
平稳时间序列建模步骤
平稳时间序列建模步骤一、什么是平稳时间序列平稳时间序列是指在统计意义下具有不变性的时间序列。
具体来说，平稳时间序列的均值、方差和自相关函数都不随时间变化而发生显著的改变。
二、为什么要建立平稳时间序列模型建立平稳时间序列模型可以对数据进行预测和分析，从而更好地理解数据背后的规律和趋势。
此外，平稳时间序列模型还可以用于信号处理、金融分析等领域。
三、建立平稳时间序列模型的步骤1.观察数据并进行预处理首先需要观察数据并进行预处理，包括去除趋势、季节性和异常值等。
这有助于使数据更加平滑，并且减少噪声对模型的影响。
2.确定差分阶数如果原始数据不是平稳的，需要进行差分操作使其变成平稳的。
差分阶数可以通过观察自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来确定。
3.选择合适的模型根据差分后得到的数据，可以选择适合该数据集的ARIMA模型。
ARIMA模型包括AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三种类型。
4.估计模型参数使用最大似然估计（MLE）或最小二乘法（OLS）等方法来估计模型参数。
5.检验模型的拟合程度对于建立的模型，需要对其进行检验，包括残差的自相关性、正态性等。
如果存在问题，则需要调整模型或重新选择模型。
6.预测未来值使用建立好的模型进行未来值的预测，并对预测结果进行评估和修正。
四、总结建立平稳时间序列模型是一个复杂的过程，需要对数据进行观察和处理，选择合适的模型并估计参数，最后对模型进行检验和预测。
在实际应用中，需要根据具体情况灵活运用这些步骤，并结合领域知识和经验来优化建模过程。
《平稳时间序列》课件
通过分析股票市场的波动数据，平稳时间序列方法可以帮助预测未 来市场的波动情况，有助于投资者制定风险管理策略。
行业趋势
通过对不同行业股票数据的平稳时间序列分析，可以预测未来行业 的发展趋势，有助于投资者进行行业配置和投资决策。
06
时间序列分析软件介绍
EViews软件介绍
适用范围
EViews是专门用于时间序列分析的软件，广泛应用于经济学、金 融学等领域。
降水预测
通过对历史降水数据的分析，平稳时间序列方法可以帮助 预测未来降水情况，有助于农业生产和灾害防范。
极端天气事件
通过分析极端天气事件的历史数据，平稳时间序列模型可 以预测未来极端天气事件的频率和强度，有助于防范自然 灾害。
股票市场预测
股票价格
利用历史股票价格数据，平稳时间序列模型可以预测未来股票价 格的走势，有助于投资者制定投资策略和风险控制。
列。
Holt's线性指数平滑
02
结合了趋势和季节性因素，适用于具有线性趋势和季节性变化
的时间序列。
Holt-Winters指数平滑
03
适用于具有非线性趋势和季节性变化的时间序列，能更好地捕
捉数据的季节性变化。
季节性自回归积分滑动平均模型(SARIMA)预测
01
SARIMA模型
结合了季节性和非季节性因素，适用于具有季节性和非季节性变化的时
04
平稳时间序列的预测
线性预测
线性回归模型
通过建立自变量与因变量之间的线性关系，预测时间序列的未来 值。
线性趋势模型
适用于具有线性趋势的时间序列，通过拟合线性方程来预测未来 趋势。
简单移动平均模型
对时间序列进行移动平均处理，根据历史数据预测未来值。
六章 平稳时间序列
第六章 平稳时间序列模型时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。
Engle 和Grange 因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。
传统应用较广的是Box 和Jenkins （1970）提出的ARIMA （自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH 模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。
随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas 和Lebanon 发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。
就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。
因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。
第一节 基本概念一、随机过程在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。
对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等。
对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。
例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。
