空间向量及其运算关系导学案
空间向量的运算(第一课时)导学案 高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
高 二 年级 数学 学科导学案命题 班级 学号 姓名 得分 课题：空间向量的运算(第一课时)【学习目标】1．通过空间向量的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助空间向量的加法、减法的学习，提升数学运算与直观想象素养．【重点难点】1．了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(重点)2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点、难点)【学习流程】◎基础感知◎探究未知一、知识点梳理1．空间向量(1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量．(2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模．(3)表示法用有向线段AB →表示，A 叫作向量AB →的起点，B 叫作向量AB →的终点，也可记作a ，其模记为⎪⎪⎪⎪AB →或|a |．(4共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行．问题1：向量AB →与向量BA →的长度和方向之间有什么关系？2．共面向量(1)共面向量的概念平行于同一个平面的向量，叫作共面向量．(2)三个向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．3．空间向量的加减法与运算律空间向量的运算加法 OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b 减法 CA →＝OA →－OC →＝a －b 空间向量的加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )问题2：空间向量的减法是否也有交换律与结合律？例1．空间两个向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝2，则下列结论不正确的是( )A ．b ＝－aB ．|a |＝2C ．a 与b 方向相反D ．a ＋b ＝0例2．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( )A ．OA →B ．AB →C ．OC →D ．AC → 跟踪训练：如图所示，在以长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，求：(1)单位向量共有多少个？ (2)模为5的所有向量．二、空间向量的有关概念方法技巧：特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．例3 如图所示，在正六棱柱ABCDEF -A ′B ′C ′D ′E ′F ′中，(1)与AB →相等的向量有哪些？(2)BD →与E ′A ′→是相反向量吗？(3)与AD →平行的向量有多少个？跟踪训练：给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝－C 1C →；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反；④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →．其中正确命题的序号是________．三、空间向量的加减运算方法技巧：1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”．2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法．例4.如图所示，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→．变式训练：1．在例4的条件下，下列各式运算结果为BD ′→的是( )①A ′D ′→－A ′A →－AB →；②BC →＋BB ′→－D ′C ′→；③AD →－AB →－DD ′→；④B ′D ′→－A ′A →＋DD ′→．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2．在例4的条件下，用向量AA ′→，AB →，AD →表示向量AC ′→．四、空间向量加、减运算的应用方法技巧：求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点.1当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则.2求两向量的差时，常考虑：①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再使用减法的三角形法则.例5. 在四棱锥O ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，求证：OA →＋OC →＝OB →＋OD →．变式训练：例5的逆命题是否成立？若成立，给出证明，若不成立，举出反例．◎达标检测1．若空间向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )A ．有不同的方向B ．有不相等的模C ．不可能是平行向量D ．不可能都是零向量2．在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是( )A ．点B ．直线C ．圆D ．球面3．在空间四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c4．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．5．如图所示，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋A 1B 1→；(2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→；(3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→；(4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →．【总结反思】1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．。
向量空间及其运算导学案
向量空间及其运算导学案一、概述向量空间是线性代数中的重要概念，它是一种具有特定性质的数学结构。
本导学案将介绍向量空间的基本概念和运算规则。
二、向量空间的定义向量空间指的是一组向量的集合，其中包括零向量、可以进行数乘和向量加法运算，并且满足一定的运算规则。
具体来说，向量空间需要满足以下八个条件：1. 加法封闭性：对于向量空间中的任意两个向量，它们的和仍然属于该向量空间。
2. 加法结合性：向量加法满足结合律，即$(\mathbf{u} +\mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$。
3. 加法交换性：向量加法满足交换律，即$\mathbf{u} +\mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$。
4. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊向量$\mathbf{0}$，满足对于任意向量$\mathbf{v}$，有$\mathbf{v} + \mathbf{0} =\mathbf{v}$。
5. 负向量存在性：对于向量空间中的任意向量$\mathbf{v}$，存在一个相反向量$-\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$。
6. 数乘封闭性：对于向量空间中的任意向量$\mathbf{v}$和标量$k$，它们的数乘$\mathbf{v}k$仍然属于该向量空间。
7. 数乘结合性：数乘满足结合律，即$(k_1k_2)\mathbf{v} =k_1(k_2\mathbf{v})$。
8. 数乘分配性：数乘和向量加法之间满足分配律，即$k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$，$(k_1 + k_2)\mathbf{v} = k_1\mathbf{v} + k_2\mathbf{v}$。
空间向量及其运算(一)导学案
空间向量及其运算(一)导学案【学习目的】：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题【学习重点】：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律【学习过程】： 一、内容分析：本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深空间观念当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题二、先让我们复习一下以前学过的平面向量的知识：向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+=(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0单位向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积。
重要定理、公式：(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+=(2)两个向量平行的充要条件 a ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a·b ＝O ⇔02121=+y y x x(4)线段的中点坐标公式： OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x三、讲解新课：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB +=+= b a OB OA BA-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量：(1)．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
空间向量及其加减与数乘运算导学案3
3.1.1～3.1.2 空间向量及其加减与数乘运算教学目标：（1）学生通过与平面向量及运算作类比并借助图形，理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算及其运算律，并思考两者的联系和区别。
（2）让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比和归纳的数学思想方法，并体验数学在结构上的和谐性。
预习探究案 1.在 ，我们把 ，叫做空间向量. ____________叫做向量的长度或模. 2.与平面向量一样，空间向量也用表示，此表示法为空间向量的 .如右图，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作 ， 也可记作 .其模长记为__________或 . 3. 叫做零向量，记为 ,零向量的方向是 .当有向线段的起点A 与终点B 时，0AB = 4. 的向量称为单位向量.5.与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为-a .6. 的向量称为相等的向量.因此，在空间， 的有向线段表示或 .7.类似于平面向量，定义空间向量的加减运算如OB = = ,AB = = .推广: . 8.交换律： ;结合律： .9.实数λ与a的积仍然是一个向量，记作 ,称为向量的数乘.长度与方向规定为：(1)长度是 .(2)方向：当λ>0时， ；当λ<0时， ;当λ=0时， . 10.空间向量的数乘运算满足分配律与结合律.分配律： . 结合律： .11、对于空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b 的充要条件是 。
称它为共线向量定理。
12、如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是 。
称为共面向量定理。
13、已知点Ｍ在平面ＡＢＣ内，并且对于空间任一一点Ｏ，1133OM xOA OB OC =++例1. 1. 花简: AB CD BC ++= . AP MN NP +-= .EF OF OE +-= .2 已知平行六面体ABC D －D C B A '''',化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.①AB BC AA '+- ； ② AB AD AA '++；③12AB AD CC '++； ④ 1()3AB AD AA '++3 若 ，求x.变式：在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ，△BCD 的重心为G ，① z y x ++=求x 、y 、z.② 求证： .=++++-n n A A A A A A A A 1433221 2AD BD xAC ''-=1()3AG AB AC AD =++例2： 设12e e 、是平面上不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若Ａ、Ｂ、Ｄ三点共线，求k 的值。
高三数学 第7章 第6节 空间向量及其运算 导学案北师大版
