向量数乘运算及几何意义学案1
向量数乘法及其几何意义导学案
隆回二中高一数学备课组 必修4导学案主编：陈楚基 审定：廖信山 使用时间：2013年4月班 级 组 号 姓 名 小组评价 教师评价§2.2.3向量数乘运算及其几何意义【学习目标】1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；掌握向量的线性运算性质及其几何意义. 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习： 向量减法的几何意义是什么？ （二）自主探究：（预习教材P87—P90） 探究：向量数乘运算与几何意义问题1：已知非零向量a，作出：①a a a ++；②()()()a a a -+-+-.通过作出图形，同学们能否说明它们的几何意义？1、一般地，我们规定_______________ 是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||a λ=________;（2）当_________时，a λ 的方向与a 的方向相同；当_______时，a λ 的方向与a方向相反，当_________时，a λ =O。
问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.2、向量数乘运算律，设,λμ为实数。
（1）()a λμ= _______； （2）()a λμ+= _________； （3）()a b λ+=_________； （4）=-a )(λ________=___________； （5）()a b λ-=______________；（6）对于任意向量a ,b，任意实数12λμμ、、恒有2a b λμμ 1（+）=_______________。
问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？3、两个向量共线（平行）的等价条件：如果(0)a a b ≠与共线，那么_____________。
二、合作探究 1、计算：⑴()76a -⨯；⑵()()438a b a b a +---；⑶()()54232a b c a b c -+--+ .a2、已知两个两个向量1e 和2e 不共线，12A B e e =- ，1228B C e e =- ，1233C D e e =+，求 证：A 、B 、D 三点共线.3、如图，平行四边形A B C D 的两条对角线相交于点M ，且AB a = ，A D b = ，你能用a 、b表示A M、B M、C M、D M吗？三、目标检测（A 组必做，B 组选做） A 组1. 下列各式中不表示向量的是（ ）A.0a ⋅B.3a b +C.3aD.1ex y-（,x y R ∈，且x y ≠）2. 下列向量a 、b共线的有（ ）①122,a e b e ==- ； ②1212,22a e e b e e =-=-+ ； ③1212214,510a e eb e e =-=-；④1212,22a e e b e e =+=-（12,e e不共线）A.②③B.②③④C.①③④D.①②③④3. A B C ∆中，13A D AB =，//D E B C ，且与边A C 相交于点E ，A B C ∆的中线A M与D E 相交于点N .设A B a = ，A C b = ，用a 、b分别表示向量,,,,,A E C B D E C E D N N A .B 组1、设两非零向量12,e e 不共线，且1212()//()k e e e k e ++，则实数k 的值为2、若8,5A B A C ==，则B C的取值范围是（ ）A.[]3,8B.()3,8C.[]3,13D.()3,13四、课后作业五、课后反思。
向量数乘运算及其几何意义教案
1 2.2.3向量数乘运算及其几何意义一.教学目标1.知识与技能: 通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
熟练 运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线 平行等问题。
2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是 否共线。
3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能 力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶 学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
二.教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
三.教学过程（一）复习回顾问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？（二）新课讲解1.向量数量积的定义【探究1】 已知非零向量a ，作出a a a ++和()()()a a a -+-+-，你能说出他们的几何意义 吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？练一练：P 90 第1题，第2题.22.向量数乘的运算律【探究2】 问题一：求作向量)2(3a 和a 6(a 为非零向量)，并进行比较。
问题二：已知向量a 、b ，求作向量)(2b a +和b a 22+，并进行比较。
类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：对于任意向量a 、b 及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±. 例5：计算(口答) (1) a 4)3(⨯-(2) a b a b a ---+)(2)(3(3) )23()32(c b a c b a +---+练一练：P 90 第5题.3、向量共线定理 【探究3】问题1：如果 a b λ=(0≠a ), 那么，向量a 与b 是否共线？问题2: b 与非零向量a 共线， 那么，a b λ= ？思考：1. a 为什么要是非零向量？ 2. b 可以是零向量吗？例6.已知任意两非零向量a 、b ，试作b a OA +=, b a OB 2+=，b a OC 3+=。
041向量数乘运算及其几何意义(1)
高一数学041 高一 年级 8 班 教师 方雄飞 学生 课题 2.2.3向量数乘运算及其几何意义（1）学习目标：理解向量的数乘运算及其意义，掌握向量数乘运算的运算律 学习过程 一．复习二．新课学习1、向量数乘运算：与数的乘法类似a+a+a=3a 一样a a a 3a =++实数λ与向量a →的积是一个 ，这种运算叫做向量的 。
记作 ，其长度与方向规定如下：2、向量数乘的运算律：()1a λμ→⎛⎫ ⎪⎝⎭= ()()2a λμ→+= ()3a b λ→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭特别的有：()a λ→-= = ， a b λ→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭。
