高一第二学期期末考试数学(文科)试题(附答案)
河北省衡水中学高一下学期期末考试(数学文)含参考答案
乙甲7518736247954368534321衡水中学高一年级第二学期期末考试试卷数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知向量),2,1(),,2(==b t a 若1t t =时，a ∥b；2t t =时，b a ⊥，则 ( )A ．1,421-==t t B.1,421=-=t t C.1,421-=-=t t D.1,421==t t 2.下列函数中，在区间(0，2π)上为增函数且以π为周期的函数是 （ ） A ．2sinxy = B ．x y sin = C ．x y tan -= D ．x y 2cos -= 3.某路口，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为45秒，当你到这个路口时，看到黄灯的概率是 （ ） A 、121 B 、83 C 、65 D 、.1614.图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 （ ） A 、62 B 、63 C 、64 D 、655.若,5sin 2cos -=+αα则αtan = ( ) A ．21 B ．2 C ．21- D ．2-6.则ϕ的值为7.如果执行右面的程序框图，那么输出的=S （ ） A 、22 B 、46 C 、94 D 、1908.已知的取值范围为（ ） 9.如图，在1,3ABC AN NC ∆=中， P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+， 则实数m 的值为 （ ）A ．911 B ．511 C ．311 D ．21110.锐角三角形ABC 中，内角C BA ,,的对边分别为c b a ,,，若2B A =，则ba的取值范围是 （ ）A.B. C. D. 11．如图，在四边形ABCD 中，||||||4,0,AB BD DC AB BD BD DC →→→→→→→++=⋅=⋅= →→→→=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB ，则→→→⋅+AC DC AB )(的值为 （ ） y x y x 2222cos sin 1cos sin 2+=+则，第7题第9题12. △ABC 满足23AB AC ⋅=︒=∠30BAC ，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义),,()(z y x M f =，其中,,x y z 分别表示△MBC ,△MCA ,△MAB 的面积，若)21,,()(y x M f =，则xy 的最大值为 （ ）A.81 B.91 C.161 D.181第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
2021年高一下学期期末考试数学(文) 含答案
2021年高一下学期期末考试数学（文） 含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分，满分150分．考试用时l20分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60分)一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{0，1，2，3，4}B ．{0，4}C ．{1，2}D ．{3}2．已知向量，那么的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43.等差数列中, ,,则数列的公差为( )A.1B.2C.3D.44．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为 ( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝05.在中，，，，则( )A.或B.C.D.6.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A ．若,,则B ．若,,则C ．若,,则D ．若,,则7. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．118.在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是AB 和BC 上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC 和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定9．在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形10.将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）11. 若点在直线上，过点的直线与曲线相切于点，则的最小值为( )A ．B ．C ．D ．12.定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是A ．，将函数的图像关于轴对称B ．，将函数的图像关于轴对称C ．，将函数的图像关于点对称D ．，将函数的图像关于点对称第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 若等比数列满足则=______14. 设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________．15.函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为______．16.如图3，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C的中点，有以下四个结论：①直线MN 与AC 所成角是；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为______ (注：把你认为正确的结论的序号都填上)． 图3三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）(1)已知x >1，求f (x )＝x ＋1x －1的最小值； (2)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值.18. （本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．19. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，E A BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．图420．（本小题满分12分）已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．21. （本小题满分12分）如图5，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻折到△，连接，得到如图6的五棱锥，且.（1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积.22. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足, , N .（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使，， 成等比数列? 若存在，求的值； 若不存在，请说明理由.高一下期末数学（文）答案一、选择题答卷（每题5分，12题共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B A C B C A C B D B二、填空题答卷（每题5分，4题共20分）13. ; 14. 0; 15. 32; 16. ①③④ 三、解答题：本大题6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17. （本小题满分10分）(1)∵x >1，∴x －1>0，∴f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1＝2＋1＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立.∴f (x )的最小值为3.…………5分 (3)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )， ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. …………10分18. （本小题满分12分）解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. ……2分 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ……6分 ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8， 所以a ＝2 2. …………9分②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3. ……12分19. （本小题满分12分）解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，H F E P OD B A ∴AD ⊥平面BDC ， …………3分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23. …………6分 (2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . …………8分同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形． …………10分又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形． …………12分20. （本小题满分12分）解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， …………2分∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. …………4分(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ① …………6分又直径|CD |＝410，∴r=|PA |＝210， …………7分∴(a ＋1)2＋b 2＝40 ② …………8分由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5b ＝－2 …………10分∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. …………12分21. （本小题满分12分）（1）证明：∵点，分别是边，的中点，∴∥.∵菱形的对角线互相垂直， ∴.∴. …………………………2分∴，.∵平面，平面，，∴平面. …………………………4分∴平面. …………………………5分 （2）解：设，连接，∵，∴△为等边三角形. ∴，，，.在R t △中，， …………………………7分在△中，， ∴.∵，，平面，平面，∴平面. …………………………10分梯形的面积为，………………………11分∴四棱锥的体积.………………12分22. （本小题满分12分）解：（1）解：∵, , ∴.∴ . ∴ . ………………2分（2）解法1: 由, 得. ……………………3分∴ 数列是首项为, 公差为的等差数列.∴ .∴ . …………………………5分 当时, …………………………7分.而适合上式，∴ . …………………………9分解法2: 由, 得，∴． ① …………………………4分当时，，②①②得()()()()1111122n n n n n n n n na n a S S +-+-----=-， ∴． …………………………5分 ∴． …………………………６分 ∴ 数列从第２项开始是以为首项, 公差为的等差数列. ………７分 ∴ . …………………………８分而适合上式，∴ . …………………………9分（3）解：由(2)知, .假设存在正整数, 使, , 成等比数列,则.即. …………………………10分∵ 为正整数,∴.得或,解得或, 与为正整数矛盾. …………………………11分∴ 不存在正整数, 使, , 成等比数列. …………………………12分29560 7378 獸 ,21607 5467 呧35980 8C8C 貌31430 7AC6 竆30984 7908 礈27050 69AA 榪29113 71B9 熹29729 7421 琡。
高一数学下学期期末考试试题文含解析试题
开来中学2021-2021学年度第二学期期末考试高一年级数学〔文科〕试卷一：选择题。
1.假设3cos 5α=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么tan α=( )A. 43-B. 34-C.34D.43【答案】D 【解析】 【分析】此题首先可根据3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得出sin 0α<，然后根据22cos sin 1αα+=以及3cos 5α=-通过计算得出4sin 5α=-，最后根据sin tan cos ααα=即可得出结果。
【详解】因为3cos 5α=-，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α<，22cos sin 1αα+=，解得4sin 5α=-，所以sin 4tan cos 3ααα==，应选D 。
【点睛】此题考察同角三角函数关系的相关公式的使用，考察正弦函数的性质，考察的公式有sin tan cos ααα=和22cos sin 1αα+=，考察计算才能，是简单题。
(1,1)a =-，(1,0)b =，假设()(2)a b a b λ-⊥+，那么λ=〔 〕A. 2B. 2-C. 3D. 3-【答案】C【解析】 试题分析：，()(2)a b a b λ-⊥+， ()(2)0a b a b λ∴-⋅+=得得，应选C.考点：向量的垂直运算，向量的坐标运算.3.2cos sin 4αα-=，那么sin 2α的值是〔 〕 A.18 B. 18-C.78D. 78-【答案】C 【解析】【详解】217cos sin 1sin2sin288αααα-=∴-=∴=，应选C.4.x ，y 取值如下表：x0 1 4 5 6 ym3m画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1y x =+，那么m 的值(准确到0.1)为() A. 1.5 B. 1.6【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为1617.3(,)55m +，代入回归直线方程，即可求解. 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得014561655x ++++==， 1.33 5.67.414.3455m m m y +++++==，即样本中心为1617.3(,)55m +， 代入回归直线方程ˆ1yx =+，即14.3416551m =++，解得 1.7m =，应选C. 【点睛】此题主要考察了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的根本特征是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.5.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是A.14B.8π C.12D.4π 【答案】B 【解析】设正方形边长为a ，那么圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白局部面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色局部的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域〔长度、面积、体积或者时间是〕，其次计算根本领件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .6.甲、乙两校各有3名老师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男26名老师中任选2名，选知名的2老师来自同一的概率为〔 〕 A.59B.49C.35D.25【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合思想求出从6老师中任选2名老师的种数以及来自同一的可能种数，然后利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率.【详解】从6老师中任选2名老师的种数有26651521n C ⨯===⨯，那么其中来自同一的可能种数有232236m C ==⨯=，故所求事件的概率是25P =，应选答案D.【点睛】此题考察古典概型的概率公式，同时也涉及了组合数的应用，考察计算才能，属于中等题.7.某程序框图如下图，那么输出的结果S 等于〔 〕A. 7B. 16C. 28D. 43【答案】C 【解析】执行程序：S 1=，k 1=,k 2=,S 1327=+⨯=,判断不符合条件， k 3=, S 73316=+⨯=,判断不符合条件， k 4=,S 163428=+⨯=,判断符合条件， 应选：C8.假设(1,3)MA =-，(1,7)MB =，那么12AB =( ) A. (0,5) B. (1,2)C. (0,10)D. (2,4)【答案】B 【解析】()()()111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=-()()()1111,732,41,222=+-==，应选B.9.向量(1,2)a =，(2,1)b =-，那么〔 〕 A. //a bB. a b ⊥C. a 与b 的夹角为60︒D. a 与b 的夹角为30【答案】B 【解析】【详解】(1,2)(2,1)1(2)210a b a b ⋅=⋅-=⨯-+⨯=⇒⊥.,2a b π∴<>=112(2),a b ⨯≠⨯-∴不平行，因此选B.10.为得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象〔 〕 A. 向左平移3π个长度单位 B. 向左平移6π个长度单位 C. 向左平移12π个长度单位D. 向右平移12π个长度单位【答案】C 【解析】【详解】因为sin 2sin 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以只需将sin2y x =图象向左平移12π个长度单位，即可得到sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，应选C.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型. 首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x 的系数是否为1，假如x 有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减〞.11.sin570︒的值是( )A.12B. 12-C.32D. 32-【答案】B 【解析】【详解】由诱导公式得()sin570sin 570360︒︒︒=-()sin 210sin 18030︒︒︒==+ 1sin 302︒=-=-，应选B.考点：诱导公式.12.函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ＞＞＜)的局部图象如下图，假设12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，那么12()f x x +=〔 〕A. 1B.12C.223 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的图象求得()sin(2)3f x x π=+，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】由图象可知， 1,()2362T A πππ==--=，即T π=，所以2ω=，即()sin(2)f x x ϕ=+，又因为()03f π=，那么sin(2)03πϕ⨯+=，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈， 又由2πϕ＜，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，又因为()36212πππ+-=，所以图中的最高点坐标为,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭.结合图象和条件可知122126x x ππ+=⨯=，所以122()()sin(2)sin 66332f x x f ππππ+==⨯+==， 应选D.【点睛】此题主要考察了由三角函数的局部图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间是〔 〕A. 52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C. 5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. ,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数1sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在实数集R 上的单调递增区间，再与定义域取交集可得出结果.【详解】1sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要求其单调递增区间那么：1322,2232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得：51144,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈．当0k =时，递增区间为：511,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1k =-时，递增区间为：17,33ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．因为[]2,2x ππ∈-，所以递增区间为：52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和，应选：B ．【点睛】此题考察正弦型三角函数单调性区间的求解，考察运算求解才能，属于中等题.14.2tan θ＝ ，那么222sin sin cos cos θθθθ＋－ 等于( ) A. －43B. －65C.45D.95【答案】D 【解析】 ∵tanθ＝2，∴原式＝22222sin sin cos cos sin cos θθθθθθ＋－＋＝22211tan tan tan θθθ+－＋＝82141＋－＋＝95. 此题选择D 选项.点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．二、填空题.15.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)0,0,φ2A πω⎛⎫>><⎪⎝⎭的局部图象如下图，那么f(x)＝____．【答案】2sin(2)6x π-【解析】【详解】由图中条件求得2A =，T π=，那么2ω=，再代入点,23π⎛⎫⎪⎝⎭，可得6πφ=-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故答案为2sin(2)6x π-.点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式：(1)max min max min,22y y y y A B -+==；(2)由函数的周期T 求2,T πωω=；(3)利用“五点法〞中相对应的特殊点求ϕ.16.向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，那么m =_______. 【答案】2 【解析】由题意可得2330,m -⨯+=解得2m =.【名师点睛】〔1〕向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. 〔2〕向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b〔3〕向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .17.向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，那么b =________. 【答案】5 【解析】 【分析】此题首先可以根据(2,1)a =得出25a =，然后根据52a b +=得出250a b +=，最后通过化简即可得出结果。
【最新】河北省高一下册第二学期期末考试文数试题-含答案
下学期高一年级期末考试文数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点3,2)在直线l ：10ax y ++=上，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒2.圆222690x y x y ++++=与圆226210x y x y +-++=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相外切C ．相离D ．相内切3.在数列{}n a 中，112a =，111n n a a +=-，则10a =（ ）A ．2B ．3C ．1-D ．124.设α，β是两个不同的平面，m 是一条直线，对于下列两个命题： ①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若//m α，αβ⊥，则m β⊥． 其中判断正确的是（ ） A ．①②都是假命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①②都是真命题5.一个等比数列的前n 项和为45，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A ．65B ．73C ．85D ．1086.在正三棱锥S ABC -中，异面直线SA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 7.《算法统宗》是我国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八节竹一茎，为因盛米不均平；下头三节三生九，上梢三节贮三升；唯有中间二节竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的，下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升．要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升？由以上条件，计算出这根八节竹筒的容积为（ ） A ．9.0升B ．9.1升C ．9.2升D ．9.3升8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3616π+B ．3612π+C ．4016π+D ．4012π+9.若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.已知圆C ：22(1)32x y ++=，直线l 与一、三象限的角平分线垂直，且圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为22l 的方程为（ ） A ．5y x =-- B ．3y x =-+ C ．5y x =--或3y x =-+ D ．不能确定11.在至期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ） A ．4(1)m q +元B ．5(1)m q +元C ．4(1)(1)m q q q⎡⎤+-+⎣⎦元D ．5(1)(1)m q q q⎡⎤+-+⎣⎦元12.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x >时，()2f x <对任意的x ，y R ∈，()()()2f x f y f x y +=++成立，若数列{}n a 满足1(0)a f =，且1()()3nn n a f a f a +=+，*n N ∈，则2017a 的值为（ ）A ．2B ．20166231⨯- C ．20162231⨯- D ．20152231⨯-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知数列{}n b 是等比数列，且9b 是1和3的等差中项，则216b b = ． 14.过点(4,)A a 和(5,)B b 的直线与y x m =+平行，则||AB 的值为 ． 15.将底边长为2的等腰直角三角形ABC 沿高线AD 折起，使60BDC ∠=︒，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的体积为 ．16.若数列{}n a 满足2132431n n a a a a a a a a +-<-<-<<-<……，则称数列{}n a 为“差递增”数列．若数列{}n a 是“差递增”数列，且其通项n a 与其前n 项和n S 满足312n n S a λ=+-（*n N ∈），则λ的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，515S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （Ⅱ）记1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18.如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，E 为SA 的中点，2SB =，3BC =，13SC =．（Ⅰ）求证：//SC 平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面ABCD ⊥平面SAB ．19.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足24(1)n n S a =+，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12nn n a b -=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：6n T <． 20.如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由直角SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=︒，且点A 为线段SD 的中点，21AD DC ==，AB SD =，现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，得到的图形如图（2）所示，连接SC ，点E 、F 分别在线段SB 、SC 上．（Ⅰ）证明：BD AF ⊥；（Ⅱ）若三棱锥B ACE -的体积是四棱锥S ABCD -体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离．21.已知圆O ：229x y +=，直线1l ：6x =，圆O 与x 轴相交于点A 、B （如图），点(1,2)P -是圆O 内一点，点Q 为圆O 上任一点（异于点A 、B ），直线AQ 与1l 相交于点C ．（Ⅰ）若过点P 的直线2l 与圆O 相交所得弦长等于422l 的方程； （Ⅱ）设直线BQ 、BC 的斜率分别为BQ k 、BC k ，求证：BQ BC k k ⋅为定值．22.已知数列{}n a 满足12nn n a a ++=，且11a =，123n n n b a =-⨯．（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若10n n n a a tS +->对任意的*n N ∈都成立，求实数t 的取值范围．下学期高一年级期末考试文数试卷答案一、选择题1-5CCDBA 6-10CCDBC 11、12：DC 二、填空题13.416.(1,)-+∞ 三、解答题17.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得112,51015,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,1.a d =⎧⎨=⎩所以n a n =（*n N ∈），22n n nS +=（*n N ∈）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)n n b S n n ==+112()1n n =-+． 则12311111112(1)223341n n T b b b b n n =++++=-+-+-++-+……122(1)11nn n =-=++． 18.解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点F ，则F 为AC 的中点，连接EF . 因为E 为SA 的中点，F 为AC 的中点， 所以//EF SC ．又EF ⊂平面BDE ，SC ⊄平面BDE ， 所以//SC 平面BDE ．（Ⅱ）因为2SB =，3BC =，SC = 所以222SB BC SC +=，即BC SB ⊥． 又四边形ABCD 为矩形， 所以BC AB ⊥．因为AB SB B =I ，AB ⊂平面SAB ，SB ⊂平面SAB ， 所以BC ⊥平面SAB ． 又BC ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面SAB .19.解：（Ⅰ）当1n =时，2114(1)S a =+，即11a =. 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+， 又24(1)n n S a =+，两式相减，得11()(2)0n n n n a a a a --+--=． 因为0n a >，所以12n n a a --=．所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-（*n N ∈）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1212n n n b --=， 则0121135212222n n n T --=++++…，① 121113232122222n n n n n T ---=++++…，② ①-②，得01211122221222222n n n n T --=++++- (21121)11222n nn --=++++- (11)1212321312212n n n n n ---+=+-=--． 所以123662n n n T -+=-<． 20.解：（Ⅰ）因为平面SAB ⊥平面ABCD ， 又SA AB ⊥，所以SA ⊥平面ABCD ． 又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥．在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=︒，21AD CD ==，2AB =， 所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=， 又90DAC BAC ∠+∠=︒， 所以90ABD BAC ∠+∠=︒， 即AC BD ⊥， 又AC SA A =I ， 所以BD ⊥平面SAC ．因为AF ⊂平面SAC ，所以BD AF ⊥. （Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ， 因为B AEC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，所1151153221122132ABCD S ABCD E ABCABC S SA V V S h h --∆⋅⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⨯梯形，即12h =，故点E 到平面ABCD 的距离为12. 21.解：（Ⅰ）因为直线2l 与圆O相交所得弦长等于 所以圆心(0,0)O 到直线2l的距离1d ==. 显然过点P 且与x 轴垂直的直线1x =-符合要求． 当直线2l 与x 轴不垂直时，设直线2l 的方程为2(1)y k x -=+，即20kx y k -++=，由1d ==，解得34k =-．所以直线2l 的方程是1x =-或3450x y +-=． （Ⅱ）设点C 的坐标为(6,)h ， 则3BC h k =，9AC hk =． 因为BQ AC ⊥，所以9BQ k h=-，即3BQ BC k k ⋅=-， 所以BQ BC k k ⋅为定值3-．22.解：（Ⅰ）因为12nn n a a ++=，11a =，123n n n b a =-⨯，所以11112(2)33n n n n a a ++-⨯=--⨯，所以111231123n n nn a a ++-⨯=--⨯， 又121033a -=≠， 所以数列{}n b 是首项为13，公比为1-的等比数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，1112(1)33n n n a --⨯=⨯-，即12(1)3n nn a ⎡⎤=--⎣⎦， 则123n nS a a a a =++++…{}1231231(2222)(1)(1)(1)(1)3n n ⎡⎤=++++--+-+-++-⎣⎦…… 1(1)12(12)3121(1)nn ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎢⎥=----⎢⎥⎣⎦11(1)12232n n +⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦．又11112(1)2(1)9n n n n n n a a +++⎡⎤⎡⎤=--⨯--⎣⎦⎣⎦2112(2)19n n+⎡⎤=---⎣⎦， 要使10n n n a a tS +->对任意的*n N ∈都成立，即2111(1)12(2)1220932n n nn t ++⎡⎤--⎡⎤------>⎢⎥⎣⎦⎣⎦（*）对任意的*n N ∈都成立． ①当n 为正奇数时，由（*）得，2111(221)(21)093n n n t +++--->，即111(21)(21)(21)093n n n t++-+-->， 因为1210n +->，所以1(21)3nt <+对任意的正奇数n 都成立， 当且仅当1n =时，1(21)3n +有最小值1， 所以1t <．②当n 为正偶数时，由（*）得，2111(221)(22)093n n n t++---->， 即112(21)(21)(21)093n n n t++--->， 因为210n ->， 所以11(21)6n t +<+对任意的正偶数n 都成立． 当且仅当2n =时，11(21)6n ++有最小值32，所以32t <． 综上所述，存在实数t ，使得10n n n a a tS +->对任意的*n N ∈都成立， 故实数t 的取值范围是(,1)-∞．。
2021-2022学年四川省巴中市高一下学期期末考试数学试题(文科)(解析版)
