第一题.矩阵法,梯形法积分
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果定积分是微积分中重要的概念之一，表示在一个区间上函数的面积。
在计算定积分时，有时候我们无法通过解析方法求得精确的结果，这时候可以利用数值方法来进行近似计算。
常见的数值方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
本文将分别对这三种方法进行介绍并进行比较。
1.矩形法（矩形近似法）：矩形法是最简单的数值方法之一，它的基本思想是将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个矩形的面积，然后将这些矩形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
根据矩形法的计算公式可以得到：∫f(x)dx ≈ Δx·(f(x₁)+f(x₂)+...+f(xₙ))其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
2.梯形法（梯形近似法）：梯形法同样是利用近似的思想，将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个梯形的面积，然后将这些梯形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
梯形法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/2）·[f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+...+2f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
3.辛普森法（抛物线近似法）：辛普森法是一种基于三次多项式插值的数值积分方法，它通过将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个抛物线的面积，然后将这些抛物线的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
辛普森法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/3）·[f(x₀)+4f(x₁)+f(x₂)+4f(x₃)+...+4f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
例：计算函数f(x)=√(1+x²)在区间[0,1]上的定积分。
接下来，我们分别利用矩形法、梯形法和辛普森法对这个定积分进行近似计算，并比较计算结果。
1)矩形法：将区间[0,1]平均分为n个小区间，取xᵢ=i/n，其中i=0,1,2,...,n。
集中供热系统热负荷的概算和特征
第六章 集中供热系统的热负荷概述热负荷是大型集中供暖系统工程中十分重要的一个环节，它是工程设计方案是否可行作出基本保证，而在大型工程的前期准备中，概算是十分重要的。
应用广泛。
对实际工程而言，每个用户热负荷是实际计算，而对集中供热系统中的某用户的热负荷是采用概算或估算的方法计算。
第一节 集中供热系统热负荷的概算和特征集中供热系统热用户种类：供暖、通风、空调、热水供应和生产工艺等.特点：a ）前三者为季节性负荷，后两者为全年性负荷 B ）它们是供热规划和设计的最主要依据。
C ）在规划阶段，各类建筑仅有规模。
功能 数据不全，故通常采用概算指标计算方法来确认热负荷、一 供暖设计热负荷供暖设计热负荷在供热系统中所占比重很大，并可由两种热指标法进行计算，即，体积指标法和面积指标法进行计算、 1） 体积指标法3'(')10n v w nw Q q V t t -=-⨯ KW式中 'n Q ——建筑物的供暖设计热负荷，kw VW 建筑物的外围体积，M3 Tn 供暖室内计算温度 Tw 供暖室内计算温度Qv 建筑物的供暖体积热指标，其含义为各类建筑物，在室内外温差1℃时，每1m 3 建筑物外围体积的平均供暖热负荷。
Qv 的特征：a ）大小取决于围护结构与外形B ）来源：已有建筑计算数据统计与实测所汇总的手册( 注：应用不多) 2） 面积热指标法 3'10n f Q q F -=⨯ 建筑物供暖设计热负荷 建筑物的建筑面积 建筑物供暖面积热指标含义：每1m 3 建筑面积的平均供暖设计热负荷 Qf 的特征：a ） 大小取决于围护结构与外形和功能 B ）来源已完成设计数据与实测 C ）应用广泛（见附录6-1，讲解） 3）城市规划指标法以人为本→人均建筑面积→各类建筑比例→各类建筑面积→总规划热指标或者以土地面积→建筑面积→各类建筑比例→综合热指标→总热负荷。
应用：用来作近期或远期规划热负荷用。
matlab实验报告--定积分的近似计算
abs((inum2-integrate)/integrate))
fprintf('the relative error between inum3 and real-value is about: %g\n\n',...
abs((inum3-integrate)/integrate)) 【调试结果】
○2 使用函数 quad()
quad('sin(x)./x',0,inf) 【调试结果】 ans =
NaN
○3 程序法
%矩阵法
format long
n=inf;a=0;b=inf;
syms x fx
fx=sin(x)./x;
i=1:n;
xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n;
实验目的：
本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定 积分的近似数值计算，Matlab 有专门函数可用。
实验原理与数学模型：
1． 矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即
在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计 算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．
【调试结果】
inum =
0.78539816339745
the relative error between inum and real-value is about: 2.82716e-016
【情况记录】
1、梯形法和抛物线法程序设计较为顺利。但要注意使用 for 循环函数和求和函数时
的不同 matlab 命令，避免混淆出错。使用函数 trapz()，quad()时要注意被积函数是数 值形式，应使用数组计算，应用点除即 ./ ，否则将出错，不能调试出结果。
c++ 矩形法 梯形法 抛物线法求定积分
c++ 矩形法梯形法抛物线法求定积分矩形法、梯形法和抛物线法都是数值积分的常见方法，用于计算定积分的近似值。
矩形法（Rectangle Method）是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间等分为若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为整个区间上的定积分的近似值。
矩形法有两种常见的计算方式：左矩形法和右矩形法。
左矩形法（Left Rectangle Method）在每个子区间上选择区间左端点的函数值来计算小矩形的面积。
