第4节 不等式(组)的解法及不等式的应用
2023年中考数学总复习第二章第四节 一元一次不等式(组)及其应用
2023年中考数学总复习第二章第四节一元一次不等式（组）及其应用一、选择题1.［2020·遵化三模］下面列出的不等式中，正确的是（）A．“m 不是正数”表示为m＜0B．“m 不大于3”表示为m＜3C．“n 与4的差是负数”表示为n-4＜0D．“n 不等于6”表示为n＞62.［2020·株洲］下列哪个数是不等式2（x-1）+3＜0的一个解？（）A．-3B．C．D．23.［易错］［2020·石家庄一模］如果a＞b，c＜1，那么下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．a+c＞b C．ac＜bc D．a-c＞b-c4.［2020·保定模拟］不等式2x-1＜4（x+1）的解集表示在如图所示的数轴上，则阴影部分盖住的数是（）A．-1B．-2C．-1.5D．-2.5（第4题图）5.［2020·河北模拟］下列各数中，是不等式组的解的是（）A．-1B．2C．4D．86.［难点］［2020·天水］若关于x 的不等式3x+a ≤2只有2个正整数解，则a 的取值范围为（）A．-7＜a＜-4B．-7≤a≤-4C．-7≤a＜-4D．-7＜a≤-47.［2020·重庆］小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔 2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（）A．5B．4C．3D．2二、填空题8.［2020·毕节］不等式x-3＜6-2x 的解集是______．9.［2020·河南］已知关于x 的不等式组其中a，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为______．（第9题图）10.［2020·石家庄一模］不等式的最大整数解是______．11.［创新］［2020·保定清苑区一模］现规定一种新的运算：=ad-bc，≤18，则x 的取值范围_____．三、解答题12.［2020·石家庄长安区模拟］解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得______；（2）解不等式②，得______；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集为___________．（第12题图）13.［2020·苏州］如图，“开心”农场准备用50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a （m），宽为b（m）．（1）当a=20时，求b 的值；（2）受场地条件的限制，a 的取值范围为18≤a≤26，求b 的取值范围（第13题图）x＞a，x＞b,2x-3＞0，x-4＜0。
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
1．(2021·常德)．－5a＜－5b
ab C.c＞c
D．a＋c＞b＋c
( C)
2．(2021·湖州)不等式 3x－1>5 的解集是
A．x>2
B．x<2
4 C．x>3
4 D．x<3
( A)
2x＋1＞0， 3．(2021·永州)在一元一次不等式组x－5≤0 的解集中，整数解的个
数是
( C)
A．4
B．5
C．6
D．7
x＋3≥2，
4．(2021·济宁)不等式组x－2 1－x>－2的解集在数轴上表示正确的是 ( B)
4＋x x＋2
3
>
2
，
5．若关于 x 的不等式组x＋2 a＜0
的解集是 x＜2，则 a 的取值范围是
( D)
A．a≥2
B．a＜－2
C．a≥－2
D．a≤－2
6．(2021·青海)已知点 A(2m－5，6－2m)在第四象限，则 m 的取值范围 是 m＞m＞33. 7．(2021·苏州)若 2x＋y＝1，且 0＜y＜1，则 x 的取值范围为
－2x＋3≤1，①
11．(2021·无锡)解不等式组：x－1<x3＋1.② 解：解不等式①，得 x≥1， 解不等式②，得 x<3， ∴不等式组的解集为 1≤x＜3.
3(x－1)＞x①，
12．(2021·湘西州)解不等式组：1－2x≥x－2 3②，并在数轴上表示它的 解集．
解：解不等式①，得 x＞32， 解不等式②，得 x≤1， 在数轴上表示不等式的解集为：
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x＋4≥3，① 10．(2021·天津)解不等式组6x≤5x＋3.②请结合题意填空，完成本题 的解答． (1)解不等式①，得__xx≥≥－－1_1_； (2)解不等式②，得__xx≤≤33__； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
2021届高考数学一轮复习第二章不等式第4节绝对值不等式及其应用含解析
第4节 绝对值不等式及其应用考试要求 1。
理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：｜a ＋b ｜≤｜a |＋｜b ｜（a ，b ∈R )；|a －b ｜≤|a －c ｜＋|c －b |（a ，b ∈R ）；2。
会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax ＋b ｜≤c ；｜ax ＋b |≥c ；|x －c |＋｜x －b |≥a .知 识 梳 理1。
绝对值不等式的解法(1）含绝对值的不等式|x ｜<a 与｜x ｜>a 的解集不等式a >0 a ＝0 a <0 |x |<a（－a ，a ） ｜x ｜〉a （－∞,－a )∪（a ，＋∞) (－∞，0）∪（0，＋∞) R（2）|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b ｜≥c （c 〉0）型不等式的解法 ①｜ax ＋b ｜≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ;②｜ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .（3）|x －a |＋|x －b ｜≥c (c ＞0)和|x －a ｜＋|x －b ｜≤c (c ＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2。
含有绝对值的不等式的性质（1)如果a,b是实数，则|a＋b|≤｜a｜＋|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立；(2）|a｜－｜b｜≤|a±b｜≤｜a｜＋|b|；（3）如果a，b，c是实数，那么|a－c｜≤｜a－b｜＋|b－c|，当且仅当（a－b)(b－c）≥0时，等号成立。
［常用结论与易错提醒］1。
绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法,数形结合法，构造函数法。
2。
不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决。
3。
可以利用绝对值三角不等式定理｜a｜－｜b|≤｜a±b|≤|a|＋|b｜求函数最值，要注意其中等号成立的条件。
不等式(四)
第四节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识点1 基本不等式ab ≤a ＋b2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．因此基本不等式又称为均值不等式．知识点2 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．必会结论(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R )． (6)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．2．必清误区(1)使用基本不等式求最值．“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． (2)连续应用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 【学情自测】1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (2)函数b a ＋ab 的取值范围是[2，＋∞)．( )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.( )2．(教材改编)设a >0，b >0，且a ＋b ＝8，则ab 的最大值为( ) A ．8 B.12 C ．14D.163．若a >0，b >0且a ＋2b ＝2，则ab 的最大值为( ) A.12 B.2 C ．1D.44．(2016·重庆模拟)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________.【利用基本不等式求最值】1．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标是( )A ．(1,2) B.(1，－2) C ．(1,1)D.(0,2)2．(2016·威海模拟)已知x>0，则xx2＋4的最大值为________．