九年级数学函数及其图像
数学九年级上册函数
数学九年级上册函数数学九年级上册函数主要学习了函数的概念、性质、图像和应用等内容。
函数的概念函数是数学中的一个重要的概念，它可以用来描述事物的变化规律。
函数的定义是：给定一个集合X，如果对于X中的每一个元素x，都存在唯一的一个元素y，使得y满足某个条件，那么就说y是x的函数。
在数学上，函数通常用函数的符号f(x)表示，其中f是函数的名称，x是函数的变量。
函数的性质函数具有以下几个重要的性质：1.单值性：函数的值对应于函数的变量是一个唯一的值。
2.可逆性：如果函数f(x)的值对应于函数的变量x是一个唯一的值，那么函数f(x)是可逆的，并且f(f(x))=x。
3.连续性：函数的图像在某个区间上是连续的，那么函数在该区间上是连续的。
函数的图像函数的图像是函数的变量和函数的值在直角坐标系上的点的集合。
函数的图像可以用来直观地表示函数的性质。
函数的应用函数在数学和自然科学中有着广泛的应用。
例如，在数学中，函数可以用来表示数量的变化规律，在自然科学中，函数可以用来表示物理量的变化规律。
九年级上册函数的重点内容九年级上册函数的重点内容包括：●函数的概念和性质●函数的图像●函数的应用在学习函数时，要注意以下几点：●要理解函数的概念和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
●要学会画函数的图像，并能够根据函数的图像分析函数的性质。
●要学会应用函数解决实际问题。
以下是一些学习函数的建议：●多做练习，巩固知识。
●注意联系实际，提高应用能力。
●利用多种学习方法，提高学习效率。
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
人教版九年级数学上册二次函数的图像与性质课件
解析式（a≠0）
穷人的孩子一早般当家式。
y=ax2+bx+c
让自己的内心藏着一条巨龙，既是一种苦刑，也是一种乐趣。
器大者声必闳，志高者意必远。
沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
丈夫清万里，谁能扫一室。
丈夫四海志顶，点万里式犹比邻。
y=a(x-h)2+k
母鸡的理想不过是一把糠。
心志要坚，意趣要乐。
海纳百川有容乃大壁立千仞无欲则刚
C．当x<-1时，y 随x的增大而增大
D．当x=0时， 有最小值是3
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【练习2】若 A(-4,y1)，B(-1,y2) ，C(2,y3) 为二次函数 y=-(x+2)2+3 的图象上的三点，则 y1，y2 ，y3 的关系是（ ）． A．y1<y2<y3 B． y3<y1<y2 C． y3<y2<y1 D． y2<y1<y3
【a<0】 x<-b/2a，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
图像与性质
y x=h
二次函数
一般式 [y=ax2+bx+c,(a≠0)]
x O a>0
y O
x
x=h
a<0
二次函数
图像与性质 一般式
【例题】点 （a,5)在 y=x2+5x-1的图象上，则a为（
ax2 a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0
y O
x
x=h a<0
二次函数
顶点式 [y=a(x-h)2+k,(a≠0]
人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》课件PPT
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b
2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1
用配方法把 y 1 x2 3x 5
2
2
化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
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增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质
XXX
PART 03
二次函数与一元二次方程 关系
REPORTING
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 来求解。
配方化为 两个一次方程的乘积，然后分别解这 两个一次方程得到原方程的解。
利用二次函数图像解一元二次方程
观察二次函数图像与x轴的交点情况，若有一个交点，则对应的一元二次方程有一个实数根 ；若有两个交点，则对应的一元二次方程有两个实数根；若没有交点，则对应的一元二次方 程没有实数根。
利用二次函数的对称性，可以确定一元二次方程的根的和与积，进一步求解一元二次方程。
通过分析二次函数图像的开口方向、顶点坐标等特征，可以判断一元二次方程的根的范围和 性质。
练习题目2
已知二次函数$y = -x^2 + 2x + 8$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程，并判断该 函数图像与坐标轴的交点情况。
练习题目3
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$和$C(1,-8)$，求 该二次函数的解析式，并判断该函数图像开口方向、顶点坐标和对称轴方程。
当函数图像关于原点对称时，函数表达式由f(x)变为-f(-x)，即图像在原点处中心对 称。
伸缩变换规律
当函数图像在x轴方向伸缩a倍时，函数表达式由f(x)变为f(ax) ，若a>1则图像在x轴方向压缩为原来的1/a，若0<a<1则图 像在x轴方向拉伸为原来的a倍。
当函数图像在y轴方向伸缩b倍时，函数表达式由f(x)变为 bf(x)，若b>1则图像在y轴方向拉伸为原来的b倍，若0<b<1 则图像在y轴方向压缩为原来的1/b。
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第6讲 二次函数的概念及图像