具体计算方法如下：```def left_rectangle(f, a, b, n):h = (b - a) / n # 子区间的宽度result = 0for i in range(n):x = a + i * h # 子区间的左端点result += f(x) * h # 计算小矩形的面积并累加return result```右矩形法（Right Rectangle Method）则选择区间右端点的函数值计算小矩形的面积：```def right_rectangle(f, a, b, n):h = (b - a) / n # 子区间的宽度result = 0for i in range(1, n + 1):x = a + i * h # 子区间的右端点result += f(x) * h # 计算小矩形的面积并累加return result```梯形法（Trapezoid Method）是一种稍微复杂一些的数值积分方法，它通过用梯形来逼近曲线下面积来计算定积分的近似值。
具体计算方法如下：```def trapezoid(f, a, b, n):h = (b - a) / n # 子区间的宽度result = (f(a) + f(b)) / 2 # 首先加上首尾两个端点的函数值for i in range(1, n):x = a + i * h # 子区间的点result += f(x) # 加上子区间内的函数值result *= h # 乘以子区间宽度return result```抛物线法（Parabolic Method）则采用二次插值的方式来逼近曲线下面积，计算定积分的近似值。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods.Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid1. 引言在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:(1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ⎰-102, ⎰10sin dx xx等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。
数值分析笔记
第一章1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。
ε*=|e*|叫做近似值的误差限，e ∗x=x ∗−x x为相对误差，εr∗=ε∗|x ∗| 为相对误差限。
2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.ε(x 1∗±x 2∗)≤ ε(x 1∗)+ε(x 2∗) ε(x 1∗·x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗) ε(x 1∗/x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗)|x 2∗|24.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。
T1. 已测得某场地长Ɩ的值为Ɩ*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |Ɩ - Ɩ*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=Ɩd 的绝对误差限与相对误差限。
解：因为s= Ɩd, ðs ðƖ=d,ðsðd =Ɩ.故 ε(s∗)≈|(ðs ðl)∗|ε(l ∗)+|(ðs ðd)∗|ε(d ∗), (ðs ðl )∗=d ∗=80m (ðsðd)∗=l ∗=110m ε(l ∗)=0.2m ε(d ∗)=0.1m得绝对误差限 ε(s ∗)=27(m 2)相对误差限εr∗=ε(s ∗)|s ∗|=ε(s ∗)l ∗d ∗≈0.31%T3. 计算I n =e −1∫x n e xdx(n =0,1,…)1并估计误差。
解：由分部积分可得I n =e −1∫x n d (e x )=e −1(x n e x |01−∫e x d (x n )1)1=1−e −1n ∫x n−11e xdx =1−nI n−1 I 0=e−1∫e x10dx =1−e −1得到通式{I n =1−nI n−1 (n =1,2,…)I 0=1−e −1(1)为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数计算。
计算方法第七讲
计算方法第七讲一、数值积分数值积分是通过近似计算定积分的方法。
常用的数值积分方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
1.矩形法：矩形法是将定积分区间均分为若干小矩形，然后计算小矩形的面积之和作为定积分的近似值。
具体步骤如下：①将积分区间[a,b]分为n份，每份的长度为h=(b-a)/n。
②对于每段长度为h的小区间，取其左端点或右端点的函数值作为积分被近似函数的值。
③将这些小矩形的面积相加即为定积分的近似值。
2.梯形法：梯形法是将定积分区间均分为若干个小梯形，然后计算小梯形的面积之和作为定积分的近似值。
具体步骤如下：①将积分区间[a,b]分为n份，每份的长度为h=(b-a)/n。
②对于每段长度为h的小区间，将其两个端点的函数值连接起来，形成一个梯形。
③将这些小梯形的面积相加即为定积分的近似值。
3.辛普森法：辛普森法是将定积分区间均分为若干个小区间，然后将每个小区间近似为一个二次函数，再计算二次函数的积分作为该小区间的近似值，最后将所有小区间的近似值相加得到定积分的近似值。
具体步骤如下：①将积分区间[a,b]分为n份，每份的长度为h=(b-a)/n。
②对于每段长度为h的小区间，根据端点和区间中点的函数值，构造一个二次函数。
③计算每个小区间近似的二次函数的积分，并将它们相加得到定积分的近似值。
二、微分方程的近似数值解法微分方程是描述事物变化过程的数学模型，其中包含了未知函数的导数。
通过近似数值解法可以方便地计算微分方程的近似解。
常见的近似数值解法有欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法。
1.欧拉法：欧拉法是一种一阶常微分方程的近似解法。
基本思想是将微分方程的导数的差分近似代替成为有限差商，然后迭代求解未知函数的值。
具体步骤如下：①将微分方程转化为差分方程，即将导数近似代替为有限差商。
②根据初始条件，计算出未知函数的初始值。
③根据差分方程进行迭代计算，得到未知函数的逐步逼近值。
2.改进的欧拉法：改进的欧拉法是对欧拉法的改进，可以提高近似解的精度。
数值分析课程第五版课后习题答案
数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。
解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。
对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。
选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。
迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。
b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。
解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。
矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。
c) 使用插值方法求解函数的近似值。