第六节 空间向量及其运算[考纲传真] 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量．(2)单位向量：对于任意一个非零向量a ，把a|a |叫作向量a 的单位向量，记作a 0.(3)相等向量：方向相同且模相等的向量． (4)相反向量：方向相反而模相等的向量．(5)向量a ，b 的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB →，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，范围是[0，π]．①当〈a ，b 〉＝π2时，记作a ⊥b ； ②当〈a ，b 〉＝0或π时，记作a ∥b .(6)平行向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作平行向量或共线向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2)空间向量基本定理如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3.3．两个向量的数量积(1)非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①交换律：a ·b ＝b ·a ； ②分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . ③λ(a·b )＝(λa )·b (λ∈R )． 4．空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )(b ≠0)， a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0. (3)模和夹角公式设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)．则|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21＋z 21，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21·x 22＋y 22＋z 22(a ≠0，b ≠0)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( )(2)对任意两个空间向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b .( ) (3)若a·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角．( )(4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)如图761所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )图761A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋cA [BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .] 3．(·福州模拟)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断B [由34＋18＋18＝1知，A ，B ，C ，P 四点共面．]4．(·广东高考)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [各选项给出的向量的模都是2，|a |＝ 2.对于选项A ，设b ＝(－1,1,0)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×(－1)2×2＝－12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°.对于选项B ，设b ＝(1，－1,0)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×12×2＝12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝60°，正确．对于选项C ，设b ＝(0，－1,1)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1×12×2＝－12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°.对于选项D ，设b ＝(－1,0,1)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1－12×2＝－1.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝180°.]5．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________.【导学号：57962349】－13 [(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝42＋(－2)2＋(－4)2－[62＋(－3)2＋22]＝－13.]空间向量的线性运算1111边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：图762(1)AP →； (2)MP →＋NC 1→.[解] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . 5分(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .7分因为N 是BC 的中点， 则NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，10分 所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .12分 [规律方法] 1.(1)选择不共面的三个向量作为基向量，这是利用空间向量基本定理求解立体几何问题的前提．(2)用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算．2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．[变式训练1] 如图763所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.图76356[连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c . 又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16，y ＝13，z ＝13， 因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.]共线向量与共面向量定理的应用b 反向，则λ＋μ＝________.(2)如图764所示，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．图764①向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ ②直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ (1)－52 [∵a ∥b ，且a 与b 反向， ∴(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，k <0.∴⎩⎨⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12，当λ＝2，μ＝12时，k ＝2不合题意，舍去． 当λ＝－3，μ＝12时，a 与b 反向．因此λ＋μ＝－3＋12＝－52.] (2)①因为AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →.所以MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→， 所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面.6分②当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内； 当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由①知MN →与AB →，AA 1→共面， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.12分[规律方法] 1.判定空间三点共线，要结合已知向量从三点中提炼两个共点向量，利用共线向量定理判断，但一定要说明两线有公共点．2．证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →，或对空间任一点O ，有OA →＝OB →＋xPB →＋yPC →，或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)．[变式训练2] 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解] (1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →). 2分即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面.5分(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M .∴四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内.12分空间向量数量积及其应用于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．图765(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值.【导学号：57962350】[解] (1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB → ＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. 3分∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD .5分(2)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )， MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22.8分又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22. ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.12分 [规律方法] 1.空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题 (1)a ⊥b ⇔a·b ＝0. (2)|a |＝a 2.(3)cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |.[变式训练3] 如图766，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.图766(1)求AC 1的长；(2)求AC 与BD 1夹角的余弦值． [解] (1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.2分|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. 5分(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.8分∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.12分[思想与方法]1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础． 2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．[易错与防范]1．在利用MN →＝xAB →＋yAC →(*)证明MN ∥平面ABC 时，必须说明M 点或N 点不在平面ABC 内(因为(*)式只表示MN →与AB →，AC →共面)．2．向量的数量积满足交换律、分配律，即a ·b ＝b ·a ，a ·(b ＋c )＝a·b ＋a ·c 成立，但(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立．3．求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．第11页共11页。
空间向量的运算(第二课时))导学案 高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
