山东省青岛市李沧区九年级(上)期末数学试卷
2017-2018学年山东省青岛市李沧区九年级(上)期末数学试卷 (1)
2017-2018学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1. 已知2x=3y，则下列比例式成立的是()A.x2=y3B.x2=3yC.xy=23D.x3=y22. 用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（）A. B. C. D.3. 一个袋中有黑球12个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出10个球，记下其黑球的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程20次，发现共有黑球48个，由此估计袋中的白球数是（）个．A.38个B.28个C.50个D.48个4. 若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k>−1且k≠0B.k>−1C.k<1且k≠0D.k<15. 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.a>0B.b2−4ac>0C.−b2a<0 D.c>06. 随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥10时，y与x成反比例函数关系，当车行驶速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（）A.x≥40B.x≤40C.x<40D.x>407. 如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（）A.3米B.5米C.2米或5米D.2米8. 在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y=kx(k≠0)的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）计算cos60∘+sin30∘＝________．已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是________．平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图建立平面直角坐标系，抛物线的函数解析式为y=−16x2+13x+32，绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为________m．如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD 上的点A′处，则AE的长为________．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40∘，则点B到CD的距离为14.1cm（参考数据sin20∘≈0.342，cos20∘≈0.940，sin40∘≈0.643，cos40∘≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第（6）个图形的表面积________个平方单位．三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮加工一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）（1）用配方法解方程：x2−2x−3＝0（2）求二次函数y＝−3x2+6x+2的图象与x轴的交点坐标．如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．（1）请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子；（2）如果灯杆高PO＝12m，小亮的身高AB＝1.6m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出小亮影子的长度．商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．(1)若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是________；(2)若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1+√3)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45∘方向上，A位于B的北偏西30∘的方向上，求A、C之间的距离．某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10∘C，待加热到100∘C，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(∘C)和通电时间x(min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20∘C，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8<x≤a时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7:30将饮水机电源打开，若他想再8:10上课前能喝到不超过40∘C的开水，问他需要在什么时间段内接水．在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90∘，AC＝BD，AC，BD相交于点G，过点A作AE // DB交CB的延长线于点E，过点B作BF // CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）证明：△ABD≅△BAC．（2）四边形AHBG是什么样的四边形，请猜想并证明．（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC添加一个什么条件？请添加条件并证明．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y＝0.3x．根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数的表达式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图5，四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC，BD的长度分别为20cm，30cm及夹角∠AOB为60∘，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗？问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积，再相加就可以了．建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：如图1，△ABC中，O为BC上任意一点（不与B，C两点重合），连接OA，OA＝a，BC＝b，∠AOB＝α（α为OA与BC所夹较小的角），试用a，b，α表示△ABC的面积．解：如图2，作AM⊥BC于点M，∴△AOM为直角三角形．又∵∠AOB＝α，∴sinα=AMOA即AM＝OA⋅sinα∴△ABC的面积=12⋅BC⋅AM=12⋅BC⋅OA⋅sinα=12ab sinα．问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题．如图3，四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC＝20m，BD＝30m，∠AOB＝60∘，求四边形ABCD的面积．新建模型：若四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC＝a，BD＝b，∠AOB＝α（α为OA与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积＝________．模型应用：如图4，四边形ABCD中，AB+CD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝60∘，已知AC＝a，则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90∘，AC＝8cm，AB＝12cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为1cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）(0≤t≤6)．解答下列问题：（1）当t为何值时，▱AQPD为矩形．（2）当t为何值时，▱AQPD为菱形．（3）是否存在某一时刻t，使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2017-2018学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1.【答案】此题暂无答案【考点】比因校性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】简单组水都的三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】用样射子计总体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】根体判展式一元二较方程熔定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】二次射数空象与话数流关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】反比例表数透应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】一元二较方程轻应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】反比例射数的图放一次射可的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）【答案】此题暂无答案【考点】特殊角根三角函股值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】菱都资性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次表数擦应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】勾体定展翻折变换（折叠问题）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】解直明三息形的标用-途他问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】规律型：因字斯变化类规律型：三形的要化类规律型：点的坐较几何体的存面积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】此题暂无答案【考点】作图—应表镜设计作图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）【答案】此题暂无答案【考点】解因末二什方似-配方法抛物线明x稀的交点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】中来锰影【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】列表法三树状图州概水常式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】解直都三连慢的日用-方向角问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无解答此题暂无答案【考点】反比例表数透应用一次水根的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正方水于判定全根三烛形做给质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次表数擦应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】规律型：因字斯变化类规律型：三形的要化类规律型：点的坐较解直明三息形的标用-途他问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】四边正形合题【解析】此题暂无解析【解答】。
山东省青岛市李沧区青岛第六十一中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(无答案)
九年级数学期未学业水平检测（考试时间：120分钟满分：120分）第Ⅰ卷（共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图所示几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，斜坡AB 长20m ，坡顶离地面的高度BC 为10m ，则此斜坡的倾斜角为（ ）A ．25°B ．30°C ．45°D ．60° 3．如图，在一间黑屋子的地面A 处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（ ）A ．变大B ．变小C ．不变D ．不能确定 4．已知反比例函数1m y x-=的图象具有下列特征：在所在象限内，y 的值随x 的增大而减小，那么m 的取值范围是（ ）A ．m >1B ．m ≥1C ．m <1D ．m ≤1 5．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积比为（ ）A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：4 6．点()12,A y -，()24,B y ，()36,C y 均在二次函数223y x x =--的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．123y y y =>C ．123y y y >>D ．312y y y >=7．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2021年底某市汽车拥有量为19.6万辆．己知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，如果设2019年底至2021年底该市汽车拥有量的年均增长率为x ，那么根据题意列出的方程为（ ）A ．210(1)19.6x +=B ．10(12)19.6x +=C ．210(1)19.6x -=D ．10(12)19.6x -= 8．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数c y x=与一次函数y ax b =+在同一坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共96分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：2sin302cos45︒︒=______．10．若103y x =，那么y x x-的值为______． 11．如图，在△ABC 中，AC >AB ，过AB 上一点D 作直线DF 交AC 于点F ，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为______．12．请写出一个满足条件①②的二次函数表达式y ＝______．①图象的对称轴为直线x ＝1；②图象经过点（0，3）．13．如图是某几何体的三视图，其俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为______cm 2．14．如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为AB 的中点，DF 的延长线与CB 的延长线交于点H ，CE 与DH 相交于点G ．若5CG =BG 的长为______．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．已知：Rt △ABC ，∠B ＝90°．求作：矩形ABCD ．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（本题满分8分，每小题4分）（1）解方程：2210x x --=；（2）用配方法确定二次函数245y x x =++图象的对称轴和顶点坐标．17．（本题满分6分）为弘扬祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小颖同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“柳暗花明又一村”．（1）小明回答该问题时，仅对第二个字是选“暗”还是选“岸”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是______；（2）小颖回答该问题时，对第二个字是选“暗”还是选“岸”、第四个字是选“名”还是选“明”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小颖回答正确的概率．18．（本题满分6分）如图是旗杆AB 竖直放置在矩形平台EFMC 上的示意图，在某一时刻旗杆AB 形成的影子的顶端恰好落在斜坡CD 的D 处，点F ，M ，D 在一条直线上．现测得BC ＝10m ，CD ＝8m ，∠CDF ＝30°，∠ADF ＝45°，求旗杆AB 的高度．19．（本题满分6分）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋（n ＋1）＋（n ＋2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”． 例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2022是否是“纯数”？请说明理由；（2）请直接写出2023到2050之间的“纯数”；（3）不大于100的“纯数”的个数为______．20．（本题满分8分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，在边AD 上是否存在一点E ，使∠BEC ＝90°？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．21．（本题满分8分）如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且与反比例函数m y x =的图象在第二象限内的部分交于点C ，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，其中OA ＝OB ＝OD ＝2．（1）直接写出A ，B 两点的坐标；（2）求这两个函数的关系式；（3）若点P 在x 轴上，且12ACP S =△，请直接写出点P 的坐标．22．（本题满分10分）如图，在□ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 的直线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形AECF 的形状，并证明你的结论．①∠OAE ＝∠OFC ，②∠OAE ＋∠OFC ＝90°．选择的条件：______（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）23．（本题满分10分）冬天来了，为了晾晒衣服，小明在自家前院地面（BD ）上立两根等长的立柱AB ，CD （均与地面垂直），并在立柱之间悬挂一根绳子．按如图所示的直角坐标系，绳子的形状可以近似地用抛物线21()10y x h k =-+来表示，如图（1），已知BD ＝6m ，绳子最低点与地面的距离为1.4m ．（1）求立柱AB 的长度（2）由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN 撑起绳子，如图（2），MN 的长度为1.65m ，通过调整MN 的位置，使左边抛物线1F 对应的函数关系式为214y x m n =++，最低点离地面1.49米，求水平距离BN ．24．（本题满分12分）如图，在等边ABC △中，8cm AB =．动点P 从点A 出发，沿AB 方向运动；动点Q 同时从点C 出发，沿BC 的延长线方向运动，当点P 到达点B 时，动点P ，Q 同时停止运动，Q ，P 两点的运动速度均为1cm/s ．过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ，PQ ，AC 相交于点E ．设运动的时间为(s)(08)t t <<．（1）当t 为何值时，BPQ △为直角三角形？（2）设四边形PBQD 的面积为()2 c m S ，写出S 与t 的关系式；（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t ，使:1:10PDA PBQD S S =四边形△？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由．（4）试判断PDE S △，PDA S △，CEQ S △之间有怎样的数量关系？请说明理由．。
【区级联考】山东省青岛市李沧区2019届九年级上学期期末考试数学试题(原卷版)
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
23.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
求出每天的销售利润 元 与销售单价 元 之间的函数关系式；
13.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为 和 若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米 结果保留根号 ．
14.如图,已知A1,A2,A3,…An,…是x轴上 点,且OA1=A1A2=A2A3=…=An−1An…=1,分别过点A1,A2,A3,…An,…作x轴的垂线交反比例函数y= (x>0)的图象于点B1,B2,B3,…,Bn,…,过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1,过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…,记△B1P1B2的面积为S1,△B2P2B3的面积为S2…,△BnPnBn+1的面积为Sn.则S1+S2+S3+…+Sn=__.
