人教版高中数学选修2-1 空间向量及其运算导学案

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人教版高中数学选修2-1导学案第三章第一节空间向量及其运算练习

人教版高中数学选修2-1导学案第三章第一节空间向量及其运算练习

第三章第一节空间向量及其运算练习设计者:曾刚 审核者: 执教: 使用时间:学习目标1.掌握空间向量的加法,减法,向量的数乘运算,向量的数量积运算及其坐标表示;2.掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并能熟练用这些公式解决有关问题.________________________________________________________________________________ 自学探究③ 推论: l 为经过已知点零向量a 的直线,对空间的任意一点 , .③推论:空间一点空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标= (1)在下列命题中:①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行;②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面;③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面;④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p =xa +yb +zc .其中正确命题的个数为( )A .0 B. 1 C. 2 D. 3(2)若a 、b 均为非零向量,则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件(3)已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的中线长为( )A .2B .3C .4D .5 (4)设k j i,,是一组正交基底, 32,2,a i j k b i j k =+-=-+则53a b ∙=( )A .-15B .-5C .-3D .-1 【技能提炼】1.如图,空间四边形OABC 中,,OA a OB b ==,OC c =,点M 在OA 上,且OM =2MA ,点N 为BC 的中点,则MN = .【变式1】如图,平行六面体''''ABCD A B C D -中,,AB a AD b ==,'AA c =,点,,P M N 分别是'''',,CA CD C D 的中点,点Q 在'CA 上,且'41CQ QA=,用基底,,a b c表示下列向量:⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .2. 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,190,1,2,ABC CB CA AA ∠=︒===点M 是1CC 的中点,求证:1AM BA ⊥.【变式2】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2,底面边长为1,点M 是BC 的中点,在直线1CC 上求一点N ,使得1MN AB ⊥教师问题创生学生问题发现变式反馈1.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b ,1CC =c , 则1A B =( ) A. +-a b c B. -+a b c C. -++a b c D.-+-a b c 2.,,m a m b ⊥⊥(,n a b R λμλμλ=+∈向量且、0)μ≠则( )A .//m nB . m 与n 不平行也不垂直 C. m n ⊥, D .以上情况都可能.*3. 已知空间三点A (1,1,1)、B (-1,0,4)、C (2,-2,3),则AB →与CA →的夹角θ的大小是____________.*4. 已知a ,b ,c 不共面,且m =3a +2b +c ,n =x (a -b )+y (b -c )-2(c -a ),若m ∥n ,则x +y =__________________.*5. 已知点A (2,3,-1),B (8,-2,4),C (3,0,5),是否存在实数x ,使AB →与AB →+xAC →垂直?。

