第六章 自相关
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第6章 自相关
28
et
t
图 6.4 et 的分布 如果 et 随着 t 的变化逐次变化并不频繁地改变符号，而是 几个正的 et后面跟着几个负的，则表明随机误差项 ut 存 在正自相关。 29
二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(沃特 森)于1951年提出的一种适用于小样本的检验方
27
et
t
二、对模型检验的影响
按照时间顺序绘制回归残差项 et 的图形。如果 et (t 1, 2, , n ) 随着 t 的变化逐次有规律地变化， et呈现锯齿形或循环形状的变化，就可断言 et存在相关， et 表明存在着自相关；如果 随着 的变化逐次变化并 t ut 不断地改变符号，那么随机误差项 存在负自相关
第六章 自相关
本章讨论四个问题：
●什么是自相关 ●自相关的后果 ●自相关的检验 ●自相关性的补救
1
第一节 什么是自相关
一、自相关的概念
自相关（auto correlation），又称序列相关（ serial correlation）是指总体回归模型的随机 误差项之间存在相关关系。即不同观测点上的 误差项彼此相关。
体回归模型(PRF)的随机项为 u1 , u2 ,..., un， 如果自相关形式为
ut = u + vt t -1
2
- 1< < 1
其中 为自相关系数， v 为经典误差项，即 t
E(vt ) 0 , Var(vt ) , Cov(vt , vt+s ) 0 , s 0
误差项 u 1, u 2 , ..., u n 间存在 正相关 不能判定是否有自相关 误差项 u 1, u 2 , ..., u n 间 无自相关
et
t
图 6.4 et 的分布 如果 et 随着 t 的变化逐次变化并不频繁地改变符号，而是 几个正的 et后面跟着几个负的，则表明随机误差项 ut 存 在正自相关。 29
二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(沃特 森)于1951年提出的一种适用于小样本的检验方
27
et
t
二、对模型检验的影响
按照时间顺序绘制回归残差项 et 的图形。如果 et (t 1, 2, , n ) 随着 t 的变化逐次有规律地变化， et呈现锯齿形或循环形状的变化，就可断言 et存在相关， et 表明存在着自相关；如果 随着 的变化逐次变化并 t ut 不断地改变符号，那么随机误差项 存在负自相关
第六章 自相关
本章讨论四个问题：
●什么是自相关 ●自相关的后果 ●自相关的检验 ●自相关性的补救
1
第一节 什么是自相关
一、自相关的概念
自相关（auto correlation），又称序列相关（ serial correlation）是指总体回归模型的随机 误差项之间存在相关关系。即不同观测点上的 误差项彼此相关。
体回归模型(PRF)的随机项为 u1 , u2 ,..., un， 如果自相关形式为
ut = u + vt t -1
2
- 1< < 1
其中 为自相关系数， v 为经典误差项，即 t
E(vt ) 0 , Var(vt ) , Cov(vt , vt+s ) 0 , s 0
误差项 u 1, u 2 , ..., u n 间存在 正相关 不能判定是否有自相关 误差项 u 1, u 2 , ..., u n 间 无自相关
六章自相关
Econometrics 2005
18
6.3 自相关的检验
6.3.1 图解法
时间序列图（Time Sequence plot):将残差对时间描点。 如图（a）所示，扰动项的估计值呈循环形，并不频繁 地改变符号，而是相继若干个正的以后跟着几个负的。 表明存在正自相关。
t
t
Econometrics 2005
小于临界值，表示存在序列相关。
Econometrics 2005
28
6.4 自相关的补救1: ( 已知）广义差分法
以双变量回归模型和AR(1)为例。
Yutt
1 2 X t ut1 t
ut
Yt 1 2 X t ut
(1)
Yt1 1 2 X t1 ut1
( 2)
(1) (2) :
Yt Yt1 b0 (1 ) b1( X t X t1) t
差分形式
Yt b0 (1 ) Yt1 b1X t b1X t1 t
a0 b0 (1 )
a1 b1
Yt a0 Yt1 a1 X t a2 X t1 t
a2 b1
往也是正的。于是在不同的样本点之间，随机误差项出现了相关
性，这就产生了序列相关性。
Econometrics 2005
16
再如，以绝对收入假设为理论假设、以时间序列数据
作样本建立居民总消费函数模型：
Ct 0 1 I t t
t=1,2,…,n
消费习惯没有包括在解释变量中，其对消费量的影响被
包含在随机误差项中。如果该项影响构成随机误差项的
类似一阶自相关的定义， 若rs Cov(ut ,uts ) 0, s 2 则称为是高阶自相关。
Econometrics 2005
第六章 自相关性
估计值显著性，最终把本来重要的解释变量认为 是不重要的而删除掉，即显著性检验失效。
接前页
3、降低预测精度
由于参数估计值方差虚假增大，致使预测区间的 可信程度降低，预测结果将失去实际意义。
6.3自相关性检验方法
从上述内容的介绍我们可以发现，自相关对模型产生的 不良后果是比较严重的，因此，必须采取相应措施加以 修正或克服。但在修正或克服之前，应该对模型误差项 序列是否存在自相关进行判断，即自相关检验。其方 法主要有：
6.2自相关产生的后果
1、参数估计值非有效（即不再具有最小方差性） 根据前面学过的内容，我们知道，只有在符合同 方差和非自相关性假定条件下，OLS估计结果才 具有最小方差性。当模型存在自相关，参数估计 值方差不是最小（即估计结果不是最优）。
2、模型的显著检验（T检验）失效
