如何解含有多个绝对值符号的方程
文章如何解决带有分数和绝对值的一元一次方程
文章如何解决带有分数和绝对值的一元一次方程解答：在数学学习中，一元一次方程中带有分数和绝对值的问题在中学阶段是比较常见的。
解决这类问题需要一定的思维和方法，本文将探讨如何解决带有分数和绝对值的一元一次方程。
一、分数的一元一次方程解法对于带有分数的一元一次方程，我们可以使用消元法、代入法或求通解的方法进行解决。
举例来说，我们考虑如下的一元一次方程：（1） 2x + 1/3 = 1 - 4x首先，我们可以通过消去分数来求解。
将等式两边乘以3以消去分母，得到：6x + 1 = 3 - 12x接下来，我们将x的项移到等式的一侧，常数项移到等式的另一侧，得到：6x + 12x = 3 - 1合并同类项，化简为：18x = 2最后，将方程两边除以18，得到：x = 2/18 = 1/9所以，方程的解为 x = 1/9。
二、绝对值的一元一次方程解法对于带有绝对值的一元一次方程，我们需要根据绝对值的定义分情况讨论。
分别考虑绝对值内外的正负情况，并求解方程。
举例来说，我们考虑如下的一元一次方程：（2） |2x - 3| = 5首先，我们需要将绝对值拆分为正负两种情况进行求解。
情况1：当2x - 3 ≥ 0 时，绝对值内部为正数，即：2x - 3 = 5求解上述方程可得：2x = 8x = 4情况2：当2x - 3 < 0 时，绝对值内部为负数，即：-(2x - 3) = 5根据负号的性质展开得到：-2x + 3 = 5求解上述方程可得：-2x = 2x = -1综上所述，方程的解为 x = 4 或 x = -1。
三、同时考虑分数和绝对值的一元一次方程解法当一元一次方程中同时存在分数和绝对值时，我们可以综合以上两种方法，进行求解。
举例来说，我们考虑如下的一元一次方程：（3）|3x + 2/5| + 1/3 = 2首先，我们需要将绝对值拆分为正负两种情况进行求解。
情况1：当3x + 2/5 ≥ 0 时，绝对值内部为正数，即：3x + 2/5 + 1/3 = 2求解上述方程可得：3x + 2/5 = 2 - 1/33x = 2 - 1/3 - 2/5得到通分后的方程：3x = 30/15 - 5/15 - 6/153x = 19/15x = 19/3/15/3 = 19/45情况2：当3x + 2/5 < 0 时，绝对值内部为负数，即：-(3x + 2/5) + 1/3 = 2根据负号的性质展开得到：-3x - 2/5 + 1/3 = 2求解上述方程可得：-3x = 2 - 1/3 + 2/5得到通分后的方程：-3x = 30/15 - 5/15 + 6/15-3x = 31/15x = 31/3/15/3 = 31/45综上所述，方程的解为 x = 19/45 或 x = 31/45。
文章如何解决带有绝对值的二次方程
文章如何解决带有绝对值的二次方程二次方程是数学中经常遇到的一个问题。
其中，带有绝对值的二次方程则更具挑战性。
本文将介绍如何解决带有绝对值的二次方程，并给出详细的步骤和解题方法。
首先，我们来回顾一下二次方程的一般形式：$$ax^2 + bx + c = 0$$其中，$a$、$b$、$c$为实数且$a \neq 0$。
接下来，我们考虑带有绝对值的二次方程。
一般来说，带有绝对值的二次方程可以表示为：$$|ax^2 + bx + c| = d$$我们将根据绝对值的不同情况来分别讨论。
1. 当$ax^2 + bx + c \geq 0$时，即$ax^2 + bx + c$的值为非负数。
此时，带有绝对值的二次方程可以简化为：$$ax^2 + bx + c = d$$解决这个方程的方法与求解一般二次方程相同。
我们可以使用求根公式或配方法来求解该方程。
2. 当$ax^2 + bx + c < 0$时，即$ax^2 + bx + c$的值为负数。
此时，带有绝对值的二次方程可以简化为：$$-(ax^2 + bx + c) = d$$我们首先将方程两边取负号，得到：$$ax^2 + bx + c = -d$$然后，我们将方程两边乘以-1，得到：$$-ax^2 - bx - c = d$$现在，我们得到了一个非负的二次方程。
我们可以按照第一种情况的方法来解决这个方程。
综上所述，带有绝对值的二次方程的解决方法可以分为两种情况。
我们可以根据方程的正负性来判断应该采取哪种方法。
如果方程为非负，则直接求解；如果方程为负，则将方程取负号后再求解。
需要注意的是，在解题的过程中，我们可能会得到一元二次方程的解或若干个解的集合。
我们应该仔细检查每个解的可行性，去除不满足原方程的解。
另外，我们还可以将带有绝对值的二次方程转化为分段函数，通过分析函数的图像来求解方程。
这种方法在一些情况下可能更加简便有效。
总结起来，解决带有绝对值的二次方程需要根据方程的正负性采取不同的方法。
高中数学解题技巧之绝对值方程
高中数学解题技巧之绝对值方程绝对值方程是高中数学中常见的一种题型，考察学生对绝对值的理解和运用能力。
在解绝对值方程时，我们需要注意一些特殊情况和常用的解题方法。
一、绝对值方程的定义和性质绝对值是一个数与0之间的距离，用符号表示为|a|，其中a为任意实数。
绝对值的定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
绝对值方程是一个含有绝对值符号的方程，通常形式为|f(x)|=g(x)，其中f(x)和g(x)都是关于x的函数。
解绝对值方程的关键是找出使得等式成立的x的值。
二、绝对值方程的解题方法1. 分类讨论法当绝对值方程中只有一个绝对值符号时，我们可以通过分类讨论的方法来解题。
例如，解方程|2x-1|=3，我们可以分两种情况进行讨论：情况一：2x-1≥0，即x≥1/2。
此时，方程可以简化为2x-1=3，解得x=2。
情况二：2x-1<0，即x<1/2。
此时，方程可以简化为-(2x-1)=3，解得x=-1。
所以，绝对值方程|2x-1|=3的解为x=2和x=-1。
2. 去绝对值法当绝对值方程中只有一个绝对值符号时，我们可以通过去绝对值的方法来解题。
例如，解方程|2x-1|=3，我们可以将方程改写为以下两个方程：2x-1=3，解得x=2；2x-1=-3，解得x=-1。
所以，绝对值方程|2x-1|=3的解为x=2和x=-1。
3. 平方法当绝对值方程中有两个绝对值符号时，我们可以通过平方的方法来解题。
例如，解方程|2x-1|+|x-3|=5，我们可以进行以下步骤：步骤一：设2x-1=a，x-3=b，将方程转化为|a|+|b|=5；步骤二：根据绝对值的性质，可以得到以下四种情况：情况一：a≥0，b≥0，此时方程化简为a+b=5；情况二：a≥0，b<0，此时方程化简为a-b=5；情况三：a<0，b≥0，此时方程化简为-b+a=5；情况四：a<0，b<0，此时方程化简为-b-a=5；步骤三：解以上四个方程，得到四组解分别为(a,b)=(2,3)，(6,-1)，(-2,7)，(-6,-1)；步骤四：将a和b的值代入原方程中，得到四组解分别为x=2，x=4，x=5，x=1；步骤五：综合以上解，得到绝对值方程|2x-1|+|x-3|=5的解为x=2，x=4，x=5，x=1。
解决含有绝对值的方程
解决含有绝对值的方程绝对值方程是一类常见的数学方程，它们的解集通常包括正数和负数。
在数学中，我们使用符号“|x|”来表示一个实数的绝对值。
绝对值方程的一般形式为|ax + b| = c，其中a、b、c为已知常数。
本文将介绍解决含有绝对值的方程的方法，并通过示例进行说明。
一、基本概念在解决含有绝对值的方程之前，我们需要了解一些基本概念。
1.1 正数和负数正数是大于零的实数，负数是小于零的实数。
例如，2是一个正数，-3是一个负数。
1.2 绝对值一个实数x的绝对值表示为|x|，它表示x到原点的距离，无论x是正数还是负数，它的绝对值都是正数。
例如，|2| = 2，|-3| = 3。
二、解决绝对值方程的方法2.1 消去绝对值要解决含有绝对值的方程，我们的第一步是消去绝对值符号。
“|x| = a”可以改写为“x = a”或“x = -a”，这取决于a的正负。
例如，若|2x| = 6，则可以改写为2x = 6或2x = -6。
2.2 画图法对于一些复杂的绝对值方程，我们可以使用画图法来找出解。
我们可以在数轴上标记出绝对值等于某个值的点，并观察图像与数轴的交点。
例如，对于方程|2x - 1| = 3，我们可以在数轴上标记出2x - 1 = 3和2x - 1 = -3两个方程的解，然后确定交点的坐标。
2.3 分情况讨论法如果绝对值方程不容易消去绝对值符号或无法使用画图法时，我们可以使用分情况讨论法来解决。