二次函数是九年级上学期第三章的内容，包括二次函数的概念及其图像．基本要求是理解二次函数的概念，会用描点法画二次函数的图像，会用二次函数的解析式来表达相应的抛物线，并掌握二次函数2y ax=的图像平移得到二次函数2y ax c=+、()2y a x m=+和()2y a x m k=++的图像的规律．重点是二次函数的图像的特征及画法．1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．二次函数的概念及图像内容分析知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲2 / 18【例1】 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A ．31y x =-B ．2y ax bx c =++C ．221s t =+D ．21y x x=+【例2】 二次函数23y x =--中，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．【例3】 二次函数2321y x x =--，当1x =-时，y = ______；当x = ______时，y = 0．【例4】 当m ______时，函数()()22423y m x m x =-+-+是二次函数．【例5】 用一根80 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框，求它的最大面积．请设变量，并列出函数解析式：______________________________________________________．【例6】 已知二次函数2y x bx c =++，当x = 0时，y = 1；当x = 2时，1y =-．求当3x =-时y 的值．例题解析ABCDE【例7】 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点（1，1），则1a b ++的值是（ ） A ．3- B ．1-C ．2D ．3【例8】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC = 2，D 是BC 上异于B 、C 的一个动点，过点D 作45ADE ∠=︒，DE 交AC 于点E ．设BD = x ，AE = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．4 / 181、 2y x =的图像在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示： x… -2 112- -1 12- 0 121 1122 … 2y x =…4124 114 014 11244…（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =． 2、 二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．模块二：特殊二次函数的图像知识精讲12 3 4 12 3 4 xy xyOO1212-2 -1 -2 -1 图1图23、 二次函数2y ax c =+的图像一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上（0c >时）或向下（0c <时）平移c 个单位得到．抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 4、 二次函数()2y a x m =+的图像一般地，二次函数()2y a x m =+的图像是抛物线，称为抛物线()2y a x m =+，它可以通过将抛物线2y ax =向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位得到．抛物线()2y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（-m ，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m ；顶点坐标是（-m ，0）．当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 5、 二次函数()2y a x m k =++的图像二次函数()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的图像即抛物线()2y a x m k =++，可以通过将抛物线2y ax =进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位，再向上（0k >时）或向下（0k <时）平移k 个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的对称轴是经过点（m -，0）且平行于y 轴的直线，即直线x =m -；抛物线的顶点坐标是（m -，k ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．6 / 18【例9】 二次函数213y x =-的图像是______，开口方向______，顶点坐标为______．【例10】 抛物线2y ax c =+的顶点坐标为______，对称轴为______．【例11】 抛物线22y x =，22y x =-，221y x =+共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴都是y 轴 C ．都有最高点 D ．顶点都是原点【例12】 抛物线()21y a x =-有最高点，则a 的取值范围为______，最高点的坐标为______．【例13】 抛物线()2213y x =-++的顶点坐标是（ ） A ．（1，3） B ．（1，3-） C ．（1-，3） D ．（1-，3-）【例14】 抛物线()21y x =-+上有三点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），C （3x ，3y ），且110x -<<，230x x <<，则比较1y ，2y ，3y 的大小为____________．例题解析【例15】 将抛物线2y ax =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2-，且新抛物线经过点（1，3），则a 的值为______．【例16】 将抛物线25y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A ．()2523y x =++ B ．()2523y x =+- C ．()2523y x =-+D ．()2523y x =--【例17】 若直线3y x m =+经过第一、三、四象限，则抛物线()21y x m =-+的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【例18】 抛物线上有两点（3，8-）和（5-，8-）则它的对称轴是（ ） A ．