高二年级数学学科导学案命题班级学号姓名得分课题：空间向量的运算(第二课时)【学习目标】1．通过空间向量的数乘运算及其运算律的应用，培养数学运算与直观想象素养．2．通过共线向量基本定理及推论的应用，培养逻辑推理素养．3．通过空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养．4．借助空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养．【重点难点】1．掌握空间向量的数乘运算及其数乘向量的几何意义．(重点)；2．理解共线向量基本定理及推论．(重、难点)3．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点)4．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点)5．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点) 【学习流程】◎基础感知◎探究未知一、知识点梳理1．向量的数乘运算定义与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘几何定义λ＞0λa与向量a方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ＜0λa与向量a方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2．共线向量基本定理空间两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．问题1：若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？问题2：在空间向量中，与非零向量a共线的单位向量有几个，分别是什么？3．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB 叫作向量a与b的夹角记法〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直当〈a，b〉＝π2时，a⊥b；a·b＝0 规定：零向量与任意向量垂直问题3：〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b 的数量积，记作a·b．(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a·b ＝0 若a 与b 同向，则a·b ＝|a |·|b |；若反向，则a·b ＝－|a |·|b |． 特别地：a·a ＝|a |2或|a |＝a·a cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |(a ≠0，b ≠0)|a·b |≤|a |·|b |5．投影向量与投影数量①如图，已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，过A 向直线OB 作垂线，垂足为点A ′，称向量OA ′→为向量a 在向量b 方向上的投影向量，其长度等于||a |cos 〈a ，b 〉|．②如图，|a |cos 〈a ，b 〉称为向量a 在向量b 方向上的投影数量，可以表示为a ·b|b |．③数量积的几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上投影数量|b |cos 〈a ，b 〉的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上投影数量|a |cos 〈a ，b 〉的乘积．例1．已知λ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a |D ．|λa |＞0例2．若e 1，e 2不共线，则下列各组中的两个向量a ，b 共线的是( )A ．a ＝e 1－e 2，b ＝12e 1＋12e 2 B ．a ＝12e 1－13e 2，b ＝2e 1－3e 2 C ．a ＝13e 1－12e 2，b ＝2e 1－3e 2 D ．a ＝e 1＋e 2，b ＝12e 1－12e 2例3．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b ＝( )A ．－2B ．－1C ．±1D ．2二、空间向量的数乘运算例4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，试用AB →，AD →，AA 1→表示EO →．跟踪训练：本例中试用OB →，OC →，OE →表示AC 1→．三、向量共线问题方法技巧：向量共线的判定方法判定向量a ，b 共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b ＝a λ(a ≠0)成立．例5. 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME →与NF →是否共线．跟踪训练：在本例中，若M 、N 分别为AD 1，BD 的中点，证明：MN →与D 1C →共线．四、点共线问题方法技巧：证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使PA →＝λPB →成立；(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )；(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ＋y ＝1．例6. 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．跟踪训练：如图，已知OE 是平行六面体OADB CFEG 的体对角线，点M 是△ABC 的重心，求证：点M 在直线OE 上．五、空间向量的数量积运算方法技巧：求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键. 例7. 已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点． 求(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→．跟踪训练：若本例的条件不变，计算EF →·FC 1→．六、利用数量积求夹角方法技巧：求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．(2)先求a·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |求cos 〈a ，b 〉，最后确定〈a ，b 〉．例8. 已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，(1)求向量OE →与BF →所成角的余弦值； (2)求直线OE 与BF 所成角的余弦值．跟踪训练：在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求向量BC 1→与AC →的夹角的大小，并求异面直线BC 1与AC 所成的角．七、利用数量积求两点间的距离方法技巧：求两点间的距离或线段长度的方法 (1)将此线段用向量表示．(2)利用|a |＝a 2，计算出|a |，即得所求距离．例9. 如图，在三棱锥A BCD 中，底面边长与侧棱长均为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且MB ＝2AM ，CN ＝12ND ，求MN 的长．跟踪训练：．已知在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝AD ＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC 1的长为( ) A ．6 B ． 6 C ．3 D ． 3◎达标检测1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A ．AG →B ．CG →C ．BC →D ．12BC →2．设a ，b 是不共线的两个向量，λ，μ∈R ，且λa ＋μb ＝0，则( )A ．λ＝μ＝0B ．a ＝b ＝0C ．λ＝0，b ＝0D ．μ＝0，a ＝03．已知a ＝e 1＋2e 2＋12e 3，b ＝3e 1－2e 2－12e 3，则3a －b ＝( )A ．4e 2＋2e 3B ．4e 1＋e 3C ．3e 1＋6e 2＋e 3D ．8e 2＋2e 34．已知|a |＝3，|b |＝5，若两向量方向相同，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a ．5．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )．6．已知|p |＝|q |＝1，且〈p ，q 〉＝90°，a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．12B ．22C ．－12 D ．08．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 29．已知|a |＝3，|b |＝2，a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝________．【总结反思】1．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同．2．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可；也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →” 来证明三点共线3．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．。
空间向量及其运算导学案
空间向量及其运算导学案学科：高二数学课型：新授课课时：3课时编写时间：2013.3.12编写人：万秋红审核人：刘刚班级：姓名：【导案】【学习目标】1．了解空间向量的概念。
2．掌握空间向量的线性运算，数量积的定义和运算。
【学习重点、难点】重点：空间向量的概念及其运算。
【学案】1．空间向量(1)空间向量的定义在空间，把具有____________和_________的量叫做空间向量，向量的________叫做向量的长度或模.(2)空间向量的表示方法空间向量用___________表示，有向线段的___________表示向量的模. 如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为___________或___________.(3)特殊向量①零向量：规定______________的向量叫做向量，记为_______________.②单位向量：___________的向量称为单位向量.③相反向量：与________长度________而方向__________的向量称为__________的相反向量，记为__________.④相等向量：方向__________且模__________的向量称为相等向量. 在空间中，____________的有向线段表示同一向量或相等向量.2．空间向量的加法、减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算（如图）：==a＋b；+CA a－b.OA-=OC=3．空间向量加法的运算律(1)交换律 a ＋b ＝________________；(2)结合律：（a ＋b ）＋c ＝_________________. 4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积___________仍是一个_____________，称为向量的数乘运算.(3)空间向量的数乘运算律①分配律：λ(a ＋b )＝______________； (λ＋μ)a ＝_______________；②结合律：λ(μa )＝_________________. 5．共线向量 (1)(2)共线向量定理对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0), a //b 的充要条件是存在实数λ使_____________. (3)共线向量的推论如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 使ta OA OP +=①，其中a 叫直线l 的_____________，如图所示.若在l上取=a，则①式可化为______________.6．共面向量(1)共面向量的概念平行于_____________的向量叫做共面向量.(2)共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与a, b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x, y）使____________.7．空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作＝a，=b，则_________叫做向量a、b的夹角，记为________________.(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是_____________. 特别地，当θ=0时，两向量_______________；当θ＝π时，两向量__________，所以若a//b，则（a, b）＝____________；当_______________时，两向量垂直，记为_____________.8．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，则_______________叫做向量a与b的____________，记为a·b，即a·b＝________________.规定，零向量与任何向量的数量积为0，即________________.9．两个向量数量积的性质若a、b是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝_______________.(2)a⊥b⇔_________________.(3)若a与b同向，则a·b＝_________________；若a与b反向，则a·b＝_______________.a⋅.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝acos＝_____________.(4)若θ为a、b的夹角，则θ(5)|a·b|_______________|a| |b|.10．两个向量数量积的运算律(1)（结合律）(λa)·b＝__________________；(2)（交换律）a·b＝____________________；(3)（分配律）a·(b＋c)＝________________.11．三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的_____________，那么它也和这条斜线垂直.12．三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的____________，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.