第七章 气体动理论

研究大量数目的粒子系统， 应用模型假设和统计方法揭示 宏观现象的微观本质.
特点：
1）具有可靠性； 2）知其然而不知其所以然； 3）应用宏观参量 .
特点：
1）揭示宏观现象的微观本 质；
2）有局限性，与实际有
偏差，不可任意推广 .
热力学
相辅相成
气体动理学
第7章 气体动理论
7-1 平衡态
理想气体的物态方程 热力学第零定律
三 理想气体物态方程 一般气体的物态方程 f ( p,V , T ) 0 T T ( p,V )
理想气体物态方程: 理想气体在任一平衡态下各宏观 物态参量间的函数关系 . 理想气体 (温度不太高，压强不太大)
pV NkT
N：体积V内的气体分子总数 k: 玻尔兹曼常数
k 1.38 1023 J K 1
分子动理论
宏观物理规律
微观
宏观
一、热学的研究对象 宏观：热现象
凡是和温度有关的物理现象 都是热现象,热现象是大量微观 粒子热运动的集体表现。 (例如汽车轮胎内的气体， 温度升高，气体压强增大)
微观：热运动
大量微观粒子(分子、 原子)的一种永不停息的无 规则的运动。(布朗运动) 无规则：确定但不可预测， 大量微观粒子的运动遵循统计规律.
ek
压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果 .
7-4 理想气体的平均分子动能和温度的关系 理想气体压强公式
理想气体状态方程
2 p n k 3
p nkT
1 3 2 k m v kT 2 2
宏观可测量量
分子平均平动动能
微观量的统计平均值
处于平衡态时的理想气体，其分子平均平动 动能与气体的温度成正比。
则
pV RT
例 理想气体体积为 V ，压强为 p ，温度为 T , 一个分子 的质量为 m ，k 为玻尔兹曼常量，R 为摩 尔气体常量，则该理想气体的分子数为：
（A）
pV m
（B） pV （D）pV
(kT )
(m T )
（C） pV
( RT )
解
p nkT
pV N nV kT
四 热力学第零定律
9
d ~ 10 m,
10
4）分子的运动遵从经典力学的规律 . 单个分子对器壁碰撞特性 : 偶然性 、不连续性. 大量分子对器壁碰撞的总效果 ： 恒定的、持续 的力的作用 .
关于分子集体的统计性假设
1. 分子按位置的分布是均匀的 2. 分子各方向运动概率均等
(分子速度按方向的分布是均匀的)
dN N n dV V
3. 温度 T (热学量): 气体冷热程度的量度. 单位：温标 K（开尔文）. T 273.15 t
二 平衡态
一定量的气体，在不受外界的影响时, 经过一定的时 间, 系统达到一个稳定的, 宏观性质不随时间变化的状态， 即平衡态 .（理想状态） 真空膨胀过程中，气体对外界不做功；气缸是绝热的， 气体与外界没有热交换；故气体内能不变，温度T不变.
分子力 当r 当
F
r0
时，分
子力主要表现为斥力；
斥 力
r0 ~ 10
10
m
r r0 时，分子力
9
主要表现为引力.
引 力
o
r0
r
分子力
r 10 m , F 0
分子间的作用力是短程力
二
分子热运动 热运动：大量实验事实表明分子在作永不停息的 无规则运动 .
例 : 常温和常压下的氧分子热运动的平均速率v 450m/s, 氧分子每走过 ~ 107 m的路程就要和其他分子发生碰撞. 碰撞频率的量级为 z ~ 1010 次 / s.
分子的平均能量
气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平
i kT 2
转动
0
刚性分子能量自由度
分子 自由度
t 平动 r
3
i
3
总
单原子分子
双原子分子
多原子分子
3
3
2
3
5
6
三 理想气体的内能 理想气体的内能 ：所有分子热运动动能和分子 内原子间的势能之和（温度的单值函数） .
i kT 2
1 mol 理想气体的内能
2x vix
2 mvix 3.单位时间内所有N个分子对A1的总冲量 I x x i N
4.单位时间内整个气体对器壁的压强
A1受的平均冲力
N
2 mvix Fx I x x i
2 Fx 1 N mvix m N 2 mN 1 N 2 p vix vix , yz yz i x xyz i 1 V N i 1
几种刚性分子理想气体的内能
1mol 单原子分子气体 1mol 双原子分子气体 1mol 多原子分子气体
3 E RT 2
E 3RT
5 E RT 2
理想气体内能只是温度的函数，和 T 成正比.
例 两种气体自由度数目不同，温度相同，摩尔数
相同，下面那种叙述正确；
（A）它们的平均平动动能、平均动能、内能都相同；
力学中，怎样判断两个物体的运动快慢？ 参考系---第三个物体 热学中，怎样判断两个物体的温度是不是相等？
48 C
A B