解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。
其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。
对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。
课后习题二：a) 解决数值积分问题。
解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。
b) 使用迭代方法求解线性方程组。
解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。
二重数值积分的计算方法的比较
二重数值积分的计算方法的比较1.矩形法：矩形法是最简单的一种数值积分方法，它将区域划分为若干矩形，然后计算每个矩形的面积并求和。
其中有两种常见的矩形法：左矩形法和右矩形法。
左矩形法取每个小矩形的左下角点作为近似点，右矩形法则取每个小矩形的右下角点作为近似点。
矩形法简单易懂，但精度较低。
2.梯形法：梯形法是将区域划分为多个梯形，并计算每个梯形的面积再求和。
梯形法比矩形法更精确，因为它考虑了函数在两个近似点之间的变化。
梯形法的计算公式为：积分=（边界点的函数值之和-首尾两个边界点的函数值）*（区间长度/2）。
梯形法适用于连续函数。
3.辛普森法：辛普森法是通过拟合给定区域上的函数为一个二次多项式，然后计算该多项式的面积从而近似计算二重积分。
辛普森法比起梯形法更加精确，因为它考虑了更多的曲线特征。
辛普森法计算公式为：积分=（边界点的函数值之和+4*中点的函数值之和+边界点之外的所有点的函数值之和）*（区间长度/6）。
4.高斯-勒让德法：高斯-勒让德法是一种通过选择特定的积分点和权重系数来进行数值积分的方法。
该方法通过将区域变换为[-1,1]上的标准化区域，并使用具有一定带权系数的高斯勒让德多项式来逼近原函数。
高斯-勒让德法在给定节点和权重的情况下可以实现任意阶的精度。
综上所述，不同的二重数值积分计算方法各有优劣。
简单的矩形法和梯形法易于理解和实现，但精度较低；辛普森法提供了更高的精度，但计算复杂度也更高；而高斯-勒让德法具有任意阶的精度，但对节点和权重的选择较为复杂。
因此，在实际应用中应根据具体的需求和计算资源来选择适当的数值积分方法。
分别利用矩形法、梯形法、辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果。
称为矩形法。不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度。
b 梯形法
b
f ( x)dx
a
ba 6n
[
y0
y2n
4(
y1
y3
y2n1 )
各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值。
2( y2 y4 y2n2 )]
c 辛普森法
b a
f ( x)dx
0.4000 0.4100 0.4200 0.4300 0.4600 0.4700 0.4800 0.4900
0.4400
0.4500
Columns 51 through 60
0.5000 0.5100 0.5200 0.5300 0.5600 0.5700 0.5800 0.5900
0.5400
0.5500
实验过程纪录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况纪录）
1、 计 算 的
近似值
方法一：矩形法
1 si >>n=100
x=0:1/n:1 left_sum=0; right_sum=0; for i=1:n
if i==1 left_sum=left_sum + 1/n;
else left_sum=left_sum + sin(x(i))/x(i)*(1/n);
a=0;
b=1;
syms x fx
fx=1/（1+x^2）;
i=1:n;
xx=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n); yy=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n); zz=a+(2*i-0)*(b-a)/(2*n); fyy=subs(fx,'x',yy); f=(fxx+4*fyy+fzz)*(b-a)/(6*n); s=sum(f) s =0.7854 方法三 梯形法 >> syms x >> y=1/(1+x^2)； >> yi=eval(int(y,0,1))
中南大学matlab课后习题(7)
第一章思考练习1.与一般的Windows程序一样，启动MATLAB系统有3种常见方法：(1)使用Windows“开始”菜单。
(2)运行MATLAB系统启动程序matlab.exe。
(3) 利用快捷方式。
要退出MATLAB系统，也有3种常见方法：(2) 在MATLAB命令窗口输入Exit或Quit命令。
(3) 单击MATLAB主窗口的“关闭”按钮。
2.matlab用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案3.可以在第一个物理行之后加上三个小黑点并按回车键，然后再下一个物理行输入其他部分。
4.help命令会显示当前帮助系统中的所有项目，即搜索路径中所有的目录名称，只显示那些与关键字中完全匹配的结果。
Lookfor命令对搜索范围内的M文件经行搜索，条件比较宽泛。
第二章（1） w=sqrt(2)*(1+0.34245*10^(-6)(2)a=3.5b=5c=9.8x=(2*pi*a+(b+c)/(pi+a*b*c)-exp(2))/(tan(b+c)+a)(3)a=3.32b=7.9y=2*pi*a^2*((1-pi/4)*b-(0.8333-pi/4)*a)(4) t=[2,1-3i;5,-0.65]Z=0.5*exp(2*t)*log(t+sqrt(1+t.*t))2. A=[-1,5,-4;0,7,8;3,61,7];B=[8,3,-1;2,5,3;-3,2,0];(1)A+6*B A^2-B+eye(2)A*B A.*B B.*A(3)A/B B\A(4)[A,B] [A([1,3],:);B^2]3.(1)A=[23,10,-0.778,0;41,-45,65,5;32,5,0,32;6,-9.54,54,3.14]; K=find(A>10&A<25);A(K)(2)A=[23,10,-0.778,0;41,-45,65,5;32,5,0,32;6,-9.54,54,3.14]; B=A(1:3,:) C=A(:,1:2) D=A(2:4,3:4) E=B*C(3)E<D E&D E|D ~E|~D5. A=[-29,6,18;20,5,12;-8,8,5];[V,D]=eig(A)A*V=V*D第三章1.f=input('输入一个数：','s');f(end :-1:1)2.(1)if语句score=input('请输入成绩:');if score>=90&&score<=100disp('A');elseif score>=80&&score<=89disp('B');elseif score>=70&&score<=79disp('C');elseif score>=60&&score<=69;disp('D');elseif score<60&&score>=0;disp('E');elsedisp('出错');End（2）用switch语句score=input('请输入成绩:');switch fix(score/10)case {9,10}disp('A');case {8}disp('B');case {7}disp('C');case {6}disp('D');case {0,1,2,3,4,5}disp('E');otherwisedisp('出错');End3.b=max(a)c=min(a)b=0c=0for i=1:20if a(i)>bb=a(i);endif a(i)<cc=a(i);End4.a=[-3:0.1:3];b=((exp(0.3.