带绝对值符号的运算
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值年夜全（零点分段法、化简、最值）之阿布丰王创作一、去绝对值符号的几种经常使用方法解含绝对值不等式的基本思路是去失落绝对值符号,使不等式酿成不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同.因此掌握去失落绝对值符号的方法和途径是解题关键. 1利用界说法去失落绝对值符号根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩,有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的性质去失落绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解,如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ,再由此求出原不等式的解集.对含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解,这是种典范的转化与化归的数学思想方法.3利用平方法去失落绝对值符号对两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值界说去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时,才可以直接用两边平方去失落绝对值,尤其是解含参数不等式时更必需注意这一点.4利用零点分段法去失落绝对值符号所谓零点分段法,是指：若数x,2x,……,n x分别使含有|x－1x|,|x－2x|,……,|x－n x|的代数式中相应绝对值为零,称1x,2x,……,n x为相应绝对值的零点,零点1x,2x,……,n x将数轴分1为m+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,获得代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项即是零,获得的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集.零点分段法是解含绝对值符号的不等式的经常使用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化.5利用数形结合去失落绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解.数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于-+->或||||-+-<(m为正常数)类型不等式.对x a x b mx a x b m||||ax b cx d m+++>(或<m),当|a|≠|c|时一般不用.||||二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常呈现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部份的正负,借以去失落绝对值符号的方法年夜致有三种类型.（一）、根据题设条件例1：设化简的结果是（）.（A）（B）（C）（D）思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：∴应选（B）．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去失落绝对值符号,这是解答这类问题的惯例思路．（二）、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值即是（）．（A）（B）（C）（D）思路分析由数轴上容易看出,这就为去失落绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选（C）．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清：1．零点的左边都是负数,右边都是正数．2．右边点暗示的数总年夜于左边点暗示的数．3．离原点远的点的绝对值较年夜,牢记这几个要点就能沉着自如地解决问题了．（三）、采纳零点分段讨论法例3：化简思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采纳零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不竭变动的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论．解：令得零点：；令得零点：,把数轴上的数分为三个部份（如图）①那时,∴原式②那时,,∴原式③那时,,∴原式∴归纳点评：虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采纳此法的一般步伐是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点（纷歧定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部份的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来,获得问题的谜底．误区点拨千万不要想固然地把等都当做正数或无根据地增加一些附加条件,以免得犯毛病的结果．三、带绝对值符号的运算在初中数学教学中,如何去失落绝对值符号？因为这一问题看似简单,所以往往容易被人们忽视.其实它既是初中数学教学的一个重点,也是初中数学教学的一个难点,还是学生容易搞错的问题.那么,如何去失落绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：（一）、要理解数a的绝对值的界说.在中学数学教科书中,数a的绝对值是这样界说的,“在数轴上,暗示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.”学习这个界说应让学生理解,数a的绝对值所暗示的是一段距离,那么,不论数a自己是正数还是负数,它的绝对值都应该是一个非负数.（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值.从数a的绝对值的界说可知,一个正数的绝对值肯定是它的自己,一个负数的绝对值肯定是它的相反数,零的绝对值就是零.在这里要让学生重点理解的是,当a是一个负数时,怎样去暗示a的相反数（可暗示为“-a”）,以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用,二是括号的作用）.（三）、掌握初中数学罕见去失落绝对值符号的几种题型.1、对形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质,判断出a 的3种情况,便能快速去失落绝对值符号.当a>0时,︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它自己)；当a=0 时,︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ；当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) .2、对形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体,再判断a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快速去失落绝对值符号进行化简.当a+b>0时,︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a+b=0 时,︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；当 a+b<0 时,︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数).3、对形如︱a-b︱的一类问题同样,仍然要把a-b看作一个整体,判断出a-b 的3种情况,根据绝对值的3个性质,去失落绝对值符号进行化简.但在去括号时最容易呈现毛病.如何快速去失落绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与b的年夜小即可（不论正负）.因为︱年夜-小︱=︱小-年夜︱=年夜-小,所以当a>b时,︱a-b︱=（a-b）= a-b,︱b-a︱=（a-b）= a-b .口诀：无论是年夜减小,还是小减年夜,去失落绝对值,都是年夜减小.4、对数轴型的一类问题,根据3的口诀来化简,更快捷有效.如︱a-b︱的一类问题,只要判断出a在b的右边（不论正负）,即可获得︱a-b︱=（a-b）=a-b,︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对绝对值符号前有正、负号的运算非常简单,去失落绝对值符号的同时,不要忘记打括号.前面是正号的无所谓,如果是负号,忘记打括号就惨了,差之毫厘失之千里也！6、对绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体,把它与0比力,年夜于0直接去绝对值号,小于0的整体前面加负号.