特征值与特征向量
5.1 特征值与特征向量
例6
设A2 3A 2E O, 证明A 的特征值只能取1或2.
解 设A有特征值， A2 3 A 2E 则
3 2
2
又因为A2 3 A 2E 0 故2 3 2 0.
1或者 2.
例7
设n阶方阵A有n个特征值1,2,…., n, 求|A+3E|.
解 设A有特征值， A 3E 则
3
故A+3E的特征值为4, 5, ….., n+3 ( n 3)! A 3E 3!
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
α 0 是 A 的特征向量吗？ 不是
结论：设1, 2 ,, m是方阵A的m个特征值，p1, p2 ,, pm
Байду номын сангаас
依次是与之对应的特征 向量. 若1, 2 ,, m各不相等，
则p1 , p2 ,, pm线性无关。
总结：
1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍 是属于这个特征值的特征向量． 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言 的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特 征向量只能属于一个特征值．
特征向量仍为 x。
(1 证明： ) Ax x ( kA) x ( k ) x
( 2) A2 x A Ax Ax Ax x 2 x 1 1 1 1 1 ( 3) A Ax A x A x A x x
* *
|A |
x
若，， ，n 是可逆矩阵A的全部特征值，则A*的 | A| | A| | A| 全部特征值是 : ， ， ， ,且对应的特征向量
特征值与特征向量
特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们在矩阵理论、物理学、工程等领域有着广泛的应用。
本文将对特征值与特征向量进行详细讲解，并介绍它们的一些重要性质和应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n阶方阵A，非零向量x若满足Ax=kx，其中k为一个标量，那么我们称k为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量是矩阵A的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的一些重要特性。
二、求解特征值与特征向量要求解一个矩阵的特征值与特征向量，我们可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是一个关于特征值的多项式方程，形式为|A-kI|=0，其中I为单位矩阵，k为特征值。
解特征方程可以得到特征值的值，然后将特征值代入到(A-kI)x=0中，求解线性方程组即可得到特征向量。
特征值与特征向量是成对存在的，对于矩阵A的每一个特征值k，都对应着一个特征向量。
一个矩阵最多有n个特征值，但是可能有重复的特征值。
三、特征值与特征向量的重要性质特征值与特征向量具有以下重要性质：1. 特征向量与特征值的个数相等，一一对应。
2. 特征值可以为实数或复数，特征向量可以为实向量或复向量。
3. 若特征值为k，则对应的特征向量不唯一，可乘以一个非零常数得到不同的特征向量。
4. 矩阵的迹等于特征值的和，行列式等于特征值的积。
特征值与特征向量的这些性质在实际问题中有着重要的应用，可以用于矩阵的对角化、求解线性方程组、图像处理、物理模型的求解等领域。
四、特征值与特征向量的应用1. 数据降维在数据处理中，我们经常会遇到维度灾难，即特征维度非常高，而样本量较小。
利用特征值与特征向量，我们可以将高维度的数据降低到低维度，从而简化计算和数据处理过程，提高算法效率。
2. 图像处理图像可以用矩阵来表示，而图像的特性往往由矩阵的特征值与特征向量来描述。
利用特征值与特征向量，我们可以进行图像的压缩、图像的特征提取、图像的增强等图像处理操作。
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
特征值与特征向量的求解方式
特征值与特征向量的求解方式在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。
它们的求解在机器学习、图像处理、物理学等诸多领域中具有重要的应用。
本文将介绍特征值与特征向量的概念和求解方式。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么 k 称为矩阵A的特征值，x称为特征值k对应的特征向量。
特别的，当 k=0 时，x称为矩阵A的零向量。
特征值与特征向量有以下重要性质：1. 一个n阶方阵最多有n个不同的特征值。