3．(2016·武汉模拟)已知正实数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________．【基本不等式的综合应用】(1)(2016·济宁模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1) B.(－∞，22－1)C．(－1,22－1) D.(－22－1,22－1)(2)(2016·郑州模拟)已知各项为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n，使得a m·a n＝22a1，则1m＋4n的最小值为________．[变式训练]1．(2016·泰安模拟)已知a>0，b>0，若不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，则m的最大值为()A．9 B.12C．18 D.242．(2015·济南模拟)若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则1m＋1 n的最小值为________．【基本不等式的实际应用】(1)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．(2)(2016·盐城模拟)某水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．①求出f(n)的表达式；②求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？[变式训练]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图6-4-1所示)．图6-4-1(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？.【易错辨析】多次使用基本不等式忽视成立条件致误(2016·深圳模拟)已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x⎝⎛⎭⎪⎫y＋1y的最小值为________．课时强化练A组跨越本科线1．已知f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值为0 B.最小值为0C．最大值为－4 D.最小值为－42．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13 B.12C.34 D.233．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A．4 B.8C．16 D.324．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值是()A．0 B.1C．2 D.525．(2015·陕西高考)设f(x)＝ln x,0<a<b，若p＝f(ab)，q＝f⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r<p B.p＝r<qC ．q ＝r >p D.p ＝r >q 6．(2016·蚌埠模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b 的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8D.97．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 8．(2016·广州模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________．B 组 名校必刷题9．(2016·福州模拟)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B.4 C.92D.11210．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2 B.23－2 C ．2 3 D.211．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．高考突破练(九)命题热点一不等关系与一元二次不等式1．(2014·天津高考)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】当b＜0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＝0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＞0时，a＞b有|a|＞|b|，所以a＞b⇔a|a|＞b|b|.综上可知a＞b⇔a|a|＞b|b|，故选C.【答案】 C2．(2014·四川高考)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ad＞bc B.ad＜bcC.ac＞bd D.ac＜bd【解析】法一令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则ac＝－1，bd＝－1，排除选项C，D；又ad＝－32，bc＝－23，所以ad＜bc，所以选项A错误，选项B正确．故选B.法二 因为c ＜d ＜0， 所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c ＞0. 又a ＞b ＞0，所以a－d ＞b－c ，所以a d ＜bc .故选B.【答案】 B命题热点二 简单的线性规划问题3．(2015·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1 B.0 C ．1D.2【解析】 画出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，平移直线2x －y ＝0，当直线过A 点时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， ∴A (0,1)．∴当x ＝0，y ＝1时，z min ＝2×0－1＝－1，故选A. 【答案】 A4．(2015·安徽高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1 B.－2 C ．－5D.1【解析】 约束条件下的可行域如图所示，由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 过点A (1,1)时截距最大，此时z 最大为－1，故选A.【答案】 A5．(2015·山东高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y ＝－13x ，当直线y ＝－13x ＋z3过点A 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，代入可得z ＝1＋3×2＝7. 【答案】 76．(2015·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．【解析】 ∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，将直线y ＝－2x 向上平移，经过点B 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴z max ＝2×3＋2＝8.【答案】 87．(2014·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.【答案】 －28．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32命题热点三 基本不等式9．(2015·福建高考)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2 B.3 C ．4D.5【解析】 将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C.【答案】 C10．(2014·福建高考)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元 B.120元 C ．160元D.240元【解析】 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋【答案】 C11．(2014·重庆高考)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3B.7＋2 3 C ．6＋4 3D.7＋4 3【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a ≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3ab ＝4ba 时取等号．故选D.【答案】 D12．(2015·天津高考)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．【解析】 由于a >0，b >0，ab ＝8，所以b ＝8a .所以log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫16a ＝log 2a ·(4－log 2a )＝－(log 2a －2)2＋4，当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值4. 【答案】 413．(2014·上海高考)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．【解析】∵x2＋2y2≥2x2·2y2＝22xy＝22，当且仅当x＝2y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2 2.【答案】2 214．(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．【解析】(1)当l＝6.05时，F＝76 000vv2＋18v＋121＝76 000v＋121v＋18≤76 0002v·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时．(2)当l＝5时，F＝76 000vv2＋18v＋100＝76 000v＋100v＋18≤76 0002v·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．【答案】(1)1 900(2)100。