例1 如图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使k ODOHOC OG OB OF OA OE ====，求证：H G F E ,,,四点共面.例2 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.已知：如图，PO, PA 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PA 在平面α内的射影，α⊂l ，且OA l ⊥，求证：PA l ⊥.例3 如图，m, n 是平面α内的两条相交直线. 如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l .分析：要证明α⊥l ，就是要证明l 垂直于α内的任何一条直线g （直线和平面垂直的定义）. 如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由m l ⊥，n l ⊥，得到g l ⊥，就能解决此问题.空间向量及其加减运算练案（一）学科：数学 编写人：万秋红 审核人：刘 刚 编写时间：2013.3.12 班级： 姓名： 评分：【A 级】1．给出以下命题：①空间中任意两个单位向量必相等； ②0无方向；③若空间向量m , n , p 满足m ＝n , n ＝p ，则m ＝p ； ④若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；⑤两个空间向量相等，则它们的起点和终点均相同. 其中不正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3D. 42．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算的结果为1AC 的共有（ ） ①1)(CC BC AB ++ ②1)(DD BC AB ++ ③1)(CC ++ ④1)(DD ++ ⑤111)(D A AA ++ ⑥1)(AA AD AB ++A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个 3．两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．设a 表示向东3m ，b 表示向北4m ，c 表示向上5m ，则（ ） A. a －b ＋c 表示向东3m ，向南4m ，向上5m B. a ＋b －c 表示向东3m ，向北4m ，向上5m C. 2a －b ＋c 表示向东3m ，向南4m ，向上5m D. 2(a ＋b ＋c )表示向东6m ，向北8m ，向上5m5．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则+-等于（ ）A.23B. 3C. 3GMD. 2MG6．化简+-所得的结果是（ ） A.B.C. 0D.7．如图所示，已知平行六面体1111—D C B A ABCD ，在下列选项中，与相等的向量是（ ） A. AB B. 11C A C. 11A B D. 18．已知向量a 、b 是两个非零向量，a 0、b 0是与a 、b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是（ ） A. a 0＝b 0 B. a 0＝b 0或a 0＝－b 0 C. a ０＝1 D. |a 0|＝|b 0|【B 级】1．如图所示，空间四边形ABCD 中，CD BC AB ++＝________________.2．在平行六面体''''—D C B A ABCD 中，=a ，=b ，＝c ，则'＝__________，A '＝_________________.3．已知平行六面体''''—D C B A ABCD ，M 是'AA 的中点，点G 在对角线C A '上且1:2':=GA CG ，设=a ，＝b ，＝c ，试用a 、b 、c 表示、'、、.【C 级】1．已知平行六面体''''—D C B A ABCD ，化简下列表达式： (1)D D -+-+''； (2)''-+-.2．如图，M 、N 分别是四面体ABCD 的棱AB 、CD 的中点，求证：)(21+=.3．如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量. (3)试写出与向量相等的所有向量. (4)试写出向量1的相反向量.空间向量及其加减运算练案（二）学科：数学 编写人：万秋红 审核人：刘 刚 编写时间：2013.3.12 班级： 姓名： 评分：【A 级】1．给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数对（x, y ）使得y x +=，则O 、P 、A 、B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面. 其中正确命题的序号是____________. 2．下列说法正确的是（ ）A. 以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体.B. 设平行六面体的三条棱是AB 、1AA 、AD ，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AD AA AB ++1C. 若)(21+=成立，则P 点一定是线段AB 的中点. D. 在空间中，若向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面. 3．已知''''—D C B A ABCD 是平行六面体. (1)化简AA 32'21++； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面''B BCC 对角线'BC 上的43分点，设'γβα++=，试求γβα,,的值.4．已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且32,32==. 求证：四边形EFGH 是梯形.5．已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面？ (1)-=+3； (2)--=4.6．如图所示，P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连接PA, PB, PC, PD ，点E, F, G , H 分别是PDA PCD PBC PAB ∆∆∆∆,,,的重心，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面. (2)平面EFGH//平面ABCD.分析：由共面向量定理可知，要证明E, F, G, H 四点共面，只要证明存在有序实数对x, y , 使得EH y EF x EG ⋅+⋅=；要证明平面EFGH.//平面ABCD ，只要证明平面EG 内两条相交直线平行于平面AC 内的两条相交直线.【B 级】1．如图，空间四边形OABC 中，=OA a ，=OB b ，=OC c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A.21a －32b ＋21c B. 32-a ＋21b ＋21cC. 21a ＋32b －21cD. 32a －21b ＋21c2．下列等式中，使M 、A 、B 、C 四点共面的有多少个（ ）①--=； ②;213151OM ++=③=++； ④0=+++OC OB OA OM . A. 1B. 2C. 3D. 43．若对任意一点O ，有y x +=，则1=+y x 是P ，A, B 三点共线的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．若D 点在∆ABC 的边BC 上，且s r s r ++==3,4的值为（ ） A. 58- B. 54- C. 58 D.545．已知向量a 、b ，且=a ＋2b ，5-=a ＋6b ，7=a －2b ，则一定共线的三点是（ ） A. A 、B 、D B. A 、B 、C C. B 、C 、D D. A 、C 、D6．下列命题中正确的是（ ）A. 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B. 向量a , b , c 共面即它们所在的直线共面C. 零向量没有确定的方向D. 若a//b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb7．如图所示，在平行六面体''''—D C B A ABCD 中，=a ，=b ，=1AA c ，则D 1等于（ ）A. a ＋b －cB. －a －b ＋cC. a －b －cD. －a ＋b ＋c【C 级】1．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果＝e 1＋e 2，2=e 1＋8e 2，＝3e 1－3e 2，求证A, B, C, D 共面.2．如图，A 、B 、C 、D 共面于α，.1111SDSD SC SC SB SB SA SA === (1)求证A 1、B 1、C 1、D 1共面；(2)若A 1、B 1、C 1、D 1所在平面为β，求证：βα//.3．如图，已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x , y 的值： (1)y x ++=; (2)y x ++=.空间向量及其加减运算练案（三）学科：数学 编写人：万秋红 审核人：刘 刚 编写时间：2013.3.12 班级： 姓名： 评分：【A 级】1．下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给予说明. (1)a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； (2)p 2·q 2 ＝(p ·q )2；(3)|p ＋q |·|p －q |＝|p 2－q 2|； (4)若a 与（a ·b ）·c －（a ·c ）·b 均不为0，则它们垂直.2．如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E, F, G 分别是AB ，AD ，DC 的中点.求下列向量的数量积： (1);⋅ (2)⋅； (3)AC GF ⋅；(4)BC EF ⋅.3．以下命题，正确的命题为（ ）A. |a |－|b |<|a ＋b |是a , b 不共线的充要条件B. (a ·b )·c ＝b ·(a ·c )＝(b ·c )·aC. 向量a 在向量b 的方向上的投影向量的模为|a |cos(a , b )D ．在四面体ABCD 中，若=⋅0，0=⋅，则0=⋅4．已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)OB OA ⋅；(2))()(+⋅+；(3))()(++⋅++.5．已知点O 是正三角形ABC 平面外的一点，若OA ＝OB ＝OC ＝AB ＝1，E 、F 分别是AB 、OC 的中点，求OE 与BF 所成角的余弦值.6．如图所示，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，沿对角线AC 把矩形ABCD 折成︒30的二面角，求BD.7．已知在平行六面体D'C'B''A ABCD —中，AB ＝4，AD ＝3，'AA ＝5，.60'',90︒=∠=∠︒=∠DAA BAA BAD 求'AC 的长（如图所示）.【B 级】1．下列式子正确的是（ ） A. |a |·a ＝a 2B. (a ·b )2＝a 2·b 2C. (a ·b )·c ＝a (b ·c )D. |a ·b |≤|a |·|b |2．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则∆BCD 是（ ） A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 不确定3．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |等于（ ） A. 22B. 48C.46D. 324．|a ＋b |＝|a －b |的充要条件是（ ） A. a ＝0或b ＝0B. a //bC. a ·b ＝0D. |a |＝|b |5．已知a , b 均为单位向量，它们的夹角为︒60，那么|a ＋3b |等于（ ） A.7B.10C.13D. 46．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是∆ABC 的（ ）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点7．在∆ABC 中，有命题：①=-；②=++0；③若0)()(=-⋅+，则∆ABC 为等腰三角形；④若0>⋅，则∆ABC 为锐角三角形. 上述命题正确的是（ ） A. ①②B. ①④C. ②③D. ②③④8．已知非零向量a , b ，若a ＋2b 与a －2b ）A.41B. 4C.21 D. 29．已知e 1、e 2是夹角为︒60的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角为______.【C 级】1．已知线段AB 在平面α内，线段α⊥AC ，线段AB BD ⊥，且与α所成的角是︒30. 如果b BD AC AB ===,α，求C 、D 间的距离.2．如图，已知平行六面体1111D C B A —A B C D 的底面ABCD 是菱形，且︒=∠=∠=∠6011BCD CD C CB C ，当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明.。
空间向量及运算复习导学案