2. 若A为实对称矩阵，则其特征向量对应的特征值均为实数。
3. 若A为正定矩阵，则其特征值均为正数。
4. 若A可逆，则其特征值均非零。
特征向量的长度一般不为1，我们可以将其归一化得到单位向量，使得 Ax=kx 中的特征向量x满足 ||x||=1。
二、1.利用特征多项式对 n 阶矩阵 A，设λ 为其特征值，用 |A-λI| =0 表示，其中 I 为n 阶单位矩阵。
化简方程，即得到 A 的特征值λ 的解析式。
求得λ 后，代入 (A-λI)x=0，可以得到对应的特征向量 x。
举个例子，对于矩阵 A=[1 2;2 1]，我们有| A-λI |= | 1-λ 2; 2 1-λ| = (1-λ)^2 -4 = 0解得λ1=3, λ2=-1。
将λ1,λ2 代入 (A-λI)x=0 中分别求解，即可得到 A 的两个特征向量。
该方法简单易懂，但对于高阶矩阵，求解特征多项式需要高代数计算，计算复杂度较高。
2.利用幂法幂法是求最大特征值与对应特征向量的较为有效的方法。
该方法基于一下简单事实：给定一个向量 x，令 A 去作用若干次，Ax,A^2x,A^3x,...,A^nx，它们的向量长度将快速增长或快速衰减，且它们的比值趋于最大特征对应的幂指数。
假设 A 有一个不为零的特征向量 x，它对应的特征值为λ1，即Ax=λ1x。
那么，A^mx = A^mx/λ1^m λ1x当 m 充分大时， A^mx 与λ1^mx 相比变化就很小了。
特征值与特征向量
特征值与特征向量在数学中，特征值和特征向量是矩阵与线性变换的重要概念。
特征值可以帮助我们理解线性变换对向量运动的影响，而特征向量则描述了这种影响的方向。
本文将介绍特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义对于一个n维向量空间中的线性变换T，如果存在一个非零向量v使得T(v) = λv 成立，其中λ为一个标量，那么我们称λ为T的特征值，v为T对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以通过求解线性方程组来获得。
设A是一个n×n的矩阵，并且v是一个非零向量，则有Av = λv 成立。
这是一个齐次线性方程组。
解该方程组即可得到特征值和特征向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的存在性和唯一性对于一个n×n的矩阵A，它的特征值存在和特征向量存在的条件是相同的。
一个矩阵最多有n个不同的特征值，每个特征值对应的特征向量也可以有多个。
但是特征向量一定是线性相关的。
2. 特征值与特征向量的性质（1）特征值的和等于矩阵的迹如果A是一个n×n的矩阵，λ₁、λ₂、...、λₙ是其特征值，则有λ₁+λ₂+...+λₙ = tr(A)，其中tr(A)表示矩阵A的迹。
（2）特征值的乘积等于矩阵的行列式如果A是一个n×n的矩阵，则特征值的乘积等于矩阵的行列式，即λ₁*λ₂*...*λₙ = det(A)，其中det(A)表示矩阵A的行列式。
（3）特征值的倒数等于矩阵的逆矩阵的特征值如果A是一个可逆矩阵，λ₁、λ₂、...、λₙ是其特征值，则A的逆矩阵的特征值为λ₁⁻¹、λ₂⁻¹、...、λₙ⁻¹。
三、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在实际问题中有广泛的应用。
下面列举了其中的几个应用领域：1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式。
特征值分解在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、图像压缩和降维等。
特征值和特征向量
练习
3. 已知 A的特征值 为
(1)求AT、aA（a为任意实数A（ ） k k为 、正整数）的特 (2设 ) A可逆，A求 1的特征值。
4.试证 A有特征值零的充分 条必 件要 是 A0.
§4.2 相似矩阵与矩阵 可对角化的条件
1. 相似矩阵概念 2. 相似矩阵基本性质 3. 方阵的对角化含义 4. 矩阵可对角化的条件
特征值和特征向量
§4.1 矩阵的特征值 和特征向量
1. 特征值与特征向量定义 2. 相关概念 3.两个有用公式
(特征方程根与系数的关系) 4.特征值与特征向量求法 5.特征值与特征向量的性质
1. 特征值与特征向量定义
定义4.1
设A为n阶方阵, 若存在常数
及非零向量
,使A成立 ,则称 为方A的 阵特征 , 值
而
A2, 故x=0,y=1.
课堂练习
设矩A阵 12
2 x
24与B5
y
4 2 1
4
相似 ,求x,y.
3.方阵的对角化含义
所谓方阵
A 可以对角化,
是指 A与对角阵
Λ相似.
即存在可逆矩阵
P , 使 P1AP成立.
4.
矩阵可对角化的条件
定理(充要条件)
n阶方阵
个线性无关的特征向量.
