基本不等式、均值不等式

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基本不等式又叫均值不等式精品PPT课件

x
y
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
1 x 2 2 2 y 2 2
即此时
y 2x 而 2 x y 1
ymin 3 2 2
正解二： 2x y 1
A、40 B、10
Ｄ）
C、4 D、2
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正（２）和或积为定值（３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，以满足上述前提，即“一正二定三等” ２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能；创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
综上所述：当 x 0时，y min 2 当x 0时，y max 2
2 引例2：已知x 1, 求y x 的最小值 x 1 解法一： x 1 2 x x 1
2 y x 2 x 1
积不是定值
解法二：
x 1, x 1 0 2 当且仅当x 时，y有最小值 x 1 此时x 2 x 2 0, 解得x 2, x 1(舍去) 2 2 4 2 1
1 xy 即 2 2 xy 2 2 1
错因：
过程中两次运用了
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
1 1 即的最小值为 4 x y
均值不等式中取“=”
号过渡，而这两次取
2
“=”号的条件是不同的，
故结果错。
1 1 正解一： 2x y 2x y x y
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基本不等式(均值不等式)技巧

根本不等式习专题之根本不等式做题技巧之公保含烟创作【根本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅事先b a =取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,Rb a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅事先b a =取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅事先b a =取“=”）(4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当 a =b =c时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a =b = c时,“=”号成立.R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅事先b a =取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最年夜”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤222b a +. 【技巧解说】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（应用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于结构条件.通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式停止结构） 1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最年夜值. 2. 事先，求(82)y x x =-的最年夜值.3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最年夜值. 4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值.5 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最年夜值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最年夜值.7 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 . 技巧一谜底：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要停止拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故事先1x =，max 1y =.评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.2解析：由知，，应用根本不等式求最值，必需和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.当，即x ＝2时取等号当x ＝2时，(82)y x x =-的最年夜值为8.评注：本题无法直接运用根本不等式求解，但凑系数后可失掉和为定值，从而可应用根本不等式求最年夜值. 3、解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.4解析：3211131222(1)x x x --≥⋅⋅-312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52.评析：应用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于结构条件，使其积为常数.通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式停止结构. 5、剖析lg lg lg()x y xy +=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否认值，而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，行将xy 变形为326x y⋅，再用均值不等式.当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最年夜值是lg 6.6剖析：因条件和结论辨别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 22.同时还应化简1＋y2 中y2前面的系数为 12 ， x 1＋y2 ＝x2·1＋y 22＝ 2 x·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 辨别看成两个因式： x·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y2 ＝2 ·x12 ＋y 22 ≤3427剖析初看，这是一个三元式的最值问题，无法应用2a b ab +≥+b来解决.换个思路，可思索将2a b c ++重新组合，酿成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值423-，于是就可以应用均值不等式了. 技巧二：别离或裂项1. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2求函数1+=1+2x y x x （）（）的值域.1解析一：本题看似无法运用根本不等式，无妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其别离. 当,即时,421)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）.2、解：可将上式转化为所以值域为：11-][-,+)22-322+3∞⋃∞（，技巧三：换元1、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2、求函数225x y x +=+的最年夜值.3、、已知正数x 、y 满足811xy+=，求2x y +的最小值.4、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最年夜值. 参考谜底：1、解析：本题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在别离求最值. 当,即t=时,4259y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）.评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再应用不等式求最值.即化为2+1[1-1][1+2(x+1-1)]+11 ==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x =++（）（）（）（））1（）（）>-1+1>01+21+y +122-3<-1-+1>11+21+=-+2-1--,+1--122+3x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）22，此时（）当时，（）0（）（（））22此时（）（）()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用根本不等式来求最值.2剖析t =，停止换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.3、解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18.