21.心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB,BC分别为线段,CD为双曲线的一部分):
(1)求抛物线的解析式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
20.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试航任务.某日航母在南海海域试航，如图，海中有一个小岛A，并测得该岛四周10海里内有暗礁，航母由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后如果航母继续向东航行，途中会有触礁的危险吗？（参考数据：sin55°=0.8，cos55°=0.6，tan55°=1.4，sin25°=0.4，cos25°=0.9，tan25°=0.5）
山东省青岛市李沧区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
山东省青岛市李沧区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．A．B．C．D．A ．B ．C ．D ．二、填空题11．某校九年级共有男生800名，从中随机抽取100名进行身高情况统计．抽取的100名男生身高在170~180cm 之间的有63名，那么估计该校九年级男生身高在170~180cm 之间的大约有名．12．如图，将视力表中的两个“E ”放在平面直角坐标系中，两个“E ”字是位似图形，位似中心为点O ，①号“E ”与②号“E ”的位似比为1:2．点M 与点N 为一组对应点，若点M 的坐标为()2,4-，则点N 的坐标为．13．一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是．（填写相应的数字序号即可）14．如图，在菱形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE AD =，连接DE ，若10AB =，16AC =，则DE 的长为．15．已知关于x 的方程22100x mx +-=的一个根是5，则它的另一个根是． 16．如图，在正方形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，AE 交BD 于点F ，过点D 作DG AE ⊥于点G ，则:DAG DFG S S =△△．三、解答题17．已知：线段a ．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 求作：矩形ABCD ，使得,2AB a AC a ==．18．（1）解方程：21070x x --=．（2）已知关于x 的一元二次方程()22320m x x --+=有实数根，求m 的取值范围．19．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．现有三张不透明的卡片，其正面图案分别为杭州亚运会吉祥物“宸-6m宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售．已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系如图所示，图象是直线的一部分．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该景区要想使这种文创纪念品的销售利润每天达到6000元，每件文创纪念品的定价应为多少元？(3)若规定该文创纪念品的利润率不得高于60%，当销售单价定为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？25．如图1，在矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm AD =，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm/s ．过点Q 作QE AC ∥，交BC 于点E ，连接PE ，PQ ．设运动时间为t （s ）（04t <<），请解答下列问题：(1)当t 为何值时，PE CD ∥？(2)设EPQ △的面积为()2cm S ，求S 与t 之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使:15:24E P Q A C DS S =△△若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点O 为AC 的中点，连接OE ．当C E O V 为等腰三角形时，请直接写出t 的值．。
2019—2020学年山东省青岛市李沧区九年级(上)期末数学试卷
2019—2020学年山东省青岛市李沧区九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本题满分24分；共有8道小题；每小题3分）下列每小题都给出标号为A；B；C；D的四个结论；其中只有一个是正确的；每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．（3分）已知2x=3y；则下列比例式成立的是（）A．=B．=C．=D．=2．（3分）用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体；这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）一个袋中有黑球12个；白球若干；小明从袋中随机一次摸出10个球；记下其黑球的数目；再把它们放回；搅匀后重复上述过程20次；发现共有黑球48个；由此估计袋中的白球数是（）个．A．28个B．38个C．48个D．50个4．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根；则k 的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0 5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示；则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．6．（3分）随着私家车的增加；城市的交通也越老越拥挤；通常情况下；某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示；当x≥10时；y与x成反比例函数关系；当车行驶速度低于20千米/时；交通就会拥堵；为避免出现交通拥堵；高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（）A．x≤40B．x≥40C．x＞40D．x＜407．（3分）如图；在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）；余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米；则道路的宽为（）A．5米B．3米C．2米D．2米或5米8．（3分）在同一直角坐标系中；函数y=kx+1与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题满分18分；共有6道小题；每小题3分）9．（3分）计算cos60°+sin30°=．10．（3分）已知菱形的周长为40cm；一条对角线长为16cm；则这个菱形的面积是．11．（3分）平时我们在跳绳时；绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线；如图；建立直角坐标系；抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x+（单位：m）；绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶；则小明的身高为m．12．（3分）如图；在矩形纸片ABCD中；AB=12；BC=5；点E在AB上；将△DAE 沿DE折叠；使点A落在对角线BD上的点A′处；则AE的长为．13．（3分）如图1是小志同学书桌上的一个电子相框；将其侧面抽象为如图2所示的几何图形；已知BC=BD=15cm；∠CBD=40°；则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342；cos20°≈0.940；sin40°≈0.643；cos40°≈0.766；结果精确到0.1cm；可用科学计算器）．14．（3分）如图；都是由边长为1的正方体叠成的图形；例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位；第（2）个图形的表面积为18个平方单位；第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律；则第（6）个图形的表面积个平方单位．三、作图题（本题满分4分；用圆规、直尺作图；不写作法；但要保留作图痕迹．）15．（4分）如图；小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮加工一个正方形零件；使C为正方形的一个顶点；其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上；请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线．四、解答题（本题满分74分；共有9道小题）16．（8分）（1）用配方法解方程：x2﹣2x﹣3=0（2）求二次函数y=﹣3x2+6x+2的图象与x轴的交点坐标．17．（6分）如图；晚上；小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮；线段PO表示直立在广场上的灯杆；点P表示照明灯．（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（2）如果灯杆高PO=12m；小亮的身高AB=1.6m；小亮与灯杆的距离BO=13m；请求出小亮影子的长度．18．（6分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料；每种饮料数量充足；某同学去该店购买饮料；每种饮料被选中的可能性相同．（1）若他去买一瓶饮料；则他买到奶汁的概率是；（2）若他两次去买饮料；每次买一瓶；且两次所买饮料品种不同；请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．19．（6分）南沙群岛是我国固有领土；现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业；当渔船航行至B处时；测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处；为了防止某国海巡警干扰；就请求我A处的渔监船前往C处护航；已知C位于A处的北偏东45°方向上；A位于B的北偏西30°的方向上；求A、C之间的距离．20．（8分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机；该饮水机的工作程序是：放满水后；接通电源；则自动开始加热；每分钟水温上升10℃；待加热到100℃；饮水机自动停止加热；水温开始下降；水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系；直至水温降至室温；饮水机再次自动加热；重复上述过程．设某天水温和室温为20℃；接通电源后；水温和时间的关系如下图所示；回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时；y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开；若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水；问他需要在什么时间段内接水．21．（8分）在Rt△ABC与Rt△ABD中；∠ABC=∠BAD=90°；AC=BD；AC；BD相交于点G；过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E；过点B作BF∥CA交DA 的延长线于点F；AE；BF相交于点H．（1）证明：△ABD≌△BAC．（2）四边形AHBG是什么样的四边形；请猜想并证明．（3）若使四边形AHBG是正方形；还需在Rt△ABC添加一个什么条件？请添加条件并证明．22．（10分）某公司营销A；B两种产品；根据市场调研；确定两条信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系；如图所示：信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．根据以上信息；解答下列问题；（1）求二次函数的表达式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨；请设计一个营销方案；使销售A、B两种产品获得的利润之和最大；最大利润是多少万元？23．（10分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后；准备进行绿化建设；现要将一块四边形的空地（如图5；四边形ABCD）铺上草皮；但由于年代久远；小区规划书上该空地的面积数据看不清了；仅仅留下两条对角线AC；BD的长度分别为20cm；30cm及夹角∠AOB为60°；你能利用这些数据；帮助物业人员求出这块空地的面积吗？问题分析：显然；要求四边形ABCD的面积；只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积；再相加就可以了．建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：如图1；△ABC中；O为BC上任意一点（不与B；C两点重合）；连接OA；OA=a；BC=b；∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角）；试用a；b；α表示△ABC的面积．解：如图2；作AM⊥BC于点M；∴△AOM为直角三角形．又∵∠AOB=α；∴sinα=即AM=OA•sinα∴△ABC的面积=•BC•AM=•BC•OA•sinα=absinα．问题解决：请你利用上面的方法；解决物业公司的问题．如图3；四边形ABCD中；O为对角线AC；BD的交点；已知AC=20m；BD=30m；∠AOB=60°；求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程）新建模型：若四边形ABCD中；O为对角线AC；BD的交点；已知AC=a；BD=b；∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角）；直接写出四边形ABCD的面积=．