四川省巴中市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{|23}A x x =-<<，{|1}B x x =，则(A B = )A ．(1,3)B ．(2,3)-C ．[1，3)D ．[1，3]〖解 析〗{|23}A x x =-<<，{|1}B x x =，[1A B ∴=，3)．〖答 案〗C2．sin 210︒的值为( )A． BC ．12-D ．12〖解 析〗1sin 210sin(18030)sin302︒=︒+︒=-︒=-．〖答 案〗C3．过两点(2,0)A -，(0,3)B 的直线方程为( ) A ．3260x y --=B ．3260x y +-=C ．3260x y -+=D ．3260x y ++=〖解 析〗直线经过两点(2,0)A -，(0,3)B ，而这2个点恰是直线和坐标轴的交点，∴过两点(2,0)A -，(0,3)B 的直线方程为123x y+=-，即3260x y -+=． 〖答 案〗C4．若数列{}n a 满足111n na a +=-，12a =，则2023(a = ) A ．1-B ．1C ．2D ．12〖解 析〗由题意，12a =，21111112a a ===---，3211111(1)2a a ===---，4131121112a a a ====--，⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 所以{}n a 是以4为周期的周期数列， 所以202345053312a a a ⨯+===． 〖答 案〗D5．若0b a <<，则下列不等式中成立的是( ) A ．11b a< B ．2a bb a+> C ．22b a <D ．()()ln b ln a -<- 〖解 析〗取1a =-，2b =-，112>-，A 错误． 22(2)(1)->-，C 错误． 21ln ln >，D 错误．易得ba ，0ab >，则2b a a b a b b a +⋅=，当且仅当b aa b=，即a b =时取等号，又0b a <<，显然取不到等号，则2b aa b+>，B 正确． 〖答 案〗B6．若数列2-，a ，b ，c ，8-是等比数列，则实数b 的值为( ) A ．4或4-B ．4-C ．4D ．5-〖解 析〗2-，a ，b ，c ，8-是等比数列，2(2)(8)16b ∴=-⨯-=， 又2-，b ，8-均为该数列中的奇数项，0b ∴<，4b ∴=-． 〖答 案〗B7．溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为[]pH lg H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（参考数据：20.3010)(lg ≈ ) A ．1.398B ．1.204C ．1.602D ．2.602〖解 析〗22(2.510)( 2.510)(1222)122 1.6020PH lg lg lg lg lg --=-⨯=-+=---=+≈． 〖答 案〗C8．要得到函数cos(2)6y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位〖解 析〗cos(2)cos(2)cos[2()]6612y x x x πππ=-=-=-，所以将函数cos2y x =的图象向右平移12π个单位可得到cos(2)6y x π=-的图象．〖答 案〗D9．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，夏至日晷长为1.5尺，则一年中夏至到秋分的日晷长的和为( )尺．A ．24B ．60C ．40D ．31.5〖解 析〗相邻两个节气的日晷长变化量相同，且从冬至到夏至日晷长逐渐变短，∴从冬至日晷长到夏至日晷长的各数据依次排成一列，构成等差数列{}n a ，其中113.5a =，13 1.5a =； 故数列{}n a 的公差131 1.513.51131131a a d --===---， 同理，从夏至到冬至的日晷长依次排成一列，构成递增等差数列{}n b ， 其中冬至日晷长1 1.5b =，公差为1， 故秋分日晷长7167.5b b =+=， 故一年中夏至到秋分的日晷长的和为1.57.5731.52+⨯=（尺)． 〖答 案〗D10．若ABC ∆是边长为1的等边三角形，G 是边BC 的中点，M 为线段AG 上任意一点，则BM MG ⋅的取值范围是( )A ．B ．3[0,]4C ．3[,0]4-D ．[ 〖解 析〗因为ABC ∆是边长为1的等边三角形，G 是边BC 的中点，M 为线段AG 上任意一点，故AG BG ⊥，且AG =，302MG AG =， 所以23[,0]4BM MG MB MG MG ⋅=-⋅=-∈-．〖答 案〗C11．函数()f x 是定义在R 偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若0.13a =，30.1b =，3log 0.1c =，则( )A ．f （a ）f >（b ）f >（c ）B ．f （b ）f >（c ）f >（a ）C ．f （c ）f >（a ）f >（b ）D ．f （c ）f >（b ）f >（a ）〖解 析〗根据题意，函数()f x 是定义在R 偶函数，则f （c ）33(log 0.1)(log 10)f f ==，又由300.130.10.1132log 10<=<=<，而()f x 在[0，)+∞单调递增，则有f （c ）f >（a ）f >（b ）． 〖答 案〗C12．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(AB = )A B C D ．56〖解 析〗由题意知，角α是第一或第四象限的角，由22cos22cos 13αα==-，知cos α=，因为21cos ||||B A x x AB AB α--===||AB ． 〖答 案〗A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将〖答 案〗直接填写在答题卡相应题号后的横线上．13．半径为2cm ，中心角为30︒的扇形的弧长为 cm ． 〖解 析〗圆弧所对的中心角为30︒即为6π弧度，半径为2cm ，弧长为||2()63l r cm ππα=⋅=⨯=．〖答 案〗3π 14．若x ，y 满足约束条件423x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则3z x y =+的最大值为 ．〖解 析〗作出不等式组对应的平面区域如图：设3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，42x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(3,1)A ，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 最大，33110max z =⨯+=． 则3z x y =+的最大值是10． 〖答 案〗1015．已知函数||,0()1,0x lnx x f x e x >⎧=⎨+⎩，且函数()()g x f x a =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．〖解 析〗由()0g x =得()f x a =，即函数()g x 的零点是直线y a =与函数()y f x =图象交点横坐标，当0x 时，()1x f x e =+是增函数，函数的值域为(1，2]，当01x <时，()f x lnx =-是减函数，当0x →时，()f x →+∞，f （1）0=， 当1x >时，()f x lnx =是增函数，当x →+∞时，()f x →+∞， 在坐标平面内作出函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当12a <时，直线y a =与函数()y f x =图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点，所以实数a 的取值范围是：12a <． 〖答 案〗(1，2]16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其外接圆的半径2R =，且ABC ∆的面积S =ab 的最小值为 ． 〖解 析〗由正弦定理知，224sin cC=⨯=，所以sin 4c C =，因为ABC ∆的面积11sin 224cS ab C ab =⋅，所以abc =所以228ab ab +⋅==，当且仅当ab 时取等号， 所以ab 的最小值为8． 〖答 案〗8三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数2()2f x x ax =+-，()0f x >的解集为{|1x x <-或}x b >． （1）求实数a ，b 的值；（2）若(0,)x ∈+∞时，求函数()4()f x g x x+=的最小值． 解：（1）关于x 的不等式220x ax +->的解集为{|1x x <-或}x b > 1∴-，b 是相应方程220x ax +-=的两个根，∴112b a b -+=-⎧⎨-⨯=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， 1a ∴=-，2b =．（2）由题意知()42()1f x g x x x x+==+-， (0,)x∈+∞，∴22()1211g x x x x x=+-⋅-=， 当且仅当2x x=时，即x 时，取等号成立．故函数()g x 的最小值为1-． 18．（12分）已知数列{}n a 前n 项和2n S n n =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求证：数列{}n b 的前n 项和14n T <． 解：（1）数列{}n a 前n 项和2n S n n =+，∴当1n =时，12a =，当2n 时，22(1)(1)2n a n n n n n =+----=∴数列{}n a 的通项公式2n a n =（2）由（1）知当数列{}n a 的通项公式：2n a n =， 12n n a a +-=，1111()2n n n b a a +∴=⨯-， 122311111111[]2n n n T a a a a a a +∴=⨯-+-+⋯+- 11111111111()()222224444n a a n n +=⨯-=⨯-=-<++， 14n T ∴<， 19．（12分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的〖解 析〗式；（2）若()f x 在区间[0，]m上的值域为，求m 的取值范围． 解：（1）由函数()f x 图象，可得2A =，3734632T πππ=+=，2T π∴=， 0ω>，可得21Tπω==，()2sin()f x x ϕ∴=+， 又()f x 图象过点7(,2)6π-，∴72sin()26πϕ+=-，即7sin()16πϕ+=-， ∴73262k ππϕπ+=+，k Z ∈，解得23k πϕπ=+，k Z ∈，又02πϕ<<，∴3πϕ=，故函数〖解 析〗式()2sin()3f x x π=+．（2）由（1）知()2sin()3f x x π=+，[0x ∈，]m ，则[,]333x m πππ+∈+， 又()f x的值域为，∴2233m πππ+，且0m >， 故63mππ．即[,]63m ππ∈． 20．（12分）在①313log 1log n n b b +-=，②542S b =-这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是正项等比数列，且339S b ==，414b a =，______．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：选①．（1）设数列{}n b 的公比为(0)q q >， 313log 1log n n b b +-=，得13n nb b +=，则3q =． 已知数列{}n a 为等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，334149S b b a ==⎧⎨=⎩，∴21231333()999312q a a d b b q q d=⎧⎪=+=⎪⎨==⎪⎪=+⎩， 解得111a b ==，2d =，故数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，13n n b -=； 选②．数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >，334145492S b b a S b ==⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴21231133()99931251092a a db b q q d a d q =+=⎧⎪==⎪⎨=+⎪⎪+=-⎩ 解得111a b ==，2d =，3q =，故数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，13n n b -=． （2）由（1）知1(21)3n n n n c a b n -==-⨯，∴()()01221133353233213n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯①，()()12313133353233213n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯②，①-②得1231212(3333)(21)3n n n T n --=+⨯++++--⨯13(13)12(23)32(22)313n n n n n -⨯-=+⨯--⨯=---⨯-，∴1(1)3n n T n =+-⨯．21．（12分）在ABC ∆中、角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2cos cos b A a B =，且tan C =- （1）求角B 的大小；（2）若点D 在AC 边上，满足2AC AD =，且3AB =，BD =BC 的长． 解：（1）因为2cos cos b A a B =，故2sin cos sin cos B A A B =， 即可得tan 2tan A B =⋯⋯①，tan tan()C B A =-+=-tan tan tan()1tan tan A BA B A B++==-②，联立①②得tan B =（舍)，故6B π=； （2）由题意得：1()2BD BA BC =+，故2221(2||||cos )4BD BA BC BA BC B =++即222111(9||2||3cos )(9||33||)444BC BC B BC BC =++⨯⨯=++，整理得2||33||120BC BC +-=，解得||3BC =，或-)，故BC =22．（12分）已知函数2()22cos 1f x x x =-+， （1）求()f x 单调递增区间；（2）是否存在实数m 满足对任意1x R ∈，任意2x R ∈，使111122()x x x x e e m e e --++++28()f x 成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）2()2(2cos 1)2cos22sin(2)6f x x x x x x π=--=-=-，由222262k x k πππππ--+，k Z ∈，得63k x k ππππ-+，k Z ∈．∴函数()2sin(2)6f x x π=-的单调递增区间为[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈；（2）由（1）可知()2sin(2)6f x x π=-，2()2max f x ∴=，实数m 满足对任意1x R ∈，任意2x R ∈，使1111222()8()x x x x e e m e e f x --++++成立． 即对任意1x R ∈，111122()82x x x x e e m e e --++++成立， 也就是111122()60x x x x e e m e e --++++成立． 令111122()6x x x x y e e m e e --=++++，设11x x e e t -+=，那么11112222()22x x x x e e e e t --+=+-=- 1x R ∈，∴112x x t e e -=+，转化为240t mt ++在[2t ∈，)+∞上恒成立． 令2()4g t t mt =++，其对称轴2mt =-，[2t ∈，)+∞上， ∴①当22m-时，即4m -，()min g t g =（2）820m =+，解得4m -； ②当22m->，即4m <-时，2()()4024min m m g t g =-=-，解得m ∈∅．综上可得，存在实数m 满足对任意1x R ∈，任意2x R ∈，使111122()8x x x x e e m e e --++++2()f x 成立，且实数m 的取值范围是[4-，)+∞．。
2021年高一下学期期末考试数学文科试题 含答案
2021年高一下学期期末考试数学文科试题 含答案高一数学期末试卷 (文科)方妙芬 杨朝霞同学们，本次考试可能用到的公式： 2222121()()...()n s x x x x x x n ---⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦ 一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填在答题卡上.）1. 的值为( )A ． B. C. D.2．已知两直线与平行，则（ ）A. B.-3 C.-4 D.-53、 为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）A ．向左平移个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C ．向左平移个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变4．三个数，，的大小顺序是 ( ) A ． B ．C ．D ．5. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D.6．已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D.7．执行如下图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为（ ）A ．22B ．16C ．15D ．118．函数y ＝cos x ·|tan x | ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2 的大致图象是( )俯视图 侧视图正视图9.已知点A（2，-3），B（-3，-2）,直线l过P(1,1),且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围为（）A. B. C. D.10．定义在R上的函数满足，当时，，则（）A． B．C．D．二．填空题（本大题共４小题，每小题5分，满分２０分．请将正确的答案填在答题卡上。
）11．已知函数，则的值等于_____________ .12．利用计算器算出自变量和函数值的对应值如表，则方程的一个根所在区间为.13.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）,为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）/月收入段应抽出人.14．已知函数为偶函数，且若函数，则= ．三．解答题（本大题共６小题，共８０分，请将正确答案写在答题卡相应的位置上，作答时必须详细写出演算过程和逻辑推理过程.）15. (本题满分12分）已知集合，，，全集为实数集.(1) 求；(2) 若，求实数的范围.16.( 本题满分12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距2(2sin ,3),(cos ,2cos 1)+1.(1)()()()42m x n x x m n f x f x f x ππ→→→→=-=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦17.(本题满分14分）已知，若函数f(x)=求的最小正周期;(2)求的单调增区间;（3）求在，上的值域.18.（本题满分14分）如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，为侧棱的中点.（1）求证：//平面；（2）求证：⊥平面；（3）若直线与平面所成的角为30，求的值.19．（本题满分14分）已知圆C 经过点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2) 过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程.20．（本题满分14分）对于函数,若存在使得成立，则称为的不动点.已知函数.(1)若，求函数的不动点；（2）若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若图象上A 、B 两点的横坐标是函数的不动点，且A 、B 两点关于直线对称，求的最小值.揭阳一中xx 学年度(95届)第二学期高一数学期末试卷答案 (文科)一．选择题 （每小题5分，共50分）1-5 C A D C C 6-10 A B C A B二．填空题（每小题5分，共20分） 11.-1 12.(1.8,2.2) 13.25 14.xx三．解答题（共80分）15．解：，，……………………….. 6分(1) ……………………………………………………………8分(){|15}{|26}{|56}R C A B x x x x x x x ⋂=≤≥⋂<<=≤<或……………………10分(2) ，所以．…………………………………………………………….12分16．解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。
高一数学下学期期末考试试题文含解析
一中2021～2021学年度第二学期期末考试试题高一〔文科〕数学本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，其中第二卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生答题时，将答案答在答题卡上，在套本套试卷上答题无效。
在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。
考前须知：1．在答题之前，所有考生必须先将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的规定的正确位置上。
