河南省新野三高2020年高中数学第2章函数单元测试(一)(无答案)北师大版必修1
北师大版高中数学必修第二章测试题及答案
高一年级数学学科必修一（第二章）质量检测试卷 （斗鸡中学）一． 一、选择题：共10个小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列判断正确的是（ ）A 函数22)(2--=x xx x f 是奇函数 B 函数()(1f x x =-是偶函数C 函数()f x x =+D 函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2 若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A)23(-f >)252(2++a a f B )23(-f <)252(2++a a fC)23(-f ≥)252(2++a a f D )23(-f ≤)252(2++a a f3 已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A 2a ≤-B 2a ≥-C 6-≥aD 6-≤a4 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A {}|303x x x -<<>或B {}|303x x x <-<<或C {}|33x x x <->或D {}|3003x x x -<<<<或5 已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( )A 2-B 4-C 6-D 10-6 已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()()2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()(),f x h x 的奇偶性依次为（ ）A 偶函数，奇函数 奇函数，偶函数C 偶函数，偶函数D 奇函数，奇函数7.若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）A (],40-∞B [40,64]C (][),4064,-∞+∞UD [)64,+∞8 已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 3a ≤-B 3a ≥-C 5a ≤D 3a ≥9. 下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =表示相等函数其中正确命题的个数是( )A 0B 1C 2D 310 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，满分16分，请把答案填在题中横线上 1 设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________2 若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是3 已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____4 若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a的取值范围是____________三、解答题1 求下列函数的定义域（本小题共三小题，每小题4分，总分12分）（1）y = （2）11122--+-=x x x y（3）xx y ---=111112（本小题满分12分）判断一次函数,b kx y +=反比例函数x ky =，二次函数c bx ax y ++=2的 单调性3 判断下列函数的奇偶性（本小题满分12分）（1）()22f x x =+- （2）[][]()0,6,22,6f x x =∈--U4 （本小题满分12分）已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件： （1）()f x 是奇函数； （2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围5 （本小题满分12分）已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； ② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数6 （本小题满分14分）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值参考答案一选择题1C 2 C 3 B 4 D 5 D 6 .D 7 .C 8 . A 9. A 10.B 二填空题 1(1x 2 0a >且0b ≤ 372 4 1(,)2+∞三 解答题1 解：当0k >，y kx b =+解：（1）∵8083,30x x x +≥⎧-≤≤⎨-≥⎩得∴定义域为[]8,3-（2）∵222101011,110x x x x x x ⎧-≥⎪-≥=≠=-⎨⎪-≠⎩得且即∴定义域为{}1-（3）∵0111021101011x x x x x x x x x x ⎧⎪⎧⎪⎪-≠⎪<⎪⎪⎪⎪-≠≠-⎨⎨-⎪⎪⎪⎪≠-≠⎪⎪-⎩⎪-⎪-⎩得∴定义域为11,,022⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 2. ：当0k >，y kx b =+在R 是增函数，当0k <，y kx b =+在R 是减函数； 当0k >，ky x =在(,0),(0,)-∞+∞是减函数， 当0k <，ky x =在(,0),(0,)-∞+∞是增函数；当0a >，2y ax bx c =++在(,]2b a -∞-是减函数，在[,)2b a -+∞是增函数，当0a <，2y axbx c =++在(,]2b a -∞-是增函数，在[,)2b a -+∞是减函数3 解：（1）定义域为[)(]1,00,1-U ，则22x x +-=，()f x =∵()()f x f x -=-∴()f x =为奇函数（2）∵()()f x f x -=-且()()f x f x -=∴()f x 既是奇函数又是偶函数4 解：22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩,5 解：2(1)1,()22,a f x x x =-=-+对称轴min max 1,()(1)1,()(5)37x f x f f x f ===== ∴max m ()37,()1in f x f x ==（2）对称轴,x a =-当5a -≤-或5a -≥时，()f x []5,5-上单调 ∴5a ≥或5a ≤-6 解：（1）当0a =时，2()||1f x x x =++为偶函数， 当0a ≠时，2()||1f x x x a =+-+为非奇非偶函数； （2）当x a <时，2213()1(),24f x x x a x a =-++=-++ 当12a >时，min 13()()24f x f a ==+， 当12a ≤时，min ()f x 不存在；当x a ≥时，2213()1(),24f x x x a x a =+-+=+-+ 当12a >-时，2min ()()1f x f a a ==+， 当12a ≤-时，min 13()()24f x f a =-=-+。
河南省新野三高2020年高中数学第2章函数单元测试(四)(无答案)北师大版必修1
第2章函数单元测试(四)一、选挥题(本理具10小题*每小是4分，共40分〉* " -**f. MbJ . fj JI f X 二^*(*L函数y=—一在区间［1，2］匕的最大值为( ).W®卜務ffZ2.函数丿二三+虹一4在(〒<», — 1］上是递减的，在［三1, 2^?弹是递增的，则〃的符号为(.)•卞”昨L二”；、,・…二疋…一下可锚竝0也FT>$时>典+工居谕七她乜1*畑触D"的符号不确定3.已知函数/Q》是定义在R上的偶碉数，HC0时，那么八2)的值鼻( )憊暫厳駅21(°°+ *O】Sf 且»SfSil®® r *x**Xx)X ］RS sft® AIt ■「nTllr tr33fc IVMV'TT ffA flt.l&iFqTW UVE.51<« PQi l»r札»/>官都是由A到A的映射，其对应袪则如下表(从上到下“"二谶- M 1映射f的对应法Jl| r 衰2映射&的对应法则则与/(K(l>)相同的是( ),A.^(/(3)> < 眄：: Gg(f<4汉' D./r(/(l>)5.巳知/(x+l)-2x+3.则/(3)»于(攀馨議严4L 则# 3 应BM、、jQi^QBlhr 丄“总/ a 11 JV-£6.*列所鈴4个图像中.与所给3件事吻合堪好的颠序为 < 黑齢)鬧黙"三地密的赢碰订讥*(2)我从家骑自行车一路以匀速行较，只是在途中遇到一次交通堵寒，耽搁了一些R VT| T% *'► 1 tft T J F^•'*| •/J I-Ji £"匸#■时间I（3）我从家岀发后，心情轻松，开始缓缓行进.后来为了赶时间开始加速.*> 1 ' f5?C7*\HTZ* 亠二商「叩 更『哼 为巧1町fTT 〔廠1T ・K 垠・旌第耳圈fci"型 \ -金从阀堰郵卫B （〉⑵⑶I 左 $”上力.?7•下列隨数与函数严工赫同-函数的超 卜• ”• ：.A 妊MSL 自变丄By=^j? ；5tSl f C y^Vj?D*y=号二8•设八©是R 上的偶函数广直在£叮讣8）上是减甫数，若©VQ 且集議AS 则兀池聽乂厶a “. 洁_诒=（工几簿r+x s-^un o si—< :叽严行汕：；： 丛B 于（工負辱隠W 网商忌V 勺 i 苗九：2 ：二、--■ ° r 于政（！ • * 心7 2［、就事"八"• ：DJ5）与/X Q ）大小不确定2 心 S 亠 4 A M, li . /）进盼询「甘$卫菸・* 嗨糾_ J£ 甌备輙"二^opF-oSc 出賈托二节（况［二 二r_.才m- 厂上/圳一心比豳元遍'致04峙元刈-填空题〔本题共锚騰炸小题5 >/ * 20於缸潇1L 巳知幕函数j=/（x ）的图像过点（2•血人则f ⑼*12.若/XQ 是一次函数，且/（/（X ））=4J :—1,则 畑 = _____________ ・•严甩 …仍爲倉TT 赛蛾“ — 尺眈阿「粹吟廉M 若是偶函数，其定义域为R 且在［0,十8〉上是递减的*则”一孚）与 尸曲二禹的大小关系是轨+5•严廿MS 眾貫品蠻］• 三、解答题（本題共4小题纹每小题10分.共40分）15.画出函数图像：,=分一益x&Z»且」译丨<2.< )7A. /(X0>/(X2)C/C^X/Cxt)9.直线y=3与函数y= |护一6工|图像的交点个数为(九410,拟定从甲地到乙地通话m min 的电话费由/（m ） = l. 06X （0- 5 •［皿］+ 1）（元）决工 定，其中m>0,［丽］是大于或尊于酒的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为 5・5nun 的电话费妆人适歸鑑率舷廳二、填哲 &16.将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售童减少10个・那么为了赚到最大利润，售价应定为多少？17.确定函数y=x一丄在区间（一8, 0）上的单调性，并用定义证明•18.巳知函数/\工）是定义在R上的函数，若对于任意工，yWR,都有/（x+y） = 「沧#庵W：>o 时，有「"世卜m「•；垃f® ft 環、（1〉判瞬函效的奇偶性）「V ，…；' <2）判断函数/（刃在R上是增函数，还是减函数，并证明你的结论.'1- - M L t。
高中数学 第二章 函数 2.4.1 二次函数的图像学业分层测评 北师大版必修1
2.4.1 二次函数的图像(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝2x 2＋2 C ．y ＝4x 2D ．y ＝2x 2－2【解析】 将二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y ＝4x 2.【答案】 C2．将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为( )A ．y ＝－12(x －1)2－1B ．y ＝－12(x －1)2＋1C ．y ＝－12(x ＋1)2＋1D ．y ＝－12(x ＋1)2－1【解析】 将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－12(x ＋1)2－1.【答案】 D3. 若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )【解析】 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－b2a＜0，只有选项C 适合．【答案】 C4. 二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2【解析】 二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4. 【答案】 A5. 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7 B ．f (x )＝4x 2－4x －7 C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】 ∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1， ∴对称轴为x ＝2－12＝12，∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∴f (2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8，＝94a ＋8＝－1， ∴a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【答案】 D 二、填空题6. 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．【解析】 设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】 f (x )＝－2(x －2)2＋37. 若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________． 【解析】 ∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15， ∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋n ＝m ，3n ＝－15，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－5.【答案】 －28. 若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】 法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，g (x )＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，则12－a ＝－32，a ＝2.【答案】 2 三、解答题9. 将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】 ∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标为(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10. 已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 【导学号：04100029】【解】 法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73，∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13，∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)， ∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3. 将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3， 解得a ＝13，∴二次函数的解析式为y ＝13(x －4)2－3，即y ＝13x 2－83x ＋73.[能力提升]1. 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )【解析】 ∵a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0. 【答案】 D2. 已知二次函数f (x )满足f (0)＝－8，f (4)＝f (－2)＝0.若f (x －2)＝x 2－12，则x 的值为( )A ．－9B ．0C ．2D ．－8【解析】 ∵f (4)＝f (－2)＝0， ∴设f (x )＝a (x －4)(x ＋2)， ∴f (0)＝－8a ＝－8，∴a ＝1， ∴f (x )＝(x －4)(x ＋2)＝x 2－2x －8， ∴f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)－8＝x 2－6x ， 由x 2－6x ＝x 2－12，－6x ＝－12得x ＝2. 【答案】 C3. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2，∴－b2＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ，又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2， ∴c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2， ∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3.【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤034. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？ 【解】 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269， 即4－－k 3＝269， 解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。
最新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．令[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=，若函数()[][]32f x x x =-，则函数()f x 在区间[]0,2上所有可能取值的和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a < C ．2a > D ．R3．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，对称轴为1x =-，给出下面四个结论：①24b ac >；②21a b -=；③0a b c -+=；④若0y >，则()3,1x ∈-.其中正确的是（ ） A ．①④B ．②④C ．①③D ．①②③4．下列各函数中，表示相等函数的是（ ） A ．lg y x =与21lg 2y x =B ．211x y x -=-与1y x =+C ．21y x =与1y x =-D ．y x =与log xa y a =(0a >且1a ≠)5．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A ．16-B ．16C ．8aD ．816a -6．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9)B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)7．若函数()()21225,012,1bb x f x x x b x x -⎧-+<<⎪=⎨⎪+-≥⎩对于任意的实数12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)4,+∞C ．[]1,4D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．若定义运算,,b a b a b a a b≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2242g x x x x =--+*-+的值域为（ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞9．已知函数224()3f x x x=-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．以上都不对 10．若函数()f x =0,，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞ C ．(][)0,14,+∞ D ．[][)0,14,+∞11．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．)1,4⎡+∞⎢⎣B ．)1,2⎡+∞⎢⎣C ．(10,4⎤⎥⎦D ．(10,2⎤⎥⎦12．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036D ．4038二、填空题13．函数2()2f x x x =-，()1g x ax =+(0a >)，若对任意的[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使12()()f x g x =，则a 的取值范围是___________.14．已知函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________．15．已知函数2212,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是________.16．已知函数()()1f x a =-[]0,2上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.17．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________. 18．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①(1)0f =；②对任意x ∈R 的都有()()f x f x -=-；③对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-.记2()3()()1f x f xg x x --=-，则不等式()0g x ≤的解集______.19．定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，2 1.5,[0,1)()0.5,[1,2)x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[4,2)x ∈--时，1()42t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是______．20．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，则不等式()()f x f x >-的解集为_______________． 三、解答题21．设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且对任意的正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知(2)1f =，且1x >时，()0f x >． （1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）判断()y f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出你的证明；（3）解不等式2()(86)1f x f x >--．22．（1）已知)1fx =-()f x 的表达式．（2）已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-，求()f x ，()g x 的表达式．23．已知函数()f x 对一切x ，y 都有()()()212f x y f y x x y +-=+++成立，且()10f =．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若[]1,0x ∈-，函数()()11242f x xx m g x m -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，是否存在实数m 使得函数()g x 的最小值为14，若存在，求m 的值；若不存在的，请说明理由． 24．已知2()4xf x x =+，(2,2)x ∈-. （1）用定义判断并证明函数()f x 在(2,2)-上的单调性； （2）若(2)(21)f a f a +>-，求实数a 的取值范围. 25．（1）已知函数()f x =，求()f x 的定义域； （2）已知函数1()2f x x x=-+，依据函数单调性的定义证明()f x 在(0,)+∞上单调递减，并求该函数在[1,3]上的值域. 26．定义在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上的函数()f x 满足：对任意的11,,22x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭都有()()()1()()f x f y f x y f x f y ，且当102x <<时，()0f x >．（1）判断()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性并证明； （2）求实数t 的取值集合，使得关于x 的不等式1()02f t x f x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，分5种情况讨论，分别求出[]x 和[2]x 的值，即可以计算()3[][2]f x x x =-的函数值，相加即可得答案． 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以：当102x <时，有021x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]0x =，此时()0f x =， 当112x <时，有122x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]1x =，此时()1f x =-， 当312x <时，有223x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]2x =，此时()1f x =， 当322x <时，有324x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]3x =，此时()0f x =， 当2x =时，24=x ，则[]2x =，则3[]6x =，[2]4x =，此时()2f x =， 函数()f x 在区间[0，2]上所有可能取值的和为011022-+++=； 故选：B ． 【点睛】结论点睛：分类讨论思想的常见类型（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； （2）问题中的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.2．A解析：A 【分析】首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =，分别在12a <和12a≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【详解】当1x ≤时，()2f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2ax =的二次函数， ①当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.3．A解析：A 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点，可判定①正确；由对称轴方程为12bx a=-=-，可判定②不正确；由()10f ->，可判定③不正确；由根据函数的对称性和(3)0f -=，可判定④正确. 【详解】由函数2y ax bx c =++的图象，可得函数的图象开口向下，与x 轴有两个交点，所以0a <，240b ac ∆=->，所以①正确； 由对称轴方程为12bx a=-=-，可得2a b =，所以20a b -=，所以②不正确； 由()10f ->，可得0a b c -+>，所以③不正确； 由图象可得(3)0f -=，根据函数的对称性，可得()10f =， 所以0y >，可得31x -<<，所以④正确. 故选：A. 【点睛】识别二次函数的图象应用学会“三看”：一看符号：看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向； 二看对称轴：看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三看特殊点：看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.4．