直线1x =- B ．直线1x = C ．直线2x = D ．直线3x =【例19】 把抛物线()22y x m =+向上平移n 个单位，使新得到的抛物线2y ax bx c =++通过点（2，5）与（1，1），求a ，b ，c ，m ，n 的值．【例20】 如图，抛物线2y ax =上的点B 、C 与x 轴上的两点A （6-，0）、D （2，0）构成A B CDO xyE平行四边形，BC与y轴相交于点E（0，6），求系数a的值．8/ 181、 二次函数2y ax bx c =++的图像二次函数2y ax bx c =++的图像称为抛物线2y ax bx c =++，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．任意一个二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）都可以运用配方法，把它的解析式化为()2y a x m k =++的形式．对2y ax bx c =++配方得：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 由此可知：抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是直线2bx a=-，顶点坐标是（2ba-，244ac b a -）．当0a >时，抛物线2y ax bx c =++开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当0a <时，抛物线2y ax bx c =++开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 2、 二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点的个数判断二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的个数，即为判断一元二次方程20ax bx c ++=的解的个数，这样就可以利用一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-来进行解题．模块三：二次函数y = ax 2+ bx + c 的图像知识精讲10 / 18xyO1【例21】 说出函数2288y x x =-+-的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？是多少？【例22】 二次函数2y ax bx c =++的图像如上右图所示，则abc ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+这五个式子中，值为正数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例23】 将抛物线213662y x x =-++先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式是__________________________．【例24】 已知二次函数25y x bx =-++，它的图像经过点（2，3-）． （1）求这个函数关系式及它的图像的顶点坐标；（2）当x 为何值是，函数y 随着x 的增大而增大？当x 为何值时，函数y 随着x 的增大而减小？【例25】 若直线y = x + 2与抛物线22y x x =+有交点，则它的坐标是______．【例26】 已知二次函数223y x x =--，当03x ≤≤时，y 的最大值是______，最小值是______．例题解析A BOxyy【例27】 已知抛物线22y x x a =-+的顶点A 在直线3y x =-+上，直线3y x =-+与x 轴的交点为B 点，点O 为直角坐标系的原点．（1）求点B 的坐标与a 的值； （2）求AOB ∆的面积．【例28】 已知抛物线()229y x a x =-++的顶点在坐标轴上，求a 的值．【例29】 若对于任何实数x ，二次函数()2123y m x mx m =-+++的图像全在x 轴上方，求m的取值范围为．【例30】 如图，抛物线24y x x =-与x 轴交于O 、A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y x m =+与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是______，直线PQ 与x 轴所夹的锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足13POQ PAQ S S ∆∆=，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：○1PD + DQ 的最大值；○2PD DQ 的最大值．12/ 18【习题1】 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A ．212y x =- B ．()2214y x =+- C ．()()1142y x x =-+D ．()2221y x x =--+【习题2】 抛物线()223y x =-的顶点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．x 轴上 D ．y 轴上【习题3】 已知抛物线243y x x =++，请回答以下问题：（1）它的开口方向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为______； （2）图像与x 轴的交点为______，与y 轴的交点为______．【习题4】 有下列4个函数关系式：○1正方形的面积S 与边长x 的关系；○2圆的面积S 与圆周长l 的关系；○3已知周长为l 的矩形中，面积S 与一边长x 的关系；○4已知面积为S 的矩形中，周长l 与一边长x 的关系．其中二次函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【习题5】 抛物线22y ax bx =++经过点（2-，3），则36b a -=______．【习题6】 已知函数()()221mmy m x m x -=+++，（m 为常数）．随堂检测14 / 18xy（A ） B CDO （1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【习题7】 把抛物线()222y x =-+向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后抛物线的函数解析式，并指出它的开口方向，顶点坐标和对称轴．