第六章自相关性详解
第6章 自相关
et
t
图 6.4 et 的分布 如果 et 随着 t 的变化逐次变化并不频繁地改变符号，而是 几个正的 et后面跟着几个负的，则表明随机误差项 ut 存 在正自相关。 29
二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(沃特 森)于1951年提出的一种适用于小样本的检验方
27
et
t
二、对模型检验的影响
按照时间顺序绘制回归残差项 et 的图形。如果 et (t 1, 2, , n ) 随着 t 的变化逐次有规律地变化， et呈现锯齿形或循环形状的变化，就可断言 et存在相关， et 表明存在着自相关；如果 随着 的变化逐次变化并 t ut 不断地改变符号，那么随机误差项 存在负自相关
第六章 自相关
本章讨论四个问题：
●什么是自相关 ●自相关的后果 ●自相关的检验 ●自相关性的补救
1
第一节 什么是自相关
一、自相关的概念
自相关（auto correlation），又称序列相关（ serial correlation）是指总体回归模型的随机 误差项之间存在相关关系。即不同观测点上的 误差项彼此相关。
体回归模型(PRF)的随机项为 u1 , u2 ,..., un， 如果自相关形式为
ut = u + vt t -1
2
- 1< < 1
其中 为自相关系数， v 为经典误差项，即 t
E(vt ) 0 , Var(vt ) , Cov(vt , vt+s ) 0 , s 0
误差项 u 1, u 2 , ..., u n 间存在 正相关 不能判定是否有自相关 误差项 u 1, u 2 , ..., u n 间 无自相关
最新-第六章自相关-PPT文档资料
第三、OLS估计量的方差是有偏的。 第四、T检验和F检验一般是不可靠的。 第五、计算得到的误差方差
2
RSS/d.f.
是真实的σ2有偏估计量，可能低估，也可能高估
第六、通常计算的R2也不能测度真实的R2
第七、预测的方差和标准差可能也是无效 的。
Q产出量 解释变量 资本（K）劳动(L) 技术（T）
注意：有些因素如政策因素对产出是有影响的但并没有 包含在解释变量中，所以应当包含在随机误差项中。
如果该影响构成随机误差项的的主要部分，则可能 出现序列相关
这是由于政策的影响是连续的。
而在做产出对劳力和资本投入的回 归中，我们用了季度时间序列数据。如 果某一季度的产出受到罢工的影响，却 没有理由认为这一生产中断会持续到下 一季度，就是说，即令本季度产出下降， 却没有理由预期下一季度的产出也下降。
表明干扰中的一个上升线性趋势
表明干扰中的一个下降线性趋势 表明干扰中兼有线性和二次趋势项
表示无系统性模样，符合于经典线性回归 模型的无相关假定。
§6.2 自相关产生的原因和后果
一、自相关产生的原因 1、被解释变量的自相关 • 滞后效应
在一个消费支出对收入的时间序列回归中， 人们常常发现当前时期的消费支出除了依赖于 其他变量外，还依赖于前期的消费支出，就是：
3、随机扰动项本身的特性所决定
• 惯性
在许多情况下，真实扰动项的逐次值是相关的。 例如干旱、暴风雨、地震、战争、罢工等纯随 机因素所产生的影响，将延续一个时期以上。 显然，在农业生产中，由于反常的天气所引起 的欠收，将会在几个时期内影响其他的经济变 量；还有，地震对于某个地区经济发展的影响， 也将持续若干年，等等。诸如此类的原因，导 致了扰动项的自相关。
第六章 自相关性
接前页
3、降低预测精度
由于参数估计值方差虚假增大，致使预测区间的 可信程度降低，预测结果将失去实际意义。
6.3自相关性检验方法
从上述内容的介绍我们可以发现，自相关对模型产生的 不良后果是比较严重的，因此，必须采取相应措施加以 修正或克服。但在修正或克服之前，应该对模型误差项 序列是否存在自相关进行判断，即自相关检验。其方 法主要有：
6.2自相关产生的后果
1、参数估计值非有效（即不再具有最小方差性） 根据前面学过的内容，我们知道，只有在符合同 方差和非自相关性假定条件下，OLS估计结果才 具有最小方差性。当模型存在自相关，参数估计 值方差不是最小（即估计结果不是最优）。
2、模型的显著检验（T检验）失效
标准差增大，导致t统计量变小，进而低估了参数
第二步，对原数据进行广义差分变换，得：
yt*= yt- ρ Yt-1 , xt*= xt- ρ xt-1，再对模型 yt*=A+b1 xt*+ vt*进行回归，并根据回归结果得到原模型 参数估计值b0= A/ （1- ρ ^）和b1
总结说明
迭代法： 是采用一系列迭代，而每一次迭代都 能得到比前一次更好的一阶自回归 系数ρ ^ 杜宾两步法： 也是获得比较准确的一阶自回归系数ρ ^的方法
t
关来判断随机项的自相关。