标准差增大，导致t统计量变小，进而低估了参数
第二步，对原数据进行广义差分变换，得：
yt*= yt- ρ Yt-1 , xt*= xt- ρ xt-1，再对模型 yt*=A+b1 xt*+ vt*进行回归，并根据回归结果得到原模型 参数估计值b0= A/ （1- ρ ^）和b1
总结说明
迭代法： 是采用一系列迭代，而每一次迭代都 能得到比前一次更好的一阶自回归 系数ρ ^ 杜宾两步法： 也是获得比较准确的一阶自回归系数ρ ^的方法
t
关来判断随机项的自相关。
1、按时间顺序绘制残差分布图：
1.1 正自相关：残差e随时间t的变化并不频繁改变符号，而是几个正的 后面有几个负的。
e
O t
正自相关
接前页
1.2 负自相关：e随t变化依次改变正负符号
接前页
3、降低预测精度
由于参数估计值方差虚假增大，致使预测区间的 可信程度降低，预测结果将失去实际意义。
6.3自相关性检验方法
从上述内容的介绍我们可以发现，自相关对模型产生的 不良后果是比较严重的，因此，必须采取相应措施加以 修正或克服。但在修正或克服之前，应该对模型误差项 序列是否存在自相关进行判断，即自相关检验。其方 法主要有：
6.2自相关产生的后果
1、参数估计值非有效（即不再具有最小方差性） 根据前面学过的内容，我们知道，只有在符合同 方差和非自相关性假定条件下，OLS估计结果才 具有最小方差性。当模型存在自相关，参数估计 值方差不是最小（即估计结果不是最优）。
2、模型的显著检验（T检验）失效
标准差增大，导致t统计量变小，进而低估了参数
第二步，对原数据进行广义差分变换，得：
yt*= yt- ρ Yt-1 , xt*= xt- ρ xt-1，再对模型 yt*=A+b1 xt*+ vt*进行回归，并根据回归结果得到原模型 参数估计值b0= A/ （1- ρ ^）和b1
总结说明
迭代法： 是采用一系列迭代，而每一次迭代都 能得到比前一次更好的一阶自回归 系数ρ ^ 杜宾两步法： 也是获得比较准确的一阶自回归系数ρ ^的方法
t
关来判断随机项的自相关。
1、按时间顺序绘制残差分布图：
1.1 正自相关：残差e随时间t的变化并不频繁改变符号，而是几个正的 后面有几个负的。
e
O t
正自相关
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1.2 负自相关：e随t变化依次改变正负符号
计量经济学第六章自相关
计量经济学第六章自相关自相关是计量经济学中一种重要的现象，它指的是一个变量与其自己在过去时间点上的相关性。
自相关在实证研究中十分常见，对经济学家来说，了解和掌握自相关性质是至关重要的。
1. 引言自相关作为计量经济学的一项基础概念，是经济学研究中不可或缺的一个重要方法。
自相关性的存在通常会引起回归结果的偏误，而忽略自相关性可能导致估计不准确的结果。
因此，探讨自相关性的性质和应对方法是计量经济学的重点之一。
2. 自相关的定义和表示自相关是指一个变量与其自身在过去时间点上的相关性。
假设我们有一个时间序列数据集，其中变量yt表示一个时间点上的观测值，t表示时间索引。
自相关系数可以通过计算观测值yt与其在过去某一时间点上的观测值yt-k（k为时间滞后期数）的相关性来得到。
数学上，自相关系数可以用公式表示为：ρ(k) = Cov(yt, yt-k) / (σ(yt) * σ(yt-k))其中，ρ(k)表示第k期的自相关系数，Cov表示协方差，σ表示标准差。
3. 自相关性的性质自相关性具有以下几个性质：3.1 一阶自相关性一阶自相关性是指变量值yt与前一期的观测值yt-1之间的相关性。
一阶自相关系数ρ(1)通常用来检验时间序列数据是否存在自相关性。
若ρ(1)大于零且显著，则表明存在正的一阶自相关性；若ρ(1)小于零且显著，则表明存在负的一阶自相关性。
3.2 高阶自相关性除了一阶自相关性，时间序列数据还可能存在高阶自相关性。
高阶自相关性是指变量值yt与过去第k期的观测值yt-k之间的相关性。
通过计算不同滞后期的自相关系数ρ(k)，可以了解数据在不同时间跨度上的自相关性情况。
3.3 异方差自相关性异方差自相关性是指时间序列数据中的方差不仅与自身相关，还与过去观测值的相关性有关。
异方差自相关性可能导致在回归分析中的标准误差失效，从而产生无效的回归结果。
因此，在处理存在异方差自相关性的数据时要采取合适的修正方法。
4. 自相关性的检验方法在实证研究中，经济学家通常使用多种方法来检验数据中的自相关性，常用的方法包括：4.1 Durbin-Watson检验Durbin-Watson检验是一种常用的检验自相关性的方法，其基本思想是通过检验误差项的相关性来判断自相关是否存在。
第六章 自相关
第六章 自相关§6.1 自相关一. 概念：经典假定4 cov(,)0,()i j u u i j =≠，不被满足，称i u 存在自相关或序列相关。
自 相关主要存在于时间序列中。
自相关又分为正自相关和负自相关，其主要表现是： 正自相关：当某个0t u >时，随后若干项12,,t t u u ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅都有大于零的倾向； 当某个0t u <时，随后若干项12,,t t u u ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅都有小于零的倾向。
负自项关：相邻两项的符号有相反的倾向。
在时间序列中，t u 的符号信息对以后各期都有一定的影响，即跨期的扰动项序列相关（经济数据中居多）。
所以在实际工作中，以正自相关较为常见。
二. 产生自相关的原因：1. 许多经济变量是时间序列，此时不能认为u 无自相关；2. 非重要因素归入随机误差项，而这些因素又有自相关的情况；3. 一些重大偶然事件对经济的冲击，往往要延续一段时间；4. 模型本身设置的不正确。