D解析：D 【分析】本题可依次判断四个选项中函数的定义域、对应关系、值域是否相同，即可得出结果. 【详解】A 项：函数lg y x =定义域为()0,∞+，函数21lg 2y x =定义域为{}0x x ≠，A 错误； B 项：函数211x y x -=-定义域为{}1x x ≠，函数1y x =+定义域为R ，B 错误；C 项：函数21y x =-值域为[)1,-+∞，函数1y x =-值域为R ，C 错误；D 项：函数y x =与函数log xa y a =(0a >且1a ≠)定义域相同，对应关系相同，D 正确. 故选：D 【点睛】方法点睛：判断两个函数是否相同，首先可以判断函数的定义域是否相同，然后判断两个函数的对应关系以及值域是否相同即可，考查函数定义域和值域的求法，是中档题.5．A解析：A 【分析】根据()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+，由()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =，得到max ()412B g x a ==-+，min ()44A f x a ==--求解.【详解】因为函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+， 所以()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+， 如图所示：当2x a =+时，()()44f x g x a ==--，当2=-x a 时，()()412f x g x a ==-+， 因为max ()412g x a =-+，所以()()2max ()412H x g x g x a ≤≤=-+， 因为min ()44f x a =--，所以()()1min ()44H x f x f x a ≥≥=--， 所以44,412A a B a =--=-+， 所以16A B -=-， 故选：A 【点睛】方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．6．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得：若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<， 综上可得：09m <<，故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.7．C解析：C 【分析】根据函数单调性的定义判断出函数()f x 为()0,∞+上的增函数，进而可得出关于实数b 的不等式组，由此可解得实数b 的取值范围. 【详解】对任意的正实数1x 、2x ，当12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 不妨设12x x >，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，则()()120212122512b b b b b -<⎧⎪-⎪≤⎨⎪--+≤+-⎪⎩，解得14b ≤≤. 因此，实数b 的取值范围是[]1,4. 故选：C. 【点睛】思路点睛：利用分段函数的单调性求参数范围，应该各支函数在各自的区间内利用单调性以及函数在间断点处端点值的大小关系得出参数的不等式组，从而解得参数的取值范围.8．A解析：A 【分析】根据,,b a b a b a a b ≥⎧*=⎨<⎩可得()g x 的解析式，画出图象可得答案.【详解】由,,b a ba b a a b ≥⎧*=⎨<⎩，得()()()222,[2,1]24224,(1,)(,2)x x g x x x x x x x -+∈-⎧=--+*-+=⎨--+∈+∞⋃-∞-⎩，当[2,1]x ∈-，()2[1,4g x x =-+∈]，当(1,)(,2)x ∈+∞-∞-，()2()154g x x =-++<，可得()4g x ≤- 故选：A. 【点睛】本题的关键点是根据已知定义求出函数解析式，然后画出图象求解.9．C解析：C 【分析】根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】解：∵3]x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴224()3[1,2]f x x x =-∈+． 当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102k >>-． ∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．10．D解析：D 【分析】 令22(2)1t mx m x =+-+，可知()0,t ∈+∞，即()22(2)0,1mx m x +-+∈+∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】 令22(2)1t mx m x =+-+，则1y t=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞，即()22(2)0,1mx m x +-+∈+∞， 记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()24240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.故选：D.11．C解析：C 【分析】由于22()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】由题得， 当0x ≥时，22()f x x a a =--，故写成分段函数222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得222,0()2,x x a f x x a x a ⎧-≤≤=⎨->⎩， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104a <≤. 故选：C . 【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=.故选：A . 【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.二、填空题13．【分析】求出在上的值域再求出在上的值域由可得的范围【详解】所以又所以时因为对任意的存在使所以解得故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化：一般地已知函数（1）若总解析：7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】求出()f x 在[2,2]-上的值域A ，再求出()g x 在[2,2]-上的值域B ，由A B ⊆可得a 的范围． 【详解】2()2f x x x =-2(1)1x =--，[2,2]x ∈-，所以()[1,8]f x ∈-，又0a >，所以[2,2]x ∈-时，()1[21,21]g x ax a a =+∈-++， 因为对任意的[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使12()()f x g x =，所以211218a a -+≤-⎧⎨+≥⎩，解得72a ≥．故答案为：7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．14．【分析】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x)＝－3x②解上面两个方程即得解【详解】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x) 解析：3x【分析】因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①,所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，②,解上面两个方程即得解. 【详解】因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 解由①②组成的方程组得f (x )＝3x . 故答案为3x 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15．【分析】分别讨论和时结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值解不等式可得所求范围【详解】函数可得时当且仅当时取得最小值由时若时在递减可得由于的最小值为所以解得；若时在处取得最小值与题意矛盾故舍去 解析：[3,)+∞【分析】分别讨论1x >和1x ≤时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得()f x 的最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】函数2212,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，可得1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+，当且仅当2x =时，()f x 取得最小值4a +， 由1x ≤时，()()2212f x x a a =-+-，若1a ≥时，()f x 在(]1-∞，递减，可得()()1132f x f a ≥=-， 由于()f x 的最小值为()1f ，所以1324a a -≤+，解得3a ≥； 若1a <时，()f x 在x a =处取得最小值与题意矛盾，故舍去； 综上得实数a 的取值范围是[)3,+∞， 故答案为：[)3,+∞. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.16．【分析】根据f （x ）定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论：①1＜a≤2时满足条件；②a=1时不合题意；③0＜a ＜1时不合题意；④a=0时不合题意；⑤a ＜0时满足条件这样即可求出实数a 的取 解析：012a a <<≤或【分析】根据f （x ）定义在[0，2]上，且4﹣ax≥0，即可得出a≤2，然后讨论：①1＜a≤2时，满足条件；②a=1时，不合题意；③0＜a ＜1时，不合题意；④a=0时，不合题意；⑤a ＜0时，满足条件，这样即可求出实数a 的取值范围． 【详解】∵f （x ）定义在[0，2]上；∴a ＞2时，x=2时，4﹣ax ＜0，不满足4﹣ax≥0； ∴a≤2；①1＜a≤2时，a ﹣1＞0；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ②a=1时，f （x ）=0，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠1；③0＜a ＜1时，a ﹣1＜0；∵[0，2]上是减函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是增函数； ∴0＜a ＜1不合题意；④a=0时，f （x ）=﹣2，不满足在[0，2]上是减函数；∴a≠0；⑤a ＜0时，a ﹣1＜0；[0，2]上是增函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ∴综上得，实数a 的取值范围为012a a <<≤或． 故答案为012a a <<≤或． 【点睛】考查函数定义域的概念，函数单调性的定义及判断．17．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析：18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.18．【分析】根据题意分析可得函数为奇函数且结合单调性的定义可得在上为增函数结合（1）以及函数奇偶性的性质分析可得与的的取值范围转化为或或可得的取值范围即可得答案【详解】根据题意满足对任意的都有即函数为奇 解析：[]1,0-【分析】根据题意，分析可得函数()f x 为奇函数且(0)0f =，结合单调性的定义可得()f x 在(0,)+∞上为增函数，结合f （1）0=以及函数奇偶性的性质分析可得()0f x >与()0f x <的x 的取值范围，转化为()010f x x <⎧⎨->⎩或()010f x x >⎧⎨-<⎩或()010f x x =⎧⎨-≠⎩，可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，()f x 满足对任意x ∈R 的都有()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，则有(0)0f =；又由对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠时，总有1212()()0f x f x x x ->-，即函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，若f （1）0=，则在区间(0,1)上，()0f x <，在区间(1,)+∞上，()0f x >， 又由()f x 为奇函数，则在区间(,1)-∞-上，()0f x <，在区间(1,0)-上，()0f x >，则()0g x 即2()3()5()()011f x f x f x g x x x --==--，即()010f x x <⎧⎨->⎩或()010f x x >⎧⎨-<⎩或()010f x x =⎧⎨-≠⎩，解可得：10x -，即不等式()0g x 的解集为[1-，0]； 故答案为：[]1,0-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．19．【分析】由分段函数根据单调性求得在的最小值根据求出的最小值将问题转化为解不等式即可得出结果【详解】根据已知当时则当时在处取到最小值当时在处取到最小值所以在时在处取到最小值又因为可知当时在时取到最小值 解析：(,2](0,1]-∞-⋃【分析】由分段函数根据单调性求得()f x 在[0,2)x ∈的最小值，根据(2)2()f x f x +=求出[4,2)x ∈--，()f x 的最小值，将问题转化为min 1()42t f x t≥-解不等式即可得出结果． 【详解】 根据已知，当[0,2)x ∈时，2 1.5,[0,1)()0.5,[1,2)x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩， 则当[0,1)x ∈时，()f x 在0.5x =处取到最小值(0.5)0.25f =-， 当[1,2)x ∈时，()f x 在 1.5x =处取到最小值(1.5)1f =-， 所以()f x 在[0,2)x ∈时在 1.5x =处取到最小值(1.5)1f =-， 又因为(2)2()f x f x +=， 可知当[4,2)x ∈--时， ()f x 在 2.5x =-时取到最小值，且(1.5)2(0.5)4( 2.5)f f f =-=-， 则1( 2.5)(1.5)0.254f f -=⨯=-． 为使[4,2)x ∈--，1()42t f x t≥-恒成立， 需11424t t -≤-， 当0t >时，可整理为220t t +-≤， 解得(0,1)t ∈； 当0t <时，可整理为220t t +-≥，解得(,2]t ∈-∞-． 故答案为(,2](0,1]-∞-⋃. 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，属于中档题．20．【分析】由表达式可知函数为奇函数则等价转换为解不等式即可【详解】因为当时则；同理当时又综上所述为奇函数则即当时解得；当时解得故的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查由分段函数解不等式函数奇偶性 解析：()()2,02,-+∞【分析】由表达式可知，函数()f x 为奇函数，则()()f x f x >-等价转换为()0f x >，解不等式即可 【详解】因为2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，当0x >时，0x -<，则()()()2222f x x x x x -=----=-+，()()f x f x -=-；同理当0x <时，()()()220,22x f x x x x x ->-=---=+，()()f x f x -=-，又()00f =，综上所述()f x 为奇函数，则()()()()f x f x f x f x >-⇔>-，即()20f x >，当0x >时，()2020f x x x >⇔->，解得2x >；当0x <时，()2020f x x x >⇔-->，解得20x -<<，故()()f x f x >-的解集为()()2,02,-+∞故答案为：()()2,02,-+∞【点睛】方法点睛：本题考查由分段函数解不等式，函数奇偶性的判断，常用以下方法： （1）对于分段函数判断奇偶性可用定义法，也可采用数形结合法，结合图象判断； （2）由函数性质解不等式可采用代数法直接运算求解，也可结合函数图象求解.三、解答题21．（1）1-； （2）函数单调递增，证明见解析； （3）3{|14x x <<或3}x >. 【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可； （3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()f x 对任意的正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立， 令1x y ==，可得(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =， 令12,2x y ==，可得1(1)(2)()2f f f =+，即11()02f +=，解得1()12f =-. （2）函数()f x 为增函数，证明如下： 设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <， 令211,x x x y x ==，根据题意，可得2121()()()x f x f f x x +=，即2211()()()x f x f x f x -=， 又由1x >时，()0f x >，因为211x x >，可得21()0x f x >，即21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 所以函数()y f x =在(0,)+∞上的单调性.（3）由题意和（1）可得11(86)1(86)()[(86)](43)22f x f x f f x f x --=-+=-=-， 又由不等式2()(86)1f x f x >--，即2()(43)f x f x >-，可得243430x x x ⎧>-⎨->⎩，解得314x <<或3x >，即不等式2()(86)1f x f x >--的解集为3{|14x x <<或3}x >. 【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略： 解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 22．（1）2()43(1)f x x x x =-+≥；（2）2()2f x x =-，()g x x =． 【分析】（1）利用换元法求解析式即可；（2）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求求()f x ，()g x 的表达式.【详解】（1）由)1f x =-，令11t =≥，()21,1t x t =-=-，所以()()()2212143f t t t t t =---=-+， 故()f x 的表达式为：2()43(1)f x x x x =-+≥； （2）由()f x 是偶函数，()g x 是奇函数， 得()()()(),f x f x g x g x -=-=-， 又由2()()2f x g x x x +=+-，（1）得2()()2f x g x x x +-=---，即2()()2f x g x x x =---，（2） 解（1）（2）联立的方程组得：2()2f x x =-，()g x x =，所以()f x ，()g x 的表达式为：2()2f x x =-，()g x x =.【点睛】关键点睛：利用换元法求解析式，根据函数奇偶性的定义利用方程组法是解决本题的关键. 23．（1）()2f x x x =+；（2）不存在，理由见解析．【分析】（1）令1y =，根据题设条件和()10f =，得到()()132f x x x +=++，再结合换元法，即可求得函数的解析式；（2）由（1）得()1112442x x m g x m -⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()()21124y h t t m t m ==+--，其中[]1,2t ∈，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，函数()f x 满足()()()212f x y f y x x y +-=+++成立， 令1y =，可得()()()1132f x f x x +-=⋅++， 因为()10f =，所以()()132f x x x +=++令1t x =+，则1x t =-，可得()()()221312f t t t t t =-+-+=+ 所以函数()f x 的解析式为()2f x x x =+.（2）由（1），可得()2111(1)()241124242x x xx xx m m g x m m +⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为[]1,0x ∈-，所以[]1,2t ∈，设函数()()21124y h t t m t m ==+--，[]1,2t ∈， 由函数()y h t =的开口向上，且对称轴()21t m =--， ①当()211m --≤，即12m ≥时，函数()y h t =在区间[]1,2上单调递增， 当1t =时，函数取得最小值，最小值为()min 314y h m ==--， 令3144m --=，解答1m =-，不符合题意（舍去）； ②当()212m --≥，即0m ≤时，函数()y h t =在(]1,2单调递减， 当2t =时，函数取得最小值，最小值为()min 1214y h ==-≠，无解； ③当()1212m <--<，即102m <<时， 当2(1)x m =--时，函数取得最小值，最小值为()2min 221y h m m =-+=--， 令2114m --=，此时方程无解， 综上可得，不存在实数m 使得()g x 的最小值14． 【点睛】研究二次函数的最值问题的求解方法和策略：二次函数的最值问题常见类型：（1）轴定区间定的最值；（2）轴动区间定的最值；（3）轴定区间动的最值；影响二次函数的闭区间上的最值的要素和求法：（1）最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；（2）常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论求解. 24．（1）增函数，证明见解析；（2）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）()f x 在(2,2)-上为增函数，任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <，化简()()12f x f x -并判断与零的大小关系，得出结论；（2）利用函数的定义域和单调性，列出不等式组，解出实数a 的取值范围． 【详解】（1）()f x 在(2,2)-上为增函数. 证明：任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <，所以()()1212221244x x f x f x x x -=-++()()()()21122212444x x x x x x --=++. 因为1222x x -<<<，所以210x x ->，1240x x -<则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数.（2）解：由（1）知，()f x 在(2,2)-上单调递增，又(2)(21)f a f a +>-， 所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13,223,a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩ 即102a -<<， 所以a 的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查定义法判断函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查学生计算能力，定义法证明单调性的步骤：取值，在定义域或者给定区间上任意取任取12,x x ，不妨设12x x <；作差，变形，对()()21f x f x -化简，通过因式分解或者配方法等，判断出差值的符号； 定号，确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；判断，根据定义得出结论．25．（1）(,1)(1,5]-∞；（2）单调性证明见解析，值域为17[,1]3--. 【分析】（1）利用偶次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，求得函数的定义域；（2）依据减函数的定义，利用取值、作差、判断符号的过程，证得函数的单调减，在区间端点取得最大最小值，得到函数在[1,3]上的值域.【详解】 （1）由5010x x -≥⎧⎨-≠⎩.得5x ≤且1x ≠，故()f x 的定义域为()(]115∞－，，∪； （2）设120x x <<，则()2112121221121212111()2()2()()(2)x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=--+-=--+=-+， 因为120x x <<，所以和211210,0x x x x ->>. 所以21121()(2)0x x x x -+>，从而()12()0f x f x ->， 故()f x 在()0,∞+上单调递减，因为()f x 在[1,3]上单调递减，且()11f -＝，()1733f -＝， 所以该函数在[1,3]上的值域为17[,1]3-- . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：（1）利用分式和偶次根式有意义的条件，列出不等式组，求得结果，得到函数的定义域； （2）利用函数在某个区间上单调减的定义，证得函数在给定区间上是减函数，求得函数在区间端点处取得最值，得到函数的值域.26．（1）单调递增；证明见解析；（2）14⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）首先判断()00f =，再令y x =-，判断函数的奇偶性，再设任意1210,2x x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，利用已知条件列式()()()()()()()()()121212121211f x f x f x f x f x x f x f x f x f x +---==-⋅-+⋅，判断符号，证明函数的单调性；（2）不等式转化为1()()2f t x f x f x ⎛⎫->-=- ⎪⎝⎭，再利用函数的单调性，去掉“f ”后，求t 的取值范围.【详解】解：（1）令0x y ==，则22(0)(0)1(0)f f f =-，得(0)0f =， 再令y x =-，则()()(0)01()()f x f x f f x f x +-==-⋅-， ∴()()0f x f x +-=，∴()f x 为奇函数， 对任意1210,2x x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭， 令1x x =，2y x =-，则()()()()()()()()()121212121211f x f x f x f x f x x f x f x f x f x +---==-⋅-+⋅， ∵当102x <<时，()0f x >， ∴()120f x x ->，()()1210f x f x +>，从而()()120f x f x ->，∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调递增.（2）∵()f x 为奇函数，∴1()()2f t x f x f x ⎛⎫->-=- ⎪⎝⎭， ∵()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调递增，且(0)0f =，∴()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，由题意得： 111222t x -<-<及12t x x ->-在11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立， ∴max min11112222x t x ⎛⎫⎛⎫-≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1144t -≤≤①； max 12t x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得14t ≥②， 由①②可知，t 的取值集合是14⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数证明单调性和奇偶性，以及不等式恒成立求参数的取值范围，一般抽象函数证明单调性和奇偶性时，采用赋值法，利用定义证明，本题不等式恒成立求参数，采用参变分离的方法，转化为求函数的最值.。