*a)-exp(-0.3.*a))./2)c=sin(a+0.3)for i=1:61y=(exp(0.3*a(i))-exp(-0.3*a(i)))/2*sin(a(i)+0.3)+log((0.3+a(i))/2) End5.（1）A=0;n=100for i=1:nA=1/n/n+A;End(2)A=1;n=10000;for i=1:nA=(2*n*n*2)/((2*n-1)*(2*n+1))*A;end6. A=rand(5,6)n=input('ÇëÊäÈëÒ»¸ön');if n>5n=5A(n,n)elseA(n)7.f1.m 代码:function m=f1(n)m=n+10*log(n^2+5);f2.m 代码:function m=f2(n)m=0;for i=1:nm=m+i*(i+1);end在命令文件p3_11.m 中调用f1.m 和f2.mp3_11.m 代码如下:y1=f1(40)/(f1(30)+f1(20));y2=f2(40)/(f2(30)+f2(20));y1y28.∑=1001k k 函数文件factor1.m 代码如下:function f=factor1(k)if k==1f=1;elsef=factor1(k-1)+k;end∑=5012^k k 函数文件factor2.m 代码:function f=factor2(k)if k==1f=1;elsef=factor2(k-1)+^2;end∑=101/1k k 函数文件factor3.m 代码:function f=factor3(k)if k==1f=1;elsef=factor3(k-1)+1/k;end思考练习2.N=[1,2,3,4,5]A=N.*2B=N./4C=1./ND=1./(N./2)./(N./2)/43.B=0for i=1:20A(i)=fix((99-10+1)*rand(1)+10);B=A(i)+B;endB=B/20for i=1:20if A(i)<B&rem(A(i),2)==0A(i)end第四章.1.(1).x=-12:0.001:12;y=x-x.^3/6;plot(x,y);xlabel('x 轴');ylabel('y 轴');title('Y=X-X^3/3!');(2)t=0:0.01:2*pi;x=8.*cos(t);y=4*sqrt(2).*sin(t);plot(x,y)2.t=-pi:pi/10:pi;y=1./(1+exp(-t));subplot(2,2,1);bar(t,y,'b');title('bar(t,y,''b'')');axis([-5,5,-3,3]); subplot(2,2,2);stairs(t,y,'k');title('stairs (t,y,''k'')');axis([-5,5,-3,3]); subplot(2,2,3);stem(t,y,'m');title('stem (t,y,''m'')');axis([-5,5,-3,3]); subplot(2,2,4);loglog(t,y,'g');title('loglog(t,y,''g'')');axis([-5,5,-3,3]);3.(1) t=0:pi/100:2*pi;y=5*cos(t)+4;polar(t,y,'-*')(2)t=-pi/3:pi/100:pi/3;r=5*sin(t).^2./cos(t);polar(t,r,'-*')4.(1)t=0:pi/100:2*pi;x=exp(-t/20).*cos(t);y=exp(-t/20).*sin(t);z=t;plot3(x,y,z)(2) [x,y]=meshgrid(-5:5);z=ones(11);surf(x,y,z);shading interp;5.[x,y,z]=sphere(50);m=moviein(100);for i=1:100surf(i*x,i*y,i*z);shading interpcolormap(hot);axis equalaxis([-100,100,-100,100,-100,100]) axis offm(:,i)=getframe;End思考练习2.（1）x=1:0.1:10a=exp((x.^2)/2)y=a.*1/2/piplot(x,y)（2）t=-pi:0.1:2*piX=t.*sin(t)Y=t.*cos(t)plot(X,Y)3.t=0:0.00005:pi;x=sin(3*t).*cos(t);y1=2*x-0.5;y2=sin(3*t).*sin(t);plot(x,y2,x,y1);hold onk=find(abs(y2-y1)<1e-4);x1=x(k);y3=2*x1-0.5;plot(x1,y3,'rp')4.x=-pi*6:0.1:pi*6y=sin(1./x)plot(x,y)fplot('sin(1./x)',[-pi*6,pi*6],1e-4)5.（1）x=1:0.1:10y=12./xpolar(x,y)(2)x=-pi/6:0.1:pi/6y=3*sin(x).*cos(x)./(sin(x).^3+cos(x).^3) polar(x,y)6.（1）[u,v]=meshgrid(-pi:pi/100:pi);x=3*u.*sin(v);y=2*u.*cos(v);z=4*u.*u;mesh(x,y,z);（2）[x,y]=meshgrid(-3:6/100:3);z=-5./(1+x.*x+y.*y);mesh(x,y,z)第五章1.A=randn(10,5)(1) X=mean(A)Y=std(A,0,1)(2) max(max(A))min(min(A))(3) B=sum(A,2)sum(B)(4) sort(A);sort(A,2,'descend')2.(1)t=0:15:90;x1=[0,0.2588,0.5000,0.7071,0.8660,0.9659,1.0000];a1=0:1:90;y1=interp1(t,x1,a1,'spline')x2=[0,0.2679,0.5774,1.0000,1.7320,3.7320,NaN]; a2=0:1:75;y2= interp1(t,x2,a2,'spline')p1=polyfit(t,x1,5);Z1=polyval(p1,a1)p2=polyfit(t,x2,5);z2=polyval(p2,a2)(2)X=[1 4 9 16 25 36 49 64 81 100];Y=1:10;X1=1:100;Y1=interp1(X,Y,X1,'cubic')3.4.P=[2,-3,5,13];Q=[1,5,8];p=polyder(P)p1=polyder(P,Q)[p,q]= polyder(P,Q)5.P1=[1,2,4,0,5];P2=[1,0];P3=[1,2,3];1) P4=conv(P2,P3)P4=[0,1,2,3,0];P=P1+P42) x=roots(P)3) A=[-1,1.2,-1.4;0.75,2,3.5;0,5,2.5];Y=polyval(P,A)4)Z=polyvalm(P,A)第六章1.（1）>> A=[1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6];B=[0.95,0.67,0.52]';x=A\B （2）>> A=[1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6];B=[0.95,0.67,0.53]';x=A\B （3）>> cond(A)2.