§3.1 空间向量及其运算复习班级：组名：姓名：学习目标1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.b5E2RGbCAP学习重点与难点1、掌握空间向量运算及坐标表示2、用长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式解决有关问题学习过程一、课前准备：<阅读课本p115）复习：1. 具有和的量叫向量，叫向量的模；叫零向量，记着；具有叫单位向量.2. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.3.实数λ与向量的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1>|λ|＝.(2>当λ＞0时，λ与；当λ＜0时，λ与；当λ＝0时，λ=；4. 向量加法和数乘向量运算律：交换律：＋＝结合律：(＋>＋＝数乘分配律：λ(＋>＝5.① 表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.②空间向量共线定理：对空间任意两个向量<），的充要条件是存在唯一实数，使得；③ 推论： l为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是p1EanqFDPw6. 空间向量共面：①共面向量：同一平面的向量.②定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在，使得.③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴ 存在，使⑵ 对空间任意一点O，有7. 向量的数量积：.8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.DXDiTa9E3d9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a 的坐标，记着.RTCrpUDGiT10. 设A，B ，则＝.11. 向量的直角坐标运算：设＝，＝，则⑴＋＝；⑵－＝；⑶λ＝；⑷·＝※动手试试1．在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为< ）5PCzVD7HxAA．0 B. 1 C. 2 D. 32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是< ）A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量D．不共面向量3．已知＝<2，－1，3），＝<－1，4，－2），＝<7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ=< ）jLBHrnAILgA. B. C. D.4．若、均为非零向量，则是与共线的< ）A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC的三个顶点为A<3，3，2），B<4，－3，7），C<0，5，1），则BC边上的中线长为< ）xHAQX74J0X A．2 B．3 C．4 D．56.则< ）A．－15 B．－5 C．－3 D．－1※典型例题例1 如图，空间四边形OABC 中，，，点M 在OA 上，且OM=2MA,点为的中点，则.变式：如图，平行六面体中，，,点分别是的中点，点Q在上，且,用基底表示下列向量：⑴。
1.空间向量及其线性运算导学案(解析版)
1.1.1空间向量及其线性运算导学案【学习目标】1.理解空间向量的概念2.掌握空间向量的线性运算3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用【自主学习】知识点一 空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.知识点二 几类常见的空间向量知识点三 空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法(2)①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa 与向量a 方向相同； 当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍． ②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点四 共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .知识点五 共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.【合作探究】探究一 空间向量的有关概念 【例1】(1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) 【答案】(1)②②② (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于②，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故②错； 对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于②，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故②正确； 对于②，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]归纳总结：(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.【练习1】下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B[根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，②不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，②不正确．综上可知只有②正确，故选B.]探究二 空间向量的线性运算【例2】(1)如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →； ②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→. (2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解． 【答案】(1)D[对于②，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； 对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； 对于②，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 对于②，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.](2)[解] ②如图，②OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12P A →，②y ＝z ＝－12.②②O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ②P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →， ②P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →， ②P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，②x ＝2，y ＝－2.归纳总结：1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．【练习2】已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →【答案】B[MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.] 探究三 共线问题【例3】(1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解． 【答案】(1)1[AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.](2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →②MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ②CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM →＝2(AN →－AM →)＝2MN →. 所以CE →②MN →，即CE →与MN →共线．归纳总结：对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．【练习3】如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C→，所以A 1E →＝23AD →＝23b ， A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ， 所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， 所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.课后作业A 组 基础题一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( )A ．DB → B ．AC → C ．AB →D ．BA →【答案】D[DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形【答案】A[②AO →＋OB →＝DO →＋OC →，②AB →＝DC →.②AB →②DC →且|AB →|＝|DC →|.②四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →B ．OM →＝2OA →－OB →－OC →C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC → D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →【答案】D[由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， 可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →②OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．]4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对【答案】A[因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ②AB .]5．已知在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD → C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD → 【答案】D[如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝⎛⎭⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.] 二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.【答案】2[由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.【答案】12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM →＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)【答案】平行[设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →②(AD →＋BC →)．]三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ②G 是②BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，②GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →) ＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →，②AG →＋13BE →－12AC → ＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ②A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，②A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→)＝23A 1B →＋23A 1M →，②A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．B 组 能力提升一、选择题1．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →【答案】BD[A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]2．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( )A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0【答案】BCD[根据共线向量的定义，若AB →②CD →，则AB ②CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →②AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ②b ，故C 正确；易知D 也正确．] 二、填空题3．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．【答案】－1 0[由A 、B 、C 三点共线，②2＋μ＝1，②μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC → 由A ，B ，C 三点共线知－m λ－n λ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.] 4．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．【答案】－8[因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k， 所以k ＝－8.]三、解答题5.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断．[证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，②E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，②M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →. 由题意知四边形MNQR 是平行四边形，②MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)． 又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.②EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，②MQ →②EG →， ②EG →②平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，②MN →②EF →. 即EF ②平面ABCD .又②EG ∩EF ＝E ，②平面EFGH 与平面ABCD 平行。
