浅谈高等数学中数列极限的几种求法
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。
设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。
极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。
要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。
二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除时候使用。
2.XXX（L'Hospital）法则。
它的使用有严格的使用前提。
首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。
洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通分之后，就能变成（1）中的形式了。
即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。
数列极限求解的几种常用方法
求极限的13种方法
求极限的13种方法求极限的方法有很多种，以下列举了常见的13种方法和技巧，以帮助解决各种极限问题。
1.代入法：将极限中的变量代入表达式中，简化计算。
这通常适用于简单的多项式函数。
2.夹逼定理：当一个函数夹在两个趋向于相同极限的函数之间时，函数的极限也趋向于相同的值。
3.式子分解：通过将复杂的函数分解成更简单的部分，可以更容易地计算极限。
4.求导法则：使用导数的性质和规则来计算函数的极限。
这适用于涉及导数的函数。
5.递归关系：如果一个函数的递归关系式成立，可以使用递归关系来计算函数的极限。
6.级数展开：将函数展开成无穷级数的形式，可以使用级数的性质来计算函数的极限。
7.泰勒级数：对于可微的函数，可以通过使用泰勒级数来近似计算函数的极限。
8. 洛必达法则：如果一个函数的极限形式是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可以使用洛必达法则来计算极限。
该法则涉及对分子分母同时求导的操作。
9.极限存在性证明：通过证明一个函数在一些点上的左极限和右极限存在且相等，可以证明函数在该点上的极限存在。
10.收敛性证明：对于一个序列极限，可以通过证明序列是有界且单调递增或单调递减的来证明其极限存在。
11.极限值的判断：根据函数的性质，可以判断函数在一些点上的极限是多少。
12.替换法：通过将变量替换为一个新的变量，可以使函数更容易计算极限。
13.反证法：通过假设极限不存在或不等于一些特定值，来推导出矛盾的结论，从而证明极限存在或等于一些特定值。
这些方法并非完整的极限求解技巧列表，但是它们是最常见和基本的方法。
在实际问题中，可能需要结合使用多种方法来求解复杂的极限。
求数列极限的十五种解法
1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：
数列求极限的方法总结
数列求极限的方法总结数列求极限的方法总结数列求极限的方法有那些？极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。
极限分为一般极限，还有个数列极限，下面是为大家总结的数列求极限的方法总结。
1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。
首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的.形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母看上去复杂，处理很简单！5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
求数列极限的方法总结及例题
求数列极限的方法总结及例题以《求数列极限的方法总结及例题》为标题，写一篇3000字的中文文章一、什么是数列极限数列极限是数学中非常重要的概念，它是指当数列中的每一项都确定时，其值是无限值，而它表示的数字则不会变化。
数列极限是描述数字趋势的一种抽象思想，它可以帮助我们理解许多数学问题。
然而，要求出数列极限的思路并不是十分简单，需要我们熟悉一些基本的数学知识和求极限的方法来推导出最终的结果。
二、常用的求极限的方法1.t极限定义法。
在求极限的过程中，极限定义法是最基本也是最强有力的一种方法，它可以使用限定条件将极限运算表达式化简，这样最终可以得出一个易于理解的极限表达式。
2.t化为无穷积分法。
将极限表达式进行拆分变形，将复杂的极限表达式化为无穷积分的形式，利用积分的性质来求解极限。
3.t求解解微分方程求解极限。
这种求极限的方法由求解解微分方程的极限问题引出，其本质是求解极限问题时将表达式进行拆分化简，将复杂的极限表达式化为微分方程来求解极限。
4.t比较定理。
具有相同极限值的函数可以用比较定理来求极限，其本质是利用比较定理来求出未知项的极限值。
三、例题例1：已知数列{an}为正数序列，且满足liman= 0，求lim(1/an)解：用极限定义法求解，lim(1/an)=lim(1/liman)=1/0，根据定义，1/0不存在，即数列的极限不存在。