【习题8】 已知抛物线23y ax bx =++的对称轴是直线x = 1． （1）求证：2a + b =0；（2）若关于x 的方程280ax bx +-=的一个根为4，求方程的另一个根．【习题9】 如图，已知矩形ABCD 的宽CD = 1，点C 在y 轴右侧沿抛物线2610y x x =-+滑动，滑动过程中保持CD // x 轴．当点D 在y 轴上时，AB 正好在x 轴上．（1）求矩形的长BC ；（2）当矩形在滑动过程中被x 轴分成两部分的面积之比为1 : 4时，求点C 的坐标．【习题10】 如图，二次函数1L ：223y ax ax a =-++（a > 0）和二次函数2L ：()211y a x =-++xyAE F N MO （a > 0）的图像的顶点分别为M 、N ，与y 轴分别交于点E 、F ．（1）函数223y ax ax a =-++（a > 0）的最小值为______；当二次函数1L 、2L 的y 值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是_________________；（2）当EF = MN ，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必证明）； （3）若二次函数2L 的图像与x 轴的右交点为A （m ，0），当AMN ∆为等腰三角形时，求方程()2110a x -++=的解．16 / 18【作业1】 对于任意实数x ，二次函数2y ax =的值总是非正数，则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a ≥ D ．0a ≤【作业2】 抛物线2243y x x =--，当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ______时，函数取最______值为______．【作业3】 抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【作业4】 给任意实数n ，得到不同的抛物线2y x n =+，当n = 0，1或1-时，关于这些抛物线有以下结论：○1开口方向不同；○2对称轴不同；○3都有最低点；○4可以通过一个抛物线平移得到另一个，其中判断正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【作业5】 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m ______时，它是二次函数．【作业6】 抛物线()2612y x =+-可由抛物线262y x =-向______平移______个单位得到．课后作业xyxyOOA BA BCD Em n【作业7】 二次函数()22y x m =-+的图像顶点在______轴上，对称轴直线x = 1，则函数解析式为______．【作业8】 已知抛物线()()2y x m x m =---，其中m 是常数． （1）求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线52x =．○1求该抛物线的函数解析式； ○2该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？【作业9】 如图1，一次函数y kx b =+的图像与二次函数2y x =的图像相交于A 、B 两点，点A 、B 的横坐标分别为m 、n （m < 0，n > 0）．（1）当1m =-，n = 4时，k =______，b =______；当2m =-，n = 3时，k =______，b =______．（2）用含m 、n 的代数式分别表示k 与b ． （3）利用（2）的结论，解答下面问题：如图2，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，点A 关于y 的对称点为E ，连接AO 、OE 、ED ．○1当3m =-，n > 3时，求AOD AOEDS S ∆∆四边形的值（用含n 的代数式表示）○2当四边形AOED 为菱形时，m 与n 满足的关系为_________________；当四边形AOED 为正方形时，m =______，n =______．18 / 18ABCDO xy【作业10】 如图，两条抛物线的解析式分别是211y ax ax =--+，221y ax ax =---（其中a为常数）．（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当12a =时，设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M 、N 两点（M 在N 的左边），221y ax ax =---与x 轴分别交于E 、F 两点（E 在F 的左边），观察M 、N 、E 、F 四点坐标，请写出一个你所得到的正确的结论，并说明理由；（3）设上述两条抛物线相交于A 、B 两点，直线l 、1l 、2l 都垂直于x 轴，1l 、2l 分别经过A 、B 两点，l 在1l 、2l 之间，且l 与两条抛物线分别交于C 、D 两点，求线段CD 的最大值．。
人教版九年级数学上册《二次函数的图象与性质》PPT
我们一起用描点法画二次函数y=x2的图象。 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应
的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
做一做
画出 y=-x2 的图象
y ax2
喷泉(1)
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
3.画出函数图像的一般步骤是什么？ （1）列表，（2）描点，（3）链接
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴
3
的左侧,y随着x的 增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x
的 增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 0 ,
当x 大于或小于 0时,y<0.
（3）判断下列抛物线开口的大 小
(1)y x2,(2)y 1 x2,(3)y 2x2,(4)y 3x2,(5)y 3x2,(6)y 2x2 2
布置作业
下课了!