技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）1、已知正数x 、y满足811x y +=，求2x y +的最小值.2、已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.3、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz的最小值是.1解法：（消元法）由811x y+=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=.当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18.法一：a ＝30－2b b ＋1， ab ＝30－2b b ＋1·b ＝－2 b2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b+1，1＜t ＜16，ab ＝－2t2＋34t －31t＝－2（t＋16t ）＋34∵t＋16t ≥2t·16t＝8 ∴ab≤18 ∴y≥118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.32x z y +=，则可对2y xz停止消元，用,x z 暗示，即酿成二元式，然后可应用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为技巧五：整体代换(条件不等式) 1：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 2、已知正数x 、y 满足811xy+=，求2x y +的最小值.1错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += .错因：解法中两次连用根本不等式，在x y +≥件是x y =，在19xy+≥19xy=即9y x =,取等号的条件的纷歧致，发作毛病.因此，在应用根本不等式处置问题时，列出等号成立条件是解题的需要步伐，而且是检验转换是否有误的一种办法. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅事先9y x x y=，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .变式：（1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb xa ，求y x +的最小值2、解法：（应用均值不等式）2x y +8116()(2)10x yx y x y y x=++=++1018≥+,当且仅当81116x y x y yx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18.技巧六：转化为不等式1.已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.2、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围. 1解：由已知得：30－ab ＝a ＋2b∵a＋2b≥2 2 ab ∴ 30－ab≥2 2 ab 令u ＝ab 则u2＋22 u －30≤0，－52≤u≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab≤18，∴y≥118点评：①本题考察不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,动身求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 1解法：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-≥解得13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞.又23()2x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞技巧六：取平方1、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y的最值.2: 求函数15()22y x =<<的最年夜值.解法一：若应用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2≤a 2＋b 22，本题很复杂3x ＋2y ≤ 2（3x ）2＋（2y ）2 ＝23x ＋2y ＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢. W ＞0，W2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y)＝20∴W≤20 ＝2 5解析：注意到21x -与52x -的和为定值.又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号. 故max y =.评注：本题将解析式两边平方结构出“和为定值”，为应用根本不等式发明了条件.总之，我们应用根本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极发明条件应用根本不等式.注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性. 1：求函数2y =的值域.2、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值.1(2)t t =≥，则2y =1(2)t t t =+≥因10,1t t t>⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，思索单调性.因为1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 2解法一：（单调性法）由函数()(0)b f x ax a b x=+>、图象及性质知，事先(0,1]x ∈，函数4()f x x x=+是减函数.证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+- 211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数.故事先1x =，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法二：（配办法）因01x <≤，则有4()f x x x =+24=+，易知事先01x <≤，0μ且单调递加，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数，事先1x =，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x'=-，事先(0,1]x ∈，24()10f x x '=-<，则函数4()f x x x =+在(0,1]上是减函数.故事先1x =，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法四：（拆分法）4()f x x x =+)10(≤<x 13()x x x =++31≥5=，当且仅事先1x =“=”号成立，故此函数最小值是5.评析：求解此类问题，要注意灵敏选取办法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配办法及拆分法也是较为简洁实用得办法. 练习：2=+b a ，则b a 33+的最小值是.剖析：“和”到“积”是一个缩小的进程，而且b a 33⋅定值，因此思索应用均值定理求最小值，解：b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a事先ba33=等号成立，由2=+b a 及ba33=得1==b a 即事先1==b a ，b a 33+的最小值是6．3若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值求下列函数的最年夜值：①23(32)(0)2y x x x =-<<②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析： ①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅- 3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最年夜值是1.②0,sin 0,cos 02x x x π<<>>∴，则0y >，欲求y 的最年夜值，可先求y2的最年夜值.22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)2x π<<tan x ⇒=即x arc时，不等式中的“=”号成立，故此函数最年夜值4.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.5.若直角三角形周长为1，求它的面积最年夜值.。