最新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．令[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=，若函数()[][]32f x x x =-，则函数()f x 在区间[]0,2上所有可能取值的和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若关于x 的不等式342xxa +-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，1]2-B ．(0，1]C ．1[2-，1]D ．[1，)+∞3．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．32a --≤≤C ．2a ≤-D ．0a <4．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，对称轴为1x =-，给出下面四个结论：①24b ac >；②21a b -=；③0a b c -+=；④若0y >，则()3,1x ∈-.其中正确的是（ ） A ．①④B ．②④C ．①③D ．①②③5．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ） A ．[]7,3-B ．[]3,7-C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知函数()31,03,0x x x f x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则()()232f x f x ->的解集为（ ）A ．()(),31,-∞-⋃+∞B ．()3,1-C ．()(),13,-∞-+∞ D ．()1,3-7．设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14，则实数a 的值为（ ） A ．13或2 B ．2或3C ．12或2 D ．13或3 8．已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有()21213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立，则()2020f 的值是（ ） A ．202021- B ．202021+C ．202020202121+-D ．202020202121-+9．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-B ．7-C ．5D ．710．已知函数的定义域为R ，且对任意的12,x x ，且12x x ≠都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，若()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．[1,2]-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,1][2,)-∞-+∞11．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当0x >时()f x 单调递减，若()()()1.360.5log 3,0.5,0.7,a f b f c f -===则,,a b c 的大小关系（ ）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>12．设函数()y f x =在(),-∞+∞上有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),()()()k f x f x K f x K f x K≤⎧=⎨>⎩，， 取函数()||()1x f x a a -=>，当1K a =时，函数()k f x 在下列区间上单调递减的是（ ）A ．(),0-∞B ．(),a -+∞C ．(),1-∞-D ．()1,+∞二、填空题13．若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数() 2f x f x =的定义域是__________.14．若函数()()21,f x ax bx a b =++∈R 满足:()()123f x f x x +-=+.设()f x 在[](),2t t t R +∈上的最小值为()g t ，则()g t =____.15．已知存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x ≥-+成立，则实数a 的取值范围是__________.16．函数222421x x y x ++=+的值域为_________.17．已知函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________． 18．已知函数()(12)3,1ln ,1a x a x f x x x -+<⎧⎨⎩＝的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．19．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，则不等式()()f x f x >-的解集为_______________．20．函数y =a x (a >0且a ≠1)在［1,2］上的最大值比最小值大2a，则a =______. 三、解答题21．已知函数()()12f x x x =+-. （1）作出函数()f x 的图象.（2）判断直线y a =与()()12f x x x =+-的交点的个数； （3）已知方程()1221x x m +-=-有三个实数解.求m 的取值范围. 22．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由． 23．已知函数1()1f x x =-，()1g x x x =+-.（1）判断当()1,x ∈+∞时函数()f x 的单调性，并用定义证明；（2）用分段函数的形式表示()g x 函数，并画出函数()g x 的图像.24．已知函数21.2()2,2221,2x x f x x x x x x +≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，（1）求(5)f -，(f ，5(())2f f -的值； （2）若()3f a =，求实数a 的值. 25．已知函数()()90f x x x x=+≠. （1）当()3,x ∈+∞时，判断并证明()f x 的单调性； （2）求不等式()()2330f xf x +≤的解集.26．已知定义在()1,1-上的奇函数2()1ax bf x x +=+，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在0,1上是增函数； （3）解不等式()2(120)f t f t -+<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，分5种情况讨论，分别求出[]x 和[2]x 的值，即可以计算()3[][2]f x x x =-的函数值，相加即可得答案． 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以： 当102x <时，有021x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]0x =，此时()0f x =， 当112x <时，有122x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]1x =，此时()1f x =-， 当312x <时，有223x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]2x =，此时()1f x =，当322x <时，有324x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]3x =，此时()0f x =， 当2x =时，24=x ，则[]2x =，则3[]6x =，[2]4x =，此时()2f x =， 函数()f x 在区间[0，2]上所有可能取值的和为011022-+++=； 故选：B ． 【点睛】结论点睛：分类讨论思想的常见类型（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； （2）问题中的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.2．D解析：D 【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【详解】解：由题意知，342xx a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-，则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=， 则1a ， 故选：D . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.3．B解析：B 【分析】由题得函数在定义域上单增，列出不等式组得解. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在定义域R 上单增，1215a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩ 解得32a --≤≤ 故选：B【点睛】分段函数在R 上单增，关键抓住函数在端点处右侧的函数值大于等于左侧的函数值是解题关键.4．A解析：A 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点，可判定①正确；由对称轴方程为12bx a=-=-，可判定②不正确；由()10f ->，可判定③不正确；由根据函数的对称性和(3)0f -=，可判定④正确. 【详解】由函数2y ax bx c =++的图象，可得函数的图象开口向下，与x 轴有两个交点，所以0a <，240b ac ∆=->，所以①正确； 由对称轴方程为12bx a=-=-，可得2a b =，所以20a b -=，所以②不正确； 由()10f ->，可得0a b c -+>，所以③不正确； 由图象可得(3)0f -=，根据函数的对称性，可得()10f =， 所以0y >，可得31x -<<，所以④正确. 故选：A. 【点睛】识别二次函数的图象应用学会“三看”：一看符号：看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向； 二看对称轴：看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三看特殊点：看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.5．C解析：C 【分析】由2233x -≤-≤解得结果即可得解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤， 要使()23f x -有意义，只需2233x -≤-≤，解得132x ≤≤。
北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测卷(答案解析)
一、选择题1．若关于x 的不等式342xx a+-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，1]2-B ．(0，1]C ．1[2-，1]D ．[1，)+∞2．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，对称轴为1x =-，给出下面四个结论：①24b ac >；②21a b -=；③0a b c -+=；④若0y >，则()3,1x ∈-.其中正确的是（ ） A ．①④B ．②④C ．①③D ．①②③3．已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．()(),13,-∞+∞4．以下说法正确的有（ ） （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3x y =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =. 其中正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值 D ．点()2,8在()f x 的图象上7．定义,min(,),a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，例如：min(1,2)2--=-，min(2,2)2=，若2()f x x =，2()46g x x x =--+，则()min((),())F x f x g x =的最大值为（ ）A ．1B ．8C ．9D ．108．已知函数()3221xf x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<9．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．)1,4⎡+∞⎢⎣ B ．)1,2⎡+∞⎢⎣ C ．(10,4⎤⎥⎦D ．(10,2⎤⎥⎦10．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数， 下列判断正确的是（ ） A ．①正确②正确B ．①错误②错误C ．①正确②错误D ．①错误②正确11．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 12．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036D ．4038二、填空题13．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是________.14．设函数()x f x e =()g x mx =，若对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 15．函数y x =+______．16．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________.17．对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是________________.18．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 19．若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，()f x x =，则()57f =______．20．设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，是a 的取值范围为________________．三、解答题21．已知函数()21f x x=- （1）证明函数()f x 在()0,∞+上是减函数． （2）求函数()f x 在[)2,x ∈+∞时的值域．22．已知()f x 是定义域为R +的增函数，且对任意正实数a 和b ，都有()()()1f ab f a f b =+-.（1）证明：当1x >时，()1f x >；（2）若又知1()02f =，解不等式(32)(1)()2f x f x f x -+-<+.23．已知二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，且函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <，()()213g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求函数()g x 在区间[],2t 上的最大值和最小值；24．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）指出函数()f x 在R 上的单调性（不需要证明）；（3）若对任意实数m ，()()20f m f m t +->恒成立，求实数t 的取值范围．25．已知函数()f x x x a =-，a ∈R ，()21g x x =-．（1）当1a =-时，解不等式()()f x g x ≥；（2）当4a >时，记函数()f x 在区间[]0,4上的最大值为()F a ，求()F a 的表达式． 26．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的图象过()0,1A ，()1,5B 两点，且它的对称轴的方程为12x =-.（1）求该二次函数的表达式；（2）当26x ≤≤时，函数()22y ax b m x c =+-+的最大值为()G m ，最小值为()H m ，令()()()h m G m H m =-，求()h m 的表达式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【详解】解：由题意知，342xx a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-，则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=， 则1a ， 故选：D . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.2．A解析：A 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点，可判定①正确；由对称轴方程为12bx a=-=-，可判定②不正确；由()10f ->，可判定③不正确；由根据函数的对称性和(3)0f -=，可判定④正确. 【详解】由函数2y ax bx c =++的图象，可得函数的图象开口向下，与x 轴有两个交点，所以0a <，240b ac ∆=->，所以①正确； 由对称轴方程为12bx a=-=-，可得2a b =，所以20a b -=，所以②不正确； 由()10f ->，可得0a b c -+>，所以③不正确； 由图象可得(3)0f -=，根据函数的对称性，可得()10f =， 所以0y >，可得31x -<<，所以④正确. 故选：A. 【点睛】识别二次函数的图象应用学会“三看”：一看符号：看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向； 二看对称轴：看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三看特殊点：看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.3．D解析：D 【分析】根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解出x 的范围 【详解】解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-， 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数， 所以()f x 在R 上为减函数，由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-， 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<， 所以10x -<或12x ->， 解得1x <或3x >，所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，再利用()f x 在R 上为减函数，得10x -<或12x ->，考查数学转化思想，属于中档题 4．B解析：B 【分析】 根据AB 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.5．C解析：C 【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】解：对于①：3xy =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=， 所以函数3xy =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =， 故③正确； 故选：C. 【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.6．A解析：A 【分析】可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论. 【详解】①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得212434428b a ac baa b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得20434428a b c ac b a a b c -+=⎧⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得012428a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，不合乎题意； ④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，可得2012434a b c b a ac b a⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得343294a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，不合乎题意. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.7．C解析：C 【分析】根据定义确定()F x 的解析式及单调性后可得最大值． 【详解】由2246x x x <--+得2230x x +-<，31x -<<，所以()22,3146,31x x F x x x x x ⎧-<<=⎨--+≤-≥⎩或，所以()F x 在(,3)-∞-和(0,1)上都是增函数，在(3,0)-和(1,)+∞上都是减函数，(3)9F -=，(1)1F =，所以max ()9F x =． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值．解题关键是根据新函数定义确定新函数的解析式，单调性．结合单调性易得最值．8．A解析：A 【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解 【详解】由函数单调性性质得：3y x =，21xy =+在R 上单调递增所以()3221xf x x =-+在R 上单调递增， 令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<． 故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.9．C解析：C 【分析】由于22()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】由题得， 当0x ≥时，22()f x x a a =--，故写成分段函数222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得222,0()2,x x a f x x a x a ⎧-≤≤=⎨->⎩， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104a <≤. 故选：C . 【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.10．D解析：D 【分析】可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案． 【详解】①错误，可举反例：21()31xx f x x x ⎧=⎨-+>⎩，230()30121x x g x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪>⎩，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数； 故①错误； ②()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数；()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；()f x ∴为奇函数；同理，()g x ，()h x 均是奇函数； 故②正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．11．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a--=，x 2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；12．A解析：A 【分析】根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=. 故选：A . 【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.二、填空题13．【分析】函数是增函数可得且即可求解【详解】因为函数为上的增函数所以当时递增即当时递增即且解得∴综上可知实数的取值范围是故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围需满足分段函数 解析：(]0,2【分析】函数是增函数可得30a ->，0a >且2(3)151aa -⨯-≤-，即可求解. 【详解】因为函数()f x 为R 上的增函数，所以当1x ≤时，()f x 递增，即30a ->，当1x >时，()f x 递增，即0a >， 且2(3)151aa -⨯-≤-，解得2a ≤，∴02a <≤， 综上可知实数a 的取值范围是(]0,2. 故答案为：(]0,2. 【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方.14．【分析】首先判断函数的单调性依题意只需再对参数分三种情况讨论即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为在定义域上单调递增又在定义域上单调递减所以根据复合函数的单调性可得在定义域上单调递减所以在定义域上解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】首先判断函数()f x 的单调性，依题意只需()()12min min f x g x >，再对参数m 分三种情况讨论，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：因为xy e =、y =42y x =-在定义域上单调递减，所以根据复合函数的单调性可得y =在定义域上单调递减，所以()x f x e =-[]0,1上单调递增，所以()()001min f x f e ===-对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立， 则只需()()12min min f x g x >因为()g x mx =，[]1,2x ∈，当0m =时()0g x =，而()1min f x =-，不符合题意； 当0m >时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递增，则()()min 1g x g m ==，所以1m <-矛盾，舍去；当0m <时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递减，则()()min 22g x g m ==，所以210m m <-⎧⎨<⎩解得12m <- 故m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．15．【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域【详解】设则所以原函数可化为：由二次函数性质当时函数取最大值2由性质可知函数无最小值所以值域为：故答案为 解析：(],2-∞【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域. 【详解】设)0t t =≥，则21x t =-， 所以原函数可化为：()2210y t t t =-++≥，由二次函数性质，当1t =时，函数取最大值2，由性质可知函数无最小值， 所以值域为：(],2-∞. 故答案为：(],2-∞. 【点睛】本题考查换元法求函数值域，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出新变量数的取值范围.16．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析：18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.17．