三．新知应用练习1、下面给四个命题：①对于实数m 和向量a ，b 恒有：m （a －b ）= m a －m b②对于实数m 、n 和向量，恒有：（m －n ）a = m a －n a③若m a =m b （m ∈R ），则有：a =b④若m a =n a（m 、n ∈R ），则m = n其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4练习2、 已知a ，b 方向相同，且｜a ｜=3, ｜b ｜=7,｜2a －b｜= ．练习3、下列各式计算正确的有（ ）(1) (－7)6a →= —42a →(2) 7(a →+b →)－8b →=7a →+15b →(3) a →－2b →+a →+2b →=2a →(4) 若a →=m →+n →, b →=4m →+4n →,则a →∥b →A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例1、化简（1）826222a b c a b c a c →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）)]24()82(21[31--+（3）()()m n a b m n a b →→→→⎛⎫⎛⎫+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习4、如图，在平行四边形ABCD 中，两条对角线相交于O ，AB =a ，AD =b ，用a ，b表示向量OA ，OBB CABCACFB EDGAB 图1例3、在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()=+13AG AB AC练习5、已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =三、课堂小结四、课外作业一、选择题1、 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是：（ ）A ．a 与a λ- 的方向相反B ．||||a a λ-≥C ．a 与2a λ 的方向相同 D ．||=||a a λλ-2、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -+B ． 12BC BA --C ． 12BC BA -D ． 12BC BA +3、如图△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 边上的中线， G 是它们的交点，则下列等式中∙∙∙不正确的是（ ）A ．23BG BE =B ．12DG AG =C ．2CG FG =-D ．121332DA FC BC +=4、 点G 是ABC ∆内一点，且有0GA GB GC ++=，则G 是ABC ∆的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心D ．垂心5、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括A 、C ），则AP=（ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈B．().AB BC λλ+∈C ．().(0,1)AB AD λλ-∈D ．().AB BC λλ-∈二、填空题6、已知向量a →，b →，且3()2(2)4()b →→→→→→→→++---+=0x a x a x a ，则→x =__________．7、四边形ABCD 中，若3AB e = ，5CD e =- ，且||||AD BC =，则四边形ABCD 是 .三、解答题8、△ABC 中，1,//4AD AB DE BC = ，且与边AC 相交于点E ，AM 为△ABC 的中线．设,,AB a AC b == 用,a b 分别表示向量,AM AE9、 已知的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：+++=4。
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教学设计
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、【内容与解析】（一）内容：向量数乘运算及其几何意义（二）解析：《向量的数乘运算及几何意义》是高中必修4第二章第二节第3课时的内容的内容，是平面向量线性运算的一种。
学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难。
向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量a表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.通过前面学习两个向量的运算，进一步转化为数与向量的联系，是后面学习平面向量基本定理的基础。
在本章节中起着承前起后的作用。
本节课的重点是掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线定理。
解决重点的关键是通过探究、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析解决问题的能力，借助多媒体辅助教学，达到增加课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围。
本课计划用2节课进行学习，其中正课 1节，作业及讲评1节.二、【教学目标与解析】 目标：1、掌握向量数乘运算及其运算律，理解其几何意义。
2、理解向量共线定理。
解析：1、目标1在于让学生通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
熟练运用定义、运算律进行有关计算。
2、目标2在于让学生能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
三、【问题诊断分析】本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题： 1、学生对向量数乘运算及其几何意义理解不到位？ 2、不理解共线定理？学生出现这几个问题的原因是对向量这一新概念理解不清楚，对向量没有一个正确的认识，解决这些问题的关键是教学时结合生活及物理实例，从加法运算入手，引入数乘运算，通过探究其几何意义，充分体现了数学知识的内在联系。
向量数乘运算及其几何意义教案
向量数乘运算及其几何意义教案教学目标：1. 理解向量数乘的概念及其运算规则。
2. 掌握向量数乘的几何意义。
3. 能够运用向量数乘解决实际问题。
教学重点：1. 向量数乘的概念及其运算规则。
2. 向量数乘的几何意义。
教学难点：1. 向量数乘的运算规则。
2. 向量数乘的几何意义的理解。
教学准备：1. 向量知识的基础。
2. 数乘知识的基础。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入向量的概念，复习向量的基本运算。
2. 引入数乘的概念，复习数乘的基本运算。
二、向量数乘的概念及其运算规则（10分钟）1. 介绍向量数乘的概念：将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
2. 讲解向量数乘的运算规则：对于两个向量a和b，以及一个实数c，有ca = (ca1, ca2)，其中a1和a2分别是向量a的两个分量。
三、向量数乘的几何意义（10分钟）1. 介绍向量数乘的几何意义：将一个向量进行数乘，相当于将这个向量按比例放大或缩小。
2. 讲解向量数乘的几何意义：如果将一个向量进行正数数乘，这个向量的大小会放大，方向不变；如果将一个向量进行负数数乘，这个向量的大小会缩小，方向不变。
四、向量数乘的运算性质（10分钟）1. 介绍向量数乘的运算性质：向量数乘满足交换律、结合律和分配律。
2. 讲解向量数乘的运算性质：交换律：ca = ac；结合律：(ca)b = ca(b)；分配律：c(a + b) = ca + cb。
五、向量数乘的应用（10分钟）1. 介绍向量数乘在实际问题中的应用：如在物理学中，力的大小和方向可以通过向量数乘来表示；在工程学中，向量数乘可以用来计算物体的位移等。
2. 讲解向量数乘在实际问题中的应用：通过举例，说明如何运用向量数乘解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，使学生掌握了向量数乘的概念及其运算规则，理解了向量数乘的几何意义，并能运用向量数乘解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生主动参与，通过讲解和实际例子的结合，使学生更好地理解和掌握向量数乘的知识。
数学：向量数乘运算及其几何意义教案新人教A必修
２．２．３ 向量数乘运算及其几何意义（１）教学目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、数乘运算的三个运算律，理解向量 共线的充要条件。
教学重点：向量数乘运算的意义及运算律，向量共线的条件。
教学难点：向量共线的条件。
教学过程一、复习提问什么叫共线向量？向量的加法、减法的定义、运算法则（三角形法则、平行四边形法则）。