例2：已知数列{an}为正数序列，求lim(1/an+1/bn)解：用比较定理求解，lim(1/an+1/bn)=lim(1/an)+lim(1/bn)根据定义， lim(1/an)=lim(1/bn)=0，所以lim(1/an+1/bn)=0+0=0。
四、总结从上面的分析中可以发现，要求数列极限的法子有很多，只需要熟悉基本思路，就可以把数列极限问题解决出来。
其中极限定义法是最基本也是最强有力的一种方法，它可以将极限运算表达式简化；而化为无穷积分法可以将复杂的极限表达式化为无穷积分的形式；求解解微分方程求解极限方法则是求解极限问题时将表达式进行拆分；比较定理则是利用比较定理来求出未知项的极限值。
数列极限的几种求法
数列极限的几种求法一、定义法:数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε∀>0 ∃N>0使当n>N 时,都有a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ，记为n n a ∞→lim =a ，否则称数列{n a }不收敛（或称数列{n a }发散）。
故可从最原始的定义出发计算数列极限。
例1、 用ε-N 方法求 nn n 1lim +∞→解：令 n n 1+=t+1 则 t>0∴ n+1=nt )1(+2)1(2)1(122t n n t n n nt -≥+-++≥ΛΛ ∴ 12)1(4)1()1(211-≤-≤-+≤=-+n n n n n n n t n n ∴ε∀>0 取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=142εN 则当N n >时，有 ε<-≤-+1211n n n∴n n n 1lim +∞→=1二、单调有界法： 首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证明：不妨设{n a }为有上界的递增数列。
由确界原理，数列{n a }有上界，记为sup =a {n a }。
以下证明a 就是{n a }的极限。
事实上，ε∀>0，按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性，当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，这就证得 a a n n =∞→lim 。
同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。
例2、证明数列ΛΛΛ,222,22,2+++ 收敛，并求其极限。
证：222Λ++=n a ，易见数列{n a }是递增的。
现用数学归纳法来证明{n a }有上界。
显然 221<=a 。
假设2<n a ,则有22221=+<+=+n n a a ，从而对一切n 有2<n a ,∑=∞→n k n k n 141lim ε即{n a }有上界。
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX 趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
高等数学中数列极限的几种求法
n→∞
6．利用柯西收敛准则求极限 数列 {a n }收敛的充条件是： 对任给正数 ε ， 总存在某一 自然数 N ，使得 n, m > N 时，都有 a m − a n < ε 与数列 极限的 ε- N 定义比较，柯西收敛准则把原来的 αn 与 α 的关 系换成了 αn 与 αm 的关系，此时无须借助数列以外的数 α， 只要根据数列本身的特征就可以鉴别它的敛散性。 7．利用定积分概念求极限 定积分的概念是通过极限来定义的。 那么反过来， 如果 已知某个定积分存在， 并且可以很容易的计算出来， 此时可 以利用定积分的概念求相应的极限。 1 1 1 ⎞ 例 5 求极限 lim n⎛ + 2 +" 2 ⎟ ⎜ 2 2 n→∞ 2n ⎠ ⎝ n +1 n + 2 1 n 1 1 1 ⎞ 解： ⎛ 1 lim n⎜ 2 + 2 + " 2 ⎟ = lim ∑ 2 2 n→∞ 2n ⎠ n →∞ n k =1 ⎝ n +1 n + 2 ⎛k⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝n⎠ 令 1 = Δx ，当 n → ∞ 时，Δx → 0 ，x = k ， f (x ) = k
n n 2 n n
从而对一切 n ，有 a n < 2 。即数列 {a n } 是有界的。由单 调有界定理， 数列 {a n }有极限， 记为 a ， 由于 运用数列极限的四则运算法则，当
又 lim⎛1 + 1 ⎞ = e ，且 ⎜ ⎟ n→∞
⎝ n⎠
n n −1 ⎡⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ lim⎜1 + = lim ⎢⎜1 + ⎜1 + ⎟⎥ = e ⎟ ⎟ n→∞ n → ∞ n −1⎠ n −1⎠ ⎝ n − 1 ⎠⎦ ⎝ ⎥ ⎢⎝ ⎣
数列极限的三种求法