人教版高中数学选修2-1空间向量的数乘运算导学案

人教版高中数学选修2-1空间向量的数乘运算导学案

3.1.2 空间向量的数乘运算【使用说明及学法指导】1.先自学课本,理解观点,达成导学纲要;2.小组合作,着手实践。

【学习目标】1.掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简;2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.【要点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;一、自主学习1.预习教材P86~ P87, 解决以下问题复习 1:化简:⑴ 5( 3a2b ) +4( 2b3a );⑵ 6 a3b c a b c .复习 2:在平面上有两个向量a, b ,若 b 是非零向量,则 a 与 b 平行的充要条件是2.导学纲要1.空间随意两个向量有____种地点关系?怎样判断它们的地点关系?随意两个向量的夹角的范围是 ______________?2. 假如表示空间向量的_____________所在的直线相互或,则这些向量叫共线向量,也叫3.对空间随意两个向量a, b ( b0 ), a // b 的充要条件是存在独一实数,使得______, 为什么要求b0 ?4.如图, l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线,对空间的随意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是5.对空间两个不共线向量a, b ,向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在,使得.6.空间一点 P 与不在同向来线上的三点A,B,C 共面的充要条件是:⑴ 存在,使⑵对空间随意一点O,有7.向量共面的充要条件的理解→→P 都在平面 MAB 内;反 ( 1) MP = xMA +yMB .知足这个关系式的点之,平面 MAB 内的任一点 P 都知足这个关系式.这个充要条件常用以证 明四点共面.(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式, 即随意一个空间平面能够由空间一点及两个不共线的向量表示出来,它既是判断三个向量能否共面的依照,又能够把已知共面条件转变为向量式,以便于应用向 量这一工具.此外,在很多状况下,能够用 “若存在有序实数组 (x , y , z)使得关于空间随意一点 →→→→O ,有 OB = (1- t)OA = xOA + yOB + zOC ,且 x + y + z = 1 建立,则 P 、 A 、 B 、 C 四点共面 ”作为判断空间中四个点共面的依 据. 二、典型例题例 1.1. 以下说法正确的选项是()A. a 与非零向量 b 共线 , b 与 c 共线,则 a 与 c 共线B. 随意两个相等向量不必定共线C. 随意两个共线向量相等D. 若向量 a 与 b 共线,则 a b2. 正方体 ABCDA' B' C' D'中,点 E 是上底面 A'B'C 'D ' 的中心,若 BB ' xAD yAB zAA ' ,则 x = , = , =y z.3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外,则 OP OA +OB.4. 平行六面体 ABCD A'B'C'D ' , O为 A 1 C 与 B 1D 的交点,则1 ( AB AD AA ') AO3已知平行六面体 ABCD A'B'C'D' ,M 是 AC 与 BD5.交点,若AB a, ADb, AA 'c ,则与 B 'M 相等的向量是()A.1 a 1b c ;B.1 a 1b c ;222 2C. 1a 1b c ; D. 1 a 1b c .2 2 2 26. 在以下命题中:①若 a 、b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行;②若 a 、b 所 在的直线是异面直线,则 a 、 b 必定不共面;③若 a 、 b 、 c 三向量两两共面,则 a 、b 、 c 三向量必定也共面;④已知三向量 a 、 b 、c ,则空间随意一个向量 p 总能够独一表示为p = x a + y b + z c .此中正确命题的个数为 ( ) .A . 0 B.1 C. 2D.37.以下等式中,使 M,A,B,C 四点共面的个数是()① OM OA OB OC;② OM11 1 OC ;OA OB5 3 2③MA MB MC 0;④OM OA OB OC0 .A. 1B. 2C. 3D. 4例 2. 已知平行六面体ABCD A'B'C'D ',点M是棱AA'的中点,点G在对角线 A'C 上,且 CG:GA'=2:1,设CD=a CB b,CC'c,试用向量a,b,c ,表示向量 CA, CA' ,CM ,CG.变式:已知长方体 ABCD A'B 'C 'D ' ,M是对角线AC'中点,化简以下表达式:⑴AA'CB;⑵''''' AB B C C D⑶1AD1AB1A' A222例 3如图,已知平行四边形ABCD, 过平面 AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点 E,,F,G,H,并且使OE OF OG OHk,OA OB OC OD求证: E,F,G,H 四点共面 .变式:已知空间四边形ABCD 的四个极点A,B,C,D 不共面, E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点,求证:E,F,G,H 四点共面 .AE HB DGFC三、变式训练:课本第89页练习1-3四、讲堂小结1.知识:2.数学思想、方法:3.能力:五、课后稳固1.课本第 97页 A 组 2 题2. 若 a 3m 2n 4 p,b ( x 1)m 8n 2 yp ,a 0 ,若 a //b ,务实数x, y .3.已知两个非零向量e1 , e2不共线 , AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 . 求证:A, B, C,D 共面.。

人教版高中数学选修2-1导学案第3章第1节空间向量及其运算

人教版高中数学选修2-1导学案第3章第1节空间向量及其运算

第三章第一节空间向量及其运算设计者:审核者: 执教: 使用时间:学习目标 1•了解空间向量的概念及其表示方法;2. 用类比的方法学习空间向量的性质;3. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律.自学探究问题1.平面向量的基本概念及表示方法是什么?问题2.平面向量的运算律是什么?【思维导航】(1 )平面向量的加法,减法的运算律是什么?(2)实数与向量的积的运算律是什么?(3 )平面向量的加法,数乘的交换律,结合律,分配律各是什么?问题3.类比平面向量的相关概念,表示及运算律,说出空间向量的概念,表示及运算律。