二、新课１．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和（a ）+（a ）+（a ）OC =BC AB OA ++=a +a +a =３aPN =MN QM PQ ++=（a ）+（a ）+（a ）=３a讨论：１３a 与a 方向相同且|３a |=３|a | ２３a 与a 方向相反且|３a |=３|a |２．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa１|λa |=|λ||a | ２λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0a a a a OA B C a - a -a -a -N M Q P３、运算定律：结合律：λ（μa ）=（λμ）a １第一分配律：（λ+μ）a =λa +μa ２第二分配律：λ（a +b）=λa +λb３特别地，（—λ）a ＝—（λa ）＝λ（—a ）λ（a —b）＝λa —λb４、例题例５、计算：（１）（—３）⨯４a ；（２）３（a ＋b）—２（a —b）—a ；（３）（２a ＋３b—c）—（３a —２b＋c）。
解：（１）原式＝（—３⨯４）a ＝—１２a ；（２）原式＝３a ＋３b—２a ＋２b—a ＝５b；（３）原式＝２a ＋３b—c—３a ＋２b—c＝—a ＋５b—２c。
对于向量a （a ≠0）、b，如果有一个实数λ，使b＝λa ，由向量的数乘定义知， 与b共线。
a反过来，向量a （a ≠0）与b共线，且向量b的长度是向量a 的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a 与b同方向时，有b＝μa ，当a与b反方向时，有b＝—μa。
数学导学案：向量数乘运算及其几何意义
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3 向量数乘运算及其几何意义1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义，会作向量m a＋n b。
2．熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式,并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线．1．向量的数乘①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数;但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是错误的．②对任意非零向量a，则向量a|a｜是与向量a同向的单位向量．③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ｜倍．【做一做1】已知非零向量a，b满足a＝4b，则( )A．｜a｜＝｜b| B．4｜a|＝｜b｜C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律:设λ，μ为实数，则（1)λ(μa)＝________;(2)(λ＋μ)a＝________；（3)λ（a＋b）＝________(分配律）．特别地，我们有(－λ)a＝______＝______,λ(a－b）＝______.在△ABC中,D是BC的中点，则有错误!＝错误!（错误!＋错误!）．【做一做2】3（2a－4b)等于( ）A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12bD．6a－12b3．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______．（1)向量共线的条件：当向量a＝0时,a与任一向量b共线；当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数λ,使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．反之，已知向量b与a（a≠0）共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍,即|b|＝λ|a｜，那么当b与a同方向时b＝λa，当b与a反方向时b＝－λa.(2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0。
已知三点A，B,C共线，O是平面内任意一点，则有错误!＝λ错误!＋m错误!，其中λ＋m＝1.【做一做3】已知P是线段MN的中点，则有（）A。
永城高中高一(I)部数学学案-向量的数乘运算及其几何意义
向量的数乘运算及其几何意义1.理解并掌握向量数乘的定义及其几何意义，会作向量b n a m +。
2.熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式，并能用已知向量表示未知向量。
3.1. （1）定义：一般的，实数λ与向量a 的积是一个＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记做a λ。
（2）长度：||||||a a λλ=（3）方向：时，0>λa λ的方向与a 的方向________，,0=λa λ=_______,0<λ时，a λ的方向与a 的方向_________.点拨：⑴实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数；但实数与向量不能进行加减运算，如a +λ，a -λ是错误的。
⑵对任意非零向量a 是与向量a 同向的单位向量。
⑶a λ的几何意义是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小||λ倍。
2. 向量数乘的运算律：设μλ,为实数，则⑴=)(a μλ__________;⑵a )(μλ+=_________;⑶)(b a +λ=_________(分配律) 特别的,我们有（-λ）a =_______=________,)(b a -λ=___________. 3. 共线向量定理：向量a （a 0≠）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________________. 说明：⑴向量共线的条件：当向量a =0时，a 与任一向量b 共线，当向量a 0≠时，对于向量b ，如果有一个实数λ，使b =a λ，那么由实数与向量的积的定义知b 与a 共线。
反之，已知向量b 与a （a 0≠）共线且向量b 的长度是向量a 的长度的λ倍，即|b |=λ|a |，那么当b 与a 同向时b =a λ，当b 与a 反向时b =-a λ。
⑵如果向量b 与a 不共线，且a λ=b μ，那么0==μλ。
4. 向量的线性运算向量的______、_______、____________运算统称为向量的线性运算。
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 导学案
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标1.理解实数与向量的积的概念．2．明确实数与向量的积的定义和运算律．3．掌握向量共线定理并能够判断两向量是否共线．【预习案】1．向量的加减法的法则有____________法则和________法则．2．平行四边形法则中，两个向量必须是共________、不共线；三角形法则中的两个向量_________求其和；连终点指向被减，求其差．3．向量数乘的定义一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做______________，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λ＞0时，λa的方向与a的方向_____；λ＜0时，λa的方向与a的方向______；λ＝0时，λa＝0.4．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．3．共线向量基本定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有_________实数λ,使b＝λa. 4．线性运算(1)向量的____________________统称为向量的线性运算．