1、按时间顺序绘制残差分布图：
1.1 正自相关：残差e随时间t的变化并不频繁改变符号，而是几个正的 后面有几个负的。
e
O t
正自相关
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1.2 负自相关：e随t变化依次改变正负符号
第六章 自相关 《计量经济学》PPT课件
[(
1
ˆ
)
1
xt
ut
]2
(1 ˆ1)2 xt2 2(1 ˆ1) xt ut ut2
(6.2.11)
其中 xt ut xt ut (1 ˆ1) xt2
u
2 t
ut ut
ut2
1 n
ut ut
t t
(1
1 n
)
u
2 t
2 n
ut
t t
ut
所以
2 t
(1
ˆ 1 )2
xt2
第六章 自相关 【本章要点】（1）自相关的概念，自相关强度的 量度—自相关系数，了解经济现象中自相关产生 的原因；（2）自相关性对模型参数估计的影响； （3）检验自相关性的主要方法；（4）消除自相 关影响的方法。 §6.1 自相关 一、自相关的概念
如果经典回归的基本假定4遭到破坏，则
COV(ut ,us)=E(ut us)≠0 , t≠s , t,s=1,2, …,n,即u的取值与 它的前一期或前几期的取值相关，则称u存在序列相关 或自相关。 自相关有正自相关和负自相关之分，对随机项的时间 序列u1,u2,…,un,…，当ut > 0时，随后的若干个随机项 ut+1,u t+2,…都有大于0的倾向，当ut < 0时，随后若干个 随机项都有小于0的倾向，我们说u具有正相关性；而 负自相关则意味着两个相继的随机项ut和ut+1具有正负 号相反的倾向。在经济数据中，常见的是正自相关现象。
(4)根据样本容量n，自变量个数和显著水平0.05 (或0.01)从D-W检验临界值表中查出dL和du。 (5)将d 的现实值与临界值进行比较： ①若d < dL，则否定H0，即u存在一阶线性正自相关； ②若d > 4- dL，则否定H0，即u存在一阶线性负自相关； ③若du< d < 4- du，则不否定 H0，即u不存在（一阶）线 性自相关；
计量经济学第六章自相关
计量经济学第六章自相关自相关是计量经济学中一种重要的现象，它指的是一个变量与其自己在过去时间点上的相关性。
自相关在实证研究中十分常见，对经济学家来说，了解和掌握自相关性质是至关重要的。
1. 引言自相关作为计量经济学的一项基础概念，是经济学研究中不可或缺的一个重要方法。
自相关性的存在通常会引起回归结果的偏误，而忽略自相关性可能导致估计不准确的结果。
因此，探讨自相关性的性质和应对方法是计量经济学的重点之一。
2. 自相关的定义和表示自相关是指一个变量与其自身在过去时间点上的相关性。
假设我们有一个时间序列数据集，其中变量yt表示一个时间点上的观测值，t表示时间索引。
自相关系数可以通过计算观测值yt与其在过去某一时间点上的观测值yt-k（k为时间滞后期数）的相关性来得到。
数学上，自相关系数可以用公式表示为：ρ(k) = Cov(yt, yt-k) / (σ(yt) * σ(yt-k))其中，ρ(k)表示第k期的自相关系数，Cov表示协方差，σ表示标准差。
3. 自相关性的性质自相关性具有以下几个性质：3.1 一阶自相关性一阶自相关性是指变量值yt与前一期的观测值yt-1之间的相关性。
一阶自相关系数ρ(1)通常用来检验时间序列数据是否存在自相关性。
若ρ(1)大于零且显著，则表明存在正的一阶自相关性；若ρ(1)小于零且显著，则表明存在负的一阶自相关性。
3.2 高阶自相关性除了一阶自相关性，时间序列数据还可能存在高阶自相关性。
高阶自相关性是指变量值yt与过去第k期的观测值yt-k之间的相关性。
通过计算不同滞后期的自相关系数ρ(k)，可以了解数据在不同时间跨度上的自相关性情况。
3.3 异方差自相关性异方差自相关性是指时间序列数据中的方差不仅与自身相关，还与过去观测值的相关性有关。
异方差自相关性可能导致在回归分析中的标准误差失效，从而产生无效的回归结果。
因此，在处理存在异方差自相关性的数据时要采取合适的修正方法。
4. 自相关性的检验方法在实证研究中，经济学家通常使用多种方法来检验数据中的自相关性，常用的方法包括：4.1 Durbin-Watson检验Durbin-Watson检验是一种常用的检验自相关性的方法，其基本思想是通过检验误差项的相关性来判断自相关是否存在。
第六章 自相关性
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原因4－蛛网现象
蛛网现象是微观经济学中的一个概念。它表 示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出 来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需 的均衡点。