均值不等式所有公式

均值不等式所有公式
均值不等式（平均值不等式）是数学中的一种基本不等式，它表示对于两个数 a 和 b，它们的平均值不小于它们的几何平均值。

一般来说，均值不等式的公式可以表示为：
(a + b) / 2 ≥√(ab)
当且仅当 a = b 时，等号成立。

这里列举一些常见的均值不等式：
1. 算术平均数（均值）不小于几何平均数：
(a + b) / 2 ≥√(ab)
2. 调和平均数不小于算术平均数：
(a + b) / (1/a + 1/b) ≥ 2√(ab)
3. 几何平均数不小于平方根平均数：
sqrt(ab) ≤ (a + b) / 2
4. 平方根平均数不小于算术平均数：
sqrt(a * b) ≤ (a + b) / 2
5. 三次方根平均数不小于算术平均数：
cube_root(a * b * c) ≤ (a + b + c) / 3
这些公式在不同情况下可以用来估计各种平均值之间的关系。

注意，这些不等式在 a 和 b 为正实数时成立。

对于负实数，需要对不等式进行适当调整。

基本不等式与利用均值不等式求最值

基本不等式一、知识回顾1.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 注意：○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ○2“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

0,2b a ab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+（当仅当a=b 时取等号）（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()()2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≥≤或则称f(x)为凸（或凹）函数.二、课前预习1、（05福建卷）下列结论正确的是______________.A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B．02x >≥当时 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是______________.A ．x x y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．x x e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=3、若,210<<a 则下列不等式中正确的是___________.A ．log (1)1a a ->B ．x x a)21(≤ C ．)1cos()1cos(a a -<+ D ．n n a a <-)1( 4、若实数a 、b 满足的最小值是则b a ba 22,2+=+_________. 5、函数11122+++=x x y 的值域为． 6、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是． 7、若正数,a b 满足3aba b =++，则ab 的取值范围是_____________________. 三、例题分析例1、(1)已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值．(2)x 、y 、a 、b ∈R +，a 、b 为常数，且1=+y b x a ，求x+y 的最小值.例2．(1)利用基本不等式求22+=x xy 的最值？当0<x<1时，如何求212++=x x y 的最大值.(2)已知0a>，求函数2y =的最小值。

基本不等式(均值不等式)技巧

基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。

（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。

（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。

1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。

解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。

基本不等式均值不等式技巧

基本不等式习专题之基本不等式做题技巧欧阳歌谷（2021.02.01）【基本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅那时b a =取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,Rb a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅那时b a =取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅那时b a =取“=”）(4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a =b = c时,“=”号成立.4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅那时b a =取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最年夜”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方法进行构造） 1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最年夜值。

2. 那时，求(82)y x x =-的最年夜值。

3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最年夜值。

4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

5 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最年夜值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最年夜值. 7 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 . 技巧一谜底：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故那时1x =，max 1y =。

基本不等式专题分类解析

基本不等式专题分类解析1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112+2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型二：利用不等式求函数最值、值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y方法一、凑项1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；方法二、凑系数1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

基本不等式(均值不等式)技巧

基本不等式(均值不等式)技巧基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则abba ≥+2(2)若*,R b a ∈，则abb a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）(4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

5 已知，且满足，求的最大值.6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.7 若且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 0,0x y >>3212x y +=lg lg x y +,,0a b c >()423a abc bc +++=-2a b c++当且仅当15454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max1y =。

基本不等式(均值不等式)技巧

罿基本不等式习专题之基本不等式做题技巧肃【基本知识】2丄以袄1. （1）若a,b ・R ，则a 2・b 2 _ 2ab （2）若a, b R ，则ab 乞空 —（当且仅当2a -b 时取“二”）賺2. (1)若 a,b • R *，则a b_ 一 ab (2)若 a,b • R *，则 a b -2 ab (当且仅当 a 二 b 2时取“=”)螆⑶若a,b ・R *，则ab 岂 …（当且仅当a = b 时取“=”）飞2丿成立;芃ab c _33abc =abc 「a ： c (a 、b 、c R )号成立2 2螇4.若a, b R ，则（_ ）2岂a—（当且仅当a = b 时取“=”）2 2蒄注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”蚂（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”莅(4) a 3 b 3 c 3 _3abc 二 abc<a 3b 3c 3（a 、b c R ），当且仅当a = b = c 时，当且仅当a = b = c 时,蚁⑶熟悉一个重要的不等式链: o薆祎【技巧讲解】肂技巧一：凑项(增减项)与凑系数(利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造)蒂5A蚆1 :已知x，求函数 v =4x_2 • ______ 的最大值。

4 4x —5羅2•当］n -时，求y =x(8 - 2x)的最大值。

沁3薁3 :设0 ：：： x ，求函数y=4x(3-2x)的最大值。

2螇5已知x 0，y0，且满足3x 2v=12，求igx• ig y 的最大值.2肃6已知x ，y 为正实数，且x 2+专=1，求x . 1 + y 2的最大值.羁7若a,b ，c 0且a(a b c) b^^2.3,求2a b c 的最小值虿技巧一答案:蝿1解：因4x-5：：：0,所以首先要“调整”符号，又(4x_2)L-丄不是常数，所以对4x-2 4x —5要进行拆、凑项，菜：x : 5,. 5 -4x 0， . y =4x -215 -4x 13 --2 3 = 14 4x-5(5-4x 丿1 蚄当且仅当5 -4x，即x=1时，上式等号成立，故当 x = 1时，y ma x = 1。

基本不等式(均值不等式)技巧窍门

基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

5 已知，且满足，求的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 7 若且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

基本不等式公式五个

基本不等式公式五个1. 基本不等式原始形式。

- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时等号成立。

- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。

2. 基本不等式的变形一（均值不等式）- 对于正实数a,b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

- 证明：由a^2+b^2≥slant2ab，令A=√(a)，B=√(b)（a,b>0），则A^2+B^2≥slant2AB，即a + b≥slant2√(ab)，所以(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