模型应用：如图4；四边形ABCD中；AB+CD=BC；∠ABC=∠BCD=60°；已知AC=a；则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）24．（12分）如图；已知Rt△ABC中；∠C=90°；AC=8cm；AB=12cm；点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动；同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动；速度均为1cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD；连接DQ；交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤6）．解答下列问题：（1）当t为何值时；▱AQPD为矩形．（2）当t为何值时；▱AQPD为菱形．（3）是否存在某一时刻t；使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积；若存在；请求出t值；若不存在；请说明理由．2017-2018学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分；共有8道小题；每小题3分）下列每小题都给出标号为A；B；C；D的四个结论；其中只有一个是正确的；每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．（3分）已知2x=3y；则下列比例式成立的是（）A．=B．=C．=D．=【分析】把各个选项依据比例的基本性质；两内项之积等于两外项之积；已知的比例式可以转化为等积式2x=3y；即可判断．【解答】解：A、变成等积式是：xy=6；故错误；B、变成等积式是：3x=2y；故错误；C、变成等积式是：2x=3y；故正确；D、变成等积式是：3x=2y；故错误．故选：C．2．（3分）用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体；这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】左视图是从左边看得到的视图；结合选项即可得出答案．【解答】解：所给图形的左视图为C选项说给的图形．故选：C．3．（3分）一个袋中有黑球12个；白球若干；小明从袋中随机一次摸出10个球；记下其黑球的数目；再把它们放回；搅匀后重复上述过程20次；发现共有黑球48个；由此估计袋中的白球数是（）个．A．28个B．38个C．48个D．50个【分析】同样条件下；大量反复试验时；随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近；根据题中条件求出黑球的频率；再近似估计白球数量．【解答】解：设袋中的白球数是x个；根据题意得：=；解得：x=38；答：袋中的白球数是38个；故选：B．4．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根；则k 的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组；求出k 的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根；∴；即；解得k＞﹣1且k≠0．故选：B．5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示；则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系；由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系；然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理；进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、正确；∵抛物线与x轴有两个交点；∴△=b2﹣4ac＞0；B、正确；∵抛物线开口向上；∴a＞0；C、正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；∴c＞0；D、错误；∵抛物线的对称轴在x的正半轴上；∴﹣＞0．故选：D．6．（3分）随着私家车的增加；城市的交通也越老越拥挤；通常情况下；某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示；当x≥10时；y与x成反比例函数关系；当车行驶速度低于20千米/时；交通就会拥堵；为避免出现交通拥堵；高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（）A．x≤40B．x≥40C．x＞40D．x＜40【分析】利用已知反比例函数图象过（10；80）；得出其函数解析式；再利用y=20时；求出x的最值；进而求出x的取值范围．【解答】解：设反比例函数的解析式为：y=；则将（10；80）；代入得：y=；故当车速度为20千米/时；则20=；解得：x=40；故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是：x≤40．故选：A．7．（3分）如图；在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）；余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米；则道路的宽为（）A．5米B．3米C．2米D．2米或5米【分析】设道路的宽为x；利用“道路的面积”作为相等关系可列方程20x+32x﹣x2=20×32﹣540；解方程即可求解．解题过程中要根据实际意义进行x的值的取舍．【解答】解：设道路的宽为x；根据题意得20x+32x﹣x2=20×32﹣540整理得（x﹣26）2=576开方得x﹣26=24或x﹣26=﹣24解得x=50（舍去）或x=2所以道路宽为2米．故选：C．8．（3分）在同一直角坐标系中；函数y=kx+1与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数和反比例函数的特点；k≠0；所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值；两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【解答】解：分两种情况讨论：①当k＞0时；y=kx+1与y轴的交点在正半轴；过一、二、三象限；反比例函数的图象在第一三象限；②当k＜0时；y=kx+1与y轴的交点在正半轴；过一、二、四象限；反比例函数的图象在第二四象限．故选：A．二、填空题（本题满分18分；共有6道小题；每小题3分）9．（3分）计算cos60°+sin30°=1．【分析】根据特殊角三角函数值；可得答案．【解答】解：原式=+=1；故答案为：1．10．（3分）已知菱形的周长为40cm；一条对角线长为16cm；则这个菱形的面积是96cm2．【分析】因为周长是40；所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形；运用勾股定理求另一条对角线的长；最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．【解答】解：因为周长是40cm；所以边长是10cm．如图所示：AB=10cm；AC=16cm．根据菱形的性质；AC⊥BD；AO=8cm；∴BO=6cm；BD=12cm．∴面积S=×16×12=96（cm2）．故答案是：96cm2．11．（3分）平时我们在跳绳时；绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线；如图；建立直角坐标系；抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x+（单位：m）；绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶；则小明的身高为 1.5m．【分析】实际上告诉了抛物线上某一点的横坐标x=2；求纵坐标．代入解析式即可解答．【解答】解：在y=﹣x2+x+中；当x=2时；得y==1.5．即小明的身高为1.5米．故答案为：1.512．（3分）如图；在矩形纸片ABCD中；AB=12；BC=5；点E在AB上；将△DAE 沿DE折叠；使点A落在对角线BD上的点A′处；则AE的长为．【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长；再根据折叠可得AD=A′D=5；进而得到A′B的长；再设AE=x；则A′E=x；BE=12﹣x；再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12﹣x）2=x2+82；解出x的值；可得答案．【解答】解：∵AB=12；BC=5；∴AD=5；BD==13；根据折叠可得：AD=A′D=5；∴A′B=13﹣5=8；设AE=x；则A′E=x；BE=12﹣x；在Rt△A′EB中：（12﹣x）2=x2+82；解得：x=；故答案为：．13．（3分）如图1是小志同学书桌上的一个电子相框；将其侧面抽象为如图2所示的几何图形；已知BC=BD=15cm；∠CBD=40°；则点B到CD的距离为14.1 cm（参考数据sin20°≈0.342；cos20°≈0.940；sin40°≈0.643；cos40°≈0.766；结果精确到0.1cm；可用科学计算器）．【分析】作BE⊥CD于E；根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°；求出∠CBE的度数；根据余弦的定义求出BE的长．【解答】解：如图2；作BE⊥CD于E；∵BC=BD；∠CBD=40°；∴∠CBE=20°；在Rt△CBE中；cos∠CBE=；∴BE=BC•cos∠CBE=15×0.940=14.1cm．故答案为：14.1．14．（3分）如图；都是由边长为1的正方体叠成的图形；例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位；第（2）个图形的表面积为18个平方单位；第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律；则第（6）个图形的表面积126个平方单位．【分析】结合图形；发现第（1）个图形的表面积是1×6=6；第（2）个图形的表面积是（1+2）×6=18；第（3）图形的表面积是（1+2+3）×6=36；以此类推即可求解．【解答】解：结合图形；发现：第（1）个图形的表面积是1×6=6；第（2）个图形的表面积是（1+2）×6=18；第（3）图形的表面积是（1+2+3）×6=36；第（4）图形的表面积是（1+2+3+4）×6=60；…故第n个图形的表面积是（1+2+3+…+n）×6=3n（n+1）；∴第（6）个图形的表面积是3×6×（6+1）=126；故答案为：126．三、作图题（本题满分4分；用圆规、直尺作图；不写作法；但要保留作图痕迹．）15．（4分）如图；小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮加工一个正方形零件；使C为正方形的一个顶点；其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上；请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线．【分析】直接利用正方形的性质得出∠C的角平分线交AB于点M；进而过M作MD⊥AC；ME⊥BC得出答案即可．【解答】解：如图所示：点M即为所求．四、解答题（本题满分74分；共有9道小题）16．（8分）（1）用配方法解方程：x2﹣2x﹣3=0（2）求二次函数y=﹣3x2+6x+2的图象与x轴的交点坐标．【分析】（1）根据配方法的步骤计算可得；（2）求出y=0时x的值可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3=0；∴x2﹣2x=3；则x2﹣2x+1=3+1；即（x﹣1）2=4；∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2；解得：x=3或x=﹣1．（2）令y=0得﹣3x2+6x+2=0；解得：x=；∴该二次函数图象与x轴的交点为（；0）、（；0）．17．（6分）如图；晚上；小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮；线段PO表示直立在广场上的灯杆；点P表示照明灯．（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（2）如果灯杆高PO=12m；小亮的身高AB=1.6m；小亮与灯杆的距离BO=13m；请求出小亮影子的长度．【分析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；（2）根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO；利用相似比即可求解．【解答】解：（1）连接PA并延长交地面于点C；线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子．（2分）（2）在△CAB和△CPO中；∵∠C=∠C；∠ABC=∠POC=90°∴△CAB∽△CPO∴（5分）∴∴BC=2m；∴小亮影子的长度为2m（7分）18．（6分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料；每种饮料数量充足；某同学去该店购买饮料；每种饮料被选中的可能性相同．（1）若他去买一瓶饮料；则他买到奶汁的概率是；（2）若他两次去买饮料；每次买一瓶；且两次所买饮料品种不同；请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．【分析】（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料；每种饮料数量充足；某同学去该店购买饮料；每种饮料被选中的可能性相同；直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图；然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况；再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料；每种饮料数量充足；某同学去该店购买饮料；每种饮料被选中的可能性相同；∴他去买一瓶饮料；则他买到奶汁的概率是：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果；他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况；∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：=．