四、去绝对值化简专题练习（1）设化简的结果是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值即是（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知,化简的结果是 x-8 .(4) 已知,化简的结果是 -x+8 .(5) 已知,化简的结果是 -3x .(6) 已知a、b、c、d满足且,那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成）(7) 若,则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示,那么下列四个式子,中负数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是实数,下列四个结论中正确的是（ D ）.（A）y没有最小值（B）有有限多个x使y取到最小值（C）只有一个x使y取得最小值（D）有无穷多个x使y取得最小值五、绝对值培优教案绝对值是初中代数中的一个基本概念,是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念,在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用,全面理解、掌握绝对值这一概念,应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看,a 暗示数a 的点到原点的距离(长度,非负) ；b a -暗示数a 、数b 的两点间的距离．3．绝对值基赋性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解（一）、绝对值的非负性问题【例1】若3150x y z +++++=,则x y z --=.总结：若干非负数之和为0,.（二）、绝对值中的整体思想【例2】已知4,5==b a ,且a b b a -=-,那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1,则m_______1; 若|m －1|>m －1,则m_______1;（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）【例3】阅读下列资料并解决有关问题：我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式21-++x x 时,可令01=+x 和02=-x ,分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）.在有理数范围内,零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）那时1-<x ,原式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）那时21<≤-x ,原式=()321=--+x x ；（3）那时2≥x ,原式=1221-=-++x x x .综上讨论,原式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读,请你解决以下问题：（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式42-++x x变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；23++-x x 的最小值是a ,23+--x x 的最年夜值为b ,求b a +的值. （四）、b a -暗示数轴上暗示数a 、数b 的两点间的距离．【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-,3与5,2-与6-,4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.（2）若数轴上的点A 暗示的数为x ,点B 暗示的数为―1,则A 与B两点间的距离可以暗示为 ______________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为,取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .（5） 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数,试求x 的取值范围． （五）、绝对值的最值问题 【例5】（1）当x 取何值时,3-x 有最小值？这个最小值是几多？（2）当x 取何值时,25+-x 有最年夜值？这个最年夜值是几多？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x ,设421--++++=x y y y x M ,求M 的最年夜值与最小值．课后练习：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数,求321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数,则a 与b 的年夜小关系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别暗示有理数a ,1,一l,那么1+a 暗示( )．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和23x x -++,可以看出,这个式子暗示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之和,它暗示两条线段相加：⑴那时x >,发现,这两条线段的和随x 的增年夜而越来越年夜；⑵那时x <,发现,这两条线段的和随x 的减小而越来越年夜；⑶那时x ≤≤,发现,无论x 在这个范围取何值,这两条线段的和是一个定值,且比⑴、⑵情况下的值都小.因此,总结,23x x -++有最小值,即即是到的距离5. 利用数轴分析71x x +--,这个式子暗示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它暗示两条线段相减：⑴那时x ≤,发现,无论x 取何值,这个差值是一个定值；⑵那时x ≥,发现,无论x 取何值,这个差值是一个定值；⑶那时x <<,随着x 增年夜,这个差值渐渐由负变正,在中点处是零. 因此,总结,式子71x x +--那时x ,有最年夜值；那时x ,有最小值；9．设0=++c b a ,0>abc ,则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3或-1D ．-3或110．若2-<x ,则=+-x 11；若a a -=,则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字,而且c b a ≤≤,则a c c b b a -+-+-可能取得的最年夜值是．4、当b 为______时,5-12-b 有最年夜值,最年夜值是_______当a 为_____时,1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时,3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时,1- | 2＋b|有最年夜值是_______.2、已知b 为正整数,且a 、b 满足| 2a －4|＋b ＝1,求a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数,求x 的取值范围.7、若|5||2|7x x ++-=,求x 的取值范围.。
绝对值的化简求值问题的几种类型及解法解析
数学篇解题指南绝对值在化简求值问题、解方程或不等式问题中都会涉及.解答含绝对值问题的关键就在于去掉绝对值符号.一般遵循的原则是：先判断绝对值符号中式子的正负，再根据法则去掉绝对值符号.单个绝对值的问题一般比较简单，但是有的题目会同时出现多个绝对值或多重绝对值，这样就使题目变得复杂了.下面介绍几类有关绝对值的化简求值问题，供大家参考.一、含单个绝对值问题一个题目中只含有一个绝对值是最基础的题目，此时只需考虑去绝对值符号的条件，即对于任意数|a |：（1）当a >0时，|a |=a ；（2）当a =0时|a |=0；（3）当a <0时；|a |=-a .同学们在解题时应根据题设条件或挖掘隐含条件，确定绝对值符号里代数式的正负.若题目对含绝对值代数式的字母没有限制条件，须运用分类讨论的方法来解答.例1若|x |=3，|y |=2，且|x -y |=y -x ，求x +y 的值.分析：此题中|x |=3，可知x =±3；|y |=2可知y =±2.由题中|x -y |=y -x 可知y ≥x .由此可以推断，当y =2时，x 可以为±3，此时x +y =-1或5；当y =-2时，x 只能为-3，此时x +y =-5.最后综合所有情况即可得解.解：∵|x |=3，∴x =±3；同理可得y =±2，∵|x -y |=y -x ，∴y ≥x ，①当y =2时，x =-3，x +y =-1.②当y =-2时，x =-3，则x +y =-5.综合①②得x +y 的值可能是-1、-5.评注：求解此题是利用|x -y |≥0挖掘了隐含条件y ≥x ，然后确定x 和y 的可能值，简化了分类讨论的种类.同学们在求解过程中一定要仔细观察，充分挖掘题目中的隐含条件.二、含多个绝对值问题有些含有绝对值的题目中往往不止一个含绝对值的代数式，可能是两个、三个甚至是更多个含绝对值的代数式，通过“+”“-”“×”“÷”等运算符号连接.