还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。
例如，某一天电话的呼叫次数ξ，它是一个随机变量。
若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，｛t ξ｝就是一个随机过程。
时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系
时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系步骤：先做单位根检验，看变量序列是否平稳序列，若平稳，可构造回归模型等经典计量经济学模型；若非平稳，进行差分，当进行到第i次差分时序列平稳，则服从i阶单整（注意趋势、截距不同情况选择，根据P值和原假设判定）。
若所有检验序列均服从同阶单整，可构造VAR模型，做协整检验（注意滞后期的选择），判断模型内部变量间是否存在协整关系，即是否存在长期均衡关系。
如果有，则可以构造VEC模型或者进行Granger因果检验，检验变量之间“谁引起谁变化”，即因果关系。
1.单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。
常用的ADF检验包括三个模型方程。
在李子奈的《高级计量经济学》上有该方法的全部步骤，即从含趋势项、截距项的方程开始，若接受原假设，则对模型中的趋势项参数进行t 检验，若接受则进行对只含截距项的方程进行检验，若接受，则对一阶滞后项的系数参数进行t检验，若接受，则进行差分后再ADF检验；若拒绝，则序列为平稳序列。
2.当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。
3.当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG两步法和JJ检验：(1)EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性；(2)JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式）。
4.当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别。
5.格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。
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i1
Q统计量：Box和Pierce共同推导出
原假设：延迟期数小于或等于m的序列值之间相互独立
结论： H 0 ： 1 2 m 0 , m 1
当Q<χ21-α(k)时，接受原假设，认为序列{Xt}是独立的，不用 进行建模了。
当统计量的相伴概率p>0.05时，接受原假设；当p<0.05时，拒 绝原假设，{Xt}是平稳非白噪声序列，尝试建立ARMA模型。
数据图检验法
1994年-1995年香港环境数 据序列
(a) 表示因循环和呼吸问题 前往医院就诊的人数；
(b) 表示二氧化硫的日平均 水平；
(c) 表示二氧化氮的日平均 水平；
(d) 表示可吸入的悬浮颗粒 物的日平均水平
数据图检验法
优点：简单，方便，直观 缺点：主观性强
自相关和偏相关系数图检验法
2 i
X
2
S
*2 N
1 N 1
N i 1
Xi X
2
1 N 1
N i 1
X
2 i
N N 1
X
2
样本标准差：S*
1N N 1 i1
Xi X
2
分布特征参数
偏度：
S k
1 N
N i1
X
i S*
X
3
峰度：
K
1 N
N i1
X
i S*
X
4
标准偏度系数： g 1
ARMA(p,q)模型定阶的F准则
ARMAp,q残差平方和Q0; ARMAp1,q1残差平方和Q1
H0: p 0,q 0 检验统计量： FQ 1Q 02 :F2,Npq
Q 0 Npq
结论
若F>Fα ，则拒绝原假设，模型阶数仍有上升的可能； 若F<Fα ，则接受原假设，认为ARMA(p-1,q-1)合适。
特征参数包括：
位置特征参数，散度特征参数，分布特征参数
位置特征参数
样本均值： X
1 N
N
Xi
i1
极小值：
X
1
m in
1 i N
X
i
极大值：
X
N
m ax
1 i N
X
i
散度特征参数
极差：
L X N X 1
样本方差：
S
2 N
1 N
N i 1
Xi X
2
1 N
N i 1
X
模型
模型方程 自相关系数 偏相关系数
AR(p)
φ(B)Xt=εt
拖尾
p步截尾
MA(q)
Xt=θ(B)εt
q步截尾
拖尾
ARMA(p,q) φ(B)Xt=θ(B)εt
检验原理：
拖尾
拖尾
若序列Xt的样本自相关系数和偏相关系数既不截尾，又 不拖尾，则可以肯定该序列是非平稳的。
自相关和偏相关系数图检验法
时间序列数据的预处理
预处理：
直观分析 特征分析 相关分析
直观分析
直观分析包括：离群点的检验和处理，缺损值的补足， 指标计算范围的统一等等.
离群点(outlier)：指一个时间序列中远离序列一般水 平的极端大值和极端小值。通常是由于系统外部干扰 而形成的，可以根据序列值与平滑值两者间的差异来 判断.