19．（6分）南沙群岛是我国固有领土；现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业；当渔船航行至B处时；测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处；为了防止某国海巡警干扰；就请求我A处的渔监船前往C处护航；已知C位于A处的北偏东45°方向上；A位于B的北偏西30°的方向上；求A、C之间的距离．【分析】作AD⊥BC；垂足为D；设CD=x；利用解直角三角形的知识；可得出AD；继而可得出BD；结合题意BC=CD+BD可得出方程；解出x的值后即可得出答案．【解答】解：如图；作AD⊥BC；垂足为D；由题意得；∠ACD=45°；∠ABD=30°．设CD=x；在Rt△ACD中；可得AD=x；在Rt△ABD中；可得BD=x；又∵BC=20（1+）；CD+BD=BC；即x+x=20（1+）；解得：x=20；∴AC=x=20（海里）．答：A、C之间的距离为20海里．20．（8分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机；该饮水机的工作程序是：放满水后；接通电源；则自动开始加热；每分钟水温上升10℃；待加热到100℃；饮水机自动停止加热；水温开始下降；水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系；直至水温降至室温；饮水机再次自动加热；重复上述过程．设某天水温和室温为20℃；接通电源后；水温和时间的关系如下图所示；回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时；y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开；若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水；问他需要在什么时间段内接水．【分析】（1）由函数图象可设函数解析式；再将图中坐标代入解析式；利用待定系数法即可求得y与x的关系式；（2）将y=20代入y=；即可得到a的值；（3）要想喝到不超过40℃的开水；7：30加20分钟即可接水；一直到8：10；【解答】解：（1）当0≤x≤8时；设y=k1x+b；将（0；20）；（8；100）代入y=k1x+b；得k1=10；b=20；所以当0≤x≤8时；y=10x+20；当8＜x≤a时；设y=；将（8；100）代入；得k2=800；所以当8＜x≤a时；y=；故当0≤x≤8时；y=10x+20；当8＜x≤a时；y=；（2）将y=20代入y=；解得a=40；（3）8：10﹣8分钟=8：02；∵10x+20≤40；∴0＜x≤2；∵≤40；∴20≤x＜40．所以李老师这天早上7：30将饮水机电源打开；若他想在8：10上课前能喝到不超过40℃的热水；则需要在7：50～8：10时间段内接水．21．（8分）在Rt△ABC与Rt△ABD中；∠ABC=∠BAD=90°；AC=BD；AC；BD相交于点G；过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E；过点B作BF∥CA交DA 的延长线于点F；AE；BF相交于点H．（1）证明：△ABD≌△BAC．（2）四边形AHBG是什么样的四边形；请猜想并证明．（3）若使四边形AHBG是正方形；还需在Rt△ABC添加一个什么条件？请添加条件并证明．【分析】（1）可根据已知条件∠ABC=∠BAD=90°；AB=BA；AC=BD即可得到△ABC ≌△BAD．（2）由已知可得四边形AHBG是平行四边形；由（1）可知∠ABD=∠BAC；得到△GAB为等腰三角形；▱AHBG的两邻边相等；从而得到平行四边形AHBG是菱形．（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形；进行判断即可．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠BAD=90°；AB=BA；AC=BD；∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．（2）四边形AHBG是菱形．证明：∵AH∥GB；BH∥GA；∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD；∴∠ABD=∠BAC；∴GA=GB；∴平行四边形AHBG是菱形．（3）需要添加的条件是AB=BC．证明：∵AB=BC；∠ABC=90°；∴△ABC是等腰直角三角形；∴∠BAG=45°；又∵△ABC≌△BAD；∴∠ABG=∠BAG=45°；∴∠AGB=90°；∴菱形AHBG是正方形．22．（10分）某公司营销A；B两种产品；根据市场调研；确定两条信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系；如图所示：信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．根据以上信息；解答下列问题；（1）求二次函数的表达式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨；请设计一个营销方案；使销售A、B两种产品获得的利润之和最大；最大利润是多少万元？【分析】（1）由抛物线过原点可设y与x间的函数关系式为y=ax2+bx；再利用待定系数法求解可得；（2）设购进A产品m吨；购进B产品（10﹣m）吨；销售A、B两种产品获得的利润之和为W元；根据：A产品利润+B产品利润=总利润可得W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）；配方后根据二次函数的性质即可知最值情况．【解答】解：（1）根据题意；设销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y=ax2+bx；将（1；1.4）、（3；3.6）代入解析式；得：；解得：；∴销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y=﹣0.1x2+1.5x；（2）设购进A产品m吨；购进B产品（10﹣m）吨；销售A、B两种产品获得的利润之和为W元；则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）；=﹣0.1m2+1.2m+3；=﹣0.1（m﹣6）2+6.6；∵﹣0.1＜0；∴当m=6时；W取得最大值；最大值为6.6万元；答：购进A产品6吨；购进B产品4吨；销售A、B两种产品获得的利润之和最大；最大利润是6.6万元．23．（10分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后；准备进行绿化建设；现要将一块四边形的空地（如图5；四边形ABCD）铺上草皮；但由于年代久远；小区规划书上该空地的面积数据看不清了；仅仅留下两条对角线AC；BD的长度分别为20cm；30cm及夹角∠AOB为60°；你能利用这些数据；帮助物业人员求出这块空地的面积吗？问题分析：显然；要求四边形ABCD的面积；只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积；再相加就可以了．建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：如图1；△ABC中；O为BC上任意一点（不与B；C两点重合）；连接OA；OA=a；BC=b；∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角）；试用a；b；α表示△ABC的面积．解：如图2；作AM⊥BC于点M；∴△AOM为直角三角形．又∵∠AOB=α；∴sinα=即AM=OA•sinα∴△ABC的面积=•BC•AM=•BC•OA•sinα=absinα．问题解决：请你利用上面的方法；解决物业公司的问题．如图3；四边形ABCD中；O为对角线AC；BD的交点；已知AC=20m；BD=30m；∠AOB=60°；求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程）新建模型：若四边形ABCD中；O为对角线AC；BD的交点；已知AC=a；BD=b；∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角）；直接写出四边形ABCD的面积= absinα．模型应用：如图4；四边形ABCD中；AB+CD=BC；∠ABC=∠BCD=60°；已知AC=a；则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）【分析】问题解决；如图5中；作AE ⊥BD 于E ；CF ⊥BD 于F ．根据S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD 计算即可；新建模型；如图5中；作AE ⊥BD 于E ；CF ⊥BD 于F ．S四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =•BD•AE +•BD•CF=•BD•（AE +CF ）=•BD•（OA•sinα+OC•sinα）=•BD•AC•sinα；模型应用；如图4中；在CB 上取CE=CD ；连接DE ；AE ；BD ．只要证明BD=AC ；∠APB=60°即可；【解答】解：问题解决；如图5中；作AE ⊥BD 于E ；CF ⊥BD 于F ．∵S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =•BD•AE +•BD•CF=•BD•（AE +CF ）=•BD•（OA•sin60°+OC•sin60°）=•BD•AC=150． 新建模型；如图5中；作AE ⊥BD 于E ；CF ⊥BD 于F ．S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =•BD•AE +•BD•CF=•BD•（AE +CF ）=•BD•（OA•sinα+OC•sinα）=•BD•AC•sinα=absinα； 故答案为absinα．模型应用；如图4中；在CB 上取CE=CD ；连接DE ；AE ；BD ．∵AB +DC=BC ；∴AB=BE；∵∠ABC=∠BCD=60°；∴△ABE与△CDE均为等边三角形；∴AE=BE；DE=CE；∴∠AEB=∠CED=60°；∴∠BED=∠AEC=120°；在△BED与△AEC中；；∴△BED≌△AEC（SAS）；∴AC=BD；∠EAC=∠EBD；∵∠AOP=∠BOE；∴∠APO=∠AEB=60°；=•a•a•sin60°=a2．∴S四边形ABCD24．（12分）如图；已知Rt△ABC中；∠C=90°；AC=8cm；AB=12cm；点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动；同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动；速度均为1cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD；连接DQ；交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤6）．解答下列问题：（1）当t为何值时；▱AQPD为矩形．（2）当t为何值时；▱AQPD为菱形．（3）是否存在某一时刻t；使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积；若存在；请求出t值；若不存在；请说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC；利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；（2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答；（3）过点P 作PM ⊥AC 于M ．先表示出△APQ 的面积和S 四边形PQCB =S △ABC ﹣S △APQ ；进而建立方程即可得出结论．【解答】解：（1）如图2；当▱AQPD 是矩形时；PQ ⊥AC ； ∴PQ ∥BC ；∴△APQ ∽△ABC ∴=；由运动知；QA=t ；BP=t ；∴AP=AB ﹣BP=12﹣t ； 即；解之 t=； ∴当t=时；▱AQPD 是矩形；（2）当▱AQPD 是菱形时；DQ ⊥AP ；AE=AP则 cos ∠BAC==；由运动知；QA=t ；BP=t ；∴AP=AB ﹣BP=12﹣t ；AE=6﹣t ； ∴解之 t=； 所以当t=时；□AQPD 是菱形；（3）存在时间t ；使四边形AQPD 的面积等于四边形PQCB 的面积． 在Rt △ABC 中；根据勾股定理得；BC=4；如图3；过点P 作PM ⊥AC 于M ． 则=；即； 故PM=（12﹣t ）．∴S △APQ =AQ ×PM=×t ×（12﹣t ）；∴S 四边形PQCB =S △ABC ﹣S △APQ =×4×8﹣×t ×（12﹣t ）； ∵四边形AQPD 的面积等于四边形PQCB 的面积； ∴2××t ×（12﹣t ）=×4×8﹣×t ×（12﹣t ）；∴t=（舍）或t=。
青岛市李沧区九年级上期末数学试卷含答案解析