《空间向量及其加减运算〉导学案
3.1.1空间向量及其加减运算教学目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入：_______________________________________________________________________;:(2)空间任意两个向量是否可能异面→讨论：相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→讨论：空间任意两个向量是否共面2. 空间向量的加法、减法的定义与平面向量的运算一样：…OB →＝OA →＋AB →＝________；AB OB OA =-＝________.（指向被减向量）， 思考:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．（如右图所示）：12231________;n nA A A A A A！$⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即： 12233411______;n n n A A A A A A A A A A -+++++=；3. 空间向量的加法的运算律．⑴加法交换律：a +b r = b + a； \⑵加法结合律：(a + b ) + =a + (b+ c )； 典例精析：例1如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个(2)试写出模为5的所有向量． (3)试写出与AB →相等的所有向量．(4)试写出AA1→的相反向量． 解析：…规律总结：(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．变式1：下列说法中正确的是( )A ．若|a|＝|b|，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反'B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a|＝|b|C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →例2空间向量的加减运算如图，已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列表达式． (1)AB →＋BB′→－D′A′--→＋D′D --→－BC →；(2)AC′→－AC →＋AD →－AA′→.解析：/规律总结：(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．…变式2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA→＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B -→＝________.课堂小结：1.空间向量的加法符合交换律，结合律.2.平面向量与空间向量. 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.巩固提升：1.下列说法中正确的是( ) 《A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC 2．判断下列说法是否正确：（1）零向量没有方向 ( )(2)零向量的方向不确定，所以任何两个零向量不相等 （ ） （3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量（ ） ：（4）相等的向量，若起点不同，则终点一定不同 （ ）(5)对于空间任意两个向量，它们可能共面，也可能异面 （ ）3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式1DD AB BC -+化简后的结果是（ ） A. 1BD B.1D B C ．1B D D.1DB4. 如图所示 a ，b 是两个空间向量，则AC 与A ′C ′→与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．空间向量及其加减运算:制作：王志刚 审核：贾秋福学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 复习引入讲授新课：1．空间向量的数乘运算 (1) 数乘向量： 结果 实数λ与空间向量a 的乘积是一个_____ λ的范围 方向关系 模的关系λ>0 】方向_____λa 的模是a 的模的_______ λ=0 λa=0,其方向是任意的 λ<0方向_____(2)运算律:①分配律:λ(a+b)=________; ②结合律:λ(μa)=________. 2．空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系如何判定它们的位置关系新知：（1）空间向量的共线：如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.(2) 空间向量共线： ,定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是》试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线. 3.空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量,a b 有怎样的位置关系空间三个向量又有怎样的位置关系[新知：(1)共面向量：同一平面的向量.(2). 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有$￥试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式111236OP OA OB OC=++,则点P与A,B,C共面吗/反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OP xOA yOB zOC=++,且点P与A,B,C共面，则x y z++=.典例精析：例1：化简：1．（1）5（32a b-）+4（23b a-）；⑵()()63a b c a b c-+--+-.-2．(2014·上海高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是A′C′的中点,点F是AE的三等分点,且AF=EF,则等于()11A.AA AB AD22111B.AA AB AD222111C.AA AB AD266111D.AA AB AD366''''＋＋＋＋＋＋＋＋解析：【变式1：如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C.12a－12b＋c D．－12a－12b＋c ,.2ABCD AC O OA OB OC OD 例 如，已知平行四形，平面外一作射，，，，在四射上图边过点线条线、变式2：已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝__________.课堂小结：1。
精品导学案：空间向量及其运算
精品导学案：第三章间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算知识点一 空间向量概念的应用给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有AC=11C A ; ④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同； 与A 1C 1→与A 1C 1→的方向相同，模也相等，应有AC →＝A 1C 1→；④真命题．向量的相等满足递推规律；⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.答案 C知识点二 空间向量的运算化简：（ -）- ( -)解 方法一 （AB -CD ）-(AC -BD )=AB -CD -AC +BD =AB +DC +CA +BD =（AB +BD ）+（DC +CA ）=AD +DA =0。
方法二 （AB -CD ）-(AC -BD )=AB -CD -AC +BD=（AB -AC ）+（DC -DB ）=CB +BC =0。
在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用b ，c ，d 表示向量BD ，BC 、CD ，BM ，DM 和。
解 如图所示=+=d -b, =BA +=c -b,=+AD =d -c,DM =21(+)=21(b -d+c -d)= 21(b+c -2d), AQ =AD +DQ =d+32DM ,=d+31( b+c -2d)=31(b+c+d).知识点三 证明共线问题已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =32CD .求证：四边形EFGH 是梯形. 证明 ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点所以 AE =21AB ,AH =21AD , =AH -=21 -21=21(-)=21=21（CD -CB ）=21{32CG -32CF } =43（）=43,∴四边形EFGH 是梯形. 知识点四 证明共面问题正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点. 证明：向量A 1，B 1，是共面向量.证明 方法一 如图所示.=+1BA +A 1=21B 1 -A 1+2111D A - =21（C B 1 -B A 1）。
空间向量及其运算导学案(一)
《空间向量及其运算》导学案编写：王显华审核：邓晖时间：2014-3-15班级：_________ 组别：________组名：______________姓名：___________ 【学习目标】1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2．能说出空间向量的概念，能运用空间向量的线性运算及其性质；3．能掌握空间向量的数量积运算。
【学习重难点】重点：空间向量的概念，空间向量的加减、数乘运算及其性质；难点：空间向量的加减、数乘运算及其性质。
【知识链接】1、口述平面向量的有关概念：2、平面向量加减、数乘运算：类型几何运算符号运算坐标运算加法运算ACBCAB=+),(2121yyxxba++=+减法运算ABOAOB=-),(2121yyxxba--=-数乘运算当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.),(yxaλλλ=数量积运算,a b=||||cos,a b a b⋅⋅<>2121yyxxba+=∙3、以上运算都满足哪些运算律？【自主学习】类比平面向量的相关知识点，认真预习课本P84-90页3.1.1—3节内容。
体会向量及其运算由平面向空间推广的过程，独立完成自主检测。
【自主检测】A1.给出下列命题，写出正确命题序号①若ba=,则ba与的方向相同或相反；②若ba//，则存在唯一的λ，使baλ=；③在四边形ABCD中，必有ACADAB=+; ④在正方体DCBAABCD''''-中CAAC''=.A2.已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）DCBAABCD''''-，M点为CC'的中点,点G是CA'的三等分点,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
；BCAB+)1('21)2(CCADAB++；'DDADAB--⑶；．⑷)'(31AAADAB++A3.如图：三棱锥D-ABC的每条棱长都是1，DABC则=∙AC AB ,=∙BD AB .B4.设a b ⊥ ，,,,36a cbc ππ<>=<>= ，且||1,||2,||3a b c === ，则向量|a b c ++ |= 。
《空间向量及其运算》课件与导学案
向量的数乘 | ka || k || a |
b
a
共起点,连终点,指向被减向量
复习引入
加法交换律：
加法结合律：
平面向量
ab ba
(a b) c a (b c)
数乘分配律： k (a b) k a＋kb
(k m)a k a＋ma (k m)a km a k (ma)
→
→
于是A1O⊥BD，即 A1O⊥BD.