中考数学 第4节不等式(组)的解法及不等式的应用
第4节 不等式(组)的解法及不等式的应用基础过关1. 己知实数a 、b 满足a ＋1＞b ＋1，则下列选项可能错误的是( )A. a ＞bB. a ＋2＞b ＋2C. －a ＜－bD. 2a ＞3b2. 不等式－2x ＞12的解集是( )A. x ＜－14B. x ＜－1C. x ＞－14D. x ＞－13. 不等式4－2x ＞0的解集在数轴上表示为( )4. 如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是( )第4题图A. ⎩⎨⎧x ≥2x >－3B. ⎩⎨⎧x ≤2x <－3C. ⎩⎨⎧x ≥2x <－3D. ⎩⎨⎧x ≤2x >－35. 一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞x －112x ≤1的解是( ) A. x ＞－1 B. x ≤2 C. －1＜x ≤2 D. x ＞－1或x ≤26. 将不等式组⎩⎨⎧2x －6≤0x ＋4＞0的解集表示在数轴上，下面表示正确的是( )7. 不等式6－4x ≥3x －8的非负整数解有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧2x －1>3（x －2）x <m的解是x <5，则m 的取值范围是( )A. m ≥5B. m >5C. m ≤5D. m <59. 关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －a ≤02x ＋3a ＞0的解集中至少有5个整数解，则正数a 的最小值是( )A. 3B. 2C. 1D. 2310.不等式组⎩⎨⎧2x ＞6x －2＞0的解集是________． 11. 若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧x －a ＞01－x ＞x －1无解，则a 的取值范围是________． 12. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞－12x －13≥x －1的整数解是________． 13. 某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打________折．14. 运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否＜18”为一次程序操作，第14题图若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是________．15.若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x －y ＝2m ＋1x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＞0，则m 的取值范围是________．16. 解不等式：4x ＋5≤2(x ＋1)．17. 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5<－2x 3x ＋22≥1.18. 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）＞5x －7x ＋103＞2x .19. 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6≥5（x －2）x －52－4x －33＜1.20. 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12（x －1）≤11－x <2，并写出该不等式组的最大整数解．21.解不等式组⎩⎨⎧2x ≥－9－x ，5x －1>3（x ＋1），并把它的解集在数轴上表示出来．第21题图22.已知关于x 的不等式2m －mx 2＞12x －1. (1)当m ＝1时，求该不等式的解集；(2)m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．23. 为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．(1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；(2)已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a %，求a 的值至少是多少？24. 甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？25.某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？(2)该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？满分冲关1. 如果关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－3m ＝0有实数根，且关于x 的不等式组⎩⎨⎧2x ＋3＞9x －m ＜0无解，那么符合条件的所有整数m 的个数为( )．A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧5x －a ＜7－2－x ＜0只有2个非负整数解，且关于x 的分式方程a －6x －1＋a ＝2有整数解，则所有满足条件的整数a 的值的个数为( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 23. 从1，2，3，4，5，6这6个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋1＜a 3x ＋4≤4x无解，且使关于x 的分式方程2x －a x －2＝12的解为非负数，那么这6个数中所有满足条件的a 的值之积是( )A. 6B. 24C. 30D. 1204. 2018年俄罗斯世界杯亚洲区12强赛A 组第8轮比赛于2017年6月13日进行，中国国家队将客场挑战叙利亚队，“爱我中华”球迷协会准备到现场为中国队加油助威，并计划购买A 、B 两种球票共600张．(1)若A 种票的数量不少于B 种票的4倍，求至少购买多少张A 种票；(2)“爱我中华”球迷协会从销售处得知，由于团体购票有一定优惠，本场比赛的球票以统一价格(m ＋80)元出售给该协会，由于路途遥远，部分球迷放弃现场看球的计划，协会最后购买的票数在原计划的基础上减少(m ＋5)%，购票总共用去45600元，求m 的值(m ＞0)．5. 1月份，A 型汽油均价为5.7元/升，B 型汽油均价为6元/升，某汽车租赁公司购买这两种型号的汽油共支付40800元；2月份，这两种型号的汽油均价都上调了0.6元/升，该公司要购买与1月份A 型汽油和B 型汽油数量都相同的汽油就需多支付费用．(1)若多支付的费用不超过4200元，那么该公司1月或2月最多可购买A 型汽油多少升？(2)3月份，该公司A型汽油的购买量在(1)小题中2月份最多购买量的基础上减少了m%，但A型汽油的均价在2月份的基础上上调了m10元，因此3月份支付A种型号汽油的费用与(1)小题中2月份支付最多数量A型汽油的费用相同，求m 的值．6. 某文具店分别以每本5元和6元的价格一次性购进了A、B两种笔记本各若干本，共用去了1960元，A种笔记本按每本获利60%的价格销售，B种笔记本每本售价是A种笔记本每本售价的54倍，经过一段时间后，这两种笔记本都销售完毕，经统计，销售这两种笔记本共获利1240元．(1)该文具店此次购进的A、B两种笔记本各多少本？(2)调查市场需求后，该文具店又以上次相同的价格购进了相同数量的A、B两种笔记本．由于市场原因，该文具店调整了这两种笔记本的销售单价，A种笔记本每本售价下调了a%，B种笔记本售价上调了34a%，若要求销售完这些笔记本后的利润不低于1200元，求a的最大值．7. 