三. 自相关强度的度量------自相关系数1. 自相关的阶：一阶自相关：t u 只与1t u -（之前一期）有关，1()t t u f u -=； 二阶自相关：t u 与12,t t u u --（之前两期）有关，12(,)t t t u f u u --= s 阶自相关：t u 与之前s 期有关，12(,,,)t t t t s u f u u u ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅一般情况下，以研究一阶自相关为主。
因为相邻两期的影响最强且一阶的形式也比较简单。
这时通常假定是一阶线性自相关。
2. 自相关系数：若假定是一阶线性自相关，则自相关形式为1t t t u u v ρ-=+且11ρ-<<ρ是常数，可称为（一阶）自相关系数；t v 是一个新的随机项且满足所有经典假定，即 2~(0,)t v v N σ ()0t t E v v '= ()t t '≠()0s t E u v = ()t s >这样自相关形式就是一个不含常数项的线性模型，ρ就是回归参数，可用OLS 法估计ρ：12212nt t t nt t u uuρ-∧=-==∑∑1nt t u u-≈∑ （当n 很大时，22122n nt t t t u u-==≈∑∑）这完全符合相关系数的计算表达，所以称ρ为自相关系数是合理的。
第六章 自相关
误差项 u1, u2 ,..., un 间存在 正相关
不能判定是否有自相关
d L DW dU
dU DW 4 - dU
4 - dU DW 4 - d L
误差项 u1, u2 ,..., un 间 无自相关
不能判定是否有自相关 误差项 u1, u2 ,..., un 间存在 负相关
16
一、一阶自回归形式的性质
一元线性回归模型:
Y = 1 + 2 X + u
假定随机误差项 u 存在一阶自相关
ut = ut -1 + vt
其中，ut为现期随机误差， ut -1 为t-1期随机误差。 是经典误差项，满足零均值假定 E(vt ) = 0 和同方差假定 Var(vt ) = v 、无自相关假定 E(vt vs ) 0 (t s) 。
Cov ut , us 0t s
Cov ut , ut 1 0
自相关
一阶自相关
ut ut 1 t 为一阶自相关系数
一阶线性自相关
6
二、自相关产生的原因 自 相 关 产 生 的 原 因
经济系统的惯性
经济活动的滞后效应 数据处理造成的相关
2,400 2,000 1,600 1,200
EOLS
800 400 0 -400 -800 -1,200 -1,200
结论： 一阶正自相关
-800 -400 0 400 800 EOLS(-1)
30
再来看看另一幅图
结论： 无一阶自相关
残差的散点图
31
二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S. Watson (沃特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检 验方法。DW检验只能用于检验随机误差项具有 一阶自回归形式的自相关问题。
不能判定是否有自相关
d L DW dU
dU DW 4 - dU
4 - dU DW 4 - d L
误差项 u1, u2 ,..., un 间 无自相关
不能判定是否有自相关 误差项 u1, u2 ,..., un 间存在 负相关
16
一、一阶自回归形式的性质
一元线性回归模型:
Y = 1 + 2 X + u
假定随机误差项 u 存在一阶自相关
ut = ut -1 + vt
其中，ut为现期随机误差， ut -1 为t-1期随机误差。 是经典误差项，满足零均值假定 E(vt ) = 0 和同方差假定 Var(vt ) = v 、无自相关假定 E(vt vs ) 0 (t s) 。
Cov ut , us 0t s
Cov ut , ut 1 0
自相关
一阶自相关
ut ut 1 t 为一阶自相关系数
一阶线性自相关
6
二、自相关产生的原因 自 相 关 产 生 的 原 因
经济系统的惯性
经济活动的滞后效应 数据处理造成的相关
2,400 2,000 1,600 1,200
EOLS
800 400 0 -400 -800 -1,200 -1,200
结论： 一阶正自相关
-800 -400 0 400 800 EOLS(-1)
30
再来看看另一幅图
结论： 无一阶自相关
残差的散点图
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二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S. Watson (沃特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检 验方法。DW检验只能用于检验随机误差项具有 一阶自回归形式的自相关问题。
第六章 自相关(序列相关)
可以证明： 1－ 2 － 1 C＝ 0 2 1－ 0
2
0 0 1 0 0 － 0 0 0 － 1 0
1－ 2 Cy 以 1－ C左乘原模型，并定义y 1－ 2 CX， 1－ 2 C X
则变换后的扰动项 满足球型扰动项的假设， 故高斯－马尔可夫定理成立（因为这种变换是 GLS的一个特例）
1－ 2 － 1－ 2 Cy＝ 0 y 0
0 0 y1 1 0 0 y2 － 0 0 yn 0 － 1 0
第六章 自相关（序列相关）
一、自相关的后果 违反球型扰动项假定的另一情形是自相关。若存在 i j使得E i j X 0，即扰动项的协方差阵Var X 的非主对角线元素不全为0，则称存在“自相关” （autocorrelation）或“序列相关”（serial correlation）
其中， Var u t ，而1＝ ，
2 u 2
1 2 故一阶自相关系数 ＝ 2 ＝ 0
由课件第三章p21， 2＝ ， ， n-1＝ ，故