可对角化
A
A 有 n
A A O (EA)O
推论1、2（P159） 若α1，α2是A属于λ0的特征向量，则c1α1+ c2α2也是A属于λ0的特征向量。
3.两个有用公式(特征方程根与系数的关系)
设 n阶方 A 的 阵 特征 1,2,值 ,n为 ,
则 (1 1 )2 na1 1a2 2 an;n
特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法
特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于许多领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
在本文中，我们将探讨特征值和特征向量的定义、求解方法及其在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义特征值是一个矩阵所具有的与矩阵的线性变换性质有关的一个数值，特征向量是对应于特征值的非零向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得满足Ax=λx，那么λ就是矩阵A的一个特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
二、求解特征值与特征向量的方法有几种方法可以求解特征值和特征向量，其中比较常用的是特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是通过求解特征方程的根来得到特征值。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式定义为det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，det表示行列式运算。
将特征多项式置为零，可以得到n个特征值λ1，λ2，...，λn。
将每个特征值代入原矩阵A-λI，解线性方程组(A-λI)x=0，就可以得到对应的特征向量。
2. 迭代法迭代法是通过不断迭代矩阵的特征向量逼近实际的特征向量。
常用的迭代方法包括幂法、反幂法和Rayleigh商迭代法。
幂法是通过不断迭代向量Ax的归一化来逼近特征向量，其基本原理是向量Ax趋近于特征向量。
反幂法是幂法的反向操作，通过求解(A-λI)y=x逼近特征向量y。
Rayleigh商迭代法是通过求解Rayleigh商的最大值来逼近特征向量，其中Rayleigh商定义为R(x)=x^T Ax/(x^T x)，迭代公式为x(k+1)=(A-λ(k)I)^(-1)x(k)，其中λ(k)为Rayleigh商的最大值。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际问题中有广泛的应用。
其中，特征值可以用于判断矩阵是否可逆，当且仅当矩阵的所有特征值均不为零时，矩阵可逆。
特征向量可用于描述矩阵的稳定性和振动状态，如在结构工程中可以通过求解特征值和特征向量来分析物体的固有频率和振动模态。
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于各个领域的数学和科学问题中。
特征值和特征向量的理解和运用对于解决线性代数中的矩阵方程、特征分解以及一些实际问题有着重要的意义。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得下式成立：A·x=λ·x其中，λ为一个复数，称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值的特征向量。
对于方阵A，可能存在多个特征值和对应的特征向量。
二、特征值和特征向量的性质1. 特征向量的长度无关紧要：特征向量的长度没有具体的要求，只要方向相同即可。
2. 特征向量是线性的：如果v是一个A的特征向量，那么对于任意标量k都有kv仍是A的特征向量。
3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的：如果λ1≠λ2，则对应的特征向量v1和v2线性无关。
三、求解特征值和特征向量的方法针对不同的方阵A，求解特征值和特征向量的方法也有所不同，常用的方法有以下几种：1. 特征方程法：令A-λI=0，其中I是单位矩阵，解方程A-λI=0可以得到方阵A的特征值λ。
然后将特征值带入方程(A-λI)x=0，求解得到方阵A对应特征值的特征向量。
2. 幂法：通过迭代的方法求解矩阵的特征值和特征向量。
先随机选择一个向量x0，然后通过迭代运算得到序列x0，Ax0，A^2x0，...，A^nx0，其中n为迭代次数。
当n足够大时，序列将收敛到A的特征向量。
3. Jacobi方法：通过迭代矩阵的相似变换，将矩阵对角化。
该方法通过交换矩阵的不同行和列来逐步减小非对角元素，最终得到对角矩阵，对角线上的元素即为特征值。
四、特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在很多领域中都有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 图像处理：特征值和特征向量可用于图像的降维和特征提取，通过对图像的特征向量进行分析，可以获得图像的主要特征。
2. 特征分析：特征值和特征向量可用于分析复杂系统的稳定性、动态响应和振动特性，如机械系统、电路系统等。
特征值与特征向量_