(2)任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.【探究案】问题探究1．数乘向量与原向量之间有什么关系？2．在共线向量定理中，为什么要强调a≠0?考点一：向量数乘的定义及其几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．例一已知点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3.(1)用BC→表示AB→；(2)用CB→表示AC→.【思维总结】解决此类问题，关键是准确理解数乘向量的定义，把握表示及被表示向量的长度和方向，实现问题的转化考点二 向量数乘及线性运算向量的加法、减法、实数与向量的积以及它们的混合运算称为向量的线性运算．根据运算律化简． 例二：计算：(1)3(6a ＋b )－9(a ＋13b )；(2)12[(3a ＋2b )－(a ＋12b )]－2(12a ＋38b )； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .【思维总结】 其运算规律可类比多项式的合并“同类项”考点三：共线向量定理及应用要证明向量a 、b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可．应用该定理可证明三点共线、两直线平行等几何问题．例三：设两非零向量a 和b 不共线，如果AB →＝a ＋b ，CD →＝3(a －b )，BC →＝2a ＋8b .求证：A 、B 、D 三点共线．【思维总结】 利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a ＝λb ”，通过向量关系证出“三点共线”的结论．互动探究2 在本例前提下，证明：CA →＝xCB →＋yCD →.(其中x ＋y ＝1)方法技巧1．判断向量a 与b 是否共线的方法是：判断是否有且只有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)．2．判断A 、B 、C 三点是否共线的方法是：判断是否有且只有一个实数λ，使AC→＝λAB →.如例33．向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”，“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．如例24．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 失误防范1．对于λa ，当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的|λ|倍．2．数乘向量λa ＝0，则可得λ＝0或a ＝0；反之，也成立． 3．如果a 与b 不共线，且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.。
数学互动课堂学案：向量的数乘
互动课堂疏导引导1.向量数乘的定义及几何意义（1）实数λ与a的积是一个向量，记作λa，它的长|λa｜=｜λ｜·|a|。
它的方向是这样定义的：当a≠0时.λ＞0，λa与a同向;λ＜0，λa与a 反向;当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0.（2)根据向量数乘的定义。
a与λa为共线向量,两者方向相同或相反，(a≠0，λ≠0)在此前提下，λa可以理解为把a的长度扩大（|λ|＞1）或缩小（|λ|＜1)。
由此可得向量数乘的几何意义:就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。
(3）几点说明①λa中的实数λ,叫做向量a的系数，此系数决定着λa与a的模的关系及方向相同或相反。
②向量数乘的特殊情况：当λ=0时,λa=0，而当a=0时，λa=0.③实数与向量可以求积，并且结果为一向量，但不能进行加、减运算，如λ+a,λ—a根本无意义。
2.向量数乘的运算律向量数乘满足下列运算律：设λ，u为实数，则（1）（λ+u）a=λa+u a,(2）λ（u a)=（λu）a，（3)λ(a+b)=λa+u b（分配律）。
疑难疏引向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似，只是向量的数乘分配律由于因子的不同，可分为（λ+u)a=λa+u a 和λ（a+b)=λa+u b。
但两者也有区别:中学代数中的实数运算的结果是一个数，只满足一种分配律,而向量的数乘的结果是一个向量,满足两种分配律。
3.向量的线性运算向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算.案例1 （1）计算下列各式：①2（a +b ）—3(a —b ）；②3（a -2b +c )—（2c +b —a ）； ③52（a -b )—31(2a +4b ）+152(2a +13b ）. （2）设x 、y 是未知向量 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.21,21b y x a y x【探究】要解决(1）中的问题，需要用到数乘向量的运算律。
高中数学必修四教案-2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义(1)-人教A版
《向量数乘运算及其几何意义》教学设计人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书(A版)必修4向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算。
教学时先从《朗读者》节目的主题遇见引入实数和向量的遇见，然后从110米跨栏比赛抽象出物理背景，引入数乘运算,充分展现了向量数乘运算的现实意义。
实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向。
特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理。
共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错。
尤其是定理的前提条件:向量a 是非零向量。
共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系。
课时1.向量数乘运算及其几何意义、运算律，共线向量定理。
2.经历向量数乘运算定义及其几何意义的探究过程，体会类比、归纳、由特殊到一般的数学思想的应用。
体会类比、归纳推理方法在本节课中的作用。
在用向量方法研究三点共线教学的过程中渗透数形结合的思想方法。
3.感受平面向量方法在研究平面几何问题中的作用,进一步提高学习向量知识的积极性。
体会类比迁移的推理方法,培养学生的创新能力【教学重点】向量数乘运算及其几何意义、运算律、共线向量定理。
◆向量数乘定义由学生类比实数乘法得到，通过学生自主验证运算律与教师几何画板演示相结合的方法突破教学重点。
【教学难点】共线向量定理及其应用。
◆通过学生思考、讨论、交流、变式训练、总结等环节突破共线向量定理及其应用这一教学难点。
、相关准备的方向相同；的方向与a 的方向相反；0a λ=。
)a λμ；a b λλ+a+b ）=。
向量线性运算律)yb =xa yb λλ±(1)(-3)×4a ；3b c -)-(3a思考：向量a （0a ≠）和b ，若存在实数λ，使b a λ=，则的方向有什么关思考：若向量a （a 论。
0≠）与b 共线，当且仅，使a λ=。
a 、b ,试作OA 能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么? 论，给出证。
《向量的数乘运算及其几何意义》学案1
《2．2．3向量的数乘运算及其几何意义》学案学习目标：1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义； 2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律； 3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。
