离散数学第五章 关系PPT课件
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武汉大学《离散数学》课件-第5章
(1) 若i(1il), vi1, vi是ei的端点(对于有向图, 要求vi1是始点,
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
离散数学课件(第5章)
的概率。
02
条件概率的性质
条件概率具有可交换性、可结合性、可分解性和归一性等性质。
03
条件概率的计算公式
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A
和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立性
事件的独立性
如果两个事件之间没有相互影响， 即一个事件的发生不影响另一个 事件的发生，则这两个事件是独
要点二
详细描述
关系的并运算是指两个关系的并集，表示两个关系中都存 在的关联；关系的交运算是指两个关系的交集，表示同时 存在于两个关系的关联；关系的差运算是指两个关系的差 集，表示存在于一个关系但不存在的关联；关系的逆运算 是指一个关系的逆关系，表示元素之间的关联方向相反。 这些运算可以用来对关系进行操作和变换，以得到所需的 关系。
路径与回路
总结词
路径是指一系列节点和边的有序集合，而回 路是指路径中至少有一条边是有向的。
详细描述
路径是指从图中的一个节点出发，经过一系 列的边和节点，最后回到起始节点或有终止 节点的一条路径。在路径中，所有的边都是 无向的。而回路则是指至少有一条边是有向 的路径，即起点和终点相同的路径。在图论 中，回路的概念非常重要，因为许多问题可
立的。
独立性的性质
独立性具有传递性、对称性和可 分解性等性质。
独立性的计算公式
如果事件A和事件B是独立的，则 P(A∩B)=P(A)P(B)，即两个独立 事件的概率乘积等于它们各自的
概率。
05
离散随机过程
随机变量
定义
分类
随机变量是定义在样本空间上的可测函数 ，它将样本点映射到实数轴上。
离散随机变量和连续随机变量。
离散数学 第五章的课件
xF(x,y,z)yG(x,y,z)
tF(t,y,z)yG(x,y,z) tF(t,y,z)wG(x,w,z)
个体变项符号，其余部分不 变
（换名规则） （换名规则）
或者
xF(x,y,z)yG(x,y,z) xF(x,t,z)yG(x,y,z) xF(x,t,z)yG(w,y,z) （代替规则） （代替规则）
10
实例
例5.4 给定解释I如下： （a）个体域 D＝{2,3}. （b）D中特定元素 a =2 （c）D上的特定函数 f (x) ： f (2) =3, f (3)=2 . （d）D上的特定谓词 F (x) ： F (2)=0, F (3)=1; G (x,y)： G (2,2)= G(2,3)= G(3,2)=1，G(3,3)=0； L (x,y)： L (2,2)= L (3,3)=1， L (2,3)= L(3,2)=0； 求下列各式在I下的真值。 (2) x(F(f(x))∧G(x,f(x))) (F(f(2))∧G(2,f(2)))∨(F(f(3))∧G(3,f(3))) (F(3)∧G(2,3))∨(F(2)∧G(3,2)) (1∧1)∨(0∧1) 1
注意:(3)(4)说明量词的顺序不能随便颠倒
13
实例
例5.5 证明下列等值式。 (1) x(M(x)∧F(x)) x(M(x)→F(x)) (2) x(F(x)→G(x)) x(F(x)∧G(x)) (3) xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)) xy(F(x)∧G(y)∧H(x,y)) (4) xy(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) xy(F(x)∧G(y)→L(x,y))
或
x(F(x,y) yG(x,y,z)) x(F(x,y) tG(x,t,z))
离散数学第五章 函数
f -1({0})={0, 1}, f -1({1})={2, 3}, f -1(Ø)= Ø
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
离散数学导论(盘) 教学课件 作者 王元元 张桂芸 第五章演示文稿-支持高清浏览
第五章 关 系5.2 关系
5.2.4 关系特性闭包
定理5.17
设R是集合A上任一二元关系，那么 1 如果R是自反的，那么s(R)和t(R)都是自反的。 2 如果R是对称的，那么r(R)和t(R)都是对称的。 3 如果R是传递的，那么r(R)是传递的。
第五章 关
系2. 关系
4.