48 C
绝热板 A B

如果物体 A 和 B 分别与处于确定状态的物体 C 处 于热平衡状态，那么A和B之间也就处于热平衡. 热力学第零定律---温度相同的判定原则
7-2 物质的微观模型 统计规律性 一 分子线度和分子力 分子线度 分子平均间距 例 标准状态下氧分子 ~ 10 分子线度 直径 d 3 1010 m
热现象是热运动的宏观表现 热运动是热现象的微观实质
研究对象特征
单个分子 —遵循力学规律, 具有偶然性、无序性 . 整体（大量分子）— 服从统计规律 .
周末的时候，每个同学去食堂吃饭具有偶然性和无序性; 一般11:00-12:00人最多，这就是统计规律
微观量：描述个别分子运动状态的物理量（不可 直接测量），如分子的 m , v 等 .
p
真 空膨 胀
p,V , T
( p ,V , T )
( p,V , T )
o
自发
p,V , T
V
平衡态的特点
p
( p ,V , T )
* ( p ,V , T )
o
1）单一性（ 2）物态的稳定性；
V
p -V 图 上的每一点 表示一个平 衡态
p , T 处处相等）;
内部气体分子仍在不断运动，发生能 3）动态平衡. 量交换，只是统计平均结果不变，是 一种动态平衡. 平衡条件: (1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换； (2) 系统的宏观性质不随时间变化。
温度 T 的物理意义
1 2 3 k m v kT 2 2
1） 温度是分子平均平动动能的量度 （反映热运动的剧烈程度）.
k T
2）温度是大量分子的集体表现，个别分子无意义. 3）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均 相等.（与第零定律一致）
7-5 能量均分定量 理想气体的内能
由于混沌效应，单个分子的运动具有偶然性和无序性.
统计规律性：对大量分子而言，在偶然、无序的 分子运动中，包含着一种规律性.
只抛一次，朝上朝下具有偶然性 抛硬币 抛1000次，朝上朝下的概率几乎相等
统计规律 对于由大 量分子组成的 热力学系统从 微观上加以研 究时，必须用 统计的方法 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ห้องสมุดไป่ตู้
N p kT nkT V
n:分子数密度 n N V 单位体积内的气体分子个数
pV NkT
k 1.3810 J K
气体摩尔数
NA 阿伏伽德罗常数
23
1
N N A
则
NA 6.02 1023 mol1
pV NA kT
R 摩尔气体常数
NA k R,
分子运动速度
viy
vi vix i viy j viz k
vi
o
viz
vix
单个分子的速率和速度分量的平方关系 2 2 2 2 i ix iy iz 取上式的平均值
v v v v
2 x 2 y 2 z
v v v v ,
2
1 2 v = å vix N i
2 x
各方向运动概率均等
y mvix A2 0 -mvix x
(-mvix ) - mvix -2mvix
器壁受的冲量为： 2mvix 2. 单位时间内i分子对A1面的冲量
A1
x
i分子相继与A1面碰撞的时间间隔 A1—A2—A1
vix 单位时间内i分子碰撞A1的次数(碰撞频率) 2x 2 v mv ix 单位时间内器壁受的冲量为： I 2mv ix ix ix 2x x
第二篇 热学
(与温度有关的物理规律)
热力学 统计物理
●
人物介绍
迈尔---能量转化思想
T2 卡诺 ---卡诺循环 1 T 1
麦克斯韦 ---麦克斯韦速度分布律 玻尔兹曼---气体动理论
Ludwig Boltzmann, 1844-1906, whose H theorem opened the door to an understanding of the macroscopic world on the basis of molecular dynamics.
N n V
2 x
1 N 2 2 v v ix x, N i 1
2 1 2 p nmv nmv , p n k 3 3 1 分子的平均平动动能 k mv 2
2
压强的物理意义 统计关系式 宏观可测量量
2 p n k 3
ek 微观统计平均值
压强正比于分子数密度 n 和分子平均平动动能 压强只有统计意义。 对少量分子或个别分子上述公式不成立!
一 自由度
1 3 2 kt m v kT 2 2 1 2 2 2 2 vx v y vz v 3
z
x
o
y
1 1 1 1 2 2 2 m v x m v y m v z kT 2 2 2 2
1 单原子分子平均能量 3 kT 2
刚性双原子分子 分子平均平动动能
小球在伽 尔顿板中的分 布规律 .
7-3
理想气体的压强公式
一 理想气体的微观模型 1）分子可视为质点； 直径
2 1 p n k , k mv 2 3 2
间距
r ~ 10 m, d r
; 2）除碰撞瞬间, 分子间无相互作用力； 短程力
3）弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；
碰撞之后没有动能损失
kt
1 1 1 2 2 2 m vCx m vCy m vCz 2 2 2
分子平均转动动能
kr

1 1 2 2 J y Jz 2 2
刚性分子平均能量
kt kr
二 能量均分定理（玻尔兹曼假设）
1 kT ，这就是能量按自由度 均能量都相等，均为 2
均分定理 .
质点的运动状态 : 位矢r，速度v，加速度a
物态参量: 确定热力学系统状态的物理量 (宏观可测量量)
一 气体的物态参量（宏观量，可测量量）
1. 气体压强 p (力学量) : 单位面积上的正压力. 2 单位 : 1Pa 1N m
p,V , T
2. 体积 V (几何量) : 气体所能到达的最大空间. 单位： 1m3 103 L 103 cm3
2 vx

2 vy

2 vz
1 2 v 3
二 理想气体压强公式 设 边长分别为 x、y 及 z 的长方体中有 N 个全 同的质量为 m 的气体分子，计算 A1 壁面所受压强 .
y x
A2
iy
0
A1 z
i
iz
z
ix
x y
1. 一个i分子碰撞一次给A1面的冲量
与A1面碰撞过程中，i分子受的冲量为 ：
i i E N A N A kT RT 2 2
m' m' i i mol 理想气体的内能 E RT RT M M 2 2
（物质的量
理想气体内能变化
m M
）
i d E R dT 2
m' i i 理想气体的内能 E RT RT M 2 2 i d E R dT 理想气体内能变化 2
(分子数目太过巨大，如1m3的空气中，分子数目的量 级是1025，故无法直接测量)
宏观量：表示大量分子集体特征的物理量（可直 接测量）, 如 p,V , T 等 .
微观量
统计平均
宏观量
二、热学的两种研究方法 热力学---宏观描述
通过实验和现象的总结， 给出宏观系统的热现象规律.
气体动理学---微观描述