2022-2023山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分）1．如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是三角形的是（）A．B． C． D．2．方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=x2=0 B．x1=x2=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣23．下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．125．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y36．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米7．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°②△DEF ≌△ABG③S △ABG =32S △FGH④AG +DF=FG其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（共6小题，满分18分）9．某同学的身高为1.4m ，某一时刻他在阳光下的影长为1.2m ．此时，与他相邻的一棵小树的影长为3.6m ，这棵树的高度为 m ．10．反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k= ．11．已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP＞PB，AB=4厘米，则线段AP=厘米．12．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长xm，则可列方程．13．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．14．在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n C n C n﹣1，使得点A1、A2、A3…在直线l上，点C1、C2、C3…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是．三．作图题（共1小题，满分4分）15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．四．解答题（共10小题，满分0分）16．计算：2cos230°﹣2sin60°×cos45°．17．若规定两数a，b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48．求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值．18．在体质监测时，初三某男生推铅球，铅球行进高度ym与水平距离xm之间的关系是y=﹣x2+x+2（1）铅球行进的最大高度是多少？（2）该男生把铅球推出的水平距离是多少？（精确到0.01米，≈3.873）19．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．20．如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）21．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆贷车能否安全通过？22．如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O的直线EF，交BC于点F，交BC于点F，交AD于点E，连接AF，CE．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若EF⊥AC，试判断四边形AFCE是什么特殊四边形？请证明你的结论．23．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？24．（1）问题如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=12cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DE、DF，当t为何值时，四边形AEDF为菱形？（2）连接PE、PF，在整个运动过程中，△PEF的面积是否存在最大值？若存在，试求当△PEF的面积最大时，线段BP的长．（3）是否存在某一时刻t，使点F在线段EP的中垂线上？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．2022-2023山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分）1．如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是三角形的是（）A．B． C． D．【考点】由三视图判断几何体．【分析】直接利用主视图以及俯视图的观察角度不同分别得出几何体的视图进而得出答案．【解答】解：A、三棱锥的主视图是三角形，俯视图也是三角形，故此选项错误；B、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；C、圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，故此选项错误；D、三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项正确；故选：D．2．方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=x2=0 B．x1=x2=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．【解答】解：x2﹣2x=0x（x﹣2）=0，解得：x1=0，x2=2．故选：C．3．下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【考点】命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【分析】真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．故选A．4．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】利用频率估计概率．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得：，解得：x=8，故选C5．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=中k=3＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一三象限，并且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）三点都在反比例函数y=的图象上，∴A、B在第三象限，点C在第一象限，∴y2＜y1＜y3．故选D．6．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C．7．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a ＞0，b ＜0，c ＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．【解答】解：由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴一次函数y=ax +b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限，故选：B ．8．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°②△DEF ≌△ABG③S △ABG =32S △FGH④AG +DF=FG其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD﹣AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22=x2，解得x=，即ED=；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和≠，可判断△ABG与△DEF 不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，∴AF==8，∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得x=，∴ED=，∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，∴∠2+∠3=∠ABC=45°，所以①正确；HF=BF﹣BH=10﹣6=4，设AG=y ，则GH=y ，GF=8﹣y ，在Rt △HGF 中，∵GH 2+HF 2=GF 2，∴y 2+42=（8﹣y ）2，解得y=3，∴AG=GH=3，GF=5，∵∠A=∠D ，==， =， ∴≠， ∴△ABG 与△DEF 不相似，所以②错误；∵S △ABG =•6•3=9，S △FGH =•GH•HF=×3×4=6，∴S △ABG =S △FGH ，所以③错误；∵AG +DF=3+2=5，而GF=5，∴AG +DF=GF ，所以④正确．∴①④正确．故选B ．二．填空题（共6小题，满分18分）9．某同学的身高为1.4m ，某一时刻他在阳光下的影长为1.2m ．此时，与他相邻的一棵小树的影长为3.6m ，这棵树的高度为 4.2 m ．【考点】相似三角形的应用．【分析】设这棵树高度为h ，根据同一时刻物高与影长成正比列出关于h 的方程，求出h 的值即可．【解答】解：解：设这棵树高度为hm ，∵同一时刻物高与影长成正比，∴=，解得h=4.2．故答案为：4.2．10．反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k=7．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，3），∴k﹣1=2×3，解得：k=7．故答案为：7．11．已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP＞PB，AB=4厘米，则线段AP=（2﹣2）厘米．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB=4厘米的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=4×=2﹣2（厘米）．故答案为：（2﹣2）．12．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长xm，则可列方程（x﹣1）（x﹣2）=18．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）=18，故答案为：（x﹣1）（x﹣2）=18．13．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是2．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF 中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2．故答案为：2．14．在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n C n C n﹣1，使得点A1、A2、A3…在直线l上，点C1、C2、C3…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点B n是线段C n A n+1的中点，由此即可得出点B n的坐标．【解答】解：观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），…，∴A n（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n为正整数）．观察图形可知：点B n是线段C n A n+1的中点，∴点B n的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．故答案为：（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）．三．作图题（共1小题，满分4分）15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是（4，2）或（﹣4，﹣2）．【考点】作图-位似变换．【分析】把A、B、C的横纵坐标分别乘以2或﹣2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可．【解答】解：如图，如图△A1B1C1使或△A′1B′1C′1为所，点B的对应点B1的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．故答案为（4，2）或（﹣4，﹣2）．四．解答题（共10小题，满分0分）16．计算：2cos230°﹣2sin60°×cos45°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的函数值，直接计算即可．【解答】解：原式=2×（）2﹣2××=2×﹣=．17．若规定两数a，b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48．求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值．【考点】有理数的混合运算．【分析】根据※的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出算式x※x+2※x ﹣2※4=0中x的值是多少即可．【解答】解：∵x※x+2※x﹣2※4=0，∴4x（x+2）※x﹣2※4=0，∴16x（x+2）（x﹣2）※4=0，∴256x（x+2）（x﹣2）=0，∴x=0，x+2=0或x﹣2=0，解得x=0，x=﹣2或x=2．18．在体质监测时，初三某男生推铅球，铅球行进高度ym与水平距离xm之间的关系是y=﹣x2+x+2（1）铅球行进的最大高度是多少？（2）该男生把铅球推出的水平距离是多少？（精确到0.01米，≈3.873）【考点】二次函数的应用．【分析】（1）配方得出顶点式即可得；（2）求出y=0时x的值即可得．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣6）2+5，∴当x=6时，y最大=5，答：铅球行进的最大高度是5米；（2）当y=0时，﹣x2+x+2=0，解得：x=6±2，∴铅球推出的水平距离是6+2≈13.75米．19．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为：；（2）不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：．∵＞，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．20．如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可．【解答】解：由题意得，AH=10米，BC=10米，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，∴AB=BC=10，在Rt△DBC中，∠CDB=30°，∴DB==10，∴DH=AH﹣AD=AH﹣（DB﹣AB）=10﹣10+10=20﹣10≈2.7（米），∵2.7米＜3米，∴该建筑物需要拆除．21．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆贷车能否安全通过？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y=ax2+6，再有条件求出a的值即可；（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．