（1）建立函数文件funx.m，命令如下;Function fx=funx(x)fx=x^41+x^3+1;调用fzero函数求根，命令如下;>> z=fzero(@funx,-1)(2) 建立函数文件sin.m，命令如下;Function fx=sin(x)fx=x-(sin(x))/x;调用fzero函数求根，命令如下;>> z=fzero(@sin,0.5)(3) 建立函数文件myfun.m，命令如下;function q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);z=p(3);q(1)=sin(x)+y^2+log(z)-7;q(2)=3*x+2^y-z^3+1;q(3)=x+y+z-5;调用fsolve函数求根，命令如下;>> options=optimset('Display','off');x=fsolve(@myfun,[1,1,1]',options)3.(1) 建立函数文件funt.m,命令如下;function yp=funt(t,y)yp=-y*(1.2+sin(10*t));求微分方程，程序如下：>> t0=0;tf=5;y0=1;[t,y]=ode23(@funt,[t0,tf],y0)(2) 建立函数文件funr.m,命令如下;function yp=funr(t,y)yp=cos(t)-(y)/(1+t^2);求微分方程，程序如下：>> t0=0;tf=5;y0=1;[t,y]=ode23(@funr,[t0,tf],y0)4.建立函数文件mymax.m命令如下:function fx=mymax(x)fx=-1*(1+x^2)/(1+x^4);求最大值，程序如下:>> [x,y]=fminbnd(@mymax,0,2)5.编写目标函数M文件fop.m，命令如下:function f=fop(x)f=-1*(x(1)^(1/2)+x(2)^(1/2)+x(3)^(1/2)+x(4)^(1/2)); 设定约束条件，并调用fmincon函数求解此约束最优化问题，程序如下：>>x0=[200,200,200,200];A=[1,0,0,0;1.21,1,0,0;1.331,1.21,1,0;1.4641,1.331,1.21,1];b=[400,440,484,532.4];Ib=[0,0,0,0];options=optimset('Display','off');[x,y]=fmincon(@fop,x0,A,b,[],[],Ib,[],[],options)思考练习1,(1)矩阵求逆：>> A=[2,3,5;3,7,4;1,-7,1];b=[10,3,5]';x=inv(A)*b矩阵除法：>> A=[2,3,5;3,7,4;1,-7,1];b=[10,3,5]';x=A\b矩阵分解：>> A=[2,3,5;3,7,4;1,-7,1];b=[10,3,5]';[L,U]=lu(A);x=U\(L\b)(2)矩阵求逆：>> A=[6,5,-2,5;9,-1,4,-1;3,4,2,-2;3,-9,0,2];b=[-4,13,1,11]';x=inv(A)*b矩阵除法：>> A=[6,5,-2,5;9,-1,4,-1;3,4,2,-2;3,-9,0,2];b=[-4,13,1,11]';x=A\b矩阵分解：>> A=[6,5,-2,5;9,-1,4,-1;3,4,2,-2;3,-9,0,2];b=[-4,13,1,11]'; [L,U]=lu(A);x=U\(L\b)2.(1)建立函数文件fun1.m，命令如下：function fx=fun1(x)fx=3*x+sin(x)-exp(x);调用fzero函数求根，命令如下;>> y=fzero(@fun1,1.5)(2) 建立函数文件fun2.m，命令如下：function fx=fun2(x)fx=1-(1/x)+5;调用fzero函数求根，命令如下;>> y=fzero(@fun2,1)(3) 建立函数文件myfun3.m，命令如下;function q=fun3(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x^2+y^2-9;q(2)=x+y-1;调用fsolve函数求根，命令如下;>> options=optimset('Display','off');x=fsolve(@fun3,[1,1]',options)3.(1)建立函数文件fun5.m，命令如下：function ydot=fun5(t,y)ydot(1)=(2-3*y(2)-2*t*y(1))/(1+t^2);ydot(2)=y(1);ydot=ydot';求解微分方程，命令如下：>> t0=0;tf=5;x0=[0,1];[t,y]=ode45(@fun5,[t0,tf],x0);[t,y](2) (1)建立函数文件fun5.m，命令如下：function ydot=fun6(t,y)ydot(1)=cos(t)+(5*y(1)*cos(2*t))/(t+1)^2-y(2)-y(3)/(3+sin(t)); ydot(2)=y(1);ydot(3)=y(2);ydot=ydot';求解微分方程，命令如下：>> t0=0;tf=5;x0=[0,1];[t,y]=ode45(@fun5,[t0,tf],x0);[t,y]4.建立函数文件max.m命令如下:function fx=max(x)fx=-1*(sin(x)+cos(x^2));求最大值，程序如下:>> [x,y]=fminbnd(@mymax,0,pi)5.编写目标函数M文件fop.m，命令如下:function f=topm(x)f=-1*x*(3-2*x)^2;设定约束条件，并调用fmincon函数求解此约束最优化问题，程序如下：>>x0=[0];A=[1];b=[1.5];Ib=[0];options=optimset('Display','off');[x,y]=fmincon(@top,x0,A,b, [],[],Ib,[],[],options)第七章1．function f=f1(x)f=sin(x)./x;function f=f2(x)f=[1./((x-0.3).^2+0.01)-1./((x-0.9).^2+0.04)-6];[I,n]=quad(@f1,0,2)[S,n]=quad(@f2,0,1)2．f=inline('exp(-x.^2-y.^2)','x','y');I1=dblquad(f,0,1,0,1)f=inline('abs(cos(x+y))','x','y');I2=dblquad(f,0,pi,0,pi)3. X=0.3:0.2:1.5;Y=[0.3895,0.6598,0.9147,1.1611,1.3971,1.6212,1.8325];trapz(X,Y)4. x=0:pi/5:2*pi;for n=1:3nDX=diff(sin(x),n)end5. f=inline('sin(x)./(x+cos(2.*x))');g=inline('[cos(x).*(x+cos(2.*x))-sin(x).*(1-2.*sin(2.*x))]./(x+cos(2.*x)).^2');x=0:0.01:2*pi;p=polyfit(x,f(x),5);dp=polyder(p);dpx=polyval(dp,x);dx=diff(f([x,2*pi+0.01]))/0.01;gx=g(x);plot(x,dpx,x,dx,'-',x,gx,':')思考练习1.求解定积分的数值方法有梯形法、辛普森法、高斯法等，基本思想是将整个积分区间分成n个子区间，而每个小的子区间上的定积分的值可近似求得。
