2020版金融计量学：时间序列分析视角(第三版)教学课件第12章第2节

其中：A指的是在协整关系之外的确 定性趋势项， 0表示系数矩阵。
第四种情况，假设 Yt和协整关系 式中都含有线性趋势项，即：
Yt A(BYt1 c0 c1t) A 0 t (12.60)
第五种情况，假设 Yt含有二次型 趋势项，协整关系等式含有线性趋势 项，即：
Yt A(BYt1 c0 c1t) A( 0 1t) t (12.61)
从理论上说，矩阵B的估计涉及到超 级一致性问题，因为它是在估计一个 由非平稳序列组成的平稳序列。
12.8 Johansen协整分析方法的应用
表12-10 Johansen 协整检验结果
图12-7 EViews中 VECM假设检验对话窗口
从最简单的协整情况开始，如果在 这三个变量存在一个协整关系，即
r rank() 1，那么平稳的线性组合可
以写成：
y1t
Zt Byt 1
b2
b3
y2t
y1t
b2
y2t
b3
y3t
y3t
（12.51）
根据定义，Z t 就是一个一维的随机
变量，协整向量 B 1 b2 b3(标准化了
H0,k : r k H A,n1 : r k 1
矩阵 的特征根是i (i 1, 2, , n) ， Johansen提出以下两个统计量，都可 以用来检验向量协整关系的个数，这 两个统计量分别定义为：
Trace 统计量： k trace T ln(1 ˆi ), r 0,1, , n 1 (12.63)
1）两个变量的VAR（1）模型的VECM
y1t y2t
0.4 0.2
1.5 1.5
y1,t 1 y2,t 1
1t 2t
在这个例子中，
0.6 1.5 0.2 0.5 使y1t的系数为1。这样，就可以定义 Zt y1t 2.5 y2t 为平稳的协整变量。
因此，AZt1 ABYt1促使Yt 增加或者减 少，从而使得BYt 朝着它的长期均值移动 (长期均值为0，为什么?)。这种增加或者
从长期来看，即所谓的均衡状态或 者静止状态，这样的关系精确地存在， 所以在长期，我们有：
Zt BYt 0
然而，从短期来看，例如对于每个 确定的时刻t，都存在偏离协整关系 BYt 的成分。这种偏离代表了这些长期关系 在短期内的一定程度的非均衡状态，所 以偏离成分一般被称为误差。
因此，AZt1 ABYt1 促使Yt 增加或者 减少，从而使得 BYt朝着它的长期均值 移动(长期均值为0，为什么?)。这种
12.4 向量误差修正模型（VECM）
12.4.1 VECM的表达形式
对于含有n个变量的VAR模型，当对 应的矩阵 的秩介于0和n之间的时候，
即0 r n ，这n个变量之间存在 r 个协整
关系。让我们定义一个 r 维的矩阵B，
其中B的列含有 (nr) 个不同的线性独立 协整向量，所以 rank(B) r 。
y2t 0.2( y1,t1 2.5y2,t1) 2t
2） 3个变量的VAR（1）模型与VECM
VAR模型的ADF形式，即：
Yt Yt1 t
或者写成：
y1t 11 12 13 y1,t1 1t
y2t
21
22
23
y2,t
1
2t
y3t 31 32 33 y3,t1 3t （12.50）
Johansen的方法，实际上是一个 循环过程，从检验第一个总体假设 r rank() 0开始，再检验 r rank() 1 的情形，一直到一个平稳的系统对应 的r rank() n 。
这个循环可以使用下列假设来描述：
H00 : r 0 H A0 : r 0 H01 : r 1 H A1 : r 1
减小的变化，实际上是一种调整，所以称
为误差修正。
12.4.2 VECM模型的演示
1）两个变量的VAR（1）模型的VECM
y1t y2t
0.4
0.2
1.5 1.5
y1,t 1 y2,t 1
1t 2t
在这个例子中，