2 2 n-1 2
1 2 Var X ＝ n-1
1
1－ 2 y1＝ 1－ 2 1＋ 1－ 2 2 x12＋＋ 1－ 2 k x1k＋1 y 2－ y1＝1－ 1＋ 2 x 22－ x12 ＋＋ k x 2k－ x1k ＋ 2 y n－ y n-1＝1－ 1＋ 2 x n 2－ x n-1， ＋＋ k x nk－ x n-1，k 2 ＋ 2
因此辅助回归的解释变量e t-1， ，e t-p必与扰动项相 关，导致不一致的估计。这就是所谓的随机解释变 量问题，后面会介绍。若引入解释变量x t1， ，x tk 将使BG检验更加稳健 由于使用了滞后残差值e t-p，损失了p个样本值，故
第06章 自相关(讲稿)
第6章自相关1. 自相关定义1）非自相关由第2节知回归模型的假定条件之一是，Cov(u i,u j )=E(u i u j) =0, (i, j∈T, i ≠ j),(1.1)即误差项u t的取值在时间上是相互无关的。
称误差项u t非自相关。
2）自相关如果Cov (u i ,u j ) ≠ 0, (i ≠ j)则称误差项u t存在自相关。
自相关又称序列相关。
原指一随机变量在时间上与其滞后项之间的相关。
这里主要是指回归模型中随机误差项u t 与其滞后项的相关关系。
自相关也是相关关系的一种。
2．自相关类型1）自相关按滞后阶数可分为两类。
(1)一阶自回归形式当误差项u t只与其滞后一期值有关时，即u t = f (u t - 1),称u t具有一阶自回归形式。
(2) 高阶自回归形式当误差项u t的本期值不仅与其前一期值有关，而且与其前若干期的值都有关系时，即u t = f (u t – 1, u t – 2 , … ), 则称u t 具有高阶自回归形式。
2）按函数形式分为线性自相关和非线性自相关 （1）线性自相关 f 为线性函数形式 （2）非线性自相关 f 为非线性函数形式 3．一阶线性自相关通常假定误差项的自相关是线性的。
因计量经济模型中自相关的最常见形式是一阶自回归形式，所以下面重点讨论误差项的线性一阶自回归形式，即 u t =1a u t -1 + v t (1.2)其中1a 是自回归系数，v t 是随机误差项。
v t 满足通常假设E(v t ) = 0, t = 1, 2 …, T, Var(v t ) = σv 2, t = 1, 2 …, T,Cov(v i , v j ) = 0, i ≠ j, i, j = 1, 2 …, T, Cov(u t-1, v t ) = 0, t = 1, 2 …, T,依据普通最小二乘法公式，模型（1.2）中 1 的估计公式是，1ˆa= ∑∑=-=-Tt t Tt t tuuu 22121 (1ˆβ=∑∑---2)())((x x x x y y t t t ) (1.3)其中T 是样本容量。
第六章 自相关 《计量经济学》PPT课件
由于解释变量之一是被解释变量的滞后值，称为自 回归模型。人们的消费习惯不会轻易改变，从而 对模型产生自相关性。
（3）模型设定偏误（specification error）。
一是应含而未含变量（excluded variable）设定偏 误；二是不正确的函数形式。例
Yi
1
2 X 2i
3
X
2 2i
ui
• 同时，可以推出下列结论
•
E(ut ) mE(vtm ) 0
m0
（6.1.14）
•
Var(ut
)
m0
2 mVar (vt
m
)
1
2 v
2
（6.1.15）
三、自相关产生的原因
（1）惯性（inertia）。
大多数经济时间序列都一个明显的特点，就是它的 惯性或黏滞。例如，GDP、价格指数、就业等时 间序列都呈现出一定的周期性。这种“内在的动 力”惯性往往产生序列自相关。
E ( ˆ2
)
E
(
xt yt xt2
)
E(2
xtut xt2
)
•
2
xt E(ut ) xt2
2
（6.2.5）
• 即参数 2的OLS估计量为无偏估计量。
在随机干扰项不满足无自相关条件时，得到OLS估 计量的方差为：
Var(ˆ2
)
E(ˆ2
2
)
E(
xtut xt2
)2
1 ( xt2 )2
下，经济变量也是正相关，式子（6.2.6）括号内的数值是 大于0的。也就是说，仍使用式子（6.2.3）作为参数估计 量的方差将会低估真实的方差。
• 当随机干扰项不存在自相关时， 2 的无偏估计为：
第六章 自相关
2 2
n 2 2
n 1 2 n2 2 2
4.自相关的后果
如果把最小二乘法用于随机项有序列相关的 回归模型，那么将产生三种主要后果（下面以一 阶自回归的形式来讨论） ： 第一，尽管所得的估计值仍是无偏的，但这 时其估计值的方差大小可能非常不同于其真实的 方差（下面的讨论以 Yi = X i 为例） 。 估计值仍是无偏性的证明： xi y i xi i ˆ x 2i x 2i
4.自相关的后果
从上式可清楚看出，随机项有无序列相关，估计值的 方差是大不相同的。特别是，如果 为正，且 X 值 的前后期也为正相关时，上式的第二项则为正，这时 的方差将明显大于随机项无序列相关时的方差。因此， 这时仍用最小二乘法得到的参数估计值的方差，将比 其真实的方差低得多。
4.自相关的后果
3.自相关性质
下面我们主要讨论一阶自回归的形式
t t 1 vt
这里的 是自相关系数，且有 1 ，如果 0 则 称之为正序列相关， 0 则称之为负序列相关。 而 vt 是随机变量，且满足假设
E (vt ) 0, E (vt ) v , E (vt v s ) 0, t s
第六章 自相关
本章知识结构
1.自相关概念 2.自相关产生的原因 3.自相关的性质 4.自相关的后果 5.自相关的检验 6.自相关模型的估计 7.案例
1.自相关概念
在回归分析方法中，还有一个重要的假设条件是假设 回归模型中的随机项 i 是独立的或不相关的，即
Cov( i , j ) =0 ，i j ， j 1,2, , n 。
2 t t 2 2 i
第六章 自相关
= +