此时，去绝对值符号就需要先找出每个绝对值的零点值，再把全体实数分段，然后在每一实数段中化去绝对值符号，最后分类讨论去绝对值的结果.例2化简：|3x +1|+|2x -1|.分析：此题含有两个绝对值，要想去绝对绝对值的化简求值问题的几种类型及解法解析盐城市新洋初级中学聂玉成19数学篇值符号就要将绝对值符号内的数或式与“0”比较，然后逐个去掉绝对值符号.令3x +1=0得x =-13，同理，令2x -1=0得x =12.所以，当x 取不同的值时，两个绝对值的正负是不同的，需要分类讨论来解答.x 的取值分布如图所示：---解：令3x +1=0，得x =-13，令2x -1=0，得x =12，所以，实数轴被-13和12分为如图所示的三个部分.当x <-13时，3x +1<0，且2x -1<0，则原式=-（3x +1）+[-（2x -1）]=-5x ；当-13≤x ≤12时，3x +1≥0，且2x -1≤0，则原式=（3x +1）+[-（2x -1）]=x +2；当x >12时，3x +1>0，且2x -1>0，则原式=（3x +1）+（2x -1）=5x ；综上所述，当x <-13，原式=-5x ；当-13≤x ≤12，原式=x +2；当x >12，原式=5x .评注：此题含有两个绝对值，即含有两个零点（x =-13和x =12），在去绝对值符号时需要借助“分类讨论思想”分情况解答.特别是第二种情况，去绝对值符号时两个代数式是一正一负，务必要注意符号问题.三、含多重绝对值问题有些较为复杂的问题中含有多重绝对值符号，即绝对值符号中还有绝对值符号，我们称这种形式为多重绝对值.在求解多重绝对来解答问题.例3已知x <-3，化简：|3+|2-|1+x |||.分析：这是一个含有多重绝对值符号的问题，在求解时需要根据“由内而外”的原则逐层去绝对值.首先根据x 的范围判断出1+x <0，所以最里层绝对值|1+x |=-（1+x ）.第二层|2-|1+x ||可以转化为|2-[-（1+x ）]|=|3+x |.因为x <-3，所以3+x <0，即|2-|1+x ||=-（3+x ）.最外层|3+|2-|1+x |||可转化为|3+[-（3+x ）]|=|-x |.这样根据x 的取值范围一步步利用绝对值的代数意义即可化简.解：①最内层：∵x <-3，∴1+x <-2<0，∴|1+x |=-（1+x ），②第二层：|2-|1+x ||=|2-[-（1+x ）]|=|2+（1+x ）|=|3+x |,∵x <-3，∴3+x <0，∴|3+x |=-（3+x ），∴|2-|1+x ||=-（3+x ），③最外层：|3+|2-|1+x |||=|3+[-（3+x ）]|=|-x |，∵x <-3，∴-x >3>0，∴|-x |=-x ，∴|3+|2-|1+x |||=-x ，综合①②③可得|3+|2-|1+x |||化简后为-x .评注：此题数值比较简单，但含有多重绝对值符号.在去绝对值符号时要由内而外逐层将3个层次的绝对值符号内部的数或式同“0”作比较，大于等于“0”的直接去绝对值；小于“0”的一定要添加“-”.绝对值是中学数学中的一个重要概念，常与其他知识结合起来考查.同学们只要牢牢掌握去绝对值的基本方法，结合“由内而解题指南。
算式的绝对值运算
算式的绝对值运算绝对值是一个数与0的差的非负值，用符号来表示为|a|。
在数学中，绝对值主要用于表示数值的大小而不考虑其正负。
在算式中，绝对值运算是一个常见的数学操作，可以帮助我们求得一个数的绝对值。
本文将讨论如何进行算式的绝对值运算以及其应用。
一、什么是绝对值运算？绝对值运算是指对给定的算式中的数进行绝对值操作。
当遇到绝对值运算符号| |时，我们需要计算这个符号内的数的绝对值。
例如，|5| 的绝对值是5，|-2| 的绝对值是2，|0| 的绝对值是0。
二、如何进行绝对值运算？进行绝对值运算时，我们需要遵循以下步骤：1. 检查绝对值运算符号 | | 内的数。
2. 如果这个数是正数或者0，那么它的绝对值就是这个数本身。
3. 如果这个数是负数，那么将其符号改为正号，得到的结果就是它的绝对值。
例如，计算|3|的绝对值，因为3是正数，所以|3|的绝对值仍为3。
计算|-4|的绝对值，因为-4是负数，所以| -4|的绝对值为4。
三、绝对值运算的应用场景1. 求解某个数与另一个数之间的距离。
当我们需要计算两个数之间的距离时，可以使用绝对值运算。
例如，如果需要求解-5与8之间的距离，可以表示为|-5-8|。
根据绝对值运算的原理，|-5-8|的结果为13，表示-5与8之间的距离为13。
2. 解决绝对值方程和不等式。
绝对值方程和不等式是数学中常见的问题。
通过绝对值运算，我们可以将这些问题转化为代数方程和不等式，从而更容易求解。
例如，解绝对值方程|2x-3|=5。
根据绝对值运算的定义，将|2x-3|=5分解为两个方程：2x-3=5和2x-3=-5。
解这两个方程可以得到x的值，从而得到绝对值方程的解集。
3. 处理差值问题。
在实际生活中，我们经常遇到处理差值的问题。
绝对值运算可以帮助我们计算出两个数之间的差的绝对值。
例如，计算2019年和2022年的差值可以表示为|2019-2022|，根据绝对值运算的原理，计算出的结果为3，表示2019年和2022年的差值为3年。
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）..
绝对值⼤全（零点分段法、化简、最值）..绝对值⼤全（零点分段法、化简、最值）⼀、去绝对值符号的⼏种常⽤⽅法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的⼀般不等式，⽽后，其解法与⼀般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的⽅法和途径是解题关键。
1利⽤定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-(0)c x c c c -<<>≤?；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>??≠=∈或2利⽤不等式的性质去掉绝对值符号利⽤不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利⽤结论―a ≤|x |≤b ?a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ‖来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想⽅法。
3利⽤平⽅法去掉绝对值符号对于两边都含有―单项‖绝对值的不等式，利⽤|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要⽐按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为⾮负数，需要进⾏分类讨论，只有不等式两边均为⾮负数(式)时，才可以直接⽤两边平⽅去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这⼀点。
4利⽤零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利⽤绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从⽽化为不含绝对值符号的⼀般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
知识点106 含绝对值符号的一元一次方程解答题
三、解答题1、（2008•乐山）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为1或﹣7；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式。
专题：阅读型。
分析：仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．解答：解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与﹣3的距离为4的点对应的x的值为1或﹣7．（3分）（2）∵3和﹣4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．（5分）当x在﹣4的左边时，如图，易知x≤﹣5．（7分）∴原不等式的解为x≥4或x≤﹣5（8分）（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．（9分）当x≥﹣1时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于7，当﹣4＜x＜﹣1，|x﹣3|﹣|x+4|=﹣2x﹣1随x的增大而减小，当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|=7，即|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．（11分）故a≥7．（12分）点评：本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．2、解方程：．考点：含绝对值符号的一元一次方程。
七年级绝对值的计算题
七年级绝对值的计算题一、绝对值的基本概念1. 定义绝对值的定义：一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
用符号表示：公式2. 性质非负性：公式，任何数的绝对值都是非负的。