【试试】(1)空间向量的加法和减法运算:空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,变A Z-\ r~ — — 二二孑a. — —— —⑶ 点C 在线段AB 上,且 AC =5则AC =— AB ,BC = _____ AB . CB 2—问题4.空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗? (1)加法交换律:a +b = b + a ;⑵加法结合律:(a + b ) +c =a + ( b + c ); ⑶数乘分配律: 入(a + b )=入 a + 入 b.为两个平面向量的加法和减法运算,右图中, (2)分别用平行四边形法则和三角形法则求 a b,a-b.a bOB 二 _____________【技能提炼】并标出化简结果的向量:1.已知平行六面体ABCD -A'B'C'D '(如图),化简下列向量表达式, ⑴ AB BC ;⑵ AB AD AAA;彳彳⑶AB AD -CC';⑷一(AB AD AA').2 2—工—■=■=■= ■=>【变式】在上图中,用AB, AD, AA'表示AC , BD'和DB'.【思考】类比平面向量的运算,你怎样在空间里去进行向量的运算?并与平面向量的运算相类比得出空间向量的相关运算方法•2 .化简下列各式:⑴ AB BC CA; ⑵ AB MB BO OM ; ⑶ AB 一AC BD 一CD;⑷ OA -0D _DC ;⑸ OA OC BO CO ; ⑹ AB _AD _DC ; ⑺ NQ QP MN - MP .【思考】怎么样去化简向量表达式教师问题创生学生问题发现变式反馈*1.已知向量a,b,c,则下列等式中错误的是()A. a (b c) = (a b) cB. a -(b - C) = (a - b) CC. (a-b) c-(a-b-c) =0D. (a-b) c -(a -b c) = 0*2.在空间四边形ABC[中, M G分别是BC CD的中点,贝U AB+—(BD + BC)等于()2A. ADB. GAC. AGD. MG*3.如图,在平行六面体ABC d ABGD中,设AB = a, AD二b, AA,= c, , E F分别是AD, BD中占I 八、、•—fc- —fc -b-(1)用向量a, b,c表示D1B, EF ;⑵化简:AB BB1 BC C1D1 2D1E.人教版高中数学选修2-1导学案。

人教A版选修2-1《空间向量的数量积运算》导学案

人教A版选修2-1《空间向量的数量积运算》导学案

第三章第3课时 空间向量的数量积运算学习目标:1、 掌握空间向量夹角的概念及表示方法;2、 掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及简单应用。

3、体会空间问题平面化的数学思想。

预习案一、 教材助读,知识归纳:1、两个向量的夹角:平面向量的夹角定义:b a 两个非零向量,,O 在平面任取一点,OA=OB=b a 作,,b AOB a Ð则叫作,的夹角.取值范围:空间向量的夹角定义:取值范围:<a ®,b ®>=0时,a ®与b ®的方向 ;<a ®,b ®>= 时,a ®与b ®的方向 。

特别地:如果<a ®,b ®>= 则称a ®与b ®互相垂直,并记作 。

思考:对于空间任意两个非零向量a 、b,如何求出其夹角?2.两个向量的数量积平面向量的数量积b b cos b b a a a a 已知两个非零向量,,则,叫做,的数量积.空间向量的数量积变形式:cos<a ®,b ®>= 。

特别地:①零向量与任何向量的数量积为0,即0a ×=0 ②a a × =cos ,a a a a 狁= |a ®|2③0a b a b ^圩=3、空间向量数量积的运算律:①()a b l ×= (数乘的结合律) ②a b ?(交换律)③()a b c ?=(分配律)反馈练练习:1. 已知|a |=22,22b = ,a b × =-2,则a ,b 所夹的角为 。

2.判断正误1)0,=0=0.a b a b ?若则, ( ) 2)()()a b c a b c 鬃=鬃( ) 3)()222p qp q ? ( ) 课堂探究案二、例题讲解,合作探究: 探究1.问题解决夹角问题例1.如图,在空间四边形ABCD 中,AC=3,AD=23,AB=2,CD=3,BAD=30AC=60B 邪邪,,(1)AD DC AC用、表示。

人教版高中选修2-1数学导学案:3.1.5空间向量运算的坐标表示

人教版高中选修2-1数学导学案:3.1.5空间向量运算的坐标表示

3.1.5 空间向量运算的坐标表示一、 学习目标1.掌握空间向量的坐标运算,会判定两个向量平行或垂直。

2.掌握模长公式,夹角公式,两点间距离公式,并会用这些公式解决有关问题。

二、预习案预习课本89页至91页,填写下列内容:1.坐标运算:(1)建立空间直角坐标系O xyz -,分别沿x 轴,y 轴,z 轴的正方向引单位向量,,i j k ,则{,,}i j k 叫做 ,单位向量,,i j k 都叫做 .(2)在空间直角坐标系中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使OA xi yj z k=++ ,有序实数组 叫作向量在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作 .(3)若123(,,)a a a a = ,123(,,)b b b b = ,则_________________a b += ,_________________a b -= ,__________________a λ= ,___________________a b ⋅= 。