手机下载一个APP、缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行…，最近的网红非“共享单车”莫属，共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，人们在享受科技进步，共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷，某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆．(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？(2)二月份的损坏率为20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a %，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为点燃了国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为14a %，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a 的值．答案基础过关1. D2. A3. D4. D5. C 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x>x －1 ①12x ≤1 ②，解不等式①得x >－1，解不等式②得x ≤2，所以不等式组的解集为－1<x ≤2.6. A 【解析】解不等式2x －6≤0，得x ≤3，解不等式x ＋4＞0，得x ＞－4，∴不等式组的解集为－4＜x ≤3，解集在数轴上表示为选项A .7. B 【解析】解不等式得x ≤2，则非负整数解有0，1，2，共3个．8. A 【解析】解不等式2x －1>3(x －2)，得x <5，根据不等式组的解集为x <5，利用同小取小可知m ≥5.9. B 【解析】∵不等式组的解集为－3a 2＜x ≤a ，该解集中至少有5个整数解，所以a 比－3a 2至少大5，即 a ≥－3a 2＋5，解得a ≥2，所以a 的最小值是2. 10. x ＞311. a ≥1 【解析】由x －a ＞0得x ＞a ，由1－x ＞x －1得x ＜1，∴要使不等式组无解，则a ≥1.12. 0，1，2 【解析】⎩⎨⎧2x ＋1＞－1 ①2x －13≥x －1②解不等式①得，x ＞－1，解不等式②得，x ≤2，∴不等式组的解集为－1＜x ≤2，∴不等式组的整数解为0，1，2.13. 8 【解析】设至多可以打x 折，由题意得，100(1＋50%)x －100≥100×20%，化简得，150x ≥120，x ≥80%.则至多可以打8折．14. x <8 【解析】根据程序，可得不等式3x －6＜18，解得x <8.15. m >－2 【解析】将两方程等号两边分别相加，得2x ＋2y ＝2m ＋4，∴x ＋y ＝m ＋2，∵x ＋y >0，∴m ＋2>0，∴m >－2.16. 解：去括号得4x ＋5≤2x ＋2，移项，合并同类项，得2x ≤－3，解得x ≤－32.17. 解：解不等式3x －5<－2x ，移项得3x ＋2x <5，合并同类项得5x <5，解得x <1，解不等式3x ＋22≥1，不等式两边同乘以2得3x ＋2≥2，合并同类项得3x ≥0，解得x ≥0，∴原不等式组的解集为0≤x ＜1.18. 解：解不等式2(x ＋1)＞5x －7，去括号得2x ＋2＞5x －7，移项、合并同类项得－3x ＞－9，解得x ＜3.解不等式x ＋103＞2x ，去分母得x ＋10＞6x .移项、合并同类项得10＞5x ，解得x ＜2.∴不等式组的解集为x ＜2.19. 解：令⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6≥5（x －2） ①x －52－4x －33<1 ②，由①得x≤8，由②得x>－3，∴不等式组的解集为－3<x≤8.20. 解：解不等式12(x－1)≤1.得x≤3，解不等式1－x＜2，得x＞－1，则不等式组的解集是－1＜x≤3，∴该不等式组的最大整数解为x＝3.21. 解：解不等式2x≥－9－x，得x≥－3，解不等式5x－1＞3(x＋1)，得x＞2，∴不等式组的解集为x＞2.其解集在数轴上表示如解图：第21题解图22. 解：(1)当m＝1时，原不等式可变形为2－x2＞x2－1，去分母得2－x＞x－2，移项、合并同类项得2x＜4，∴x＜2.(2)解不等式2m－mx2＞12x－1，移项、合并同类项2m－mx＞x－2，(m＋1)x＜2(m＋1)当m≠－1时，原不等式有解；当m＞－1时，原不等式的解集为x＜2；当m＜－1时，原不等式的解集为x＞2.23. 解：(1)设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x. 根据题意得，7500(1＋x)2＝10800，解得x＝0.2＝20%或x＝－2.2(舍去)．答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%. (2)2016年的人均借阅量为：10800÷1350＝8(本)．根据题意得，8（1＋a%）×1440－1080010800≥20%， 解得a ≥12.5.答：a 的值至少是12.5.24. 解：(1)设乙工程队每天修路x 千米，则甲工程队每天修路(x ＋0.5)千米，根据题意列方程15x ＝1.5×15x ＋0.5，解得x ＝1， 答：甲工程队每天修路1.5 千米，乙工程队每天修路1千米．(2)设甲工程队修m 天，余下的工程由乙工程队修，由两个工程队修路总费用不超过5.2万元，可列不等式为0．5m ＋15－1.5m 1×0.4≤5.2，化简得0.5m ＋6－0.6m ≤5.2，解得m ≥8， 答：甲工程队至少修8天，这样总费用不超过5.2万元．25. 解：(1)设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃的进价为每千克y 元， 则⎩⎨⎧200x ＋200y ＝8000y －x ＝20，解得⎩⎨⎧x ＝10y ＝30. ∴大樱桃进价为30元/千克，小樱桃进价为10元/千克，200×[(40－30)＋(16－10)]＝3200(元)，答：大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克30元和每千克10元，销售完后，该水果商共赚了3200元．(2)设大樱桃的售价为a 元/千克，由题意可得，(1－20%)×200×16＋200a －8000≥3200×90%，解得a ≥41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．满分冲关1. C 【解析】∵关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－3m ＝0有实数根，∴[－(2m－1)]2－4(m 2－3m )＝8m ＋1≥0，∴m ≥－18；解不等式组⎩⎨⎧2x ＋3＞9x －m ＜0得x ＜m 且x ＞3，又∵关于x 的不等式组无解，∴m ≤3.则m 的取值范围是－18≤m ≤3，满足条件的整数有0，1，2，3共4个．2. C 【解析】解不等式组⎩⎨⎧5x －a ＜7－2－x ＜0得－2＜x ＜a ＋75，∵该不等式组只有2个非负整数解，∴1＜a ＋75≤2，即－2＜a ≤3，解分式方程a －6x －1＋a ＝2，得x ＝4a －2，∵分式方程的解为整数，∴a 可取0，1，3，共3个数．3. C 【解析】解不等式组⎩⎨⎧x ＋1＜a 3x ＋4≤4x 得，4≤x ＜a －1，要使其无解，则a －1≤4，即a ≤5；解分式方程2x －a x －2＝12，得x ＝2a －23，∵x 为非负数，∴2a －2≥0，解得a ≥1，又∵x ≠2，解得a ≠4，综上1≤a ≤5且a ≠4，∴这6个数中，满足条件的a 值有1，2，3，5，它们之积为1×2×3×5＝30.4. 解：(1)设购买x 张A 种票，则购买B 种票(600－x )张，由题意得，x ≥4(600－x )，解得x ≥480，∴至少购买480张A 种票．(2)由题意得(m ＋80)×[1－(m ＋5)%]×600＝45600，解得m 1＝15，m 2＝0(舍去)，∴m 的值为15.答：m 的值为15.5. 解：(1)设1月份可购买A 型汽油x 升，则1月份购买B 型汽油的升数为：40800－5.7x 6＝(6800－0.95x )升， 由题意得，0.6x ＋0.6(6800－0.95x )≤4200，解得，x ≤4000，答：该公司1月或2月最多可购买A 型汽油4000升．(2)由题意可列方程，4000(1－m %)×(5.7＋0.6＋m 10)＝4000×(5.7＋0.6)，即4000(1－m %)×(6.3＋m 10)＝4000×6.3，解得m 1＝37，m 2＝0(舍去)，∴m 的值为37.答：m 的值为37.6. 解：(1)设购买A 种笔记本x 本，B 种笔记本y 本，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝1960，5×60%x ＋[5×（1＋60%）× 54－6]y ＝1240. 解得⎩⎨⎧x ＝200y ＝160. 答：购买A 种笔记本200本，B 种笔记本160本．(2)A 原售价为5(1＋60%)＝8(元)，B 原售价为8×54＝10(元)，由题意得，200×8(1－a %)＋160×10(1＋34a %)－1960≥1200.解得a ≤10.答：a 的最大值为10.7. 解：(1)设一月份该公司投入市场的自行车有x 辆，则7500－1200x≤1－10%， 解得x ≥7000，答：一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆．(2)由题意得[7500(1－20%)＋1200×(1＋4a %)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a%＝7752， 设a %＝x ，原方程可化为50x 2－125x ＋23＝0，解得x 1＝2.3(舍去)，x 2＝0.2，由a %＝0.2，得a ＝20.答：a 的值为20.。