其中， ， 为误差项，且满足所有经典假定，即 满足下列条件：
（1）零期望 ；
（2）同方差 常数；
（3）无序列相关 （ ）；
（4）与 不相关
则称为 为一阶线性自相关，也称 为一阶自回归。
3.在 满足一阶自回归的形式下，关于 的特点
常数
可见当 时，且 = + ，即在 满足一阶自回归的形式时， 满足零期望假定，满足同方差假定，但不满足 的无自相关的假定。
其次，Durbin和Watson根据样本容量 ，解释变量的个数 ，显著水平 ，确定统
计量 的上限临界值 和下限临界值 。这样，对于原假定 ，确定判断一阶自回归的
区域：
当 时，表明存在一阶正相关，且相关程度随着 接近0而逐渐增强；
当 或 时，表明不能确定存在自相关，此时D-W检验失效；
当 时，表明不存在一阶自相关；
另一种，可以绘制 与时间 的二维坐标图，如图（c），（d）所示，图（c）为循环型。 不是频繁改变符号，而是连续几个正值之后跟着几个负值，表明存在正相关。图（d）为锯齿型。 随时间变化逐次改变符号，说明存在负相关。
二、D-W检验
D-W检验是J.Durbin G.S.Watson于1951年提出的，是检验序列相关常用的方法。
第二节自相关的后果
一、存在自相关时OLS估计的性质
1. ， 仍然为线性估计量。
2. ， 仍是 ， 的无偏估计。
3.参数估计值不再是方差最小的。
二、自相关性的后果
1.参数OLS估计的方差增大。
2.参数的显著性 检验失效。
3.区间估计和预测精度下降。
第三节自相关的检验
一、图示法
一般有两种方法：一种，计算 与 ，然后绘制 与 的坐标图，若 与 的图形存在系统反映，则可以判断随机项 可能存在自相关，如图6.2所示，近似认为图（a）为正相关，图（b）为负相关。
其中， ， 为误差项，且满足所有经典假定，即 满足下列条件：
（1）零期望 ；
（2）同方差 常数；
（3）无序列相关 （ ）；
（4）与 不相关
则称为 为一阶线性自相关，也称 为一阶自回归。
3.在 满足一阶自回归的形式下，关于 的特点
常数
可见当 时，且 = + ，即在 满足一阶自回归的形式时， 满足零期望假定，满足同方差假定，但不满足 的无自相关的假定。
其次，Durbin和Watson根据样本容量 ，解释变量的个数 ，显著水平 ，确定统
计量 的上限临界值 和下限临界值 。这样，对于原假定 ，确定判断一阶自回归的
区域：
当 时，表明存在一阶正相关，且相关程度随着 接近0而逐渐增强；
当 或 时，表明不能确定存在自相关，此时D-W检验失效；
当 时，表明不存在一阶自相关；
另一种，可以绘制 与时间 的二维坐标图，如图（c），（d）所示，图（c）为循环型。 不是频繁改变符号，而是连续几个正值之后跟着几个负值，表明存在正相关。图（d）为锯齿型。 随时间变化逐次改变符号，说明存在负相关。
二、D-W检验
D-W检验是J.Durbin G.S.Watson于1951年提出的，是检验序列相关常用的方法。
第二节自相关的后果
一、存在自相关时OLS估计的性质
1. ， 仍然为线性估计量。
2. ， 仍是 ， 的无偏估计。
3.参数估计值不再是方差最小的。
二、自相关性的后果
1.参数OLS估计的方差增大。
2.参数的显著性 检验失效。
3.区间估计和预测精度下降。
第三节自相关的检验
一、图示法
一般有两种方法：一种，计算 与 ，然后绘制 与 的坐标图，若 与 的图形存在系统反映，则可以判断随机项 可能存在自相关，如图6.2所示，近似认为图（a）为正相关，图（b）为负相关。
第六章 自相关
（ 4）
二、杜宾两步法
广义差分法要求 已知，但实际上只能用 的估计值 ^ 来代替。 这种方法是先估计 再作差分变换，然后用OLS法来 估计参数。步骤是： 1.将模型(3)的差分形式写为
Yt = bo (1 )+ Yt-1 + b1 Xt b1 Xt-1 + ε t
Yt = ao + Yt-1 + a1 Xt
et
n
2
et et 1 ˆ ρ 2 et
ˆ) d 2(1
• 因为-1 1，所以，0 d 4
DW检验的判断准则
不能检出 不能检出
正自相关 0
无自相关
负自相关
dL
dU
2
4- dU
4- dL
4
依据显著水平、变量个数（k）和样本大小（n） 一般要求样本容量至少为 15。
ˆ 2Yt 1 Yt ρ ˆ 2 X t 1 Xt ρ ˆ 2 t 1 t ρ
Xt
( 2)
7、反复迭代，直到 收敛，实际上人们只迭代两次， 称为二步迭代法。Eviews 中有专门命令 AR(1) 一阶自回归 LS Y C X AR(1) 在回归结果中，可以直接读到 的迭代收敛值。
用OLS法来求得参数估计值 ^ ao 和 ^ b1 此外求的估计值还有其它方法：
ˆ) d 2(1 ρ
d ˆ 1 ρ 2
三、科克兰内—奥克特迭代法
科克兰内—奥克特法又称迭代法，步骤是： 1、用OLS估计模型 Yt= bo + b1 Xt+μ t 2、计算残差et ^ ^ +b ^X ) et = Yt Yt = Yt (b o 1 t 3、 将et代入，得残差的一阶自回归方程 et = et-1 + ε t
第六章 自相关性
9
原因4－蛛网现象
蛛网现象是微观经济学中的一个概念。它表 示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出 来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需 的均衡点。 许多农产品的供给呈现为蛛网现象，供给对 价格的反应要滞后一段时间，因为供给需要经过 一定的时间才能实现。如果本期的价格低于上一 期的价格，农民就会减少本期的生产量。如此则 形成蛛网现象。
2 2 t 2 t ts
k t2 E ( ut2 ) 2 k t k s E ( ut us )
本章讨论四个问题：
●什么是自相关 ●自相关的后果 ●自相关的检验 ●自相关性的补救
1
第一节
什么是自相关
一、自相关的概念