关系特性闭包
定理5.18
4 称A为R的前域，B为R的陪域。
第五章 关 系5.2 关系
5.2.2 关系的基本运算
定义5.6
称关系R和S相等，如果R与S有相同的
前域和陪域，并且 x y(xRy xSy)
定义5.7
设R是A到B的关系，R的逆关系或逆 （converse
是B到A的关系，记为R~， 规定为 R~= ｛<y,x> xRy｝
如果R为A上的自反、对称、传递的二元 关系。
第五章 关
系3. 等价关系
1.
等价关系
定义5.12
设R为集合A上的等价关系。对每一a A，
a的等价类（equivalent class），记为[a]R
（或简单地记为[a]），指下列集合
[a]R=｛x x A∧xRa｝ a称为[a]R的代表元素。
第五章 关
特性之一，则R1 R2仍有此性质。 2 自反、反自反、对称性对并运算封闭。 3 反自反、对称、反对称性对差运算封闭。 4 对称性对补运算封闭。 5 五大特性对求逆运算均封闭。 6 自反性对合成运算封闭，其他四大特性对合成运算
均不封闭。
第五章 关 系5.2 关系
5.2.4 关系特性闭包
定义5.10
设R是集合A上二元关系，称R "为R的自反闭包 （对称闭包，传递闭包），如果R"满足： （1）R"是自反（对称的，传递的）。 （2）R R"。 （3）对任意A上关系R"" ，若R""满足（1）和（2）
离散数学课件第5章 无限集合
(a ) | I + |= S \
S 0
函数f: N→I+, f(x)=x+1是一双射函数。
S (b) | I |= S \ 0
x 2 函数f: N→I , f ( x ) = − x + 1 2
是一双射函数。
当x是偶数时 当x是奇数时
第五章 无 限 集 合 定义5.1-4 定义 如果存在从N的初始段到集合A的双射函数, 则称
3( n + 1), 如果n是偶数. f (n) = 3( n − 1), 如果n是奇数.
第五章 无 限 集 合 定理5.1-3 一个集合A是可数的当且仅当存在A的枚举。 定理 证 必要性。 如果A是可数的, 那么根据定义, 存在一从N的初 始段到A的双射函数, 这证明了存在A的枚举。 充分性。我们考虑两种情况: 情况1 如果A是有限的, 那么根据有限集合的定义和可数集合的 情况 定义, A是可数的。 情况2 情况 假设A不是有限的而f是A的枚举。枚举f必须以N的全集 作为它的前域。如果f是双射函数, 那么根据可数无限集合的定义, A 的基数是 S 而A是可数的。 如果f不是双射函数。利用下述办 | A |= S \ 0 法, 根据枚举f构造一个从N到A的双射函数g, 以证明A是可数的。
第五章 无 限 集 合 定理5.1-6 如果A是有限集合, B是可数集合, 那么BA是可数的。 定理 证 若A是空集, 则|BA|=1, 是可数的; 若A非空, 而B有限(包括是? 空集), 则|BA|=|B||A|有限, 因而是可数的。剩下只需证明｜A｜=n＞0, 且B是可数无限的情况。设B的无重复枚举函数是g: N→B, 对每一 正整数k∈N定义集合Fk如下:
第五章 无 限 Βιβλιοθήκη 合5.1 可数和不可数集合
离散数学关系完整ppt课件
因为A ⊆ A，B∩C ⊆ B和B∩C ⊆ C，所以有 A×(B∩C) ⊆ A×B和A×(B∩C) ⊆ A×C成立， 因此A×(B∩C) ⊆(A×B)∩(A×C)。
因此A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 同理可证(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。
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11
(3) 对(x,y)∈A×(B-C)，有x∈A且y∈B-C，所以x∈A且 y∈B且yC。由x∈A且y∈B得(x,y)∈A×B，由y C 得(x,y) A×C，所以(x,y)∈(A×B)-(A×C)。因此 A×(B-C) ⊆(A×B)-(A×C)。
(B∪C)×A = (B×A)∪(C×A)。
(2) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)， (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)。
(3) A×(B -C) = (A×B)- (A×C)，
(B -C)×A = (B×A) - (C×A)。
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9