xt xs xt2 xs2
0
若为负自相关，则E(ut us) < 0，而回归模型中的解
释变量在不同时期通常也负相关，从而
kt ks
xt xs xt2 xs2
0
总之，一般有
ts
kt
ks
E
(
ut
us
)
0
19
从而
Var(ˆ2 )
2
xt2
即如果仍用不存在自相关时的OLS估计参数的方差， 将会低估存在自相关时参数估计值的真实方差。
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自相关主要存在于时间序列数据中，但是在 横截面数据中，也可能会出现自相关,通常称其 为空间自相关（Spatial auto correlation）。
14Βιβλιοθήκη 第二节 自相关的后果一、对参数估计式统计特性的影响 （1）如果随机误差项具有自相关性，当我们
仍用OLS进行参数估计时，估计式仍具有线性性和 无偏性。
E(ˆ1) E(Y ˆ2 X ) E(Y ) XE(ˆ2 )
(1 2 X ) X2 1
推导也仅用到零均值假定，表明无偏性也成立。
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（2）不再具有最小方差性。
Var(ˆ2 ) E[ˆ2 E(ˆ2 )]2 E(ˆ2 2 )2
E(kt ut
)2
第六章 自相关
第六章 自相关§6.1 自相关一. 概念：经典假定4 cov(,)0,()i j u u i j =≠，不被满足，称i u 存在自相关或序列相关。
自 相关主要存在于时间序列中。
自相关又分为正自相关和负自相关，其主要表现是： 正自相关：当某个0t u >时，随后若干项12,,t t u u ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅都有大于零的倾向； 当某个0t u <时，随后若干项12,,t t u u ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅都有小于零的倾向。
负自项关：相邻两项的符号有相反的倾向。
在时间序列中，t u 的符号信息对以后各期都有一定的影响，即跨期的扰动项序列相关（经济数据中居多）。
所以在实际工作中，以正自相关较为常见。
二. 产生自相关的原因：1. 许多经济变量是时间序列，此时不能认为u 无自相关；2. 非重要因素归入随机误差项，而这些因素又有自相关的情况；3. 一些重大偶然事件对经济的冲击，往往要延续一段时间；4. 模型本身设置的不正确。
三. 自相关强度的度量------自相关系数1. 自相关的阶：一阶自相关：t u 只与1t u -（之前一期）有关，1()t t u f u -=； 二阶自相关：t u 与12,t t u u --（之前两期）有关，12(,)t t t u f u u --= s 阶自相关：t u 与之前s 期有关，12(,,,)t t t t s u f u u u ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅一般情况下，以研究一阶自相关为主。
因为相邻两期的影响最强且一阶的形式也比较简单。
这时通常假定是一阶线性自相关。
2. 自相关系数：若假定是一阶线性自相关，则自相关形式为1t t t u u v ρ-=+且11ρ-<<ρ是常数，可称为（一阶）自相关系数；t v 是一个新的随机项且满足所有经典假定，即 2~(0,)t v v N σ ()0t t E v v '= ()t t '≠()0s t E u v = ()t s >这样自相关形式就是一个不含常数项的线性模型，ρ就是回归参数，可用OLS 法估计ρ：12212nt t t nt t u uuρ-∧=-==∑∑1nt t u u-≈∑ （当n 很大时，22122n nt t t t u u-==≈∑∑）这完全符合相关系数的计算表达，所以称ρ为自相关系数是合理的。
第六章 自相关
不能判定是否有自相关
d L DW dU
dU DW 4 - dU
4 - dU DW 4 - d L
误差项 u1, u2 ,..., un 间 无自相关
不能判定是否有自相关 误差项 u1, u2 ,..., un 间存在 负相关
16
一、一阶自回归形式的性质
一元线性回归模型:
Y = 1 + 2 X + u
假定随机误差项 u 存在一阶自相关
ut = ut -1 + vt
其中，ut为现期随机误差， ut -1 为t-1期随机误差。 是经典误差项，满足零均值假定 E(vt ) = 0 和同方差假定 Var(vt ) = v 、无自相关假定 E(vt vs ) 0 (t s) 。