2．选择题答案使需要用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或者碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)答题,写在草稿纸上、超出答题区域或者非题号对应的答题区域之答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求答题，并需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，那么AB =A. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，， D.{}134，，【答案】A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB =，应选A.点睛:集合的根本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进展运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2.以下函数中，在区间〔0，+∞〕上单调递增的是 A. 12y x = B. y =2x -C.12log y x =D. 1y x=【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式考察函数的单调性即可.【详解】函数122,log xy y x -==， 1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，应选A .【点睛】此题考察简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、根底知识的考察，蕴含数形结合思想，属于容易题.3.0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，那么A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比拟,a c ，运用中间量1比拟,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=那么01,c a c b <<<<．应选B ．【点睛】此题考察指数和对数大小的比拟，浸透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.函数()1lg 1x f x x-=+，假设()12f a =，那么()f a -=〔 〕A.12B. 2C. 12-D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算性质并结合条件()12f a =的值可求出()f a -的值。
2021年高一下学期期末考试数学(文)试题 含答案
2021年高一下学期期末考试数学（文）试题含答案一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
)1.已知集合，集合，则集合（）A． B． C． D．2.某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30D.15,10,203．函数的定义域是( )．A． B．C．D．Array4.已知等比数列满足：，则公比为（）A. B. C. －2 D. 25.已知向量，向量，若，则实数的值是（）A． B． C．4 D．6.已知中，则等于（）A、60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°7.当时，执行如右图所示的程序框图，输出的值为（）A．30 B．14 C．8 D．68.实数，满足不等式组，则目标函数的最小值是（）A． B． C． D．9.已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（）A．3 B．4 C． 5 D．610．设a>0，b>0，若是与的等比中项，则的最小值为()A．4 B．8 C．1 D. 1 411.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．12.(原创)函数，关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）13．计算：的值是____________.14．平面向量与的夹角为60°，，，则15. 不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为16．右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第列的数为.则表中的数52共出现次．三、解答题：(本大题共7个小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知等差数列满足=2，前3项和=.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足=，=，求前n项和.18. (本题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（Ⅰ）求频率分布图中的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.19．(本题满分12分)在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．20．(本题满分12分)已知函数()()=23sin cos sin 244πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x ．（1）求的最小正周期；（2）若将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：)，能使矩形广告牌面积最小？22. (本题满分12分)已知数列的前项和为,且点在函数上，且（） （1）求的通项公式；（2）数列 满足，求数列的前项和;（3）记数列的前项和为，设，证明：.巫山中学高xx 级高一下期期末考试文科数学答案一、 选择题:BDDBC BBCBA AD 二、填空题: 2 4 三、解答题17.（1）设的公差为，则由已知条件得化简得，解得故通项公式 。
高一下学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
数学（文科）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}()(){}2,1,0,1,2,|120A B x x x =--=-+<，则A B =A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}0,1,22.下列说法正确的是A.零向量没有方向B.单位向量都相等C.任何向量的模都是正实数D.共线向量又叫平行向量3.若,,,a b c d 是实数，则下列结论正确的是A.若a b >，则 22ac bc >B.若0a b <<，则 2a ab >C. 若a b <，则 11a b >D. 若0a b >>，则 b a a b> 4.若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=m n +=A. -2B.1C. 0D.-15.已知{}n a 是等差数列，其公差为-2，且7a 是39,a a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n ()n N *∈项和，则10S 的值为A. -110B. -90C. 90D. 1106.如图，就D ，C,B 三点在地面同一条直线上，从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别是45 和30 ，已知CD=200米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于A.B. )501米C. )1001米 D.200米 7.设变量,x y 满足约束条件2222x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为 A. 4 B. 2 C.83 D.1638.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益其功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（一匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思是：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加的量为 A. 12尺 B. 815尺 C. 1629尺 D. 1631尺 9.函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数()2sin 2g x x =的图象，只需要将()f x 的图象A. 向右平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D. 向左平移12π个单位长度10.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个点到直线:l y x b =+的距离为则b 的取值范围是A. ()2,2-B.[]2,2-C. []0,2D.[)2,2-11.若偶函数()f x 在区间(],0-∞上单调递减，且()30f =，则不等式()()10x f x ->的解集是A. ()(),11,-∞-+∞B. ()()3,13,-+∞C. ()(),33,-∞-+∞D. (]()3,13,-+∞12.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，0c <，且,,a b c 这三个数适当排列后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则22p q c b a +-的最小值等于二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()sin 300-= . 14.平面向量a 与b 的夹角为60 ，()2,0,1a b == ，则2a b += .15. 两圆相交于点()()1,3,,1A B m -，两圆的圆心均在直线0x y c -+=上，则m c +的值为 .16. 若不等式21x x a <-+在区间()3,3-上恒成立，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本题满分12分）已知函数()f x a b =⋅ ，其中()()2cos 2,cos ,1,.a x x b x x R ==∈ （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，()2,f A a ==sin 2sin B C =，求ABC ∆的面积.19.（本题满分12分）已知直线:10l ax y -+=与x 轴、y 轴分别交于A,B 两点.（1）若0a >，两点()()1,1,1,4M N -，且AM AN ⊥，求以AN 为直径的圆的方程；（2）若a =，以线段AB 为边在第一象限作等边三角形ABC ，且点()1,02P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭满足ABC ∆与ABP ∆的面积相等，求m 的值.20.（本题满分12分）孝感市天王玩具厂每天计划生茶卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需要5分钟，生产一个骑兵需要7分钟，生产一个伞兵需要4分钟，已知总生产时间不超过10个小时，若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.（1）试问每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？21.（本题满分12分）已知圆C 的圆心在直线310x y +-=上，且x 轴、y 轴被圆C 截得的弦长分别为C 位于第四象限.（1）求圆C 的方程；（2）设轴被圆C 截得的弦AB 的中点为N,动点P 在圆C 内且P 的坐标满足关系式()22512x y --=，求PA PB ⋅ 的取值范围.22.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足2n a n n =+，设122111.n n n n b a a a ++=+++ （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若对任意的正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>成立，求实数t 的取值范围.。
2021年高一下学期期末考试数学(文)试题 含答案
俯视图主视图 左视图 2021年高一下学期期末考试数学（文）试题 含答案分值150分 时量120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置． 1．已知集合，集合,则( B )A ．B ．C ．D ．2．函数的图象过定点（ D ）A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1,1)3.如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是 边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm ），则此几何体的侧面积是( C )A. B.C. 8D. 144．用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，则下一个有根区间是（B ）A ．B ．C ．D ．5第天1 2 3 4 5 被感染的计算机数量（台）12244995190则下列函数模型中能较好地反映在第天被感染的数量与之间的关系的是( C )A ．B ．C ．D ．6．根据右边程序框图，当输入10时，输出的是 （ C ）A ．12B ．19C ．14．1D ．307．已知=（1，2），＝（-2，0），且与垂直，则k =(C )A ．B ．C ．D ．8．将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到图象的解析式为（B ）A ．B ．C ．D ． 9．下列命题中错误的是（B ）A ．如果，那么内一定存在直线平行于平面B ．如果，那么内所有直线都垂直于平面C ．如果平面不垂直平面，那么内一定不存在直线垂直于平面D ．如果，，，那么10．若圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心到直线x ﹣y+a=0的距离为，则a 的值为（C ） A ．﹣2或2 B ．或 C ．2或0 D ．﹣2或0 11．已知幂函数的图象经过点，且，则实数的取值范围是（D ） A ． B ． C ． D ．12．的三个内角为，若关于的方程有一根为1， 则一定是（A ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．13．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝________.2014．在中，，，，则的面积为_________.15．已知矩形中，AB ＝2，BC ＝1，在矩形内随机取一点,则 的概率为 ． 16．已知函数，若关于x 的方程f （x ）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k 的取值范围是 ．[0，1）∪（2，+∞）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集为实数集，集合，. （1）求集合及；（2）若,，求实数的取值范围. 17．解：（1）…………………………………………………………2分…………………………………………………5分 （2）………………………………………...7分……………………………………………….10分18．（本小题满分12分） 已知,.（1）求的值； （2）求的值. 解：（1）………………………………3分……………………………………….………………6分（2）原式 ………………………………………………………9分 ………………………………………………………..12分 19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面，且底面ABCD 是边长为2的正方形，M 、N 分别为PB 、PC 的中点．（Ⅰ）证明：MN //平面PAD ；（Ⅱ）若PA 与平面ABCD 所成的角为，求四棱锥P -ABCD 的体积V ．（Ⅰ）证明：因为M 、N 分别是棱PB 、PC 中点，所以MN //BC ，又 ABCD 是正方形，所以AD // BC ，于是MN //AD ． 3分 6分（Ⅱ）由，知PA 与平面ABCD 所成的角为，∴ 9分 在中，知， (第19题图)A B CD PMND CBA 故四棱锥P-ABCD 的体积． 12分20．（本小题满分12分） 已知向量与的夹角为30°，且=，=1 （1）求；（2）求的值；（3）如图，设向量求向量在方向上的投影. 解：（1）;……………….……………………4分（2）()222-b =b =2b+b =33+1=1a a a a --⋅-; …………………………8分（3）22222p q b 1===q 33+1b 2b+ba a a ⋅----⋅（）. …….………………12分 21．（本小题满分12分）已知以点C 为圆心的圆经过点A （﹣1，0）和B （3，4），且圆心在直线x+3y ﹣15=0上． （1）求圆C 的方程；（2）设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值． 解：（1）依题意，所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x+3y ﹣15=0的交点， ∵AB 中点为（1，2）斜率为1，∴AB 垂直平分线方程为y ﹣2=（x ﹣1）即y=﹣x+3…（2分） 联立，解得，即圆心（﹣3，6）， 半径…（6分）∴所求圆方程为（x+3）2+（y ﹣6）2=40…（7分） （2），…（8分）圆心到AB 的距离为…（9分）∵P 到AB 距离的最大值为…（11分） ∴△PAB 面积的最大值为…（12分 22．（本小题满分12分） 已知函数的部分图象如下图所示. （1）求函数的解析式； （2）当，，若，求的值； （3）若且方程在上有解，求实数的取值范围.（1）由图知, （解法只要合理，均可给分）…………………………….…1分, …………………………………….…2分()()2sin 2,2,22sin 2+66f x x f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=+∴=∴=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……….…3分; .………………………………………………….…4分 （2） …………………………….….…6分; ………………………….…………8分（3）2sin 212cos 20062x x a ππ⎛⎫⎡⎤+---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在，上有解,（第22题图）y=a y=2sin 2+12cos 26x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭等价于函数和的图象有交点, ….…………9分y=sin 2+12cos 2=2sin 2cos +cos 2sin 12cos 2666x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2, …………………………..….…10分[]510,2sin(2)1y 2,1266662x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈-∈--∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，，，，, ..….…11分 . …………………...…………………………………………..12分22025 5609 嘉28723 7033 瀳31848 7C68 籨39077 98A5 颥27383 6AF7 櫷p23980 5DAC 嶬-p26213 6665 晥_21217 52E1 勡38099 94D3 铓38184 9528 锨Z。
高一文科数学下学期期末考试题(含参考答案)
13. 图 （ 3 ） 是 甲 ， 乙 两 名 同 学 5 次综合测评成绩的
9 8 2 0 1
图（ 3 ）
的中位数是
，甲乙两人中成绩较为稳定的是
.