【分析】令由题意得出解出该不等式组即可得出实数的取值范围【详解】对于任意的不等式恒成立即不等式恒成立令则解得或因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题涉及主元思想的应用将问题转 解析：()(),52,-∞-+∞【分析】令()()224f m t m t =-+-，由题意得出()10230f f ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，解出该不等式组，即可得出实数t 的取值范围. 【详解】对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，即不等式()2240t m t -+->恒成立，令()()224f m t m t =-+-，则()()()()()()2211524202223324250f t t t t f t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-+-=-+>⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=-+-=-+>⎩， 解得5t <-或2t >，因此，实数t 的取值范围是()(),52,-∞-+∞.故答案为：()(),52,-∞-+∞.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及主元思想的应用，将问题转化为一次函数不等式恒成立是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.18．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8 【解析】∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a ＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．19．2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数根据代入解析式即可【详解】根据已知条件进而有于是显然则是以6最小正周期的周期函数∵当时则故答案为：2【点睛】本题以抽象函数为载体研究抽象函数解析：2 【分析】根据函数满足的关系可得()f x 是以6最小正周期的周期函数，根据()()573f f =代入解析式即可. 【详解】 根据已知条件()()()()113f x f x f x f x ⎧=-⎪⎨+=--⎪⎩，进而有()()()()()1133f x f x f x f x f x =-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦---=-+， 于是()()3+=-f x f x ，显然()()()()()6333f x f x f x f x f x +=++=-⎡⎤⎡⎤+=--⎦⎦=⎣⎣， 则()f x 是以6最小正周期的周期函数， ∵当(]1,3x ∈时()f x x =，则()()()57693332f f f =⨯+===．故答案为：2. 【点睛】本题以抽象函数为载体，研究抽象函数的结构特征，且挖掘暗含条件，巧妙地对复合函数的连续变形，体现了数学抽象，数学化归等关键能力与学科素，属于中档题.20．【分析】利用定义可知在上递减在上递增所以当时取得最小值为再根据是的最小值可知且解得结果即可得解【详解】当时任设则当时所以所以当时所以所以所以在上递减在上递增所以当时取得最小值为又因为是的最小值所以且 解析：02a ≤≤【分析】利用定义可知1()f x x a x=++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +，再根据(0)f 是()f x 的最小值，可知0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得结果即可得解.【详解】当0x >时，1()f x x a x=++， 任设120x x <<，则12121211()()f x f x x a x a x x -=++---12121()(1)x x x x =--， 当120x x <<1<时，120x x -<，12110x x -<，所以12121()(1)0x x x x -->，所以12()()f x f x >，当121x x <<时，120x x -<，12110x x ->，所以12121()(1)0x x x x --<，所以12()()f x f x <，所以1()f x x a x=++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， 所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +， 又因为(0)f 是()f x 的最小值，所以0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得02a ≤≤.故答案为：02a ≤≤. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性，考查了根据函数的最值点求参数的取值范围，考查了分段函数的性质，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）(]1,0-. 【分析】（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，然后怍差()()()2112122x x f x f x x x --=判断其符号即可.（2）根据（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2x =取得最大值，再由20x>确定值域. 【详解】（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，则有()()()2112121222211x x f x f x x x x x --=--+=，又因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上是减函数．（2）由（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数， 所以当2x =时()max 0f x =， 又因为20x>，所以211x ->-，所以函数()f x 在()0,∞+上的值域为(]1,0-． 【点睛】方法点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．22．（1）证明见解析；（2）12x <<. 【分析】（1）计算出(1)f 后由单调性可证；（2）求得(2)2f =，利用定义不等式可化为([(32)(1)](2)f x x f x --<，然后由单调性求解． 【详解】解（1）令1a b ==，代入条件式子得(1)1f =；()f x 在R +上单调递增∴当1x >时，()(1)1f x f >=，得证.（2）令1,22a b ==，代入①式得1(1)()(2)1(2)22f f f f =+-⇒= (32)(1)()2f x f x f x ∴-+-<+(32)(1)()(2)f x f x f x f ⇔-+-<+320,10,0,[(32)(1)]1(2)1x x x f x x f x ->⎧⎪->⎪⇔⎨>⎪⎪--+<+⎩11121(32)(1)223x x x x x x x ⎧>⎧>⎪⎪⇔⇔⇔<<⎨⎨--<<<⎪⎪⎩⎩．【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的单调性的应用，解关于抽象函数的不等式，关键是利用函数的定义，把不等式转化为12()()f x f x <形式，然后由单调性求解．转化时注意函数的定义域．23．（1）()211f x x x =++；（2）见详解.【分析】（1）根据二次函数过点()1,13，得到12b c +=，根据函数奇偶性，得到()y f x =关于直线12x =-对称，求出b ，得出c ，即可得出函数解析式；（2）先由（1）得到()222,02,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，分别讨论12t ≤<，01t ≤<，10t ≤<，1t <四种情况，结合二次函数的性质，即可求出最值.【详解】（1）因为二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，所以131b c =++，即12b c +=①；又函数12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称，因此()y f x =关于直线12x =-对称；所以122b -=-，即1b =，代入①式可得11c =， 所以()211f x x x =++； （2）由（1）()211f x x x =++，所以()()()22222,0111322,0x x x g x x x x x x x x x x ⎧-≥=++--⋅=-⋅=⎨-+<⎩，因为()11g =-，当0x <时，由221x x -+=-解得1x = 因为[],2x t ∈，所以当12t ≤<时，()22g x x x =-在[],2t 上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-；当01t ≤<时，()22g x x x =-在(),1t 上单调递减，在()1,2上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当10t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，则(()()()1100g g t g x g -=≤≤<=； []0,2x ∈时，()22g x x x =-在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递增，所以()()()[]1,21,0g x g g ∈=-⎡⎤⎣⎦， 所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当1t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，所以()(()()1100g t g g x g <-=-≤<<；[]0,2x ∈时，()[]221,0g x x x =-∈-，所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-+；综上，函数()g x 在区间[],2t 上的最大值()()max 20g x g ==，最小值为()2min22,11,112,12t t t g x t t t t ⎧-+<⎪⎪=--≤<⎨⎪-≤<⎪⎩. 【点睛】 方法点睛：二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：（1）轴定区间定；（2）轴动区间定；（3）轴定区间动；不论哪种类型，解题时，都是讨论对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.24．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩；（2）增函数；（3）14t <-.【分析】（1）当0x <时，0x ->，求出()f x -，根据奇函数得到()f x ； （2）由解析式可直接写出；（3）先根据奇函数的性质化不等式为()()2f m f t m>-，利用单调性脱去“f ”,转化为2t m m <+恒成立，求出2m m +的最小值即可.【详解】（1）当0x <时，0x ->，又()f x 是奇函数， ∴()()()22f x x x f x -=--=-∴()()220f x x x x =-+<，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩（2）由()f x 的解析式以及二次函数、分段函数的性质可知()f x 为R 上的增函数： （3）由()()210f m f m +->和()f x 是奇函数得()()()22f m f m t f t m>--=-，因为()f x 为R 上的增函数， ∴2m t m >-，221124t m m m ⎛⎫<+=+- ⎪⎝⎭，∴14t <-． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．25．（1）{}1x x ≥-；（2）()2,484416,8a x F a a a ⎧<<⎪=⎨⎪-≥⎩【分析】（1）由1a =-，得211x x x +≥-，进而分1x ≥-和1x <-两种情况，分别解不等式，进而可求出原不等式的解集；（2）由[]0,4x ∈，且4a >，可得()2f x x ax =-+，进而结合二次函数的性质，分类讨论，可求出()f x 在区间[]0,4上的最大值的表达式. 【详解】（1）当1a =-时，()1f x x x =+，则211x x x +≥-．①当1x ≥-时，不等式为221x x x +≥-，解得1x ≥-，所以1x ≥-； ②当1x <-时，不等式为221x x x --≥-，解得112x ≤≤-，所以解集为空集． 综上，不等式的解集为{}1x x ≥-．（2）因为[]0,4x ∈，且4a >，所以()()2f x x a x x ax =-=-+，①当48a <<时，242a <<，则()224a aF a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②当8a ≥时，42a≥，则()()4416F a f a ==-. 综上()2,48{4416,8a a F a a a <<=-≥． 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （2）根据对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析.26．（1）2221y x x =++；（2）()22728,5116913,59221255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩.【分析】（1）待定系数法求出参数,,a b c ，写出二次函数表达式即可；（2）由（1）知22(22)1y x m x =+-+，即对称轴为12m x -=，讨论12m -与区间[]2,6的位置关系求m 范围及对应()h m .【详解】解：（1）由题可得12215b a c a b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解得221a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即2221y x x =++； （2）22(2)2(22)1y ax b m x c x m x =+-+=+-+，其图象对称轴的方程为12m x -=. ①当122m -<时，即5m <时，()8512G m m =-，()134H m m =-，()728h m m =-；②当1242m -≤≤时，即59m ≤≤时，()8512G m m =-，221()2m m H m -++=，21169()1322h m m m =-+； ③当1462m -<≤时，即913m <≤时，()134G m m =-，221()2m m H m -++=，2125()522h m m m =-+； ④当162m ->时，即13m >时，()134G m m =-，()8512H m m =-，()872h m m =-.综上，()22728,5116913,59221255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩. 【点睛】关键点点睛：已知过定点及对称轴，应用待定系数法求二次函数解析式；当对称轴含参数时，研究区间最值需要讨论对称轴与区间的关系确定最值情况.。
最新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测(有答案解析)(1)
一、选择题1．若函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．4,⎡-⎣B．4⎤⎦C ．[]3,4-D．⎡⎣2．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ） A ．[]7,3-B ．[]3,7-C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ）A ．4B ．1-C ．23D ．64．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．115,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,215⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．41,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]4,-+∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,46．对x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为()()()max{,}M x f x g x =，若()()2{3,1}M x x x =-+-，则()M x 的最小值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．47．如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，上为减函数，则m 的取值范围（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，8．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-B ．7-C ．5D ．79．已知函数的定义域为R ，且对任意的12,x x ，且12x x ≠都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，若()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,1][2,)-∞-+∞10．已知函数log ,0(),0a xx x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．a11．已知函数()f x 的定义域为R ,对任意的 12,x x <都有1212()(),f x f x x x -<-且(3)4,f =则(21)2f x x ->的解集为( )A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞12．已知函数()113sin 22f xx x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036D ．4038二、填空题13．关于函数21()11x f x x -=+-的性质描述，正确的是_________.①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称.14．函数()()2325f x kx k x =+--在[)1+∞，上单调递增，则k 的取值范围是________. 15．函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 取值范围为________.16．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式()cos f x x<0的解集为________．17．已知集合{1,A B ==2，3}，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.18．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0xf x <的解集是___________.19．函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________． 20．若函数211x y x -=-的值域是()[),03,-∞+∞，则此函数的定义域是____.三、解答题21．已知函数()()12f x x x =+-. （1）作出函数()f x 的图象.（2）判断直线y a =与()()12f x x x =+-的交点的个数； （3）已知方程()1221x x m +-=-有三个实数解.求m 的取值范围. 22．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若集合(){}{}|12A x f x x ===，，且()02f =. ①求函数()f x 的解析式； ②画出函数()y f x =的图象，并讨论函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数；（2）若a =1，c =0，求函数()f x 在区间[]22-，上的最小值. 23．已知函数()bf x ax x=+的是定义在()0,∞+上的函数，且图象经过点()1,1A ，()2,1B -.（1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在()0,∞+上是减函数； （3）求函数()f x 在[]2,5的最大值和最小值.24．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.25．已知二次函数2()1(,)f x ax bx a b R =++∈，x ∈R .（1）若函数()f x 的最小值为(1)0f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间；（2）在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围． 26．已知a R ∈，奇函数()f x 与偶函数()g x 的定义域均为(,0)(0,)-∞+∞，且满足()()2af xg x x x-=+-. （1）分别求()f x 和()g x 的解析式： （2）若对任意[1,),()()0x f x g x ∞∈++>恒成立，试求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】函数()f x 在R 上是增函数，则在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足2138a a -+--≤，从而得到答案.【详解】函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则满足下列条件：（1）()2238y x a x =-+--在(],1-∞递增，2312a -≥，即a ≥a ≤（2）y ax =在()1,+∞递增，则0a >（3）当1x =时满足2138a a -+--≤，解得34a -≤≤综上可得函数()f x 在R 上是增函数，实数a 4a ≤≤ 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是分段函数要在定义域内单调递增，则在两段上要分别单调递增，且在分界点出满足2138a a -+--≤，这也时容易出错的地方，属于中档题.2．C解析：C 【分析】由2233x -≤-≤解得结果即可得解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤，要使()23f x -有意义，只需2233x -≤-≤，解得132x ≤≤。
最新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．04m ≤≤B ．04m <≤C ．04m ≤<D ．04m <<2．若函数()f x =在[]1,3-上具有单调性，则实数a 的可能取值是（ ）A ．4-B ．5C ．14D ．233．设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3x y =具有性质M ； ②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =. 其中正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知2()25x f x +=-，()()20g x ax a =+>，若对任意的[]11,2x ∈-，存在[]00,1x ∈，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．[)3,+∞D ．(]0,35．对于每个实数x ，设()f x 取24y x =-+，41y x =+，2y x =+三个函数值中的最小值，则()f x （ ） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值83，最小值1 C ．有最大值3，无最小值D ．有最大值83，无最小值 6．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．115,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,215⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．41,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．若函数()()21225,012,1bb x f x x x b x x -⎧-+<<⎪=⎨⎪+-≥⎩对于任意的实数12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)4,+∞C ．[]1,4D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．对x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为()()()max{,}M x f x g x =，若()()2{3,1}M x x x =-+-，则()M x 的最小值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．49．已知函数224()3f x x x =-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．以上都不对10．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-B ．7-C ．5D ．711．已知函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，则m 的值为（ ） A ．1或3B ．3或134C ．3D ．13412．函数()()2212f x x a x =+--在(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≥D ．3a ≥二、填空题13．函数()2f x x a =- 在区间[]1,1-上的最大值()M a 的最小值是__________．14．函数222421x x y x ++=+的值域为_________.15．自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()xxf ae ex b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数 2.71828e =…）（1）如果()f x 为单调函数.写出满足条件的一-组值：a =______，b =______. （2）如果()f x 的最小值为2，则+a b 的最小值为______.16．已知函数()()14f x a ax =--[]0,2上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.17．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________. 18．若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，()3log f x x =，则()57f =______．19．若对任意02x ≤≤，恒有2x ax b c ++≤成立，则当c 取最小值时，函数()24f x x a x b x c =-+-+-的最小值为________．20．已知函数()1f x x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数()22f x mx mx n =-+ ()0m >在区间[]1,3上的最大值为5，最小值为1，设()()=f xg x x. （1）求m 、n 的值； （2）证明：函数()g x 在),n +∞上是增函数；（3）若函数F ()()22xxx g k =-⋅=0，在[]1,1x ∈-上有解，求实数k 的取值范围.22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式，并作出函数的大致的简图；(作图要求：①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑)； （2）根据图象写出函数单调区间；（3）若不等式()21f x m -≥在[1,3]x ∈-上有解，求m 的取值范围. 23．已知函数()22mf x x x=-． （1）当1m =时，判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义法加以证明． （2）已知二次函数()g x 满足()()2446g x g x x =++，()13g =-．若不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围．