由于自相关性较多地表现在时间序列中，所以 考虑模型： Yt 1 2 X 2t k X kt ut 如果随机误差项的各期值之间存在相关关系，即
Cov( ut , us ) E[ut E( ut )][us E( us )] E( ut us ) 0 ( t s)
Cov( ut , ut 1 ) Var( ut ) Var( ut 1 )
当r＜0时，则ut与ut-1为负自相关；当r＞0时，正自 相关；当r 0时，不相关。
一阶自相关可表示为 ut rut 1 v t
其中vt为满足古典假定的误差项。
3
一阶自相关 ut rut 1 v t 也称一阶自回归形式的自相关。 设 ut ut 1 vt , 则 ut ut 1 ut21 ut 1v t , 于是 E ( ut ut 1 ) E ( u ) E ( ut 1v t ) E ( u )
8
原因3－数据处理造成的相关
因为某些原因需对缺陷或缺失数据进行了 修整和内插处理，在这样的数据序列中可能产 生自相关。 例如，将月度数据调整为季度数据，由于 采用了加合处理，修匀了月度数据的波动，使 季度数据具有平滑性，这种平滑性产生自相关。 对缺失的历史资料，采用特定统计方法进行内 插处理，使得数据前后期相关，产生了自相关。
原因4－蛛网现象
蛛网现象是微观经济学中的一个概念。它表 示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出 来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需 的均衡点。 许多农产品的供给呈现为蛛网现象，供给对 价格的反应要滞后一段时间，因为供给需要经过 一定的时间才能实现。如果本期的价格低于上一 期的价格，农民就会减少本期的生产量。如此则 形成蛛网现象。
2 2 t 2 t ts
k t2 E ( ut2 ) 2 k t k s E ( ut us )
本章讨论四个问题：
●什么是自相关 ●自相关的后果 ●自相关的检验 ●自相关性的补救
1
第一节
什么是自相关
一、自相关的概念
由于自相关性较多地表现在时间序列中，所以 考虑模型： Yt 1 2 X 2t k X kt ut 如果随机误差项的各期值之间存在相关关系，即
Cov( ut , us ) E[ut E( ut )][us E( us )] E( ut us ) 0 ( t s)
Cov( ut , ut 1 ) Var( ut ) Var( ut 1 )
当r＜0时，则ut与ut-1为负自相关；当r＞0时，正自 相关；当r 0时，不相关。
一阶自相关可表示为 ut rut 1 v t
其中vt为满足古典假定的误差项。
3
一阶自相关 ut rut 1 v t 也称一阶自回归形式的自相关。 设 ut ut 1 vt , 则 ut ut 1 ut21 ut 1v t , 于是 E ( ut ut 1 ) E ( u ) E ( ut 1v t ) E ( u )
8
原因3－数据处理造成的相关
因为某些原因需对缺陷或缺失数据进行了 修整和内插处理，在这样的数据序列中可能产 生自相关。 例如，将月度数据调整为季度数据，由于 采用了加合处理，修匀了月度数据的波动，使 季度数据具有平滑性，这种平滑性产生自相关。 对缺失的历史资料，采用特定统计方法进行内 插处理，使得数据前后期相关，产生了自相关。
第六章 自相关
DW检验临界值与三个参数 有关。 （1）检验水平， （2）样本容量T ,
（3）原回归模型中解释变 量个数k（不包括常数项）。
注：1. 表示检验水平，T 表示样本容量， k 表示回归模型中解释变量个数 （不包括常数项） 。 2. dU 和 dL 分别表示 DW 检验上临界值和下临界值。 3. 摘自 Dubrin-Watson (1951)。
Байду номын сангаас
(et et 1 ) 2
DW =
t 2
T
et 2 et 12 2 et et 1
=
t 2 t 2 t 2
T
T
T
et 2
t 1
T
T
et 2
t 1
T T
T
因为在样本容量充分大条件下有 et 2 ≈ e t 1 2 ≈ et 2
t 2 t 2 t 1
2
所以 DW 可以近似表示为， DW≈
e
t 2
T
t 1
2
2
e e
t 2 2
T
t t 1
e e
= 2 (1 t 2 T
T
t t 1
e
t 2
T
t 1
e
t 2
ˆ) ) = 2 (1 -
2
t 1
6.3 自相关检验
与 DW 值的对应关系及意义 =0 =1 = -1
当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。（1）加大样本容量或 重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。（2）选用其 它检验方法。 DW检验临界值与三个参数有关。
附表 4
T dL 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1.08 1.10 1.13 1.16 1.18 1.20 1.22 1.24 1.26 1.27 1.29 1.30 1.32 1.33 1.34 k =1 dU 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.45 1.46 1.47 1.48 1.48
第六章自相关
k
ρ k xt xt + k 的符号难以断定，用 的符号难以断定， ∑∑
t =1 k =1
σ u2
xi2 ∑
也可能高估OLS估计 估计 也可能高估
量的真实方差，但对OLS估计量方差的估计也是有偏的。 量的真实方差，但对 估计量方差的估计也是有偏的。 估计量方差的估计也是有偏的
真实方差 :
2σ u2 ˆ Var ( β 2 ) = +[ 2 xt xt2 ∑ ∑
3 2
=⋯