特征值与特征向量_一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个nxn的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
特征向量是指矩阵在一些方向上的不发生变化的向量，而特征值则表示该方向上的缩放比例。
矩阵乘以特征向量v等于用特征值λ来放缩这个向量。
二、特征值与特征向量的性质1.特征值和特征向量总是成对出现，即一个特征向量对应一个特征值，可能有多个特征向量对应同一个特征值。
2.特征值可以为复数，但如果A是实对称矩阵，则特征值一定是实数。
3.矩阵的特征值可以通过求解方程，A-λI，=0得到，其中I是单位矩阵。
4.特征向量可以通过求解方程(A-λI)v=0得到，其中0是全零向量。
5.特征值的和等于矩阵的迹(所有主对角线上的元素之和)，特征值的乘积等于矩阵的行列式。
三、特征值与特征向量的应用1.特征值分解特征值分解是矩阵分析中非常重要的一种分解方法，对于一个nxn的矩阵A，其特征值分解为A=VΛV^(-1)，其中V是由特征向量构成的矩阵，Λ是由特征值构成的对角矩阵。
特征值分解可以用于求解线性方程组、矩阵的幂次计算、矩阵的逆等问题，也可以用于降维和数据压缩等领域。
2.特征值与特征向量的几何意义特征向量可以表示矩阵的一些方向上的不变性，通过求解矩阵的特征向量，可以了解矩阵对于不同方向上的变化情况。
例如，在计算机图形学中，可以通过矩阵的特征向量来描述形状的变化、旋转、缩放等操作。
3.矩阵的谱分析通过分析矩阵的特征值和特征向量，可以了解矩阵的性质和结构。
例如，对于对角矩阵，其特征值就是主对角线上的元素，特征向量为标准基向量。
四、总结特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
特征值与特征向量可以用于矩阵分解、线性方程组求解、数据压缩和图形变换等问题，对于理解和分析矩阵的性质和结构有着重要的意义。
深入理解特征值与特征向量的概念和性质，对于掌握线性代数和应用数学具有重要的作用。
矩阵的特征值及特征向量
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A
变成
，而可逆矩阵 称为进行这一变换的
相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解
解之得基础解系
求得基础解系
故 不能化为对角矩阵.
解之得基础解系
例2 A能否对角化？若能对角 解
解之得基础解系
所以 可对角化.
注意
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
四、小结
二、特征值和特征向量的性质
证明
则
即
类推之，有
ห้องสมุดไป่ตู้
把上列各式合写成矩阵形式，得
注意
１ . 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２ . 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３ . 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为
解
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
思考题
思考题解答
、 相似矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
一特征值与特征向量概念
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B
（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
定理
若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
０或１．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
7 6
5 6
1 2
四、特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征
向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。
而对对角阵 有
1k
k
2k
(1)
,()
(2 )
,
O
O
nk
(n
)
这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P1AP
称之为把方阵Ａ对角化．
定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P1AP 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
特征值与特征向量
特征值与特征向量1.特征值与特征向量的数学定义在矩阵论中，一个n阶方阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，使得存在一个非零n维向量x，满足以下关系式：Ax=λx其中x称为该特征值对应的特征向量（eigenvector）。
特征向量x是与特征值λ对应的“向量空间”中的非零向量，它描述了特征值所对应的变换方向或拉伸比例。
2.特征值与特征向量的性质（1）特征值与特征向量的关系：对于方阵A和其特征值λ，Ax=λx。
这意味着矩阵A将特征向量x拉伸（或压缩）了λ倍。
（2）特征值的重要性质：矩阵A的特征值λ满足特征多项式的方程式p(λ) = det(A-λI) = 0，其中I是单位矩阵。