【解答】解：（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），设抛物线的解析式为y=ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入64a+8=6解得：a=﹣．抛物线的解析式为y=﹣x2+8．（2）根据题意，把x=±4代入解析式，得y=7.5m．∵7.5m＞7m，∴货运卡车能通过．22．如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O的直线EF，交BC于点F，交BC于点F，交AD于点E，连接AF，CE．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若EF⊥AC，试判断四边形AFCE是什么特殊四边形？请证明你的结论．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根据平行线得出∠EAO=∠FCO，根据ASA推出两三角形全等即可；（2）根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∵O是AC的中点，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：四边形AFCE是菱形；理由如下：理由是：由（1）△AOE≌△COF得：OE=OF又∵OA=OC，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵EF⊥AC∴平行四边形AFCE是菱形．23．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70∵投入成本最低．∴x2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w=（﹣0.5x+80）（80+x）=﹣0.5 x2+40 x+6400=﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x=40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．24．（1）问题如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b（用含a，b的式子表示）（2）应用点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，∵AN=AP=2，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=，∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣=2﹣，∴P（2﹣，）．25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=12cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DE、DF，当t为何值时，四边形AEDF为菱形？（2）连接PE、PF，在整个运动过程中，△PEF的面积是否存在最大值？若存在，试求当△PEF的面积最大时，线段BP的长．（3）是否存在某一时刻t，使点F在线段EP的中垂线上？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题；解一元二次方程-因式分解法；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据四边形AEDF为菱形，则EF垂直平分AD，此时，DH=AD=4cm，再根据直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，即可求得t==2（s）；（2）先根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，进而得出=，据此求得EF=12﹣3t，再根据S△PEF=EF•DH=（12﹣3t）•2t=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12（0＜t≤4），求得当t=2秒时，S存在最大值，最大值为12cm2，最后计算线段BP的长；△PEF（3）若点F在线段EP的中垂线上，则FE=FP，过点F作FG⊥BC于G，则FG=HD=2t，FG∥AD，根据△FCG∽△ACD，得到=，进而得到CG=t，PG=12﹣3t﹣t，最后在Rt△PFG中，根据勾股定理列出方程（12﹣3t﹣t）2+（2t）2=（12﹣3t）2，即可求得t的值．【解答】解：（1）如图1，若四边形AEDF为菱形，则EF垂直平分AD，此时，DH=AD=4cm，又∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，∴t==2（s），此时，EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形，故当t=2s时，四边形AEDF为菱形；（2）如图2，∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，AD=8cm，∴DH=2t，AH=8﹣2t，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=，即=．解得EF=12﹣3t，=EF•DH=（12﹣3t）•2t=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12（0＜t≤4），∴S△PEF存在最大值，最大值为12cm2，∴当t=2秒时，S△PEF此时BP=3t=6cm；（3）存在某一时刻t，使点F在线段EP的中垂线上．∵AB=AC，AD⊥BC，BC=12cm，AD=8cm，∴AB=AC=10cm，若点F在线段EP的中垂线上，则FE=FP，由（2）可得，EF=12﹣3t=PF，如图3，过点F作FG⊥BC于G，则FG=HD=2t，FG∥AD，∴△FCG∽△ACD，∴=，即=，∴CG=t，又∵BP=3t，BC=12cm，∴PG=12﹣3t﹣t，∴Rt△PFG中，（12﹣3t﹣t）2+（2t）2=（12﹣3t）2，解得t1=或t2=0（舍去），∴当t=时，点F在线段EP的中垂线上．2月7日。
2021-2022学年山东省青岛市李沧区、黄岛区九年级(上)期末数学试卷(附详解)
2021-2022学年山东省青岛市李沧区、黄岛区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图是由四个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是()A.B.C.D.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为5m.则扶梯的长度为()A. 5mB. 5√3mC. 10mD. 15m3.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=3的图象上．若x1<0<x2，则y1与y2x的大小关系为()A. y1<0<y2B. y2<0<y1C. y1<y2<0D. y2<y1<04.“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为()A. 400(1+2x)=484B. 400(1+x)2=484C. 400(1+x)=484D. 400(1+x2)=4845.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，连接AC，BD，若BD=8，则AC的长为()A. 4√3B. 8C. 8√3D. 166.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是()A. ①和④B. ②和③C. ①和②D. ②和④7.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN=30°，连接BM，则∠AMB的度数为()A. 60°B. 75°C. 80°D. 85°8.已知反比例函数y=b的图象如图所示，则一次函数y=cx+xa和二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：cos230°+sin230°−2tan45°=______．10.在x2+()+16=0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是______．11.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连结DE交对角线AC于点F.若AB=8，AD=6，则CF的长为______．12.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2)，F(−1,−1).以原点O为位似中心，把△EFO放大，使得放大前后对应线段的比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为______．13.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+5)(x−3)的图象向右平移2个单位长度，得到的抛物线的关系式为______．14.如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1(x1,y1)，C2(x2,y2)，(x>0)的图象上，则y1+y2+⋯+y100的值为C3(x3,y3)，…均在反比例函数y=4x______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.已知：线段a，AE⊥AF，垂足为点A．求作：四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AE，AF上，且AB=BC=a，∠ABC= 60°，CD//AB．16.(1)解方程：x2−3x=4；(2)二次函数y=−x2+bx+2(b为常数)的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？17.小明做探究物体投影的实验，并提出了一些数学问题：(1)如图1，白天在阳光下，小明将木杆AB水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段A′B′.若木杆AB的长为1m，则其影子A′B′的长为______m；(2)如图2，夜晚在路灯的正下方，小明将木杆EF水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段E′F′．①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P；②若木杆EF的长为1m，经测量木杆EF距离地面1m，其影子E′F′的长为1.5m，则路灯P距离地面的高度为多少？18.为庆祝中国共产党成立100周年，弘扬伟大建党精神，小明参加了学校组织的知识竞答节目，最后一关，答对两道单选题就顺利通关．已知第一道单选题有三个选项，第二道单选题有四个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有使用(使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或表格来分析小明顺利通关的概率．(2)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？(直接写出答案即可)19.《九章算术》是中国古代的数学专著，它以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，奠定了中国古代数学的基本框架．书中记载了这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙CD长9里，南边城墙BC长7里，东门点E，南门点M分别位于CD，BC的中点，EF⊥CD，MH⊥BC，EF=15里，HF经过C点，则MH的长为多少？20.如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，经测量，BC=8cm，AB=16cm.当AB，BC转动到∠BAE=60°，∠ABC=50°时，求点C到AE的距离．(结果保留小数点后一位)参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，√3≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．21.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AF，CE的中点．(1)求证：AF=CE；(2)当矩形ABCD满足什么条件时，四边形EMFN为正方形？请说明理由．22.如图，某公司用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户的框架ABCD，并且恰好用完整条铝合金型材．设AB的长为x m，矩形ABCD的面积为ym2．(1)写出y与x的关系式，并指出x的取值范围；(2)公司决定将该窗户安装中空玻璃(铝合金型材的宽度忽略不计)，已知铝合金型材的价格为80元/m，中空玻璃的价格为110元/m2，当AB为多少米时，窗户的造价最大？最大造价是多少？23.某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．【探究发现】6+6=2√6×6=12；15+15=2√15×15=25；0.3+0.3=2√0.3×0.3=0.6；13+3>2√13×3=2；0.2+3.2>2√0.2×3.2=1.6；13+127>2√13×127=29．【猜想结论】如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)．【证明结论】∵(√a−√b)2≥0∴①当且仅当√a−√b=0，即a=b时，a−2√ab+b=0，∴a+b=2√ab；②当√a−√b≠0，即a≠b时，a−2√ab+b>0，∴a+b>2√ab．综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2√ab成立(当且仅当a=b时，等号成立)．【应用结论】(1)对于函数y=x+1x(x>0)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？(2)对于函数y=1x−5+x(x>5)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？