24．已知函数2()21,[1,3]f x ax bx x =++∈（,a b ∈R 且,a b 为常数） （1）若1a =，求()f x 的最大值；（2）若0a >，1b =-，且()f x 的最小值为4-，求a 的值.25．已知函数12()12x xa f x -⋅=+是R 上的奇函数(a 为常数)，()22.g x x x m m R =-∈+， （1）求实数a 的值；（2）若对任意12[]1x -∈，，总存在2]3[0x ∈，，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围.26．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：①对任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+；②当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）求()1f ；（2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较1x ，2x 的大小关系，并说明理由； （3）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()()22333310xxxx f f m --⎡⎤+≤+-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意； 当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩.2．C解析：C 【分析】令函数()218g x x ax =-++，则只需使当[]1,3x ∈-时，()0g x ≥且单调，然后针对()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1230ag ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩两种情况讨论求解. 【详解】由题意可设()218g x x ax =-++，则当[]1,3x ∈-时，()218g x x ax =-++单调，且()0g x ≥恒成立，因为()218g x x ax =-++的对称轴方程为2a x =， 则()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1230ag ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩，解得617a ≤≤或32a --≤≤，即[][]6,173,2a ∈--，则只有14满足题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查根据复合函数的单调性求参数的取值范围，解答时注意不仅要使原函数在所给区间上单调，且必须使原函数在所给区间上有意义.3．C解析：C 【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】解：对于①：3xy =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=， 所以函数3xy =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =， 故③正确； 故选：C. 【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.4．A解析：A 【分析】根据指数函数的性质求出()f x 在[0,1]上的值域A ，利用一次函数的单调性求出()g x 在[1,2]-上的值域B ，由题得B A ⊆，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】2()25x f x +=-，[]00,1x ∈，()()min 01f x f ∴==-，()()max 13f x f ==， ∴()f x 在[0,1]上的值域为[]1,3A =-，又()2(0)g x ax a =+>在[1,2]-上单调递增，∴()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得B A ⊆，021223a a a >⎧⎪∴-+≥-⎨⎪+≤⎩，解得102a <≤.故选：A 【点睛】本题考查函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围.探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围5．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，结合图象可得出结论. 【详解】由已知可得(){}min 24,41,2f x x x x =-+++，作出函数()f x 的图象如下图所示：函数()f x 的图象如上图中的实线部分，联立224y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得2383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由图象可知，函数()f x 有最大值83，无最小值. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键就是结合函数()f x 的定义，进而作出函数()f x 的图象，利用图象得出结论.6．D解析：D 【分析】若函数()f x 在R 上递减，则必须满足当(],2x ∈-∞时，函数22y x ax =-递减，且()2,x ∈+∞时132y a x=-也递减，且端点处的函数值必须满足条件． 【详解】易知函数132y a x=-在(2,)+∞上单调递减，要使函数()f x 在R 上单调递减， 则函数22y x ax =-在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥， 当2x =时，2244x ax a -=-，113324a a x -=-，要使()f x 在R 上单调递减， 还必须14434a a -≥-，即154a ≤，所以1524a ≤≤.故选：D ． 【点睛】解答本题时，首先要保证原函数在每一段上都递减，另外，解答时容易忽略掉端点的函数值的大小关系.7．C解析：C 【分析】根据函数单调性的定义判断出函数()f x 为()0,∞+上的增函数，进而可得出关于实数b 的不等式组，由此可解得实数b 的取值范围. 【详解】对任意的正实数1x 、2x ，当12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 不妨设12x x >，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，则()()120212122512b b b b b -<⎧⎪-⎪≤⎨⎪--+≤+-⎪⎩，解得14b ≤≤. 因此，实数b 的取值范围是[]1,4. 故选：C. 【点睛】思路点睛：利用分段函数的单调性求参数范围，应该各支函数在各自的区间内利用单调性以及函数在间断点处端点值的大小关系得出参数的不等式组，从而解得参数的取值范围.8．C解析：C 【分析】根据定义求出()M x 的表达式，然后根据单调性确定最小值． 【详解】由23(1)x x -+=-解得：1x =-或2x =，2(1)3x x -≥-+的解集为1x ≤-或2x ≥，2(1)3x x -<-+的解为12x -<<，∴2(1),12()3,12x x x M x x x ⎧-≤-≥=⎨-+-<<⎩或，∴2x ≤时，()M x 是减函数，2x >时，()M x 是增函数，∴min ()(2)1M x M ==． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是确定新定义函数的解析式，根据新定义通过求最大值得出新函数的解析式，然后根据分段函数研究新函数的性质．9．C解析：C 【分析】根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴224()3[1,2]f x x x =-∈+． 当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102k >>-． ∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．10．A解析：A 【解析】()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A. 11．D解析：D 【分析】依题意可得()f x 在[]0,2上的最大值为9，求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m 的方程，解出即可． 【详解】解：因为函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，即函数()()220f x x mx m =-+>在[]0,2上的最大值为9，因为222()2()f x x mx x m m =-+=--+，对称轴是x m =，开口向下， 当02m <<时，()f x 在[0，)m 递增，在(m ，2]递减， 故2()()9max f x f m m ===，解得：3m =，不合题意，2m 时，()f x 在[0，2]递增，故()()2449max f x f m ==-=，解得：134m =，符合题意， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．12．A解析：A 【分析】分析函数()()2212f x x a x =+--的图象和性质，结合已知可得41a ≤-，解得答案.【详解】函数()()2212f x x a x =+--的图象是开口朝上，且以直线1x a =-为对称轴的抛物线，若函数()()2212f x x a x =+--在(],4-∞上是减函数，41a ∴≤-, 解得: 3a ≤-， 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.二、填空题13．【分析】由题意函数为偶函数分和去掉绝对值然后根据单调性求出最大值再根据单调性求出的最小值【详解】解：由题意函数为偶函数①当时在上单调递增则；②当时当即时在上单调递减则；当即时在上单调递减在上单调递增 解析：12【分析】由题意，函数()2f x x a =-为偶函数，分0a ≤和0a >去掉绝对值，然后根据单调性求出最大值()M a ，再根据单调性求出()M a 的最小值． 【详解】解：由题意，函数()2f x x a =-为偶函数，①当0a ≤时，()2f x x a =-，()f x 在[]0,1上单调递增，则()()()111M a f f a ==-=-；②当0a >时，()22,,x a x x f x a x x ⎧-≤≥⎪=⎨-<<⎪⎩或1即1a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减，则()()0M a f a ==；1<即01a <<时，()f x在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∵()0f a =，()11f a =-， 由1a a 得112a <<，此时()M a a =； 由1a a ≤-得102a <≤，此时()1M a a =-； ∴()11,21,2a a M a a a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，∴()min 1122M a M ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：12． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，本题的关键在于分类讨论去掉绝对值，然后再根据单调性求出最值，属于中档题．14．【分析】将函数变形为关于的方程分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围从而值域可求【详解】因为所以所以当即时此时；当即时此时所以综上可知：所以的值域为故答案为：【点睛】易错点睛：利用判别式法求解析：[]0,4【分析】将函数变形为关于x 的方程，分析二次项的系数并结合∆与0的关系求解出y 的取值范围，从而值域可求. 【详解】因为222421x x y x ++=+，所以222+42yx y x x +=+，所以()22420y x x y -++-=， 当20y -=，即2y =时，此时0x =；当20y -≠，即2y ≠时，此时()216420y ∆=--≥，所以[)(]0,22,4y ∈，综上可知：[]0,4y ∈，所以222421x x y x ++=+的值域为[]0,4， 故答案为：[]0,4. 【点睛】易错点睛：利用判别式法求解函数值域需要注意的事项： （1）原函数中分子分母不能约分； （2）原函数的定义域为实数集R .15．2【分析】（1）取结合函数是单调函数利用复合函数的单调性求解的值即可；（2）根据的最小值为2分类讨论确定结合基本不等式进行求解即可【详解】（1）令则是增函数是减函数要使是单调函数只需综上当时时为增函解析：1- 2 【分析】（1）取1a =，结合函数是单调函数，利用复合函数的单调性求解b 的值即可； （2）根据()f x 的最小值为2，分类讨论确定0a >，0b >，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】（1）令1a =，则()x x f x e be -=+，x y e =是增函数，x y e -=是减函数，要使()x x f x e be -=+是单调函数， 只需1b =-．综上，当1a =时，1b =-时，()xxf x e e -=-为增函数． （2）当0ab 时，()f x 为单调函数，此时函数没有最小值， 当0a <，0b <，()f x 有最大值，无最小值， 所以，若()f x 有最小值为2，则必有0a >，0b >，此时()22x x x f x ae be ae be -=+⨯，1=，即1ab =，则22a b ab +=，当1a b ==时等号成立， 即+a b 的最小值为2． 故答案为：1,1,2- 【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.16．【分析】根据f （x ）定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论：①1＜a≤2时满足条件；②a=1时不合题意；③0＜a ＜1时不合题意；④a=0时不合题意；⑤a ＜0时满足条件这样即可求出实数a 的取 解析：012a a <<≤或【分析】根据f （x ）定义在[0，2]上，且4﹣ax≥0，即可得出a≤2，然后讨论：①1＜a≤2时，满足条件；②a=1时，不合题意；③0＜a ＜1时，不合题意；④a=0时，不合题意；⑤a ＜0时，满足条件，这样即可求出实数a 的取值范围． 【详解】∵f （x ）定义在[0，2]上；∴a ＞2时，x=2时，4﹣ax ＜0，不满足4﹣ax≥0； ∴a≤2；①1＜a≤2时，a ﹣1＞0；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ②a=1时，f （x ）=0，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠1；③0＜a ＜1时，a ﹣1＜0； ∵[0，2]上是减函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是增函数； ∴0＜a ＜1不合题意；④a=0时，f （x ）=﹣2，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠0；⑤a ＜0时，a ﹣1＜0；[0，2]上是增函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ∴综上得，实数a 的取值范围为012a a <<≤或． 故答案为012a a <<≤或． 【点睛】考查函数定义域的概念，函数单调性的定义及判断．17．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析：18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.18．2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数根据代入解析式即可【详解】根据已知条件进而有于是显然则是以6最小正周期的周期函数∵当时则故答案为：2【点睛】本题以抽象函数为载体研究抽象函数解析：2 【分析】根据函数满足的关系可得()f x 是以6最小正周期的周期函数，根据()()573f f =代入解析式即可. 【详解】根据已知条件()()()()113f x f x f x f x ⎧=-⎪⎨+=--⎪⎩， 进而有()()()()()1133f x f x f x f x f x =-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦---=-+， 于是()()3+=-f x f x ，显然()()()()()6333f x f x f x f x f x +=++=-⎡⎤⎡⎤+=--⎦⎦=⎣⎣， 则()f x 是以6最小正周期的周期函数， ∵当(]1,3x ∈时()f x x =，则()()()57693332f f f =⨯+===．故答案为：2. 【点睛】本题以抽象函数为载体，研究抽象函数的结构特征，且挖掘暗含条件，巧妙地对复合函数的连续变形，体现了数学抽象，数学化归等关键能力与学科素，属于中档题.19．【分析】由题意结合二次函数的图象与性质可得当c 可取最小值时再由零点分段法可得分段函数的解析式即可得解【详解】令由题意知当时c 可取最小值此时解得则所以所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数 解析：198【分析】由题意结合二次函数的图象与性质可得当c 可取最小值时，2a =-、12==b c ，再由零点分段法可得分段函数()f x 的解析式，即可得解. 【详解】令()2h x x ax b =++，由题意知当()()()021h h h ==-时，c 可取最小值，此时()421b a b b a b =++⎧⎨=-++⎩，解得212a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，则()102c h ==，所以()112422422f x x a x b x c x x x =-+-+-=++-+- 171,41132,84153,2871,2x x x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪+<<⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎪⎪--≤-⎩， 所以()f x 的最小值为15193888f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭. 故答案为：198. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与应用，考查了零点分段法的应用及分段函数最值的求解，属于中档题.20．【分析】转化为可求得结果【详解】因为在上单调递增所以当时因为在上单调递减所以当时若使只要使即可即解得所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化：解析：3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】转化为()()12min min f x g x ≥可求得结果. 【详解】因为()f x 在[1,2]上单调递增， 所以当[]11,2x ∈时，()1522f x ≤≤， 因为()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1,1]-上单调递减，所以当[]21,1x ∈-时，()2122m g x m -≤≤-. 若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥， 只要使()()12min min f x g x ≥即可. 即122m -≤，解得32m ≥-，所以实数m 的取值范围为3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．三、解答题21．（1）12m n =⎧⎨=⎩；（2）证明见解析；（3）1[5]2，. 【分析】（1）二次函数()f x 的对称轴为1x =，得到()f x 为[]13，上的增函数， 从而得()()11335f n m f m n ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩ 得解（2）()()22f x g x x x x==+-，设任意的12)x x ∈+∞，且12x x <，用单调性的定义证明即可.（3）分离变量得2112()2()122x x k -=+，令 1()2x t =，换元得2112()22k t =-+ 利用函数在1[2]2，上单调递增，求得函数最大小值得解 【详解】（1）因为0m >，二次函数()f x 的对称轴为1x =，所()f x 为[]13，上的增函数， 从而得()()11335f n m f m n ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩，所以()222f x x x =-+（2）()()22f x g x x x x==+-，设任意的12)x x ∈+∞，且12x x <， 则()()22121122(2)(2)g x g x x x x x -=+--+- ()21x x =-+2122()x x -=()21122(1)x x x x --=()()2112122x x x x x x --12211202x x x x x x ≤∴-<>>，，所以()()1221200x x g x g x ->->，， ()()12g x g x ∴> 所以g ()2x x x=+—2为)+∞上的增函数. （3）因为函数(20)()2x xF x g k =-⋅=， 在[]11x ∈-，上能成立即222202xx xk +--⋅= 在[]11x ∈-，有解 整理得2112()2()122x xk -=+ 令 1()2xt =，因为[]111[2]2x t ∈-∴∈，，， 221122(2221)k t t t =--++=在1[2]2，上单调递增，12t ∴=，时min 12k =，2,t =时max 5k =，所以k 的取值范围为1[5]2，【点睛】利用函数的单调性求解函数最值的步骤： (1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值．22．（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，简图答案见解析；（2）单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-；（3）1m .【分析】（1）设0x <，则0x ->，利用()f x f x =--（）即可求出0x <时，()f x 的解析式，进而可得函数()f x 的解析式，按步骤列表描点连线即可作出函数图象； （2）根据图象上升和下降趋势即可得单调区间；（3）将原问题转化为max 21m f x ≤-（），利用单调性求出()f x 在区间[1,3]-上的最大值即可求解. 【详解】（1）设0x <，则0x ->，因为f x （）是奇函数所以()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦（） 所以222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩（） ， 列表如下：x … 3- 2-1-0 1 2 3 … y…3-11-3…（2）由图知：函数f x （）的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-（3）不等式21f x m -≥（）在1[]3x ∈-，上有解， 等价于在21m f x ≤-（）在1[]3x ∈-，有解.可得max 21m f x ≤-（）， 由（2）可知f x （）在[11-，）上单调递减，在[1]3，上单调递增， 因为()()()211211f -=---⨯-=，()233233f =-⨯=所以()max 3f x =，所以2312m ≤-=，所以1m 【点睛】方法点睛：求不等式有解问题常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.23．（1）减函数，证明见解析；（2）1m <-． 【分析】（1）()212f x x x=-在区间()0+∞，上为减函数，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；（2）设()()20g x ax bx c a =++≠，由题意可得关于,,a b c 的方程，解得,,a b c 的值，可得222mx x->，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围. 【详解】 （1）当1m =时，()212f x x x =-，函数()f x 是区间()0+∞，上的减函数， 证明如下：设1x ，2x 是区间()0+∞，上的任意两个实数，且12x x <， 则()()121222121122f x f x x x x x -=--+ ()()22212121212222121222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+=+-=-+ ⎪⎝⎭． ∵120x x <<，∴210x x ->，210x x +>，22120x x >，∴()()120f x f x ->，()()12f x f x >， ∴函数()f x 是区间()0,∞+上的减函数．（2）设()()20g x ax bx c a =++≠，则()2242g x ax bx c =++，()()244644446g x x ax b x c ++=++++．又∵()()2446g x g x x =++， ∴442,46,b bc c +=⎧⎨+=⎩∴2b =-，2c =-，又∵()13g a b c =++=-，∴1a =，∴()222g x x x =--．∵()()g x f x >，∴222m x x ->，∴()4220m x x x <-≠，又∵()2422211x x x -=--，∴1m <-．【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：（1）先判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，再用定义证明，在证明的过程中，注意其步骤要求；（2）先用待定系数法求得函数()g x 的解析式，将恒成立问题转化为最值来处理，求得结果.24．（1）答案见解析；（2）19. 【分析】（1）讨论2b -<和2b -≥两种情况根据二次函数性质求解； （2）讨论11a ≤，113a<<和13a ≥三种情况结合二次函数的单调性求解.【详解】（1）1a =时，2()21f x x bx =++，对称轴为x b =-，二次函数()f x 的图象开口向上，当2b -<，即2b >-时，max ()(3)106f x f b ==+; 当2b -≥，即2b ≤-时，max ()(1)22f x f b ==+.（2）2()21f x ax x =-+，对称轴为1x a=，二次函数()f x 的图象开口向上， 当11a≤，即1a ≥时，()f x 在[]1,3单调递增，()()min 114f x f a ==-=-，解得3a =-，不符合；当113a <<，即113a <<时，2min 112()14f x f a a a a ⎛⎫⎛⎫==⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得15a =，不符合；当13a ≥，即103a <≤时，()f x 在[]1,3单调递减，()()min 3954f x f a ==-=-，解得19a =，符合，综上，19a =.【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间[],a b 的最值的思路；（1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和2a b +的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在(]()[),,,,,a a b b -∞+∞三个区间的范围求解.25．（1）1；（2）82[,]35-.【分析】（1）()f x 为R 上的奇函数，由()00f =得解；（2）由“任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立”得到等价命题是 “()f x 在[]1,2-上的取值集合是()g x 在[]0,3上的取值集合的子集”，分别求出两个函数的值域得解.【详解】（1）因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，即102a -=，解得1a = （2）因为[]20,3x ∈，且()g x 在[]0,1上是减函数，在[]1,3上为增函数所以()g x 在[]0,3上的取值集合为[]1,3m m -+. 由122()11221x x x f x -==-+++得()f x 是减函数， 所以()f x 在[]1,2-上是减函数所以()f x 在[]1,2-上的取值集合为31[,]53-.由“任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立” ()f x 在[]1,2-上的取值集合是()g x 在[]0,3上的取值集合的子集， 即[]31[,]1,353m m -⊆-+. 则有315m -≤-，且133m +≥，解得：8235m -≤≤. 即实数m 的取值范围是82[,]35-.【点睛】探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围；类似的，对于不等式()()0(0)f x g m -≥≤，也可仿效此法．26．（1）()10f =；（2）12x x >，理由见解析；（3）5m <≤【分析】（1）令1x y ==，代入可得(1)f ；（2）记12x kx =，代入已知等式，由12()()f x f x <可得()0f k <，从而有1k >，得结论12x x >；（3）根据函数的性质，不等式变形为()223333100x x x x m --+≥+->恒成立，然后设33x x t -=+后转化为一元二次不等式和一元不次不等式恒成立，再转化为求函数的最值，可求得参数范围．【详解】（1）令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =.（2）12x x >，理由如下：记12x kx =，则()()()122()f x f kx f k f x ==+， 由()()12f x f x <可得：()0f k <，则1k >，故12x x >.（3）由（2）得()223333100x x x x m --+≥+->恒成立， 令10332,3x x t -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则222332x x t -+=-， 原不等式可化为：22100t mt -≥->，由2210t mt -≥-恒成立可得：min 8m t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，8t t +≥=8t t=，即t =时等号成立，所以m ≤. 由100mt ->恒成立可得：max 10m t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2t =时，max 105t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是5m >.综上：实数m的取值范围是5m <≤.【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的单调性，考查不等式恒成立问题，在解决不等式恒成立时，利用已求得的结论（函数的单调性），把问题进行转化，再用换元法转化为一元二次不等式和一元一次不等式恒成立，然后又由分离参数法转化为求函数的最值．。