具体步骤如下：a) 若ax + b > 0，则方程变为ax + b = c，解为x = (c - b) / a。
b) 若ax + b < 0，则方程变为-(ax + b) = c，解为x = -(c + b) / a。
三、示例演示为了更好地理解解决绝对值方程的方法，我们来看几个具体的示例。
3.1 示例一方程：|2x - 3| = 5。
解：根据消去绝对值的方法，我们可以得到两个方程：2x - 3 = 5 和2x - 3 = -5。
如何解决绝对值方程
如何解决绝对值方程绝对值方程是一个常见的数学问题，需要找到使得方程中的绝对值表达式等于某个给定的值的未知数的取值。
解决绝对值方程的方法有很多，下面将介绍几种常见的解决方法。
一、用绝对值的定义解绝对值方程绝对值的定义是：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
在解决一个绝对值方程时，可根据绝对值的定义将绝对值表达式拆分成两个情况，分别对应x≥0和x<0两种情况。
然后解得两个方程，得到两组解。
例如，解方程|2x-3|=5时，可以将绝对值表达式拆分成2x-3=5和2x-3=-5两个方程，然后解得x=4和x=-1，得到解集{x=4, x=-1}。
二、利用绝对值的性质解绝对值方程1. 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。
即若两个绝对值相等，则去掉绝对值符号后的表达式相等。
利用这个性质，可以简化解绝对值方程的步骤。
例如，解方程|2x+1|=3，由性质可知2x+1=3或2x+1=-3，然后解得x=1和x=-2，得到解集{x=1, x=-2}。
2. 若|a|>c，则a>c或a<-c。
即若一个绝对值大于一个正数，则去掉绝对值符号后的表达式大于这个正数。
利用这个性质，可以将不等式转化成一组简单的不等式。
例如，解不等式|2x-1|>4，由性质可知2x-1>4或2x-1<-4，然后解得x>2.5或x<-1.5，得到解集{x:x>2.5或x<-1.5}。
三、用图像法解绝对值方程可以通过绘制绝对值函数的图像，来解决绝对值方程。
绘制出函数的图像后，再找到与给定值相等的函数值对应的x值即可得到解。
例如，解方程|2x-3|=5，可绘制出y=|2x-3|和y=5两个函数的图像，然后找到它们的交点对应的x值，即可得到解。
总结：解决绝对值方程的方法有多种，包括用绝对值的定义解方程、利用绝对值的性质解方程以及利用图像法解方程等。
不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法来解决。
含绝对值的多元一次方程组解法
含绝对值的多元一次方程组解法引言多元一次方程组是由多个一次方程组成的方程组，其解是一系列满足所有方程的变量值。
在解多元一次方程组时，有时候会遇到含有绝对值的方程组，这些方程组会增加解决的难度。
本文将介绍含绝对值的多元一次方程组的解法。
解法对于含绝对值的多元一次方程组，可以采用以下步骤进行求解：1. 将含绝对值的方程拆分为两种情况：当绝对值内部的表达式大于等于零的情况和小于零的情况。
2. 对于绝对值内部大于等于零的情况，直接去掉绝对值符号，得到一个普通的方程。
对于绝对值内部小于零的情况，需要将绝对值内部的表达式乘以-1，变为大于等于零的情况。
3. 对于每种情况，解相应的方程得到一组解。
4. 综合所有的解，即可得到含绝对值的多元一次方程组的解。
示例假设有以下含绝对值的多元一次方程组：x + |y - 2| = 1|2x - y| + z = 3我们可以按照上述的步骤，进行求解。
情况1：绝对值内部大于等于零将第一个方程去掉绝对值符号，得到方程：x + y - 2 = 1解这个方程，我们得到一组解：{x = 0, y = 3}。
将第二个方程去掉绝对值符号，得到方程：2x - y + z = 3解这个方程，我们得到一组解：{x = 1, y = -2, z = 4}。
情况2：绝对值内部小于零将第一个方程的绝对值内部的表达式乘以-1，得到方程：x - y + 2 = 1解这个方程，我们得到一组解：{x = -1, y = -1}。
将第二个方程的绝对值内部的表达式乘以-1，得到方程：-2x + y + z = 3解这个方程，我们得到一组解：{x = 0, y = -3, z = 7}。
综合所有的解，我们得到含绝对值的多元一次方程组的解为：{ {x = 0, y = 3}, {x = 1, y = -2, z = 4}, {x = -1, y = -1}, {x = 0, y = -3, z = 7} }结论通过拆分含绝对值的多元一次方程组为不同情况，并解相应的方程，可以得到方程组的解。
利用零点分段法解含多绝对值不等式讲解学习
利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法——零点分段讨论法．一、步骤通常分三步：⑴找到使多个绝对值等于零的点．⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．⑶将分段求得解集，再求它们的并集．二、例题选讲例1求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式．解：∵|x＋2|＝2 (2)2 (2)x xx x+≥-⎧⎨--<-⎩，|x－1|＝1 (1)1 (1)x xx x-≥⎧⎨-<⎩．故可把全体实数x分为三个部分：①x＜－2，②－2≤x＜1，③x≥1．所以原不等式等价于下面三个不等式组：(Ⅰ)2213xx x<-⎧⎨--+->⎩，或(Ⅱ)1213xx x>⎧⎨++->⎩，或(Ⅲ)21213xx x-≤<⎧⎨++->⎩．不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x＜－2}，不等式组(Ⅱ)的解集是∅，不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x＞1}．综上可知原不等式的解集是{x|x＜－2或x＞1}．例2解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．解：由于实数1，2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，＋∞)三部分，故分三个区间来讨论．⑴当x≤1时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜0．故不等式的解集是{x|x＜0}．⑵当1＜x≤2时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜－2．故不等式的解集是∅．⑶ 当x ＞2时，原不等式可化为(x －1)＋(x －2)＞x ＋3，即x ＞6．故不等式的解集是{x |x ＞6}．综上可知，原不等式的解集是{x |x ＜0或x ＞6}．例3 已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，求a 的取值范围． 解：∵ x ＝5时，|x －5|＝0；x ＝3时，|x －3|＝0．⑴当x ≤3时，原不等式可化为－x ＋5－x ＋3＜a ，即a ＞8－2x ，由x ≤3，所以－2x ≥－6，故a ＞2．⑵当3＜x ≤5时，原不等式可化为－x ＋5＋x －3＜a ，即a ＞2．⑶当x ＞5时，原不等式可化为x －5＋x －3＜a ，即a ＞2x －8＞10－8＝2，故a ＞2． 综上知a ＞2．无理不等式与绝对值不等式●考试目标 主词填空1.含有绝对值的不等式①|f (x )|<a (a >0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是－a <f (x )<a .②|f (x )|>a (a >0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f (x )>a 或f (x )<－a .③|f (x )|>|g (x )|⇔ f 2(x )>g 2(x ).2.无理不等式对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类: ①[]⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔>0)(0)()()(0)()()(2x f x g x g x f x g x g x f 或 ②[]⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f .3.