证明 (1) 对(x, y)∈A×(B∪C)，有x∈A 且 y∈B∪C，因此x∈A 且(y∈B 或y∈C)，当y ∈B 时，由x∈A 和y∈B 得(x, y)∈A×B，当 y∈C 时，由x∈A 和y∈C 得(x, y)∈A×C，所 以(x, y)∈(A×B)∪(A×C)，即A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A×C)。
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6
定理2.1 如果B1A1，B2A2，则 B1×B2 A1×A2。
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7
证明 对(x, y)∈B1×B2，有x∈B1 且y∈B2， 又因为B1 A1 ，B2 A2 ，则x∈A1 且 y∈A2，所以(x, y)∈A1×A2，即B1×B2
A1×A2。
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8
定理2.2 A, B, C 是任意集合，则： (1) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)，
因此A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 同理可证(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。
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(3) 对(x,y)∈A×(B-C)，有x∈A且y∈B-C，所以x∈A且 y∈B且yC。由x∈A且y∈B得(x,y)∈A×B，由y C 得(x,y) A×C，所以(x,y)∈(A×B)-(A×C)。因此 A×(B-C) ⊆(A×B)-(A×C)。
(B∪C)×A = (B×A)∪(C×A)。
(2) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)， (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)。
(3) A×(B -C) = (A×B)- (A×C)，
(B -C)×A = (B×A) - (C×A)。
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证明 (1) 对(x, y)∈A×(B∪C)，有x∈A 且 y∈B∪C，因此x∈A 且(y∈B 或y∈C)，当y ∈B 时，由x∈A 和y∈B 得(x, y)∈A×B，当 y∈C 时，由x∈A 和y∈C 得(x, y)∈A×C，所 以(x, y)∈(A×B)∪(A×C)，即A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A×C)。
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定理2.1 如果B1A1，B2A2，则 B1×B2 A1×A2。
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证明 对(x, y)∈B1×B2，有x∈B1 且y∈B2， 又因为B1 A1 ，B2 A2 ，则x∈A1 且 y∈A2，所以(x, y)∈A1×A2，即B1×B2
A1×A2。
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定理2.2 A, B, C 是任意集合，则： (1) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)，
《离散数学关系》课件
表示元素之间的顺序关系，如 大小关系、前后关系等。
等价关系
表示元素之间具有相同性质的 关系，等价关系具有自反性、 对称性和传递性。
偏序关系
表示元素之间的部分顺序关系 ，偏序关系具有自反性、反对
称性和传递性。
02 关系的运算
关系的并
总结词
关系的并运算是将两个关系中的所有元素组合在一起形成一个新的关系。
性质
离散数学关系具有传递性、反对称性、自反性等性质。传递性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,z)都成立，则关系 R(x,z)也成立；反对称性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,x)同时成立，则x=y；自反性是指对于集合中的任意元素x ，都存在关系R(x,x)。
关系的表示方法
表格法
通过表格的形式表示关系，行表示关系的起点，列表示关系的终 点，表格中的元素表示起点和终点之间是否存在关系。
