第一题.矩阵法,梯形法积分

梯形法数值积分

A ．算法说明：

梯形法数值积分采用的梯形公式是最简单的数值积分公式，函数()f x 在区间[a,b]上计算梯形法数值积分表达式为：

()[()()]2b a b a f x dx f a f b -≈+⎰ 由于用梯形公式来求积分十分粗糙，误差也比较大，后来改进后提出了复合梯形公式：b a

h n -=,其中，n 为积分区间划分的个数；h 为积分步长。

在MATLAB 中编程实现的复合梯形公式的函数为：Combine Traprl.

功能：复合梯形公式求函数的数值积分。

调用格式：[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps).

其中，f 为函数名；

a 为积分下限；

b 为积分上限；

eps 为积分精度；

I 为积分值；

Step 为积分划分的区间个数

B ．流程图

C．复合梯形公式的原程序代码：

function[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps)

% 复合梯形公式求函数f在区间[a,b]上的定积分

%函数名：f

%积分下限：a

%积分上限：b

%积分精度：eps

%积分值：I

%积分划分的子区间个数：step

if(nargin==3)

eps=1.0e-4; %默认精度为0.0001

end

n=1;

h=(b-a)/2;

I1=0;

I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h;

while abs(I2-I1)>eps

n=n+1

h=(b-a)/n;

I1=I2;

I2=0;

for i=0:n-1 %第年n次的复合梯形公式积分

x=a+h*i; %i=0 和n-1时，分别代表积分区间的左右端点

x1=x+h

I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1));

end

end

I=I2;

step=n;

D．应用举例

复合梯形法求数值积分应用举例，利用复合梯形法计算定积分

dx x

⎰

-

4

221

1

流程图

原程序代码：

[q,s]=CombineTraprl('1/(x^2-1)',2,4) %精度为默认的10-4

结果

q=

0.2945

S=

15

[q,s]=CombineTraprl('1/(x^2-1)',2,4,1.0e-6) %精度为10-6

结果：

q=

0.2939

s=

66 所以从复合梯形公式可以得出dx x ⎰-4

221

1≈0.2939 矩形法数值积分

源程序代码

function[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps)

% 复合矩形公式求函数f 在区间[a,b]上的定积分

%函数名：f

%积分下限：a

%积分上限：b

%积分精度：eps

%积分值：I

%积分划分的子区间个数：step

if(nargin==3)

eps=1.0e-4; %默认精度为10-4

end

n=1;

h=b-a;

I1=0;

I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps

n=n+1

h=(b-a)/n;

I1=I2;

I2=0;

for i=0:n-1 %第年n 次的复合矩形公式积分

x=a+h*i; %i=0 和n-1时，分别代表积分区间的左右端点 x1=x+h

I2=I2+h*subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1);

end

end

I=I2;

step=n;

应用举列：

复合矩形法求数值积分应用举例，利用复合矩形法计算定积分dx x 2

12

流程图

原程序代码：

[q,s]=CombineTraprl('x^2',1,2) %精度为默认的10-4结果：

q=

2.3340

s=

16