学习过程：探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和)()()(a a a-+-+-，你能说明它的几何意义吗？ a问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？向量数乘运算的定义：____________________________________ 长度和方向规定如下：（1）(2)问题2：你能说明它的几何意义吗？小露一手：教材P90 练习2、3题问题3：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？ （1）=)(aμλ （2）=+a)(μλ（3）=+)(b aλ问题4：你能解释上述运算律的几何意义吗？ 例1．计算：（1）4)3(⨯- ；（2）---+)(2)(3 ； （3）)23()32(+---+ ； 小露一手：教材P90 练习5题向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量b a,，以及任意实数21,,μμλ，恒有b a b a2121)(λμλμμμλ±=±.问题5：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？共线向量定理：向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=.思考: 1) a为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？小露一手：教材P90练习题4题三点的位置关系。
、、试判断，已知，变式一：如图E C A .33BC DE AB AD ==DE BC //.A 3A 3求证：，已知，变式二：如图==总结归纳：例3.如图，已知任意两个向量,,b a试作出.3,2,b a OC b a OB b a OA +=+=+=你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？例4.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==,，你能用b a,表示,,,吗？课堂练习：教材P90练习题6题课后作业（1）教材P91 A 组习题9—13题（必做）；B 组习题3、4、5题（选做）课后思考1O C B A =++=μλμλ若有是平日面内任意一点，共线，、、已知三点学习反思：2例..33是否共线与试判断，已知，如图AE AC BC DE AB AD ==DbaABC D E。
高一数学《向量数乘运算及其几何意义》导学案
第二章 平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、学习目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量共线的含义，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
【重点、难点】向量数乘的定义及其运算律和向量共线定理。
二、学习过程1.向量的数乘的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：_______；它的长度和方向规定如下：（1）||||||a a λλ=（2）当0λ>时，_______________________；当0λ<时，_______________________；当0λ=时，_______________________；______________________________叫做向量的数乘2.向量的线性运算定义：___________________________________________统称为向量的线性运算；3.向量的数乘的作图：已知,a 作b a λ=当0λ>时，把a 按原来的方向变为原来的λ倍； 当0λ<时，把a 按原来的相反方向变为原来的λ倍；4.向量的数乘满足的运算律：设,λμ为任意实数，,a b 为任意向量，则（1）结合律______________________________________（2）分配律_______________________________________注意：（1）向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算过程中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合的具体应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；（2）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。
5. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线⇔有且仅有一个实数λ，使得bλa . 【典型例题】化简下列各式（1）13(6)9()3+-+a b a b(2) 1113(32)()2()2228⎡⎤+-+-+⎢⎥⎣⎦a b a b a b (3)()2543(3)7-+--+-a b c a b c a【变式拓展】：如图：已知3AD AB ，3DE BC ，试判断AC 与AE 是否平行．三、学习总结⑴实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．0a =0 ⑵运算律： ①()()a a λμλμ=； ②()a a a λμλμ+=+； ③()a b a b λλλ+=+． (3)0,a a a a a a a ≠则表示与同方向的单位向量，-表示与反方向的单位向量。
向量的数乘运算及几何意义教学设计(郭会芹)
《向量的数乘运算及几何意义》教学设计霸州四中郭会芹版本：人教A版必修四第一章第二节题目：《向量的数乘运算及几何意义》课型：新知教学课课时：一课时一、教学目标：知识目标：1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律；3．会综合运用向量的加法，减法和数乘运算解决问题。
能力目标：通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神。
二、目标分析可行性分析：学生已学习了向量的加法和减法及其几何意义，在此基础上能够较好地理解并掌握向量的数乘运算及其几何意义。
学生能由实数运算律类比向量运算律，从而加深对后者的理解及运用；准确性分析：学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难。
通过前面学习两个向量的运算，进一步转化为数与向量的联系，是后面学习平面向量基本定理的基础。
弹性分析：所授课班级为普通班，学生基础参差不齐，所以在授课过程中，要根据学生的接受情况侧重数乘运算的定义及运算律的应用，调整练习量与习题的难易程度。
)()()a a a +-+- ：相加后，和的长度和方向有什么变化？ ：这些变化与哪些因素有关？学生在白纸上作出图像，并讨论两个问题。
最后学生a 与a方向相同且a 3=；3a 与a方向相反且3a a =预设问题：1.学生对向量的加法和相反向量掌握的不够牢固，在作图时有可能存在问题；2.学生分析问题时不能从向量的大小和方向两个角度考虑。
学生通过作图，观察学习2.引导学生从向量的大小和方向两个方面考虑所作向量与a的关系同时通过多媒体展示作好铺垫。
归纳总结请大家根据上述问题作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？学生思考并作答实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作aλ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a aλλ=；（2）当0λ>时，aλ的方向与a的方向相同；当0λ<时，aλ的方向与a的方向相反；当λ=时，0aλ=．预设问题：1.学生忽略数乘向量在方向和长度两个方面与原向量的联系。
高一数学必修4向量数乘运算及其几何意义学案
平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数
λ使两向量相等 .把向量平行的问题
转化为寻求实数 λ使向量相等的问题及数乘
例 1 设 a、b 为向量，计算下列各式 .