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号.4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.5.三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |,此不等式可推广如下：|a 1+a 2+a 3+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |当且仅当a 1,a 2,a 3,…a n 符号相同时取等号.●题型示例 点津归纳【例1】 解无理不等式. (1)1-x >2; (2)1-x >2x －4; (3) 1+x <2x +1.【解前点津】 (1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:⎩⎨⎧>-≥-4101x x . (2)因右边2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.【规范解答】 (1)化原不等式为:5514101>⇒⎩⎨⎧>≥⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x . (2)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-04201)42()1(042012x x x x x x 或817171218171722101717422+≤≤⇒<≤+<≤⇒⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧<+-≥⇒x x x x x x x x 或或. (3)化原不等式为两个不等式组:0034211)12(10120122>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≥-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+≥+x x x x x x x x x . 【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例2】 解下列含有绝对值的不等式：(1)|x 2－4|≤x +2;(2)|x +1|>|2x －1|;(3)|x －1|+|2x +1|<4.【解前点津】 (1)可直接去掉绝对值符号，转化为－(x +2)≤x 2－4≤(x +2);(2)两边平方，去掉绝对值符号;(3)当x =1,－21时,有x －1=0及2x +1=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号. 【规范解答】 (1)原不等式可化为:－(x +2)≤x 2－4≤x +2⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+⇒3212060222x x x x x x x 或. 故原不等式的解集为［1,3］∪{－2}.(2)化原不等式为|x +1|2>|2x －1|2 ⇒(2x －1)2－(x +1)2<0.(2x －1+x +1)·(2x －1－x －1)<0⇒3x ·(x －2)<0⇒0<x <2.(3)令x －1=0得x =1,令2x +1=0得x =－21. 当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,时,原不等式可化为:－(x －1)－(2x +1)<421344321-≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≤⇒x x x . 当x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21时,原不等式可化为:－(x －1)+(2x +1)<4. 由212121-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤<-x x <x ≤1. 当x ∈(1,+∞)时,原不等式可化为:(x －1)+(2x +1)<4,故由341431<<⇒⎩⎨⎧<>x x x .综上所述知:⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--34,3434,11,2121,34为原不等式解集. 【解后归纳】 解含有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分几段?这只须算出“分点”即可，即“绝对值”为0时的变量取值，n 个不同的分点，将数轴分割成了(n +1)段.【例3】 若不等式23+>ax x 的解集是(4,m ),求a ,m 的值. 【解前点津】 在同一坐标系中作出两个函数y =x (x ≥0)及y =ax +23(x ≥0)的图像.若y =x 的图像位于y =ax +23图像的上方，则与之对应的x 的取值范围就是不等式的解. 【规范解答】 设y 1=x ,它的图像是半条抛物线;y 2=ax +23(x ≥0),它的图像是经过点(0, 23),斜率为a 的一条射线.不等式23+>ax x 的解即当y 1=x 的图像在y 2=ax +23(x ≥0)的图像上方时相应的x 的取值范围，因为不等式解集为(4,m ),故方程23+=ax x 有一个解为4,将x =4代入23+=ax x 得:812344=⇒+=a a . 再求方程2381+=x x 的另一个解，得:x =36,即m =36. 【解后归纳】 用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须在“公共定义域内”，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集.【例4】 解不等式|lo g 2x |+|lo g 2(2－x )|≥1. 【解前点津】 从x 的可取值范围入手，易知0<x <2,当x 分别在(]1,0及(1,2)上取值时，可同时去掉两个绝对值符号.【规范解答】 ∵x >0且2－x >0故0<x <2时不等式才有意义.当x ∈(]1,0时,因lo g 2x ≤0,lo g 2(2－x )≥0,故此时原不等式为:－lo g 2x +lo g 2(2－x )≥1⇒lo g 2xx -2≥lo g 22 32010221022≤<⇒⎩⎨⎧≤<≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-⇒x x x x x x x . 当x ∈(1,2)时,因为lo g 2x >0,lo g 2(2－x )<0,故此时原不等式为:lo g 2x －lo g 2(2－x )≥1⇒lo g 2xx -2≥lo g 22 23421)2(22122<≤⇒⎩⎨⎧<<-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-⇒x x x x x x x . 故原不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛2,3432,0. 【解后归纳】 本题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号，从而转化为分式不等式组.5.2.3无理不等式的解法一、引入：1、无理不等式的类型：①、⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型②、⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型 ③、⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 二、典型例题：例1、解不等式0343>---x x例2、解不等式x x x 34232->-+-例3、解不等式24622+<+-x x x例4、解不等式1112-+>+x x例5、 解不等式)0(112>≤-+a ax x例6、解不等式1123>-+-x x三、小结：四、反馈练习：解下列不等式1．655332->-+-x x x2．33333++<++-x x x x3．x x ->--2144．02)1(2≥---x x x5．