3. 基本不等式的变形二（推广到三个正数）- 对于正实数a,b,c，有a^3+b^3+c^3≥slant3abc，当且仅当a = b = c时等号成立。

- 证明：a^3+b^3+c^3-3abc=(a + b + c)(a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca)- 而a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca=(1)/(2)[(a - b)^2+(b - c)^2+(c - a)^2]≥slant0，当且仅当a = b = c时等号成立。

- 又因为a,b,c>0，所以a^3+b^3+c^3≥slant3abc。

4. 基本不等式的变形三（三个正数的均值不等式）- 对于正实数a,b,c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a = b = c时等号成立。

- 证明：由a^3+b^3+c^3≥slant3abc，令A=sqrt[3]{a}，B=sqrt[3]{b}，C=sqrt[3]{c}，则A^3+B^3+C^3≥slant3ABC，即a + b + c≥slant3sqrt[3]{abc}，所以(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}。

均值不等式基础方法15类总结-(原卷版)

专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型 (2)【题型二】添加常数构造“对勾型” (3)【题型三】“和定求积”型 (3)【题型四】“积定求和”型 (4)【题型五】单元（单变量）分离常数型 (4)【题型六】“常数”因子法： (5)【题型七】“单分母”构造因子法 (6)【题型八】“双分母”构造法 (6)【题型九】有和有积无常数型 (7)【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 (8)【题型十一】有和有积有常数型：求“和”型 (8)【题型十二】多元分离型 (9)【题型十三】反解消元型 (9)【题型十四】换元型 (10)【题型十五】较简单的三元均值 (11)培优第一阶——基础过关练 (11)培优第二阶——能力提升练 (13)培优第三阶——培优拔尖练 (14)知识点综述：1.基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；2.常用不等式：ab ≤a ＋b2； (1) 基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，常用于求积的最大值；4.重要不等式链：a 2＋b 22≥ a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b；【题型一】对勾型【典例分析】（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x -2y ）+12x y -≥2成立的前提条件为（） A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【提分秘籍】基本规律对勾型：1t t +，bat t+ 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如1.2sin sin θθθ+，其中锐角（第五章会学习到）2.221x 5x 5+++1.（2022·全国·高一专题练习）若0x >，0y >，则1122x y x y+++的最小值是（） A ．32B ．42C ．4D ．22.（2022·河南驻马店·高一期末）已知a >0，则当19a a+取得最小值时，a 的值为（）A ．19B ．16C ．13D ．3【题型二】添加常数构造“对勾型”【典例分析】（2022·吉林延边·高一期末）已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是（） A ．22B ．222 C ．2 D 2【提分秘籍】基本规律对于形如1cx+d ax b ++，则把cx+d 转化为分母的线性关系：c 1ax+b)ax b cd a a ++-+（可消去。

基本不等式

证明
比较明显.用a+b+c=1的条件将（a+b+c）“隐”去，造成了思考上的困难，因此应注意“1”的代换，构造基本不等式，使其积为定值，并使得等号同时成立.
举一反三
1 1 1 1. 已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证: - 1 - 1 - 1 > 8. x y z
1 1 1 将①②③三式相乘,得 - 1 - 1 - 1 > 8. x y z
题型二求最值【例2】 (1)设0<x<2,求函数 y = 3x(8 - 3x) 的最大值； (2)求
8 2 (3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求 + 的最小值. x y 2 分析 (1)由0<x<2可知3x>0,8-3x>0. 3x + (8 - 3x) =16. 由于3x+(8-3x)=8,可由均值不等式得3x(8-3x)≤ 2 3 + (a - 4) + 4 ，再讨论a-4的正负. (2)先将原式化为 . a -4
3 + a 虽不是定值,但变形为 3 + (a − 4) + 4 即可发现求解.本题第(2)小题中a - 4 a -4
等式来求最值.
(2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用均值不等式求最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常见的错解为：
学后反思 (1)在利用均值不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上均值不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出均值不等式的形式再进行