1
(1)- ×3a；
3
1
(2)2( a-b)-(a+ b)；
2
(3)(2m-n) a-m b-(m-n)( a-b)(m 、n 为实数 ).
图 2-2-36
∴(3) 式成立 .
误区警示 分类讨论的思想在数学中既是一个重要的策略思想，也是一个重要的思想方法
.
很多数学问题不仅在涉及的知识范围上带有综合性，
而且就问题本身来说， 也受到多种条件
的交叉制约， 形成错综复杂的局面， 很难从整体上着手解决， 这时， 就从 “分割 ”入手， 把 “整
体”划分为若干个 “局部 ”，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决
即( λ-2m) a+(1- mλ)b =0.
2m 0,
∴
1 m 0.
解得 λ=± 2 .
例 3 如图 2-2-37 所示，在平行四边形 ABCD 中， AD =a， AB =b，M 是 AB 的中点，点 N
是
BD
上一点，
|BN|=
1
|BD|. 求证：
M 、 N、 C 三点共线
时， λa=0.实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广，
λa 是一个向量，其
长度 | λa|=| λa|，| 其方向与 λ的符号有关，应注意 0a=0 而不是实数 0.
2.向量的数乘的几何意义 由实数与向量积的定义可以看出，
缩.
它的几何意义就是将表示向量
a 的有向线段伸长或压
2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案(可编辑修改word版)
2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案【学习目标】1.掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2.理解两个向量平行（或共线）的等价条件，能根据条件判断两个向量是否平行（或共线）；3.通过探究，体会类比迁移的思想方法，通过实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想．【重点难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的等价条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的等价条件．【知识回顾】1.平行向量是指什么？共线向量又是指什么？．2.作出两个向量的和向量的方法有、．①第一个方法的步骤是：；②第二个方法的步骤是：．3.作出两个向量的差向量的方法是；作两个向量的差向量的步骤是：．4.三个向量AB ，OA ，OB 有怎样的等式关系？．（向量的化简与分解）【新课导入】相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如当a ∈R 时，a +a +a =.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？已知非零向量a ，如何作出向量a + a + a 和(- a) + (- a) + (- a) ？类似实数的数乘运算，可将a + a + a 简记为；(- a) + (- a) + (- a) 简记为，它们的结果是一个什么样的量？数量还是向量？−a−→请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？．【学习过程】1）定义a b a b a一般地，我们规定：实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，该向量的方向与长度与、 a 有什么关系呢？（1）向量a 的长度： | a |=.（2）向量a 的方向：.思考：①若b = a 且 a ≠ 0 ，则=．（用 a , b 的模表示）②向量的数乘运算的几何意义吗？向量与数量的关系常常在物理公式中体现．你能举出几个公式吗？练一练：（课本第 90 页练习的第 2，3 题）AC 51.已知点C 在线段 AB 上，且 CB = ，则 AC = 2AB ； BC = AB ；2.将下列各小题中的b 表示为实数与向量 a 的积：① a = 3e ， b = 6e ； ② a = 8e ， b = -14e ； 2 1 3 2③ a = - 2） 运算律：e ， b = 3 e ； ④ a = - 3 e ， b = - e ． 4 3初中学习了多项式的运算法则，你还记得吗？,为常数， x , y 为未知量，且 x , y ∈ R ，则① (x ) =; ②( + )x =; ③ (x + y ) =.类比多项式的运算律（交换律、结合律、分配律）得到以下向量数乘的运算律：设 a 、b 为任意向量， λ 、 μ 为任意实数，则有：（1）(a ) = ； （2） (λ + μ)a = ； （3） λ(a + b ) =.特别地，我们有(-)a = - = ； λ(a - b ) = .练一练：3． 计 算 ： （ 1） (- 3)´ 4a ； （ 2） 3( + )- 2( - )-；（ 3）(2a + 3b - c )- (3a - 2b + c ) .⎧ 总结提升1. 此类运算类似多项式的运算法则（合并同类项，系数相乘得系数等）．2.向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算，对于任意的向量 a , b 以及任意实数,1,2 恒有：⎪m - n = 3b 4．若 a , b 是已知向量，且⎨ ，求 m , n （用 a , b 表示）．⎪⎩m + 2n = 6a3） 共线定理：思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？1. 若b = a （ a 为非零向量，∈ R ），则向量 a 、b 是否共线？.2. 若非零向量 a 与向量b 共线，是否存在∈ R 使得b = a ？共线向量定理：向量 与非零向量平行的等价条件是有且仅有一个实数 λ ，ba使得b = λa .共线定理中能否将“非零向量 a ”改为“向量 a ”？为什么？想一想：如图：已知 AD = 3AB ， DE = 3BC ，试判断 AC 与 AE 是否平行．变式 1：如上图，已知 AD = 3AB ， DE = 3BC ，试判断 A , C , E 三点的位置关系．变式 2：如上图，已知 AD = 3AB ， AE = 3AC ，求证： BC / / DE ．(1a± 2 b = 1 a ± 2 b )=⇒ ⎬= ⇒ ⎬ 【总结提升】向量共线定理的应用：1. 证明向量共线；2.证明：三点共线： AB =BC ⇒ A , B , C 三点共线；3.证明两直线平行：AB CD AB / /CD ⎫⎪ ⇒ 直线AB / /直线CD ． AB 与CD 不在同一直线上⎪⎭这样几何问题⇒ 向量化．【典例 1】已知任意两个非零向量 a 、 b ，且 OA = a + b ， OB = a + 2b ， OC = a + 3b .