2.平行垂直的条件(1) //________________________a b ⇔ ,(2) ________________________a b ⊥⇔ .3.向量夹角与长度的坐标计算公式(1)若123(,,)a a a a = ,123(,,)b b b b = ,则||______________a a ==,||________________b == , cos ______________________||||a b a b a b ⋅⋅==⋅ . 若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z 则__________________AB =||___________________________AB ==三、课中案例1 已知 a = (2,-1,-2) , b = (0,-1,4) 求:(1)a +b ;(2)a -b ;(3)a ·b ;(4)2a ·(-b );(5)(a +b )·(a -b )变式训练:已知O 为原点,A ,B ,C ,D 四点的坐标分别为:A (2,-4,1),B (3,2,0),C (-2,1,4),D (6,3,2).求满足下列条件的点P 的坐标.(1)OP →=2(AB →-AC →);(2)AP →=3(AB →-DC →).例2 已知空间三点A(-2, 0, 2), B(-1, 1, 2) , C(-3, 0, 4),设a =AB ,b =.(1)求 < a, b >(2)若向量 k a+b 与k a-2b 互相垂直,求k 的值.(3)若向量 k a+b 与k a-2b 共线,求k 的值.变式训练:已知a =(1, 5,-1),b =(-2, 3, 5).(1)若向量 k a+b 与a-3b 互相平行,求k 的值.(2)若向量 k a+b 与a-3b 互相垂直,求k 的值.例3 已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6)C (1,-1,5)(1)求以AB 、AC 为边的平行四边形的面积(2)求AC 在AB 上正投影的数量练习:在长方体1AC 中,底面ABCD 是边长是4的正方形,11C A 与11D B 交于点N ,1BC 与C B 1交于点M,且AM BN ⊥,建立空间直角坐标系1、求1AA 的长2、求〉〈1,cos AD当堂检测1.若a =(2x ,1,3),b =(1,-2y ,9),如果a 与b 为共线向量,则( )A ./x =1,y =1 B. x =21,y =-21 C. /x =61,y =-23 D. x =-61,y =23 2./已知向量a =(1,1,0),b =(-1,0,2),且k a +b 与2a -b互相垂直,则k 值是( ) A.1 B./51 C.53 D./57 3.在ΔABC 中,已知AB =(2,4,0),=(-1,3,0),则∠ABC = .4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C (0,0,2),(1)若DB ∥AC ,DC ∥AB ,求点D 的坐标;(2)问是否存在实数x ,y ,使得AC =x AB +y BC 成立,若存在,求x 、y 的值.5.在直三棱柱ABO -A 1B 1O 1中,∠AOB =π2,AO =4,BO =2,AA 1=4,D 为A 1B 1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求DO →、A 1B →的坐标.6.如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,4111111B A F D E B ==,求1BE 与1DF 所成的角的余弦值.。

人教版高中选修2-1数学导学案:3.1.2空间向量的基本定理

人教版高中选修2-1数学导学案:3.1.2空间向量的基本定理

3.1.2空间向量的基本定理
【学习目标】
1.知识目标:了解共线或平行向量的概念,向量与平面平行(共面)的意义,掌握他们的方法;
2.能力目标:理解共线向量定理,共面向量定理和空间向量分解定理,理解空间任一向量可以用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底,表示其他的向量。

【预习案】
1.共线向量定理:
2.共面向量定理:
证明:
3.空间向量分解定理:
证明:
【课中案】
OG
},,{,,,.2MG MN G BC OA ,.3表示向量试用基底设上,且在的中点,点,分别是对边中,已知空间四边形例c b a c OC b OB a OA GN N M OABC ===
=
例5
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个
练习.在长方体1111ABCD A B C D ─中,2AB =,2BC =,
16AA =,且记AB a = ,AD b = ,1AA c = ,用a b c 、、表示
11,BD B C ;。