基本不等式(均值不等式)技巧

基本不等式习专题之基本不等式做题技巧之青柳念文创作【基本知识】 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,Rb a ∈，则abb a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）(4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当 a =b =c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b =c 时,“=”号成立.R b a ∈,，则2)2(222ba b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤222b a +.【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（操纵均值不等式做题时，条件不知足时关键在于构造条件.通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式停止构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.2. 当时，求(82)y x x =-的最大值.3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值. 4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值.5 已知0,0x y >>，且知足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最大值.7 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 . 技巧一答案：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要停止拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值. 2解析：由知，，操纵基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可. 当，即x ＝2时取等号当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8.评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可操纵基本不等式求最大值. 3、解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.4解析：1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52.评析：操纵均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数.通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式停止构造.5、分析 lg lg lg()x y xy +=, xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否定值，而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为326x y⋅，再用均值不等式.当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采取公式ab≤a 2＋b 22.同时还应化简1＋y2 中y2前面的系数为 12 ， x 1＋y2＝x2·1＋y 22＝ 2 x·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22分别当作两个因式：x·12 ＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22)22＝x 2＋y 22 ＋122 ＝34 即x 1＋y2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22≤3427分析初看，这是一个三元式的最值问题，无法操纵2a b ab +≥+b来处理.换个思路，可思索将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值423-，于是便可以操纵均值不等式了. 技巧二：分离或裂项1. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2求函数1+=1+2x y x x （）（）的值域.1解析一：本题看似无法运用基本不等式，无妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离. 当,即时,421)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）.2、解：可将上式转化为所以值域为：-)22-322+3∞⋃∞（，技巧三：换元2+1[1-1][1+2(x+1-1)]+11==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x =++（）（）（）（））1（）（）>-1+1>01+21+y +122-3<-1-+1>11+21+=-+2-1--,+1--122+3x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）22，此时（）当时，（）0（）（（））22此时（）（）1、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2、求函数225x y x +=+的最大值.3、、已知正数x 、y 知足811xy+=，求2x y +的最小值.4、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y2 的最大值. 参考答案：1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值. 当,即t=时,4259y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）.评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再操纵不等式求最值.即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.2分析可先令2x t +=，停止换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来处理. 3、解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 22102(8cot )(2tan )x x ≥+⋅18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18.技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）1、已知正数x 、y知足811x y +=，求2x y +的最小值.2、已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.3、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz的最小值是.1解法：（消元法）由811x y+=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=.当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18.法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2bb ＋1 ·b ＝－2 b2＋30b b ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b+1，1＜t ＜16，ab ＝－2t2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t＋16t ≥2t·16t＝8∴ab≤18 ∴y≥118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.32x z y +=，则可对2y xz停止消元，用,x z 暗示，即变成二元式，然后可操纵均值不等式处理问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为技巧五：整体代换(条件不等式)1：已知0,0x y >>，且191xy+=，求x y +的最小值.2、已知正数x 、y 知足811xy+=，求2x y +的最小值.1错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += .错因：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥条件是x y =，在19xy+≥19xy=即9y x =,取等号的条件的纷歧致，发生错误.因此，在操纵基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的需要步调，而且是检验转换是否有误的一种方法. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .变式：（1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb xa ，求y x +的最小值2、解法：（操纵均值不等式）2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=++1018≥+=,当且仅当81116x y x y yx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18.技巧六：转化为不等式1.已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.2、已知正数x y 、知足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围.1解：由已知得：30－ab ＝a ＋2b∵a＋2b≥2 2 ab ∴ 30－ab≥2 2 ab令u ＝ab 则u2＋2 2 u －30≤0，－5 2 ≤u≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab≤18，∴y≥118点评：①本题考察不等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算才能；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.1解法：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-≥解得13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞.又23()2x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞技巧六：取平方1、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y的最值. 2: 求函数15()22y x =<<的最大值.解法一：若操纵算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b2≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤2（3x ）2＋（2y ）2 ＝23x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件挨近.W ＞0，W2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y)＝20∴W≤20 ＝2 5解析：注意到21x -与52x -的和为定值.又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号. 故max y =评注：本题将解析式双方平方构造出“和为定值”，为操纵基本不等式创造了条件.总之，我们操纵基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件操纵基本不等式.注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应连系函数()a f x x x=+的单调性.1：求函数2y =的值域.2、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值.1(2)t t =≥，则2y1(2)t t t ==+≥因10,1t t t>⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，思索单调性.因为1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 2解法一：（单调性法）由函数()(0)b f x ax a b x=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数4()f x x x=+是减函数.证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4()f x x x =+在(0,1]上是减函数.故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5. 解法二：（配方法）因01x <≤，则有4()f x xx =+24=+，易知当01x <≤时， 0μ=且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5. 解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x'=-，当(0,1]x ∈时，24()10f x x '=-<，则函数4()f x x x=+在(0,1]上是减函数.故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5.解法四：（拆分法）4()f x x x =+)10(≤<x 13()x x x =++31≥5=，当且仅当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5.评析：求解此类问题，要注意矫捷选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法.操练：2=+b a ，则b a 33+的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33⋅定值，因此思索操纵均值定理求最小值，解：b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a 当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6． 3若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值求下列函数的最大值： ①23(32)(0)2y x x x =-<<②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析： ①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅- 3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1.②0,sin 0,cos 02x x x π<<>>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求y2的最大值.22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)2x π<<tan x ⇒=，即x arc =时，不等式中的4.已知a>0，b>0，ab －(a ＋b)＝1，求a ＋b 的最小值.5.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.。