ut = ρ ut −1 + ε t = ∑ ρ k ε t −k 一般关系： 一般关系：
k =0 ∞
期望
E (ut ) = ∑ ρ k E (ε t −k ) = 0
k =0
∞
方差
σ = Var (ut ) = Var (∑ ρ ε t − k ) =∑ ρ 2 kVar (ε t − k )
i≠ j 2 2 i
ˆ Var ( β 2 ) =
xi2 E (ui2 ) ∑ (∑ x )
2 2 i
=
σ2
xi2 ∑
在异方差但无自相关 异方差但无自相关时 异方差但无自相关
[ E (u ) = σ , E (ui u j ) = 0]
2 i 2 i
ˆ Var ( β 2 ) =
xi2 E (ui2 ) ∑ (∑ x )
2 u k t =0 t =0
∞
∞
σ ε2 = σ ε2 (1 + ρ 2 + ρ 4 + ⋯) = 1− ρ 2
证明) 协方差(P162证明 证明 k = 1时 类推可得
σ ε2 2 Cov (ut , ut −1 ) = ρ (σ ε2 + ρ 2σ ε2 + ρ 4σ ε2 + ⋯) = ρ = ρσ u 1− ρ2
ρ k xt xt + k 的符号难以断定，用 的符号难以断定， ∑∑
t =1 k =1
σ u2
xi2 ∑
也可能高估OLS估计 估计 也可能高估
量的真实方差，但对OLS估计量方差的估计也是有偏的。 量的真实方差，但对 估计量方差的估计也是有偏的。 估计量方差的估计也是有偏的
真实方差 :
2σ u2 ˆ Var ( β 2 ) = +[ 2 xt xt2 ∑ ∑
3 2
=⋯
ut = ρ ut −1 + ε t = ∑ ρ k ε t −k 一般关系： 一般关系：
k =0 ∞
期望
E (ut ) = ∑ ρ k E (ε t −k ) = 0
k =0
∞
方差
σ = Var (ut ) = Var (∑ ρ ε t − k ) =∑ ρ 2 kVar (ε t − k )
i≠ j 2 2 i
ˆ Var ( β 2 ) =
xi2 E (ui2 ) ∑ (∑ x )
2 2 i
=
σ2
xi2 ∑
在异方差但无自相关 异方差但无自相关时 异方差但无自相关
[ E (u ) = σ , E (ui u j ) = 0]
2 i 2 i
ˆ Var ( β 2 ) =
xi2 E (ui2 ) ∑ (∑ x )
2 u k t =0 t =0
∞
∞
σ ε2 = σ ε2 (1 + ρ 2 + ρ 4 + ⋯) = 1− ρ 2
证明) 协方差(P162证明 证明 k = 1时 类推可得
σ ε2 2 Cov (ut , ut −1 ) = ρ (σ ε2 + ρ 2σ ε2 + ρ 4σ ε2 + ⋯) = ρ = ρσ u 1− ρ2
第六章 自相关(序列相关)
2 横截面数据中的自相关：一般来说截面数据不容
易出现自相关，但相邻的观测单位之间也可能存在 “溢出效应”（neighborhood effect）。例如，相邻 省份、国家之间的经济活动相互影响（通过贸易、 投资、劳动力流动等）；相邻地区的农业产量受到 类似的天气影响而相关；同一社区内的房屋价格存 在相关性；相邻地区的消费倾向有相关性
第六章 自相关（序列相关）
一 、 自 相 关 的 后 果 违 反 球 型 扰 动 项 假 定 的 另 一 情 形 是 自 相 关 。 若 存 在 i j使 得 E ， 即 扰 动 项 的 协 方 差 阵 V a r X i j X 0 的 非 主 对 角 线 元 素 不 全 为， 0 则 称 存 在 “ 自 相 关 ” （ a u to c o rre la tio n ） 或 “ 序 列 相 关 ” （ se ria lc o rre la tio n ）
3 设 定 误 差 m i s s p e c i f i c a t i o n ： 如 果 模 型 设 定 中 遗 漏 会 引 起 扰 动 项 的 自 相 关 。
了 某 个 自 相 关 的 解 释 变 量 ， 并 被 纳 入 到 扰 动 项 中 ， 则
三 、 自 相 关 的 检 验
大 样 本 下 是 等 价 的 ， 但 L ju n g － B o x Q统 计 量 的 小 样 本 性 质 更 好 。
自 相 关 阶 数 p 如 何 给 出 ？ 可 由 统 计 软 件 默 认 给 定 。 助 回 归 的 参 数 的 显 著 性 检 验 来 判 断 自 相 关 的 阶 数
也 可 以 从 1 阶 、 2 阶 逐 次 向 更 高 阶 检 验 ， 借 助 辅
为 何 要 引 入 解 释 变 量， x ，呢 x t 1 t k ？
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原因2－ 经济活动的滞后效应 滞后效应是指某一指标对另一指标的影 响不仅限于当期而是延续若干期。由此带来变 量的自相关。 例如，居民当期可支配收入的增加，不会 使居民的消费水平在当期就达到应有水平，而 是要经过若干期才能达到。因为人的消费观念 的改变客观上存在自适应期。
原因3－数据处理造成的相关
一阶自相关系数
自相关系数ρ的定 义与普通相关系的 公式形式相同，ρ 的取值范围为 -1≤ ρ ≤ 1。 式 （6.1）中ut-1是ut滞 后一期的随机误差 项，因此，将式 （6.1）计算的自相 关系数ρ称为一阶 自相关系数。
u u
t t2
n
t 1 n
u
t2
n
2 t
u
t2
2 t 1
Y t 27.9123 0.3524 X t
^
（1.8690） (0.0055) t= (14.9343) (64.2069) 2 R 0.9966 F=4122.531 检验结果：回归系数的标准误差非常小，t统计量较大，说明居 民收入X对居民储蓄存款Y的影响非常显著。同时可决系数也非 常高，F统计量=4122.531，也表明模型异常的显著。 但此估计结果可能是虚假的，t统计量和F统计量都被虚假 地夸大，因此所得结果是不可信的。为什么?