常用算法--几种数字积分法
几种常用的数字积分方法（微分方程的数字解）2－5数字积分法1 欧拉法（折线法）设一阶微分方程)y ,t (f ydxdy == 00y )t (y = 由图可知，过（t 0, y 0）点的斜率为)y ,t (f y000= 如果1t 离0t 很近，即t ∆ 很小，曲线y(t)可用切线来近似，其切线方程 )t t )(y ,t (f y y 0000-+=其微分方程在t=t 1 时，可近似表示为 )t t )(y ,t (f y y )t (y 0100011-+==重复上述近似过程，当2t t =时， )t t )(y ,t (f y y )t (y 1211122-+== 则有一般近似公式))(,()(111n n n n n n n t t y t f y y t y -+==+++如果令n n 1n h t t =-+，称为计算步矩，则n n n n 1n 1n h )y ,t (f y y )t (y ⋅+==++ (1) 这就是欧拉法数字积分的递推计算公式。
由公式可看出，只要我们给出方程的初值（t 0, y 0）以及相应的步距，逐步进行递推就可获得微分方程的近似数字解。
欧拉法的计算是十分简单的，其计算误差正比于2h ，由此，要获得高精度解，必须减小步距，但这使得计算次数增加，又由于计算机的字长有限，h 减小得过小，将引图2-5-1图2-5-2入舍入误差，所以此方法的精度提高有限，实际应用中较少采用。
2 梯形法（预报――校正法）欧拉法精度低，却给我们一些启发，对微分方程),(y t f y= 可改写成ττ+=⎰d )y ,(f y )t (y t0t 0当 1t t = 时，则⎰+=1t t01dt ))t (y ,t (f y )t (y从此式可以看出，要求得 )t (y 1 的值，等式右边中含有未知函数，所以不能得到)t (y 1的值，但如果我们用已知的函数值)t (y 0来代替)t (y ，用不变取代变化的函数，即⎰⎰≈11t t 00t t dt ))t (y ,t (f dt ))t (y ,t (f实际上右边是一个矩形面积)t t ())t (y ,t (f dt ))t (y ,t (f 0100t t 10-∙=⎰则)y ,t (f h y y 00001∙+=递推公式为)y ,t (f h y y n n n n 1n ∙+=+用此矩形的面积的算法，其计算误差是显然的（欧拉法），为了提高精度，我们可以用梯形面积来取代矩形的面积，即01021t t h )f f (dt ))t (y ,t (f 1∙+=⎰则010101h )f f (y y ∙++= 递推形式为)f f (h 21y y 1n n n n 1n +++∙+=或)]y ,t (f )y ,t (f [h 21y y 1n 1n n n n n 1n ++++∙+=应用上式求积分，产生了新的问题，即在计算1n y +时，要用1n y +，而1n y +不知，则)y ,t (f 1n 1n ++是未知的，要获得1n y +，通常可用迭代方法，即在n t 与1n t +之间迭代多次，使其计算的1n y +逐步收敛于)t (y 1，即)y ,t (f h y y n n n n 01n ∙+=+)]y ,t (f )y ,t (f [h 21y y 01n 1n n n n n 11n ++++∙+=)]y ,t (f )y ,t (f [h 21y y 1k 1n 1n n n n n k 1n -++++∙+= 如果序列k 1n y +极限存在，则当∞→k 时，)t (y y 1n k 1n ++→，要保证上述极限存在，只要选取h 小到一定程度，就能得到满足。
《线性代数》教学大纲
《线性代数》教学大纲教学目的和要求：线性代数是数学学科中的一门重要基础课程，也是高等院校大部分专业的主要基础理论课，对于培养面向21世纪人才起着重耍的作用。
目前也是华东师范大学各专业的重要基础课之一本课程主要学习线性代数中行列式，矩阵，n维向量和线性方程组，向量空间，矩阵的特征值和特征向量，二次型，线性变换的基本概念，基本计算及有关的计算方法。
为适应培养面向21世纪人才的需要，要求学生比校系统理解线性代数的基本概念，基本理论，掌握线性代数的基本计算方法。
要求较好地理解线性代数这门课的抽象理论，具有严谨逻辑推理能力，空间想象能力，运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
教学基本内容和学时分配：第一章:行列式教学内容:行列式的定义，行列式的基本性质，行列式按行(列)展开定理，行列式的计算，克莱姆法则。
教学要求:理解行列式的概念，掌握行列式的性质，会用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式，会用克莱姆法则解线性方程组。
第二章:矩阵教学内容:矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的等价，矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法，分块矩阵及其运算。
教学要求:理解矩阵的概念，了解单位矩阵，对角矩阵，数量矩阵，三角矩阵，对称矩阵，正交矩阵，掌握矩阵的加法，数乘，乘法，转置及它们的运算法则，了解方阵的方幂和方阵乘积的行列式。
理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵，了解矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，理解矩阵秩的概念。
掌握矩阵的初等变换，会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵，了解分块矩阵掌握分块矩阵的运算法则。
第三章：n维向量与线性方程组教学内容：向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩和矩阵的秩之间的关系、齐次线性方程组有非零解的充要条件、非齐次线性方程组有解的充要条件、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组及基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解，行初等变换求线性方程组的方法。
梯形方法解初值问题公式
梯形方法解初值问题公式
《梯形方法解初值问题公式》
一、梯形方法是什么？
梯形法（Trapezoidal Method）又称梯形积分法，它是一种简单的数值积分的方法，可
以用来解决特定的初值问题，它是对梯形和矩形进行积分的法则，它可以识别出估计值，并由此来计算准确值。
二、梯形方法如何用来解决初值问题？
梯形方法用来解决一类特定的初值问题，即一阶微分方程的初值问题，其中，一阶微分方程的求解可以转换为积分问题，梯形方法可以用来解决这类问题，即可以用来求解方程的求解。
梯形方法的基本公式为：
$$\int_{t_0}^{t_n}f(t)dt=h\Big[\frac{1}{2}f(t_0)+\frac{1}{2}f(t_n)+\sum_{i=1}^{n}f(t_i )\Big]$$
式中，$f(t)$为时间t下的函数值，$h$为分割区间所设置的步长，$t_0$是起始时间，
$t_n$为终止时间，$t_i$为对应的函数拐点时间值。
三、梯形方法的优点
1. 梯形方法比较简单，公式简单明了，实现起来较快速，计算结果准确，且计算速度较快；
2. 梯形法能灵活适应分割步长的自变化，且步长设置范围较广，这一点有利于解决复杂的初值问题；
3. 梯形求积分的过程中，可以把多个子区间上的定积分函数，变化率较小的这些子区间的梯形法的结果都可以用更小的步长来进行集中计算，从而提高了计算的精度，降低了计算量。
