均数的抽样误差分布参数估计
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主要内容
❖ 均数的抽样误差
❖ t分布 ❖ 参数估计
回顾：正态分布(normal distribution)
❖ 概念： 频数分布以均数为中心，左右两侧基本对称， 靠近均数两侧频数较多，离均数愈远，频数愈少， 形成一个中间多，两侧逐渐减少的对称分布。
❖ 是一种连续型分布。又称高斯分布.
❖ 正态分布用N(µ, 2 )表示，其位置与均数有关， 形状与标准差有关。
3、用于假设检验。
抽样分布
❖ 假定2003年汕头市15岁女学生的身高服从均 数155.4cm、标准差5.3cm的正态分布。用计 算机做抽样模拟试验，从N(155.4, 5.32)的总 体中，每次抽出10个数字（样本含量为10）， 组成一个样本，求出样本均数 X 、样本标 准差 S。 再求得此100个样本均数的均数、 样本均数的标准差。
即： X i
Xi Xj
❖如何估计抽样误差？
❖ 标准误 standard error，SE
❖ 以样本均数为例：
X
n
SX
S n
❖ SE 越大，均数的抽样误差越大，样本均数与 总体均数间的差异越大。
❖ 当样本例数一定时，样本均数的标准误与原 始数据的标准差成正比；当标准差一定时， 标准误与样本含量 n 的平方根成反比。增加 样本含量可以减小抽样误差。
但是，条件发生了变化
❖ 我们通常用 S X
代替 X
u X X
X X
twenku.baidu.com
SX S/ n
❖ 然而，S X 随着样本量的变化而变化，所以，我
们称之为 t-分布，虽然它是正态分布，但只有 当样本量（自由度）无穷大的时候，它才是标
准正态分布，此时，u=t
t分布曲线
❖ t分布是一簇对称于0的单峰分布曲线。 ❖ 自由度越小（相当于标准差大），曲线的中
正态总体中抽样（样 本量10）
正态总体中抽样（样 本量30）
频数
频数
频数
2.08
2.34
2.61
2.87
3.14
3.40
3.66
450 400 350 300 250 200 150 100
50 0 2.08 2.34 2.61 2.87 3.14 3.40 3.66 3.93 4.19 4.46 4.72 4.98 5.25 均数
间越低，两边越高；随自由度增大， t分布 曲线逐渐逼近于标准正态分布曲线。 ❖ 当自由度无穷大时， t分布就是标准正态分 布曲线。 ❖ 每一条t分布曲线，都对应于相应的自由度。 ❖ t分布模拟试验
t分布曲线下的面积规律 ❖ 与标准正态曲线下的面积规律相似：
❖ 在某一个自由度下，两侧外部总面积为5%的界 限的t值称为t0.05/2(υ),把两侧外部总面积为1% 的界限的t值称为t0.01/2(υ)。
❖ （2）曲线关于直线x=μ左右对称。 ❖ （3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正
态的参数分别为:0, 1 ❖ （4）正态分布的面积分布有一定规律。
正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律
双侧概率
（-1，1），68.27%
（-1.96，1.96），95%
（-2.58，2.58），99%
单侧概率
变换. 所得到的新变量u的分布即为标准正态 分布。
❖ u的含义：变量到均数间的距离相当于标准差 的倍数。
u x
x
标准正态分布的概率密度函数：
(u)
1
(u2 )
e2
2
(2 )
u
❖ 正态分布的特征和分布规律：
❖ （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=μ 时，曲线位于最高点。 f(u=0)=0.3989
4.46
4.72
4.98
5.25
抽样时样本量大小 决定了样本均数分 布的形状，当样本 量足够大时，均数 分布趋向正态分布。
二、t 分布（t-distribution)
还记得吗？
u x
❖ u转换将正态分布转换为标准正态, N(0, 1)。
❖ 同理：将样本均数的分布也可以转换为标准正态 分布 。
请思考：
❖抽样？ ❖统计量？ ❖抽样分布？
一、均数的抽样误差和标准误
均数的抽样误差sampling error of mean