【拓展应用】疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限)，计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积为6m2.问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.动点P从点A出发，沿AC方向运动，同时动点Q从点C出发，沿CB方向运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．连接PQ，过点P作PN⊥AB于点N，以PN，PQ为邻边作平行四边形PQMN.当点M落在线段AB上时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒(t>0)，请解答下列问题：(1)用含t的代数式表示PN；(2)当P，Q两点同时停止运动时，求t的值；(3)设平行四边形PQMN面积为S，求S与t之间的关系式；(4)是否存在某一时刻t，使点P在线段MC的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．故选：D．利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．2.【答案】C【解析】解：∵自动扶梯的倾斜角为30°，高为5m，∴扶梯的长度是2×5=10(m)，故选：C．根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵k=3>0，∴双曲线在第一，三象限，∵x1<0<x2，∴A在第三象限，B在第一象限，∴y1<0<y2；故选：A．由k>0，双曲线在第一，三象限，根据x1<0<x2即可判断A在第三象限，B在第一象限，从而判定y1<0<y2．图象和性质是解题的关本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数y=kx键，即当k>0时图象在第一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时图象在第二四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增大．4.【答案】B【解析】解：第一年的产量为400(1+x)，第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为400(1+x)(1+x)，则列出的方程是400(1+x)2=484．故选：B．可先用x的代数式表示出第一年的产量，那么第二年的产量×(1+增长率)=484，把相应数值代入即可求解．考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握等量关系：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b是解决问题的关键．5.【答案】C【解析】解：如图，设AC，BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，BD=4，∠DAO=∴AC⊥BD，AC=2AO，OD=121∠DAB=30°，2∴AD=2OD=8，∴AO=√AD2−OD2=√82−42=4√3，∴AC=2AO=8√3，故选：C．BD=4，如图，设AC，BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC=2AO，OD=12∠DAO=1∠DAB=30°，求得AD=2OD=8，根据勾股定理即可得到结论．2此题考查了菱形的性质，掌握菱形的四边相等，对角线互相垂直且平分是解题的关键，6.【答案】B【解析】解：解：①和④、①和②、②和④，两个图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，都是位似图形；②和③，对应边不平行，不是位似图形，故选：B．根据位似图形的概念判断即可．本题考查的是位似变换的概念，位似图形必须满足：两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行．7.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，∵矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，∴∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，∵∠DMN=30°，∴∠AME=180°−∠NME−∠DMN=60°，∴∠AEM=90°−∠AME=30°，∴∠EMB+∠EBM=30°，∵ME=BE，∴∠EMB=∠EBM=15°，∴∠AMB=∠AME+∠EMB=75°，故选：B．由四边形ABCD是矩形，得∠A=∠ABC=90°，根据矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，得∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，而∠DMN=30°，即知∠AME=60°，∠AEM=30°，即∠EMB+∠EBM=30°，可得∠EMB=∠EBM=15°，故∠AMB=∠AME+∠EMB=75°．本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后能够重合的线段相等、能够重合的角相等．8.【答案】D【解析】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴b<0，A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a>0，b<0，c<0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a<0，b>0，∴与b<0矛盾，B错误；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a<0，b>0，∴与b<0矛盾，C错误；D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a>0，b<0，c<0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．故选：D．根据反比例函数的图象得出b<0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．9.【答案】−1【解析】解：cos230°+sin230°−2tan45°==1−2×1=1−2=−1，故答案为：−1．根据sin2α+cos2α=1进行计算即可．本题考查了特殊角的三角函数值，同角三角函数的关系，熟练掌握sin2α+cos2α=1是解题的关键．10.【答案】8x或−8x【解析】解：在x2+()+16=0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是8x或−8x．故答案为：8x或−8x．根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，填写一次项使根的判别式等于0即可．此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．11.【答案】203【解析】解：在Rt△ABC中，AB=8，BC=AD=6，∠B=90°，∴AC=√AB2+BC2=10．∵AB//CD，∴∠DCF=∠EAF，∠CDF=∠AEF，∴△AEF∽△CDF，∴CFAF =CDAE．又∵E是边AB的中点，∴CD=AB=2AE，∴CFAF=2，∴CF=2AF．∵AC=AF+CD=10，∴CF=23AC=203．故答案为：203．在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，由AB//CD可得出∠DCF=∠EAF，∠CDF=∠AEF，进而可得出△AEF∽△CDF，利用相似三角形的性质结合CD=AB=2AE，即可得出CF=2AF，再结合AC=AF+CF=10，即可得出CF=23AC=203，此题得解．本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及矩形的性质，利用相似三角形的性AC是解题的关键．质结合AC=AF+CF，找出CF=2312.【答案】(−8,4)或(8,−4)【解析】解：∵以原点O为位似中心，把△EFO放大，使得放大前后对应线段的比为1：2，E(−4,2)，∴点E的对应点E′的坐标为(−4×2,2×2)或(−4×(−2),2×(−2))，即(−8,4)或(8,−4)，故答案为：(−8,4)或(8,−4)．根据位似变换的性质解答即可．本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．13.【答案】y=(x−5)(x+3)【解析】解：将二次函数y=(x+5)(x−3)的图象向右平移2个单位长度，得到的抛物线的关系式为是：y=(x+5−2)(x−3−2)，即y=(x+3)(x−5)，故答案为：y=(x−5)(x+3)．根据左移加，右移减，即可得出结论．此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14.【答案】20【解析】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…则∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°，∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，∴∠A1OB1=45°，∴∠OC1D1=45°，∴OD1=C1D1，其斜边的中点C1在反比例函数y=4，x∴C(2,2)，即y1=2，∴OD1=D1A1=2，∴OA1=2OD1=4，得：a(4+a)=4，设A1D2=a，则C2D2=a此时C2(4+a,a)，代入y=4x解得：a=2√2−2，即：y2=2√2−2，同理：y3=2√3−2√2，y4=2√4−2√3，……y100=2√100−2√99∴y1+y2+⋯+y100=2+2√2−2+2√3−2√2……2√100−2√99=20，故答案为20．根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．15.【答案】解：如图，四边形ABCD即为所求．【解析】以A为圆心，a为半径作弧交AE于点B，分别以A，B为圆心，a为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，作CD⊥AF于D，四边形ABCD即为所求．本题考查作图−复杂作图，平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16.【答案】解：(1)∵x2−3x=4，∴x2−3x−4=0，∴(x−4)(x+1)=0，∴x−4=0或x+1=0，解得x1=4，x2=−1；(2)∵二次函数y=−x2+bx+2，∴b2−4×(−1)×2=b2+8>0，∴二次函数y=−x2+bx+2(b为常数)的图象与x轴相交，有两个交点．【解析】(1)先移项，然后分解因式，即可求得该方程的解；(2)先计算b2−4ac的正负情况，即可得到该抛物线与x轴是否相交，并写出交点的个数．本题考查抛物线与x轴的交点个数、解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法，利用b2−4ac的正负情况，判断二次函数与x轴的交点个数．17.【答案】1【解析】解：(1)∵AB//A′B′，AA′//BB′，∴四边形ABB′A′是平行四边形，∴A′B′=AB=1(m)，故答案为：1．(2)①如图2中，点P即为所求；②过点P作PH⊥E′F′于点H，交EF于点T．∵EF//E′F′，∴△PEF∽△PE′F′，∴PTPH =EFE′F′，∴PTPT+1=11.5，∴PT=2，∴PH=PT+TH=2+1=3(m)，(1)利用平行四边形的判定和性质解决问题即可；(2)①根据中心投影的性质画出图形即可；②过点P作PH⊥E′F′于点H，交EF于点T.利用相似三角形的性质解决问题即可本题考查作图−应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】解：(1)分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，∴小明顺利通关的概率为：19；(2)建议小明在第一题使用“求助”，理由如下：如果在第一题使用“求助”，画树状图为：共有8种等可能的结果，小明顺利通关的结果有1种，∴小明顺利通关的概率为18；由(1)得：如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为19；∵18>19∴建议小明在第一题使用“求助”．【解析】(1)画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案；(2)根据概率公式分别求出第一题和第二题使用求助的概率，然后进行比较，即可得出答案．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，EF⊥CD，MH⊥BC，∴∠HMC=∠DAB=∠AEG=90°，∴MC//EF．∴∠HCM=∠F．∴△HMC∽△CEF，∴MHEC =CMFE，即MH4.5=3.515，解得MH=1.05．答：MH等于1.05里．【解析】通过证明△HMC∽△CEF，然后利用相似比求出MH即可．本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求线段的长度．20.【答案】解：过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CD⊥BM，垂足为D，∴四边形CDMN是矩形，∴CN=DM，在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=16cm，∴BD=ABsin60°=16×√32=8√3(cm)，∠ABM=90°−∠B=30°，∵∠ABC=50°，∴∠CBD=∠ABC−∠ABM=20°，∵∠BDC=90°，∴∠BCD=90°−∠CBD=70°，在Rt△BDC中，BC=8cm，∠BCD=70°，∴BD=BCsin70°≈8×0.94=7.52(cm)，∴DM=BM−BD=8√3−7.52≈6.3(cm)，∴DM=CN=6.3cm，答：点C到AE的距离为6.3cm．【解析】要求点C到AE的距离，所以想到过点C作CN⊥AE，垂足为N，再把60°的角放在直角三角形中，所以过点B作BM⊥AE，垂足为M，可得BM的长，∠ABM=30°，从而求出∠CBD=20°，再把20°的角放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥BM，垂足为D，可得∠BCD=70°，然后利用70°的正弦值求出BD的长即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∵点F是BC中点，∴BF=FC，且∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD，∴△ABF≌△DCF(SAS)，∴AF=CE；(2)解：当BC=2AB时，四边形EMFN为正方形．