Cov ut , us 0t s
Cov ut , ut 1 0
自相关
一阶自相关
ut ut 1 t 为一阶自相关系数
一阶线性自相关
6
二、自相关产生的原因 自 相 关 产 生 的 原 因
经济系统的惯性
经济活动的滞后效应 数据处理造成的相关
2,400 2,000 1,600 1,200
EOLS
800 400 0 -400 -800 -1,200 -1,200
结论： 一阶正自相关
-800 -400 0 400 800 EOLS(-1)
30
再来看看另一幅图
结论： 无一阶自相关
残差的散点图
31
二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S. Watson (沃特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检 验方法。DW检验只能用于检验随机误差项具有 一阶自回归形式的自相关问题。
自相关(序列相关性)
i
β X
1
β
=
1
∑ x y ∑ x
=
β
1
+
∑k u
i
i
所以，E (
Var( β ) = + 2σ ∑ x x ρ σ 2 ∑x (∑ xt )
1
2 2 t s 1 2 u u t s<t 2
)=β β
1
其中，
k
i
=
x ∑x
i
2 i
1
t s
即 Var（
β）
1
>
1
∑x
2 t
σu2
（一） OLS估计值方差增大 估计值方差增大
k ≠s k ≠s
检验， 检验失效 （二） t检验， F检验失效 检验
（三）预测精度降低
第二节 自相关的检验
一、图示法
通过et的变化来推断ut的变化规律 1.估计模型，求出 2.作 断
et
et 与 t
或
et 与et-1等的相关图，进行判
瓦特森（ 二、杜宾--瓦特森（Durbin--Waston）检验 杜宾 瓦特森 ） 简称， 简称， D--W检验 检验
2.自相关产生的原因 自相关产生的原因 （1）随机项 ui 本身的自相关——“真自相关” 例如，一些随机因素：自然灾害、经济政策、战争 等的影响往往会持续若干时期，造成随机项自相关 （2）模型设定不当，包括遗漏重要解释变量或错误确 定模型的数学形式——“拟自相关” （ 3）数据处理不当造成的自相关 例如，对数据进行差分等变换，就可能产生自相关。
，直到其收敛为止。一般，迭代两步就可以
了，所以，又叫科克兰内--奥克特两步法。 杜宾两步法可以推广到高阶自相关的情况。 利用 d=2（1-
第六章 自相关性
进一步，如果
ut ut 1 t
其中
1,t满足E(t ) 0,Var(t )
2
,
cov(t , s ) 0, (t s)
则称ut是一阶线性自相关。
二、自相关性产生的原因
1、经济变量惯性的作用 2、经济行为的滞后性 3、一些随机偶然因素的干扰或影响 4、模型设定的偏误 5、蛛网现象模型
例如：“真实”的边际成本与产量之间的函数关
系式应为：
Yt
1
2 X t
3 X
2 t
ut
其中Yt表示边际成本，X t表示产量，由于认识上的偏
误可能建立如下模型： Yt 1 2 X t vt
其中vt
3
X
2 t
ut，这时由于vt中包含了带有X
2对边
t
际成本的系统影响，使得vt很有可能出现自相关性。
3、一些随机偶然因素的干扰或影响 通常偶然因素是指战争、自然灾害、政策制定
的错误后果、面对一些现象人们的心理因素等等， 这些因素可能影响若干时期，反映在模型中很容 易形成随机误差序列的自相关。
4、设定偏误：
所谓设定偏误是指所建模型“不真实”或“不正 确”。引起设定偏误的主要原因有：模型函数的形式 不正确或遗漏了主要变量。
1、经济变量惯性的作用 大多数经济时间数据都有一个明显的特点，就是
它的惯性，表现在时间序列数据不同时间的前后关联 上。
例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型：
Ct=0+1Yt+t
t=1,2,…,n
由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中， 则可能出现序列相关性（往往是正相关 ）。
第六章 自相关
2 2
n 2 2
n 1 2 n2 2 2
4.自相关的后果
如果把最小二乘法用于随机项有序列相关的 回归模型，那么将产生三种主要后果（下面以一 阶自回归的形式来讨论） ： 第一，尽管所得的估计值仍是无偏的，但这 时其估计值的方差大小可能非常不同于其真实的 方差（下面的讨论以 Yi = X i 为例） 。 估计值仍是无偏性的证明： xi y i xi i ˆ x 2i x 2i
4.自相关的后果