数列极限的三种求法摘要本文介绍三种求数列极限的方法，主要有施笃兹法、比值法、级数求和法，同时，通过适当的例子讨论了这些方法的特点、适用范围、要注意的问题等等。
对同学求数列极限有非常好的指导、借鉴作用。
关键词数列极限；施笃兹法；级数求和一、引言极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。
公元前5世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形（正方形、正六边形）出发，把每边所对的圆弧二等分，联结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤足够多次时，所得圆内接正多边形面积与圆面积之差将小于任何给定的限度。
在我国古代，朴素的、直观的极限思想也有记载。
例如，中国古代的《墨经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子·天下》中载有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元3世纪我国数学家刘徽创立的割圆术，其中都包含了深刻的极限思想。
极限是现代数学分析奠基的基本概念，函数的连续性、导数、积分以及无穷级数的和等都是用极限来定义的。
可见，研究数列极限是十分有意义的。
在数学分析中介绍了很多求数列极限的方法，常见的有：定义法、数列求和法、定积分定义法、单调有界原理、同限夹挤定理等。
上述方法在求常见的数列极限时比较有效，但遇到一些特殊的数列就很难求出、甚至无从下手。
为此我们介绍三种特殊的求极限的方法主要有施笃兹法、比值法、级数求和法。
这些方法对于求一些特殊的数列极限有很重要的作用。
二、数列极限的三种求法1.施笃兹法施笃兹法被称为求数列极限的洛必达法则，对一些不能用上述洛必达法则方法求的数列极限如■■，有时可用下面施笃兹法。
命题1（施笃兹法）给定数列Tn可以写成Tn=■且■yn=∞，y■>y■，若■■存在，则■=■■。
例1 求■■解令y■=1■+3■+……+（2n-1）■，z■=2■+4■+……+（2n）■显然z■→∞，z■>z■满足施笃兹定理，从而有■■=■■=12.比值法一般来说，n次根式的数列极限■■比较难求，我们通过下面的命题2将一些n次根式的数列极限转化为较为简单的比值数列极限■■来处理，能起到很好效果。
数列极限的计算方法
数列极限的计算方法一、引言数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随着项数的增加而逐渐接近的某个数值。
数列极限的计算方法多种多样，包括直接代入法、夹逼定理、单调有界定理等。
本文将详细介绍这些计算方法，并探讨它们的适用范围和优缺点。
二、直接代入法直接代入法是最简单直观的数列极限计算方法。
当数列的通项公式较为简单时，我们可以直接代入n趋向于无穷大的情况，从而求出数列的极限值。
例如，对于数列an = 1/n，当n趋向于无穷大时，an趋向于0，即lim an = 0。
直接代入法的优点在于操作简单、容易理解；但其缺点也很明显，即仅适用于通项公式简单、易于计算的数列。
三、夹逼定理夹逼定理是计算数列极限的常用方法之一。
它适用于那些通项公式较为复杂、难以直接代入计算的数列。
夹逼定理的基本思想是通过找到两个收敛于同一极限的数列{an}和{bn}，使得对于所有正整数n，都有an ≤ xn ≤ bn，从而得出数列{Xn}的极限值。
例如，对于数列Xn = sin(n)/n，我们可以利用夹逼定理来求解其极限。
首先，找到两个收敛于0的数列{an}和{bn}，使得对于所有正整数n，都有an ≤ sin(n)/n ≤ bn。
显然，当n > 0时，-1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n，即an = -1/n，bn = 1/n。
由于lim an = lim bn = 0，根据夹逼定理，我们得出lim Xn = 0。
夹逼定理的优点在于适用范围广，可以处理许多直接代入法无法处理的复杂数列；但其缺点在于需要找到合适的{an}和{bn}，这往往需要一定的数学技巧和经验。
四、单调有界定理单调有界定理是计算数列极限的另一个重要方法。
它适用于那些单调递增或单调递减且有界的数列。
单调有界定理的基本思想是，如果一个数列单调递增（或递减）且有上界（或下界），则该数列必定收敛，且其极限值等于其上界（或下界）。
例如，对于数列Xn = 1/n^2，我们可以看出这是一个单调递减且有下界的数列（下界为0）。
数学分析中求极限的几种重要方法
数学分析中求极限的几种重要方法数学分析中求极限的几种重要方法极限是数学分析的重要内容，是高等数学的理论基础和研究工具，学习极限相关理论对学习数学分析和掌握高等数学众多理论有着极其关键的作用。
由于极限的计算题目类型多变，而极限的求取方法也种类繁多，因此，针对不同问题找到正确且最简洁的方法意义重大。
1、利用定义求极限极限的概念可细分为函数的极限和数列的极限。
2、利用法则求极限2.1 四则运算法则法2.2 两个准则法本文简单介绍两个准则，分别为夹逼准则和单调有界准则，常用于数列极限的求解。
(2)单调有界准则：单调有界数列必有极限，且极限唯一。