理由：由(1)知AE//CF，AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形，∵M，N分别是AF，CE的中点，∴MF=EN，∴四边形MFNE为平行四边形，∵BC=2AB，F为BC的中点，E为AD的中点，∴AB=BF，ED=CD，又∵∠B=∠DCF=∠D=90°，∴∠AFB=∠DCE=45°，∴∠NFC=∠NCF=45°，∴△FCN为等腰直角三角形，∴FN=CN=EN，∠ENF=90°，∴四边形EMFN为正方形．【解析】(1)由“SAS”可证△ABF≌△DCF，由全等三角形的性质可得出结论；(2)先证明四边形MFNE为平行四边形，得出△FCN为等腰直角三角形，得出FN=CN= EN，∠ENF=90°，则可证出结论．本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．22.【答案】解：(1)根据题意得：AD=6−3x2，∴y=AB⋅AD=x⋅6−3x2=−32x2+3x，∵6−3x2>0，∴x<2，∴x的取值范围是0<x<2；(2)设窗户的造价为W元，根据题意得：W=6×80+110×(−32x2+3x)=−165x2+330x+480=−165(x−1)2+645，∵−165<0，∴x=1时，W最大为645，∴AB为1m时，窗户的最大造价是645元．【解析】(1)求出AD=6−3x2，即得y=AB⋅AD=−32x2+3x，由6−3x2>0，可得x的取值范围是0<x<2；(2)设窗户的造价为W元，即得W=−165(x−1)2+645，由二次函数性质可得答案．本题考查二次函数的综合应用，解题得关键是读懂题意，列出函数关系式．23.【答案】解：【应用结论】(1)∵x>0，∴x+1x ≥2√x⋅1x，∴y≥2，∴当x=1x时，y min=2，此时x2=1，只取x=1，即当x=1时，函数y的最小值为2．(2)∵x>5，∴x−5>0，∴y=1x−5+x−5+5=2√1x−5⋅(x−5)+5≥7，∴当1x−5=x−5时，y min=7，此时(x−5)2=1，∴x1=6，x2=−4(舍去)，即当x=6时，函数y的最小值为7；【拓展应用】：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为6x米，所用钢丝网长度为y米，由题意得：y=6x+9×6x =54x+9x，即：y=36x+9x，∴y=36x +9x≥2√36x×9x=2×18=36，∴当x=2时，即每间隔离房的长、宽各为3米和2米时，所用钢丝网长度最短，最短长度是36米．【解析】【应用结论】(1)将x和1x分别看成猜想发现中的a和b，即可求出答案；(2)将函数y=1x−5+x变形为：y=1x−5+x−5+5，然后结合猜想运用的结论解题；拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为6x米，所用钢丝网长度为y米，结合周长公式列出一个方程，于是得到结论．本题考查了反比例函数的综合题，考查学生对数字的分析和计算能力，同时第(2)问中还考查了学生的整体思想的运用．在解题的过程中，要注意抓住“当且仅当a=b时等号成立”这一条件，得出取得最大值和最小值时候的条件．24.【答案】解(1)∵PN⊥AB，∴∠ANP=90°，∵∠C=90°，AC=8，CB=6，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∵sinA=PNPA =BCAB，∴PNt =610，∴PN=35t；(2)∵四边形PQMN是平行四边形，∴QM=PN=35t，当点M落在AB上时，sinB=QMQB=ACAB，∴35t6−t=810，∴t=247；(3)如图，设直线QM交AB于点T．由题意AN=AP⋅cosA=45t，BT=BQ⋅cosB=(6−t)35，∴NT=AB−AN−BT=10−45t−(6−t)×35=325−15t，∴S=PN⋅NT=35t×(325−15t)=−325t2+9625t(0<t≤247)；(4)如图，过点P作PJ⊥QT于点J，连接PM．∵∠PNT=∠JTN=∠PJT=90°，∴四边形PNTJ是矩形，∴PJ=NT=325−75t，PN=JT=35t，∵点P在CM的垂直平分线上，∴PC=PM，∴PC2=PM2=PJ2+MJ2，∴(8−t)2=(325−15t)2+[45(6−t)−2×35t]2，解得，t=3619或0(舍去)，∴当t=3619时，点P在线段MC的垂直平分线上．【解析】(1)利用勾股定理求出AB，再根据sinA=PNPA =BCAB，求解即可；(2)当点M落在AB上时，根据sinB=QMQB =ACAB，求解即可；(3)如图，设直线QM交AB于点T.求出NT，可得结论；(4)根据PC=PM，利用勾股定理构建方程求解即可．本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
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山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出
标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1．（3分）已知2x=3y，则下列比例式成立的是（）
A．=B．=C．=D．=
2．（3分）用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
3．（3分）一个袋中有黑球12个，白球若干，小明从袋中随机一次摸出10个球，记下其黑球的数目，再把它们放回，搅匀后重复上述过程20次，发现共有黑球48个，由此估计袋中的白球数是（）个．
A．28个B．38个C．48个D．50个
4．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0 5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）
A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．
6．（3分）随着私家车的增加，城市的交通也越老越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥10时，y与x成反比例函数关系，当车行驶速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（）
A．x≤40B．x≥40C．x＞40D．x＜40
7．（3分）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（）
A．5米B．3米C．2米D．2米或5米8．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=（k≠0）的图象大致是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算cos60°+sin30°=．
10．（3分）已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是．
11．（3分）平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x+（单位：m），绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为m．
12．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE 沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为．
13．（3分）如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
14．（3分）如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第（6）个图形的表面积个平方单位．
三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕
迹．）
15．（4分）如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮加工一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）用配方法解方程：x2﹣2x﹣3=0
（2）求二次函数y=﹣3x2+6x+2的图象与x轴的交点坐标．
17．（6分）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度．
18．（6分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．
（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是；
（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图
或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．
19．（6分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．
20．（8分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
图所示，回答下列问题：
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．
21．（8分）在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AC，BD相
交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA 的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）证明：△ABD≌△BAC．
（2）四边形AHBG是什么样的四边形，请猜想并证明．
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC添加一个什么条件？请添加条件并证明．
22．（10分）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．
根据以上信息，解答下列问题；
（1）求二次函数的表达式；
（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
23．（10分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图5，四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，
小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC，BD的长度分别为20cm，30cm及夹角∠AOB为60°，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗？
问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积，再相加就可以了．
建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：
如图1，△ABC中，O为BC上任意一点（不与B，C两点重合），连接OA，OA=a，BC=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），试用a，b，α表示△ABC的面积．
解：如图2，作AM⊥BC于点M，
∴△AOM为直角三角形．
又∵∠AOB=α，∴sinα=即AM=OA•sinα
∴△ABC的面积=•BC•AM=•BC•OA•sinα=absinα．
问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题．
如图3，四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=20m，BD=30m，∠AOB=60°，求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程）新建模型：若四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=a，BD=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积=．
模型应用：如图4，四边形ABCD中，AB+CD=BC，∠ABC=∠BCD=60°，已知AC=a，则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）
24．（12分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=12cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为1cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤6）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，▱AQPD为矩形．
（2）当t为何值时，▱AQPD为菱形．
（3）是否存在某一时刻t，使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
山东省青岛市李沧区九年级（上）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出
标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1．C；2．C；3．B；4．B；5．D；6．A；7．C；8．A；
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．1；10．96cm2；11．1.5；12．；13．14.1；14．126；
三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕
迹．）
15．；
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；
23．absinα；24．；。