二、绝对值的计算题类型及解析1. 简单的绝对值计算例1：计算公式解析：根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数。
因为公式，所以公式。
例2：计算公式解析：因为正数的绝对值是它本身，公式，所以公式。
例3：计算公式解析：根据定义，公式的绝对值是公式，即公式。
2. 含有运算符号的绝对值计算例1：计算公式解析：先分别计算绝对值，公式，公式，然后再进行加法运算，公式。
例2：计算公式解析：先求绝对值，公式，公式，然后做减法，公式。
例3：计算公式解析：先计算括号内的值，公式，然后求公式，因为公式，所以公式。
3. 含有字母的绝对值计算（简单情况）例1：已知公式，计算公式解析：将公式代入公式，因为公式，根据绝对值定义公式。
例2：若公式，化简公式解析：因为公式，根据正数的绝对值是它本身，所以公式。
例3：若公式，化简公式解析：因为公式，根据负数的绝对值是它的相反数，所以公式。
4. 较复杂的绝对值计算（多个绝对值组合或方程形式）例1：计算公式解析：先分别计算各个绝对值内的值，公式。
再求绝对值，公式，公式，公式。
最后进行计算：公式。
例2：解方程公式解析：根据绝对值的定义，当公式，即公式时，方程化为公式，解得公式。
当公式，即公式时，方程化为公式，即公式，解得公式。
所以方程的解为公式或公式。
初一绝对值符号
（A） (2)
实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式 ）。 （B） （C） （ D）
等于（ （A）
(3)
已知
，化简
的结果是
。
(4) (5) (6) 么 (7)
已知 已知
，化简 ，化简
的结果是 的结果是 且 （提示：可借助数轴完成）
。 。 ，那
已知 a、b、c、d 满足
若 （A）
，则有（ （B）
带绝对值符号的运算
1、对于形如︱ a︱的一类问题 只要根据绝对值的 3 个性质，判断出 a 的 3 种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当 a>0 时，︱a︱=a 当 a=0 时︱a︱=0 当 a<0 时；︱a︱= –a (性质 1：正数的绝对值是它本身) ； (性质 2：0 的绝对值是 0) ； (性质 3：负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱ a+b︱的一类问题 首先要把 a+b 看作是一个整体，再判断 a+b 的 3 种情况，根据绝对值的 3 个性质，便能快 速去掉绝对值符号进行化简。 当 a+b>0 时，︱a+b︱=(a+b) =a +b 当 a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质 1：正数的绝对值是它本身) ； (性质 2： 0 的绝对值是 0)； (性质 3：负数的绝对值是它的相反数)。
）。
（A）y 没有最小值 （B）有有限多个 x 使 y 取到最小值 （C）只有一个 x 使 y 取得最小值 （D）有无穷多个 x 使 y 取得最小值 （12）、若
x2 x2
绝对值代数式化简
绝对值代数式化简是数学中的一个重要概念，它涉及到对绝对值表达式进行简化的过程。
绝对值是一个数值的非负值，即一个数与零的距离。
在代数式中，绝对值通常用两个竖线表示，例如|x|表示x的绝对值。
要化简绝对值代数式，首先需要了解绝对值的性质和运算规则。
以下是一些常见的绝对值性质和运算规则：1. 绝对值的定义：对于任意实数a，有|a| = a - (-a)。
这意味着绝对值表示一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数。
2. 绝对值的非负性：对于任意实数a，有|a| ≥0。
这意味着绝对值总是非负的，即它不会小于零。
3. 绝对值的乘法性质：对于任意实数a和b，有|ab| = |a||b|。
这意味着两个数的乘积的绝对值等于这两个数的绝对值的乘积。
4. 绝对值的加法性质：对于任意实数a和b，有|a+b| ≤|a| + |b|。
这意味着两个数的和的绝对值不会大于这两个数的绝对值之和。
基于以上性质和运算规则，我们可以对绝对值代数式进行化简。
下面是一些常见的化简方法：1. 去绝对值符号：如果一个代数式中的绝对值符号可以去掉，那么可以直接去掉绝对值符号。
例如，对于代数式|x-y|，如果x-y ≥0，那么可以去掉绝对值符号得到x-y。
2. 利用绝对值的性质：根据绝对值的性质，我们可以将绝对值代数式转化为更简单的形式。
例如，对于代数式|x+y|，如果x+y ≥0，那么可以去掉绝对值符号得到x+y；如果x+y < 0，那么可以去掉绝对值符号得到-(x+y)。
3. 利用绝对值的乘法性质：根据绝对值的乘法性质，我们可以将绝对值代数式转化为更简单的形式。
例如，对于代数式|xy|，如果xy > 0，那么可以去掉绝对值符号得到xy；如果xy < 0，那么可以去掉绝对值符号得到-xy。
f(x)的x带绝对值翻折规律
f(x)的x带绝对值翻折规律引言在数学中，函数是研究变量之间关系的一种工具。
其中，f(x)是一个常见的函数表达式，表示自变量x经过一系列运算后得到的因变量。
而在f(x)中，如果x带有绝对值符号||，我们可以观察到一种特殊的规律，即x的取值范围对函数图像的对称性产生了影响。
本文将介绍f(x)的x带绝对值翻折规律，并讨论其在数学和实际问题中的应用。
绝对值函数简介绝对值函数（Ab so lu t eV al ue Fu nc ti on）是数学中常见的一种函数形式，常用符号为|x|。
它表示x距离原点的距离，即x的绝对值。
例如，当x为正数时，|x|=x；当x为负数时，|x|=-x。
f(x)的x带绝对值翻折规律考虑函数f(x)=|x|，我们希望研究当x带有绝对值符号时，函数图像的规律变化。
为此，我们可以将x带绝对值的情况拆分为两种情况进行讨论：x为正数和x为负数。
x为正数的情况当x为正数时，f(x)=|x|=x。
此时，函数图像与x轴相交于原点，并向右上方延伸。
具体来说，当x大于0时，f(x)的取值等于x，这意味着函数图像在x轴右侧与x轴的距离是x个单位。
x为负数的情况当x为负数时，f(x)=|x|=-x。
此时，函数图像与x轴相交于原点，并向左上方延伸。
具体来说，当x小于0时，f(x)的取值等于-x，这意味着函数图像在x轴左侧与x轴的距离是x个单位。
函数图像的对称性观察以上两种情况，我们可以发现函数图像在原点处具有对称性。
即，当正数x和负数-x对应相同的函数值。
这是因为绝对值函数的性质决定了其图像在x轴上是对称的。
f(x)的应用f(x)的x带绝对值翻折规律在数学和实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：函数图像分析研究f(x)=|x|的图像可以帮助我们理解函数的性质和行为。
通过观察函数图像的对称性，我们可以得出有关函数取值范围、局部最值和增减性等方面的结论。
函数方程的求解在一些代数方程的求解过程中，出现了带有绝对值符号的方程。
高中 含有绝对值符号和根号的计算题
高中含有绝对值符号和根号的计算题1.绝对值的计算:绝对值的定义是一个数与零之间的距离。
对于一个实数x，绝对值用符号| x |表示。
1.1.单个数的绝对值：对于一个实数x，若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x。
例如，|3|=3，|-5|=5。
1.2.绝对值的运算规则：1.2.1.绝对值的非负性：对于任意实数x，有|x|≥0。
1.2.2.绝对值的乘积：对于任意实数x和y，有|x·y|=|x|·|y|。
例如，若x=3，y=-2，则|x·y|=|-6|=6，|x|·|y|=3·2=6。
1.2.3.绝对值的除法：对于任意非零实数x和y，有|x/y|=|x|/|y|。
例如，若x=5，y=-2，则|x/y|=|-5/(-2)|=5/2，|x|/|y|=5/2。
2.根号的计算：根号在数学中代表着某个数的平方根。
根号的符号为√。
2.1.平方根：对于一个非负实数a，若x² = a，则x为a的平方根。
记作x = √a。
例如，2的平方根为√2。
2.2.根号的运算规则：2.2.1.根号的非负性：对于任意非负实数a，有√a ≥ 0。
2.2.2.平方根的乘积：对于任意非负实数a和b，有√(a·b) = √a·√b。
例如，√(2·3) = √6 = √2·√3。
2.2.3.平方根的除法：对于任意非负实数a和b，有√(a/b) = √a/√b。
其中b不能为零。
例如，√(6/2) = √3 = √6/√2。
综上所述，我们可以使用绝对值和根号进行各种计算。
例如，计算表达式|√3 - √2|：根据绝对值的定义，我们可以将其分为两种情况进行计算：1)若√3 - √2 ≥ 0，则|√3 - √2| = √3 - √2；2)若√3 - √2 < 0，则|√3 - √2| = - (√3 - √2) = √2 - √3。
绝对值符号的去掉法则
绝对值符号的去掉法则绝对值是数学中常见的符号之一，它用来表示一个实数的非负值。
在绝对值符号的内部，我们可以将其视为一个数与零之间的距离。
绝对值常常出现在各种数学问题中，并且在解题过程中经常需要使用到绝对值的性质和运算法则。
本文将介绍绝对值符号的去掉法则，即如何通过一系列变换去掉绝对值符号，从而简化计算和求解。
1. 绝对值的定义首先我们来回顾一下绝对值的定义。
给定一个实数x，它的绝对值记作| x | ，表示x到原点0的距离。
根据距离的定义，我们可以得知：•当x大于等于0时，| x | = x•当x小于0时，| x | = -x这个定义告诉我们，在求解含有绝对值符号的问题时，需要考虑两种情况：当x为非负数时和当x为负数时。