（1)想一想：任何一个抛物线的顶点都 是原点吗？对称轴都是y 轴吗？ (2)练习册第（12-14）页
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的 下方(除顶点外) ,它的 开口 向下 ,并且 向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而 减小 ；在 对称轴右侧,y随着x的增大而 增大 .当x=0时函数y的值最 小.
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
北师大版九年级数学上册反比例函数的图像和性质课件(共41张)
为反比例函数，则m的值是
(C)
1 2
(D) 1
返回
2．如图，A为反比例函数 y k 图象上一点，AB⊥x轴
x 于点B，若 SAOB 3 则k为（ A）
(A) 6 (B) 3 (C) 3 D 无法确定
2
返回
3．函数y
k x
的图象经过（1，-1），则函
数 y kx 2 的图象是 （A ）
y
-2 O x
大，则m的取值范围是（ A）.
A、m<-1 B、m>-1 C、m>1
D、m<1
返回
性
y随x的增大而减小
例
函
位
置 二四象限
二四象限
数 的
K<0
增 减
y随x的增大而减小 在每个象限内，
区
性
y随x的增大而增大
分
对称性
轴对称 中心对称
轴对称 中心对称
专题一
反比例函数的图像和性质
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象散布在哪些象限?y随x的增大如何变化?
(2)点B(3，4)、C(
y＝
4 x
与y＝
2 x
在第一象限内的图象如图所示，作一条平
行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，
连接OA、OB，则△AOB的面积为( A )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
拓展提高
双曲线: y＝ 4 与y＝ 2
x
x
在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的
直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则
2.反比例函数的图象关于原点成中心对称.
苏科版九年级下册数学 5.2 y=ax^2+k、y=a^2的图像(共19张PPT)
二次函数y＝a(x ＋ m)2（ m＜0）的图像是由二次函数 y＝ax2的图像沿 x 轴向＿右＿平移｜＿m＿｜个单位长度得到的．
二次函数y＝a(x+m)2 顶点坐标是＿（-m，0）＿ ，对称轴
是＿过（＿-m，0）与y轴平行的直线
．
1．将函数y＝2x2－2的图像先向 上 平移 2 个单 位，就得到函数y ＝ 2x2的图像，再向 右 平移 3 个
幻灯片 7
（2）描点、连线．
从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝
x2的图像的位置有什么关系？
y
10
（3）函数y＝x2－2的图像和
9 8
y=x2的图像的位置有何关系？
7 6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
幻灯片 8
y
y=x2+1
8
6
4
2
y=x2
-10
-5
O
5
x 10
-2
y
8
6
4
y=x2
2
-10
-5
O
5
x 10
y=x2-2
-2
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2. y＝-x2＋3， y＝-x2-2 与 y＝-x2
又有什么关系呢？ 画出草图，进行比较
函数y=-x2+3的图
象可由y=-x2的图
a>0
向上
(0 ,c)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时， y随着x的增大而增大。
课件_人教版数学九年级二次函数y=ax的图像和性质PPT课件_优秀版
-3 -6 -9
探究新知 知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
探究新知
【思考】二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
探究新知
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
解②得:m1=－2, m2=1
（1） 你们喜欢打篮球吗？
y
利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
顶点（ 0 ，0 ）;
9
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
在已对知称 ：轴如的图左，侧直线, yy随＝x3的x增＋大4与而抛物线y＝, x2交于A、B两点，求出A6、B两点的坐标，并对求称出两轴交与点与抛原物点所线围的成的交三角形的面积．
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
探究新知
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
九年级数学中考复习-函数及其图像专题-二次函数的图像3教案
一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生会用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a（x-h的图象；2．使学生了解抛物线y=ax2+k与y=a（x-h）2的对称轴与顶点；3．了解抛物线y=ax2+k与y=a（x-h）2同y=ax2的位置关系．（二）能力训练点：1．继续通过画图的教学，培养学生的动手能力；2．培养学生观察、分析、总结的能力；3．继续向学生进行数形结合的数学思想方法的渗透．（三）德育渗透点：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点．二、教学重点、难点和疑点1．教学重点：画出形如y=ax2+k与形如y=a（x-h的二次函数的图象；能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标．因为画出函数图象，是我们研究函数性质的重要方法，只有在准确的图象启发下，我们才能正确得出函数图象的变化趋势和性质，而这些特殊二次函数问题的研究，又是我们研究一般二次函数的基础．2．教学难点：恰当地选值列表，正确地画出形如y=ax2+k和形如y=a（x-h的函数图象．因为二次函数的图象，随着我们研究越来越深入，越来越一般，画起来也就越来越复杂，而恰当地选值，是画出二次函数图象，并能使我们从图象正确得出结论的关键．