平稳时间序列模型的建立

若F<Fα(s,N-r)，则接受原假设，认为这s个回归因子对因 变量的影响是不显著的，表明M2合适。
AR(p)模型定阶的F准则
1967年，瑞典控制论专家K.J.Aström教授将F检验准则用于 对时间序列模型的定阶。
原理(模型阶数简约原则 parsimony principle)：
设Xt(1≤t≤N)是零均值平稳序列，用模型AR模型拟合
数据图检验法 自相关和偏相关系数图检验法 特征根检验法 参数检验法 逆序检验法 游程检验法
数据图检验法
以时间为横轴，变 量Xt的取值为纵轴
平稳的特点
无明显的趋势性或 周期性
在一直线附近做小 幅波动
1990年12月19日-2008年11月6日上 证A股指数日数据(除去节假日， 共4386个数据)
模型
模型方程 自相关系数 偏相关系数
AR(p)
φ(B)Xt=εt
拖尾
p步截尾
MA(q)
Xt=θ(B)εt
q步截尾
拖尾
ARMA(p,q) φ(B)Xt=θ(B)εt
检验原理：
拖尾
拖尾
若序列Xt的样本自相关系数和偏相关系数既不截尾，又 不拖尾，则可以肯定该序列是非平稳的。
自相关和偏相关系数图检验法
时间序列数据的预处理
预处理：
直观分析 特征分析 相关分析
直观分析
直观分析包括：离群点的检验和处理，缺损值的补足， 指标计算范围的统一等等.
离群点(outlier)：指一个时间序列中远离序列一般水 平的极端大值和极端小值。通常是由于系统外部干扰 而形成的，可以根据序列值与平滑值两者间的差异来 判断.
一般取k ≈ N/10
纯随机性检验
纯随机性检验
平稳性检验
时间序列的平稳性是时间序列建模的重要前提。 目的：检验相关序列值{Xt}之间是否是平稳的 检验的对象：
序列是否具有常数均值和常数方差？ 序列的自相关函数是否仅与时间间隔有关，而与时间的
起止点无关？
平稳性检验
常用的检验方法：
特征根检验法
特征根检验法
游程检验法
平稳性的非参数检验法-----游程检验法
可用SPSS软件计算 Analyze→Nonparametric Tests→Runs ∣Z∣≤1.96，则该时间序列平稳。
平稳性检验
常用的检验方法：
数据图检验法 自相关和偏相关系数图检验法 特征根检验法 参数检验法 逆序检验法 游程检验法
1 6N
N i1
X
i S*
X
3
标准峰度系数： g 2
N
1
2 4 N
N i1
X
i S*
X
4 3
第二节 时间序列的相关分析
时间序列的相关分析
相关分析：
纯随机性检验 平稳性检验 正态性检验
纯随机性检验
定义：纯随机性检验，又称白噪声检验，是检验
时间序列观察值之间是否具有相关性.
特征参数包括：
位置特征参数，散度特征参数，分布特征参数
位置特征参数
样本均值： X
1 N
N
Xi
i1
极小值：
X
1
m in
1 i N
X
i
极大值：
X
N
m ax
1 i N
X
i
散度特征参数
极差：
L X N X 1
样本方差：
S
2 N
1 N
N i 1
Xi X
2
1 N
N i 1
X
2 N
ˆk
2 N
95.5%
P
2 N
ˆkk
2 N
95.5%
模型定阶的经验方法：利用2倍标准差辅助判断
模型定阶经验方法
如果样本自(偏)相关系数在最初的d阶明显大于2倍标准 差范围，而后几乎95％的自(偏) 相关系数都落在2倍标 准差的范围以内，而且由非零自相关系数衰减为在零附 近小值波动的过程非常突然。这时通常视为自(偏)相关 系数截尾，截尾阶数为d。
i1
Q统计量：Box和Pierce共同推导出
原假设：延迟期数小于或等于m的序列值之间相互独立
结论： H 0 ： 1 2 m 0 , m 1
当Q<χ21-α(k)时，接受原假设，认为序列{Xt}是独立的，不用 进行建模了。
当统计量的相伴概率p>0.05时，接受原假设；当p<0.05时，拒 绝原假设，{Xt}是平稳非白噪声序列，尝试建立ARMA模型。
尝试拟合 AR(1),MA(1), ARMA (1,1) 模型
第五节 平稳序列模型参数的矩估计
第六节 平稳时间序列模型的定阶
模型的定阶
问题： 如何ARMA(p,q)的中p和q？ 定阶的方法：
残差方差图定阶法 F-检验定阶法 最佳准则函数法
AIC准则 BIC准则
F检验定阶法
在回归分析中，F检验法常被用来考察两个回归模型是 否具有显著差异。
X t c 1 1 1 1 B B 2 2 B B 2 2 L L q p B B q pt,
c E X
0
1 12 Lp
第四节 平稳时间序列的模式识别
模型识别的基本原则
模型
模型方程
AR(p) MA(q) ARMA(p,q)
φ(B)Xt=εt Xt=θ(B)εt φ(B)Xt=θ(B)εt
缺损值(missing value)：指在采集时间序列时，由于仪 器故障、操作失误、观察问题等种种原因引起在某些 观测点上未能记录的观察值.