→
→
点．试求：
→ →
→ →
→ →
→ →
(1)OA·OB；(2)NP·AB；(3)OB·AC；(4)OC·MP．
→ → → → →
→ → → →
(3)OB·AC＝OB·(OC－OA)＝OB·OC－OB·OA
＝2×2×cos∠BOC－2×2×cos∠BOA＝0．
→ → → 1→ 1 → → 1 → → →
(4)OC·MP＝OC· BC＝ OC·BC＝ OC·(OC－OB)
与BC的夹角＝________．
(2)ABCD－A1B1C1D1 为正方体，则
π
3π
→
→
→
→
4
A1C1与AB的夹角＝________；A1C1与CD的夹角＝________；
4
π
→
→
AC1与B1C的夹角＝________．
2
例题解析
练习 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 与
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1空间向量及其线性运算
复习引入
平面向量
1、定义： 有大小又有方向的量。
2、表示法：几何表示法:用有向线段表示
空间向量及其运算导学案
《空间向量及其运算》导学案班级：____________ 组别：________________ 姓名：______________【学习目标】1.掌握向量的加法、减法法则，理解平行四边形法则与三角形法则.2.掌握向量的数乘运算，理解空间向量数乘的几何意义.3.理解直线的方向向量，掌握共线向量、共面向量的概念，并会判定共线向量和共面向量.【学习重难点】重点：空间向量的有关概念，空间向量的加、减、数乘运算及其几何意义，共线向量和共面向量的判定方法.难点：如何判断共线向量和共面向量.【学习情景设置】一块均匀的正三角形面的钢板质量为500kg ，在它的顶点处分别受力F 1、F 2、F 3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，这样的力F 1、F 2、F 3是什么量？【知识链接】问题1：空间向量的有关概念有哪些？问题2：你能说出空间向量的加、减、数乘运算的运算法则及满足的运算律吗？问题3：什么是共线向量？什么是共面向量？你能说出有关的定理吗？（1）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________，则这些向量叫作共线向量或平行向量.读作a 平行于b .记作a ∥b .共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使_________.（2）共面向量：通常把_________于同一平面的向量，叫作共面向量. 共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，p 与向量b a ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对),(y x ，使____________.问题4：什么是直线的方向向量？三点共线的条件是什么？四点共面的条件是什么？（1）如果l 为经过已知点A 且________已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式ta OA OP +=，其中向量a 叫作直线l 的____________.（2）A 、B 、P 三点共线，则OP =________.当21=t 时，点P 是线段AB 的_______，则)(21OB OA OP +=. （3）M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对y x ,，使_________，或对空间任一定点O ，有___________或___________.【学习过程】问题1：下列各式中，化简后等于0的是（ ）A.CD BC AB ++B.DC DA BC AB -++C.DC BD CB AB +++D.DA DC BC AB ---问题2：设非零向量c b a ,,，若||||||c c b b a a p ++=，则|p |的取值范围是（ ） A.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[3-，3]问题3：已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，c AA b BC a AB ===1,,，则c b a ++的模等于__________.问题4：请回答“学习情景设置”中的问题.【典例剖析】例1：如图，已知平行六面体D C B A ABCD ''''-，化简下列向量表达式，并在几何体中标出化简结果的向量.（1）BC AB +；（2）A A AD AB '++；（3）C C AD AB '++21；（4）)(31A A AD AB '++变式：已知平行六面体D C B A ABCD ''''-，求证：C A D A B A AC '='+'+2例2：已知A 、B 、C 三点不共线，对平面外任一点O ，点P 满足OB OA OP 5251+=OC 52+，那么点P 与A 、B 、C 三点是否共面？变式：对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，问满足向量式OC z OB y OA x OP ++=（其中1=++z y x ）的四点P 、A 、B 、C 是否共面？例3：有下列命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量c b a ,,共面，则它们所在直线也共面；③若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使a b λ=；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OC OB OA OM 313131++=，则点M 一定在平面ABC 内.其中真命题的是____________（填序号）变式：已知A ，B ，C 三点不共线，D 在平面ABC 内，且对空间任意一点O ，存在三个实数n m ,,λ，使OD OC n OB m OA =++λ，求n m ++λ的值.【基础达标】1.在平行六面体D C B A ABCD ''''-中，与向量A A '相等的向量（不含A A '）的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42.给出下列命题：①若|a |=|b |，则b a =；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若c b b a ==,，则c a =；④b a =的充要条件是|a |=|b |，其中正确命题的序号是_________.3.已知两个非零向量21,e e 不共线，如果212182,e e AC e e AB +=+=，2133e e AD -=.求证：A 、B 、C 、D 四点共面.【反思小结】______________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
1.1.1空间向量及其运算导学案高二上学期数学人教A版选择性(1)
1.1.1空间向量及其线性运算导学案姓名: 班级：日期：月日一：学习目标1.理解空间向量的概念2.掌握空间向量的线性运算3.掌握共线向量定理，共面定理及其推论的应用二：思维框架三：自学预习（一）：空间向量的有关概念1.空间向量的概念及表示（二）：空间向量的线性运算=（1）交换律：a+b=b+a（2）结合律：a+(b+c)=(a+b)+c ，λ（µa)=(λµ)a （3）分配律：（λ+µ）a=λa+µa λ（a+b ）=λa+λb（三）：共线向量与共面向量1. 空间两个向量共线的充要条件对于任意两个空间向量a ，b （b ≠0),a//b 的充要条件是存在实数λ，使得a=λb2. 直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与a 平行的非零向量称为直线L 的方向向量。
3. 共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l,如果直线OA 平行于平面ɑ或在平面ɑ内，那么称向量a 平行于平面ɑ，平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
▲任意两个空间向量总是共面4. 向量共面的充要条件如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与向量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y ），使p=xa+yb 。
若空间中P ,A,B,C 四点共面⟺ Op ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + y OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 点拨：用于快速解决四点共面的求参问题，注意O 不在平面ABC 内。
四:课堂探究探究一：空间向量的线性运算例1 如图，E,F 分别是长方体ABCD —A'B'C'D'的棱AB,CD 的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果（1）AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ —CB ⃗⃗⃗⃗⃗ （2）AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +B ′C ′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗( 3 )AB ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ — AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +B ′D′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 4 ) AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CF⃗⃗⃗⃗⃗ ACA′ ′ E探究二：向量共线问题例2：在正方体ABCD—A'B'C'D'中，E在A'D'上，使得A'E=2ED'，F在对角线A'C 上，且A'F=FC 求证：E, F，B三点共线探究三：向量共面问题课本p5 例3：如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点О作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.求证：E，F，G，H四点共面.五：课堂归纳六：课程收获你收获了什么！。
空间向量及其运算导学案
龙文教育个性化辅导教案提纲学生:日期: 年月日第次时段: 教学课题空间向量及其运算—导学案教学目标考点分析1.掌握（空间）向量的基本概念；2.掌握空间向量的加减、数乘运算、共线向量定理和共面向量定理；3.掌握空间向量的数量积运算；4.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
重点难点重点：空间向量的基本概念和相关性质；空间向量相关性质的应用。
教学方法讲练结合法、启发式教学教学过程一、有关空间向量的基本概念1.空间向量：；2.长度或模：；3.零向量：；4.单位向量：；5.相反向量：；6.相等向量：；7.直线l的方向向量：；二、空间向量的加减运算性质空间向量的加减运算满足平行四边形法则和三角形法则、交换律和结合律交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)三．共线向量、平行向量、共面向量1．共线向量定理2. 共面向量定理四、空间向量的数量积1.基本定义：2.空间向量数量积满足的运算律（1）结合律：（2）交换律：（3）分配律：五．空间向量的正交分解及其坐标表示1.空间向量基本定理2.空间向量的坐标表示若a=(x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2)a+b=a-b=六．典型例题知识点一空间向量概念的应用给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=1A;1C④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4知识点二 空间向量的运算化简：（AB -CD ）- (AC -BD )在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用b ，c ，d 表示向量BD ，BC 、CD ，BM ，DM 和AQ 。