三、教学步骤（一）明确目标提问：1．什么是二次函数？2．我们已研究过了什么样的二次函数？3．形如y=ax2的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题．从这节课开始，我们就来研究二次函数y=ax2+bx+c的图象．（板书）（二）整体感知复习提问：用描点法画出函数y=x2的图象，并根据图象指出：抛物线y=x2的开口方向，对称轴与顶点坐标．教师可边提问边在黑板上列出表格，同时在事先准备好的有坐标系的小黑板上画出该函数的图象，然后可以找层次较低的学生来指出抛物线y=x2的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价．下面，我们来看一下如何完成下面的例题？（出示幻灯）例1 在同一平面直角坐标系内画出函数y=与y=的图象．可以由学生先选择好自变量的值列表，就列在刚才复习中画函数y=x2的图象所列的表下面．如下表：列完表之后，可以让一名同学上黑板，把这两个函数的图象画在刚才复习中画有函数y=x2的图象的小黑板上，以便于下面的比较，其他同学在练习本上完成，教师巡回指导，等上黑板的同学画完，再集中加以总结即可．然后，由学生来观察小黑板上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：（1）抛物线y=的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线y=x2-1的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？这两个问题可以由图象直接得到，可适当找一些层次较低的学生来回答，给他们以表现的机会．（3）抛物线y=x2+1，y=x2-1与y=x2的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线y=x2+1，y=x2-1与y=x2有什么关系？通过这两个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．答：形状相同，位置不同．关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）①你所说的形状相同具体是指什么？答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？答：因为a的值相同．通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？先由学生思考，讨论之后，给出答案．答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．④抛物线y=x2+1是由抛物线y=x2沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线y=x2-1呢？答：抛物线y=x2+1是由抛物线y=x2沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线y=x2-1是由抛物线y=x2沿y轴向下平移1个单位得到的．⑤你认为是什么决定了会这样平移？答：y=ax2+k中的k的值决定了会这样平移．若k＞0，则向上平移，若k＜0，则向下平移．练习题1由学生独立完成，口答．下面，我们再来看一类二次函数的图象：（出示幻灯）的图象．注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时x的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时x的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路．列完表之后，与例1一样处理，找一名同学板演，教师最好能事先。
人教版九年级数学上册《二次函数顶点式的图像和性质》PPT
y ax2、
y ax2 k、 y a(x h)2
研究了它们的图象和性质
说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点
抛物线 y 1 x2
2 y 1 x2 1
2 y 1 (x 2)2
2
开口方向 对称轴 顶点
向下 y轴 0, 0
向下 y轴 0, 1
A．y x 2 2 B．y x 2 2 6
C．y x2 6 D．y x2
5、已知点A 2, y1 、B 3, y2 在抛物线y x 12 1上，
则 y1
y2 (填“ ”、“ ”、“ ”)
若点A 3, y1 、B 2, y2 在抛物线y x 12 1上，
1抛物线y a(x h)2 k与y ax2
形状 相同， 位置 不同，
2抛物线y ax2经过 向上（或向下），
向左（或向右），平移，可以得到
抛物线y a(x h)2 k. 平移的方向、距离由h、k决定
1.抛物线y 5( x 2)2 6的开口方向、对称轴、 顶点，下列选项正确的是（ ）
向下直线x 2 2, 0
y 1 (x 2)2 1 向下直线x 2 2, 1 2
不画图象，类比说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点
抛物线
开口方向 对称轴
顶点
y 1 (x 2)2 2
1
向下直线x 2
2, 1
y
1 ( x 2)2 2
1
向上直线x 2 2,1
2
抛物线
开口方向 对称轴 顶点
平移方法1:
y 1 x2 向下平移 y 1 x2 1 向右平移y 1 (x 2)2 1
2 1个单位
2
2个单位 2
初中数学函数图像总结
初中数学函数图像总结函数是数学中一个非常重要的概念，而函数的图像则是函数概念的直观表现。
在初中数学中，我们学习了一些常见的函数及其图像，下面我将对初中数学中常见的函数图像进行总结。
一、一次函数。
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。
二、二次函数。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
三、指数函数。
指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1。
指数函数的图像是一条逐渐增长（a>1）或逐渐减小（0<a<1）的曲线，且必过点(0,1)。
四、对数函数。
对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1，x>0。
对数函数的图像是一条逐渐增长（0<a<1）或逐渐减小（a>1）的曲线，且必过点(1,0)。
五、绝对值函数。
绝对值函数的一般形式为y=|x|。
绝对值函数的图像是一条以原点为对称中心的V形曲线。
六、三角函数。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像是周期性的波浪线，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷分别在y轴上方和下方，而正切函数的图像则有无数个渐近线。