从上式可清楚看出，随机项有无序列相关，估计值的 方差是大不相同的。特别是，如果 为正，且 X 值 的前后期也为正相关时，上式的第二项则为正，这时 的方差将明显大于随机项无序列相关时的方差。因此， 这时仍用最小二乘法得到的参数估计值的方差，将比 其真实的方差低得多。
4.自相关的后果
3.自相关性质
下面我们主要讨论一阶自回归的形式
t t 1 vt
这里的 是自相关系数，且有 1 ，如果 0 则 称之为正序列相关， 0 则称之为负序列相关。 而 vt 是随机变量，且满足假设
E (vt ) 0, E (vt ) v , E (vt v s ) 0, t s
第六章 自相关
本章知识结构
1.自相关概念 2.自相关产生的原因 3.自相关的性质 4.自相关的后果 5.自相关的检验 6.自相关模型的估计 7.案例
1.自相关概念
在回归分析方法中，还有一个重要的假设条件是假设 回归模型中的随机项 i 是独立的或不相关的，即
Cov( i , j ) =0 ，i j ， j 1,2, , n 。
2 t t 2 2 i
第六章 自相关
其中， ， 为误差项，且满足所有经典假定，即 满足下列条件：
（1）零期望 ；
（2）同方差 常数；
（3）无序列相关 （ ）；
（4）与 不相关
则称为 为一阶线性自相关，也称 为一阶自回归。
3.在 满足一阶自回归的形式下，关于 的特点
常数
可见当 时，且 = + ，即在 满足一阶自回归的形式时， 满足零期望假定，满足同方差假定，但不满足 的无自相关的假定。
其次，Durbin和Watson根据样本容量 ，解释变量的个数 ，显著水平 ，确定统
计量 的上限临界值 和下限临界值 。这样，对于原假定 ，确定判断一阶自回归的
区域：
当 时，表明存在一阶正相关，且相关程度随着 接近0而逐渐增强；
当 或 时，表明不能确定存在自相关，此时D-W检验失效；
当 时，表明不存在一阶自相关；
另一种，可以绘制 与时间 的二维坐标图，如图（c），（d）所示，图（c）为循环型。 不是频繁改变符号，而是连续几个正值之后跟着几个负值，表明存在正相关。图（d）为锯齿型。 随时间变化逐次改变符号，说明存在负相关。
二、D-W检验
D-W检验是J.Durbin G.S.Watson于1951年提出的，是检验序列相关常用的方法。
第二节自相关的后果
一、存在自相关时OLS估计的性质
1. ， 仍然为线性估计量。
2. ， 仍是 ， 的无偏估计。
3.参数估计值不再是方差最小的。
二、自相关性的后果
1.参数OLS估计的方差增大。
2.参数的显著性 检验失效。
3.区间估计和预测精度下降。
第三节自相关的检验
一、图示法
一般有两种方法：一种，计算 与 ，然后绘制 与 的坐标图，若 与 的图形存在系统反映，则可以判断随机项 可能存在自相关，如图6.2所示，近似认为图（a）为正相关，图（b）为负相关。
计量经济学 第六章 自相关性
第六章自相关性6.1 自相关性：6.1.1. 非自相关假定由第2章知回归模型的假定条件之一是，Cov(u i, u j) = E(u i u j) = 0, (i, j∈T, i≠j), (6.1)即误差项u t的取值在时间上是相互无关的。
称误差项u t非自相关。
如果Cov (u i,u j ) ≠ 0, (i≠j)则称误差项u t存在自相关。
自相关又称序列相关。
原指一随机变量在时间上与其滞后项之间的相关。
这里主要是指回归模型中随机误差项u t与其滞后项的相关关系。
自相关也是相关关系的一种。
6.1.2．一阶自相关自相关按形式可分为两类。
(1)一阶自回归形式当误差项u t只与其滞后一期值有关时，即u t = f (u t - 1) + v t称u t具有一阶自回归形式。
(2) 高阶自回归形式当误差项u t的本期值不仅与其前一期值有关，而且与其前若干期的值都有关系时，即u t = f (u t– 1, u t– 2 , …u t– p ) + v t则称u t具有P阶自回归形式。
通常假定误差项的自相关是线性的。
因计量经济模型中自相关的最常见形式是一阶自回归形式，所以下面重点讨论误差项的线性一阶自回归形式，即u t = α1 u t -1 + v t(6.2)其中α1是自回归系数，v t 是随机误差项。
v t 满足通常假设E(v t) = 0, t = 1, 2 …,T,Var(v t) = σv2, t = 1, 2 …,T,Cov(v i , v j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2 …, T , Cov(u t -1, v t ) = 0, t = 1, 2 …, T ,依据普通最小二乘法公式，模型（6.2）中 α1 的估计公式是，1ˆa= ∑∑=-=-Tt t Tt t t u u u 22121(1ˆβ=∑---2)())((x x x x y y t t t ) (6.3)其中T 是样本容量。
