五年级奥数 五个几何模型

直线形面积计算的五个模型

知识点精讲

一、 等积变换模型

（1） 等底等高的两个三角形面积相等；

（2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比

等于他们底的比）

AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ∆∆=

1h 为公共的高，所以 12::BD DC s s =

（3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

底和高均不同，所以()21

::)(ABD CDE BD DC h s s h ∆∆=⨯⨯

比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，

那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6）

二、 鸟头模型（共角模型）

两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。

BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ∆∆=⨯⨯所以

E :E:DA BAC DA A BA AC s s ∆∆∠=⨯⨯A 为公共角，所以

推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。 三、 蝴蝶定理模型

1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）

1243::s s s s =或者1342s s s s ⨯=⨯

14231243+AO:OC s s s s s s s s ==

=：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。

2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理）

22

13:a b s s =：

221

3

2

4

::a b s s s s

=：：：ab ：ab

整个梯形对应的面积份数为： 2(a+b)

四、 相似模型

相似三角形性质：

（金字塔模型） （沙漏模型）

下面的比例关系适用如上两种模型：

1、AD AE DE AF AB AC BC AG ===

2、 22::ADE ABC s s AF AG ∆∆=

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下：

（1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

五、 燕尾定理

:::ABG ACG BGE CGE s s s s BE CE ∆∆∆∆== :::BGA BGC GAF GCF s s s s AF CF ∆∆∆∆== :::AGC BGC AGD BGD s s s s AD BD ∆∆∆∆==

课堂例题与练习

等积变换模型部分：

1. 如下图,BC=3BE,AC=4CD ．那么,三角形AED 的面积是6，那么三角形ABC 面积的是多少？

2.如下图，四边形ABCD 是直角梯形。其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15（厘米），并且三角形ADE 、四边形DEBF 、三角形CDF 的面积相等，请问阴影三角形DEF 的面积是多少？

3.如下图，在三角形ABC 中，BC 是DC 的3倍，AC 是EC 的3倍．三角形DEC 的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC 的面积是多少平方厘米？

4．如下图，E 是BC 上靠近C 的三等分点，且ED 是AD 的2倍．三角形ABC 的面积是36

平方厘米三角形BDE 的面积是多少平方厘米？

5．如下图所示，已知三角形BEC 的面积等于20平方厘米，E 是AB 边上靠近B 点的四等分点．三角形AED 的面积是多少平方厘米？

6. 如下图所示，已知平行四边形ABCD 的面积为36，三角形AOD 的面积为8．三角形BOC 的面积为多少？

7.如下图,正方形ABCD 的边长为12, P 是边AB 上的任意一点,M 、N 、I 、H 分别是边BC 、AD 上的三等分点,E 、F 、G 是边CD 上的四等分点,图中阴影部分的面积是多少？

鸟头模型部分：

1.如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平

方厘米，求ABC △的面积．

E

D

C

B

A

2.如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？

E

D

C

B

A

3.如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，

12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

E

D

C

B

A

4.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

A

5、已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．

F

E

D C

B

A

6、如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，

:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？

A

B E

C

D

D

C E

B A

7.如下图所示，把三角形DEF 的各边向外延长一倍后得到三角形ABC ，三角形ABC 的面积为1。请问：三角形DEF 的面积是多少？

8.如下图所示，把四边形ABCD 的各边都延长一倍，得到一个新四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5平方厘米，那么请问：EFGH 的面积是多少平方厘米？

9.如图BE=EF=FC ，BD=2AD ，AC=3CG ，三角形ABC 的面积为36，求阴影部分的面积。

10.如图，点D 、E 、F 与点G 、H 、N 分别是三角形ABC 与三角形DEF 各边的中点。如果三角形ABC 的面积是48，那么，阴影部分的面积是多少？