如何解含有多个绝对值符号的方程

5.如何解含有多个绝对值符号的方程

题目 解方程

|1|||3|1|2|2|2x x x x x +-+---=+ （*）

这是《你能解吗？——献给数学爱好者》一书p3的第14题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法.

设121()||(1,,)n i i n i f x a x b cx d n b b b ==

-++><<⋅⋅⋅<∑以下同，那么，当1x b ≤时， 1

1()()()n n

i i i i i f x a b d a c x ===+--∑∑，它的图象是一条射线；当n x b ≥时，1

()(n i i f x a ==∑ 1

)()n i i i c x a b d =+--∑，它的图象也是一条射线；当1n b x b <<时，()f x 的图象是折线. 所

以，我们只要根据()(1,2,,)i f b i n =⋅⋅⋅的值和()f x 在1x b ≤和n x b ≥时的情况就可以确定出()f x = 0的根.

若1()()0,i i f b f b +==则1i i b x b +≤≤都是()f x = 0的根；若1()0,()0i i f b f b +≠=或者1()0,()0i i f b f b +=≠，则在1i i b x b +≤≤中只有一个根；若1()()0i i f b f b +⋅>，则在 1i i b x b +≤≤中()f x = 0无根；若1()()0i i f b f b +⋅<，则在1i i b x b +≤≤中()f x = 0只有一个根，此根可由公式1111()()()

i i i i i i b b x b f b f b f b ++++-=--表之；对于1x b <和n x b >时根的情况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.”

例1 见题（*）

解 设()|1|||3|1|2|2|2f x x x x x x =+-+-----，则(1)2,(0)2,f f -=-=- (1)4,(2)0.f f =-=

可见当12x -≤<时, ()f x = 0无根.x = 2是()f x = 0的一个根. 当1x <-时, ()242f x x =-->-, 令240x --=, 2x =-. 当2x >时，()0f x ≡.

故原方程的解是2x =-和2x ≥的所有实数.

例2 方程|21||2||1|x x x -+-=+的实数解的个数是:

(A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多.

(上海市1984年初中数学竞赛题)

解 设1()|21||2||1||1|2|||2|2

f x x x x x x x =-+--+=-++-+-, 则1

(1)6,()0,(2)0.2

f f f -=== 那么不论1x <-和2x >时有没有根,我们至少知道122

x ≤≤都是()f x = 0的根, 答案应选择(D). 例3 解方程|1|2|2|3|3|4x x x ---++=. (《初等代数难点释疑》一书p4的例4). 解 设()|1|2|2|3|3|4f x x x x =---++-，则(1)0,(2)0,(3) 4.f f f ===- 当1x <时，()220f x x =-+>；当3x >时，()2104f x x =->-，令2100x -=， 得5x =.

故原方程的解是5x =和12x ≤≤的所有实数.

例4 解方程|2||3||28|9x x x -+-+-=.

（华东师大《数学教学》1984年第5期p9）

解 设()|2||3|2|4|9f x x x x =-+-+--，则(2)4,(3)6,(4) 6.f f f =-=-=- 可见在24x ≤≤中()f x = 0无根. 当2x <时，()44f x x =-，令440x -=，得x = 1；当4x >时，()422f x x =-，令4220x -=得112

x =. 故x = 1和112

x =

是原方程的根. 例5 求2()|||1||21|F x x x x =+---的定义域. （湖北大学《中学数学》1986年高考数学复习资料专辑p91）

解 先求方程|||1||21|0x x x +---=的根. 设1()|||1|2||2f x x x x =+---，则1(0)0,()1,(1)02

f f f ===. 当0x <时()0f x ≡；当1x >时()0f x ≡；当01x <<时()0f x >.

故知0x ≤和1x ≥都是()f x = 0的根. 从而可知2()|||1||21|

F x x x x =+---的定义域为开区间（0，1）. 例6 解方程|1||2||3|x x x x -+-+-=（北京师大《数学通报》1980年第10期p3 例7，《高中数学教学八十讲》一书p161的第4题）.

解 设()|1||2||3|f x x x x x =-+-+--，则(1)2,(2)0,(3)0.f f f ===

当1x <时，()642f x x =->，这时()0f x =无根. 当3x >时，()260f x x =->，()0f x =也无根.

故原方程的解是23x ≤≤的所有实数.

例7 解方程6|2|7|1|3|1|4|2|15x x x x +-+--+-=.

解 设()6|2|7|1|3|1|4|2|15f x x x x x =+-+--+--，则(2)15,f -=-(1)f - 3,(1)7,(2)15f f =-=-=-.

当2x <-时，()15f x ≡-；当2x >时，()15f x ≡-.

故原方程没有根.

例8 解方程|2||1|3||4|1|5|2|8|3|10x x x x x x ++++--+---+=.

解 设()|2||1|3||4|1|5|2|8|3|1f x x x x x x x =++++--+---+，则(2)f -= 24,(1)20,(0)14,(1)2,(2)2,(3)16f f f f f --=-=-=-==. 可见在12x <<中方程

()f x = 0有一根21222(2)x -=-⨯--即32

x =. 当2x <-时，()22024f x x =-<-，()f x =0无根；当3x >时， ()22216f x x =-<，令2220x -=得11x =.

故原方程的解为11x =和32

x =. 本文发表于湖南省数学学会主办的《湖南数学通讯》1986年第4期p36~37，发表时署名陕西省安康师范学校 王凯（笔名）.