第六章 自相关性
原因4－蛛网现象
蛛网现象是微观经济学中的一个概念。它表 示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出 来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需 的均衡点。 许多农产品的供给呈现为蛛网现象，供给对 价格的反应要滞后一段时间，因为供给需要经过 一定的时间才能实现。如果本期的价格低于上一 期的价格，农民就会减少本期的生产量。如此则 形成蛛网现象。
2 2 t 2 t ts
k t2 E ( ut2 ) 2 k t k s E ( ut us )
本章讨论四个问题：
●什么是自相关 ●自相关的后果 ●自相关的检验 ●自相关性的补救
1
第一节
什么是自相关
一、自相关的概念
由于自相关性较多地表现在时间序列中，所以 考虑模型： Yt 1 2 X 2t k X kt ut 如果随机误差项的各期值之间存在相关关系，即
Cov( ut , us ) E[ut E( ut )][us E( us )] E( ut us ) 0 ( t s)
Cov( ut , ut 1 ) Var( ut ) Var( ut 1 )
当r＜0时，则ut与ut-1为负自相关；当r＞0时，正自 相关；当r 0时，不相关。
一阶自相关可表示为 ut rut 1 v t
其中vt为满足古典假定的误差项。
3
一阶自相关 ut rut 1 v t 也称一阶自回归形式的自相关。 设 ut ut 1 vt , 则 ut ut 1 ut21 ut 1v t , 于是 E ( ut ut 1 ) E ( u ) E ( ut 1v t ) E ( u )
8
原因3－数据处理造成的相关
因为某些原因需对缺陷或缺失数据进行了 修整和内插处理，在这样的数据序列中可能产 生自相关。 例如，将月度数据调整为季度数据，由于 采用了加合处理，修匀了月度数据的波动，使 季度数据具有平滑性，这种平滑性产生自相关。 对缺失的历史资料，采用特定统计方法进行内 插处理，使得数据前后期相关，产生了自相关。
第六章自相关
ρ k xt xt + k 的符号难以断定，用 的符号难以断定， ∑∑
t =1 k =1
σ u2
xi2 ∑
也可能高估OLS估计 估计 也可能高估
量的真实方差，但对OLS估计量方差的估计也是有偏的。 量的真实方差，但对 估计量方差的估计也是有偏的。 估计量方差的估计也是有偏的
真实方差 :
2σ u2 ˆ Var ( β 2 ) = +[ 2 xt xt2 ∑ ∑
3 2
=⋯
ut = ρ ut −1 + ε t = ∑ ρ k ε t −k 一般关系： 一般关系：
k =0 ∞
期望
E (ut ) = ∑ ρ k E (ε t −k ) = 0
k =0
∞
方差
σ = Var (ut ) = Var (∑ ρ ε t − k ) =∑ ρ 2 kVar (ε t − k )
i≠ j 2 2 i
ˆ Var ( β 2 ) =
xi2 E (ui2 ) ∑ (∑ x )
2 2 i
=
σ2
xi2 ∑
在异方差但无自相关 异方差但无自相关时 异方差但无自相关
[ E (u ) = σ , E (ui u j ) = 0]
2 i 2 i
ˆ Var ( β 2 ) =
xi2 E (ui2 ) ∑ (∑ x )
2 u k t =0 t =0
∞
∞
σ ε2 = σ ε2 (1 + ρ 2 + ρ 4 + ⋯) = 1− ρ 2
证明) 协方差(P162证明 证明 k = 1时 类推可得
σ ε2 2 Cov (ut , ut −1 ) = ρ (σ ε2 + ρ 2σ ε2 + ρ 4σ ε2 + ⋯) = ρ = ρσ u 1− ρ2
计量经济学第六章自相关
计量经济学第六章自相关在计量经济学的学习中，自相关是一个重要且颇具挑战性的概念。
自相关，简单来说，就是指在时间序列或横截面数据中，观测值之间存在的某种相关性。
想象一下，我们在研究某个经济变量随时间的变化情况，比如一家公司的销售额。
如果在不同的时间段，销售额的变化不是相互独立的，而是存在一定的关联，这就可能出现了自相关现象。
自相关产生的原因多种多样。
其中一个常见的原因是经济变量的惯性。
例如，消费者的消费习惯往往具有一定的延续性，不会突然发生巨大的改变。
这就导致消费数据在不同时期可能存在相关性。
另一个可能的原因是模型设定的不准确。
如果我们在构建计量经济模型时，遗漏了某些重要的解释变量，那么残差项就可能包含这些被遗漏变量的影响，从而导致自相关。
自相关的存在会给我们的计量经济分析带来一系列问题。
首先，它会影响参数估计的有效性。