知识点三 证明共线问题已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =32CD .求证：四边形EFGH 是梯形.知识点四 证明共面问题正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点. 证明：向量B A 1，C B 1，EF 是共面向量.知识点五数量积的运算如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD 的中点，计算（1）EF·BA;(2) EF·BD;(3) EF·DC.知识点六数量积的应用已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.知识点七空间向量的坐标运算已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P点的坐(1)OP=21(AB-AC);(2)AP=21(AB-AC);知识点八坐标运算的应用在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成的角的余弦值；(3)求FH的长.在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．课后作业1．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是( ) A ．共线向量 B ．共面向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量 2．若a ，b 是平面α内的两个向量，则( ) A ．α内任意一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0C ．若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )D ．若a ，b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ) 3．有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面； ②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若 MP = x MA +y MB ，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则 MP = x MA +y MB 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44. 设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足 AB · AC =0，AC ·AD = 0， AB · AD = 0，则△BCD 是 ( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5．如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A.62 B ．6 C ．12 D ．144 6．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫72，4，－1 B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)7. 在△ABC 中，已知AB =（2，4，0），BC =（-1，3，0），则∠ABC=____.8．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C —AB —D 的余弦值为33，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于________．9. 已知P ，A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O 都有 OP =2OA + 34OB +λOC ，则λ=_____..10．命题①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量a ，b ，c 共面，则它们所在直线也共面；③若a 与b 共线，则存在惟一的实数λ，使b ＝λa ；④若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部．上述命题中真命题是________．11．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________.12. 在四面体O-ABC 中，OA =a ，OB =b ， OC =c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则 OE =_____（用a ， b ， c 表示）.13．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且PA ＝AD ＝2，E、F分别为棱AD、PC的中点．求异面直线EF和PB所成的角的大小．14．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．（1）求以AB、AC为边的平行四边形的面积;（2）若|a|= 3且a分别与AB、AC垂直，求向量a的坐标.教学总结学生对于本次课评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：教师评定：1、上次作业评价：○非常好○好○一般○需要优化2、上课情况评价：○非常好○好○一般○需要优化教师签字：教务主任签字：___________龙文教育教务处。
人教版高中数学选修2-1空间向量及其运算导学案
人教版高中数学选修2-1空间向量及其运算导学案3.1.1 空间向量及其运算【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。
【学习目标】1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；一、自主学习1.预习教材P 84～ P 86, 解决下列问题复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有，，和共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与b ；当λ＜0时，λa 与b ；当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2.导学提纲1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________.2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-.a b3.点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则AC = AB , BC = AB .4.知识反思：可以发现平面向量和空间向量存在怎样的位置关系？5.知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.二、典型例题例1、（1）给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有AC=11C A ;④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4（2）化简下列各式：⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.⑸ OA OC BO CO +++; ⑹ AB AD DC --;⑺ NQ QP MN MP ++-.例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC +⑴；'AB AD AA ++⑵；1'2AB AD CC ++⑶ 1(')2AB AD AA ++⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .例3.在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用b ，c ，d 表示向量BD ，BC 、CD ，BM ，DM 和AQ三、当堂练习1. 下列说法中正确的是（）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++=3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）A. 00a b =B. 00a b =或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量6.在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子：⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后巩固1.完成书86页练习2.课本第97页A组1题。
高三数学空间向量及其运算导学案
制案人：胡安辉审案人：祝明高三年级导学案041遵义市新蓝学校2023年秋期高三数学导学案班级姓名空间向量及其运算（二）教学目标：1.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系2.数量积的应用教学重点：直线的方向向量及平面的法向量教学难点：数量积的应用教学过程一、知识梳理1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：一般地，如果l 是空间中的一条直线，v 是空间中的一个非零向量，且表示v 的有向线段所在的直线与l 平行或重合，则称v 为直线l 的一个方向向量．此时，也称向量v 与直线l 平行，记作．(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n 是空间中的一个非零向量，且表示n 的有向线段所在的直线与平面α，则称n 为平面α的一个法向量，此时，也称n 与平面α，记作．(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2l 1∥l 2n 1∥n 2⇔n 1＝k n 2(k ∈R )l 1⊥l 2n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m l ∥αn ⊥m ⇔n ·m ＝0l ⊥αn ∥m ⇔n ＝k m (k ∈R )平面α，β的法向量分别为n ，mα∥βn ∥m ⇔n ＝k m (k ∈R )α⊥βn ⊥m ⇔n ·m ＝0注：1．空间中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为空间任意一点．2．在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点．3.空间向量数量积的三个应用①求夹角：设向量a ，b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角②求长度(距离)：利用公式|a |2＝a ·a ，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题③解决垂直问题：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题二、诊断自测1若两条直线平行，则它们的方向向量的方向()．A．相同B．相反C．相同或相反D．不能确定2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝()A．10B．－10C．2D．－23.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且k a＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．75B．2C．53D．14．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝() A．9B．－9C．－3D．35．已知AB→＝(1，5，－2)，BC→＝(3，1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x ＝________，y＝________，z＝________．三、例题讲解1.如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．2.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1⊥BD．。
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( 4 ) AB AD
1
例 2 ： 如 图 所 示 ， 在 长 方 体 OADB C A D B 中 ， OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1, 点 E，F 分别是 DB， D B 的中点，设
OI i ，
OJ j
， OK k ，试用向量 i , j , k 表示
OE 和 O F 。
四：学后反思
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CB BA 1 ；
空间向量
法 法 乘 算
备案 NO.
主备人：
日期：
（2） AC CB
1 2
AA 1
（3） AA 1 AC CB
变式 1：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结 果的向量。(如图)
(1 ) AB BC ( 2 ) AB AD AA 1 (3) 1 3 ( AB AD AA 1 ) 1 2 CC
高二数学协同教学模式——导学案 NO.
主备人：
日期：
课题：空间向量及其线性运算
姓名：
一：学习目标 1、运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。 2 了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质。 二：课前预习 （1）复习：阅读教材 P71-72 填写下表 平面向量 定义： 表示法： 向量的模 单位向量 零向量 加 减 数 运 运 算 律 共线向量定理： 。 三：课堂研讨 例 1：如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M 是 B B1 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得 到的向量： （1）