新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(包含答案解析)(3)
一、选择题1．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”，区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则()f x 的“缓增区间”I 为（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[]0,1D ．[]1,22．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A ．16- B ．16C ．8aD ．816a -3．以下说法正确的有（ ）（1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3x y =具有性质M ； ②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =. 其中正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（ ） A ．13x <<B ．1x <或3x >C ．12x <<D ．1x <或2x >6．已知,a t 为正实数，函数()22f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a ≤成立.若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B ，则下列关系正确的是（ ） A ．2B ∈ B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉7．方程2x y +=所表示的曲线大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]4,-+∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,49．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞+∞D ．[2,)+∞10．已知函数的定义域为R ，且对任意的12,x x ，且12x x ≠都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，若()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．[1,2]-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,1][2,)-∞-+∞11．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当0x >时()f x 单调递减，若()()()1.360.5log 3,0.5,0.7,a f b f c f -===则,,a b c 的大小关系（ ）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>12．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．定义在R 上的减函数()f x 满足(0)4f =，且对任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，则不等式|()2|2f x -<的解集为____________.14．已知()13=f x x ，则不等式(21)f x -() 230f x ++>的解集为_________. 15．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()1g x x =-______． 16．设函数()42x f x e x =-()g x mx =，若对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 17．已知函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________．18．已知函数2212,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是________.19．已知函数()4f x x a a x=-++，若当[]1,4x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．20．对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()12423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是______三、解答题21．已知函数12()12x xa f x -⋅=+是R 上的奇函数(a 为常数)，()22.g x x x m m R =-∈+， （1）求实数a 的值；（2）若对任意12[]1x -∈，，总存在2]3[0x ∈，，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围.22．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的图象过()0,1A ，()1,5B 两点，且它的对称轴的方程为12x =-.（1）求该二次函数的表达式；（2）当26x ≤≤时，函数()22y ax b m x c =+-+的最大值为()G m ，最小值为()H m ，令()()()h m G m H m =-，求()h m 的表达式.23．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.24．已知函数()()20f x ax x c a =++>满足：①函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数；②关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),11m m <. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()()()43g x f x k x k R =++∈在[]1,3上的最小值()h k . 25．已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 在区间[1,]m -上的最小值为1，最大值为9，求实数m 的取值范围. 26．已知二次函数2()1(0)f x ax x a =++>． （1）求函数()f x 在区间[4,2]--的最大值()M a ； （2）若关于x 的方程()0f x =有两个实根1x 、2x ，且121,1010x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求实数a 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【分析】 求得()42f x x x x=+-，利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间，并求出函数()f x 的单调递增区间，取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】由二次函数的基本性质可知，函数()224f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.设()()42f x g x x x x==+-，则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数，在区间[)2,+∞上为增函数，下面来证明这一结论.任取1x 、[)22,x ∈+∞且12x x >，即122x x >≥，()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=，122x x >≥，则120x x ->，124x x >，所以，()()12g x g x >，所以，函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数，同理可证函数()g x 在区间(]0,2上为减函数. 因此，()f x 的“缓增区间”为[)(][]1,0,21,2I =+∞=.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.2．A解析：A 【分析】根据()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+，由()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =，得到max ()412B g x a ==-+，min ()44A f x a ==--求解.【详解】因为函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+， 所以()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+， 如图所示：当2x a =+时，()()44f x g x a ==--， 当2=-x a 时，()()412f x g x a ==-+， 因为max ()412g x a =-+，所以()()2max ()412H x g x g x a ≤≤=-+， 因为min ()44f x a =--，所以()()1min ()44H x f x f x a ≥≥=--， 所以44,412A a B a =--=-+， 所以16A B -=-， 故选：A 【点睛】方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．3．B解析：B 【分析】 根据AB 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.4．C解析：C 【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】解：对于①：3xy =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=， 所以函数3xy =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =， 故③正确； 故选：C. 【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.5．B解析：B 【分析】将函数()f x 的解析式变形为()2()244f x x a x x =-+-+，并构造函数()2()244g a x a x x =-+-+，由题意得出()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解此不等式组可得出实数x 的取值范围【详解】对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零设()()2244g a x a x x =-+-+，即()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立.()g a 在[]1,1a ∈-上是关于a 的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在x 轴上方，即()()2215601320g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩ ，解得3x >或1x < 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数()()2244g a x a x x =-+-+，将问题转化为()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立，从而得到()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，属于中档题.6．A解析：A 【分析】根据函数的特征，要对t 进行分类讨论，求出t 的最大值，再根据a 是正实数，求出()g a 的值域即可判断答案． 【详解】 解：2()2f x x x a =-+∴函数()f x 的图象开口向上，对称轴为1x =①01t <时，()f x 在[0，]t 上为减函数，()(0)max f x f a ==，2()()2min f x f t t t a ==-+ 对任意的[0x ∈，]t ，都有()[f x a ∈-，]a ． 22a t t a ∴-≤-+，即2220t t a -+≥，当()()22424120a a ∆=--⨯=-≤，即12a ≥时，01t <，当()()22424120a a ∆=--⨯=->，即102a <<时，11t ≤ ②1t >时，()f x 在[0，1]上为减函数，在[1，]t 上为增函数，则()()11min f x f a a ==-≥-，2(){(0),()}{,2}max f x max f f t max a t t a a ==-+≤，12a ∴≥，且22t t a a -+，即12t < t 的最大值为()g a综上可得，当12a ≥时(]0,2t ∈ 当102a <<时，()0,1t ∈∴函数()g a 的值域为(]0,2故选：A ． 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．7．D解析：D 【分析】先利用方程得到图像的对称性，再作0y ≥，0x ≥时的图像，利用对称性即得结果. 【详解】 由方程2x y +=可知图像关于原点中心对称，也关于坐标轴对称.20,44x y y =-≥-≤≤，20,22y x x =-≥-≤≤.当0y ≥，0x ≥时，方程2x y +=转化成()22y x =-，作图如下：再利用对称性即得图像为 D. 故选：D. 【点睛】本题解题关键是利用绝对值的性质得到图像的对称性，就只需要画0y ≥，0x ≥部分图像，即突破问题.8．B解析：B 【分析】结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】因为函数()()()21f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1x =对称，所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以()()()22223f x x x x x =---，令()222111t x x x =-=--≥-，则()()223933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.9．C解析：C 【分析】由于参数b 的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时，()2f x x =，()[)0,f x ∈+∞，()()[)0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭，对称轴为02b x =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b-≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞） 故选：C. 【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论，同时结合最值与对称轴的关系解决问题.10．A解析：A 【分析】由函数的单调性列x 的不等式求解即可. 【详解】由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在R 上为增函数， 由()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，故22min 1(1)m m x --<+，即211m m --<解得12m -<<.故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，是基础题11．A解析：A 【分析】函数()f x 是偶函数，判断出自变量的大小，利用函数的单调性比较大小得出答案． 【详解】函数()f x 的图像关于y 轴对称， ∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，∴()()120.52log 3log 3log 3f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴2221log 2log 3log 42=<<=， 1.3 1.30.522-=>，600.71<<． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>， 故选：A【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查函数的单调性和奇偶性，考查指数和对数的单调性，属于中档题．12．B解析：B 【分析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x=f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.二、填空题13．【分析】由绝对值不等式可知利用中x 的任意性得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】因为任意实数都有且令则故不等式解得即又函数为上的减函数解得故不等式的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查了解抽 解析：(0,2)【分析】由绝对值不等式可知0()4f x <<，利用()(2)4f x f x +-=中x 的任意性得(2)0f =，再利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，且(0)4f =， 令2x =，则(2)(0)4f f +=，故(2)0f =不等式|()2|22()22f x f x -<⇒-<-<，解得0()4f x <<，即(2)()(0)f f x f << 又函数()f x 为R 上的减函数，解得02x <<，故不等式|()2|2f x -<的解集为(0,2) 故答案为：(0,2) 【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.14．【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断是R 上单调递增的奇函数再结合奇偶性和单调性解不等式即可【详解】由幂函数性质知时在是增函数故函数在是增函数又定义域是R 而故是R 上的奇函数根据奇函数对称性知在R 上解析：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断()f x 是R 上单调递增的奇函数，再结合奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由幂函数性质知，01α<<时y x α=在[)0,+∞是增函数，故函数()13=f x x 在[)0,+∞是增函数，又()f x 定义域是R ，而()()()1133=f x x x f x =-=---，故()f x 是R 上的奇函数，根据奇函数对称性知，()f x 在R 上单调递增.故不等式(21)f x -() 230f x ++>即(21)f x -()() 2323f x f x >-+=--，故2123x x ->--，即12x >-，故解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】 思路点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可；（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可.15．【分析】根据抽象函数的定义域的求法结合函数列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数满足解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数的定义域为求复合函数的定义解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据抽象函数的定义域的求法，结合函数()g x =. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域是[0,2]，即02x ≤≤， 则函数()g x =021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩，解得312x <≤， 即函数()g x =31,2⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：31,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数()f x 的定义域为[],a b ，求复合函数()[]f g x 的定义域时：可根据不等式()a g x b ≤≤解得x ，则x 的取值范围即为所求定义域；已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ，求函数()f x 的定义域，求出函数()y g x =([,])x a b ∈的值域，即为()y f x =的定义域.16．【分析】首先判断函数的单调性依题意只需再对参数分三种情况讨论即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为在定义域上单调递增又在定义域上单调递减所以根据复合函数的单调性可得在定义域上单调递减所以在定义域上解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】首先判断函数()f x 的单调性，依题意只需()()12min min f x g x >，再对参数m 分三种情况讨论，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：因为xy e =、y =42y x =-在定义域上单调递减，所以根据复合函数的单调性可得y =在定义域上单调递减，所以()x f x e =-[]0,1上单调递增，所以()()001min f x f e ===-对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立，则只需()()12min min f x g x >因为()g x mx =，[]1,2x ∈，当0m =时()0g x =，而()1min f x =-，不符合题意； 当0m >时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递增，则()()min 1g x g m ==，所以1m <-矛盾，舍去；当0m <时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递减，则()()min 22g x g m ==，所以210m m <-⎧⎨<⎩解得12m <- 故m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．17．【分析】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x)＝－3x②解上面两个方程即得解【详解】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x) 解析：3x【分析】因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①,所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，②,解上面两个方程即得解. 【详解】因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 解由①②组成的方程组得f (x )＝3x . 故答案为3x 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.18．【分析】分别讨论和时结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值解不等式可得所求范围【详解】函数可得时当且仅当时取得最小值由时若时在递减可得由于的最小值为所以解得；若时在处取得最小值与题意矛盾故舍去 解析：[3,)+∞【分析】分别讨论1x >和1x ≤时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得()f x 的最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】函数2212,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，可得1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+，当且仅当2x =时，()f x 取得最小值4a +， 由1x ≤时，()()2212f x x a a =-+-，若1a ≥时，()f x 在(]1-∞，递减，可得()()1132f x f a ≥=-， 由于()f x 的最小值为()1f ，所以1324a a -≤+，解得3a ≥； 若1a <时，()f x 在x a =处取得最小值与题意矛盾，故舍去； 综上得实数a 的取值范围是[)3,+∞， 故答案为：[)3,+∞. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.19．【分析】对分段讨论去绝对值计算求解【详解】当时可得当时符合题意；当时则不符合题意；当时此时不符合题意综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题解题的关键是对分段讨论求解 解析：(],1-∞【分析】对a 分段讨论去绝对值计算求解. 【详解】当1a ≤时，()44f x x a a x x x=-++=+，可得当[]1,4x ∈时，()45f x ≤≤，符合题意；当14a <<时，()42,14,4a x x a xf x x a x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，则()1325f a =+>，不符合题意；当4a ≥时，()42f x a x x=-+，此时()13211f a =+≥，不符合题意， 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是对a 分段讨论求解.20．