112>+--x x第6课 无理不等式与绝对值不等式习题解答1.C 对a =3进行检验，考虑不等式的几何意义.2.C 利用x >0,化简另一个不等式.3.D 由0<3-x <1⇒0<x －3<1⇒3<x <4.4.B 由4－x 2≥0且x +1>0且4－x 2<(x +1)2271+-⇒<x ≤2. 5.B 分别画出:y =22x a -,与y =2x +a 的图像，看图作答.6.B |x －a |<ε,|y －a |<ε⇒|x －y |=|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |+|y －a |<ε+ε=2ε,当|x －y |<2ε时,不能推出|x －a |<ε且|y －a |<ε.7.A 若0<a <b <c ,且lg a <lg b <lg c ,又因为|lg a |>|lg c |>|lg b |>0,ac －1－(a +c )=ac +1－a －c =(c －1)·(a －1)<0,∴ac +1<a +c .8.B 因x >0,当log 2x <0时,不等式成立,此时0<x <1;当log 2x ≥0时,|2x +log 2x |=2x +|log 2x |.9.B xx x ||42-≥-,当0<x ≤2时,不等式成立,另由 0314020140222<≤-⇒⎩⎨⎧≥-<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤-x x x x x . 10.由(|x |－1)·(|x |－3)<0⇔1<|x |<3⇔x ∈(－3,－1)∪(1,3).11.由x ≥0知,x －x －2≤0,( x －2)·(x +1)≤0⇔0≤x ≤2⇔0≤x ≤4.12.考察y =21x -,y =x +a 的图像,即直线y =x +a 在半圆x 2+y 2=1(y ≥0)上方⇒a ∈(2,+∞).13.(1)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥+⎩⎨⎧->+≥-0303)3(303x x x x x 或⇒1<x ≤3或x >3⇒x >1. (2)化原不等式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤≤--≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≥-≥+023*******)1(021012222x x x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋃⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⇒22,032,22:原不等式解集为. 14.原不等式等价于:⎪⎩⎪⎨⎧<---≤<-⎪⎩⎪⎨⎧<++--≤1325523132523x x x x x x 或或⎩⎨⎧<--->13255x x x , 解之:x <－7或31<x ≤5或x >5,故原不等式解集为:(－∞,－7)∪(31,+∞). 15.由a (a －x )≥0⇒x ≤a .(1)当x >2a 时,a －2x <0,不等式成立,故2a <x ≤a ; (2)当x ≤2a 时,a －2x ≥0,平方得a (a －x )>(a －2x )2,0<x <43a ,故0<x ≤2a . 综上所述得:(]a ,0.16.化原不等式为:|2log a x +1|－21|log a x +2|<21,令t =log a x , 则|2t +1|－21|t +2|<21,解之得:－1<t<31即－1<log a x <31, 当a >1时,解集为(3,1a a), 当0<a <1时,解集为)1,(3aa .。
绝对值解方程解题技巧
绝对值解方程解题技巧
1. 嘿，绝对值方程其实不难啦！比如说x=5，那 x 不就是 5 或者-5 嘛！这就像走路，走左边五岁还是走右边五岁，都是五岁呀！看到绝对值方程别害怕，勇敢地去求解呀。
2. 哇哦，绝对值得小心陷阱哟！比如x-3=2，那你得想清楚，x-3 可以是 2 也可以是-2 呀，相当于是到 3 的距离是 2 呢，是不是很有意思？别掉进坑
里啦！
3. 嘿，解绝对值方程要细心哦！像2x+1=7，你不能马虎呀，要一步步来，不然怎么能得出 x 的值呢？这就跟搭积木一样，一步错就全垮啦！
4. 呀，绝对值方程里正负很关键呀！比如x+2= -3，咦，好像不太对劲呀，绝对值怎么会是负数呢？这就是个大坑，可得留意呢！
5. 哈，解绝对值方程时要头脑清醒哟！像3x-4=1 时，别晕头呀，要清楚地知道 3x-4 等于 1 或者-1 呢，就像找宝藏，得认准方向呀！
6. 哇，遇到复杂的绝对值方程也别怕呀！比如说方程里有好几个绝对值符号，就慢慢分析嘛，总能够找到出口的，就像在迷宫里找路一样刺激呢！
7. 嘿，绝对值方程有时候会有多个解哦！像x-1=2x+3，那可得仔细想想，不着急，一个一个来，总能都找出来的，这是不是很有挑战性？
8. 呀，解绝对值方程也得灵活呀！根据条件不同方法也要变哟，这就和打仗一样，得随机应变呢！想想x+3=6，首先得处理绝对值呀。
9. 反正我觉得呀，绝对值解方程只要掌握了技巧，一点都不难！多练练就好啦！。
高中数学绝对值方程解题技巧
高中数学绝对值方程解题技巧绝对值方程是高中数学中常见的一种题型，解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。
本文将介绍一些常见的绝对值方程解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些技巧。
一、绝对值方程的定义和性质绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程，通常形式为|ax + b| = c。
其中，a、b、c为已知实数，x为未知数。
解绝对值方程的关键在于利用绝对值的定义和性质，将方程转化为两个简单的线性方程。
二、绝对值方程的基本解法1. 消去绝对值符号对于形如|ax + b| = c的绝对值方程，首先要将绝对值符号消去。
根据绝对值的定义，当x满足ax + b = c时，|ax + b| = c成立；当x满足ax + b = -c时，|ax + b| =c也成立。
因此，我们可以得到两个方程：ax + b = c和ax + b = -c。
2. 解线性方程将消去绝对值符号后的方程ax + b = c和ax + b = -c分别解得x的值，即可得到绝对值方程的解。
举例说明：例题1：解方程|2x + 3| = 5。
解答：根据基本解法，我们先消去绝对值符号，得到两个方程：2x + 3 = 5和2x + 3 = -5。
解第一个方程2x + 3 = 5，得到x = 1。
解第二个方程2x + 3 = -5，得到x = -4。
所以，方程|2x + 3| = 5的解为x = 1和x = -4。
例题2：解方程|3x - 2| = 7。
解答：同样地，我们消去绝对值符号，得到两个方程：3x - 2 = 7和3x - 2 = -7。
解第一个方程3x - 2 = 7，得到x = 3。
解第二个方程3x - 2 = -7，得到x = -5/3。
所以，方程|3x - 2| = 7的解为x = 3和x = -5/3。
三、绝对值方程的拓展应用除了基本的绝对值方程解法外，我们还可以将绝对值方程与其他类型的方程相结合，进一步拓展应用。
含绝对值的解与不等式求解
含绝对值的解与不等式求解绝对值函数在数学中具有重要的应用价值，尤其是在解方程和不等式问题上。
本文旨在探讨含绝对值的解以及如何求解不等式。
一、含绝对值的方程解法对于形如|a|x + b| = c的绝对值方程，需要分别讨论x的取值范围，并找出满足条件的解。
下面将介绍两种常用解法。
1.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，因此可以将方程化简为两个线性方程来求解。
考虑到x的取值情况，可以得到以下两个方程：a*x + b = c x >= 0；-a*x - b = c x < 0。
解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。
当a为负数时，绝对值函数为减函数。
同样可以将方程化简为两个线性方程来求解，但此时每个方程对应的x的取值范围相反：-a*x + b = c x >= 0；a*x - b = c x < 0。
解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。