这个方程式的根就是矩阵A的特征值。
（3）特征向量的线性组合：如果x1、x2、..、xk是矩阵A的特征向量，对应的特征值分别是λ1、λ2、..、λk，那么对于任意常数a1、a2、..、ak，它们的线性组合a1x1+a2x2+...+akxk也是矩阵A的特征向量。
（4）特征值的数量：对于一个n阶方阵A，一般有n个不同的特征值。
3.特征值与特征向量的应用（1）矩阵对角化：通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以将一个方阵对角化。
对角化后的矩阵能更方便地进行计算和理解，例如求解高阶矩阵的幂、指数函数等。
（2）主成分分析（PCA）：PCA是一种经典的降维方法，它通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量，将高维特征转换为低维特征，从而实现数据的降维和可视化。
（3）图像处理：特征值和特征向量在图像压缩、图像增强和图像分析等领域中有广泛应用。
例如，可以利用图像的特征值和特征向量进行边缘检测、纹理提取和目标识别。
（4）量子力学中的态矢量：在量子力学中，态矢量可以看成是一个特殊的向量，它对应于系统的一个可观测性质。
量子态的演化过程可以用特征向量和特征值来描述。
总结：特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，它们可以描述线性变换的特性，并且在多个学科领域中有广泛的应用。
特征值与特征向量
特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于矩阵和向量的分析与计算。
它们在物理、工程、计算机科学等领域起到了至关重要的作用。
本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及它们的应用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，我们定义了特征值和特征向量的概念。
给定一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k是一个标量，那么k就称为矩阵A的特征值，而x称为对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的定义可以表示为以下矩阵方程：Ax=kx。
这个方程可以进一步变形为(A-kI)x=0，其中I是n阶单位矩阵。
由于x是非零向量，所以(A-kI)必须是一个奇异矩阵，即它的行列式为0。
因此，我们可以通过求解(A-kI)的行列式为零的特征值，然后代入到(A-kI)x=0中，解出特征向量。
二、特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有许多重要性质。
首先，特征值的个数等于矩阵的阶数。
其次，特征值可以是实数或复数。
对于实数矩阵，特征值可以是实数或复数共轭对。
对于复数矩阵，其特征值必定是复数。
特征向量也有一些重要性质。
首先，特征向量的长度可以为任意值，但是通常被归一化为单位向量。
其次，不同特征值所对应的特征向量是线性无关的。
最后，特征向量所张成的向量空间称为特征空间，特征空间的维度等于特征值的个数。
三、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在许多领域都有广泛的应用。
在物理学中，特征值和特征向量被用于描述量子力学中的态矢量和算子。
在工程学中，特征值和特征向量被用于结构动力学分析、振动模态分析等。
在图像处理和模式识别领域，特征值和特征向量被用于图像压缩、人脸识别等应用。
特征值和特征向量还有一些其他的应用。
在机器学习中，特征值和特征向量被用于降维算法，如主成分分析（PCA）。
在网络分析中，特征值和特征向量被用于识别网络中的重要节点。
在数值计算中，特征值和特征向量被用于求解线性方程组。
总之，特征值和特征向量是线性代数中的基本概念，为矩阵和向量的分析提供了有力的工具。
特征值与特征向量
特征值与特征向量在数学和物理学中，特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们经常出现在线性代数、矩阵论和量子力学等领域中。
特征值和特征向量也被广泛应用于机器学习和计算机视觉等领域。
一、什么是特征值和特征向量？在矩阵中，如果存在一个向量，使得它被矩阵作用后，只改变了它的伸缩程度而不改变它的方向，那么这个向量被称为矩阵的特征向量。
而它被伸缩的比例就是特征值。
特征值和特征向量的定义可以通过下面的矩阵乘法式子来表达：A * v = λ * v其中 A 是一个 n*n 的矩阵，v 是一个 n 维向量，λ 是一个标量。
特征向量 v 是非零向量，特征值λ 是一个常数，通常不能为零。
特征向量可以是任意比例，但特征值只能是唯一的。
二、特征值和特征向量的性质特征向量和特征值有着一些重要的性质。
其中最重要的性质是，特征向量在矩阵作用下只伸缩不旋转。
这种性质在机器学习和计算机视觉领域是非常重要的。
例如，在图像处理中，可以利用图像的特征向量来描述它的纹理、形状和颜色等特征。
另一个重要的性质是，矩阵的特征值和行列式、迹等矩阵的性质有很大的关联。
例如，如果一个矩阵的行列式为 0，则它至少有一个特征值为 0。
特征值和特征向量还有很多其他的重要性质，这里无法一一列举。
三、如何计算特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征方程来计算。