利用单调有界准则求极限过程中，首先需要证明数列的单调性和有界性，然后要证明数列极限的存在，最后根据数列的通项递推公式以及极限的唯一性来求极限。
2.3 洛比达法则法3、利用公式求极限3.1 两个重要极限公式法(1)极限及其变换，常用于包含三角函数的“”型未定式。
利用这两个重要极限公式来求极限时要仔细观察函数形式是否符合。
3.2 泰勒公式法泰勒公式法是指在求极限时，利用泰勒公式将函数进行展开后再通过一般求极限的'方法进行计算的方法。
泰勒公式法对一些比较复杂的求极限过程可以起到简化作用。
4、利用性质求极限4.1 无穷小量性质法利用下列几点无穷小量的性质可解决相关的极限问题。
性质1：有限无穷小量的代数和为无穷小。
性质2：无穷小量与有界函数的乘积为无穷小。
性质3：有限无穷小量的乘积为无穷小。
4.2 函数连续性法函数的连续性：5、其他方法5.1 中值定理法中值定理法包括利用微分或积分中值定理求极限，通过微分或积分中值定理将函数进行变换，再求极限。
5.2 定积分法则可知定积分可化为和式极限的形式，同样，在求和式极限时，可转为定积分的形式来求解。
具体步骤：(1)首先选择恰当的可积函数f(x)。
(2)然后将所求和式极限表示成为f(x)在某区间[a，b]上的等分的积分和式的极限。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法之南宫帮珍创作一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
经常使用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim )()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-limlimlim)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分需要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除时候使用。
例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不成能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不成直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,而且注意导数分母不克不及为0。
洛必达法则分为3种情况： （i ）“00”“∞∞”时候直接用(ii)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
数列极限的几种求解方法
数列极限的几种求解方法张宇（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要在髙等数学中极限是一个重要的基本概念。
高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。
本文主要研究了求极限问题的若干种方法。
在纷繁众多的求极限方法中，同学们往往在求解极限时不知如何下手。
文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性：利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限：这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。
还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特姝方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限：利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。
在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。
关键词：数列，极限，槪念，泄理。
Solution of the limitAbstract : In the higher mathematics limit is an important basic concepts・ In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration. series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit .In the numerous and numerous limit method. students often in solving limit doesn't know how to start. Tlie contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property. Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit. These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special stnictures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method. these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods・Key words: Series, limit, the concept, the theorem.引言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。