以上是初中数学中常见的函数图像总结，通过对这些函数图像的了解，我们可以更好地理解函数的性质和特点，为进一步学习数学打下坚实的基础。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
二次函数图像(1)浙教版初中数学九年级上册课件(共14张PPT)
3
对称轴是
，顶点坐标是
点是这条抛物线的最 点；
， ，顶
（2）抛物线
y
1 3
x2的开口方向为
，
对称轴是
，顶点坐标是
，顶
点是这条抛物线的最
点.
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像 经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图像的位置.
y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
yy=2x22x2 ... -6 8 1.5 2 0 2
3
3
3
3
1.5
8 3
-6
...
y 1 x2 2
y 2x2
列表参考
y 2 x2 3
y 2x2
函数图象画法
描点法
列表
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
x
y x2
y1 x
描点 连线
y x2
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y 1 x2 2
y 2x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向
最值
y=2x2
（0，0）
y轴 在x轴的上方 （除顶点外）
人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)
1.y=x2 8x 7
2.y=-2x2 9x 17
3.y=mx2 kx-4k2
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
b 2a
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
y
左同右异
o
x
练习：
1.若抛物线yax2 bxc的图象如图，说出a，b，
c的符号。
2.若抛物线yax2 bxc经过原点和第一二三
象限，则a，b，c的取值范围分别是
3.若抛物线yax2 bxc的图象
如图所示，则一次函数y=ax+bc
的图象不经过
。y
。 y ox
o 图1
x 图2
y abc 0 （ 4 ） 与 直 线 x1 交 点 y a b c 0
y a b c 0
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利 的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4acb2 4a
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第九讲函数及其图像（一）一、考点链接函数的本质特征是变化与对应，它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具．作为刻画变量变化规律的工具，函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一．“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，其自身还蕴含着方程与不等式的知识．函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识．它与数学其它知识有着更为广泛的联系，不仅有着极为广泛的应用，而且也是发展同学们符号感的有效载体．在历年的学业考试中，函数一直是命题的“重头戏”，所考题型无所不包，同时不断与其它数学知识相互渗透，题量不一定是最多的，但综合程度一定是最高的．1．正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．2．正比例函数的图像正比例函数y=kx（k是常数且k≠0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k）•的直线，我们称它为直线y=kx；当k>0时，直线y=kx经过第一，三象限，y随着x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx 经过第二，四象限，y随着x的增大而减少．3．一次函数的定义如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数．一次函数的标准形式为y=kx+b，是关于x的一次二项式，其中一次项系数k必须是不为零的常数，b可以为任何常数．当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数．4．一次函数的图像一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－bk，0）就行了．5．一次函数的图像与性质直线y=kx+b（k≠0）中，k和b决定着直线的位置及增减性，当k>0时，y随x的增大而增大，此时若b>0，则直线y=kx+b经过第一，二，三象限；若b<0，则直线y=kx+b经过第一，三，四象限，当k<0时，y随x的增大而减小，此时当b>0时，直线y=kx+b经过第一，二，四象限；当b<0时，直线y=kx+b 经过第二，三，四象限．6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）•个单位得到一次函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、•右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（－bk，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S△=12·│－bk│·│b│．OSt OSt OSt OStA P BA．B．C．D．（第1题）①一般地，函数y=kx（k是常数，k≠0）叫做反比例函数，x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0．②反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0），当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y随x的增大而增大．• ③反比例函数的解析式y=kx中，只有一个待定系数k，所以通常只需知道图像上的一个点的坐标，就可以确定k的值．