特征方程的形式是：det(A - λI) = 0其中 det 表示行列式，I 是 n*n 的单位矩阵，λ 是特征值，A 是n*n 的矩阵。
特征方程有 n 个解，每个解对应一个特征值。
一旦求得了特征值，就可以通过代入矩阵方程组求解特征向量。
例如，对于某个特征值λ，求解向量 v 满足下面的方程：(A - λI) * v = 0通过高斯消元或其他数值方法可以解出 v 的值。
当然，我们需要注意的是，情况可能有多个特征向量和同一个特征值相对应。
四、特征值和特征向量在机器学习中的应用特征值和特征向量是机器学习中非常有用的工具。
特征值与特征向量
2 ( 4)( 2)2 0 ，
故 A 的全部特征值为 1 4 ， 2 2 （二重）．
1.1 特征值与特征向量的概念
当 1 4 时，解齐次线性方程组 (4E A)x 0 ：
7 2 1 1 0 1/3
1
由
4E
A
2
2
2
0
1
2/3
得基础解系
p1
2
，故对应于
1
4
的全部特征向量为：
1.2 特征值与特征向量的性质
性质 3 设 是方阵 A 的特征值，则 （1） c 是 cA 的特征值 (c R) ； （2） 2 是 A2 的特征值，进一步推出 k 是 Ak 的特征值； （3）() 是 (A) 的特征值，其中(A) a0 E a1A an1An1 an An 是矩阵 A 的多项式； （4）当 A 可逆时， 1 和 A 分别是 A1 和 A* 的特征值．
5
0
1
0
得
基
础解
系
是
1 1
，
故
k1
1 1
(k1
0)
是矩阵
A
对应于
1
4 的全部特征向量．
当
2
2
时，解齐次线性方程组
(2E
A) x
0
，由
2E
A
5
5
1 5
1
0
1 0
得基
础解系是ຫໍສະໝຸດ 1 5 ，故
k2
1
5
(k2
0)
是矩阵
A
对应于 2
2
的全部特征向量．
1.1 特征值与特征向量的概念
3 2 1
1.2 特征值与特征向量的性质
矩阵论—特征值和特征向量
矩阵论—特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
在线性代数中，矩阵可以视为线性变换的一种表示，而特征值和特征向量则是描述这种线性变换的特性的数学工具。
首先，我们来定义特征值和特征向量。
设A是一个n×n矩阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么称λ为矩阵A的特征值，x称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的求解可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是指矩阵A减去λI后的行列式等于零，其中I是单位矩阵。
即，det(A-λI)=0。
求解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值λ。
而对于每个特征值λ，通过求解(A-λI)x=0，可以得到对应的特征向量x。
特征值和特征向量的应用非常广泛。
一方面，它们可以用来判断一个矩阵的性质。
例如，对于对称矩阵，它的特征值都是实数；对于正定矩阵，所有特征值都是正数。
另一方面，特征向量可以用来描述矩阵的变换效果。
当一个向量x是矩阵A的特征向量时，它进行矩阵A的线性变换后，只发生了伸缩而没有发生旋转。
特征向量的长度（模）因子为特征值的绝对值。
特征值和特征向量还与矩阵的对角化有关。
如果一个n×n矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么A可以被相似对角化，即存在一个可逆矩阵P和对角矩阵D，使得A=PDP^(-1)，其中D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
对角化简化了矩阵的计算，并且提供了矩阵变换的直观理解。
特征值和特征向量还可以应用于解决线性方程组和矩阵的幂运算问题。
对于一个方阵A，求解Ax=b的解可以通过特征值和特征向量来实现。
当一个矩阵A对角化后，方程Ax=b可以转化为Dy=P^(-1)b，其中y是一个新的未知向量。
然后再求解Dy=P^(-1)b，最后通过y=P^(-1)b求得原方程的解x。
此外，矩阵的幂运算A^k可以通过特征值和特征向量来简化。
由于A=PDP^(-1)，所以A^k=(PDP^(-1))^k=PD^kP^(-1)，其中D^k是D中的每个元素都进行幂运算后的对角矩阵。
特征值与特征向量的概念
(3).设 g( x) a0 xm a1xm1 L am
则 g() 是矩阵 g(A) 的特征值
(4).当A可逆时， 1是矩阵 A1的特征值
A 为A的伴随矩阵A*的特征值
定理
设 1, 2 ,L , m 是方阵A的特征值，
p1 , p2 ,L , pm
1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
思考题
设4阶方阵A满足条件: det3E A 0,
AAT 2E,det A 0,求A的一个特征值.
征向量.
二、特征值和特征向量的性质
1. 设n 阶方阵A的特征值为： 则
1, 2 ,L , nபைடு நூலகம்
(1) 1 2 n a11 a22 ann;
(2) 12 n A .
称为矩阵的迹
2. A 与其转置矩阵AT 有相同的特征值，事实上 有相同的特征多项式。
3. 若 是矩阵A的特征值, x 是A的属于的 特征向量，则
x2 x3
0
解得 基础解系：
0
p 1
0 1
,
所以k p1(k 0)是对应于1 2的全部特征值.