2021年中考数学总复习第二章 方程(组)与不等式(组)第四节 一元一次不等式(组)及其应用
5. 不等式 3 x - x 4 可以表示( C ) 2
A. 3 x 与x的差大于4 2
B. 3 x 与x的差小于4 2
C. 3 x 与x的差最小值为4 2
D. 3 x 与x的差最大值为4 2
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第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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6. (2011河北22题8分)甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40 分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． (1)问乙单独整理多少分钟完工？
(1)求购进A，B两种型号的口罩机各多少台；
【分层分析】(1)设购进A种型号的口罩机x台，B种型号的口罩机y台，由表格和题干① 可得等式为__1_6_x_+_1_4_._8_y=__4_5_6__；由题干②可得等式为_x_+_y_=_3_0__，列方程组求解即可，
也可只设一个未知数，列一元一次方程求解；
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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(2)①嘉嘉在去分母和去括号时出错了，去分母时漏乘了没有分母的常数项－1，去 括号时没有变号． 正确的解法是： 去分母，得 2(x＋2)－3(x－1)≥－6， 去括号，得 2x＋4－3x＋3≥－6， 移项，得 2x－3x≥－6－4－3， 合并同类项，得 －x≥－13， 系数化为1，得 x≤13；
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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(4)若2x-6<3x的解集能使关于x的不等式 a 2 x x - 2 - a 成立，求常数a的取值范
围．
3
3
(4)∵不等式2x-6＜3x的解集为x＞-6，
不等式 a 2 x x - 2 - a 的解集为x≤6a+2，
人教版必修5第三章第4节5.3.4基本不等式及应用
解：(1)由 x>0，y>0，lgx＋lgy＝1， 可得 xy＝10. 2 5 2y＋5x 2 10xy 则 ＋ ＝ ≥ ＝2. 10 10 x y ∴zmin＝2. 当且仅当 2y＝5x，即 x＝2，y＝5 时等号成立． 12 12 (2)∵x>0，∴f(x)＝ ＋3x≥2 · 3x＝12， x x
基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一 正”是指各项均为正数； “二定”就是若积为定值则和有最小 值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号 成立的条件，这也是最容易出错的最值．
基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化， 使用基本 不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式， 往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)， 构造出基本不等式的形式再进行求解．
基本不等式及应用
马瑜崇
1．基本不等式
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 a＋b ab≤ 2
a＋b 其中 2 为 a，b 的算术平均数， ab为几何平均数，基 本不等式可叙述为： ．
2．常用的几个重要不等式 (1)a2＋b2≥ b a (2) ＋ ≥ a b (3)ab a2＋b2 (4) 2 (5) (a，b∈R) (a，b 同号且不为零)
【思路启迪】 (1)利用 a＋b＝1 将要证不等式中的 1 代换， 即可得证． (2)用好 abc＝1 的条件，注意本题应用充分性、必要性两 方面来证． 【解析】 (1)证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
1 1 a＋b a＋b b a ∴ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ a b a b a b ≥2＋2 ba 1 ·＝4(当且仅当 a＝b＝2时等号成立)． ab
1 1 ∴ ＋ ≥4.∴原不等式成立． a b
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
有 3 个整数解，则 a 的取值范围为
( A)
A．1<a≤2
B．1<a<2
C．1≤a<2
D．1≤a≤2
6 ． (2019 · 鄂 州 第 12 题 3 分 ) 若 关 于 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 组
x－3y＝4m＋3，
x＋5y＝5
的解满足 x＋y≤0，则 m
的取值范围是__mm≤≤－－22__.
③学校购买篮球和足球共 40 个．
(1)
若④购买篮球的个数不少于足球个数的23，则最少可购买篮球
116 6
个；
【分层分析】(1)设购买篮球 x 个，则由题干③可得购买足球((440 0－－x)
个，由题干④可列不等式为
2 xx≥≥3((4400－－xx))，解此不等式得
x) xx≥≥1166.
(2)若⑤购买篮球的费用不超过购买足球的费用，则最多可购买篮球115
(2)若此不等式组的解集为－4≤x<1，则 a 的值为－－22； 【分层分析】(2)由题意得1a.－25168＝0－－m4 m，即 a＝－－22;
重难点 2：一元一次不等式的应用
(一题多设问)某校为举行体育比赛活动，准备购买若干个足球和篮
球作为奖品，已知①篮球的单价为 100 元/个，②足球的单价为 60 元/个，
第四节 一元一次不等式 (组)及其应用
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.一元一次不等式(组)的解法及解集 表示，考查形式有：①求不等式(组)的解集；②求不等式(组)的解集并在 数轴上表示；③求不等式组的整数解；④确定不等式组中字母参数的取 值范围.2.一元一次不等式的应用，考查形式有：①利用不等式判断哪种 方案合算；②与方程(组)、函数结合确定方案问题，设题背景有购买问题、 销售费用问题，以解答题为主
基本不等式及其应用ppt课件
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
第四节 绝对值不等式及不等式的证明
分式中放大或缩小分子、分母,还可以把和式中各项或某项换成较大或较小的
数,从而达到证明目的.
迁移训练 设函数 f(x)=|x+ 1 |+|x-a|(a>0).
a (1)证明:f(x)≥2;
(1)证明:由 a>0,得 f(x)=|x+ 1 |+|x-a|≥|(x+ 1 )-(x-a)|=a+ 1 ≥2(当且仅当
高频考点突破
在训练中掌握方法
考点一 绝对值不等式的证明 【例 1】 已知 f(x)= 1 x2 ,当 a≠b 时,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
证明:|f(a)-f(b)|=| 1 a2 - 1 b2 |
( 1 a2 1 b2 )( 1 a2 1 b2 ) =
1 a2 1 b2
理解绝对值不等式在解决简单的最大(小)
值问题中的应用.
知识链条完善
一、绝对值三角不等式 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
网络构建
把散落的知识连起来
拓展空间
1.理解辨析 (1)不等式左边加绝对值号同样成立,即 ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. (2)a,b同号时右边取等号,a,b异号时左边取等号. 2.与绝对值不等式相关联的结论 (1)|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. (2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
1,
解得-1≤x<1 或 3<x≤5.
所以原不等式解集为{x|-1≤x<1 或 3<x≤5}.
(2)|2x-1|<2m-1(m∈R).