高等数学求极限的各种方法
求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限,就是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
求数列极限的几种典型方法
求数列极限的几种典型方法在数学中，极限是研究数列和函数的一个基本概念。
求解一个数列的极限可以帮助我们了解数据的趋势和规律，从而进行预测和决策。
下面介绍几种常见的数列极限求解方法：1. 递推法递推法是一种基本的数列极限求解方法。
其基本思路是找到数列的递推式，然后通过递推式不断推导出数列的前n项，从而得出数列的极限。
例如，对于递推数列a_n = a_{n-1} + 1/n，我们可以按照以下步骤求出其极限：Step 1: 找到数列的递推式a_n = a_{n-1} + 1/n。
Step 2: 给出数列的初值a_1。
Step 3: 利用递推式计算出数列的前几项，如a_2, a_3, a_4……a_n。
Step 4: 根据推导出的前n项，估算数列的极限。
通过递推法求解数列极限的基本思路就是这样的。
当然，在实际求解中会存在很多细节问题，比如要确定递推式的正确性、初值的选取等。
但总体来说，递推法是一个非常直观、简单易行的方法。
2. 插值法插值法是一种利用待求函数在一组已知点处的函数值构造出一个近似函数然后进行近似计算的方法。
在数列极限求解中，我们也可以采用插值法来求极限值。
具体来说，我们可以对于某个数列{a_n}，假设存在一个连续的函数f(x)，它在n个不同的位置x_1、x_2……x_n处的函数值分别为a_1、a_2……a_n。
我们希望利用f(x)在x趋近于无穷大时的行为来估计数列{a_n}的极限。
通过插值法，我们可以构造一个插值函数L(x)来近似代替f(x)，从而得到数列极限的近似值。
3. 逼近法具体来说，我们可以通过求解一系列子问题，然后逐步逼近数列的极限值。
每次逼近都会得到数列的一个更接近极限的值。
逼近法是一种利用简洁的代数方法逐步逼近数列极限值的方法，常常用于解决复杂的计算问题。
4. 性质法在数学中，我们经常可以根据数列的基本性质来求解其极限值。
例如，对于一个收敛的数列{a_n}，其极限值必须满足以下两个条件：1）极限存在。
高等数学求极限的各种方法
⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。
常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。
只能在乘除．．时候使⽤。
例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。
⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。
另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。
高中数学数列与数列极限的常见求解方法总结
高中数学数列与数列极限的常见求解方法总结数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照特定规律排列的数字所组成的序列。
而数列极限则是数列中数值趋于无穷大或无穷小时的极限值。
在高中数学中，数列与数列极限是一个重要的考点，掌握其求解方法对于学生来说至关重要。
本文将对高中数学中数列与数列极限的常见求解方法进行总结，并通过具体题目的举例，解析其考点和解题技巧，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、等差数列的求解方法等差数列是最常见的数列之一，其特点是每相邻两项之间的差值都相等。
对于等差数列的求解，我们可以通过以下几种方法进行：1. 求通项公式：对于已知的等差数列，我们可以通过观察数列的规律，找到通项公式，从而可以方便地求解数列中任意一项的值。
例如，已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a + (n-1)d。
2. 求前n项和：对于等差数列的前n项和，我们可以通过求和公式来快速计算。
求和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
举例说明：已知等差数列的首项为3，公差为5，求该数列的第10项和前10项和。
解析：根据通项公式an = a + (n-1)d，可得第10项为a10 = 3 + (10-1) * 5 = 48。