在存在自相关的情况下，传统的最小二乘法（OLS）估计得到的参数估计值不再是最优的，估计的方差也会被低估，这可能导致我们对参数的显著性做出错误的判断。
其次，自相关会使我们对模型的假设检验失效。
假设检验是基于一定的统计分布进行的，如果存在自相关，这些分布就不再适用，从而导致检验结果的不可靠。
那么，如何检测自相关呢？常用的方法有图形法、杜宾瓦特森（DurbinWatson）检验等。
图形法是通过绘制残差的序列图来直观地观察是否存在自相关。
如果残差呈现出某种周期性或趋势性，那么就可能存在自相关。
杜宾瓦特森检验则是一种基于统计量的检验方法。
它通过计算一个特定的统计量，并与临界值进行比较来判断是否存在自相关。
如果经过检测发现存在自相关，我们就需要采取相应的方法来处理。
一种常见的方法是广义最小二乘法（GLS）。
GLS通过对原模型进行变换，使得变换后的模型不存在自相关，从而得到更有效的参数估计。
另外，还可以使用一阶差分法。
这种方法将原变量的一阶差分作为新的变量进行回归分析，从而消除可能存在的自相关。
计量经济学课件：第六章-自相关性
第六章 自相关性本章教学要求：本章是违背古典假定情况下线性回归描写的参数估计的又一问题。
通过本章的学习应达到：掌握自相关的基本概念，产生自相关的背景；自相关出现对模型影响的后果；诊断自相关存在的方法和修正自相关的方法。
能够运用本章的知识独立解决模型中的自相关问题。
经过第四、五、六章的学习，要求自行选择一个实际经济问题，建立模型，并判断和解决上述可能存在的问题。
第一节 自相关性的概念一、一个例子研究中国城镇居民消费函数，其中选取了两个变量，城镇家庭商品性支出（现价）和城镇家庭可支配收入（现价），分别记为CSJTZC 和CSJTSR ，时间从1978年到1997年，n=20。
但为了剔除物价的影响，分别对CSJTZC 和CSJTSR 除以物价（用CPI 表示），这里CPI 为城镇居民消费物价指数（以1990年为100%），经过扣除价格因素以后，记CPICSJTSRX CPICSJTZCY ==即如下表回归以后得到的残差为Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/27/04 Time: 09:39Sample: 1978 1997Included observations: 20Std. Error t-Statistic Prob.Variable CoefficientC-103.369278.80739-1.3116690.2061X0.9235510.01603357.603880.00003939.341 R-squared0.994605Mean dependentvarAdjusted R-squared0.994305S.D. dependent var2124.467S.E. of regression160.3247Akaike info criterion13.08692Sum squared resid462671.9Schwarz criterion13.18649Log likelihood -128.8692 F-statistic 3318.207 Durbin-Watson stat1.208037 Prob(F-statistic)0.000000二、什么是自相关性在引出自相关性的概念之前，根据建立中国城镇居民储蓄函数，经用最小二乘法估计出参数后，得到残差序列，由此画出残差图（残差序列自身的关系），从图形上看存在t e 对1 t e 的线性关系，残差的这种现象说明了什么？下面给出序列自相关的定义。
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y A bx vt
* t * t
其中，A=a(1- ρ )。
ˆ /(1 利用OLS法估计A、b，进而得到： a ˆA
若ρ =1，则可得到一阶差分模型 yt-yt-1=b(xt-xt-1) +υ 如果为高阶自回归形式： ε t=ρ 1ε t-1+ρ 2ε t-2+…+ρ pε
（2）构造检验统计量：
DW
(e
2
n
t
et 1 )
2
2 e t 1
n
DW统计量与ρ 之间的关系： 因为对于大样本，
2 2 e e t et 1 2 t 1 2 2 n n n
所以：
DW
2
2 2 ( e 2 e e e t t t 1 t 1 )
e
2 t
2 2 e 2 e e e t t t 1 t 1 ) 2 e t
2( e t et et 1 )
2 e t
et et 1 21 2 2 1 et
Байду номын сангаас
e
et et 1
2 t
ˆ) S (b
2
( xt x )
2
ˆ2 ( xt x ) 2