2
n 1
x1 x n
xt
2
t 1
n
)
2
xt
（6.18）
当存在自相关时，普通最小二乘估计量不再是 最佳线性无估计量，即它在线性无偏估计量中不是
方差最小的。在实际经济系统中，通常存在正的自
相关，即ρ>0，同时X 序列自身也呈正相关，因此
式(6.18)右边括号内的值通常大于0。因此，在有
t 检验的统计量为
t 估计值 估计量的标准误 ˆ 2 ˆ Se ( 2 )
由于
ˆ SE ( 2 ) 的错误夸大，得到的t 统计量就可能
如果式（6.5）中的随机误差项vt不是经典误差项 ，即vt中包含有ut的成份，如包含有ut-2则需将ut-2显 含在回归模型中，其为
ut = ρ1ut-1+ρ2ut-2 +vt′
(6.6)
其中，ρ1为一阶自相关系数， ρ2为二阶自相关系数 ， vt′是经典误差项。式（6.6）称为二阶自回归模 式，记为AR(2)。一般地，如果u1，u2，…，ut之间 的关系为
这些协方差分别称为随机误差项 u t 的一阶自协方 差、二阶自协方差和 k 阶自协方差。 对于一元线性回归模型（6.8），当 u 为经典误差 ˆ 项时，普通最小二乘估计量 2 的方差为:
ˆ Var ( 2 )
2
(X
X)
2
2 2
x
（6.16）
ˆ 当式（6.8）的随机误差项u有自相关时， 2 依 ˆ 然是无偏的，即 E ( 2 ) 2 ，这一点在普通最小二
经济系统中的自相关
一、自相关的概念 二、自相关产生的背景与原因
三、自相关性的后果
四、自相关性的检验
五、自相关问题的处理方法
第一节
什么是自相关
一、自相关的概念
自相关（auto correlation），又 称序列相关（serial correlation）是指 总体回归模型的随机误差项之间存在相 关关系。即不同观测点上的误差项彼此 相关。
供给t=β1+β2价格t-1+ut
(6.2)
原因5－模型设定偏误
如果模型中省略了某些重要的解释变量或者模型函数 形式不正确，都会产生系统误差，这种误差存在于随机误差 项中，从而带来了自相关。由于该现象是由于设定失误造成 的自相关，因此，也称其为虚假自相关。 例如，应该用两个解释变量解释Y，即:
Yt 1 2 X 2 t 3 X 3 t u t (6.3)
E [( u t 1 v t ) u t 1 ]
E (u
2 t 1
) E ( v t u t 1 )
(6.13)
2 u
2 v 2
1
Cov ( u t , u t 2 ) E ( u t u t 2 )
E [( u t 1 v t ) u t 2 ]
乘法无偏性证明中可以看到。因为，无偏性证明并
不需要 u 满足无自相关的假定。那么，最小二乘估
ˆ 计量 2 是否是有效的，即在所有线性无偏估计量
中方差最小呢？下面我们将以说明。
式（6.8）中的最小二乘估计量为
ˆ xt y t xt u t 2 2 2 2 xt xt
E [( u t 2 v t 1 v t ) u t 2 ]
2
E (u
2
2 t2
)
(6.14)
2 v2
1
2
以此类推，可得 :
Cov ( u t , u t k ) Var ( u t k )
k
k v2
1
2
（6.15）
例如，在消费行为中，一个家庭、一
个地区的消费行为可能会影响另外一些家庭
和另外一些地区，就是说不同观测点的随机
误差项可能是相关的。
多数经济时间序列在较长时间内都表
现为上升或下降的超势，因此大多表现为正
自相关。但就自相关本身而言是可以为正相
关也可以为负相关。
三、自相关的表现形式
自相关的性质可以用自相关系数ρ的符号判断 自相关的方向，即ρ <0为负相关， ρ >0为正相 关。当| ρ |接近1时，表示相关的程度很高。 但自相关是u1，u2，…，un序列自身的相关， 因n个随机误差项的关联形式不同而具有不同的 自相关形式。自相关大多出现在时间序列数据 中。
自相关的后果
对 参 数 估 计 的 影 响 对 模 型 检 验 的 影 响 对 模 型 预 测 的 影 响
一、对参数估计的影响
在有自相关的条件下，仍然使用普通最小二乘法将
ˆ ˆ 低估估计量 2 的方差 Var ( 2 )
。
ˆ 2
ei
2
nk
将低估真实的
。
2
对于一元线性回归模型:
将随机误差项 u t 的各期滞后值:
u t 1 u t 2 v t 1 , u t 2 u t 3 v t 2 , ,
逐次代入式（6.9）可得:
u t v t v t 1 v t 2
2
r 0
r
vtr
(6.10)
E (u t )
Var ( v t )
r 0
r
E (v t r ) 0
v
2 2
(6.11)
r 0
2n
Var ( v t r )
1
2 u
(6.12)
式（6.11）、式（6.12）表明，在 u t 为一阶自回 归的相关形式时，随机误差 u t 依然是零均值、同方 差的误差项。
因为某些原因对数据进行了修整和内插 处理，在这样的数据序列中就会有自相关。
例如，将月度数据调整为季度数据，由于 采用了加合处理，修匀了月度数据的波动，使 季度数据具有平滑性，这种平滑性产生自相关。 对缺失的历史资料，采用特定统计方法进行内 插处理，使得数据前后期相关，产生了自相关。
原因4－蛛网现象
由于现期的随机误差项 v t 并不影响回归模型中随机误差 项 u t 的以前各期值 u t k (k>0)，所以 v t 与 u t k 不
相关，即有 E ( vt u t k ) 0 。因此，由式（6.9）可得 随机误差项 u t 与其以前各期 u t k 的协方差分别为:
Cov ( u t , u t 1 ) E (u t u t 1 )
式 (6.1)
二、自相关产生的原因
自 相 关 产 生 的 原 因 1、经济系统的惯性 2、经济活动的滞后效应
3、数据处理造成的相关
4、蛛网现象 5、模型设定偏误
原因1－经济系统的惯性
自相关现象大多出现在时间序列数据中， 而经济系统的经济行为都具有时间上的惯性。 如GDP、价格、就业等经济指标都会随 经济系统的周期而波动。例如，在经济高涨 时期，较高的经济增长率会持续一段时间， 而在经济衰退期，较高的失业率也会持续一 段时间，这种现象就会表现为经济指标的自 相关现象。
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50-60 70-80
35% 30% 25% 20%
`
15% 10% 5% 0% 90-100
计量经济学
第六章
自相关
引子 T检验和F检验一定就可靠吗?
研究居民储蓄存款Y与居民收入X的关系：
Yt 1 2 X t u t
用普通最小二乘法估计其参数，结果为
（6.17）
2
因此:
ˆ ) 2 E xt u t Var ( 2 ) E ( 2 2 2 xt
^
2 u
t 1
n
(1 2
2
xx
t t 1
n 1
t 1
xt
t 1
n
2
2 t 1
xx
t
n2
t2
xt
2
t 1
n
u t 1 u t 1 2 u t 2 m u t m v t (6.7)
其中，vt 为经典误差项。则称式(6.7)为m 阶自回归模式，记为AR(m)。
在经济计量分析中，通常采用一阶自