1.2 代数法求解对于一元绝对值方程|a|x + b| = c，可以将方程分解为两个方程：a*x + b = c 或 a*x + b = -c。
解出以上两个方程的解集分别为S1和S2，则原方程的解集为S1 ∪ S2。
二、含绝对值的不等式解法对于形如|a|x + b| < c的绝对值不等式，同样需要根据a的正负情况进行分类讨论。
2.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，可以将不等式化简为两个线性不等式：a*x + b < c x >= 0；-a*x - b < c x < 0。
解出以上两个不等式可得到两个解集，分别为S1和S2。
由于题目要求不等式的解集，因此需要求得S1 ∪ S2的交集。
当a为负数时，绝对值函数为减函数，将不等式化简为以下两个线性不等式：-a*x + b < c x >= 0；a*x - b < c x < 0。
如何解含有多个绝对值符号的方程
5.如何解含有多个绝对值符号的方程题目 解方程|1|||3|1|2|2|2x x x x x +-+---=+ （*）这是《你能解吗？——献给数学爱好者》一书p3的第14题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法.设121()||(1,,)n i i n i f x a x b cx d n b b b ==-++><<⋅⋅⋅<∑以下同，那么，当1x b ≤时， 11()()()n ni i i i i f x a b d a c x ===+--∑∑，它的图象是一条射线；当n x b ≥时，1()(n i i f x a ==∑ 1)()n i i i c x a b d =+--∑，它的图象也是一条射线；当1n b x b <<时，()f x 的图象是折线. 所以，我们只要根据()(1,2,,)i f b i n =⋅⋅⋅的值和()f x 在1x b ≤和n x b ≥时的情况就可以确定出()f x = 0的根.若1()()0,i i f b f b +==则1i i b x b +≤≤都是()f x = 0的根；若1()0,()0i i f b f b +≠=或者1()0,()0i i f b f b +=≠，则在1i i b x b +≤≤中只有一个根；若1()()0i i f b f b +⋅>，则在 1i i b x b +≤≤中()f x = 0无根；若1()()0i i f b f b +⋅<，则在1i i b x b +≤≤中()f x = 0只有一个根，此根可由公式1111()()()i i i i i i b b x b f b f b f b ++++-=--表之；对于1x b <和n x b >时根的情况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.”例1 见题（*）解 设()|1|||3|1|2|2|2f x x x x x x =+-+-----，则(1)2,(0)2,f f -=-=- (1)4,(2)0.f f =-=可见当12x -≤<时, ()f x = 0无根.x = 2是()f x = 0的一个根. 当1x <-时,()242f x x =-->-, 令240x --=, 2x =-. 当2x >时，()0f x ≡.故原方程的解是2x =-和2x ≥的所有实数.例2 方程|21||2||1|x x x -+-=+的实数解的个数是:(A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多.(上海市1984年初中数学竞赛题)解 设1()|21||2||1||1|2|||2|2f x x x x x x x =-+--+=-++-+-, 则1(1)6,()0,(2)0.2f f f -=== 那么不论1x <-和2x >时有没有根,我们至少知道122x ≤≤都是()f x = 0的根, 答案应选择(D). 例3 解方程|1|2|2|3|3|4x x x ---++=. (《初等代数难点释疑》一书p4的例4). 解 设()|1|2|2|3|3|4f x x x x =---++-，则(1)0,(2)0,(3) 4.f f f ===-当1x <时，()220f x x =-+>；当3x >时，()2104f x x =->-，令2100x -=， 得5x =.故原方程的解是5x =和12x ≤≤的所有实数.例4 解方程|2||3||28|9x x x -+-+-=.（华东师大《数学教学》1984年第5期p9）解 设()|2||3|2|4|9f x x x x =-+-+--，则(2)4,(3)6,(4) 6.f f f =-=-=- 可见在24x ≤≤中()f x = 0无根. 当2x <时，()44f x x =-，令440x -=，得x = 1；当4x >时，()422f x x =-，令4220x -=得112x =. 故x = 1和112x =是原方程的根. 例5 求2()|||1||21|F x x x x =+---的定义域. （湖北大学《中学数学》1986年高考数学复习资料专辑p91）解 先求方程|||1||21|0x x x +---=的根.设1()|||1|2||2f x x x x =+---，则1(0)0,()1,(1)02f f f ===. 当0x <时()0f x ≡；当1x >时()0f x ≡；当01x <<时()0f x >.故知0x ≤和1x ≥都是()f x = 0的根.从而可知2()|||1||21|F x x x x =+---的定义域为开区间（0，1）. 例6 解方程|1||2||3|x x x x -+-+-=（北京师大《数学通报》1980年第10期p3 例7，《高中数学教学八十讲》一书p161的第4题）.解 设()|1||2||3|f x x x x x =-+-+--，则(1)2,(2)0,(3)0.f f f ===当1x <时，()642f x x =->，这时()0f x =无根. 当3x >时，()260f x x =->，()0f x =也无根.故原方程的解是23x ≤≤的所有实数.例7 解方程6|2|7|1|3|1|4|2|15x x x x +-+--+-=.解 设()6|2|7|1|3|1|4|2|15f x x x x x =+-+--+--，则(2)15,f -=-(1)f -3,(1)7,(2)15f f =-=-=-.当2x <-时，()15f x ≡-；当2x >时，()15f x ≡-.故原方程没有根.例8 解方程|2||1|3||4|1|5|2|8|3|10x x x x x x ++++--+---+=.解 设()|2||1|3||4|1|5|2|8|3|1f x x x x x x x =++++--+---+，则(2)f -= 24,(1)20,(0)14,(1)2,(2)2,(3)16f f f f f --=-=-=-==. 可见在12x <<中方程()f x = 0有一根21222(2)x -=-⨯--即32x =. 当2x <-时，()22024f x x =-<-，()f x =0无根；当3x >时， ()22216f x x =-<，令2220x -=得11x =.故原方程的解为11x =和32x =. 本文发表于湖南省数学学会主办的《湖南数学通讯》1986年第4期p36~37，发表时署名陕西省安康师范学校 王凯（笔名）.。
中考数学解题技巧如何解决含有绝对值的方程题
中考数学解题技巧如何解决含有绝对值的方程题绝对值方程题在中考数学中是一类常见且重要的题型，解答这类题目需要一定的技巧和逻辑思维能力。
通过掌握一些解题技巧，能够更加高效地解决含有绝对值的方程题。
本文将从三个方面介绍解决这类题目的技巧，即绝对值的定义、绝对值方程的解法和实际应用。
一、绝对值的定义在解决含有绝对值的方程题之前，首先需要清楚绝对值的定义。
对于任意实数x，绝对值|x|定义为：①当x≥0时，|x|=x；②当x<0时，|x|=-x。
根据绝对值的定义，我们可以知道绝对值永远取非负值，即|a|≥0。
这个性质在解决绝对值方程时会用到。
绝对值方程的解法绝对值方程的解法主要有两种情况：一种是只含有一个绝对值的方程，另一种是含有两个绝对值的方程。
1. 含有一个绝对值的方程当方程中只有一个绝对值时，有两个可能情况：一是绝对值内的表达式为非负数，二是绝对值内的表达式为负数。
(1) 绝对值内的表达式为非负数对于形如|a|=b的方程，其中a为实数，b为非负数，解可以分为两种情况：①当a≥0时，方程变为a=b，直接得到解a=b；②当a<0时，方程变为-a=b，解可以化简为a=-b。