2025年高考数学一轮复习第4节 基本不等式
2
考点聚焦突破
KAODIANJUJIAOTUPO
索引
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1 配凑法
例 1 (1)已知 0＜x＜ 22，则 x
2 1－2x2的最大值为____4____.
解析 ∵0＜x＜ 22，∴1－2x2＞0，
x
1－2x2＝
2 2·
2x2
1－2x2≤
22·2x2＋21－2x2＝
索引
感悟提升
1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知 x＋y＝t(t 为常数)，求ax＋by的最值”的问题，
索引
角度 2 常数代换法 例 2 (1)(2023·邵阳联考)若 a>0，b>0，a＋b＝9，则3a6＋ba的最小值为____8____.
解析 由 a>0，b>0，a＋b＝9， 得3a6＋ab＝4（a＋ a b）＋ab＝4＋4ab＋ba≥4＋2
4ab·ab＝8(当且仅当4ab＝ba，即 a＝6，
b＝3 时等号成立)， 故3a6＋ab的最小值为 8.
用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
索引
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式 ab≤a＋2 b2与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.( × ) (2)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × ) (3)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值是 4.( × ) (4)“x＞0 且 y＞0”是“xy＋xy≥2”的充要条件.( × )
索引
4. 若 把 总 长 为 20 m 的 篱 笆 围 成 一 个 矩 形 场 地 ， 则 矩 形 场 地 的 最 大 面 积 是 ___2_5____m2. 解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)(m)，其中 0＜x＜10， 所以 y＝x(10－x)≤x＋（120－x）2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， 所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2.
人教版高中数学知识清单第四节基本不等式
第四节 基本不等式【知识清单】1、如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 2、基本不等式： 如果0,>b a ，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时，等号成立） （其中2ba +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，因此也称均值不等式） 注：两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。
3、利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则（1）若积xy 是定值,p 则当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (记：积定和最小)．（2）若和y x +是定值,p ，则当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (记：和定积最大)． 注①基本不等式主要是利用和积转化求最值。
②利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：01一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；【例】 )0(41>+=x xx y 的最小值是________ 解析：141241=⋅≥+=x x x x y （当且仅当x x 41=即21=x 时，等号成立） 【例】若正数b a ,满足111=+b a ，则11614-+-b a 的最小值________ 解析：111=+b a 变形为ab b a =+；161642)1)(1(64211614=+--=--≥-+-b a ab b a b a 02“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； 【例】已知45<x ，则函数54124-+-=x x y 的最小值为______ 解析：,2)]54([1)]54([≥--+--x x （当且仅当41=x 时，等号成立）1541242)54(1)54(≤-+-⇒-≤-+-x x x x03“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．这是只能利用对勾函数结合单调性或导数解决。
高考数学-第4节-基本不等式及其应用
错解二：z＝2＋x2xyy2－2xy＝(x2y＋xy)－2≥2 x2y·xy－2＝2( 2－1)，所以 z 的最小值是
2( 2－1)． 错解分析：错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式
一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．
正解：z＝(x＋1x)(y＋1y)＝xy＋x1y＋yx＋xy＝xy＋x1y＋x＋yx2y－2xy＝x2y＋xy－2，
(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意， 明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
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典例研习
考点演练
变式探究 31：经观测，某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间有函数关系 y＝v2＋39v2＋0v1600(v>0)．在该时段内，当汽车的平均速度 v 为 多少时流量 y 最大？最大车流量为多少？
常用的几个重要不等式：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a·b>0)．
(5)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0)．
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典例研习
1 (A)8 (B)4 (C)1 (D)4 思路点拨：先由已知写出 a 与 b 的关系式，然后用基本不等式求解． 解析： 3是 3a 与 3b 的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，∵a＞0，b＞0， ∴ ab≤a＋2 b＝12⇒ab≤14. ∴1a＋1b＝aa＋bb＝a1b≥11＝4.当且仅当 a＝b＝12时，等号成立．故选 B.
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第4节基本不等式课件
解析：D [选项 A 中，x>0 时，y≥2，x<0 时，y≤－2； 选项 B 中，cos x≠1，故最小值不等于 2； 选项 C 中， xx2＋2＋32＝x2＋x22＋＋21＝ x2＋2＋ x21＋2， 当 x＝0 时，ymin＝322，只有选项 D 符合题意．故选 D.]
4．(教材改编)设 x，y∈R*，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为 ________ .
2≥2 x－2×x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x＝3 时
取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝3，选 C.]
3．在下列函数中，最小值是 2 的函数是(
)
A．y＝x＋1x
B．y＝cos
x＋co1s
π x0<x<2
C．y＝
x2＋3 x2＋2
D．y＝ex＋e4x－2
ab<(a＋2 b)2，选项 A、B 正确.a2＋abb<22aabb＝ ab，选项 D 正确．故选
C.]
2．若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于
()
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3 解析：C
D．4
[当
x>2
时
，
x
－
2>0
，
f(x)
＝
(x
－
2)
＋
1 x－2
＋
综合应用基本不等式的重点题型与求解策略
题型
求解策略
判断或证明不等式或比较 对所给不等式(或式子)变形，然后利用基
大小
本不等式求解
求参数的值或范围
观察题目特点，利用基本不等式确定相关 成立条件，从而得参数的值或范围
高考数学第7章不等式推理与证明第四节基本不等式及其应用课件理
[方法归纳] 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求 得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义 及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号 取不到，可利用函数的单调性求解.
函数单调性求最值]函数 f(x)＝x＋1x在[2，＋∞)上的最小值为 ________.
解析 若 x＝1x，则 x＝1∉[2，＋∞)，函数 f(x)在[2，＋∞)上
单调递增，所以最小值为 f(2)＝2＋12＝52.
答案
5 2
[当在分母中使用基本不等式或式子前有负号时，注意不等号
方向的改变]
(2)若 x＞0，则 y＝x2＋xx＋4有最______值为________.
1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)
B.[－2，＋∞)
C.[－2，2]
D.[0，＋∞)
解析 (1)作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 由图可知，当目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0) 过点 A(1，1)时，z 取得最大值， ∴a＋b＝4， ∴ab≤a＋2 b2＝4.(当且仅当 a＝b＝2 时取等号)， 又∵a＞0，b＞0， ∴ab∈(0，4]，故选 B.