14．若锐角 α 、β满足 (1 ＋ 3tan α )(1 ＋ 3tan β ) ＝ 4，则 α ＋β ＝ ________. 15.若函数 f(x)＝ xln( x ＋ a＋ x ) 为偶函数，则
2
a＝ ________
16. 设直线系 M : x cos
y 2 sin
10
2
，下列说法正确的个数为
.
① M中所有直线均经过一个定点； ③存在一个圆与所有直线不相交；
②存在定点 P 不在 M中的任意一条直线上； ④存在一个圆与所有直线相交； n n 3 ，存在正 n 边形，其
⑤ M中的直线所能围成的正三角形面积都相等；⑥对于任意整数 所有边均在 M中的直线上 .
C.
3 4 , 5 5
D.
4.某公路设计院有工程师
6 人，技术员 12 人， 技工 18 人，要从这些人中抽取
术大会 .如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加 统抽样时，需要在总体中先剔除 A． 8 B ．7 C ．6 D ．5 ) 1 个个体，则 n.= （ ）
1 π ∈ (－ ， 0) ，则 tan(2 π －α ) 的值为 ( 5．已知 sin( － πα ) ＝ log 8 ，且 α 4 2 A ．－ 2 5 5 B. 2 5 5 2 5 C． ± 5 D. 5 2
析研究，他们分别记录了 得到如下资料：
3
日 温差 发芽数
期 C） x（ °
12 月 1 日 10 23
高一数学下学期期末考试试题文含解析试题 2
2021-2021学年度第二学期期终考试高一〔文科〕数学试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.10sin 3π⎛⎫-⎪⎝⎭的值等于( )A.2B. C.12D. 12-【答案】A 【解析】10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭=2πsin 3= ,选A.ABC ∆中，2CD BD =-，且(,)AD x AB y AC x y R =+∈，那么x y -的值是〔 〕A.12B. 12-C.13D. 13-【答案】C 【解析】 【分析】先确定D 位置，根据向量的三角形法那么，将AD 用AB ，AC 表示出来得到答案. 【详解】12=3CD BD BD BC =-⇒ 1121()+3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=211,333x y x y ==⇒-=故答案选C【点睛】此题考察了向量的加减，没有注意向量方向是容易犯的错误.3. 某单位一共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为理解职工身体状况，现采用分层抽样方法进展调查，在抽取的样本中有青年职工32人，那么该样本中的老年职工人数为( )A. 9B. 18C. 27D. 36【答案】B【解析】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，那么中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工一共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是321 1605=用分层抽样的比例应抽取15×90=18人．应选B．考点：分层抽样点评：此题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或者与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过4.计算：222cos1tan sin44αππαα-⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果为〔〕A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B 【解析】 【分析】利用恒等变换公式化简得之答案. 【详解】2222cos 1cos 2cos 2cos 222sin(2)tan sin sin sin cos 244444cos 4cos 4ααααππππππααααααπαπα-====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭故答案选B【点睛】此题考察了三角恒等变换，意在考察学生的计算才能.,,a b c 满足：1a b ⋅=-，0a c ⋅=，||1a =，假设(,)c ma nb m n R =+∈，那么mn的值是〔 〕 A. 12-B.12C. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】将(,)c ma nb m n R =+∈代入0a c ⋅=，化简得到答案. 【详解】2(0)cma nb a c a ma n a b m n m n b ma n =+⇒⋅=⋅+=⋅=-=⇒+=1mn= 故答案选C【点睛】此题考察了向量的运算，意在考察学生的计算才能.6.假设某程序框图如下图,那么该程序运行后输出的值是〔 〕A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图依次计算得到12,16,23,34,42,5n i n i n i n i n i ========== 完毕 故答案为C【点睛】此题考察了程序框图，意在考察学生对于程序框图的理解才能和计算才能.()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的间隔 为1,那么函数tan y x ω=图象的对称中心为〔 〕A. ,0,2k k Z ⎛⎫∈⎪⎝⎭B. (,0),k k Z ∈C. ,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭D.(,0),k k Z π∈【答案】A 【解析】 【分析】先计算周期得到1T ωπ=⇒=，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案.【详解】直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的间隔 为1 那么t n 1a y T x ωππ=⇒=⇒=tan y x π=的对称中心横坐标为：()22k kx x k Z ππ=⇒=∈ 对称中心为,0,2k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案选A【点睛】此题考察了函数的周期，对称中心，意在考察学生综合应用才能.9,10,11,,x y 的平均数是10，方差是2，那么xy 的值是〔 〕A. 88B. 96C. 108D. 110【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式列方程组，得出x y +和22xy +的值，再由()()2222x y x y xy +-+=可求得xy 的值。
山西省2019-2020学年高一下学期期末考试数学(文科)试题 (含解析)
A．
B．
C．
D．
3．向图中随机投点，点投在阴影部分的概率是（ ）（其中 D 为边 BC 靠近点 B 的三等
分点）
A．
B．
C．
D．
4．已知 a＜0＜b＜1，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a＞ab＞ab2 B．ab＞ab2＞a
C．ab＞a＞ab2
D．ab2＞ab＞a
5．已知角 α 的终边过点（m，﹣2），若 tan（π+α）＝ ，则 m＝（ ）
21．已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求方程 f（x）＝﹣ 在区间[0，4]内的所有实数根之和．
22．已知等比数列{an}的公比 q＞1，且 a3+a5＝40，a4＝16． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn＝ ，Sn 是数列{bn}的前 n 项和，对任意正整数 n 不等式 Sn+ ＞（﹣1）n•a 恒成立，求 a 的取值范围．
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出 k 的结果是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．已知样本 9，10，11，m，n 的平均数是 9，方差是 2，则 mn﹣m﹣n＝（ ）
A．41
B．29
C．55
D．45
10．在公比 q 为整数的等比数列{an}中，Sn 是数列{an}的前 n 项和，若 a1+a4＝18，a2+a3＝
A．﹣
B．
C．﹣10
D．10
6．已知向量 ＝（ ，0）， ＝（x，﹣2），且 ⊥（ ﹣2 ），则 x＝（ ）
A．﹣
B．﹣
2019-2020学年山西省高一(下)期末数学试卷(文科)及答案
2019-2020学年山西省高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是目要求的．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（）A．{4}B．{3}C．{1，3，4}D．{3，4}2．（5分）在四边形ABCD中，﹣﹣＝（）A．B．C．D．3．（5分）向图中随机投点，点投在阴影部分的概率是（）（其中D为边BC靠近点B 的三等分点）A．B．C．D．4．（5分）已知a＜0＜b＜1，那么下列不等式成立的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞ab2＞a C．ab＞a＞ab2D．ab2＞ab＞a 5．（5分）已知角α的终边过点（m，﹣2），若tan（π+α）＝，则m＝（）A．﹣B．C．﹣10D．106．（5分）已知向量＝（，0），＝（x，﹣2），且⊥（﹣2），则x＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（+），则（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）的最小正周期为πC．f（x﹣）为奇函数D．f（x）的图象关于直线x＝对称8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出k的结果是（）A．2B．3C．4D．59．（5分）已知样本9，10，11，m，n的平均数是9，方差是2，则mn﹣m﹣n＝（）A．41B．29C．55D．4510．（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，则下列说法错误的是（）A．q＝2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωπx）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值1和一个最小值﹣1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．≤ω＜1 12．（5分）已知a∈R，函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值是3，则a的取值范围是（）A．[1，3]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，1]D．[0，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不等式x2﹣3x﹣4≥0的解集为．14．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））的值是．15．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝在R上存在最小值，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知．（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝＝．（1）求C；（2）若b＝+，求△ABC的周长．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．20．（12分）某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在90cm～150cm 之间），将他们的身高（单位：cm）分成：[90，100），[100，110），[110，120），…，[140，150]六组，得到如图所示的部分频率分布直方图．已知身高属于[100，110）内与[110，120）内的频数之和等于身高属于[120，130）内的频数．（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；（2）求身高处于[120，130）内与[110，120）内的频率之差；（3）用分层抽样的方法从身高不低于130cm的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的概率．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）求方程f（x）＝﹣在区间[0，4]内的所有实数根之和．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a5＝40，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式S n+＞（﹣1）n•a恒成立，求a的取值范围．2019-2020学年山西省高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是目要求的．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（）A．{4}B．{3}C．{1，3，4}D．{3，4}【分析】根据集合的并集和补集的定义进行计算即可．【解答】解：∵集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}，∵全集U＝{1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）＝{4}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）在四边形ABCD中，﹣﹣＝（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，再由向量减法的三角形法则求解．【解答】解：如图，∵﹣＝，∴﹣﹣＝．故选：D．【点评】本题考查向量减法的三角形法则，是基础题．3．（5分）向图中随机投点，点投在阴影部分的概率是（）（其中D为边BC靠近点B 的三等分点）A．B．C．D．【分析】向图中随机投点，点投在阴影部分的概率是P＝，由此能求出结果．【解答】解：设△ABC的高为h，∵D为边BC靠近点B的三等分点，∴向图中随机投点，点投在阴影部分的概率是：P＝＝＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）已知a＜0＜b＜1，那么下列不等式成立的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞ab2＞a C．ab＞a＞ab2D．ab2＞ab＞a 【分析】根据a＜0＜b＜1，取a＝﹣2，b＝，即可排除错误选项．【解答】解：根据a＜0＜b＜1，取a＝﹣2，b＝，则可排除ABC．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5．（5分）已知角α的终边过点（m，﹣2），若tan（π+α）＝，则m＝（）A．