05 关系的应用
关系在数据库中的应用
关系数据库
关系代数
数据库规范化
关系数据库是建立在关系模型基础上 的数据库，使用二维表格来表示和存 储数据。关系数据库中的表通过行和 列来组织数据，每一列代表一个属性 ，每一行代表一个记录。关系数据库 中的关系是指表格之间的关系，通过 主键和外键来建立表格之间的联系。
基数性质
关系的基数具有一些性质，如非 负性（基数总是大于或等于0）、 传递性（如果关系R中存在元素a 和b，且a和b之间有关系，那么 在关系S中a和b也一定有关系）等 。
基数计算
计算关系的基数需要先确定关系 中所有元素的数量，然后进行计 数。例如，如果一个关系是由两 个集合的笛卡尔积形成的，那么 它的基数就是这两个集合的元素 数量的乘积。
VS
推荐系统
推荐系统是根据用户的历史行为和偏好， 为其推荐相关或感兴趣的物品或服务的过 程。在推荐系统中，关系是指用户和物品 之间的关系，通过分析用户和物品之间的 关联规则和协同过滤等技术来实现个性化 推荐。
等价关系
表示元素之间具有相同性质的 关系，等价关系具有自反性、 对称性和传递性。
偏序关系
表示元素之间的部分顺序关系 ，偏序关系具有自反性、反对
称性和传递性。
02 关系的运算
关系的并
总结词
关系的并运算是将两个关系中的所有元素组合在一起形成一个新的关系。
性质
离散数学关系具有传递性、反对称性、自反性等性质。传递性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,z)都成立，则关系 R(x,z)也成立；反对称性是指如果关系R(x,y)和关系R(y,x)同时成立，则x=y；自反性是指对于集合中的任意元素x ，都存在关系R(x,x)。
关系的表示方法
表格法
通过表格的形式表示关系，行表示关系的起点，列表示关系的终 点，表格中的元素表示起点和终点之间是否存在关系。
05 关系的应用
关系在数据库中的应用
关系数据库
关系代数
数据库规范化
关系数据库是建立在关系模型基础上 的数据库，使用二维表格来表示和存 储数据。关系数据库中的表通过行和 列来组织数据，每一列代表一个属性 ，每一行代表一个记录。关系数据库 中的关系是指表格之间的关系，通过 主键和外键来建立表格之间的联系。
基数性质
关系的基数具有一些性质，如非 负性（基数总是大于或等于0）、 传递性（如果关系R中存在元素a 和b，且a和b之间有关系，那么 在关系S中a和b也一定有关系）等 。
基数计算
计算关系的基数需要先确定关系 中所有元素的数量，然后进行计 数。例如，如果一个关系是由两 个集合的笛卡尔积形成的，那么 它的基数就是这两个集合的元素 数量的乘积。
VS
推荐系统
推荐系统是根据用户的历史行为和偏好， 为其推荐相关或感兴趣的物品或服务的过 程。在推荐系统中，关系是指用户和物品 之间的关系，通过分析用户和物品之间的 关联规则和协同过滤等技术来实现个性化 推荐。
离散数学讲解第五章PPT课件
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又例如 (a2)3 a6 因为 (a2)3(a (2)1)3(a2)1(a2)1(a2)1
(aa)1(aa)1(aa)1
根据结合(a律 a )(a 1a1)(a1a1)(aa)e 所以 (a a)1 a1a1 因此 (a2) 3 (a1a1)(a1a1)(a1a1)
a 1a 1 a1a1a1a1 (a 1)6 a 6
2021/4/8
7
定理5-2：设h是从代数系统V1＝ <S;*>到V2＝ <S;>的 满同态，其中运算*和都是二元运算，则 （1）若V1是半群，则V2也是半群； （2）若V1是独异点，则V2也是独异点。
2021/4/8
8
四、有限独异点的幂等元 设<S;*>是生成元为g的有限循环独异点，考虑无限序列： e，g，g2，g3，.... ，gn-1，gn，gn+1，......
证明：对任意的a∈S，令Sa＝{ a0,a1,a2,...,an,...} 因为S有限，而SaS，所以Sa也有限。 可以验证<S; * >是一具有生成元a的有限循环独异点。 因此，至少有一幂等元akl，这里的k和l如前定义。 记j＝kl，即aj是幂等元。 注：这里j≥1，有可能aj=e
2021/4/8
（1）令FA={f|f:AA},则<FA;>是一个群。 (N)
（2）令EA = {f|f:AA是双射}, 则<EA;>是一个群。 (Y )
（3）EA 定义同上，<EA;>是一个交换群。 (N)
（4）EA 定义同上，<EA;>是一个循环群。 (N )
2021/4/8
25
5.3 群的性质
一、关于相约性 定理5-6 设<G;*>是一个群，则对任意的a,b G， （1）存在唯一的元素xG，使a*x=b； （2）存在唯一的元素yG，使y*a=b。