2. 去掉法则接下来我们将介绍几个常见的去掉法则，它们可以帮助我们简化含有绝对值符号的表达式。
2.1 绝对值的基本性质绝对值符号有一些基本的性质，这些性质可以帮助我们进行一些简单的变换。
•非负性：对于任意实数x，| x | 大于等于0，即| x | ≥ 0•非零性：当且仅当x等于0时，| x | 等于0，即| x | = 0 当且仅当 x = 0•正负性：对于任意实数x，有两种情况：当x大于等于0时，| x | = x；当x小于0时，| x | = -x2.2 绝对值与加减乘除的运算法则在处理含有绝对值符号的表达式时，我们需要根据具体情况选择合适的运算法则。
2.2.1 绝对值与加法、减法的运算法则如果我们需要计算两个数之间的差的绝对值，可以使用以下公式：a -b | = | b - a |这个公式告诉我们，在计算两个数之间的差的绝对值时，交换两个数的位置不会改变结果。
2.2.2 绝对值与乘法、除法的运算法则在处理含有绝对值符号并涉及乘除运算的表达式时，我们需要根据x的正负情况进行分类讨论。
•当x大于等于0时，| x * a | = | x | * a•当x小于0时，| x * a | = -| x | * a这个规则告诉我们，在计算绝对值与乘法运算的结果时，需要根据x的正负情况来确定结果的正负号。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值年夜全（零点分段法、化简、最值）之欧侯瑞魂创作一、去绝对值符号的几种经常使用方法解含绝对值不等式的基本思路是去失落绝对值符号, 使不等式酿成不含绝对值符号的一般不等式, 而后, 其解法与一般不等式的解法相同.因此掌握去失落绝对值符号的方法和途径是解题关键.1利用界说法去失落绝对值符号根据实数含绝对值的意义, 即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩, 有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的性质去失落绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解, 如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c , 再由此求出原不等式的解集.对含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解, 也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解, 这是种典范的转化与化归的数学思想方法.3利用平方法去失落绝对值符号对两边都含有“单项”绝对值的不等式, 利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解, 这样解题要比按绝对值界说去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷, 解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围, 如果没有明确不等式两边均为非负数, 需要进行分类讨论, 只有不等式两边均为非负数(式)时, 才可以直接用两边平方去失落绝对值, 尤其是解含参数不等式时更必需注意这一点.4利用零点分段法去失落绝对值符号所谓零点分段法, 是指：若数x, 2x, ……, n x分别使含有1|x－x|, |x－2x|, ……, |x－n x|的代数式中相应绝对值为零, 1称x, 2x, ……, n x为相应绝对值的零点, 零点1x, 2x, ……, n x 1将数轴分为m+1段, 利用绝对值的意义化去绝对值符号, 获得代数式在各段上的简化式, 从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解, 即令每项即是零, 获得的值作为讨论的分区点, 然后再分区间讨论绝对值不等式, 最后应求出解集的并集.零点分段法是解含绝对值符号的不等式的经常使用解法, 这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法, 它可以把求解条理化、思路直观化.5利用数形结合去失落绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合, 利用绝对值的几何意义画出数轴, 将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解.数形结合法较为形象、直观, 可以使复杂问题简单化, 此解法适用于-+-<(m为正常数)类型不等式.对x a x b m||||-+->或||||x a x b m+++>(或<m), 当|a|≠|c|时一般不用.||||ax b cx d m二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容, 在中考和各类竞赛中经常呈现, 含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一, 解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义, 将绝对值符号化去, 将问题转化为不含绝对值符号的问题, 确定绝对值符号内部份的正负, 借以去失落绝对值符号的方法年夜致有三种类型.（一）、根据题设条件例1：设化简的结果是（）.（A）（B）（C）（D）思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号, 第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：∴应选（B）．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零, 就能根据绝对值意义顺利去失落绝对值符号, 这是解答这类问题的惯例思路．（二）、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则代数式的值即是（）．（A）（B）（C）（D）思路分析由数轴上容易看出, 这就为去失落绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选（C）．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上, 借助数轴提供的信息让人去观察, 一定弄清：1．零点的左边都是负数, 右边都是正数．2．右边点暗示的数总年夜于左边点暗示的数．3．离原点远的点的绝对值较年夜, 牢记这几个要点就能沉着自如地解决问题了．（三）、采纳零点分段讨论法例3：化简思路分析本类型的题既没有条件限制, 又没有数轴信息, 要对各种情况分类讨论, 可采纳零点分段讨论法, 本例的难点在于的正负不能确定, 由于x是不竭变动的, 所以它们为正、为负、为零都有可能, 应当对各种情况—一讨论．解：令得零点：；令得零点：, 把数轴上的数分为三个部份（如图）①那时,∴原式②那时, ,∴原式③那时, ,∴原式∴归纳点评：虽然的正负不能确定, 但在某个具体的区段内都是确定的, 这正是零点分段讨论法的优点, 采纳此法的一般步伐是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零, 求出零点（纷歧定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点, 将数轴上的点划分为若干个区段, 使在各区段内每个绝对值符号内的部份的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来, 获得问题的谜底．误区点拨千万不要想固然地把等都当做正数或无根据地增加一些附加条件, 以免得犯毛病的结果．三、带绝对值符号的运算在初中数学教学中, 如何去失落绝对值符号？因为这一问题看似简单, 所以往往容易被人们忽视.其实它既是初中数学教学的一个重点, 也是初中数学教学的一个难点, 还是学生容易搞错的问题.那么, 如何去失落绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：（一）、要理解数a的绝对值的界说.在中学数学教科书中, 数a的绝对值是这样界说的, “在数轴上, 暗示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.”学习这个界说应让学生理解, 数a的绝对值所暗示的是一段距离, 那么, 不论数a自己是正数还是负数, 它的绝对值都应该是一个非负数.（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值.从数a的绝对值的界说可知, 一个正数的绝对值肯定是它的自己, 一个负数的绝对值肯定是它的相反数, 零的绝对值就是零.在这里要让学生重点理解的是, 当a是一个负数时, 怎样去暗示a的相反数（可暗示为“-a”）, 以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用, 二是括号的作用）.（三）、掌握初中数学罕见去失落绝对值符号的几种题型.1、对形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质, 判断出a的3种情况, 便能快速去失落绝对值符号.