﹣B．C．﹣10D．10【分析】由任意角三角函数的定义推导出tanα＝﹣，由诱导公式推导出tan（π+α）＝tanα＝，由此能求出m．【解答】解：∵角α的终边过点（m，﹣2），∴tanα＝﹣，∵tan（π+α）＝tanα＝，∴﹣，解得m＝﹣10．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查任意角三角函数的定义、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）已知向量＝（，0），＝（x，﹣2），且⊥（﹣2），则x＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据题意，由数量积的坐标计算公式可得﹣2＝（﹣2x，4），进而由向量垂直与向量数量积的关系可得•（﹣2）＝（﹣2x）+0×4＝0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量＝（，0），＝（x，﹣2），则﹣2＝（﹣2x，4），若⊥（﹣2），则•（﹣2）＝（﹣2x）+0×4＝0，解可得x＝；故选：D．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（+），则（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）的最小正周期为πC．f（x﹣）为奇函数D．f（x）的图象关于直线x＝对称【分析】先将看成一个整体，结合y＝sin x的性质，对A，C，D选项做出判断，然后套用周期公式对B选项进行判断．【解答】解：因为，所以sin（+），故A错误；周期，故B错误；令g（x）＝f（）＝，此时，故C错误；f＝，取得f（x）的最小值，故是f（x）的对称轴，故D正确．故选：D．【点评】结合函数f（x）＝A sin（ωx+θ）的最值与对称轴，零点与对称中心，奇偶性之间的关系，以及公式法研究周期是此类问题的常规路子．属于中档题．8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出k的结果是（）A．2B．3C．4D．5【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝0，S＝0满足条件S≤128，执行循环体，S＝1，k＝1满足条件S≤128，执行循环体，S＝1+21＝3，k＝2满足条件S≤128，执行循环体，S＝3+23＝11，k＝3满足条件S≤128，执行循环体，S＝11+211＝2059，k＝4此时，不满足条件S≤128，退出循环，输出k的值为4．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．（5分）已知样本9，10，11，m，n的平均数是9，方差是2，则mn﹣m﹣n＝（）A．41B．29C．55D．45【分析】根据平均数与方差的定义，求出m与n的值，即可得出mn﹣m﹣n的值．【解答】解：∵9，10，11，m，n的平均数是9，∴（9+10+11+m+n）＝9×5，即m+n＝15①；又∵方差是2，∴[（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2+（m﹣9）2+（n﹣9）2]＝2，即（m﹣9）2+（n﹣9）2＝5②；由①②联立，解得或；∴mn﹣m﹣n＝41．故选：A．【点评】本题考查了数据的平均数与方差的应用问题，解题时应根据平均数与方差的计算公式进行解答，是基础题．10．（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，则下列说法错误的是（）A．q＝2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列【分析】先由题设条件求得等比数列中的基本量，然后逐项检验排除，选出答案．【解答】解：由题设条件知：，解得：或．∵q为整数，∴，故选项A说法正确；∵S＝2n+1﹣2，∴S n+2＝2n+1．∴，∴数列{S n+2}是等比数列，故选项B说法正确；又S8＝29﹣2＝510，故选项C说法正确；故选：D．【点评】本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωπx）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值1和一个最小值﹣1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．≤ω＜1【分析】根据三角函数的性质得到≤2且＞2，解出即可．【解答】解：由于f（x）＝sin（ωπx）在当x＞0时，第一个最大值出现在ωπx＝，第一个最小值出现在ωπx＝，第二个最大值出现在ωπx＝，由于函数f（x）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，也就是≤2且＞2，解得：ω≥且ω＜，故ω的取值范围是[，）．故选：C．【点评】本题主要考查研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题．12．（5分）已知a∈R，函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值是3，则a的取值范围是（）A．[1，3]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，1]D．[0，1]【分析】根据二次函数y＝f（x）＝x2﹣4x+3﹣a的对称轴，可得函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值只可能是f（0），f（4），f（2）中的某一个值，（其中f（0）＝f（4）），分类讨论即可．【解答】解：根据二次函数y＝f（x）＝x2﹣4x+3﹣a的对称轴x＝2，可得函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值只可能是f（0），f（4），f（2）中的某一个值，其中f（0）＝f（4）＝|3﹣a|+a，f（2）＝|1+a|+a，当|3﹣a|+a≥|1+a|+a时，|3﹣a|+a＝3，解得a≤1．当|3﹣a|+a＜|1+a|+a时，|1+a|+a＝3，a∈∅．综上，则a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：C．【点评】本题考查了函数得最值，考查了分类讨论思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不等式x2﹣3x﹣4≥0的解集为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）≥0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4≥0可化为（x﹣4）（x+1）≥0，解得x≥4或x≤﹣1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））的值是．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可．【解答】解：由分段函数可得f（）＝，∴f（f（））＝，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数直接代入即可得到结论．15．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为25．【分析】因为＝（）×1＝（）×（a+b）＝16+++1＝17++，由基本不等式，即可得出答案．【解答】解：＝（）×1＝（）×（a+b）＝16+++1＝17++因为a＞0，b＞0，所以+≥2＝8，（当且仅当即b＝，a＝时，取等号）所以17++≥25，所以，+的最小值为25，故答案为：25．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝在R上存在最小值，则m的取值范围是（﹣∞，0]．．【分析】利用函数的单调性，分别求出两段的值域即可．【解答】解：函数y＝log2（﹣x+5）在（﹣∞，1]单调递减，即可得x≤1时，f（x）≥f（1）＝2．当x＞1时，f（x）＞2﹣n．要使函数f（x）＝在R上存在最小值，只需2﹣m≥2，即m≤0．【点评】本题考查了分段函数得值域，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知．（1）求的值；（2）求的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式即可求解；（2）利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：（1）因为，所以，所以‘所以．（2）＝＝＝．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝＝．（1）求C；（2）若b＝+，求△ABC的周长．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求tan A＝1，结合范围A∈（0，π），可求A＝，进而可求sin C＝，结合c＜a，可得C为锐角，可求C的值．（2）由（1）及三角形的内角和定理可求B，由正弦定理可求得a，c的值，即可求解△ABC的周长．【解答】解：（1）∵＝＝，∴sin A＝cos A，可得tan A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝，∴sin C＝cos＝，∵c＜a，C为锐角，∴C＝．（2）∵由（1）可得B＝π﹣A﹣C＝，又∵b＝+，∴由正弦定理＝＝，可得a＝•sin＝2，c ＝•sin＝2，∴△ABC的周长L＝a+b+c＝22++＝+3+2．【点评】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）设公差为d，通过a1，a2，a4成等比数列，求出公差，然后求解通项公式．（2）化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和．【解答】解：（1）设公差为d，因为a1，a2，a4成等比数列，所以，即（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2，或d＝0（舍去），所以a n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）由（1）知，所以，，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列的通项公式数列求和，裂项法的应用，考查计算能力．20．（12分）某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在90cm～150cm 之间），将他们的身高（单位：cm）分成：[90，100），[100，110），[110，120），…，[140，150]六组，得到如图所示的部分频率分布直方图．已知身高属于[100，110）内与[110，120）内的频数之和等于身高属于[120，130）内的频数．（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；（2）求身高处于[120，130）内与[110，120）内的频率之差；（3）用分层抽样的方法从身高不低于130cm的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的概率．【分析】（1）根据频率和为1求出频率分布直方图中未画出的小矩形的频率和，即为面积和；（2）分别求出身高处于[120，130）与[11，120）内的频率值，再求它们的差；（3）用分层抽样法抽取样本，由题意知随机变量X的可能取值，在计算概率分布及数学期望值．【解答】解：（1）因为身高在[110，130）内的频率为1﹣（0.010+0.015+0.025+0.005）×10＝0.45；求小矩形的面积等于×组距＝频率，所以所给频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和为0.45；（2）设第3组[110，120）与第4组[120，130）的频率分别为a、b，由第2组[100，110）与第3组[110，120）的频数之和等于第4组[120，130）的频数，所以第2组与第3组的频率之和等于第4组的频率，列方程组得，解得a＝0.15，b＝0.30；所以成绩处在第3组[110，120）的频率为0.15，处在第4组[120，130）的频率为0.30；成绩处在第3组[110，120）与第4组[120，130）之间的频率之差为0.3﹣0.15＝0.15；（3）由题意得，身高在[130，140）的人数为100×0.25＝25人，在[140，150）内的人数为100×0.05＝5人；用分层抽样的方法从这100人中身高不小于130cm的儿童中抽取一个容量为6的样本，所以需要在[130，140）内抽取6×＝5人，在[140，150）内抽取1人，这3人中恰好有一人身高不低于140cm的概率：．故答案为：（1）未画出的小矩形的面积之和为0.45．（2）频率之差为0.3﹣0.15＝0.15．（3）3人中恰好有一人身高不低于140cm的概率：【点评】本题考查了频率分布直方图以及离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）求方程f（x）＝﹣在区间[0，4]内的所有实数根之和．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得方程f（x）＝﹣在区间[0，4]内的所有实数根之和．【解答】解：（1）根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A＝2，＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图可得π•+φ＝，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（πx+）．（2）由方程f（x）＝﹣，求得sin（πx+）＝﹣，f（x）的周期为＝2，故区间[0，4]包含函数的2个周期．在区间[0，4]上，πx+∈[，4π+]，故方程f（x）＝﹣在区间[0，4]内的有2个实数根有4个，设这4个根从小到大分别为：x1，x2，x3，x4，则x1与x4关于直线πx+＝对称，x2与x3关于直线πx+＝对称，故有＝，＝，∴x1+x4＝，x2+x3＝，∴方程f（x）＝﹣在区间[0，4]内的所有实数根之和为：x1+x2+x3+x4＝．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a5＝40，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式S n+＞（﹣1）n•a恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）首先利用已知条件建立方程组，进一步求得公比q和a3，求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用分类讨论思想和利用函数的单调性及恒成立问题，进一步求出参数a的取值范围．【解答】解：（1）设公比为q的等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a5＝40，a4＝16．则：，整理得：，解得：q＝2，a3＝8，所以：，（2）由于：，所以：b n＝＝，①，①，②，①﹣②得：，所以：，＝，＝2．所以：＝＞（﹣1）n•a，由于f（n）＝单调递增，故：当n为奇数时，f（1）＝1为最小值，所以：﹣a＜1，则：a＞﹣1，当n为偶数时，f（2）＝为最小值．所以：．所以：a的取值范围为（﹣1，）．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，利用函数的恒成立问题求出参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．。