你能判断A ,B ,C 三点之间的位置关系吗?为什么?【典例 2】在∆ABC 中，点 D 是线段 BC 上的一点，且 BD = 2DC ，请用向量 AB 、 AC 表示向量 AD ．【小结回顾】1. 实数与向量的积：2. 实数与向量的积的运算律：3. 共线向量定理：定理的应用①证明：向量共线； ②证明：三点共线： AB = BC ⇒ A , B , C 三点共线；③证明 两直线平行： AB CD AB / /CD ⎫⎪ ⇒ 直线AB / /直线CD ．【作业布置】1. 相应课时的同步作业2. 拓展提升部分的思考.【拓展提升】AB 与CD 不在同一直线上⎪⎭1. 设 a 、b 是两个不共线向量，已知 AB = 2a + mb ， CB = a + 3b ，若 A 、 B 、C 三点共线，求 m 的值．2. 在【典例 2】中，观察所得出的结果，向量 AB 与 AC 的系数有何关系？若题中 D 为直线 BC 上的任意一点，且 BD = BC ，则用向量 AB 、 AC 又如何表示向量 AD ，此时向量 AB 与 AC 的系数又有何关系？；反过来，若 AD = x AB + y AC ，且 （满足上述向量 AB 与 AC的系数关系式），则点 B , C , D 有何关系？你能从中总结出一个什么样的结论．。
高中数学_向量的数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.理解实数相乘与向量数乘的区别.二、教学重难点重点：向量的数乘运算的几何意义，熟练进行向量的线性运算。
难点：掌握并能运用向量共线的定理三、学案设计《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿一、学习目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的线性运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.二、情景导入:已知非零向量a,作出a+a+a和（—a）+（—a）+（—a）。
你能说明它们的几何意义吗？三、学习过程：一）向量的数乘运算1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个＿＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记作＿＿＿＿.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相同；当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝＿＿＿＿.典例1(1)若两个非零向量a 与a x 1)－(2方向相同，则x 的取值范围为________.(2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. 则AB →=______BC →，AC →=______CB →。
再练一题点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC →=______AB →，BC →=______AB →。
3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝_________a ；(2)(λ＋μ) a＝__________________；(3)λ(a ±b)＝__________________.（4） (－λ) a＝__________________＝__________________4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b )＝____________________________.典例2 计算（1）a 43-⨯）（ （2）ab a a --2-b 3）（）（+（3））（）（c b a a ++2-3-c -b 32（4）已知向量x a ，，b ，且)(---b a x x b a x +=-）（）（，则x＝________.再练一题化简：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)-()(2131b a b a2482二)共线向量 共线向量定理：向量a (a ≠0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__________.探究1 已知m ，n是不共线向量，n m a 43+=,n m b 86-=，判断a 与b 是否共线？探究2 已知是1e ,2e 共线向量，a =31e +42e ，b =61e -82e 则a 与b是否共线？探究3 设两非零向量1e 和2e 不共线，是否存在实数k ，使k 1e ＋2e 和1e ＋k 2e共线？典例3已知非零向量1e ，2e不共线.如果A B →＝1e ＋2e ，B C →＝2 1e ＋82e ，C D →＝3(1e －2e )，求证：A ，B ，D 三点共线.[再练一题]3.设两个非零向量1e ，2e 不共线，已知AB →＝21e ＋k 2e ，CB →＝1e ＋32e ，CD →＝21e －2e.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.四、课堂总结一）向量的数乘运算1、向量数乘的定义2、向量数乘的几何意义3、运算律4、向量的线性运算 二）共线向量定理 1、定理 2、应用 五、达标练习1、设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa |≥|a |； ③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.2、化简⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b 432c b 21 --3a a3、在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC.四、教学过程情景导入：已知非零向量,作出++和（—）+（—）+（—）。
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必修4 2．2．3 向量数乘运算及其几何意义
【学习目标】
1.能举例说明实数与向量积的定义及几何意义，能准确确定数乘后的向量的模及方向；
2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；
3.理解两个向量共线的等价条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.
【学习重点】实数与向量的积的定义、运算律.
【难点提示】向量的数乘的定义、运算律的理解与运用.