离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
称+(G)，+(G)，－(G)，－(G)分别为G的最大出度、 最小出度、最大入度和最小入度。
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
离散数学_第5章_代数系统(学生用)
2013-7-31
离散数学
22
吸收律
定义5-2.5：设<A, *,△>，若x,y,zA, 有x*(x△z)=x称运算*满足吸收律； 有x△(x*y)=x称运算△满足吸收律。 【例】 N为自然数集, x,yN，x*y=max{x,y}，x△y=min{x,y}， 试证：*，△满足吸收律。 证明： x,yN，x*(x△y)=max{x,min{x,y}}=x ∴ *满足吸收律 x,yN，x△(x*y)=min{x,max{x,y}}=x ∴ △满足吸收律。
离散数学
24
【例】设ρ(s)是集合S的幂集，在ρ(s)上定义的两个 二元运算，集合的“并”运算∪和集合的“交” 运算∩，验证∪,∩满足幂等律。
证明：对于任意的A∈ρ(s)，有A∪A=A和A∩A=A，
因此运算∪和∩都满足等幂律。 【例】普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法 的幂等元（0+0=0），0和1是乘法的幂等元（ 0*0=0且1*1=1）。
2013-7-31
离散数学
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例：以下哪些运算是封闭的？
(1) 自然数集合N上的减法运算。 不封闭
(2) 整数集合I上的除法运算。 不封闭
(3) 设A={1,2,3,…,10},二元运算x*y=质数p的个数，
使得x ≤p≤y。 不封闭，当x=y=4时，x与y之间的质数个数为0， 而0不属于A集合。
2013-7-31 离散数学 26
特殊元素
在某些代数系统中存在着一些特定的元素，它们 对于系统的一元或二元运算起着重要的作用。 例：<Z,+>中的+运算有单位元0。 例：矩阵乘法运算中的单位矩阵。 将这些特殊元素作为代数系统的性质进行讨论， 这时称这些元素为该代数系统的特异元素或代数 常数。
第五章 5陪集拉格朗日定理
5-7 陪集与拉格朗日定理
a∈G，必有a-1∈G，使得a-1 a=e∈H，
所以 a,a R.
a、b∈G，若
因为H为G的子群，故a,b R，则a1 b H ,
(a-1 b)-1=b-1 (a-1)-1= b-1 a ∈H，
所以
a、b b、, ac∈GR，.若
则 由H的封闭性， a-1
b
a-1
(i
1,
2,
, k)
n | G | | ai H | mk， 即m | n。
i 1
拉格朗日定理说明每个左（右）陪集实际上就是一个等价
类。
有限群的任意子群的阶都是该群的阶的因子。
5-7 陪集与拉格朗日定理
5-7 陪集与拉格朗日定理
拉格朗日定理的推论：
推论1 质数阶的群不可能有非平凡子群。 推论2 有限群任一元素的阶必是该群的阶的因子。
解 N6的子群有
H1={0}，H2={0, 3}， H3={0, 2 , 4}，H4=N6。
对H1：0H1={0}，1H1={1}，2H1={2}，3H1={3}，
4H1={4}，5H1={5}
每个元素对于H1的左陪集为
{{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}}
对H2的左陪集为{{0,3},{1,4},{2,5}} 对H3的左陪集为{{0,2,4},{1,3,5}} 对H4的左陪集为{{0,1,2,3,4,5}}
离散数学 (Discrete Mathematics)
5-7 陪集与拉格朗日定理
❖ 陪集(Cosets) ❖ 拉格朗日(Lagrange)定理 ❖ 小结
5-7 陪集与拉格朗日定理
一、陪集(Cosets)
定义5-7.1 设 H , 是群G,
离散数学 教学课件 ppt 作者 杨圣洪 张英杰 陈义明 ch5图论
第五章图论杨圣洪D形式定义：三元组(V(G),E(G),M(E,V))称为图。
其中V(G)为点的集合(非空集)，E(G)是边集，M(E,V)=边与点连接关系。
常简化为二元组 (V(G),E(G))称为图。
简记为G=(V,E)。
5.1图的概念与描述-邻接矩阵对于有向图，如果从结点vi到结点vj之间有一条边，则a(i,j)=1，否则为0。
由于结点vi到vj有一条边，反过来vj到vi之间不一定有一条，故不一定对称。
对于无向图，如果结点vi到Vj有一条边，则a(i,j)=1，否则为0。
由于Vi到Vj有一条边时，反过来Vj到Vi肯定也有一条边。
故它是对称的。
⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111011010001101100011a b c de1e2e3e4e5e6V={a, b, c, d}E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}|V|称为结点数，记为n 该值有限，有限图|E|称为边数，记为m.该值有限。
有限图无限图如果每条边都有方向的，则为有向图。
如果每条边都没有方向，则为无向图。
某些边有方向，某些边没有方向，混合图有向图无向图与D相邻,e1与A、D相关，D为A的后继。
点与边关联相邻，e1与a、b相关联。
自环/自旋。
某两个点之间，称为该点的度数：=4, 有向图某结点的边，也称为“负边”，负度某结点的边，也称为“正边”，正度各点度数和=边数的2倍∑deg(v)=2|E|=2m (为偶数)证明：先去掉所有的边，每个点、整个图的度数为0增加一条边e=(u,v)，使结点u与v的度数的各增加1 。
每增加一条边使整个图的度数增加2。
∑deg(v)=2|E| =2m(为偶数)握手定理边数=5，(2*5)，边数=66)图中度数为奇的结点有偶数个用Vo表示度数为奇(odd)的结点集合，Ve为偶(even)的结点的集合,则有：∑e deg(v)+ ∑o deg(v)= ∑deg(v)=2m。
因Ve中每点度数均为偶数⇒∑e deg(v)为偶数，不妨记为2k⇒∑o deg(v)=2m-2k=2(m-k) ，由于Vo中每个结点的度数为奇数，不妨依次记为2n1-1,2n2-1,…,2n t-1，t为个数⇒其和为2(n1+n2+…n t)-1-1-…-1=2n'-t ⇒2n‘-t=2(m-k) 个数t=2(m-k)-2n'=2(m-k-n'):A(5) B(3)共2个:B(3),D(3)共2个n个结点完全图Kn的边数=n(n-1)/2 Kn:n个结点的完全图⇒该图的任何两个结点之间都有边相连⇒每个点都与其它n-1个点之间有边相连⇒每个点度数为(n-1)，n个点的度数和n(n-1),而整图的度数和为n(n-1)=边数2倍=2m⇒n(n-1)=2m，故边数m=n(n-1)/2由组合学可知m=C(n,2)⇒证明了c(n,2)=n(n-1)/2说明：简单图中点的度≤(n-1)，边数≤n(n-1)/2非空简单图一定存在度相同的结点证明:图G的结点数记为n。
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例5.1 设A={a,b}，B={1,2,3}，求 AB，BA，AA，BB。
关解
系 AB={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,
及 2),(b,3)}
其 表 示
BA={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3, a),(3,b)}
AA={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} BB={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,
关 系 及
解 不成立。举一反例如下：设 A=D=，B=C={1}，则 (A∪B)(C∪D)=BC={(1,1)}， (AC)∪(BD)=∪=，显然等式
其 不成立。
表
示
5.1.2 关系的基本概念
定义5.4 设nI+，A1,A2,…,An为任意n个集
5.1
合，A1A2…An，则
关
(1)称为A1,A2,…,An间的n元关系；
其 表
(2)(A∪B)C=(AC)∪(BC) (3)A(B∩C)=(AB)∩(AC) (4)(A∩B)C=(AC)∩(BC)
示 (5)A(B-C)=(AB)-(AC)
(6)(A-B)C=(AC)-(BC)
5.1.1 笛卡尔积
5.1
例5.3 设A,B,C和D是任意的集合，试问 下列等式是否成立？为什么？
其 限集，则
表
|A1A2…An|=|A1|•|A2|• … •|An|
示
5.1.1 笛卡尔积
定理5.2 设A,B,C,D为任意四个非空集合，则
5.1 (1)ABCD当且仅当AC,BD； 关 (2)AB=CD当且仅当A=C,B=D。
系 定理5.3 设A,B,C为任意三个集合，则
及 (1)A(B∪C)=(AB)∪(AC)
关
记 作 ( a1,a2,…,an)。 其 中 ai（i=1,2,…,n
系
）叫做该有序n元组的第i个坐标。
及
有序n元组与前面所讲的n个元素的集
其
合这两个概念是两个不同的概念，不同在 于集合中这n个元素是无序的，而在有序n
表
元组中，必须对这n个元素指定一个次序
示
。因此对任意给定的n个个体，他们只能
组成一个n元素的集合，但却可以组成n!