高一数学下学期期末考试试题文含解析3
卜人入州八九几市潮王学校2021年第二学期高一年级期末考试试卷数学〔文科〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.(2,3)A ，(3,2)B --，那么直线AB 的斜率是〔〕A.1B.-1C.5D.-5【答案】A 【解析】 【分析】由23k 32AB--=--,即可得出结果. 【详解】直线AB 的斜率23132k --==--.【点睛】此题主要考察直线的斜率，属于根底题型.a ，b ，c ∈R ，且a b >，那么以下不等式一定成立的是〔〕A.a c b c +>-B.22acbc>C.20c a b>-D.2()0a b c-【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.a c +与b c -的大小不确定，所以该选项错误； B.22222()0,acbc a b c ac bc =≥≥-∴-,所以该选项错误；C.20c a b-,所以该选项错误； D.2()0a b c -,所以该选项正确.应选：D【点睛】此题主要考察实数大小的比较，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设3A π=，4B π=，a=，那么b =〔〕 A.3 B.2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求解.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B=，所以sin sin 4sin sin3a Bb Aππ⋅===应选：C【点睛】此题主要考察正弦定理解三角形，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.:10m x y +-=被圆22:240M x y x y +--=截得的弦长为〔〕A.4B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先由圆的一般方程写出圆心坐标()1,2，再由点到直线的间隔公式求出圆心到直线m 的间隔d ，那么弦长等于.【详解】∵22240xy x y +--=，∴()()22125x y -+-=，∴圆M 的圆心坐标为()1,2，半径为()1,2到直线10x y +-=的间隔d ==m 被圆M 截得的弦长等于=【点睛】此题主要考察圆的弦长公式的求法，常用方法有代数法和几何法；属于根底题型. 5.假设某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积是〔〕A.13B.32C.34D.3【答案】B 【解析】 【分析】先由三视图判断该几何体为底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式即可求出结果.【详解】据三视图分析知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1，所以该几何体的体积13122V =⨯=.【点睛】此题主要考察几何体的三视图，由三视图求几何体的体积，属于根底题型. 6.如图，假设长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，那么该长方体中线段1BD 的长是〔〕B.C.28D.【答案】A 【解析】 【分析】由长方体的三个面对面积先求出同一点出发的三条棱长，即可求出结果. 【详解】设长方体1111ABCD A B C D -从一个顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，且2ab =，3ac =，6bc =，那么1a =，2b =，3c =，所以长方体1111ABCD A B C D -中线段1BD 的长等=【点睛】此题主要考察简单几何体的构造特征，属于根底题型.221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相切，那么实数m =〔〕A.9B.-11C.-11或者-9D.9或者-11【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论两圆内切或者外切，圆心距和半径之间的关系即可得出结果.【详解】圆1C 的圆心坐标为()0,0，半径11r =；圆2C 的圆心坐标为()3,4，半径2r =论：当圆1C 与圆2C 1=+，所以9m =；当圆1C 与圆2C 内1=，所以11m =-，综上，9m =或者11m =-.【点睛】此题主要考察圆与圆位置关系，由两圆相切求参数的值，属于根底题型. 8.,m n 为两条不同的直线，,αβ ①假设m α⊥，m β⊥，那么//αβ；②假设//m α，//m β，那么//αβ；③假设m α⊥，//m β，那么αβ⊥；④假设//m α，//n β，//αβ，那么//m n 〕A.②③B.①③C.②④D.①④【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的断定与性质即可答题.【详解】垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或者平行，故②错；假设//m α，//n β，//αβ，那么//m n 或者m 与n 为异面直线或者m 与n 为相交直线，故④错；假设//m β，那么存在过直线m 的平面r ，平面r 交平面β于直线l ，//l m ，又因为m α⊥，所以lα⊥，又因为l ⊂平面β，所以βα⊥，故③对.应选B.【点睛】此题主要考察空间中，直线与平面平行或者垂直的断定与性质,以及平面与平面平行或者垂直的断定与性质，属于根底题型.x ，y 满足不等式组220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩那么z x y =-的最大值为〔〕A.5-B.2C.5D.7【答案】C 【解析】 【分析】利用线性规划数形结合分析解答.【详解】由约束条件220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩，作出可行域如图：由210y x y =-⎧⎨+-=⎩得A(3,-2).由zx y =-，化为y x z =-，由图可知，当直线y x z =-过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为5.应选：C .【点睛】此题主要考察利用线性规划求最值，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，42a =且满足()*212n n n a a a n N ++=-∈，假设510S a λ=，那么λ的值是〔〕A.13-B.3-C.12-D.2-【答案】D 【解析】 【分析】由递推关系可证得数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差2d =-；利用等差数列通项公式和前n 项和公式分别求得10a 和5S ，代入求得结果. 【详解】由()*212n n n a a a n N ++=-∈得：211n n n n a a a a +++-=-∴数列{}n a 为等差数列，设其公差为d18a =，42a =3286d ∴=-=-，解得：2d =- 101981810a a d ∴=+=-=-，515454020202S a d ⨯=+=-= 此题正确选项：D【点睛】此题考察等差数列根本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前n 项和公式的应用. 11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -，点P 在线段1BC 上运动，那么以下判断正确的选项是〔〕①平面1PB D ⊥平面1ACD②1//A P 平面1ACD③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦④三棱锥1D APC -的体积不变A.①②B.①②④C.③④D.①④【答案】B【分析】①连接DB 1，容易证明DB 1⊥面ACD 1，从而可以证明面面垂直；②连接A 1B ，A 1C 1容易证明平面BA 1C 1∥面ACD 1，从而由线面平行的定义可得； ③分析出A 1P 与AD 1所成角的范围，从而可以判断真假；④1A D PC V -=1A CD P V -，C 到面AD 1P 的间隔不变，且三角形AD 1P 的面积不变；【详解】对于①，连接DB 1，根据正方体的性质，有DB 1⊥面ACD 1，DB 1⊂平面PB 1D ，从而可以证明平面PB 1D⊥平面ACD 1，正确．②连接A 1B ，A 1C 1容易证明平面BA 1C 1∥面ACD 1，从而由线面平行的定义可得A 1P∥平面ACD 1，正确． ③当P 与线段BC 1的两端点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最小值3π， 当P 与线段BC 1的中点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最大值2π， 故A 1P 与AD 1所成角的范围是32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，错误； ④1A D PC V -=1A CD P V -，C 到面AD 1P 的间隔不变，且三角形AD 1P 的面积不变． ∴三棱锥A ﹣D 1PC 的体积不变，正确； ． 应选：B ．【点睛】此题考察空间点、线、面的位置关系，空间想象才能，中档题．111ABC A B C -的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，假设此三棱柱的顶点均在同一球面上，那么该球半径的最小值为〔〕A.1B.2【答案】D【分析】先证明棱柱为直棱柱，再求出棱柱外接球的半径，利用根本不等式求出其最小值. 【详解】∵三棱柱内接于球，∴棱柱各侧面均为平行四边形且内接于圆， 所以棱柱的侧棱都垂直底面， 所以该三棱柱为直三棱柱.设底面三角形的两条直角边长为a ，b ， ∵三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，∴1212ab ⋅=，即1ab =，将直三棱柱111ABC A B C -补成一个长方体， 那么直三棱柱111ABC A B C -与长方体有同一个外接球，所以球O 的半径为24222ab +=.应选：D【点睛】此题主要考察几何体外接球的半径的计算和根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.20x x a -->的解集为{|3x x >或者}2x <-，那么实数a =__________.【答案】6 【解析】 【分析】由题意可知2-，3为方程20x x a --=的两根，利用韦达定理即可求出a 的值.【详解】由题意可知2-，3为方程20x x a --=的两根，那么23a -⨯=-，即6a =.【点睛】此题主要考察一元二次不等式的解，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.(,)M a b 在直线:3425l x y +=__________.【答案】5 【解析】 【分析】(0,0)到点(,)a b 的间隔，再利用点到直线的间隔求解.(0,0)到点(,)a b 的间隔.又∵点(,)M a b 在直线:3425l x y +=上，(0,0)到直线34250x y +-=的间隔d ，且5d ==.【点睛】此题主要考察点到两点间的间隔和点到直线的间隔的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，那么使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2021|13T n﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，那么公比3q =，∴13n n a -=， 那么2122221333nn T -=++++11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6.【点睛】此题考察了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 16.ABC ∆中，3A B C +=，且sin cC=ABC ∆面积的最大值为__________. 【答案】1+【解析】 【分析】先利用正弦定理求出c=2,分析得到当点C在AB 的垂直平分线上时，AB 边上的高最大，ABC ∆的面积最大，利用余弦定理求出a =ABC ∆面积的最大值.【详解】由3A B C +=可得45C =︒，由正弦定理，得sin cC= 故sin 452c=︒=，当点C 在AB 的垂直平分线上时，AB 边上的高最大，ABC ∆的面积最大，此时a b =.由余弦定理知，2222cos c a b ab C=+-(224a ==，即a =故ABC∆面积的最大值为11sin (41222ab C =⨯+⨯=+故答案为：1【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于中档题.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.3()21f x x =-，()1g x x =-.〔1〕求解不等式()()f x g x ；〔2〕假设12x>，求3()2()y f x g x =+的最小值. 【答案】〔1〕122xx ⎧<⎨⎩或者12x ⎫-⎬⎭〔2〕5【解析】 【分析】〔1〕对x 分类讨论解不等式得解；〔2〕由题得3()2()f xg x +91211222x x ⎛⎫=+-- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，再利用根本不等式求函数的最小值. 【详解】解：〔1〕当12x>时，()()(21)(1)3f x g x x x ⇔--，解得122x <. 当12x <时，()()(21)(1)3f x g x x x ⇔--，解得12x -.所以不等式解集为122xx ⎧<⎨⎩或者12x ⎫-⎬⎭.〔2〕3()2()f xg x +91211222x x ⎛⎫=+-- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭2915-=， 当且仅当21492x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2x =时取等号.【点睛】此题主要考察分式不等式的解法，考察根本不等式求函数的最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，且CA CB =.〔1〕证明：BC ∥平面PDE ； 〔2〕假设平面PCD ⊥平面ABC ，证明：AB PC ⊥.【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕先证明||DE BC ，再证明BC ∥平面PDE ；〔2〕先证明AB ⊥平面PCD ，再证明AB PC ⊥.【详解】证明：〔1〕因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以||DE BC .又DE ⊂平面PDE ，BC ⊂/平面PDE ，所以BC ∥平面PDE . 〔2〕因为CA CB =，D 为AB 中点，所以AB CD ⊥.又平面PCD ⊥平面ABC .平面PCD 平面ABC CD =，所以AB ⊥平面PCD .