【解析】∵局部奇函数∴存在实数满足即令则即在上有解再令则在上有解函数的对称轴为分类讨论：①当时∴解得；②当时解得综合①②可知点睛：新定义主要是指即时定义新概念新公式新定理新法则新运算五种然后根据此新解析：1m ≤【解析】∵()f x “局部奇函数”，∴存在实数x 满足()()f x f x -=-，即2242234223x x x x m m m m ---⨯+-=-+⨯-+，令2(0)xt t =>， 则222112()260t m t m t t +-++-=， 即2211()2()280t m t m tt+-++-=在(0,)t ∈+∞上有解，再令1(2)h t h t=+≥，则22()2280g h h mh m =-+-=在[2,)h ∈+∞上有解，函数的对称轴为h m =，分类讨论：①当2m ≥时，()()g h g m ≥，∴222()2280g m m m m =-+-≤，解得2m ≤≤②当2m <时，()()2g h g ≥，2(2)44280g m m ∴=-+-≤，解得12m -≤<.综合①②，可知1m ≤点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．三、解答题21．（1）1；（2）82[,]35-. 【分析】（1）()f x 为R 上的奇函数，由()00f =得解；（2）由“任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立”得到等价命题是“()f x 在[]1,2-上的取值集合是()g x 在[]0,3上的取值集合的子集”，分别求出两个函数的值域得解. 【详解】（1）因为()f x 为R 上的奇函数， 所以()00f =，即102a-=，解得1a = （2）因为[]20,3x ∈，且()g x 在[]0,1上是减函数，在[]1,3上为增函数 所以()g x 在[]0,3上的取值集合为[]1,3m m -+.由122()11221x x xf x -==-+++得()f x 是减函数， 所以()f x 在[]1,2-上是减函数所以()f x 在[]1,2-上的取值集合为31[,]53-.由“任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立”()f x 在[]1,2-上的取值集合是()g x 在[]0,3上的取值集合的子集，即[]31[,]1,353m m -⊆-+. 则有315m -≤-，且133m +≥，解得：8235m -≤≤. 即实数m 的取值范围是82[,]35-. 【点睛】探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围；类似的，对于不等式()()0(0)f x g m -≥≤，也可仿效此法．22．（1）2221y x x =++；（2）()22728,5116913,59221255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩.【分析】（1）待定系数法求出参数,,a b c ，写出二次函数表达式即可；（2）由（1）知22(22)1y x m x =+-+，即对称轴为12m x -=，讨论12m -与区间[]2,6的位置关系求m 范围及对应()h m .【详解】解：（1）由题可得12215ba c abc ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解得221a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即2221y x x =++；（2）22(2)2(22)1y ax b m x c x m x =+-+=+-+，其图象对称轴的方程为12m x -=. ①当122m -<时，即5m <时，()8512G m m =-，()134H m m =-，()728h m m =-；②当1242m -≤≤时，即59m ≤≤时，()8512G m m =-，221()2m m H m -++=，21169()1322h m m m =-+； ③当1462m -<≤时，即913m <≤时，()134G m m =-，221()2m m H m -++=，2125()522h m m m =-+；④当162m ->时，即13m >时，()134G m m =-，()8512H m m =-，()872h m m =-.综上，()22728,5116913,59221255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩. 【点睛】关键点点睛：已知过定点及对称轴，应用待定系数法求二次函数解析式；当对称轴含参数时，研究区间最值需要讨论对称轴与区间的关系确定最值情况.23．（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果； （2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式. 【详解】解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >； 当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202bx -=≥，即2b ≤； 且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ . 综上，b 的取值范围是12b ≤≤； （2）当b =2时，231,0(),0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+， 故当()230g x x =+>时，即32x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦， 当()230g x x =+≤时，即32x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+， 故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩； 当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+，当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22()()23g f x g x x =-=-+，故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.24．（1）()223f x x x =+-；（2）()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.【分析】（1）由①可知函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，由②可知()10f =，可得出关于a 、c 的方程组，进而可得出函数()f x 的解析式；（2）求得()()22413g x x k x =++-，求得该函数的对称轴为直线()1x k =-+，对实数k 的取值进行分类讨论，分析函数()g x 在区间[]1,3上的单调性，进而可求得()h k 关于k 的表达式.【详解】（1）由①可得，函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数， 将函数14f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象向左平移14个单位长度可得到函数()f x 的图象， 所以，函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，则有1124a -=-，可得2a =. 由②可得：1x =是方程20ax x c ++=的一个解，则有10a c ++=，得3c =-. 于是：()223f x x x =+-； （2）依题意有：()()22413g x x k x =++-，对称轴为()1x k =-+. 当()13k -+≥时，即4k ≤-时，()g x 在[]1,3单调递减，于是()()min 31227g x g k ==+；当()113k <-+<时，即4-<<-2k 时，()g x 在()1,1k -+⎡⎤⎣⎦单调递减，在()1,3k -+⎡⎤⎣⎦单调递增，于是()()2min 1245g x g k k k =--=---； 当()11k -+≤时，即2k ≥-时，()g x 在[]1,3单调递增，于是()()min 143g x g k ==+.综上：()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.25．（1）2()243f x x x =-+；（2）102a <<；（3）13m ≤≤.【分析】（1）用顶点式先设函数()f x 的解析式，再利用(0)3f =求解未知量即可；（2）只需保证对称轴落在区间内部即可；（3）分三种情况讨论，结合二次函数的单调性，分别求出最值，再判断是否符合条件即可.【详解】（1）()f x 是二次函数，且(0)f f =（2）∴对称轴为1x =，又由函数最小值为1，设2()(1)1f x a x =-+，又(0)3f = 2a ∴=22()2(1)1243f x x x x ∴=-+=-+（2）要使()f x 在区间[2a ，1]a +上不单调，则211a a <<+102a ∴<<； （3）因为2()243f x x x =-+，所以()(1)(3)9,11f f f -===，且()f x 的对称轴为1x =，若11m -<<，()f x 在区间[1-，]m 递减，()()()()max min ()19,11f x f f x f m f =-==>=，不合题意；若13m ≤≤，()f x 在区间[1-，1]递减，在区间[1，]m 递增，()()min 11f x f ==，因为()()()31f m f f ≤=-，所以()max ()19,f x f =-=符合题意；若3m >，()f x 在区间[1-，1]递减，在区间[1，]m 递增，()()min 11f x f ==，因为()()39f m f >=，所以()max ()9,f x f m =>不合题意；综上，13m ≤≤.【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论26．（1）141,061163,6a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩；（2）14． 【分析】（1）根据对称轴的位置讨论两种情况：113,322-≤-->-a a，分别根据二次函数的单调性求出最大值即可得结果；（2）设11221,,1010⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦x x t t x x ，由韦达定理可得 211(1)2==+++t a t t t，利用函数的单调性可得实数a 的最大值．【详解】（1）对称轴12x a =-，[4,2],0∈-->x a 二次函数开口向上， ①当132-≤-a ，即106a <≤时：()(2)41=-=-M a f a ， ②当132->-a ，即16a >时：()(4)163=-=-M a f a ， 综上所述，141,06()1163,6a a M a a a ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩． （2）由题知：方程210ax x ++=的两个根分别为1x x =、2x x =， 由韦达定理知：121x x a ⋅=①，121x x a +=-②， 又已知121,1010⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦x t x ，③ 联立12121x x a x tx ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得121,(1)(1)--==++t x x t a t a ， 带入121x x a⋅=知：221(1)=+⋅t t a a ， 即211(1)2==+++t a t t t ，其中1,1010⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ． 当1t =时，分母12t t++取得最小值4，所以a 得最大值为14． 【点睛】 本题考查二次函数图像、对称轴、最值的基本关系，清楚一元二次方程根与系数的关系的处理，对“对勾函数”的单调性、最值的理解是解题的关键.。
最新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”，区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则()f x 的“缓增区间”I 为（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[]0,1D ．[]1,22．已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．04m ≤≤B ．04m <≤C ．04m ≤<D ．04m <<3．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ） A ．30a -≤< B ．32a --≤≤C ．2a ≤-D ．0a <4．以下说法正确的有（ ）（1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题中正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃B ．1y x =+和y =C ．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞和(,0)-∞上具有相反的单调性D ．若不等式220ax bx ++>恒成立，则280b a -<且0a >6．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ）A ．4B ．1-C ．23D ．67．设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14，则实数a 的值为（ ）A ．13或2 B ．2或3C ．12或2 D ．13或3 8．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞+∞D ．[2,)+∞9．已知函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，则m 的值为（ ） A ．1或3 B ．3或134C ．3D ．13410．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．11．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（ ） A ．[0,2)B ．[]3,1-C ．(1,3)-D ．(2,2)-12．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036D ．4038二、填空题13．若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数() 21f x f x x =-的定义域是__________.14．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________. 15．已知函数()f x 的定义域为[]2,2-，当[]0,2x ∈时，()1f x x =+，当[)2,0x ∈-时，()(2)f x f x =-+，求()f x =___________16．已知函数()(12)3,1ln ,1a x a x f x x x -+<⎧⎨⎩＝的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．17．若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，()f x x =，则()57f =______．18．若函数()log (3)4,1(43)41,1a x x f x a x a x ++≥-⎧=⎨-+-<-⎩且满足对任意的实数m n ≠都有()()0f m f n m n-<-成立，则实数a 的取值范围____．19．已知(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是_________.20．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是__________ 三、解答题21．对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若集合(){}{}|12A x f x x ===，，且()02f =. ①求函数()f x 的解析式； ②画出函数()y f x =的图象，并讨论函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数；（2）若a =1，c =0，求函数()f x 在区间[]22-，上的最小值. 23．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[2,4]上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ；24．已知函数()f x 为二次函数，满足()()139f f -==，且()03f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()g x f x mx =-在[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围． 25．已知函数()2f x x =，()1g x x =-.（1）若存在x ∈R 使()()f x b g x <⋅，求实数b 的取值范围；（2）设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()F x 在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围.26．已知二次函数2()1(0)f x ax x a =++>． （1）求函数()f x 在区间[4,2]--的最大值()M a ； （2）若关于x 的方程()0f x =有两个实根1x 、2x ，且121,1010x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求实数a 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 求得()42f x x x x=+-，利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间，并求出函数()f x 的单调递增区间，取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】由二次函数的基本性质可知，函数()224f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.设()()42f x g x x x x==+-，则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数，在区间[)2,+∞上为增函数，下面来证明这一结论.任取1x 、[)22,x ∈+∞且12x x >，即122x x >≥，()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=，122x x >≥，则120x x ->，124x x >，所以，()()12g x g x >，所以，函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数，同理可证函数()g x 在区间(]0,2上为减函数.因此，()f x 的“缓增区间”为[)(][]1,0,21,2I =+∞=.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.2．C解析：C 【分析】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意； 当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则0a <⎧⎨∆≤⎩. 3．B解析：B 【分析】由题得函数在定义域上单增，列出不等式组得解. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在定义域R 上单增，01215a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩ 解得32a --≤≤ 故选：B 【点睛】分段函数在R 上单增，关键抓住函数在端点处右侧的函数值大于等于左侧的函数值是解题关键.4．B解析：B 【分析】 根据AB 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.5．A解析：A 【分析】利用抽象函数的定义域列不等式判断A ；利用特例法判断BCD. 【详解】因为函数()f x 的定义域为(1,4)，由21412x x <<⇒<<或21x -<<-，所以函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃，A 正确；1y x =+和1,11,1x x y x x +≥-⎧==⎨--<-⎩，对应法则不同，不表示同一函数，B 错；偶函数()1f x =在(0,)+∞和(,0)-∞上不具有相反的单调性，C 错；0a b 时，不等式220ax bx ++>恒成立，但280b a -<且0a >不成立，D 错；故选：A. 【点睛】方法点睛：若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出，若已知函数()()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[],x a b ∈时的值域.6．C解析：C 【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意； （2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭； （3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C.【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.7．D解析：D 【分析】本题首先可以令x t a =，将函数转化为()212y t =+-并判断出函数的单调性，然后分为01a <<、1a >两种情况进行讨论，根据最大值是14进行计算，即可得出结果. 【详解】令x t a =（0a >、1a ≠），则()222112y t t t =+-=+-， 因为0a >，所以0x t a =>，函数()212y t =+-是增函数， 当01a <<、[]1,1x ∈-时，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时2max11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15-（舍去）；当1a >、[]1,1x ∈-时，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时()2max 1214y a =+-=，解得3a =或5-（舍去）， 综上所述，实数a 的值为13或3， 故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的最值求参数，能否通过换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，考查二次函数单调性的判断和应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.8．C解析：C 【分析】由于参数b 的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时，()2f x x =，()[)0,f x ∈+∞，()()[)0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭，对称轴为02b x =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b-≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞） 故选：C. 【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论，同时结合最值与对称轴的关系解决问题.9．D解析：D 【分析】依题意可得()f x 在[]0,2上的最大值为9，求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m 的方程，解出即可． 【详解】解：因为函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，即函数()()220f x x mx m =-+>在[]0,2上的最大值为9，因为222()2()f x x mx x m m =-+=--+，对称轴是x m =，开口向下， 当02m <<时，()f x 在[0，)m 递增，在(m ，2]递减，故2()()9max f x f m m ===，解得：3m =，不合题意，2m 时，()f x 在[0，2]递增，故()()2449max f x f m ==-=，解得：134m =，符合题意， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．10．B解析：B 【分析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x=f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．B解析：B 【详解】由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f = 当0x >时，()0f x <的解集[0,2]； 当时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．综上()0f x <的解集[2,2]-，所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤． 故选：B ．12．A解析：A 【分析】根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=.故选：A . 【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.二、填空题13．【分析】求出抽象函数定义域与联立求解答可得【详解】因为函数的定义域是所以又所以故答案为：【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数的定义域为则复合函数的定义域由不等式求出；(2)若已知函数的定 解析：](1,2【分析】求出抽象函数()2f x 定义域与10x ->联立求解答可得 【详解】因为函数()y f x =的定义域是[]0,4，所以02402x x ≤≤⇒≤≤，又10x -> 所以12x <≤ 故答案为：](1,2 【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[]a b ，，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．14．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析：18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.15．【分析】当时可得可求出结合可求出时的表达式进而可得出答案【详解】当时；当时所以则所以故答案为：【点睛】本题考查分段函数解析式的求法考查学生的推理能力属于中档题解析：1,023,20x x x x +≤≤⎧⎨---≤<⎩【分析】当[)2,0x ∈-时，可得[)20,2x +∈，可求出(2)3f x x +=+，结合()(2)f x f x =-+，可求出[)2,0x ∈-时，()f x 的表达式，进而可得出答案.【详解】当[]0,2x ∈时，()1f x x =+；当[)2,0x ∈-时，[)20,2x +∈，所以(2)3f x x +=+， 则()(2)3f x f x x =-+=--. 所以1,02()3,20x x f x x x +≤≤⎧=⎨---≤<⎩.故答案为：1,023,20x x x x +≤≤⎧⎨---≤<⎩.【点睛】本题考查分段函数解析式的求法，考查学生的推理能力，属于中档题.16．【分析】先求出当时函数的值域根据函数的值域为R 可以确定函数在时的单调性以及左侧函数的值域的区间的右端点的值与右侧函数的值域的区间的左端点的值的大小关系这样可求出实数a 的取值范围是【详解】由题意知的值解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】先求出当1x 时，函数的值域，根据函数的值域为R ，可以确定函数在1x <时的单调性，以及左侧函数的值域的区间的右端点的值与右侧函数的值域的区间的左端点的值的大小关系，这样可求出实数a 的取值范围是 【详解】由题意知() 1y ln x x ≥＝的值域为[0，＋∞)，故要使()f x 的值域为R ，则必有23(1)y a x a ＝-+为增函数，且1230a a ≥-+，所以120a -＞且1a ≥-，解得112a ≤－＜，实数a 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了已知分段函数的值域求参问题，考查了逻辑推理能力、数形结合能力.17．