答案 大 －1
突破利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘 积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但 可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等 式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常 数法、换元法、整体代换法等.
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
4．(2021·荆门第 15 题 3 分)关于 x 的不等式组1＋32x≥x－1 恰有 2 个
整数解，则 a 的取值范围是 5≤5a≤＜a＜6. 6
2x≥x－1， ① 5．(2021·武汉第 17 题 8 分)解不等式组4x＋10>x＋1 ②请按下列步骤 完成解答． (1)解不等式①，得 x≥x≥－－11； (2)解不等式②，得 x＞x＞－－33；
3x－2≥1， (2021·通辽)若关于 x 的不等式组2x－a<5 有且只有 2 个整数 解，则 a 的取值范围是－1－<a1<a≤≤11..
【思路点拨】先求出不等式组的解集(用含字母 a 的代数式表示)，再根 据不等式组有且只有 2 个整数解，可推出 a 的取值范围．
解含参不等式(组)的 8 个“母题”： (1)若不等式 ax>a 的解集是 x>1，则 a>0； (2)若不等式 x>a 的解集是 x>2，则 a＝2；
第四节 一元一次不等式(组) 及其应用
命题点 1：一元一次不等式组的解法及解集表示(近 3 年考查 18 次)
x－1＜－3， 1．(2020·黄石第 6 题 3 分)不等式组2x＋9≥3 的解集是
(
C)
A．－3≤x＜3
B．x≥－2
C．－3≤x＜－2
D．x≤－3
x－4≤2(x－1)，
某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和 篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价 格也相同，已知篮球的单价比足球单价的 2 倍少 30 元，用 1 200 元购买 足球的数量是用 900 元购买篮球数量的 2 倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共 200 个，但要求足球 和篮球的总费用不超过 15 500 元，学校最多可以购买多少个篮球？
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
重难点 2：一元一次不等式的应用 在某次篮球联赛初赛阶段，每队共有 10 场比赛，每场比赛都要分出
胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分，积分超过 15 分才能获得参加 决赛资格． (1)已知甲队在初赛阶段的积分为 18 分，求甲队初赛阶段胜、负各多少 场； (2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少 场？
4．对于带有单位的应用题，设未知数和答时要带单位． 评分说明： (1)正确地设未知数并列出方程或方程组得 2 分； (2)方程或方程组解答正确得 1 分，解答的具体过程不是得分点，可以省 略；
(3)写出“答”得 1 分； (4)正确地设未知数并列出不等式得 2 分； (5)解不等式的过程不是得分点，可以省略，正确地写出不等式的解得 1 分； (6)正确地写出“答”得 1 分．
(1)【教你审题】设甲队初赛阶段胜 x 场，负 y 场．
原题信息
整理后的信息
在某次篮球联赛初赛阶段，每队共 x＋y＝10
有 10 场比赛
每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分， 2x＋y＝18
甲队在初赛阶段的积分为 18 分
解：设甲队初赛阶段胜 x 场，负 y 场，由题意得，
x＋y＝10， 2x＋y＝18，(2 分)
积分超过 15 分才能获得参加决赛 2a＋(10－a)>15
资格，乙队要获得参加决赛资格
解：设乙队初赛阶段胜 a 场，则负(10－a)场，由题意得， 2a＋(10－a)>15，(6 分) 解得 a>5.(7 分) 答：乙队在初赛阶段至少要胜 6 场．(8 分)
1．设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”等不能出现，即应给出 肯定的未知数的设法． 2．对于不等式的应用，应注意一些关键词语，从而建立不等式模型，例 如“不少于≥”“不超过≤”“至少≥”“最多≤”“不高于≤”等． 3．不等式的应用还需要验根，题目中用字母表示的量要符合实际意义， 如人数是正整数，时间不能为负数等．
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第4节 不等式(组)的解法及不等式的应用 (必考，1～2道，近3年每年考查1道，4～14分)玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)命题点1 一元一次不等式的解法及解集表示(10年4考，与分式化简求值结合考查1次)1. (2008重庆3题4分)不等式2x －4≥0的解集在数轴上表示正确的是( )2. (2013重庆A 卷14题4分)不等式2x －3≥x 的解集是________．3. (2011重庆18题6分)解不等式2x －3＜x ＋13，并把解集在数轴上表示出来．第3题图命题点2 一元一次不等式组的解法(10年11考，与概率结合考查4次) 4. (2010重庆3题4分)不等式组⎩⎨⎧x －1≤32x ＞6的解集为( )A . x ＞3B . x ≤4C . 3＜x ＜4D . 3＜x ≤45. (2009重庆18题6分)解不等式组：⎩⎨⎧x ＋3＞0 ①3（x －1）≤2x －1 ②.命题点3 一元一次不等式组的解的应用(10年8考，与解分式方程结合和与概率结合考查各4次)6. (2017重庆A 卷12题4分)若数a 使关于x 的分式方程2x －1＋a1－x＝4的解为正数，且使关于y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋23－y 2>12（y －a ）≤0的解集为y <－2，则符合条件的所有整数a 的和为( )A . 10B . 12C . 14D . 167. (2017重庆B 卷12题4分)若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －22≤－12x ＋2，7x ＋4>－a 有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程a y －2＋22－y ＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是( )A . 3B . 1C . 0D . －38. (2016重庆A 卷12题4分)从－3，－1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a .若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧13（2x ＋7）≥3x －a ＜0无解，且使关于x 的分式方程 xx －3－a －23－x ＝－1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是( )A . －3B . －2C . －23D . 129. (2016重庆B 卷12题4分)如果关于x 的分式方程ax ＋1－3＝1－x x ＋1 有负分数解，且关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（a －x ）≥－x －43x ＋42<x ＋1的解集为x <－2，那么符合条件的所有整数a 的积是( )A . －3B . 0C . 3D . 9 拓展训练1. 