三、t检验失效。 四、模型的预测精度降低。
第三节 自相关性的检验
一、残差图检验 二、德宾-沃森（Durbin-Watson，DW）检验 适用条件：随机项一阶自相关性；解释变量 与随机项不相关；不含有滞后的被解释变量， 截距项不为零；样本容量较大。 基本原理和步骤： (1) 提出假设 H0: ρ =0一
③在大样本情况下，有 nR2～χ 2(p) 给定α ，若nR2大于临界值，拒绝H0。 EViews软件操作：在方程窗口中点击View\ Residual Test \Serial Correlation LM Test。
滞后期的长度确定：一般是从低阶的 p（p=1） 开始，直到p=10左右，若未能得到显著的检验结果， 可以认为不存在自相关性。
DW的概率分布很难确定，实际检验过程为（见下图）：
正自 相关 dL
无法 判定 dU
无自相关 2
无法 判定 4-dU
负自 相关 4
4-dL
①0≤DW≤dL时，拒绝H0，存在（正）自相关性。 ②4-dU≤DW≤4时，拒绝H0，存在（负）自相关性。 ③dU≤DW≤4-dU时，接受H0，不存在自相关性。
④dL<DW<dU，或4-dU<DW<4-dL时，无法判定是否存在 自相关性。
注意问题：
（1）D-W检验只能判断是否存在一阶自相关性，不能 判定是否存在高阶自相关。 （2）D-W检验有两个无法判定的区域。 （ 3 ）如果模型的解释变量中间含有滞后的被解释变 量， 此时D-W检验失效。 对此类模型Durbin又提出了一个新的检验统计量， 称为Durbin-h统计量：
DW n h (1 ) ˆ) 2 1 nD(b 1
三、自相关的表现形式
ρ 为自回归系数（数值上等于自相关系 数，证明略）
ε t=ρ 1ε
t-1+ρ 2ε t-2+…+ρ pε t-p+ν t
称之为 p 阶自回归形式，或模型存在 p 阶自 相关。 记为AR(P).
ν t是满足回归模型基 本假定的随机误差项。
第二节 自相关性的后果
一、最小二乘估计仍是无偏估计， 但不再是有效估计。 二、低估OLS估计的标准误差。
第一节
什么是自相关性
一、自相关性的概念
1.概念 对于模型 yt=b0+b1x1t+b2x2t+…+bkxkt+ε 如果：Cov(ε t,ε
t-i)＝E(ε tε t-i)≠0 t
(i=1,2,…,s) 则称模型存在着自相关性(Autocorrelation)。
二、自相关性产生的原因 1.经济系统的惯性。 2.模型中遗漏了重要的解释变量（如滞后 效应、蛛网现象）。 3.模型形式设定不当。 4.随机因素的影响。 5.数据处理造成的自相关。
三、高阶自相关性检验 （1）偏相关系数检验 【命令方式】IDENT RESID 【菜单方式】在方程窗口中点击 View\Residual Test\Correlogram-Q-statistics 屏幕将直接输出 et 与 et-1, et-2 … et-p （ p 是 事先指定的滞后期长度）的相关系数和偏相关系数。
2 et 1
所以有:
ˆ) DW 2(1
此式为自相关 系数ρ 的估计
因为 -1≤ρ ≤1，所以 （3）检验自相关性： 若 DW=0
0 ≤DW ≤4。
DW=4
DW=2
ˆ 1 即存在完全正自相关性 ˆ 1即存在负自相关性 ˆ 0 即不存在(一阶)自相关性
（2）布罗斯—戈弗雷（Breusch—Godfrey）检验 对于模型 yt=b0+b1x1t+b2x2t+…+bkxkt+ε
t
设自相关形式为：
ε t=ρ 1ε
假设H0： ρ
1
t-1+ρ 2ε t-2+…+ρ pε t-p+ν t
= ρ
2
= … = ρ
p
=0
①利用OLS法估计模型，得到et；
②将 et 关于所有解释变量和残差的滞后值 et-1, et2； … e 进行回归，并计算出其 R 2 t-p
第六章 自相关性
【教学目的及要求】 一、自相关性及其产生的原因 二、自相关性产生的后果 三、自相关性的检验 四、自相关性的修正方法 课外练习 参考文献
教学目的及要求
理解自相关性的含义和产生原因，认识自相关性产 生的严重后果； 掌握D-W检验、偏相关系数检验、B-G检验等自相关 性检验；掌握自相关性检验的EViews软件实现。 掌握广义差分法的基本原理和EViews软件实现； 了解广义最小二乘法的基本思想； 通过上机实践掌握自相关性的检验及解决方法，熟 悉EViews软件的相关应用。
第四节 自相关性的补救方法
一、广义差分法 设 yt=a+bxt+ε t，ε t=ρ ε t-1+υ t 模型滞后一期: yt-1=a+bxt-1+ε t-1 两边同乘以ρ ，与原模型相减： yt-ρ yt-1=a(1-ρ )+b(xt-ρ xt-1)+(ε t-ρ ε
t-1)
yt* yt yt 1 作广义差分变换： * xt xt xt 1