单缝和圆孔夫琅禾费衍射

第一级明纹线宽度
x1 f 4cm
中央明纹的线宽度
l 2x 8cm
0 1
太原理工大学物理系
二、用振幅矢量推导光强公式(不要求） 1.振幅矢量法 将缝AB的面积S等分成N(很大)个等宽的窄 带,每个窄带宽度a/N. 每个窄带发的子波在P点 振幅近似相等，设为 A1，相 邻窄带所发子波在P点引起的 振动的 光程差 δ = (a/N)sin
2 x3 2 f tan 2 f 3

a
3l0 3.6mm
太原理工大学物理系
练考点3，即 13
解
x2 D tan
因
a sin 2
x2 tan 0.016 D
很小 tan sin
2 x2 D tan D sin D a 4 D 2 a 7.6 10 mm 2 x2
4）单缝衍射的光强分布


x
f
O
k级亮纹合成（2k+1）个半波带；k级暗纹对应2k 个半波带.k越大，AB上波阵面分成的波带数就越多， 所以，每个半波带的面积就越小，在P点引起的光强 就越弱。因此，各级明纹随着级次的增加而亮度减弱。 太原理工大学物理系 P119图上面两行及P120第1行
4.讨论 1)波长变化对条纹的影响
sin u I I u
p 0
2
光强：中央明纹中心的光强最大 I = I0 2）暗纹
位置：在u≠0，sinu = 0处 条件:
a sin k
sin (/a)， 2(/a)， 3(/a)，… 在sin坐标上暗纹是等间距的。 太原理工大学物理系
3）其他明纹
tan sin

x
f
f 2a
O
k 1, 2...
f k 1,2... 暗纹中心： x f tan f sin k a 3）其他明纹的线宽度：相邻暗纹中心间的距离
明纹中心： x f tan f sin (2k 1)
即中央明纹宽度为其他明纹宽度的两倍。 太原理工大学物理系
A

B

a sin 相位差 2 2 N
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屏上P点的合振幅 AP就是各子波的振幅矢量和 的模，这是多个同方向、同频率，同振幅、初相 依次差一个恒量的简谐振动的合成。 对于屏中心o点 = 0，Δφ =0
A
1
…
A
A0 = N A
0
中央明纹的中心
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0, 0 光直线传播 a
3)a、λ一定，能看到条纹的最高级次

2 a sin

2
k
a （若k 不是整数， k 取整数部分） m m km （若km 为整数，则取km-1）
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观察：单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
a减小，1增大，衍射效应越明显. 太原理工大学物理系
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§14-7 单缝和圆孔的夫琅禾费衍射
△一、单缝夫琅禾费衍射
1.衍射装置及花样
单缝 衍射角 透镜 衍射屏
f

I
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衍射图样 (1) S为线光源：衍射图样为一组与狭缝平行的 以中央明纹为中心，两侧对称分布的明暗相间 P117,图上段正数第2，4-7行画 的直条纹。 (2）中央明条纹很亮，两侧明条纹对称分布，亮 度减弱。 （3）中央明条纹的宽度为其它明条纹宽度的两倍。 解释: 由惠更斯——菲涅耳原理： 单缝处波面看作无穷多个相干的子波源，屏 上一点是 (无穷)多光束干涉的结果。 太原理工大学物理系
对于屏上其它点P，由 于屏上位置不同，对应的 衍射角就不同，Ａｐ的大小 也不同．
A
p
a sin 令 u
可以求出

A
i
sin u A A u
p 0
过程略
2
p点的光强
sin u I I u
p 0
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2.衍射条纹的特点 １）中央明纹 位置：在 = 0处
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2 2 x2 2 D a
例2 单缝衍射中，a=0.1mm，入射波长λ=500nm， 透镜焦距f=10cm，在屏上x=1.75mm的p点为明条纹
求：（1）p 点条纹级数 k ? 解 (1) x f tan
x tan 0.0175 f
很小
单缝衍射明纹的条件 a sin (2k 1) 明纹在屏上的位置
明纹中心（近似） a sin (2k 1) 暗纹中心 a sin 2k