综上所述，梯形方法是一种简单、快速、准确的初值问题求解方法，它具有上述优点，故普遍应用于初值问题求解。
MATLAB复化梯形法及龙贝格法计算定积分
MATLAB复化梯形法及龙贝格法计算定积分复化梯形法是一种数值积分方法，用于计算定积分的近似值。
该方法的基本思想是将积分区间等分成多个子区间，并在每个子区间上使用梯形公式来进行近似计算。
具体步骤如下：1.将积分区间[a,b]等分成n个子区间，每个子区间的长度为h=(b-a)/n。
2.在每个子区间上，使用梯形公式计算近似积分值。
梯形公式可以表示为：T=(f(x0)+f(x1))*h/2，其中x0和x1分别是子区间的左右边界，f(x)是被积函数。
3.对所有子区间的近似积分值进行求和，得到整个积分区间的近似积分值。
复化梯形法的精度可以通过增加子区间的数量来提高，即使n越来越大，积分值的近似精度也会越来越高。
以下是一个用MATLAB实现复化梯形法计算定积分的示例代码：```matlabh=(b-a)/nresult = 0;for i = 0:n-1x0=a+i*h;x1=a+(i+1)*h;result = result + (f(x0) + f(x1)) * h / 2;endend```接下来，我们来介绍龙贝格法，龙贝格法是一种迭代数值积分方法，用于计算定积分的近似值。
该方法的基本思想是在梯形公式的基础上应用Richardson外推技术，通过逐步加密和外推，提高积分值的精度。
具体步骤如下：1.初始化一个矩阵，矩阵的第一列为复化梯形法的近似积分值。
2.逐列递推计算，每一列的元素为由前一列的元素计算得到。
计算公式为：R(j,k+1)=R(j,k)+(R(j,k)-R(j-1,k))/((4^k)-1)其中，R(j,k)是第j次迭代中计算的近似积分值，k表示第k次迭代。
3.判断是否达到预设的精度要求，如果满足要求，则返回最终近似积分值；否则，继续迭代计算。
以下是一个用MATLAB实现龙贝格法计算定积分的示例代码：```matlabfunction result = romberg(f, a, b, epsilon, max_iter)R = zeros(max_iter, max_iter);h=b-a;R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2;for k = 2:max_iterh=h/2;sum = 0;for i = 1:2^(k-2)x=a+(2*i-1)*h;sum = sum + f(x);endR(k, 1) = R(k-1, 1) / 2 + h * sum;for j = 2:kR(k,j)=R(k,j-1)+(R(k,j-1)-R(k-1,j-1))/((4^(j-1))-1); endif abs(R(k, k) - R(k-1, k-1)) < epsilonresult = R(k, k);return;endendresult = R(max_iter, max_iter);end```这个代码定义了一个名为`romberg`的函数，它接受五个参数：被积函数`f`、积分区间的左边界`a`、积分区间的右边界`b`、精度要求`epsilon`和最大迭代次数`max_iter`。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总数值积分是一种用计算机逼近求解定积分的方法，它通过将区间划分为多个小区间，并在每个小区间上进行数值计算，最后将结果相加以得到整个区间上的定积分近似值。
在实际应用中，常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
下面将详细介绍这几种方法，并对它们进行比较汇总。
1.梯形法则是一种基本的数值积分方法。
它的原理是将每个小区间视为一条梯形，并用该梯形的面积来近似表示该小区间的积分值。
具体而言，对于求解区间[a,b]上的定积分，梯形法则的计算公式为：∫[a,b]f(x)dx≈ (b-a)[f(a) + f(b)]/2梯形法则的优点是简单易懂、计算速度较快，但它的缺点是精度较低，特别是当被积函数曲线较为陡峭时。
2.辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它的原理是将每个小区间视为一个二次曲线，并用该曲线下的面积来近似表示该小区间的积分值。
具体而言，对于求解区间[a,b]上的定积分，辛普森法则的计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]/6辛普森法则的优点是精度较高，特别是对于曲线比较平滑的函数，它能给出较为准确的积分近似值。
然而，辛普森法则的计算量较大，因为它需要在每个小区间上计算3个点的函数值。
3.复化求积法是一种综合性的数值积分方法，它基于划分区间的思想，将整个求积区间划分为多个小区间，并在每个小区间上采用其中一种数值积分方法来进行计算。
具体而言，复化求积法可以采用梯形法则或辛普森法则来进行计算。
它的计算公式如下：∫[a,b]f(x)dx ≈ ∑[i=0,n-1] (b-a)/n * [f(a + i(b-a)/n) +f(a + (i+1)(b-a)/n)]/2复化求积法的优点是能够灵活地根据被积函数的特点选择合适的数值积分方法，从而提高求积的准确性。
但它的计算量较大，尤其在需要高精度的情况下，需要划分较多的小区间。
梯形矩阵实验报告
一、实验目的1. 理解梯形矩阵的概念和性质；2. 掌握梯形矩阵的求解方法；3. 分析梯形矩阵在工程中的应用。
二、实验原理梯形矩阵是一种特殊的矩阵，其特点是行数大于列数，且非零元素位于主对角线及其下方。
在数学和工程领域中，梯形矩阵具有广泛的应用。
本实验旨在通过求解梯形矩阵，加深对梯形矩阵概念和性质的理解。
三、实验内容1. 梯形矩阵的定义及性质；2. 梯形矩阵的求解方法；3. 梯形矩阵的应用实例。
四、实验步骤1. 定义梯形矩阵设A是一个n×m的矩阵，如果A满足以下条件：（1）A的行数n大于列数m；（2）A的非零元素位于主对角线及其下方；则称A为一个n×m的梯形矩阵。
2. 梯形矩阵的性质（1）梯形矩阵的秩等于其行数；（2）梯形矩阵的逆矩阵存在，且其逆矩阵也是一个梯形矩阵；（3）梯形矩阵的行列式等于其主对角线元素的乘积。
3. 梯形矩阵的求解方法以一个n×m的梯形矩阵A为例，其求解方法如下：（1）求出A的秩r；（2）求出A的逆矩阵A^{-1}；（3）求出A的行列式|A|。
4. 梯形矩阵的应用实例（1）在电路分析中，梯形矩阵可以用来求解电路中的节点电压；（2）在结构分析中，梯形矩阵可以用来求解结构中的节点位移；（3）在信号处理中，梯形矩阵可以用来求解信号滤波问题。
五、实验结果与分析1. 实验结果以一个4×3的梯形矩阵A为例，其元素如下：A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]通过计算，得到A的秩r=3，逆矩阵A^{-1}如下：A^{-1} = [1/6 -1/3 1/2;-1/2 1/3 -1/6;1/3 -1/6 1/6]A的行列式|A|=54。
2. 实验分析通过本实验，我们验证了梯形矩阵的性质和求解方法。
在实际应用中，梯形矩阵在电路分析、结构分析、信号处理等领域具有广泛的应用。
了解梯形矩阵的概念、性质和求解方法，有助于我们更好地解决实际问题。
六、实验总结本实验通过对梯形矩阵的定义、性质、求解方法以及应用实例的研究，加深了我们对梯形矩阵的理解。
梯形法则求积分
梯形法则求积分引言在数学中，积分是微积分的重要概念之一。
积分可以看作是函数的反导函数，用于求解曲线下的面积、体积等问题。
而梯形法则是一种常用的数值积分方法，可以近似求解定积分的值。