从－2，－1，0，2，5这五个数中，随机抽取一个数，记为m ，若数m 使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x>m ＋2－2x －1≥4m ＋1无解，且使关于x 的分式方程x x －2＋m －22－x ＝－1有非负整数解，那么这五个数中所有满足条件的m 的个数是( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4命题点4 一次不等式的实际应用(10年7考，近2年均与一元二次方程应用结合)类型一 不含百分率的实际应用10. (2017重庆A 卷23题节选4分)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模．今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？11. (2016重庆A 卷23题节选5分)近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？12. (2014重庆A卷23题节选5分)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．筹委会计划购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？13. (2013重庆A卷23题节选4分)随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)类型二 含百分率的实际应用14. (2014重庆B 卷23题10分)某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．(1)今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？(2)6月份是青椒产出旺季，为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a %.预计这种青椒在市区、园区的销售量将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%.要使得6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a 的最大值是多少？拓展训练2. 某文具店今年1月份购进一批笔记本，共2290本，每本进价为10元，该文具店决定从2月份开始进行销售，若每本售价为11元，则可全部售出；且每本售价每增长0.5元，销量就减少15本．(1)若该种笔记本在2月份的销售量不低于2200本，则2月份售价应不高于多少元？(2)由于生产商提高造纸工艺，该笔记本的进价提高了10%，文具店为了增加笔记本的销量，进行了销售调价整理，售价比2月份在(1)的条件下的最高售价减少了17m %，结果3月份的销量比2月份在(1)的条件下的最低销量增加了m %，3月份的销售利润达到6600元，求m 的值．答案1. C2. x ≥33. 解：去分母得，3(2x －3)<x ＋1，(1分) 去括号得，6x －9<x ＋1，(2分) 移项，合并同类项得：5x <10，(3分) 系数化为1得：x <2.∴原不等式的解集是x <2.(4分) 在数轴上表示如解图：第3题解图(6分)4. D5. 解：将①移项得：x ＞－3，(1分) 将②去括号得：3x －3≤2x －1，(2分) 移项、合并同类项得：x ≤2，(4分) ∴不等式组的解集为－3＜x ≤2.(6分)6. A 【解析】解方程2x －1＋a1－x ＝4得，x ＝6－a 4且x ≠1，又∵分式方程的解为正数，∴6－a4＞0，解得a ＜6，∵x ≠1，即a ≠2，∴a ＜6且a ≠2；解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋23－y 2＞1①2（y －a ）≤0 ②，解不等式①得，y ＜－2，解不等式②得，y ≤a ，∵不等式组的解集为y ＜－2，∴a ≥－2，∴－2≤a ＜6，且a ≠2，∴整数a 有－2，－1，0，1，3，4，5，∴－2－1＋0＋1＋3＋4＋5＝10.7. B 【解析】解不等式组得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3x>－a ＋47，∵原不等式组有且仅有四个整数解，∴－1≤－a ＋47<0，∴－4＜a ≤3；解分式方程得y ＝a ＋22，∵原分式方程有非负数解，∴y ＝a ＋22≥0，且y ＝a ＋22≠2，解得a ≥－2且a ≠2；综上所述，－2≤a ≤3，且a ≠2，∴所有的整数a 为：－2，－1，0，1，3，其和为：－2－1＋0＋1＋3＝1.8. B 【解析】解不等式组得，⎩⎨⎧x ≥1x<a ，∵原不等式组无解，∴a ≤1，则a 不能取这五个数中的3；解分式方程得x ＝5－a 2，又∵分式方程有整数解，则5－a2为整数，且5－a 2≠3，∴a 只能从－3，－1，12，1中取－3，1，∴满足条件的a 的值的和为－3＋1＝－2.9. D 【解析】解分式方程得，x ＝12a －2，∵方程有负分数解，a 为整数，∴12a －2<0，且12a －2为分数，a 为整数，∴a <4，且a 为奇数；解不等式组得，⎩⎨⎧x ≤2a ＋4x<－2，∵原不等式组的解集为x <－2，∴2a ＋4≥－2，∴a ≥－3，综上可知a ＝－3或－1或1或3，则其积为(－3)×(－1)×1×3＝9.拓展训练1 B 【解析】不等式组整理得：⎩⎨⎧x>m ＋2x ≤－2m －1，由不等式组无解，得到m ＋2≥－2m －1，解得m ≥－1，即m ＝－1，0，2，5，分式方程去分母得：x －m ＋2＝－x ＋2，即x ＝12m ，∵x 有非负整数解，∴12m ≥0且m 为偶数， ∴m ＝0，2，则所有满足条件的m 的个数是2.10. 解：设该果农今年收获樱桃x 千克，根据题意得 400－x ≤7x ，(3分) 解不等式得x ≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50 kg .(4分)11. 解：设今年年初猪肉的价格为每千克x 元，由题意得，(1＋60%)x ·2.5≥100，(2分) 解得x ≥25，(4分)答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元．(5分)12. 解：设用于购买书桌、书架等设施的资金为x 元，则用于购买书刊的资金为(30000－x )元，由题意得：30000－x ≥3x ，(3分) 解得x ≤7500.答：最多花7500元购买书桌、书架等设施．(5分)13. 解：设在完成这项工程中，甲队施工m 个月，则乙队施工m2 个月， 根据题意得：100m ＋(100＋50)·m2≤1500，(2分) 解得m ≤847， ∵m 为整数，∴m 的最大整数值为8.(3分)答：在完成这项工程中，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．(4分)14. 解：(1)设今年5月份该青椒在市区销售了x 千克，在园区销售了y 千克． 根据题意得：⎩⎨⎧x ＋y ＝30006x ＋4y ＝16000，解得：⎩⎨⎧x ＝2000y ＝1000.答：今年5月份该青椒在市区销售了2000千克，在园区销售了1000千克．(5分)(2)根据题意，列不等式得：6(1－a %)×2000×(1＋30%)＋4(1－a %)×1000×(1＋20%)≥18360， 15600(1－ a %)＋4800(1－ a %)≥18360， 20400(1－ a %)≥18360，解得a≤10，∴a的最大值是10.(10分)拓展训练2解：(1)设2月份售价应为x元，依题意得：2290－15（x－11）0.5≥2200，解得x≤14.答：2月份售价应不高于14元；(2)[14(1－17m%)－10(1＋10%)]×2200(1＋m%)＝6600，令m%＝t，化简得2t2－t＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝0.5，∴m＝50.答：m的值是50.。