2
(k 1, 2,3 )
2k个半波带
k=0为中央明纹，k=1,2,…分别称为第一，二，… 级明纹（或暗纹）；正负表示对称。可见，单缝衍 射条纹是关于中央亮纹对称分布的。 太原理工大学物理系
P120 3.说明 1)中央明纹 半角宽度：k=1级暗纹所对应的衍射角

2 (n整数)
B
若A、B到达P点的光程差为
n

2
即波面AB可划分成n个半波带，即
BC a sin n
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越大，AB分成的半波带数目越多，则每个半
波带越窄。因每个半波带面积相等，它们发出子 波在P点引起的光强度相同。 若AB恰好被分成偶数个半波带 暗纹 BC a sin 2k (k 1, 2,3, ) 2 则每两个相邻“半波带”发出的光在 P点会聚 2 干涉相消，形成暗纹。 若AB恰好被分成奇数个半波带
线宽度以及中央明纹的线宽度。 解：由暗纹公式
a sin k ，当k =1，2时有
a sin 1
所以第一级暗纹衍射角
a sin 2 2
1 sin 1 / a
第二级暗纹衍射角
2 sin 2 2 / a
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所以第一级明纹角宽度
2 1 / a 0.1rad
d sin u ( ) 0 求得 位置：由 du u
2 2
得 tgu = u，由作图法可得次极大位置
y y1 = tgu
y2 = u
-2
-
o

·
2
·
u
·
-2.46π
·
-1.43π +1.43π
+2.46π
u 1.43， 2.46， 3.47，…
相应 a sin 1.43 , 2.46 , 3.47 ,… 太原理工大学物理系
太原理工大学物理系
附： 1）若 BC a sin 2
半波带
2
将缝分为两个半波带
A
A1

p
半波带
B
C
o
/2
相邻两个半波带对应点光程差均是/2,每两个相邻 “半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。 若AB恰好被分成偶数个半波带，偶数个“半波带” 发的光在 P处干涉相消形成暗纹。即
1
2
2 2
提示:作业P158 14—23
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观察：入射波长变化，衍射效应如何变化 ?
越大， 1越大，衍射效应越明显.
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2)缝宽变化对条纹的影响 a越小，越大， 衍射越明显 一定
sin k

a
a越大，越小，各级条纹向中央靠拢；
当a
时，

可见，几何光学是波动光学 0的极限. a
1 arcsin
a

或
பைடு நூலகம்
1 sin 1

a
(1很小) (1很小)
角宽度:
21 2
。

a
线宽度: k=1和k= -1两个第一级暗纹间距离。
a
2 f l0 2 x1 2 f tan 1 2 f sin 1 a
太原理工大学物理系
讲考点2，教案附
2）其他条纹在屏幕上线位置 当 较小时，
BC a sin (2k 1)
，

2
(k 1, 2,3, )
明纹
则，必定有一个“半波带”发的光会聚透镜后在 P点 不能被抵消，形成明纹。
太原理工大学物理系
若 不满足明暗条纹条件，则AB 不能被分成整 数个半波带，则或多或少总有一部分的振动不能被抵 消，此时，会聚在屏上的亮度处于明暗纹之间。 综上所述，可得单缝衍射明、暗条纹条件


平行光斜向下入射，衍射条纹将整体下移； 平行光斜向上入射，衍射条纹将整体上移。 太原理工大学物理系
本例即考点4,即ZP18,25 例1 在单缝衍射中，=600nm, a=0.60mm, 缝 后有一焦距f=60cm透镜, 则（1）中央明纹宽度 为多少？（2）两个第三级暗纹之间的距离？ 解 ⑴ 中央明纹的宽度 ⑵第三级暗纹在屏上的位置 x3 f tan f 3 a 两个第三级暗纹之间的距离