当 2 3 1 时 ,由
E A x 0
2 1 0 1 0 1
而
E
A
4 1
2 0
01
~
0 0
1 0
2 0
,
解得 基础解系：
1
p
2
2 1
,
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
2 1
例２ 解
求矩阵A
1 4
特征值与特征向量
第五章特征值与特征向量在本章中，我们将应用在第四章中建立的线性方程组的解的理论和求解方法，给出方阵的特征值和特征向量求法，研讨方阵化成对角矩阵的问题，并具体应用到实对称矩阵的对角化问题上。
5.1特征值与特征向量5.1.1特征值与特征向量的定义设A为n阶方阵，p是某个n维非零列向量。
一般来说，n维列向量Ap未必与p线性相关，也就是说向量Ap未必正好是向量p的倍数，如果对于给定的n阶方阵A，存在某个n维非零列向量p，使得Ap正好是p的倍数，即存在某个数λ使得Ap=λp，那么，我们对于具有这种特性的n维非零列向量p和对应的数λ特别感兴趣，因为它们在实际问题中有广泛的应用。
下面给出方阵的特征值和特征向量的定义定义5.1.1设A（a ij）为n阶实方阵。
如果存在某个数λ和某个n维非零列向量p满足Ap=λp，则称λ是A的一个特征值，称p是A的属于这个特征值λ的个特征向量。
例1.验算是否是的特征向量。
解:①②∴p是A的特征向量，且这时特征值λ=5为了给出具体求特征值和特征向量的方法，我们把Ap=λp（Ap=λE n p）改写成（λE n-A）=0。
再把λ看成待定参数，那么p就是齐次线性方程组（λE n-A）x=0的任意一个非零解。
显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：|λE n-A|=0。
定义5.1.2 带参数的λ的n阶方阵λE n －A称为A的特征方阵，它的行列式|λE n －A|称为A的特征多项式，称|λE n －A|＝0为A的特征方程。
根据行列的定义可知有A的特征多项式为（5.1）所以n阶方阵A的特征多项式一定是λ的n次多项式。
因此有（1）A的特征方程|λE－A|=0，即，它的n 个根λ1, λ2,…λn就是A的特征值（根）（2）对应于每一个特征值λi的齐次方程组（λi E－A）x=0,即的非0解向量就是方阵A关于特征值λi的特征向量。
例2.任意取定A的一个特征值λ0。
如果p1和p2都是A的属于特征值λ0的特征向量，则对任何k1p1+ k2p2≠0的实数k1和k2，p= k1p1+k2p2必是A的属于特征值λ0的特征向量。
特征值与特征向量
思考题 ：1 .
是否任一数 0 都是某个矩阵 A 的 特征值 ？
是 . 比如 , 0 A 0 . 0
当2 3 2时, 解方程组(A 2 I ) x 0 得基础解系 p2 (1, 4, 0) ,p3 (1, 0, 4)
T T
所以k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不全为零)是对应于
2 3 2的全部特征向量.
定理
设n阶方阵A (aij )nn的n个特征值为1 , 2 ,, n (重特征值按重数算), 则有 (1) 12 n A (2) 1 2 n a11 a22 ann trA, (注 : trA称为矩阵A的迹)
特征值与特征向量
定义 设A为n阶方阵,若存在数λ和非零的 n维列向量x, 使得 Ax=λx (1)
则称数λ为矩阵 A的特征值,称 x为矩阵A对应于特征 值λ的特征向量. 设x是对应于特征值λ的特征向量,由于 A(kx)=k(Ax)=k(λx)= λ(kx) k≠0 ,
所以, kx也是A的对应于特征值λ的特征向量.这说明特 征向量不是被特征值唯一决定的.但是,特征值是被特征 向量唯一决定的.因此一个特征向量只属于一个特征值.
1 , 2 , , t
则对于不全为零的任意常数k1 , k2 , , kt , x k11 k2 2 ktt 为A的对应于特征值0的全部特征向量.
例1
当1 1时, 解方程组(A I ) x 0 得基础解系 p1 (1, 0,1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矩阵的特征值和特征向量
定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程
(1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特
征向量．
（1）式也可写成，
(2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
, (3)
即
上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
==
=
显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．
设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明
（ⅰ）
（ⅱ）
若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：
的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是
（其中是不全为零的任意实数）．
例1 求的特征值和特征向量.
解的特征多项式为
=
所以的特征值为
当=2时，解齐次线性方程组得
解得令=1，则其基础解系为：=
因此，属于=2的全部特征向量为：.
当=4时，解齐次线性方程组得令=1，
则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为
[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征
向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.
例2 求矩阵
的特征值和特征向量.
解的特征多项式为
== ，
所以的特征值为==2（二重根），.
对于==2，解齐次线性方程组．由
，
得基础解系为：
因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.
对于，解齐次线性方程组．由
，
得基础解系为：
因此，属于的全部特征向量为：。