均值不等式和基本不等式

均值不等式和基本不等式
均值不等式和基本不等式是数学中常用的两个重要不等式。

均值不等式是指若有n个非负实数a1、a2、...、an，那么它们的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即
(a1+a2+...+an)/n>=√(a1×a2×...×an)。

基本不等式是指若有两个非负实数a和b，那么它们的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即(a+b)/2>=√(a×b)。

特别地，当且仅当a=b时，等号成立。

这两个不等式在数学证明和应用中具有广泛的应用领域，常用于证明其他的不等式、推导数学定理以及解决实际问题。

它们的推广和运用也形成了许多重要的数学理论和方法。

均值不等式公式总结及解题技巧

均值不等式应用【知识必备】 1．基本不等式(1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2．基本不等式变式(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x+≥(当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”） 5．若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用【题型分析】题型一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x·1x＝2；当x ＜0时，y ＝x ＋1x =－（－x －1x）≤－2x·1x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式(均值不等式)技巧

基础没有等式习博题之基础没有等式干题本领之阳早格格创做【基础知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时与“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,Rb a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时与“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时与“=”）(4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当 a =b =c时,“=”号创制；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号创制.R b a ∈,，则2)2(222b a ba +≤+（当且仅当b a =时与“=”）注：（1）当二个正数的积为定植时，不妨供它们的战的最小值，当二个正数的战为定植时，不妨供它们的积的最小值，正所谓“积定战最小，战定积最大”．（2）供最值的条件“一正，二定，三与等” (3)认识一个要害的没有等式链：ba 112+2a b+≤≤222b a +. 【本领道解】本领一：凑项（删减项）与凑系数（利用均值没有等式干题时，条件没有谦脚时闭键正在于构制条件.常常要通过乘以或者除以常数、拆果式、仄圆等办法举止构制）1：已知54x <，供函数14245y x x =-+-的最大值. 2. 当时，供(82)y x x =-的最大值.3：设230<<x ，供函数)23(4x x y -=的最大值. 4、供函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值. 5 已知0,0x y >>，且谦脚3212x y +=，供lg lg x y +的最大值. 6已知x ，y 为正真数，且x 2＋y 22 ＝1，供x 1＋y2 的最大值.7 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,供2a b c ++的最小值 . 本领一问案：1解：果450x -<，所以最先要“安排”标记，又1(42)45x x --没有是常数，所以对于42x -要举止拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，坐即1x =，上式等号创制，故当1x =时，max 1y =.评注：本题需要安排项的标记，又要配凑项的系数，使其积为定值. 2剖析：由知，，利用基础没有等式供最值，必须战为定值或者积为定值，此题为二个式子积的形式，但是其战没有是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可. 当，即x ＝2时与等号当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8.评注：本题无法曲交使用基础没有等式供解，但是凑系数后可得到战为定值，从而可利用基础没有等式供最大值. 3、解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=坐即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 等号创制.4剖析：1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-坐即2x =，“=”号创制，故此函数最小值是52. 评析：利用均值没有等式供几个正数战的最小值时，闭键正在于构制条件，使其积为常数.常常要通过增加常数、拆项（时常是拆底次的式子）等办法举止构制.5、分解 lg lg lg()x y xy +=, xy 是二项“积”的形式，但是没有知其“战”的形式x y +是可定值，而已知是3x 与2y 的战为定值12，故应先配系数，将要xy 变形为326x y⋅，再用均值没有等式.当且仅当32x y =，坐即2,3x y ==，等号创制. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.6分解：果条件战论断分别是二次战一次，故采与公式ab≤a 2＋b 22.共时还应化简1＋y2 中y2前里的系数为 12 ， x 1＋y2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x·12 ＋y 22底下将x ，12 ＋y 22 分别瞅成二个果式： x·12 ＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤342 7分解初瞅，那是一个三元式的最值问题，无法利用2a b ab +≥+b去办理.换个思路，可思量将2a b c ++沉新拉拢，形成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值423-，于是便不妨利用均值没有等式了. 本领二：分散或者裂项1. 供2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2供函数1+=1+2x y x x （）（）的值域.1剖析一：本题瞅似无法使用基础没有等式，无妨将分子配圆凑出含有（x ＋1）的项，再将其分散. 当,坐即,421)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时与“＝”号）.2、解：可将上式转移为所以值域为：-)22-322+3∞⋃∞（，本领三：换元2+1[1-1][1+2(x+1-1)]+11 ==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x =++（）（）（）（））1（）（）>-1+1>01+21+y +122-3<-1-+1>11+21+=-+2-1--,+1--122+3x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）22，此时（）当时，（）0（）（（））22此时（）（）1、供2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 2、供函数225x y x +=+的最大值.3、、已知正数x 、y 谦脚811xy+=，供2x y +的最小值.4、已知x ，y 为正真数，且x 2＋y 22＝1，供x 1＋y2 的最大值. 参照问案：1、剖析：本题瞅似无法使用基础没有等式，可先换元，令t=x ＋1，化简本式正在分散供最值. 当,即t=时,4259y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时与“＝”号）.评注：分式函数供最值，常常曲交将分子配凑后将式子分启或者将分母换元后将式子分启再利用没有等式供最值.即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，g(x)恒正或者恒背的形式，而后使用基础没有等式去供最值.2分解 2x t +=，举止换元，再使分子常数化，而后使用均值没有等式去办理. 3、解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 22102(8cot )(2tan )x x ≥+⋅18≥，易供得12,3x y ==此时时“=”号创制，故最小值是18.