【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材8792P -结合进行自主学习（对教材中的文字、
图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；
2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
【学习过程】 一、学习准备
前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白或横线处，同时思考下列问题：
1.向量与实数（标量）的区别 ，向量与实数能进行加减运算吗？
2.向量加法的运算法则 、 ，运算律 、 ；
3.请同学们作出a a +；若2a =，则____a a +=；那么向量a a +能写成2a 吗？
4.向量的减法 ，它是借用 来定义的？
5.向量a 的相反向量是 ，其相反向量与原向量的本质关系是 ，向量b 的相反向量-b 实质就是向量b 乘以-1吗？3b 有怎样的意义吗？这就是本节课我们要探究的！
二、学习探究 1.向量的数乘的定义：
由上面“学习准备”中，我们知道向量b 的相反向量-b 实质就是向量b 乘以-1，3b 就是三个b 向量的和，0a a -=实质就是0a a a -=，a a +就是2a ，即2a a a +=，还有
a a a a ----就是4a -等.
若已知任意向量a ，请作出向量2a 、4a -，并观察它们与向量a 的长度、方向有何关系？并将你观察的结果发散思维，推广到一般情况！
归纳概括 向量的数乘定义：一般地，实数λ与向量a 的积是 ，这种运算叫做向量的数乘，记作_____ _，它的长度和方向规定如下： （1）|λa |= |a |； （2）当0>λ时，_________________ ；
当0<λ时，__________________；当0=λ时，_________________ ． 2.向量的数乘满足的运算律
已知任意向量a 、b ，请作出向量2(3)a 、(23)a ⋅、2()22a b a b ++、，2()22a b a b --、并观察它们有怎样的关系？并将你观察的结果发散思维推广到一般情况！
归纳概括 设λ，μ为任意实数，a 、b 为任意向量，则： （1）结合律：________________________（链接1）
（2）分配律：①________________________;②______________________ __ 快乐体验 教材P90页练习1、2、3请作在书上.
挖掘拓展 1.向量的数乘与实数的乘法的异同点在哪里？（链接1）
2.向量的数乘运算的结果是 ，运算法则与 类似，其几何意义是？（链接2）
3.向量本身具有“形” 和“数”的双重特点，在实数与向量的积的运算中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，这就是向量线性运算数的 、也是数学的 思想的体现．（链接3）
三、典例赏析
例1.教材P88页的例5，请同学们先独立完成后在看教材的解答. 解:
解后反思 该题的题型怎样？你的求解与教材一致吗？有易错点吗？ 变式练习 1.计算下列各式：
（1）5(a+b)-4(a-b)-3a ；（2）2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)
2.若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.
解：
例2. 如图2.2.3-1， 凸四边形ABCD 的边AD 、BC
的中点分别为E 、F ，求证EF ＝2
1
(AB +DC ).
解：
解后反思 该题的题型怎样？求解时运用了哪些知识
与思想方法？你对该题还有什么感悟没有？若把“凸四边形”的条件改为“梯形”或“三角形”呢？
变式练习 已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且
2OA OB OC ++=0，那么（ ）
Ａ.AO OD = ；Ｂ.2AO OD =；Ｃ.3AO OD =；Ｄ.2AO OD =. 例3. 教材P89页例7，请同学们先独立完成后在看教材的解答. 解:
解后反思 该题的题型怎样？你的求解与教材一致吗？求解时运用了哪些知识 与思想方法？求解的关键在哪里？有易错点吗？
变式练习 如图2.2.3-3，在△ABC 中，=a , =b
AD 为边BC 的中线，G 为ABC ∆的重心，试用a ，
b 向量表 示出向量． 解：
四、学习反思
1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：实数与向量的积的定义，实数与向量的积的运算律都掌握了吗？
2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？
3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？
五、学习评价
1.下列各式中不表示向量的是 （ ）
C
A
F
A ． 0·a
B ．a+3b
C ．|3a |
D ．
y
x -1
e ()y x R y x ≠∈且,, 2.在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若=a ，=b ，则= （ ） A ．
21(a+b) B ． 21(a-b) C ． 2
1
(b-a) D ． 21-(a+b)
3.以下等式中正确的是 ( )
A ． a-a =0
B ． 0·a=0
C ． m-n=-(n-m)
D ． |λm |=λ|m | 4.若|a |3=，b 与a 的方向相反，且|b|=5，则a = b 5.在ABC ∆中，
E 为AC 上一点，=BC a ，=BA b ，EC AE 2
1
=，若有向量a 、b 表示，则=
6.如图2.2.3-4，已知向量a ，b ，c ， 求作向量c b a 2
1
23+
-． 解：
7.计算：(1)3(5a-3b)-2(6a+b)；(2)4(a-3b+5c )-2(-3a-6b+8c ) （3）已知向量a ，b ，且3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0求x 解：
8.教材P91页A 组6、10、11、12、13.
选做题：如图2.2.3-5平面内有三个向量
OA OB OC 、 、，其中OA 与O Ｂ 的夹角为120， OA 与OC 的夹角为30，且23OC =
=1OA OB =若OC OA OB λμλμ=+∈ (,R)，则___λμ+=
【学习链接】
链接1.实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=（结合律）；
（2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）；（3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）．
链接2. 向量的数乘与实数的乘法的相同点：这两种运算都满足结合律和分配律； 不同点：实数的乘法的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量. 链接3. 运算结果是一个向量、与多项式的运算类似、几何意义在于向量的“形”. 链接4.几何意义、数形结合.
图。