0.6 0.2
1.5 0.5
使y1t的系数为1。这样，就可以定义
第一种情况，是最简单的情形， 即假设Yt的组成变量都不含有确定性 趋势，协整向量中也不含有确定性趋 势变量（即常数项），即：
Yt Yt1 t ABYt1 t (12.56)
其中，, A和B与前面的定义相同。
第二种情况，假设Yt的组成变量都 不含有确定性趋势，而协整向量中含有
确定性趋势，即：
的形式)。
调整系数矩阵A就是一个 31的向 量，从而对应的VECM形式可以写成：
y1t a1
1t
y2t
a2
Zt
1
2t
y3t a3
3t
(12.52)
a1
y1,t1 1t
a2
1
b1
b2
y2,t
1
2t
a3
y3,t1 3t
12.5 确定性趋势与协整分析
在VAR模型中是否包含常数项，可 以影响到协整检验的分析。所以，在大 部分情况下，我们需要明确选择是否在 VECM模型中加入常数项。为了将核心的 问题讲清楚，我们使用VAR(1)模型来讨 论向量协整分析中的确定性趋势设立问 题。
其中：因为 A 为时间趋势项，所以 A ( 0 1t) 就表示二次型趋势项。
图12-8 EViews5.1中 VECM模型选项
12.6 Johansen协整分析方法
12.6.1 Johansen协整分析方法介绍
虽然Engle-Granger分析法简单易用， 但是这种方法只能识别出多个变量的一 种协整关系。而如果存在多于一个协整 关系的情形，Engle-Granger协整分析 方法就不再适用了。因此，在多个变量 的协整分析中，更常用的方法是 Johansen协整分析法。
增加或者减小的变化，实际上是一种
调整，所以称为误差修正。因为这里
我们研究的对象是VAR模型，所以VECM
的名字由此而来。
根据定义，矩阵A衡量了 Yt中每个 变量是如何调整，从而回复到长期的 均衡关系的水平上。所以Leabharlann Baidu矩阵A经常
被称为调整系数。另外，在实践中， 经常对协整向量B进行标准化。
12.4.2 VECM模型的演示
ZYtt
BYt c0
AZt1 t
或者写成：
(12.57)
Yt
A(BYt1
c0 )
t
Yt 1
Ac0
(12.58)
t
第三种情况，假设 Yt 的组成变量 含有线性趋势变量（线性趋势变量 就是指以时间t形式表现的），而协 整等式中含有截距项，即：
Yt A(BYt1 c0 ) A 0 t (12.59)
Johansen协整分析过程中，第一 步也是最重要的一步，就是检验协整 关系的个数。在检验协整关系个数的 同时，又会获得协整向量的估计结果 (矩阵B)。这样，就得到矩阵 Zt 的元 素，从而进一步得到VECM系统(12.43) 的估计结果。
12.6.2 协整向量个数的检验
Johansen方法在检验协整关系的个 数时，运用了一个重要的矩阵代数的 知识，即每一个 n 维的方阵都有 n n 个特征根。Johansen方法就是检验这 些特征根有多少个是大于0的正值。
Zt y1t 2.5 y2t
为平稳的协整变量。
这样，本例中的VAR模型对应的
VECM形式就可以写成：
y1t
y2t
0.6 0.2
1
2.5
y1,t 1 y2,t 1
1t 2t
0.6 0.2
y1,t
1
2.5
y2,t
1
12tt（ 12.48）
或者写成：
y1t 0.6( y1,t1 2.5y2,t1) 1t （12.49）
Maximal iEri1genvalue 统计量：
max T ln(1 ˆr1), r 0,1, , n 1（12.64)
表12-9 向量协整关系个 数的Johansen检验结果
12.7 VECM的估计与统计推断
在上面介绍的Johansen方法中，特 征根i 估计出之后，矩阵B的列就是对 应的特征根向量，这样，Zt BYt 对应的 r个元素就可以被估计出来了。