又PC⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥.【点睛】此题主要考察空间几何元素位置关系的证明，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.()222:0O x y r r +=>与直线34150x y -+=相切〔1〕假设直线:25l y x =-+与圆O 交于,M N 两点，求;MN〔2〕()()9,0,1,0A B --，设P 为圆O 上任意一点，证明：PA PB为定值【答案】〔1〕4；〔2〕详见解析.【分析】〔1〕利用直线与圆相切dr =，结合点到直线间隔公式求出半径，从而得到圆的方程；根据直线被圆截得弦长的求解方法可求得结果；〔2〕设()00,Px y ，那么2209xy +=，利用两点间间隔公式表示出PA PB，化简可得结果.【详解】〔1〕由题意知，圆心O 到直线34150x y -+=的间隔：3d==圆O 与直线相切3r d ∴==∴圆O 方程为：229x y +=圆心O 到直线:25l y x =-+的间隔：d '==4MN ∴==，〔2〕证明：设()00,Px y ，那么22009x y +=即PA PB为定值3【点睛】此题考察直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、直线被圆截得弦长的求解、两点间间隔公式的应用、定值问题的求解.解决定值问题的关键是可以用变量表示出所求量，通过化简、消元整理出结果.20.如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，E ，F ，Q ，R ，H 分别是棱AB ，BC ，11A D ，11D C ，1DD 的中点.〔1〕求证：平面1BD F ⊥平面QRH；〔2〕求平面11AC FE 将正方体分成的两局部体积之比.【答案】〔1〕见解析〔2〕17:7 【解析】〔1〕先证明1BD ⊥平面QRH ，再证明平面1BD F⊥平面QRH；〔2〕连接1C E ，1C B ，那么截面11AC FE 右侧的几何体为四棱锥111C A B BE -和三棱锥1C BEF -，再求出每一局部的体积得解.【详解】〔1〕证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD .因为Q ，H 分别是11A D ，1DD 的中点，所以1QH AD ⊥.因为AB ⊥平面11ADD A ，QH ⊂平面11ADD A ，所以AB QH ⊥. 因为1ABAD A =，所以QH ⊥平面1ABD ，1BD ⊂平面1ABD ， 所以1QH BD ⊥，同理1RH BD ⊥，因为QH RH H =，所以1BD ⊥平面QRH，因为1BD ⊂平面1BD F ，所以平面1BD F ⊥平面QRH；〔2〕连接1C E ，1C B ，那么截面11AC FE 右侧的几何体为四棱锥111C A B BE -和三棱锥1C BEF -，设正方体棱长为1， 所以1111C A B BEC BEF V V --+111111133A B BE BEF S C B S CC ∆=⋅+⋅3211111711113223224⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯⋅+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以平面11AC FE 将正方体分成的两局部体积之比为771:17:72424⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题主要考察面面垂直关系的证明和几何体体积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于中档题.21.如图，在四边形ABCD 中，34ABCπ∠=，AB AD ⊥，AB =.〔1〕假设AC =ABC ∆的面积；〔2〕假设6ADC π∠=，CD =AD 的长.【答案】〔1〕12；〔2〕【分析】〔1〕由余弦定理求出BC ，由此能求出△ABC 的面积．〔2〕设∠BAC ＝θ，AC=x ，由正弦定理得sin sin 4xAB ABCπθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭从而1=sin 4x πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在ACD ∆中，由正弦定理得x ，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD ．再利用余弦定理可得结果. 【详解】〔1〕因为34ABC π∠=，AB =AC =所以2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即2230BC BC +-=，所以1BC =.所以111222ABCS=⨯=. 〔2〕设04BACπθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，AC x =，那么2CAD πθ∠=-，在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin 4xAB ABCπθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1sin 4x πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭； 在ACD ∆中，sinsin 62xCDππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以cos x θ=.即1cos sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得：1tan 2θ=，所以sin cos CAD θ∠==，所以AC x ===cos CAD ∠=， 所以在ACD ∆中，2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠.即2220AD --=，解得AD =或者AD =〔舍〕.【点睛】此题考察正、余弦定理在解三角形中的应用，考察了引入角的技巧方法，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线22y x =-上.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设()23log 2n nnS b a -+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕2n n a =〔2〕2n nnT =【解析】 【分析】〔1〕先由题意得到22n n S a =-，求出12a =，再由22n n S a =-，1122n n S a ++=-作出，得到数列{}n a 为等比数列，进而可求出其通项公式；〔2〕先由〔1〕得到22nnnb -=，再由错位相减法，即可求出结果. 【详解】解：〔1〕由题可得22n n S a =-.当1n =时，1122S a =-，即12a =.由题设22n n S a =-，1122n n S a ++=-，两式相减得12n na a +=. 所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2n na =.〔2〕由〔1〕可得122n n S +=-，所以()23log 222n n n nS nb a -+-==， 2310122222n n n T --=++++. 两边同乘以12得23411101222222n n nT +--=+++⋯+.上式右边错位相减得2311111121222222n n n nT +----⎛⎫-=++++- ⎪⎝⎭. 所以21111112222122212n n n nT +---⨯-=+--. 化简得2n n nT =.【点睛】此题主要考察求数列的通项公式，以及数列的前n 项和，熟记等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.。
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高一第二学期期末考试数学（文科）试题
（满分 150 分 考试时间 120 分钟）
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，共 60 分)
1．下列向量组中 , 可以把向量 a
3,2 表示出来的是（ ）
A ． e 1 0,0 ,e 2 1,2
B
． e 1 2, 3 , e 2 2,3 C ． e 1 3,5 , e 2
6,10
D
． e 1
1,2 , e 2
5, 2
2．已知平面向量 a (3,1) ， b ( x, 3) ，且 a b ，则 x （
）
A ． 3
B ．1
C ．1
D ．3
3．在△ ABC 中，若 b 2a sin B ，则 A 等于（
）
A ． 300或 600
B ．450或600
C ． 1200或 600
D ． 300 或150 0
4． 2
1与 2 1 ，两数的等比中项是（
）
A ． 1
B ．1
C ．1
D ．
1
2
5．设 a 1 b 1, 则下列不等式中恒成立的是
(
)
A ．
1 1
B ．
11
C
． a b 2
D ． a 2
2b
a
b
a b
6．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A ．平行 B
．相交 C ．异面 D
．以上都有可能
7．数列 a n 的通项公式 a n 1
，则该数列的前（
）项之和等于 9 。
n 1
n
A ．98
B ．99
C ．96 D
． 97
8. 一个球的内接正方体的表面积为 54, 则球的表面积为 ()
A.27 π
B.18π
C.19 π
D.54π
9. 若直线 (2a+5)x+(a-2)y+4=0 与 (2-a)x+(a+3)y-1=0 互相垂直 , 则 a 的值为
( )
A.2
B.-2
C.2,-2
D.2,0,-2
10. 5 ．在△ ABC 中，若 (a c)(a
c)
b(b c) ，则
A （ ）
A ． 900
B ．600
C ． 1200
D ．1500
11. 设 α , β 为不 重合 的平面 ,m,n
为不重合的直线, 则下 列命 题正确 的是
( )
A. 若α⊥β, α∩β=n,m⊥n, 则 m⊥α
B. 若 m? α,n ? β ,m∥n, 则α∥β
C. 若 m∥α ,n ∥β,m⊥n, 则α⊥β
D. 若 n⊥α ,n ⊥β,m⊥β, 则 m⊥α
12.一几何体的三视图如图所示 , 则该几何体的体积为 ()
A.200+9π
B.200+18π
C.140+9π
D.140+18π
二、填空题 ( 本大题共 4 小题，共 20.0 分)
13.设 x, y R且1
9 1 ,则 x y 的最小值为________. x y
14.已知直线 l1: y2x3,若 l 2与 l1关于y轴对称，则 l 2的方程为 __________;
15.若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°, 半径为 l 的扇形 , 则这个圆锥的表面积与侧面积之比是.
→→π
．16. 在△ ABC中，已知 AB·AC＝ tan A，当 A＝时，△ ABC的面积为
6
三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分 )
17. 直线 l 经过两直线 l 1 : 2x y 4 0与l 2 : x y 50
的交点，并且与直线 x 2y 60垂直
(1)求直线 l 的方程 .
(2) 若点 P(a,1) 到直线 l 的距离为 5 , 求实数 a 的值
18. 在ABC 中， a,b,c 分别是角 A, B, C 的对边，且3a sin B b cos A b ,
(1)求 A 的大小；
(2) 若b c 4 ，当a取最小值时，求ABC 的面积.
19.如图，在四棱锥 P-ABCD中， PC⊥平面 ABCD，
AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证： DC⊥平面 PAC；
（2）求证：平面 PAB⊥平面 PAC；
20.在△ ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a，b，c. 已知 b＋c＝2acos B.
(1) 证明： A＝2B；
2
(2) 若 cos B＝3，求 cos C的值．
21.. 如图，正三角形ABE与菱形 ABCD所在的
平面互相垂直， AB=2，∠ ABC=60°， M 是 AB
的中点， N是 CE的中点．
(1)求证： EM⊥AD；
(2)求证： MN∥平面 ADE；
22.设公比不为 1 的等比数列 { a n } 的前项和为 S n , 已知 S2是 a3和 S3的等差中项，
且 S4 a21 2
(1)求 a n ;
(2)已知等差数列 {b n } 的前项和 T n， b1 a3 ,T749，求1
11. b1 b2b2 b3
b
n
b
n 1
参考答案：
1-5 DCDCC
6-10 DBACC 11-12 DA
13. 16.
14.y=-2x+3. 15. 4:3
16.
1 3
17 ．
解 ：
18. (1) 由正弦定理得 3 sin Asin B
sin B cos A sin B 又
sin B
0 C
3 sin A cos A 1 即 sin A
1
A
6
2
3
（ 2） a
2
b
2
c
2
2bc cos A b
2
c
2
bc (b c)
2
3bc 16 3(
b
c ) 2 4 （当且
2
仅当 b c
2时等号成立）
a 的最小值为 2时, S ABC
1
bc sin A
3
2
19. （1）证明：∵ PC ⊥平面 ABCD ，DC? 平面 ABCD ， ∴ PC ⊥DC ，
∵ DC ⊥AC ，PC ∩ AC=C ， ∴ DC ⊥平面 PAC ；
（ 2）证明：∵ AB ∥DC ，DC ⊥ AC ， ∴ AB ⊥AC ，
∵ PC ⊥平面 ABCD ，AB? 平面 ABCD ， ∴ PC ⊥AB ，
∵PC∩AC=C，
∴ AB⊥平面 PAC，
∵AB? 平面 PAB，
∴平面 PAB⊥平面 PAC；
20.解：(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝ 2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin( A＋B) ＝ sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin( A－ B) ．
又A，B∈(0 ，π ) ，故 0＜A－B＜π ，所以 B＝π－( A－B) 或 B＝A－B，因此 A＝π ( 舍去 ) 或 A＝2B，所以 A＝ 2B.
(2) 由 cos B＝2
3得 sin B＝3
5
，cos 2B＝2cos2B－1＝－
1
9，故 cos A＝－
1
9， sin A
4 5C＝－A＋ B＝－AB＋A B＝22
＝9，cos cos()cos cos sin sin27
. 21.证明：（Ⅰ）∵ EA=EB， M是 AB的中点，∴ EM⊥AB，（ 1 分）∵
平面 ABE⊥平面 ABCD，平面 ABE∩平面 ABCD=AB，EM? 平面 ABE，
∴EM⊥平面 ABCD，（ 4 分）∵AD?平面ABCD，∴ EM⊥AD．（5分）（Ⅱ）取 DE的中点 F，连接 AF，NF，
∵N是 CE的中点．，∴ NF CD，∵M是AB的中点，∴ AM，∴NF AM，∴四边形 AMNF是平行四边形，（7 分）
∴MN∥AF，（ 8 分）
∵MN?平面 ADE， AF? 平面 ADE，∴ MN∥平面 ADE．（10 分）22.。