根据求和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，可得前10项和为S10 = (3 + 48) * 10 / 2 = 255。
二、等比数列的求解方法等比数列是另一种常见的数列，其特点是每相邻两项之间的比值都相等。
对于等比数列的求解，我们可以采用以下方法：1. 求通项公式：对于已知的等比数列，我们可以通过观察数列的规律，找到通项公式，从而可以方便地求解数列中任意一项的值。
例如，已知等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，则通项公式为an = a * q^(n-1)。
2. 求前n项和：对于等比数列的前n项和，我们可以通过求和公式来快速计算。
求数列的极限的方法总结
求数列的极限的方法总结求数列的极限是微积分中的一个重要问题，是计算数列中数字的趋势和趋近于的值。
在数学中，数列的极限是指当数列中的元素逐渐接近于某个值时，该值被称为数列的极限。
数列的极限有着重要的理论意义和广泛的应用，常常出现在微积分、数值计算以及物理等领域中。
为了求解数列的极限，我们可以使用多种方法和定理。
下面我将总结一些常见的方法，以帮助读者更好地理解和掌握求数列极限的技巧。
一、数列的递推关系求解数列的极限时，通常首先要确定数列的递推关系。
数列的递推关系是指数列中的每一项与前一项之间的数学关系。
通过找到数列的递推关系，我们可以更好地理解数列的增长规律，从而更好地求解数列的极限。
二、数列的有界性和单调性如果数列是有界的和单调的，那么我们可以通过有界性定理和单调性定理来判断数列的极限。
1. 有界性定理：如果数列是有界的，即存在一个上界和下界，那么数列的极限存在。
2. 单调性定理：如果数列递增且有上界，或者数列递减且有下界，那么数列的极限存在。
通过判断数列的有界性和单调性，我们可以进一步缩小数列极限的范围，从而更容易确定数列的极限值。
三、数列的极限定理数列的极限定理是求解数列极限的重要工具，它包括以下几个定理：1. 唯一性定理：如果数列有极限，那么极限是唯一的。
2. 夹逼定理：如果数列的每一项都被夹在两个趋于同一极限的数列之间，那么数列的极限也趋于相同的值。
3. 四则运算法则：如果两个数列都有极限，那么它们的和、差、积和商的极限也存在，并且可以通过已知数列的极限来计算。
4. 单调有界定理：如果一个数列既是单调递增的又有上界（或单调递减的且有下界），那么它的极限存在。
应用这些数列极限定理，我们可以更加简化和有效地求解数列的极限问题。
四、应用泰勒展开泰勒展开是一种通过逼近函数的无穷级数和多项式，来求解函数在某点附近的近似值的方法。
在求解数列极限时，我们可以使用泰勒展开来逼近数列中的元素。
通过对数列中的元素应用泰勒展开，我们可以将数列中的每一项表示为一个近似的无穷级数和多项式。
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现实世界中有许许多多的量是以离散的方式进行变化的,其各种现象可以表现为某些数学模型以差分方程的形式而出现.差分算法是数值计算中的重 要方法之一,是处理数学问题中有关离散性内容的重要工具之一,更是沟通离散与连续之间的一座桥梁.通过它可以把离散性变量所确定的某些数学模型或 差分方程按照连续性变量的方法来进行处理. 本文采用不同于数学归纳法(必须预知其结果),又区别于幂级数法、逐项微分法、逐项积分法等数学分析方 法(需要掌握足够多的数学分析知识)的一种初等数学方法,在建立了必要的级数求和的公式与法则的基础上,用差分算法来求数项级数的部分和(无穷多项 的求和问题归结为求相应的部分和数列的极限问题),从而力求探索出一条除了用上述种种方法之外的求解这类问题的简便新途径.
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最后可得到：
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２ ｎ项积的极限问题
１ ｎ项和的极限问题
此类重要露型之一，正是建立在微分与积分 的基础上求极限的重要思维方式。常用方法有： （１）特殊级数求和法；（２）利用幂级数求和法；（３） 利用定积分求极限；（４）利用夹逼定理等方法。 例１：
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５用归结原理解决数列极限问题 例７：
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任何一个知识点都不是孤立的，对数列的极 限求解，与其他知识点紧密地联系，不同的思维 方式，看问题的角度不同，结论也会有差异，当然 也存在其他许多方法，有待深入研究和探讨。但 只要抓住本质。正确理鳃基本概念和原理。通过 大量训练，就会找出适合自己的理解方式。提高 解题水平。
第２１卷第５期
Ｖ０１．２ｌ Ｎｏ．５
池州学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｚｈｏｕ Ｃｏｌｌｅｇｅ
２００７年１０月
ｏＣｔ一２００７
浅谈高等数学中数列极限的几种求法
花中东 （铜陵职业技术学院。安徽铜陵２４４０００）
【摘要］韵数列的极限是高等教学的重要内容，也是理解数的有限与无限的基础。本文通过对数列极限的求解，将此知