特征分析
定义：
特征分析就是在对数据序列进行建模之前，通过从时 间序列中计算出一些有代表性的特征参数，用以浓缩、 简化数据信息，以利于数据的深入处理，或通过概率 直方图和正态性检验分析数据的统计特征.
尝试拟合AR(1)模型
尝试拟合MA(1)模型
自相关和偏相关系数图检验法
尝试拟合AR(1)，MA(1)， ARMA (1,1) 模型
自相关和偏相关系数图检验法
自相关和偏相关系数图检验法
特征根检验法
原理：
自回归部分特征方程的特征根在复平面的单位圆内
检验步骤：
先拟合适应性模型； 求出该模型自回归部分特征方程的特征根； 若特征根|λi|<1，则该序列平稳.
如果有超过5%的样本自(偏) 相关系数都落入2倍标准差 的范围之外，或者是由显著非零的自(偏)相关系数衰减 为小值波动的过程比较缓慢或者非常连续，这时通常视 为自(偏) 相关系数拖尾。
模型识别
1950年-1998年北京城乡居民定期储蓄比例
尝试拟合 AR(1)模型
模型识别
连续读取70个化学反应数据
第三节 平稳时间序列的零均值处理
ARMA模型：自回归移动平均模型
中心化ARMA(p,q)模型
Xt 1Xt12Xt2LpXtpt 1t12t2Lqtq p0,q0
Et0, vart2, Est0,st EXst0, st
非中心化ARMA(p,q)模型
X t 0 1 X t 1 2 X t 2 L p X t p t 1 t 1 2 t 2 L q t q
第三章 平稳时间序列模型的建立
第三章 平稳时间序列模型的建立
第一节 时间序列的采集、直观分析和特征分析 第二节 时间序列的相关分析 第三节 平稳时间序列的零均值处理 第四节 平稳时间序列的模型识别 第五节 平稳时间序列模型参数的矩估计 第六节 平稳时间序列模型的定阶 第七节 平稳时间序列模型的检验 第八节 平稳时间序列模型的建模方法
第一节 采集、直观分析和特征分析
时间序列的建模流程
数
直
特
相
据
观
征
关
的
分
分
分
采
析
析
析
集
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
时间序列的预处理
确定性分析 随机分析
数据的采集
方法：
直接采样 累计采样 特征采样 阈值采样
原理：
采样间隔越小，采样值越多，信息损失就越小，数据处 理量越大，处理时间、人力、财力消耗越大.
采样间隔越大，采样值越少，信息损失就越多，数据处 理的时间、人力、财力消耗越小.
Bartlett定理：
如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为n
的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系
数
ˆk ~&N0,1n, k0
若 ˆk1.96 n2 n, k0，则自相关系数为零的
可能性是95%，可认为数据是不相关的.