(2) 绝对值内的表达式为负数对于形如|a|=b的方程，其中a为实数，b为负数，解为无解。
因为绝对值|a|永远取非负值，所以当等式右边为负数时，无法找到满足等式的实数解。
2. 含有两个绝对值的方程当方程中含有两个绝对值时，需要分情况讨论。
考虑形如|a|+|b|=c 的方程，其中a、b为实数，c为非负数。
(1) 当a≥0，b≥0时，方程变为a+b=c，直接得到解a+b=c。
(2) 当a<0，b≥0时，方程变为-b+a=c，解可以化简为a=b+c。
(3) 当a≥0，b<0时，方程变为a-b=c，解可以化简为a=b+c。
(4) 当a<0，b<0时，方程变为-b-a=c，解可以化简为a=-b-c。
通过以上的解法，我们可以更加灵活地解决中考数学中的绝对值方程题，并求得相应的解。
绝对值方程式解题方法(一)
绝对值方程式解题方法(一)绝对值方程式解题方法方法一：分情况讨论当我们遇到绝对值方程式时，一种常见的解题方法是通过分情况讨论来求解。
具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。
2.对于每个方程式，将绝对值去掉，得到一个普通的方程式。
3.求解每个普通方程式，得到两组解。
4.将两组解合并，即得到原绝对值方程式的解集。
这种方法适用于绝对值方程式的解集较为复杂的情况，可以有效地将问题简化，使得解题过程更加清晰。
方法二：代入法另一种常用的解绝对值方程式的方法是代入法。
具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。
2.对于任意一个方程式，将绝对值去掉，得到一个普通的方程式。
3.对于每个普通方程式，选择一个代入值，将其代入方程式中。
4.求解代入后的方程式，得到一个解。
5.重复上述步骤，直到得到所有解。
这种方法相对于分情况讨论来说，更加直观和灵活，适用于简单的绝对值方程式求解。
方法三：图像法对于一元绝对值方程式，我们可以使用函数图像来求解。
具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。
2.对于每个方程式，将绝对值去掉，得到一个普通的方程式。
3.将普通方程式化简为函数的图像表达式。
4.根据函数图像，确定方程式的解集。
这种方法尤其适用于具有图像化特征的方程式，通过观察图像可以直观地得到解集。
方法四：绝对值性质法有些特殊的绝对值方程式可以利用绝对值的性质来进行求解。
具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。
2.利用绝对值的性质进行化简，消去绝对值符号。
3.求解化简后的方程式，得到解集。
这种方法适用于一些特定形式的绝对值方程式，可以减少计算量，提高求解效率。
方法五：不等式法绝对值方程式与不等式之间存在密切的关系，因此我们也可以通过不等式的方法来求解绝对值方程式。
具体步骤如下：1.将绝对值表达式拆分为两个方程式，一个取正值，一个取负值。
多个绝对值方程的求解方法
多个绝对值方程的求解方法
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊多个绝对值方程的求解方法，这可真是个有趣又有点儿头疼的事儿呢！
比如说，像这样一个方程：x-1+2x+3=6。
哎呀，这可咋整呢？别急，咱一步步来。
首先，绝对值啊，就好像是个“保护罩”，把里面的东西都罩起来了，让它要么是正数，要么是 0。
就好比你走在路上，有两条不同的路可以选，一条路代表一种情况。
咱就来分析分析，当 x 足够小的时候，那 x-1 肯定是负数，2x+3 也可能是负数。
那这时候方程就变成了-(x-1)-(2x+3)=6。
你看，这是不是就像你解开了一个谜题的一层？然后咱再接着想，要是x 稍微大一点，x-1 可能就变成正数了，2x+3 也可能是正数，那方程又不一样啦，变成了(x-1)+(2x+3)=6。
这就跟打游戏一样，每过一关都有新的挑战和惊喜！咱这么一步步分析下来，总能找到那个正确的答案。
再来看个例子啊，3x-5-x+2=1。
哇，是不是感觉有点复杂了？但别害怕呀！还是同样的方法，分情况去讨论，去揭开那一层层的“神秘面纱”。
求解多个绝对值方程其实也没那么难嘛，只要咱们有耐心，一点点去分析，就一定能找到解决的办法。
就好像爬山一样，虽然过程可能有点累，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值得啦！
所以啊，遇到多个绝对值方程不要慌，要像个勇敢的探险家一样，去大胆尝试，去找到那隐藏的答案！加油吧！。
分类讨论法解绝对值方程
汇报人：
绝对值方程的分类 绝对值方程的解法 绝对值方程的应用 绝对值方程的注意事项
绝对值方程的分类类
按照绝对值符号的位置进 行分类
按照绝对值符号内的表达 式进行分类
按照绝对值符号的解集进 行分类
绝对值方程的分类方法
根据绝对值符号的数量进行分类 根据绝对值符号的位置进行分类 根据绝对值符号内的表达式进行分类 根据绝对值符号的性质进行分类
绝对值方程的应用
绝对值方程在数学中的应用
绝对值方程在解线性方程中的应用 绝对值方程在解二次方程中的应用 绝对值方程在解三次方程中的应用
绝对值方程在解四次方程中的应用 绝对值方程在解五次方程中的应用 绝对值方程在解六次方程中的应用
绝对值方程在实际问题中的应用
物理问题：如距离、速度、加速度 等
工程问题：如长度、宽度、高度等
绝对值方程的解法
一次绝对值方程的解法
定义：方程中含有绝对值符号的方程 解法：分两种情况讨论，一种是绝对值符号内为正，另一种是绝对值符号内为负 举例：例如|x-1|=2，当x-1>=0时，解得x>=1，当x-1<0时，解得x<1 注意事项：在解绝对值方程时，要注意符号的变化，避免漏解或错解
二次绝对值方程的解法
混淆绝对值符号和负号，导致解方 程错误
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
未考虑绝对值符号内的正负情况， 导致解方程不全面
未考虑绝对值符号内的变量取值范 围，导致解方程错误
THANK YOU
汇报人：
• 例题分析：通过例题讲解二次绝对值方程的解法 • 注意事项：在求解过程中需要注意绝对值符号的变换和合并解的合理性
高次绝对值方程的解法
高中数学解绝对值方程的常见技巧和注意事项
高中数学解绝对值方程的常见技巧和注意事项绝对值方程是高中数学中常见的一类方程，解绝对值方程需要掌握一些常见的技巧和注意事项。
本文将通过具体的例题，介绍解绝对值方程的方法和要点，帮助高中学生和家长更好地理解和掌握这一知识点。
一、绝对值方程的基本形式绝对值方程的基本形式为|ax + b| = c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
我们以一道简单的例题来说明解这类方程的方法。
例题1：解方程|2x - 3| = 5。
解法：根据绝对值的定义，可以得到两个方程：2x - 3 = 5和2x - 3 = -5。
解这两个方程可以得到x的两个解：x = 4和x = -1。
二、绝对值方程的注意事项在解绝对值方程时，需要注意以下几个方面：1. 分类讨论：绝对值方程的解可能有一个、两个或无解。
根据绝对值的非负性质，我们可以将绝对值方程分为两种情况进行讨论。
2. 消去绝对值：当绝对值方程中的绝对值表达式与一个常数相等时，可以通过消去绝对值的方式求解。
例如，|x - 2| = 3可以转化为两个方程：x - 2 = 3和x - 2 =-3，解得x = 5和x = -1。
3. 变号取反：在解绝对值方程时，需要注意当绝对值表达式的符号发生变化时，方程的解也会取反。
例如，|x - 2| = -3无解，因为绝对值的值不可能是负数。
4. 联立方程：当绝对值方程中存在多个绝对值表达式时，可以通过联立方程的方式求解。
例如，|x - 2| + |x + 3| = 5可以转化为两个方程：x - 2 + x + 3 = 5和x - 2 - (x + 3) = 5，解得x = 1和x = -3。
三、绝对值方程的解题技巧除了上述的基本方法和注意事项外，还有一些解绝对值方程的常见技巧，可以帮助我们更快地求解。
1. 借助图像：可以通过绘制绝对值函数的图像来辅助解题。
例如，对于方程|2x - 3| = 5，可以绘制y = |2x - 3|和y = 5的图像，通过图像的交点来确定方程的解。
化简含绝对值的式子洋葱数学 -回复
化简含绝对值的式子洋葱数学-回复化简含绝对值的式子在数学中是一种常见的操作。
这种操作能够使得原始的复杂式子更加简洁和易于理解。