2 则总有一部分振动不能被抵消，会聚在屏上的 亮度介于明暗纹之间。
(m非整数) 缝不能分成整数个半波带.
综上可知，可得如下结论 太原理工大学物理系
△单缝衍射明、暗条纹条件 中央明纹中心
P119,式14.20,14.21及下第2行
0 (k 0)

2 (k 1, 2,3 )
2k+1个半波带
1 解： a sin 4 sin 30 4 4 2 2
0
4个半波带
练考点6，若缝宽a=4λ，单缝处波面可划分为4个 半波带，则衍射角φ=？ （讨论P159） 26 作业P158 --23,28，
太原理工大学物理系
例 3B
在单缝夫琅和费衍射实验中，缝宽 a=10，
缝后透镜焦距 f =40cm , 试求第一级明纹的角宽度，
a sin 2k

2
k
sin k

a
a一定， sin ，λ越大，衍射效应越明显.
指出：白光照射，中央明纹为白色，每一级明纹 都成彩色（紫-红），称为衍射光谱。
对于高级次衍射条纹会发生重叠，条件
a sin (2k1 1) a sin (2k2 1)
BC a sin 2k

太原理工大学物理系
2
(k 1, 2,3, )
暗纹
附： 2）BC
a sin 3

2
将缝分为3个半波带.
a
A
B
A

p
o
A1
C
B
A2
/2
因每两个相邻“半波带”发的光在 P处干涉相消，则 必定有一个“半波带”发的光在 P未被抵消，形成明 若AB恰好被分成奇数个半波带,奇数个“半波带” 纹。 发的光在P处干涉形成明纹,即 BC a sin (2k 1) (k 1, 2,3, ) 明纹 太原理工大学物理系
2
附： 3） BC a sin n 2
(n整数)
缝分成整数个半波带.
(k 1, 2,3, )
n为偶数， BC a sin 2k

2
暗纹
n为奇数，BC a sin (2k 1)
BC a sin m 4）

2
(k 1, 2,3, ) 明纹
太原理工大学物理系 李孟春编写
用菲涅耳半波带法——确定P点明、暗条纹情况
半波带：用平行于AC的一系列平面（平面间距/2）， 将缝AB划分成面积相等的长条带——半波带。其特点： 相邻两半波带对应点发出的光在P点的光程差均为/2.
P118,图14-27 下第2-4行
A
半波带 半波带

A1
p
o
/2
三、圆孔夫琅禾费衍射 1.圆孔夫琅禾费衍射 光通过眼睛的瞳孔、望远镜、显微镜、照相 机所成的像都是光波通过圆孔的衍射图样。
4）在单缝衍射中，若使单缝和单缝后透镜分 别稍向上移，则衍射条纹将如何变化？
单缝上移衍射光束向上平移经透镜聚焦 后，位置不变条纹不变 单缝后的透镜上移衍射光束经透镜聚焦后， 位置随之上移条纹向上平移
衍射角
f

I
结论：单缝向上平移时，屏上图样不变 太原理工大学物理系
附：
5）如果平行光斜入射到单缝上，衍射条纹 将如何变化？ f
7

2
（3）将缝宽增加1倍，p 点将变为什么条纹？
7 2a sin 2 14 7 2 2
第7级暗纹 思考：缝可分成的半波带数目为多少？ 直接练ZP18,26，本次不练下例 作业P158 --23,28， 太原理工大学物理系 （讨论P159） 26
练考点 直接练 ZP18,26，本次不练下例

2
x f tan f sin f (2k 1)

2a
ax 1 k 3. 5 0 .5 3 f 2
第3级明纹
太原理工大学物理系
（2）对应于 p 点，缝可分成多少个半波带？
a sin (2k 1)
7个半波带

2
(2 3 1)

2