2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数根据代入解析式即可【详解】根据已知条件进而有于是显然则是以6最小正周期的周期函数∵当时则故答案为：2【点睛】本题以抽象函数为载体研究抽象函数解析：2 【分析】根据函数满足的关系可得()f x 是以6最小正周期的周期函数，根据()()573f f =代入解析式即可. 【详解】 根据已知条件()()()()113f x f x f x f x ⎧=-⎪⎨+=--⎪⎩，进而有()()()()()1133f x f x f x f x f x =-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦---=-+， 于是()()3+=-f x f x ，显然()()()()()6333f x f x f x f x f x +=++=-⎡⎤⎡⎤+=--⎦⎦=⎣⎣， 则()f x 是以6最小正周期的周期函数， ∵当(]1,3x ∈时()f x x =，则()()()57693332f f f =⨯+===．故答案为：2. 【点睛】本题以抽象函数为载体，研究抽象函数的结构特征，且挖掘暗含条件，巧妙地对复合函数的连续变形，体现了数学抽象，数学化归等关键能力与学科素，属于中档题.18．【分析】根据对任意实数都有成立得出在R 上单调递减从而得出解出a 的范围即可【详解】函数对任意的实数都有成立得在R 上单调递减∴故答案为：【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减利用分段解析：324a ≤<. 【分析】根据对任意实数m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-成立，得出()f x 在R 上单调递减，从而得出()()()4300143141log 134a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⋅-+-≥-++⎩，解出a 的范围即可．【详解】函数()f x 对任意的实数m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-成立，得()f x 在R 上单调递减，∴()()()4300143141log 134a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⋅-+-≥-++⎩34301242a a a a ⎧<⎪⎪⎪⇒<<⇒≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩.34a ≤<. 【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减，利用分段函数的单调性求解.19．【分析】根据分段函数的单调性在各个分段上递增且在衔接点处也要递增列式即可得解【详解】由是上的增函数则：解得故答案为：【点睛】本题考查了分段函数单调性问题考查了一次函数的单调性属于中档题求分段函数递增 解析：[1,6)【分析】根据分段函数的单调性，在各个分段上递增，且在衔接点处也要递增，列式即可得解. 【详解】由(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则：60065a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得16a ≤<，故答案为：[1,6). 【点睛】本题考查了分段函数单调性问题，考查了一次函数的单调性，属于中档题. 求分段函数递增（递减）要注意以下两点： （1）在各个分段上分别递增（递减）；（2）在衔接点处也要递增（递减），此处为易错点.20．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：是定义在上的偶函数且在上是减函数不等式等价为即所以即即解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解根据函数奇偶性和解析：1,13⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【详解】 解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，∴不等式()()21f m f m ->，等价为()()21f m f m ->，即21m m -<，所以()2221m m -<，即()22210m m --<，即()()3110m m --<，解得113m << 即1,13m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）[]0,1；（2）104m ≤<. 【分析】 1）由函数2yx 在[0,)+∞上是增函数，根据“不变”区间的定义，由22a ab b⎧=⎨=⎩求解；（2）假设函数存在“不变”区间，根据函数2(0)y x m x =+≥单调递增，由22a m ab m b⎧+=⎨+=⎩，消去m ，结合a b <，求得a 的范围，再由2m a a =-+，利用二次函数的性质求解. 【详解】 （1）因为函数2yx 在[0,)+∞上是增函数，所以22a a b b⎧=⎨=⎩，解得0a =或1a =，0b =或1b =，因为a b <， 所以 0,1a b ==，所以函数的 “不变”区间是[]0,1；（2）假设函数2(0)y x m x =+≥存在“不变”区间，因为函数2(0)y x m x =+≥单调递增，所以22a m a b m b⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b a b -=-，即()()+10a b a b --=，因为a b <，所以+10a b -=，即1b a =-， 所以10a a ->≥，解得102a ≤<， 所以221124m a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104m ≤<， 所以实数m 的取值范围是104m ≤< 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由a b <，即10a a ->≥求得a 的范围.22．（1）①2()22f x x x =-+，②见解析；（2）2min42,4(),44442,4b b bf x b b b -≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩. 【分析】（1）①先求得2c =；{1A =，2}说明()0f x x -=两根为1，2．利用韦达定理求a ，b ，从而可得解析式；②写成分段函数形式，再利用二次函数图象与性质求解．（2）根据对称轴位置，分三种情况讨论，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）①(0)2f =，2c ∴={1A =，2}，2(1)20ax b x ∴+-+=有两根为1，2．由韦达定理得，212112ab a ⎧=⨯⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，∴12a b =⎧⎨=-⎩2()22f x x x ∴=-+②函数()2222,022,0x x x y f x x x x ⎧-+≥==⎨-+<⎩，函数()y fx =的图象如图，同一坐标系内画出函数y a =的图象， 由图可知，当1a <时，函数y a =和函数()y fx =的图象的公共点个数为0；当1a =或2a >时，函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为2；当12a <<时，函数y a =和函数()y fx =的图象的公共点个数为4；当2a =时，函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为3；（2）a =1，c =0，函数2()f x x bx =+，当2,42bb -≤-≥时，()min ()242f x f b =-=-； 当22,442b b -<-<-<<时，2min ()24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当2,42bb -≥≤-时，()min ()242f x f b ==+； 综上，2min42,4(),44442,4b b bf x b b b -≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩ 【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.23．（1）[4,)-+∞；（2）226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【分析】（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得122m -≤，计算即可. （2）分类讨论112m -≤-，1112m -<-<，112m -≥，分别计算即可. 【详解】（1）由题可知，函数2()7f x x mx m =++-()m R ∈开口向上， 对称轴的方程为2mx =-，若使得函数()f x 在[2,4]上单调递增， 则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞. （2）①当112m -≤-即2m ≥时， 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递增，所以函数()y f x =的最小值为()(1)6g m f =-=-； ②当1112m -<-<，即22m -<<时， 函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时， 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递减，所以函数()y f x =的最小值为()(1)26g m g m ==-，综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系. 24．（1）()2243f x x x =-+；（2）8m ≥或0m ≤．【分析】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入已知条件解得,,a b c ，得解析式；（2）由对称轴不在区间内可得． 【详解】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）∵()()139f f -==，且()03f = ∴99313a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得243a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴()2243f x x x =-+．（2）由（1）()()2243g x x m x =-++，其对称轴为4144m mx +==+ ∵()()g x f x mx =-在[]1,3上单调函数，∴134m +≥，或114m+≤，解得：8m ≥或0m ≤． 【点睛】方法点睛：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的单调性．二次函数解析式有三种形式：（1）一般式：2()f x ax bx c =++；（2）顶点式：2()()f x a x h m =-+；（3）交点式（两根式）：12()()()f x a x x x x =--． 25．（1）(,0)(4,)-∞+∞；（2）[1,0][2,)-⋃+∞.【分析】（1）由题意可得x R ∃∈，20x bx b -+<，所以2()40b b ∆=-->，即可求解； （2）22()1F x x mx m =-+-，然后讨论0∆≤时满足对称轴为02mx =≤，当0∆>时，讨论对称轴与区间的关系，012m <<，显然不成立，所以有212(0)10mF m ⎧≥⎪⎨⎪=-≤⎩或202(0)10mF m ⎧≤⎪⎨⎪=-≥⎩解不等式，最后求并集即可. 【详解】（1）x R ∃∈，()()f x bg x <， 即x R ∃∈，20x bx b -+<， 所以判别式2()40b b ∆=-->， 解得：0b <或4b >. 故实数b 的取值范围为(,0)(4,)-∞+∞.（2）22()1F x x mx m =-+-，对称轴为2m x =， ()F x 在[0,1]上单调递增，当()2241m m ∆=--=254m-①当0∆≤，即55m -≤≤时，则有0255mm ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩解得：m 0≤≤②当0∆>，即m <m > 设方程()0F x =的根为1x ，()212x x x <.若12m ≥，则10x ≤，即212(0)10mF m ⎧≥⎪⎨⎪=-≤⎩解得：2≥m 若02m ≤，则20x ≤，即202(0)10m F m ⎧≤⎪⎨⎪=-≥⎩解得：10m -≤≤ 若012m<<，不符合题意， 综上所述，实数m 的取值范围为[1,0][2,)-⋃+∞.【点睛】结论点睛：一元二次不等式恒成立求参数（1）对于20ax bx c ++≥对于x ∈R 恒成立，等价于00a >⎧⎨∆≤⎩， （2）对于20ax bx c ++≤对于x ∈R 恒成立，等价于00a <⎧⎨∆≤⎩. 26．（1）141,061163,6a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩；（2）14．【分析】（1）根据对称轴的位置讨论两种情况：113,322-≤-->-a a，分别根据二次函数的单调性求出最大值即可得结果； （2）设11221,,1010⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦x x t t x x ，由韦达定理可得 211(1)2==+++t a t t t，利用函数的单调性可得实数a 的最大值．【详解】（1）对称轴12x a =-，[4,2],0∈-->x a 二次函数开口向上，①当132-≤-a，即106a <≤时：()(2)41=-=-M a f a ，②当132->-a，即16a >时：()(4)163=-=-M a f a ，综上所述，141,06()1163,6a a M a a a ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩． （2）由题知：方程210ax x ++=的两个根分别为1x x =、2x x =， 由韦达定理知：121x x a ⋅=①，121x x a +=-②， 又已知121,1010⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦x t x ，③ 联立12121x x a x tx ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得121,(1)(1)--==++t x x t a t a ， 带入121x x a⋅=知：221(1)=+⋅t t a a ， 即211(1)2==+++t a t t t ，其中1,1010⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ． 当1t =时，分母12t t++取得最小值4，所以a 得最大值为14． 【点睛】 本题考查二次函数图像、对称轴、最值的基本关系，清楚一元二次方程根与系数的关系的处理，对“对勾函数”的单调性、最值的理解是解题的关键.。
河南省新野三高高中数学 第2章 函数概念导学案 北师大版必修1
函数概念
【学习目标】
1．能用集合语言刻画函数．
2．理解
)
(x
f
y=的含义．
3．理解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域和值域．【重点突破】
1．正确理解函数符号
)
(x
f
y=的含义(难点)．
2．会求简单函数的定义域、值域(重点)．
3．本节内容常与不等式、集合等内容结合命题．
【预习导学】
1、函数的定义
2、区间的概念
设a，b是两个实数，且b
a<，
这里实数a，b都叫作相应区间的端点。
3、无穷大概念
(1)实数集R用区间表示为，“∞”读作，“－∞”读作
，“+∞”读作。
(2)无穷区间的表示
【达标训练】
【拓展延伸】
1、函数x
x
x
f
+
+
=
2
1
)
(
（0≤x≤2且x∈N+）的值域是（）
2、
3、函数0
)2(12)(-++=x x x f 的定义域是
．
4、函数]2,1[,21-∈-=x x y 的值域是
．
5、已知函数
24
)(++=
x x x f ．
（1）求)(x f 的定义域；
（2）求)3(-f ，
)
32(f 的值．
6、已知
15)(2+=
x x
x f ，若2)(=a f ，求a 的值．。
北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ） A ．[]7,3- B ．[]3,7-C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．若函数()f x =在[]1,3-上具有单调性，则实数a 的可能取值是（ ）A ．4-B ．5C ．14D ．233．设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3x y =具有性质M ； ②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =. 其中正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1y x=B ．y =C ．2x y =D ．||y x x =-5．已知函数()3221x f x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<6．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (12log x )的定义域为（ ）A ．[]1,4B ．[]4,16C ．[]1,2D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．若定义运算,,b a b a b a a b≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2242g x x x x =--+*-+的值域为（ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞8．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-B ．7-C ．5D ．79．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，()13131x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（ ）A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f10．若函数()28,12,1ax x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,+∞B ．[)4,+∞C ．[]4,6D ．()0,∞+11．若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．函数()()2212f x x a x =+--在(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≥D ．3a ≥二、填空题13．已知函数(31)4,2(),2a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-，则a 的取值范围是______________.14．已知对于任意实数x ，函数f （x ）都满足f （x ）+2f （2-x ）=x ，则f （x ）的解析式为______．15．若对任意x ，y R ∈都有()()()f x y f x f y +=⋅，且()12f =，则()()()()()()246135f f f f f f +++⋅⋅⋅()()()()()()201020122014200920112013f f f f f f +++的值是______. 16．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2xg x f f x =+-的定义域是________.17．已知函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则实数m =________.18．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()()2g x af x bx =++，若(2)16g =，则(2)g -=______．19．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()0)(f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”．0x 是它的一个均值点，若函数()2f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是___________．20．函数的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21f x x =+()R x ∈是单函数，下列命题： ①函数4()f x x =()R x ∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，在A 中至多有一个数与它对应； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 在其定义域上一定是单函数． 期中正确命题的序号是___________．三、解答题21．已知函数1()(1)1x x a f x a a -=>+，求：（1）判断函数的奇偶性；（2）证明()f x 是R 上的增函数； （3）求该函数的值域.22．已知二次函数()2(f x ax bx c a R =++∈且2a >-），(1)1f =，且对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，且方程()42f x x =-有唯一实数解.（1）求()f x 的解析式；（2）若当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[],()m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域恰好为[]6,6m n ？若存在，请求出区间[],m n ，若不存在，请说明理由. 23．定义在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上的函数()f x 满足：对任意的11,,22x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭都有()()()1()()f x f y f x y f x f y ，且当102x <<时，()0f x >．（1）判断()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性并证明； （2）求实数t 的取值集合，使得关于x 的不等式1()02f t x f x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立．24．已知函数()21ax bf x x +=+（其中a >0）为奇函数． （1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，上是减函数； （3）若存在实数m ，n （0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为[]m n ，，求a 的取值范围．25．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.26．已知函数()()20f x ax x c a =++>满足：①函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数；②关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),11m m <. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()()()43g x f x k x k R =++∈在[]1,3上的最小值()h k .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由2233x -≤-≤解得结果即可得解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤， 要使()23f x -有意义，只需2233x -≤-≤，解得132x ≤≤。
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第2章函数单元测试(一)
一、选择題(本大题共19小题,毎小越3分，扶50分〉
L函数工=yp-
T+7?的危义域为(
A.
C. iT|.r>l
或』<}
Z与函数，
=…
:;1'
孕廿歸贰专越
資；J
3•已知函数f(T)=i±^.则有( )
丸只丄〉是笛函数，且/()=-/a) R/S 是奇函数.R
/(- )- f<j.)
粋】二7 ］总2 嗖■-■<--■■ /1/二二J
U/G)是偶甬姒且/») «*/(x)
Mnl Mrr® 讳理卜3績龙1伸”
* ［盘N\htaL・ wSi" '——
r—■ ■ - — r!L J
B.f(r>是偶函数J［f(2) =心)
I ; 窃飞"1炳3 t
4.卜■列函数中”在(0, 1)上为单调递减的偶函数的
C. y=x~2Dly=—工+ 丄案瞽
5.设心)=「：片号IQ)是二次函数，若/(g(x)} lx, |x
［<l t
的值城为血十《>人则肛刃的值域是(- >> 比
A (―8,—l]U[l*+°°〉
B (—8*—]]U[0,+°°》C[0,+8)
a [1,4-oe)
6・已知函数/Q十1)-=工2 +血
一］,工€［1,刀，则『3
备是()
m聂否
A. ［1,2］上的增函数aCl»2］±的减函if
U ［2,3］上的增函数IX ［冥3］上的减函数
7.设u^GHi
且口>0.瓯数*工)=尸4qH 2ft,gCr) =
心丹在［-1,1］上的量大值为2,则f(2) = ( >
A,4R8 Q10 D. 16
8.已知只工Ka+上~4(%€R) J(-2)=0,则只2)
□兀
等于()
K A. -8 纂BL ~*7C -6 D. 8
9若偶两数只刃在(一8厂1］上是增函数，则()
A至民16
二、填空麵(本大題共5小题•每小题5分，共25分》:
总知
'■'■■ 11 若/(x) - (x+fl) (hx+2a)(常数。
，硬R)是偶函数，且
值域为(一~a则其解析式心十需.
11/<^)对任意的实数x满足/d+2>-7^.若吳奖#磁富*来丄4
14.设f(Q为奇函数，且在(一8.0)上是递减的，/(-
2|^23|^/(X)<O的解集为二.詁；『宁
①函1Sy=2F+jr¥l在(0*+oo)上不足增函数！
②函数y^-TjSC^oo^DlK^h+^J-tJft 减-函数「-十-
③函数5_4x—J2的单调减区间为［一2*+OO〉¥石
■④已知/(刃在R上为增函数，若已+&>0测有/5) +
! fw>y(+/( *~w. 〔厂龍©
- ;v '. 4,l **
i其中止确命题的序号是_______ . ‘ ： _
三*趣旳5分)glBMf!
16. ［12分］巳知于(工)是定义在实数集R上的奇函数，
且当z>0 时』(£ 7 -
""-】))的仙:
(⑴求函数“门的解析式• aismnt
B+{工心⑴
D. U OWT} 工相同的臥数是()
"SKj^jt,.'^± gl-i - * - ^t-Ti*
“」厂«
B* y —v' ,r3
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A./(-Y)</(-D</(2)
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竇j c /⑵勺籃抨#_号)
D f⑵ <7 (—寻)v*-ljZL；
n 27 厂8
B._ 直C7
D. 18电玲二M f?- H ；
17. [12分]已知丫 = 2、是定义在R上的偶国数.
当Q0 时,/(刃"-2a.
(1)求当工<0时JQ)的解析式，
⑵作出函数/■(,)的图像，并指出梵单调区
间.
19. [12分]若/Q)是定义在(0, H-oo)上的增函数，且对
21. [14分3«据市场调査，某种新产
品投放市场的30天内•每件销售
价格P(元)与时间f (天〉的关系
如图2-6-5所示，日销量Q(件) 与
时间“天)之间的关系如下表
P/元
18. [12分]定义在R上的函数八工)满足：对于任意的
JE WR,均有/(x) + /(—x) = 0,且当m>0 时，/(x+m) < /(x)
恒成立，求不等式/(”一刃十養曲五一2)>0的解集.
*八
大值.
1
(1)根据图2・6・6, 写出该产品每件销售价格P与
时间t 35 的函数关系式；
(2)在所给的直角坐标系中，根据表中提供的数据
描出实数对GQ)的对应点,并确定日销址Q 与时间/
的一个函
(3)在这30天内•哪一天的H销售金额最犬.帰大销
售金额是多少？(日销售金额=每件产品销售价格X
日销和 5 10 15 20 2530 35 40 t
/天
图2-6-6
30
25
1
20
15
10
5。