化简含绝对值的式子可以用洋葱数学的方法进行求解，这是一种简单而又有趣的数学求解方式。
本文将以洋葱数学为主题，一步一步地回答化简含绝对值的式子。
首先，让我们从一个简单的例子开始。
假设我们有一个包含绝对值符号的方程：x = 7。
我们的目标是找到x的值。
第一步，我们观察到绝对值的定义是一个数的非负值。
因此，x的绝对值不能是负数。
这意味着对于x = 7和x = -7这两个解，只有x = 7是可行的解。
第二步，我们可以使用洋葱数学的方法来证明这一点。
我们可以将绝对值的定义分解为两个方程：x = 7和x = -7。
接下来，我们使用简化的步骤来求解。
第三步，我们将方程x = 7中的x代入原始方程x = 7，并进行简化。
代入后，方程变为7 = 7。
我们知道7的绝对值是7，所以等式成立。
第四步，我们将方程x = -7中的x代入原始方程x = 7，并进行简化。
代入后，方程变为-7 = 7。
同样，我们知道-7的绝对值是7，所以等式也成立。
通过洋葱数学的方法，我们得出结论：方程x = 7有唯一的解x = 7。
这个解满足原始方程，并且是合理的解。
接下来，我们将继续讨论一个更复杂的例子，以展示洋葱数学解决含有多个绝对值的方程的能力。
设想我们有一个方程：2x + 3 = x - 5 。
我们的目标是找到x的值。
第一步，我们观察到两边的绝对值是相等的。
这意味着方程两边的绝对值中的内容要么相等，要么互为相反数。
第二步，我们可以将方程分解为两种情况来求解。
首先，我们假设2x + 3 = x - 5。
解这个方程，我们得到x = -8。
第三步，我们将方程分解为第二种情况，即2x + 3 = -(x - 5)。
解这个方程，我们得到x = 1。
通过洋葱数学的方法，我们得到两个解x = -8和x = 1。
这两个解满足原始方程，并且是合理的解。
含一个或多个绝对值符号的函数、方程、不等式问题的解法
含一个或多个绝对值符号的函数、方程、不等式问题的解法
一、思考过程
对于含一个或多个绝对值符号的函数、方程、不等式问题处理，就是想法去掉绝对值的符号，将问题转化为非含绝对值符号的问题来解决。
本文主要研究此类问题在实数集内的情况，此类问题，主要考虑用绝对值的定义法或平方（不等式的两端必须非负才能平方）去掉绝对值符号，而有时对含绝对值的函数来讲，除了上述方法外，要结合函数有关性质求解，对此类问题中含有变量的题目，应通过上述方法转化为不含绝对值项的问题，再分类讨论。
二、基本方法
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三、步骤格式
第一步:一般从绝对值定义法入手去掉绝对值符号第二步:按不含绝对值的问题求解
第三步:根据题意写出正确答案
四、典型例题
五、注意事项
1.a≠0，c＞0，小于取中间，大于取两边，前者为“且”，后者为“或”.
2.分段讨论在各段所表示的集合中，它们的交集为空集.
3.弄清题目的解集是交集还是并集
六、练习。
再谈含有多个绝对值符号的问题 (1)
9. 再谈含有多个绝对值符号的问题拙文《如何解含有多个绝对值符号的方程》（《湖南数学通讯》1986年第4期）解决了求方程：1||0n i i i a x b cx d =-++=∑的根的问题，本文想就与1()||n i ii f x a x b cx d ==-++∑ 12(1,,)n n b b b ><<⋅⋅⋅<以下同有关的图象、最值、不等式诸问题再谈点看法.一、 作图象——从全局出发1()||ni i i f x a x b cx d ==-++∑无论用什么方法把绝对值符号脱掉得到的函数都是关于x 的线性函数，它的图象无非是射线或折线.当1(,]x b ∈-∞时，11()()()n ni i i i i f x a b d a c x ===+--∑∑ （1），其时图象是一条射线；当[,)n x b ∈+∞时，11()()()n ni i i i i f x a c x a b d ===+--∑∑ （2），它的图象也是一条射线；当1[,]n x b b ∈时，1()||n i i i f x a x b cx d ==-++∑的图象是连续的折线. 那么，从整体上看，1()||ni i i f x a x b cx d ==-++∑在x R ∈的图象是连续的折线，所有的点(,())i i b f b 都是折点.作1()||n i ii f x a x b cx d ==-++∑的图象只需求出函数值()i f b (1,2,,)i n =⋅⋅⋅和0()f b 01()b b <及1()n f b +1()n n b b +>，作出点(,())i i b f b (0,1,2,,,1)i n n =⋅⋅⋅+. 然后相邻两点连接（注意两端的图象是射线），就是所求的图象. 并不需要分段求出函数表达式.例1 求作()|1||2||3||4||5|f x x x x x x =---+---+-的图象.这是由[苏]C 、E 里亚平等著盛世雄译《初等代数习题集》p119的例题，原解法采用求 出每一个区间内各段折线方程的方法作图，现解如下：解 先计算(0)3,(1)2,(2)3,(3)2,(4)3,(5)2,(6)3f f f f f f f =======.把A （0，3）、B （1，2）、C （2，3）、D （3，2）、E （4，3）、F （5，2）、G （6，3）依次连接（AB 是以B 为端点的射线，FG 是以F 为端点的射线），即为所求.二、 求最值——抓特征性质由1()||ni i i f x a x b cx d ==-++∑在x R ∈的图象是连续的折线知()f x 有以下性质：1. 若1()()i i f b f b c +==，则在1[,]i i b b +上有()f x c ≡.2. 由于每条线段或射线对应的函数在相应区间上是单调的，故最值必能在某些折点达到.3. 由（1）、（2）两式可知，11n i i I a c ==-∑和21n ii I a c ==+∑的值决定了()f x 在区间1(,]b -∞和[,)n b +∞上的增减性，故若120I I <，则()f x 无最值.若120I I ≥，当1200I I ≥≥、且最多有一个等于0时()f x 只有最小值；当10I ≤、 20I ≤且最多有一个等于0时()f x 只有最大值；当120I I ==时()f x 既有最小值又有最大值.因此，若有最大值，其最大值必为{()|1,2,,}i f b i n =⋅⋅⋅中的最大者；若有最小值，其最小值必为{()|1,2,,}i f b i n =⋅⋅⋅中的最小者.例2 求()|1|2||5|1|67f x x x x x =+++-+-的最值.解 1125620I =++-=>，21256140I =+++=>，故()f x 只有最小值. (1)1,(0)1,(1)3f f f -=-=-=，故()f x 的最小值为1(10)x --≤≤.例3 求()2|2|3|1|6|||1|21f x x x x x x =+-+-+--+的最值.解 12361(2)40I =--+--=-<，22361(2)80I =--++-=-<，故()f x 只 有最大值.(2)7,(1)1,(0)3,(1)7f f f f -=--===-，故()f x 的最大值为(0)3f =例4 求()|3|4||2|1|75f x x x x x =+++---的值域.解 1142(7)0I =++-->，2142(7)0I =++--=，故()f x 只有最小值. (3)36,(0)0,(1)4f f f -===-，故()f x 的最小值为(1)4(1)f x =-≥，从而可知 ()f x 的值域为[4,)-+∞.例5 求()2|2|3|||1|4|2|7f x x x x x =++----+的最值.解 1223140I I ==+--=，()f x 既有最大值又有最小值.(2)10,(0)2,(1)12,(2)20f f f f -=-===，故()f x 的最大值为20(2)x ≥，最小值 为10(2)x -≤-.例6 求()|1|5||2|1|9|4|68f x x x x x x =+---+-+-的最值.解 11529630I =--+-=-<，21529690I =--++=>，故()f x 没有最值.三、 不等式——最值、方程当助手关于不等式1||0n i i i a x b cx d =>-++<∑可令1()||n i i i f x a x b cx d ==-++∑，由1I 和2I 及 ()(1,2,,)i f b i n =⋅⋅⋅结合方程求解.