特征值与特征向量

矩阵的特征值和特征向量

定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程

(1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特

征向量．

（1）式也可写成，

(2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

, (3)

即

上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．

==

=

显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．

设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明

（ⅰ）

（ⅱ）

若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：

的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是

（其中是不全为零的任意实数）．

例1 求的特征值和特征向量.

解的特征多项式为

=

所以的特征值为

当=2时，解齐次线性方程组得

解得令=1，则其基础解系为：=

因此，属于=2的全部特征向量为：.

当=4时，解齐次线性方程组得令=1，

则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为

[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征

向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.

例2 求矩阵

的特征值和特征向量.

解的特征多项式为

== ，

所以的特征值为==2（二重根），.

对于==2，解齐次线性方程组．由

，

得基础解系为：

因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.

对于，解齐次线性方程组．由

，

得基础解系为：

因此，属于的全部特征向量为：