由于总体中存在个体变异，抽样研究中
所抽取的样本，只包含总体中一部分个体， 因而样本均数（或率）往往不等于总体均数 （或率），样本均数之间也互不相等，这种 由抽样引起的差异称为均数的抽样误差的体 现。
450 400 350 300 250 200 150 100 50
0
均数
500 450 400 350 300 250 200 150 100
50 0 2.08 2.34 2.61 2.87 3.14 3.40 3.66 3.93 4.19 4.46 4.72 4.98 5.25 均数
3.93
4.19
❖ 即：
N(,X 2)N(0,1)
u X X
v 实际工作中，总体标准差往往未知，常用S代替σ 计 算标准误，因此：为了和u分布区别，就变为：
t X X
SX S/ n
均数的分布也是这样
❖ 如果我们采用另一个正态变量:
X
u
X
u x
❖ 于是，均数的分布变成了标准正态分布:
N(,X 2)N(0,1)
❖ 医学现象许多呈正态分布，或近似正态分布：如 正常人的生理，生化指标变量，等
❖ 正态分布的密度函数：式中μ为均数；σ为标
准差；π为圆周率；е为自然对数的底，即
2.71828。以上均为常数，仅x为变量。
f(x)
1
(1)[(x )]2
e2
2
(1
)
x
❖ 标准正态分布: ❖ 为了应用方便，常将式进行变量变换，即：u
❖样本均数的标准差是什么？…….. •标准误
❖ 100个样本均数构成一个新的分布，也是正态分 布。
❖ 即使原分布为偏态分布，当样本含量足够大时，
新分布也近似正态分布）。新分布的集中趋势用
均数的均数来表示，离散趋势用标准误表示
N(
,
2 X
)。
❖ 各样本均数的均数等于总体均数。
正态总体中抽样（样 本量5）
❖ 与标准差的区别： ❖ 标准差：表示一般个体值的离散程度； ❖ 标准误：特别说明统计量的离散程度。
再思考一个问题：
v 其它的统计量有抽样误差吗？ v 它们的计算公式怎样？
X
n
SX
S n
标准误的应用
1、用来衡量抽样误差的大小: 标准误越小，样本均数与总体均数越接近， 样本均数的可信度越高；
2、结合标准正态分布与 t 分布曲线下的面积规 律，估计总体均数的置信区间。
❖ 均数的抽样误差
❖ t分布 ❖ 参数估计
回顾：正态分布(normal distribution)
❖ 概念： 频数分布以均数为中心，左右两侧基本对称， 靠近均数两侧频数较多，离均数愈远，频数愈少， 形成一个中间多，两侧逐渐减少的对称分布。
❖ 是一种连续型分布。又称高斯分布.
❖ 正态分布用N(µ, 2 )表示，其位置与均数有关， 形状与标准差有关。
3、用于假设检验。
抽样分布
❖ 假定2003年汕头市15岁女学生的身高服从均 数155.4cm、标准差5.3cm的正态分布。用计 算机做抽样模拟试验，从N(155.4, 5.32)的总 体中，每次抽出10个数字（样本含量为10）， 组成一个样本，求出样本均数 X 、样本标 准差 S。 再求得此100个样本均数的均数、 样本均数的标准差。
即： X i
Xi Xj
❖如何估计抽样误差？
❖ 标准误 standard error，SE
❖ 以样本均数为例：
X
n
SX
S n
❖ SE 越大，均数的抽样误差越大，样本均数与 总体均数间的差异越大。
❖ 当样本例数一定时，样本均数的标准误与原 始数据的标准差成正比；当标准差一定时， 标准误与样本含量 n 的平方根成反比。增加 样本含量可以减小抽样误差。
但是，条件发生了变化
❖ 我们通常用 S X
代替 X
u X X
X X
twenku.baidu.com
SX S/ n
❖ 然而，S X 随着样本量的变化而变化，所以，我
们称之为 t-分布，虽然它是正态分布，但只有 当样本量（自由度）无穷大的时候，它才是标
准正态分布，此时，u=t
t分布曲线
❖ t分布是一簇对称于0的单峰分布曲线。 ❖ 自由度越小（相当于标准差大），曲线的中
正态总体中抽样（样 本量10）
正态总体中抽样（样 本量30）
频数
频数
频数
2.08
2.34
2.61
2.87
3.14
3.40
3.66
450 400 350 300 250 200 150 100
50 0 2.08 2.34 2.61 2.87 3.14 3.40 3.66 3.93 4.19 4.46 4.72 4.98 5.25 均数