原理： M 1 : y1X 12X 2 LrX r M 2:y1X 12X 2 Lr sX r s
检验后面s个回归因子对因变量的影响是否显著
H 0 :r s 1 r s 2 L r 0
设样本容量为N，上述两个模型的残差平方和分别是Q0
与Q1，则检验统计量为 FQ1Q0 s: Fs,Nr
一般取k ≈ N/10
纯随机性检验
纯随机性检验
平稳性检验
时间序列的平稳性是时间序列建模的重要前提。 目的：检验相关序列值{Xt}之间是否是平稳的 检验的对象：
序列是否具有常数均值和常数方差？ 序列的自相关函数是否仅与时间间隔有关，而与时间的
起止点无关？
平稳性检验
常用的检验方法：
尝试拟合 AR(1),MA(1), ARMA (1,1) 模型
第五节 平稳序列模型参数的矩估计
第六节 平稳时间序列模型的定阶
模型的定阶
问题： 如何ARMA(p,q)的中p和q？ 定阶的方法：
残差方差图定阶法 F-检验定阶法 最佳准则函数法
AIC准则 BIC准则
F检验定阶法
在回归分析中，F检验法常被用来考察两个回归模型是 否具有显著差异。
数据图检验法 自相关和偏相关系数图检验法 特征根检验法 参数检验法 逆序检验法 游程检验法
数据图检验法
以时间为横轴，变 量Xt的取值为纵轴
平稳的特点
无明显的趋势性或 周期性
在一直线附近做小 幅波动
1990年12月19日-2008年11月6日上 证A股指数日数据(除去节假日， 共4386个数据)
Q0 Nr
F检验定阶法
FQ1Q0 s: Fs,Nr
Q0 Nr
M1: y1X12X2LrXr M2: y1X12X2LrsXrs H0: rs1 rs2L r 0
结论：对于给定的显著性水平α
若F>Fα(s,N-r)，则拒绝原假设，认为后面s个回归因子对 因变量的影响是显著的，表明M1合适；
分类：
AIC准则法 BIC准则法
AIC准则
背景： AIC准则是日本统计学家赤池Akaike于1973年提出的， 全称为最小信息量准则，或AIC准则(Akaike information criterion)。该准则确定出一个准则函数，既考虑拟合模 型对原始数据的拟合程度，也考虑模型中所含待定参 数的个数，适用于ARMA模型的检验。
如果有超过5%的样本自(偏) 相关系数都落入2倍标准差 的范围之外，或者是由显著非零的自(偏)相关系数衰减 为小值波动的过程比较缓慢或者非常连续，这时通常视 为自(偏) 相关系数拖尾。
模型识别
1950年-1998年北京城乡居民定期储蓄比例
尝试拟合 AR(1)模型
模型识别
连续读取70个化学反应数据
Bartlett定理：
如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为n
的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系
数
ˆk ~&N0,1n, k0
若 ˆk1.96 n2 n, k0，则自相关系数为零的
可能性是95%，可认为数据是不相关的.
纯随机性检验
k
2
检验统计量： Q Nˆi : 2k
尝试拟合AR(1)模型
尝试拟合MA(1)模型
自相关和偏相关系数图检验法
尝试拟合AR(1)，MA(1)， ARMA (1,1) 模型
自相关和偏相关系数图检验法
自相关和偏相关系数图检验法
特征根检验法
原理：
自回归部分特征方程的特征根在复平面的单位圆内
检验步骤：
先拟合适应性模型； 求出该模型自回归部分特征方程的特征根； 若特征根|λi|<1，则该序列平稳.
最佳准则函数法
由于自相关函数(ACF)和偏相关函数(PACF)定阶法具有 很强的主观性，是一种较为粗略的方法，而最佳准则函 数定阶法则可以帮助我们在一些所选的模型中选择相对 最优的模型。
最佳准则函数法，即确定出一个准则函数。建模时按照 信息准则函数的取值确定模型的优劣，以决定取舍，使 准则函数达到极小的是最佳模型。
第三章 平稳时间序列模型的建立
第三章 平稳时间序列模型的建立
第一节 时间序列的采集、直观分析和特征分析 第二节 时间序列的相关分析 第三节 平稳时间序列的零均值处理 第四节 平稳时间序列的模型识别 第五节 平稳时间序列模型参数的矩估计 第六节 平稳时间序列模型的定阶 第七节 平稳时间序列模型的检验 第八节 平稳时间序列模型的建模方法
第三节 平稳时间序列的零均值处理
ARMA模型：自回归移动平均模型
中心化ARMA(p,q)模型
Xt 1Xt12Xt2LpXtpt 1t12t2Lqtq p0,q0
Et0, vart2, Est0,st EXst0, st
非中心化ARMA(p,q)模型
X t 0 1 X t 1 2 X t 2 L p X t p t 1 t 1 2 t 2 L q t q
1 6N
N i1
X
i S*
X
3
标准峰度系数： g 2
N
1
2 4 N
N i1
X
i S*
X
4 3
第二节 时间序列的相关分析
时间序列的相关分析
相关分析：
纯随机性检验 平稳性检验 正态性检验
纯随机性检验
定义：纯随机性检验，又称白噪声检验，是检验
时间序列观察值之间是否具有相关性.
若F<Fα(s,N-r)，则接受原假设，认为这s个回归因子对因 变量的影响是不显著的，表明M2合适。
AR(p)模型定阶的F准则
1967年，瑞典控制论专家K.J.Aström教授将F检验准则用于 对时间序列模型的定阶。
原理(模型阶数简约原则 parsimony principle)：
设Xt(1≤t≤N)是零均值平稳序列，用模型AR模型拟合
当 或 ˆ在k 延迟ˆ k k若干阶之后衰减为小值波动时，什 么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作拖 尾呢？
模型识别
Bartlett定理：零均值的平稳时间序列Xt：
若自相关系数q步截尾，则
ˆ k
~& N
0
,
1 N
,
kq
若偏相关系数p步截尾，则
ˆ k k
~& N
0,
1 N
,
kp
95％的置信区间：P