纯随机性检验
k
2
检验统计量： Q Nˆi : 2k
当 或 ˆ在k 延迟ˆ k k若干阶之后衰减为小值波动时，什 么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作拖 尾呢？
模型识别
Bartlett定理：零均值的平稳时间序列Xt：
若自相关系数q步截尾，则
ˆ k
~& N
0
,
1 N
,
kq
若偏相关系数p步截尾，则
ˆ k k
~& N
0,
1 N
,
kp
95％的置信区间：P
ARMA模型：自回归移动平均模型
中心化ARMA(p,q)模型
X t1X t 12X t 2 LpX tpt1t 12t 2 Lqt q X t1 1 1 1 B B 2 2B B 2 2 L L q p B B q p t
非中心化ARMA(p,q)模型
X t01 X t 12X t 2 LpX t pt1t 12t 2 Lqt q
原理： M 1 : y1X 12X 2 LrX r M 2:y1X 12X 2 Lr sX r s
检验后面s个回归因子对因变量的影响是否显著
H 0 :r s 1 r s 2 L r 0
设样本容量为N，上述两个模型的残差平方和分别是Q0
与Q1，则检验统计量为 FQ1Q0 s: Fs,Nr
Q0 Nr
F检验定阶法
FQ1Q0 s: Fs,Nr
Q0 Nr
M1: y1X12X2LrXr M2: y1X12X2LrsXrs H0: rs1 rs2L r 0
结论：对于给定的显著性水平α
若F>Fα(s,N-r)，则拒绝原假设，认为后面s个回归因子对 因变量的影响是显著的，表明M1合适；
分类：
AIC准则法 BIC准则法
AIC准则
背景： AIC准则是日本统计学家赤池Akaike于1973年提出的， 全称为最小信息量准则，或AIC准则(Akaike information criterion)。该准则确定出一个准则函数，既考虑拟合模 型对原始数据的拟合程度，也考虑模型中所含待定参 数的个数，适用于ARMA模型的检验。
数据图检验法
1994年-1995年香港环境数 据序列
(a) 表示因循环和呼吸问题 前往医院就诊的人数；
(b) 表示二氧化硫的日平均 水平；
(c) 表示二氧化氮的日平均 水平；
(d) 表示可吸入的悬浮颗粒 物的日平均水平
数据图检验法
优点：简单，方便，直观 缺点：主观性强
自相关和偏相关系数图检验法
最佳准则函数法
由于自相关函数(ACF)和偏相关函数(PACF)定阶法具有 很强的主观性，是一种较为粗略的方法，而最佳准则函 数定阶法则可以帮助我们在一些所选的模型中选择相对 最优的模型。
最佳准则函数法，即确定出一个准则函数。建模时按照 信息准则函数的取值确定模型的优劣，以决定取舍，使 准则函数达到极小的是最佳模型。
2 i
X
2
S
*2 N
1 N 1
N i 1
Xi X
2
1 N 1
N i 1
X
2 i
N N 1
X
2
样本标准差：S*
1N N 1 i1
Xi X
2
分布特征参数
偏度：
S k
1 N
N i1
X
i S*
X
3
峰度：
K
1 N
N i1
X
i S*
X
4
标准偏度系数： g 1
自相关系数 偏相关系数
拖尾
p步截尾
q步截尾
拖尾
拖尾
拖尾
对ARMA模型的初步识别
模型定阶的困难
由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截
尾的完美情况，本应截尾的
ˆ
或
k
会ˆ k k 呈现出小值振荡的
情况。
由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶
数k→∞，ˆ k与 ˆ都k k 会衰减至零值附近作小值波动。
A Rp: X t1X t 12X t 2 LpX t pt 残 差 平 方 和 Q 0
A Rp 1: X t1X t 12X t 2 Lp 1X t p 1t 残 差 平 方 和 Q 1 H 0: p0
检验统计量： FQ1Q0 1: F1,Np
结论
Q0 Np
若F>Fα，则拒绝原假设，认为AR(p)合适； 若F<Fα，则接受原假设，认为AR(p-1)合适。
ARMA(p,q)模型定阶的F准则
ARMAp,q残差平方和Q0; ARMAp1,q1残差平方和Q1
H0: p 0,q 0 检验统计量： FQ 1Q 02 :F2,Npq
Q 0 Npq
结论
若F>Fα ，则拒绝原假设，模型阶数仍有上升的可能； 若F<Fα ，则接受原假设，认为ARMA(p-1,q-1)合适。