间越低，两边越高；随自由度增大， t分布 曲线逐渐逼近于标准正态分布曲线。 ❖ 当自由度无穷大时， t分布就是标准正态分 布曲线。 ❖ 每一条t分布曲线，都对应于相应的自由度。 ❖ t分布模拟试验
t分布曲线下的面积规律 ❖ 与标准正态曲线下的面积规律相似：
❖ 在某一个自由度下，两侧外部总面积为5%的界 限的t值称为t0.05/2(υ),把两侧外部总面积为1% 的界限的t值称为t0.01/2(υ)。
❖ （2）曲线关于直线x=μ左右对称。 ❖ （3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正
态的参数分别为:0, 1 ❖ （4）正态分布的面积分布有一定规律。
正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律
双侧概率
（-1，1），68.27%
（-1.96，1.96），95%
（-2.58，2.58），99%
单侧概率
变换. 所得到的新变量u的分布即为标准正态 分布。
❖ u的含义：变量到均数间的距离相当于标准差 的倍数。
u x
x
标准正态分布的概率密度函数：
(u)
1
(u2 )
e2
2
(2 )
u
❖ 正态分布的特征和分布规律：
❖ （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=μ 时，曲线位于最高点。 f(u=0)=0.3989
4.46
4.72
4.98
5.25
抽样时样本量大小 决定了样本均数分 布的形状，当样本 量足够大时，均数 分布趋向正态分布。
二、t 分布（t-distribution)
还记得吗？
u x
❖ u转换将正态分布转换为标准正态, N(0, 1)。
❖ 同理：将样本均数的分布也可以转换为标准正态 分布 。
请思考：
❖抽样？ ❖统计量？ ❖抽样分布？
一、均数的抽样误差和标准误
均数的抽样误差sampling error of mean
由于总体中存在个体变异，抽样研究中
所抽取的样本，只包含总体中一部分个体， 因而样本均数（或率）往往不等于总体均数 （或率），样本均数之间也互不相等，这种 由抽样引起的差异称为均数的抽样误差的体 现。
450 400 350 300 250 200 150 100 50
0
均数
500 450 400 350 300 250 200 150 100
50 0 2.08 2.34 2.61 2.87 3.14 3.40 3.66 3.93 4.19 4.46 4.72 4.98 5.25 均数
3.93
4.19
❖ 即：
N(,X 2)N(0,1)
u X X
v 实际工作中，总体标准差往往未知，常用S代替σ 计 算标准误，因此：为了和u分布区别，就变为：
t X X
SX S/ n
均数的分布也是这样
❖ 如果我们采用另一个正态变量:
X
u
X
u x
❖ 于是，均数的分布变成了标准正态分布:
N(,X 2)N(0,1)
❖ 医学现象许多呈正态分布，或近似正态分布：如 正常人的生理，生化指标变量，等
❖ 正态分布的密度函数：式中μ为均数；σ为标
准差；π为圆周率；е为自然对数的底，即
2.71828。以上均为常数，仅x为变量。
f(x)
1
(1)[(x )]2
e2
2
(1
)
x
❖ 标准正态分布: ❖ 为了应用方便，常将式进行变量变换，即：u
❖样本均数的标准差是什么？…….. •标准误
❖ 100个样本均数构成一个新的分布，也是正态分 布。
❖ 即使原分布为偏态分布，当样本含量足够大时，
新分布也近似正态分布）。新分布的集中趋势用
均数的均数来表示，离散趋势用标准误表示
N(
,
2 X
)。
❖ 各样本均数的均数等于总体均数。
正态总体中抽样（样 本量5）
❖ 与标准差的区别： ❖ 标准差：表示一般个体值的离散程度； ❖ 标准误：特别说明统计量的离散程度。
再思考一个问题：
v 其它的统计量有抽样误差吗？ v 它们的计算公式怎样？
X
n
SX
S n
标准误的应用
1、用来衡量抽样误差的大小: 标准误越小，样本均数与总体均数越接近， 样本均数的可信度越高；
2、结合标准正态分布与 t 分布曲线下的面积规 律，估计总体均数的置信区间。