2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
5.1.1 笛卡尔积
5.1 关 系
例5.2 设A=，B={1,2,3}，求AB ，BA。
解 AB=B=， BA=B=
及
其
表
示
5.1.1 笛卡尔积
5.1 关 系
定理5.1 设A,B为任意两个有限集， 则
|AB|=|A|•|B|
及 推论5.1 设A1,A2,…,An为任意n个有
个不同的有序n元组。
5.1.1 笛卡尔积
5.1
另外，有序n元组的一种常见的特殊情 形是n=2。有序n元组（a,b）又被称为序
关
偶。序偶的一个熟悉的例子是平面上点的
系
笛卡尔坐标表示。例如，序偶（1,3），
及 其
（2,4），（5,3）等均表示平面上不同的 点。
表 示
定义5.2 设(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn) 两个有序n元组，如果ai=bi(i=1,2,…,n) ，则称这两个有序n元组相等，记为
(a1,a2,…,an)=(b1,b2,…,bn)。
5.1.1 笛卡尔积
5.1 定义5.3 设A1,A2,…,An是任意集
关 合，则称集合
系
{(a1,a2,…,an)|aiAi,i=1,2,…,
及 n}
其 为集合A1,A2,…,An的笛卡尔积，
表 记为A1A2…An。
示
5.1.1 笛卡尔积
5.1
5.1.2 关系的基本概念
5.1 关 系
例5.4 设A={1,2,4,7,8}， B={2,3,5,7}，定义由A到B的关系 ={(a,b)|(a+b)/5是整数}，求关系 。
及 解 根据的定义，中的序偶(a,b) 其 应满足如下三个条件：（1）aA；
表 （2）bB；（3）a+b能被5整除，于
示 是={(2,3),(7,3),(8,2),(8,7)}。
5.1.2 关系的基本概念
5.1 关 系
例5.5 设A={2,3,4,5,9,25}，定义A 上的关系，对于任意的a,bA，当 且仅当(a-b)² A时，有ab，试问 由哪些序偶组成？
及 解 根据的定义，中的序偶(a,b) 其 应满足以下三个条件：（1）aA；
表 （2）bB；（3）(a-b)²A。因此
第
1.笛卡尔积及关系的概念
5
2.关系的性质
章
3.关系矩阵和关系图 4.复合关系与逆关系
关
5.关系的闭包 6.等价关系及证明
系
7.分划、覆盖、等价类、商集的概念
8.偏序与哈斯图
9.关系在计算机科学中的应用
5.1.1 笛卡尔积
5.1
定 义 5.1 由 n 个 具 有 给 定 次 序 的 个 体 a1,a2,…,an组成的序列，叫做有序n元组，
关
(1)(A∩B)(C∩D)=(AC)∩(BD)
系
解 成立。因为对于任意的（x,y），设
及
(x,y)(A∩B)(C∩D)
其 xA∩ByC∩D
表 xAxByCyD
示 (x,y)A×C(x,y)B×D
(x,y)(AC)∩(BD)
5.1.1 笛卡尔积
5.1 (2)(A∪B)(C∪D)=(AC)∪(BD)
系
(2)若n=2，则称为从A1到A2的二元关系； (3)若=，则称为空关系；
及
(4)若=A1A2…An，则称为普遍关系；
其 表
( 5 ) 若 A1=A2=…=An=A， 则 称 为 A 上 的 n 元 关 系； (6)若={(x,x)|xA}，则称为A上的恒等
示
关系。
若是由A到B的一个关系，且 (a,b)，则a对b有关系，记作ab。
5,3),(4,9),(9,4)}。
5.1.2 关系的基本概念
5.1 关 系 及
例5.6 设A={0,1,2}，求A上的普遍 关系UA和A上的恒等关系IA。
解 由普遍关系和恒等关系的定义知 UA=AA={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}，
第5
Relation
关系是在集合的基础上定义的
第
一个重要的概念，与集合的概念一样 ，关系的概念在计算机科学中也是最
5
基本的。它主要反映元素之间的联系
章 和性质，在计算机科学中有重要的意
义，如有限自动机和形式语言，编译
关 程序设计，信息检索，数据结构以及
系
算法分析和程序设计的描述中经常出 现。
内容提要：