当a>0时, ︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a=0 时, ︱a︱=0(性质 2：0的绝对值是0) ；当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) .2、对形如︱a+b︱的一类问题首先要把a+b看作是一个整体, 再判断a+b的3种情况, 根据绝对值的3个性质, 便能快速去失落绝对值符号进行化简.当a+b>0时, ︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它自己)；当a+b=0 时, ︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；当 a+b<0 时, ︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数).3、对形如︱a-b︱的一类问题同样, 仍然要把a-b看作一个整体, 判断出a-b 的3种情况, 根据绝对值的3个性质, 去失落绝对值符号进行化简.但在去括号时最容易呈现毛病.如何快速去失落绝对值符号, 条件非常简单, 只要你能判断出a与b的年夜小即可（不论正负）.因为︱年夜-小︱=︱小-年夜︱=年夜-小, 所以当a>b时, ︱a-b︱=（a-b）= a-b, ︱b-a︱=（a-b）= a-b .口诀：无论是年夜减小, 还是小减年夜, 去失落绝对值, 都是年夜减小.4、对数轴型的一类问题,根据3的口诀来化简, 更快捷有效.如︱a-b︱的一类问题, 只要判断出a在b的右边（不论正负）, 即可获得︱a-b︱=（a-b）=a-b, ︱b-a︱=（a-b）=a-b .5、对绝对值符号前有正、负号的运算非常简单, 去失落绝对值符号的同时, 不要忘记打括号.前面是正号的无所谓, 如果是负号, 忘记打括号就惨了, 差之毫厘失之千里也！6、对绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗, 还是把绝对值号里的式子看成一个整体, 把它与0比力, 年夜于0直接去绝对值号, 小于0的整体前面加负号.四、去绝对值化简专题练习（1）设化简的结果是（ B ）.（A）（B）（C）（D）(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则代数式的值即是（ C ）.（A）（B）（C）（D）(3) 已知, 化简的结果是 x-8 .(4) 已知, 化简的结果是 -x+8 .(5) 已知, 化简的结果是 -3x .(6) 已知a、b、c、d满足且, 那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成）(7) 若, 则有（ A ）.（A）（B）（C）（D）(8) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示, 则式子化简结果为（ C ）．（A）（B）（C）（D）(9) 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示, 那么下列四个式子, 中负数的个数是（B ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(10) 化简 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)(11) 设x是实数, 下列四个结论中正确的是（ D ）.（A）y没有最小值（B）有有限多个x使y取到最小值（C）只有一个x使y取得最小值（D ）有无穷多个x 使y 取得最小值五、绝对值培优教案绝对值是初中代数中的一个基本概念, 是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念, 在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用, 全面理解、掌握绝对值这一概念, 应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看, a 暗示数a 的点到原点的距离(长度, 非负) ；b a -暗示数a 、数b 的两点间的距离．3．绝对值基赋性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解（一）、绝对值的非负性问题【例1】若3150x y z +++++=, 则x y z --=.总结：若干非负数之和为0, .（二）、绝对值中的整体思想【例2】已知4,5==b a , 且a b b a -=-, 那么b a +=． 变式1. 若|m －1|=m －1, 则m_______1; 若|m －1|>m －1, 则m_______1;（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）【例3】阅读下列资料并解决有关问题： 我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x , 现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式, 如化简代数式21-++x x 时, 可令01=+x 和02=-x , 分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）.在有理数范围内, 零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）那时1-<x , 原式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）那时21<≤-x , 原式=()321=--+x x ；（3）那时2≥x , 原式=1221-=-++x x x .综上讨论, 原式=()()()221112312≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读, 请你解决以下问题：（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式42-++x x变式1.化简 (1)12-x ； (2)31-+-x x ；23++-x x 的最小值是a , 23+--x x 的最年夜值为b , 求b a +的值. （四）、b a -暗示数轴上暗示数a 、数b 的两点间的距离．【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-, 3与5, 2-与6-, 4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.（2）若数轴上的点A 暗示的数为x , 点B 暗示的数为―1, 则A与B 两点间的距离可以暗示为 ______________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为, 取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .（5） 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数, 试求x 的取值范围． （五）、绝对值的最值问题 【例5】（1）当x 取何值时, 3-x 有最小值？这个最小值是几多？（2）当x 取何值时, 25+-x 有最年夜值？这个最年夜值是几多？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【例6】．已知1,1≤≤y x , 设421--++++=x y y y x M , 求M 的最年夜值与最小值．课后练习：1、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数, 求321a b +-的值.2．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数, 则a 与b 的年夜小关系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥3．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别暗示有理数a , 1, 一l, 那么1+a 暗示( )．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和23x x -++, 可以看出, 这个式子暗示的是x 到2的距离与x 到3-的距离之和, 它暗示两条线段相加：⑴那时x >, 发现, 这两条线段的和随x 的增年夜而越来越年夜；⑵那时x <, 发现, 这两条线段的和随x 的减小而越来越年夜；⑶那时x ≤≤, 发现, 无论x 在这个范围取何值, 这两条线段的和是一个定值, 且比⑴、⑵情况下的值都小.因此, 总结, 23x x -++有最小值, 即即是到的距离5. 利用数轴分析71x x +--, 这个式子暗示的是x 到7-的距离与x 到1的距离之差它暗示两条线段相减：⑴那时x ≤, 发现, 无论x 取何值, 这个差值是一个定值；⑵那时x ≥, 发现, 无论x 取何值, 这个差值是一个定值；⑶那时x <<, 随着x 增年夜, 这个差值渐渐由负变正, 在中点处是零.因此, 总结, 式子71x x +--那时x , 有最年夜值；那时x , 有最小值；9．设0=++c b a , 0>abc , 则c b a b a c a c b +++++的值是（）．A ．-3B ．1C ．3或-1D ．-3或110．若2-<x , 则=+-x 11；若a a -=, 则=---21a a ．12．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字, 而且c b a ≤≤, 则a c c b b a -+-+-可能取得的最年夜值是．4、当b 为______时, 5-12-b 有最年夜值, 最年夜值是_______当a 为_____时, 1＋|a +3 |有最小值是_________.5、当a 为_____时, 3＋|2a －1 |有最小值是________；当b 为______时, 1- | 2＋b|有最年夜值是_______.2、已知b 为正整数, 且a 、b 满足| 2a －4|＋b ＝1, 求a 、b 的值.7.化简：⑴13x x -++；⑵213x x +-+4、如果2x ＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数, 求x 的取值范围.7、若|5||2|7x x ++-=, 求x 的取值范围.。