本领四：消元（转移为函数最值，此时要注意决定变量的范畴）1、已知正数x 、y 谦脚811x y +=，供2x y +的最小值.2、已知a ，b 为正真数，2b ＋ab ＋a ＝30，供函数y ＝1ab 的最小值.3、设,,x y z 为正真数，230x y z -+=，则2y xz的最小值是.1解法：（消元法）由811x y+=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=.当且仅当1688x x -=-坐即12,3x y ==此时“=”号创制，故此函数最小值是18.法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b+1，1＜t ＜16，ab ＝－2t2＋34t －31t ＝－2（t＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t·16t＝8∴ab≤18 ∴y≥118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号创制.32x z y +=，则可对于2y xz举止消元，用,x z 表示，即形成二元式，而后可利用均值没有等式办理问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为本领五：完全代换(条件没有等式)1：已知0,0x y >>，且191xy+=，供x y +的最小值.2、已知正数x 、y 谦脚811xy+=，供2x y +的最小值.1错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += .错果：解法中二次连用基础没有等式，正在x y +≥创制条件是x y =，正在19xy+≥19xy=即9y x =,与等号的条件的纷歧致，爆收过失.果此，正在利用基础没有等式处理问题时，列出等号创制条件是解题的需要步调，而且是考验变换是可有误的一种要领. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y=时，上式等号创制，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .变式：（1）若+∈R y x ,且12=+y x ，供yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb xa ，供y x +的最小值2、解法：（利用均值没有等式）2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=++1018≥+,当且仅当81116x y x y yx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩坐即12,3x y ==“=”号创制，故此函数最小值是18.本领六：转移为没有等式1.已知a ，b 为正真数，2b ＋ab ＋a ＝30，供函数y ＝1ab 的最小值.2、已知正数x y 、谦脚3xy x y =++，试供xy 、x y +的范畴. 1解：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵a ＋2b≥2 2 ab ∴ 30－ab≥2 2 ab令u ＝ab 则u2＋2 2 u －30≤0，－5 2 ≤u≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab≤18，∴y≥118面评：①本题考查没有等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,的应用、没有等式的解法及运算本领；②怎么样由已知没有等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出收供得ab的范畴，闭键是觅找到ab b a 与+之间的闭系，由此料到没有等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，那样将已知条件变换为含ab 的没有等式，从而解得ab 的范畴. 1解法：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-≥解得13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且坐即3x y ==与“=”号，故xy 的与值范畴是[9,)+∞.又23()2x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或，当且仅当3x y xy x y ==++且坐即3x y ==与“=”号，故x y +的与值范畴是[6,)+∞本领六：与仄圆1、已知x ，y 为正真数，3x ＋2y ＝10，供函数W ＝3x ＋2y的最值. 2: 供函数15()22y x =<<的最大值.解法一：若利用算术仄衡与仄圆仄衡之间的没有等闭系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 22，本题很简朴 3x ＋2y ≤2（3x ）2＋（2y ）2 ＝23x ＋2y ＝2 5解法二：条件与论断均为战的形式，设法曲交用基础没有等式，应通过仄圆化函数式为积的形式，再背“战为定值”条件靠拢.W ＞0，W2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y)＝20∴W≤20 ＝2 5剖析：注意到21x -与52x -的战为定值. 又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，坐即32x =与等号. 故max y =.评注：本题将剖析式二边仄圆构制出“战为定值”，为利用基础没有等式创制了条件. 总之，咱们利用基础没有等式供最值时，一定要注意“一正二定三相等”，共时还要注意一些变形本领，主动创制条件利用基础没有等式.注意：正在应用最值定理供最值时，若逢等号与没有到的情况，应分散函数()a f x x x=+的单调性.1：供函数2y =的值域.2、若x 、y +∈R ，供4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值.1(2)t t =≥，则2y =1(2)t t t ==+≥果10,1t t t>⋅=，但是1t t=解得1t =±没有正在区间[)2,+∞，故等号没有创制，思量单调性.果为1y t t=+正在区间[)1,+∞单调递加，所以正在其子区间[)2,+∞为单调递加函数，故52y ≥.所以，所供函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 2解法一：（单调性法）由函数()(0)b f x ax a b x=+>、图象及本量知，当(0,1]x ∈时，函数4()f x x x=+是减函数.说明：任与12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4()f x x x=+正在(0,1]上是减函数.故当1x =时，4()f x x x=+正在(0,1]上有最小值5.解法二：（配要领）果01x <≤，则有4()f x xx =+24=+，易知当01x <≤时， 0μ且单调递减，则2()4f x =+正在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x=+正在(0,1]上是减函数，当1x =时，4()f x x x=+正在(0,1]上有最小值5.解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x'=-，当(0,1]x ∈时，24()10f x x '=-<，则函数4()f x x x=+正在(0,1]上是减函数.故当1x =时，4()f x x x=+正在(0,1]上有最小值5.解法四：（拆分法）4()f x x x =+)10(≤<x 13()x x x =++31≥5=，当且仅当1x =时“=”号创制，故此函数最小值是5.评析：供解此类问题，要注意机动采用要领，特地是单调性法、导数法具备普遍性，配要领及拆分法也是较为简净真用得要领. 训练：2=+b a ，则b a 33+的最小值是.分解：“战”到“积”是一个缩小的历程，而且b a 33⋅定值，果此思量利用均值定理供最小值，解：b a 33和皆是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a当ba33=时等号创制，由2=+b a 及ba33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．3若44log log 2x y +=，供11x y+的最小值.并供x,y 的值供下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<<②2sin cos (0)2y x x x π=<<剖析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-坐即1x =，“=”号创制，故此函数最大值是1.②0,sin 0,cos 02x x x π<<>>∴，则0y >，欲供y 的最大值，可先供y2的最大值.22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)2x π<<tan x ⇒=坐即x arc =，没有等式中的“=”号创制，故此函数最大值4.已知a>0，b>0，ab －(a ＋b)＝1，供a ＋b 的最小值.5.若曲角三角形周少为1，供它的里积最大值.。