本文将详细介绍梯形法则求积分的原理和应用。
一、梯形法则的基本概念梯形法则是一种用梯形来逼近曲线下面积的方法。
假设有一个曲线f(x)在闭区间[a, b]上的图像，我们可以将其分割为n个等宽的子区间，然后在每个子区间上构造与曲线图像相切的梯形，最后将所有梯形的面积相加，就得到了曲线下的面积的近似值。
二、梯形法则求积分的计算过程下面将详细介绍梯形法则求积分的计算过程。
2.1 将区间分割为n个小区间首先，我们需要将积分区间[a, b]等分为n个小区间。
令h = (b - a) / n，即每个小区间的宽度。
2.2 构造梯形对于每个小区间[i, i+1]，可以用两个端点的函数值来确定一条直线，进而构造一个梯形。
设第i个小区间的左端点为xi，右端点为xi+1，则第i个梯形的底边长度为h，左边的高度为f(xi)，右边的高度为f(xi+1)。
根据梯形的面积公式，第i 个梯形的面积为[(f(xi) + f(xi+1)) * h] / 2。
2.3 计算梯形的面积将所有梯形的面积相加，即可得到曲线下的面积的近似值。
具体计算公式如下：approx_int = (f(x0) + 2 * f(x1) + 2 * f(x2) + ... + 2 * f(xn-1) + f(xn)) * h / 2其中，x0 = a，xn = b，h = (b - a) / n。
三、梯形法则求积分的精度分析梯形法则求积分的精度取决于小区间的数量n。
当n越大时，梯形的数量越多，曲线下的面积近似值也越接近真实值。
由于每个梯形的面积都是按照曲线图像上相应位置处的函数值来计算的，因此梯形法则可以较好地逼近曲线下的面积。
然而，梯形法则并不是最精确的数值积分方法。
对于某些特殊的函数，梯形法则存在一定的误差。
梯形矩阵概念
梯形矩阵概念梯形矩阵概念概述：梯形矩阵是线性代数中的一种特殊矩阵，它具有一定的特殊性质，可以用于解决线性方程组、求逆等问题。
梯形矩阵是由上三角矩阵和下三角矩阵两种构成的，其特点是在主对角线以下或以上的所有元素都为零。
定义：一个n行m列的矩阵A称为上（下）三角矩阵，当且仅当该矩阵满足以下条件：1. 对于所有i>j, aij=0(上三角)2. 对于所有i<j, aij=0(下三角)3. 矩阵A中所有主对角线以下（以上）的元素都为零。
例子：下面是一个3行4列的上三角矩阵：1 2 3 40 5 6 70 0 8 9这个矩阵满足了上述定义中的条件1和条件3，因为它在主对角线以下的元素都为零，并且对于所有i>j, aij=0。
性质：1. 梯形矩阵具有唯一解。
由于梯形矩阵在主对角线以下或以上的元素都为零，因此可以使用高斯消元法或LU分解法等方法求解线性方程组。
在这个过程中，我们可以通过矩阵的行变换来消去未知数，从而得到唯一的解。
2. 梯形矩阵的行列式为主对角线上元素的乘积。
由于梯形矩阵在主对角线以下或以上的元素都为零，因此其行列式可以通过将主对角线上的元素相乘得到。
例如，在下面这个3行3列的上三角矩阵中，其行列式为1*2*3=6。
1 2 30 4 50 0 63. 梯形矩阵可以用于求逆矩阵。
由于梯形矩阵具有唯一解和行列式为主对角线上元素的乘积等特点，因此可以使用高斯-约旦消元法来求逆矩阵。
具体方法是将单位矩阵和原始矩阵进行拼接，并通过一系列的行变换将左边的单位矩阵转化成右边的逆矩阵。
应用：梯形矩阵在各个领域都有广泛应用。
以下是几个常见应用：1. 解决线性方程组由于梯形矩阵具有唯一解的特点，因此可以用于解决线性方程组。
例如，在下面这个3行4列的梯形矩阵中，我们可以通过高斯消元法求解出x1=1, x2=2, x3=3。
1 2 3 40 5 6 70 0 8 92. 求逆矩阵由于梯形矩阵可以用于求逆矩阵，因此在各种科学计算中都有广泛应用。
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梯形法数值积分
A ．算法说明：
梯形法数值积分采用的梯形公式是最简单的数值积分公式，函数()f x 在区间[a,b]上计算梯形法数值积分表达式为：
()[()()]2b a b a f x dx f a f b -≈+⎰ 由于用梯形公式来求积分十分粗糙，误差也比较大，后来改进后提出了复合梯形公式：b a
h n -=,其中，n 为积分区间划分的个数；h 为积分步长。
在MATLAB 中编程实现的复合梯形公式的函数为：Combine Traprl.
功能：复合梯形公式求函数的数值积分。
调用格式：[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps).
其中，f 为函数名；
a 为积分下限；
b 为积分上限；
eps 为积分精度；
I 为积分值；
Step 为积分划分的区间个数
B ．流程图
C．复合梯形公式的原程序代码：
function[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps)
% 复合梯形公式求函数f在区间[a,b]上的定积分
%函数名：f
%积分下限：a
%积分上限：b
%积分精度：eps
%积分值：I
%积分划分的子区间个数：step
if(nargin==3)
eps=1.0e-4; %默认精度为0.0001
end
n=1;
h=(b-a)/2;
I1=0;
I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h;
while abs(I2-I1)>eps
n=n+1
h=(b-a)/n;
I1=I2;
I2=0;
for i=0:n-1 %第年n次的复合梯形公式积分
x=a+h*i; %i=0 和n-1时，分别代表积分区间的左右端点
x1=x+h
I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1));
end
end
I=I2;
step=n;
D．应用举例
复合梯形法求数值积分应用举例，利用复合梯形法计算定积分
dx x
⎰
-
4
221
1
流程图
原程序代码：
[q,s]=CombineTraprl('1/(x^2-1)',2,4) %精度为默认的10-4
结果
q=
0.2945
S=
15
[q,s]=CombineTraprl('1/(x^2-1)',2,4,1.0e-6) %精度为10-6
结果：
q=
0.2939
s=
66 所以从复合梯形公式可以得出dx x ⎰-4
221
1≈0.2939 矩形法数值积分
源程序代码
function[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps)
% 复合矩形公式求函数f 在区间[a,b]上的定积分
%函数名：f
%积分下限：a
%积分上限：b
%积分精度：eps
%积分值：I
%积分划分的子区间个数：step
if(nargin==3)
eps=1.0e-4; %默认精度为10-4
end
n=1;
h=b-a;
I1=0;
I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps
n=n+1
h=(b-a)/n;
I1=I2;
I2=0;
for i=0:n-1 %第年n 次的复合矩形公式积分
x=a+h*i; %i=0 和n-1时，分别代表积分区间的左右端点 x1=x+h
I2=I2+h*subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1);
end
end
I=I2;
step=n;
应用举列：
复合矩形法求数值积分应用举例，利用复合矩形法计算定积分dx x 2
12
流程图
原程序代码：
[q,s]=CombineTraprl('x^2',1,2) %精度为默认的10-4结果：
q=
2.3340
s=
16。