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式是一种重要的数学概念，它涉及到求出
未知数的绝对值在运算中扮演着重要的作用。
绝对值是实数或复数的
一种计算方法，即不考虑数的符号，只考虑数的大小。
如果a表示一个实数，可表示为绝对值的形式：
| a | = a (实数)
如果z是一个复数，可以用复平面上的模量表示为绝对值的形式：| z | = √(x² + y² ) (复数)
绝对值的运算规则有以下三条：
1、绝对值的加法法则：
| a + b | = |a| + |b|
2、绝对值的乘法法则：
| a × b | = |a| × |b|
3、绝对值的减法法则：
| a - b |≤|a| + |b|
此外，绝对值还有三个基本性质：
1、不等式性质：对任意实数a，都有0 ≤ | a | 。
2、加法性质：对任意实数a，都有| a + b |≤|a| + |b| 。
3、乘法性质：对任意实数a，都有| a × b |=|a| × |b| 。
以上就是绝对值的运算规则及公式，它们不但在数学中有着广泛
的应用，而且在日常生活中也是重要的数学知识。
因此，了解绝对值
运算的基本规则和公式，对我们的数学学习和生活有着重要的意义。
如何进行含有绝对值的计算
如何进行含有绝对值的计算甘肃省广河二中马鸿平邮编：731301 电话：绝对值是中学数学的重要内容之一，学生对绝对值的理解和掌握既是教学的重点，也是教学的难点.但绝对值的应用范围却十分广泛，像有理数的加法、乘法以及几个负数的大小比较等问题,都离不开绝对值的知识.同时，绝对值结果的非负性对后继知识的学习意义重大.因此，我们应认真对待绝对值的学习.根据“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离”的直观意义，从而得出了：“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0” 的计算绝对值的法则.即当a ＞0时，|a|=a；当a＜0时，|a|=-a；当a=0时，|a|=0.这样，从数与形这两方面结合起来把握绝对值，我们的学习会更轻松.一、利用绝对值的意义确定去掉绝对值符号的结果根据“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”的意义，就可以确定去掉绝对值符号的结果了.例1：求下列各数的绝对值：－3，0，－10034，＋.解：|－3|＝－（－3）＝3；|0|＝0；|－10034|＝10034；|＋|＝.注：地球上最低的低地是太平洋的玛利亚那海沟，低于海平面10034米，记作：－10034；地球上的最高峰是珠穆朗玛峰，海拔为米，记作：＋.二、含有绝对值符号的运算含有绝对值符号的运算，根据绝对值的意义，脱掉绝对值的符号，这时可把绝对值号看作括号处理，其运算顺序仍然是“先乘方，后乘除，最后加减；若遇括号先算括号里面的”.例2：计算下列各题：⑴|－13|＋|－20|－|－6|；⑵|－25|÷|－5|×|－4|；⑶|－|－||÷.解：⑴原式＝13＋20－6＝20；⑵原式＝25÷5×4＝20或原式＝|－25÷（－5）×（－4）|＝|－20|＝20；⑶原式＝－×＝－＝.三、利用绝对值的意义进行两个负数的大小比较例3：比较下列各组数的大小：⑴－和－π；⑵－和－.解析：根据“两个负数，绝对值大的反而小”的法则进行比较.解：⑴∵|－|＝，|－π|＝π，＜π∴－＞－π.⑵∵ |－|＝＝，|－| ＝＝，＞∴－＜－.四、利用绝对值的意义求x的值根据“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离”的直观意义，可以求简单的绝对值方程的解，即x的值.例4：求下列各式中x的值：⑴|x|＝2;⑵|x－2|＝5,解：⑴∵⑵＝2，我们可以理解为“在数轴上，到原点的距离等于2的数是±2”，∴x＝2或x＝－2.⑵∵|x－2|＝5,我们可以理解为“在数轴上，到原点的距离等于5的数是±5”，∴x－2＝5或x－2＝－5得x＝7或x＝－3.例3：已知|x|=3，|y|=4，求x+y的值.解：∵|3|=3，|-3|=3.∴x=3或x=-3. 同理：y=4或y=-4.⑴当x=3，y=4时，x+y=3+4=7；⑵当x=3，y=-4时，x+y=3+（-4）=－1；⑶当x=-3，y=4时，x+y=-3+4=1；⑷当x=-3，y=-4时，x+y=-3+（-4）=－7.综上所述：x+y的值为1或－1或7或－7.点评：此例一方面考查互为相反数的两数的绝对值相等，另一方面也渗透分类讨论的数学思想，从而培养大家考虑问题的周密性.五、生活中的绝对值知识例5：正式排球比赛对所使用的排球重量是有严格规定的，分别检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下：＋15，－10，＋30，－20，－40.⑴指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）⑵如果对两个排球作上述检查，检查的结果分别为p和q，请利用学过的绝对值的知识指出这两个排球中哪一个质量好一些解析：根据生活知识：哪个排球的重量偏差规定重量越小，那个排球的质量就越好.这个偏差可以有绝对值表示，绝对值越小表示偏差越小，绝对值越大表示偏差越大.解：⑴因5个排球偏差规定重量的克数中，第二个排球的重量偏差规定重量的绝对值最小，所以第二个排球的质量好一些；⑵如果|p|＞|q|，则结果为q的质量好一些；如果|p|＜|q|，则结果为p的质量好一些；如果|p|＝|q|，则两个排球的质量一样好.点评：主要运用了分类讨论思想.。
正负数复习绝对值的整数运算
正负数复习绝对值的整数运算在学习数学的过程中，我们经常会遇到正负数的运算问题，而绝对值则是其中一个重要的概念。
绝对值表示一个数与零的距离，它忽略了数的正负符号，只关注该数的大小。
本文将回顾正负数的运算，并探讨如何运用绝对值进行整数运算。
一、正负数的运算1. 加法正负数的加法是我们最常见的运算。
当两个数的符号相同时，只需将它们的绝对值相加，并保留相同的符号。
例如，计算-3 + (-5)，绝对值分别为3和5，根据符号规则，它们的和为-8。
2. 减法减法也是正负数的运算之一。
对于两个数的减法，我们可以将减法转化为加法运算。
例如，计算-3 - (-5)，可以转化为-3 + 5，两者的绝对值分别为3和5，根据加法规则，它们的和为2。
3. 乘法正负数的乘法规则相对复杂一些。
当两个数的符号相同时，它们的乘积为正数，当两个数的符号不同时，它们的乘积为负数。
例如，计算-3 × (-5)，结果为15；计算-3 × 5，结果为-15。
我们可以发现，两个负数相乘会得到一个正数，一个负数与一个正数相乘则会得到一个负数。
4. 除法正负数的除法也有自己的规则。
当两个数的符号相同时，它们的商为正数，当两个数的符号不同时，它们的商为负数。
例如，计算-15 ÷(-3)，结果为5；计算-15 ÷ 3，结果为-5。
同样地，两个负数相除会得到一个正数，一个负数与一个正数相除则会得到一个负数。
二、绝对值的整数运算1. 绝对值的定义绝对值表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数、负数，绝对值都是非负数。
例如，|-3| = 3，|5| = 5。
2. 绝对值与加法绝对值在加法中有着重要的应用。
当两个数相加的结果的绝对值等于这两个数的绝对值之和。
例如，对于-3 + 5，结果为2，而|-3| + |5| 也等于2。
3. 绝对值与减法绝对值在减法中也有重要的作用。
当两个数相减的结果的绝对值等于这两个数的绝对值之差。
绝对值大全