从而确定反比例函数的解析式．（因为k=xy）二、归类探究1. 函数概念和函数图像例1、如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）例2、20011年6月3日中央新闻报道,为鼓励居民节约用水,北京市将出台新的居民用水收费标准:①若每月每户居民用水不超过4立方米,则按每立方米2元计算;②若每月每户居民用水超过4立方米,则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算).现假设该市某户居民某月用水x立方米,水费为y 元,则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）2.求函数解析式例3、如图所示，已知反比例函数y1=mx（m≠0）•的图像经过点A（－2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图像相交于另一点B．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．yB 1-1- 1 2 3 3 12 A （1，3）3. 函数与方程、不等式例4、如图，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数 2ky x=（k 为常数， 0k ≠）的图象相交于点 A （1，3）．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．例5、如图所示，一次函数y=ax+b 的图像与反比例函数y=kx的图像交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．已知5tan ∠AOC=12，点B 的坐标为（12，m ）．（1） 求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．4. 利用函数进行方案选择例6、铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t ，柚子12t ，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t 和柚子1t ，乙种货车可装西瓜，柚子各2t ． （1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车每辆要付运输费1200元，•则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题，以考查学生运用综合知识，分析、解决问题的能力．OAyxB第6题图5.利用函数解决实际问题例7、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）•与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：x （元） 15 20 30 … y （件）252010…若日销售量y 是销售价x 的一次函数．（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式．（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？三、挑战中考1、（2011长沙）反比例函数ky x=的图象经过点A(2-，3)，则k 的值为____________。
2、下列函数：①y x =-；②2y x =；③1y x=-；④2(0)y x x =<，y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、(2011年沈阳)下列各点中，在反比例函数8y x=图象上的是（ ） A ．（－1，8）B ．（－2，4）C ．（1，7）D ．（2，4）4、(2011年沈阳)如果一次函数y =4x ＋b 的图象经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_________．5、（2011•泸州）小明的父亲饭后出去散步，从家中出发走20分钟到一个离家900米的报亭看报10分钟后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离y （米）与离家的时间x （分）之间的函数关系的是（ ）A 、B 、O xy 4 －4 4－46、（2011年大理）如图，已知OA=6，∠AOB=30°，则经过点A 的反比例函数的解析式为【 】A ．93y x =-B ．93y x =C ．9y x= D ．9y x=-7、（2011•桂林）双曲线y 1、y 2在第一象限的图象如下图，，过y 1上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y 2于B ，交y 轴于C ，若S △AOB =1，则y 2的解析式是 ．9、（2011•毕节地区）已知一次函数y=kx+3的图象如上图所示，则不等式kx+3＜0的解集是 ． 10、（2011•毕节地区）一次函数y=kx+k （k≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A 、B 、C 、D 、11、(2011年厦门)已知一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝ 4x的图象相交于点A (－1，m )、B (－4，n )．(1)求一次函数的关系式；(2)在给定的直角坐标系中画出这两个函数的图象，并根据图象回答： 当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？家庭作业：1、（2011•陕西）下列四个点，在正比例函数的图象上的点是（）A、（2，5）B、（5，2）C、（2，﹣5）D、（5，﹣2）2、（2011•陕西）若一次函数y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是。
3、（11·辽阜新）如图，直线y＝kx＋b (k＞0) 与x轴的交点为(－2，0)，则关于x的不等式kx＋b＜0的解集是_ ．4、（2011重庆市潼南）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升.小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（）A．y=0.05x B．y=5x C．y=100x D．y=0.05x+1005、（2010湖北孝感）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用的时间为t （小时）,航行的路程为s（千米）,则s与t的函数图象大致是（）家长签字:__________________O xy－2。