Ｉ责任编辑：潘杨友】
（上接第１２２页）质的提高，是高校校园文化活动 建设的一个重要的着力点。高校校园文化活动必 须能够以社会发展需要为前提，以大学生的综合 能力培养为核心．只有这样，才能真正发挥校园 文化的作用。
参考文献： 【１】章礼云．新时期大学生德育工作的几点思考珊．弛州师专
学报。２００ｔ（４）． １２８
嘶｛×，∑－，七１－ａ｛－）
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例２：
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设原式＝Ｅ则由题意得，显然
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此类题型的解法有： （１）分子，分母同乘以一个因子，使之出现
连锁反应；（２）分通项，分解因式使之成为两个 因子乘积形式．在整个相乘过程中间项相消，从 而化简为易求极限；（３）利用夹逼定理；（４）利 用对数恒等式化为ｎ项和的形式（再利用射微积 分性质）。 例３：
万方数据
【２】田建国，用科学发展观思考高校发展战略【Ｎ】冲国教育报，
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【３侧建佳．论新形势下高校学生工作的理念刨新册湖南商学 院学抿２００２Ｃ９）．
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２００５－１０－２５
【５侗而风关于高校校园文化建设的若干思考Ｕ】．福建政法 管理干部学院学报．１９９９（１）．
2006,36(8)
托布利兹(Toeplite)定理是数学分析中证明和计算数列极奶的有效工具.将托布利兹(Toeplite)定理推广到函数情形,为证明和计算一类函数的极限 提供了一种方法.实例表明利用托布利兹(Toeplite)定理的推广证明和计算某类函数的极限和某些数列的极限,比用传统的数学分析方法更简便.
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形如里ｍ Ｊ．‘（ｘ）ｄｘ的求解方法主要有：
（Ｉ）利用不等式缩法对Ｊ．￡（蚺估值。
（２）利用积分中值定理。 例５：
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万方数据
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３通项为积分形式的极限问题
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【责任编辑：束仁龙】
浅谈高等数学中数列极限的几种求法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
花中东 铜陵职业技术学院,安徽,铜陵,244000
池州师专学报 JOURNAL OF CHIZHOU TEACHERS COLLEGE 2007，21(5) 0次
参考文献(3条) 1.同济大学数学教研室 高等数学 1996 2.徐建平 高等数学 2004 3.施光燕 应用数学 2005
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利用上解和下解的性质,即上下解方法研究一阶常微分方程终值问题解的存在性及唯一性.上解和下解对于微分方程而言是比较容易求得,本文利用它 的性质,并加入所需满足的条件,即可判断出方程解是否存在、是否唯一,文中进行了严格的证明.在证明的过程中,利用迭代的方法可以得到函数列,通过 求函数列的极限可以进一步得到方程的解析解.
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４利用Ｔａｙｌｏｒ定理简化后求极限
例６：
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”‘“’÷４ｔ‘
参考文献：
【１１１同济大学数学教研室．高等数学眦４版北京：高等教育
出版社，１９９６． 【２】徐建平．高等数学【Ｍ】ｊＥ京：清华大学出版社．２００４． 【３】施光燕应用数学删】．大连：大连理工大学出版社，２００５．
识点与其他知识点的结合过程，我出其基本概念和原理问的相互联系，从而更深入地理解所遇问题。
［关键词ｌ数列的极限；微分；积分；幂级数；夹逼定理
【ｑａｌｉｔ分类号ｌ Ｇ６４２ 【文献标识码】Ａ
【文章编号】１６７４－１１０２（２００７）０５—０１２７－０２
数列极限是高等数学的重要内容，是理解数 的有限性与无限性的基础，也是正确理解微分与 积分的前提。所以它是学习高等数学首要掌握的 内容。关于数列极限的基本概念等问题，教材中 已有阐述，这里主要介绍在学习中所遇到几种不 同类型的极限问题及其求解方法。
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例４：令Ｅ：占掰［（１＋乓×１＋芝）（１＋芝）…（“《）】÷
原式取对数得：
救辖耳期：２００７－０．５－２９ 作者畸舟：花中东（１９６８一）．男，安蕞无为凡．搦陵职业学院基础郝讲师．研究方向为基础应用杠擘。