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不 等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题 关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |= X (X°)，有|x |<C x(x °)xc 或 x c(c 0)|X |>c x 0(c0)x R(c 0)2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化| x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b |>c (c >0)可为ax b >c 或 ax b < — c ；|ax b |<c 可化为一c < ax + b < c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论 a <x i 韦 a <x <b或-b w x 匚a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有 单项”绝对值的不等式，利用|x |2 = x 2可在两边脱去绝对值符号来解，这 样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变 量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等 式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必 须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数人,X 2 ,……,X n 分别使含有|x — X 」|X — X 2I ，……,|x — X n |的代数式中相应绝对值为零，称为,X 2 , , X n 为相应绝对值的零点，零点 捲,% ,……,x n 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上 的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论 的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
带有绝对值符号的方程解法(1)
若a≤b，则|a|≤|b|。
绝对值函数图像
01
绝对值函数y=|x|的图像是一条折线，顶点在原点，两边分别 与x轴正半轴和y轴正半轴重合。
02
当x≥0时，y=x；当x<0时，y=-x。
03
绝对值函数图像关于y轴对称。
02
一元一次绝对值方程解法
方程类型及解法思路
类型一
01
$|ax+b|=c$，其中$aneq0$，$cgeq0$
实例分析与求解过程
• 实例二：解方程组$\left{ \begin{array}{l} |x + y - 3| + |x - y + 1| = 6 \ x + 2y = 4 \end{array} \right.$。
• 分析：这是一个多元绝对值方程组，可以将其化为四个分段函数进行求 解。
• 求解过程：根据绝对值的性质，将方程组化为四个分段函数组，然后分 别求解每个分段函数组。解得$\left{ \begin{array}{l} x = \frac{8}{3} \ y = \frac{2}{3} \end{array} \right.$或$\left{ \begin{array}{l} x = 0 \ y = 2 \end{array} \right.$或$\left{ \begin{array}{l} x = \frac{4}{3} \ y = \frac{8}{3} \end{array} \right.$。经检验，所有解均符合原方程组 。
高次绝对值方程类型及解法
类型一
形如$|x^n| = a$（$n geq 2$，$a > 0$）的高 次绝对值方程。
类型二
形如$|x^n - b| = c$（$n geq 2$，$b, c in R$ ）的高次绝对值方程。
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带绝对值符号的运算
在初中数学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。
其实它既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点，还是容易搞错的问题。
那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：
一、要理解数a的绝对值的定义。
在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样
定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。
”学习这个定义应让理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。
二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。
从数a的绝对值的定义可知，一个正
数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。
在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。
三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。
1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时，︱a︱=a (性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a=0 时︱a︱=0 (性质 2：0的绝对值是0) ；
当 a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身)；
当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；
当 a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。
3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。
因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。
口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题，
根据3的口诀来化简，更快捷有效。
如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。
5、对于绝对值符号前有正、负号的运算
非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。
前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！
去绝对值化简专题练习：
（1）设化简的结果是（）。
（A）（B）（C）（D）
(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）。
（A）（B）（C）（D）
(3) 已知，化简的结果是。
(4) 已知，化简的结果是。
(5) 已知，化简的结果是。
(6) 已知a、b、c、d满足且，那么
（提示：可借助数轴完成）
(7) 若
，则有（ ）。
（A ） （B ） （C ） （D ）
(8) 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子
化简结果为（ ）．
（A ） （B ） （C ） （D ）
(9) 有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，
中负数的个数是（ ）．
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
(10) 化简
(11) 设x 是实数， 下列四个结论中正确的是（
）。
（A ）y 没有最小值
（B ）有有限多个x 使y 取到最小值
（C ）只有一个x 使y 取得最小值
（D ）有无穷多个x 使y 取得最小值
（12）、当1x =-时，则22x x -++= ．
（13）、已知15x <≤，化简15x x -+- （14）、已知3x <-，化简321x +-+.
（15）、如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.
（16）、如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.
（17）．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a ﹣b|
（18）．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|．
（19）.若|3a+5|=|2a+10|，求a的值．
（20）.已知|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，求（m+n）2的值．
（21）．a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a﹣b|﹣|a+b|．
（22）．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|．
（23）．已知：有理数a、b在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|．
（24）．（1）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值？
（2）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值？
（3）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值？（25）．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| （26）．试求|x﹣1|+|x﹣3|+…+|x﹣2003|+|x﹣2005|的最小值．（27）．计算：．。