例7 解不等式 |24||36|4|52|8x x x x -+++--≤. （《中学数学研究》1985年 第7期p11~14）解 令2()3|2|5||2|2|485f x x x x x =+--+-+-，1352440I =-+-=-<， 2352440I =-++=>，2(2)20,()4,(2)45f f f -=-==. 由1I 知，当2x ≤-时，()200f x ≤-<.由2I 知，()0f x ≤的解集是0(,]x -∞，其中0x 满足0225x -<<且0()0f x =，0x =2(2)25454(20)---⨯--（参见《湖南数学通讯》1986年第4期p36），00x =. 故()0f x ≤的解集为(,0]-∞.例8 解不等式|43||52||78|450x x x x ++--++->. （《数学教师》1987年第4 期p15）解 令()|78||43||52|45f x x x x x =-++++-+-，1745420I =-++-=-<，2745460I =-+++=>，823248(),()5,()77455f f f -=--=-=- 由1I 知，当25x ≤时，()0f x <. 由2I 知，()0f x >的解集为0(,)x +∞，其中0x 满足025x >且0()0f x =. 但当25x >时()612f x x =-，故02x =.所以()0f x >的解集为2x >.例9 求|3||4||2|x x x -≤-+-的解集.（上海师大数学系《中学数学教学》1984年 第4期p39）解 令()|2||3||4|f x x x x =---+-，1211110I I ==-+=>，()f x 只有最小值.(2)1,(3)2,(4)1f f f ===.所以当x R ∈时()10f x ≥>，故原不等式的解集为R.本文发表于湖南省数学学会主办的《湖南数学通讯》1988年第1期p20~21，发表时署名陕西省安康师范学校 王凯（笔名）.。
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5.如何解含有多个绝对值符号的方程
题目 解方程
|1|||3|1|2|2|2x x x x x +-+---=+ （*）
这是《你能解吗？——献给数学爱好者》一书p3的第14题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法.
设121()||(1,,)n i i n i f x a x b cx d n b b b ==
-++><<⋅⋅⋅<∑以下同，那么，当1x b ≤时， 1
1()()()n n
i i i i i f x a b d a c x ===+--∑∑，它的图象是一条射线；当n x b ≥时，1
()(n i i f x a ==∑ 1
)()n i i i c x a b d =+--∑，它的图象也是一条射线；当1n b x b <<时，()f x 的图象是折线. 所
以，我们只要根据()(1,2,,)i f b i n =⋅⋅⋅的值和()f x 在1x b ≤和n x b ≥时的情况就可以确定出()f x = 0的根.
若1()()0,i i f b f b +==则1i i b x b +≤≤都是()f x = 0的根；若1()0,()0i i f b f b +≠=或者1()0,()0i i f b f b +=≠，则在1i i b x b +≤≤中只有一个根；若1()()0i i f b f b +⋅>，则在 1i i b x b +≤≤中()f x = 0无根；若1()()0i i f b f b +⋅<，则在1i i b x b +≤≤中()f x = 0只有一个根，此根可由公式1111()()()
i i i i i i b b x b f b f b f b ++++-=--表之；对于1x b <和n x b >时根的情况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.”
例1 见题（*）
解 设()|1|||3|1|2|2|2f x x x x x x =+-+-----，则(1)2,(0)2,f f -=-=- (1)4,(2)0.f f =-=
可见当12x -≤<时, ()f x = 0无根.x = 2是()f x = 0的一个根. 当1x <-时, ()242f x x =-->-, 令240x --=, 2x =-. 当2x >时，()0f x ≡.
故原方程的解是2x =-和2x ≥的所有实数.
例2 方程|21||2||1|x x x -+-=+的实数解的个数是:
(A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多.
(上海市1984年初中数学竞赛题)
解 设1()|21||2||1||1|2|||2|2
f x x x x x x x =-+--+=-++-+-, 则1
(1)6,()0,(2)0.2
f f f -=== 那么不论1x <-和2x >时有没有根,我们至少知道122
x ≤≤都是()f x = 0的根, 答案应选择(D). 例3 解方程|1|2|2|3|3|4x x x ---++=. (《初等代数难点释疑》一书p4的例4). 解 设()|1|2|2|3|3|4f x x x x =---++-，则(1)0,(2)0,(3) 4.f f f ===- 当1x <时，()220f x x =-+>；当3x >时，()2104f x x =->-，令2100x -=， 得5x =.
故原方程的解是5x =和12x ≤≤的所有实数.
例4 解方程|2||3||28|9x x x -+-+-=.
（华东师大《数学教学》1984年第5期p9）
解 设()|2||3|2|4|9f x x x x =-+-+--，则(2)4,(3)6,(4) 6.f f f =-=-=- 可见在24x ≤≤中()f x = 0无根. 当2x <时，()44f x x =-，令440x -=，得x = 1；当4x >时，()422f x x =-，令4220x -=得112
x =. 故x = 1和112
x =
是原方程的根. 例5 求2()|||1||21|F x x x x =+---的定义域. （湖北大学《中学数学》1986年高考数学复习资料专辑p91）
解 先求方程|||1||21|0x x x +---=的根. 设1()|||1|2||2f x x x x =+---，则1(0)0,()1,(1)02
f f f ===. 当0x <时()0f x ≡；当1x >时()0f x ≡；当01x <<时()0f x >.
故知0x ≤和1x ≥都是()f x = 0的根. 从而可知2()|||1||21|
F x x x x =+---的定义域为开区间（0，1）. 例6 解方程|1||2||3|x x x x -+-+-=（北京师大《数学通报》1980年第10期p3 例7，《高中数学教学八十讲》一书p161的第4题）.
解 设()|1||2||3|f x x x x x =-+-+--，则(1)2,(2)0,(3)0.f f f ===
当1x <时，()642f x x =->，这时()0f x =无根. 当3x >时，()260f x x =->，()0f x =也无根.
故原方程的解是23x ≤≤的所有实数.
例7 解方程6|2|7|1|3|1|4|2|15x x x x +-+--+-=.
解 设()6|2|7|1|3|1|4|2|15f x x x x x =+-+--+--，则(2)15,f -=-(1)f - 3,(1)7,(2)15f f =-=-=-.
当2x <-时，()15f x ≡-；当2x >时，()15f x ≡-.
故原方程没有根.
例8 解方程|2||1|3||4|1|5|2|8|3|10x x x x x x ++++--+---+=.
解 设()|2||1|3||4|1|5|2|8|3|1f x x x x x x x =++++--+---+，则(2)f -= 24,(1)20,(0)14,(1)2,(2)2,(3)16f f f f f --=-=-=-==. 可见在12x <<中方程
()f x = 0有一根21222(2)x -=-⨯--即32
x =. 当2x <-时，()22024f x x =-<-，()f x =0无根；当3x >时， ()22216f x x =-<，令2220x -=得11x =.
故原方程的解为11x =和32
x =. 本文发表于湖南省数学学会主办的《湖南数学通讯》1986年第4期p36~37，发表时署名陕西省安康师范学校 王凯（笔名）.。