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基本不等式
知识点：
1.基本不等式：ab b a ≥+2
，（▼使用条件：b a ,正数、当且仅当时取“=”）。

例题讲解：
▼▼例1、（只含有一个字母）：22)1(x x y +=的最小值为.
练习1、当0<x 时，则x x y 1+
=的最大值为.
练习2、求函数的最小值是.
例2、（有两个字母）：若实数满足，则的最小值是.
练习3、已知定义在),0(+∞上的函数x x f 3)(=，若9)(=+b a f ，则)(ab f 的最大值为.
▼▼例3、（前后相乘）：已知，且，则的最小值为.
练习4、若且412=+
y x ，则=+x y 3的最小值为.
练习5、若，求
的最小值.并求x,y 的值。

练习6、已知且，则使不等式恒成立的实数的取值范围为. b a =12sin ,(0,)sin y x x x
π=+
∈2=+b a b a 33+0,0x y >>191x y
+=x y ++∈R y x ,44log log 2x y +=11x y +0,0x y >>191x y
+=x y m +≥m
▼▼例4、求)0(452>++=x x
x x y 的值域。

练习7、求函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
例5、（换元法）：求的值域。

例6、（凑常数）：已知，则函数的最大值为.
练习8、求函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
例7、（凑系数）：当40<<x 时，求的最大值为.
练习9、设，求函数的最大值为. 231,(0)x x y x x
++=>2710(1)1
x x y x x ++=>-+54x <
14245y x x =-+-12,33y x x x =+
>-(82)y x x =-2
30<
<x )23(4x x y -=
练习10、，求函数的最大值为.
练习11、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值为.
课后作业：
1、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是.
2、设函数x x x f -=2lg
)(，若0)()(=+b f a f ，则b a 13+的最小值为.
3、已知且
3123=+y x ，则y x +6的最小值为.
4、当1>x 时，不等式a x x ≥-+
11恒成立，则实数a 的取值范围是.
5、已知，求函数的最大值为.
203
x <
<
y +∈R y x b a ,,,01x <
<y。