人教版选修2-1 3.1.3 空间向量的数量积运算导学案

人教版选修2-1  3.1.3 空间向量的数量积运算导学案

《空间向量的数量积运算》导学案制作人王维审核高二数学组 2016-02-29【学习目标】1、理解空间向量夹角的概念及表示方法;2、理解空间向量数量积的概念、运算性质及运算律;3、通过探究空间几何图形,将几何问题代数化,提高分析问题与解决问题的能力.【学习重点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律【学习难点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律的运用【预习导航】1、复习回顾:平面向量的数量积运算2、如何进行空间向量的数量积运算?【问题探究】探究活动一:两空间向量的夹角探究活动二:空间向量的数量积探究活动三:空间两个向量的数量积的性质探究活动四:空间向量的数量积满足的运算律【思考】如何运用空间向量的数量积运算处理有关问题?【应用训练】1、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.2、已知m,n是平面α内的两条相交直线,若ml⊥,nl⊥,求证:α⊥l. 【练习题】1、向量、之间的夹角为30,且3=,4=,则=∙__________,=2a__________,=2b__________,=-∙+)(2baba)(__________.2、已知22=22=,2=∙ba,试求向量a与b的夹角.【总结概括】本节课的收获:【分层作业】必做题:教材第98页习题第3,4题选做题:同步练习册课后作业提升习题。

人教版高中数学选修2-1空间向量运算的坐标表示导学案

人教版高中数学选修2-1空间向量运算的坐标表示导学案

3.1.4 空间向量运算的坐标表示【使用说明及学法指导】1.先自学课本,理解观点,达成导学纲要;2.小组合作,着手实践。

【学习目标】1.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式;2.会用这些公式解决相关问题 .【要点】利用两个向量的基本公式解决立体几何中的问题.【难点】空间向量的基本公式的应用一、自主学习1 预习教材P95~ P97,解决以下问题复习 1 :设在平面直角坐标系中,A (1,3),B ( 1,2),则线段︱AB ︱=.复习 2:已知a3,2,5, b 1,5, 1 ,求:⑴ a+ B.⑵ 3a-b;⑶ 6a.;⑷a·b.2.导学纲要1)向量的模:设 a=(a1, a2, a3),则| a|=2)两个向量的夹角公式:设 a=(a1, a2, a3),b=( b1, b2,b3),由向量数目积定义 a·b=|a ||b|cos< a,b>,又由向量数目积坐标运算公式:a· b=,由此能够得出: cos<a,b>=①当 cos<a、b>= 1 时,a与b所成角是;②当 cos<a、b>=- 1 时,a与b所成角是;③当 cos<a、b>= 0 时,a与b所成角是,即 a 与 b 的地点关系是,用切合表示为.④设 a=( a1, a2, a3), b=(b1, b2,b3),则⑴ a//b a 与 b 所成角是 a 与 b 的坐标关系为;⑵ a⊥ b a 与 b 的坐标关系为;3)两点间的距离公式:在空间直角坐标系中,已知点A( x1 , y1 , z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) ,则线段AB 的长度为: _____________________.4)线段定比分点的坐标公式:( 1)在空间直角坐标系中,已知点A(x1 , y1 , z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) ,则线段 AB的中点坐标为 :.( 2)在空间直角坐标系中,平面中的定比分点坐标公式能否合用?已知点A(x1 , y1 , z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) ,且AP PB ,则P的坐标为:___________________.二、典型例题例1.1.若 a=( a1,a2, a3), b=( b1, b2,b3),则a1a2a3是 a // b 的()b1b2b3A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充要条件D.既不充足又不不要条件2.已知 a2, 1,3, b4,2, x,且 a b ,则 x=.3.已知 A 1,0,0 , B 0, 1,1, OA OB 与 OB 的夹角为120°,则的值为()A.6B.6C.6D.6 6664.若 a x,2,0 ,b3,2x, x2,且 a,b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是()A.x4B.4x0C.0x 4D.x 45.已知a1,2,y,b x,1,2,且 ( a2b) //(2 a b) ,则()A.x 11 B. x14 , y, y312C.x2, yD.x1, y146.已知 a + b + c =0,| a |= 2,|b |=3,| c |=19 ,则向量 a 与 b 之间的夹角a,b为()A .30°B.45°C. 60° D .以上都不对7.已知 a1,1,0 , b1,0,2 , 且 ka b 与2a b 相互垂直,则k的值是()A. .1B.13D.7 5C.558.若 A(m+ 1,n- 1,3), B. (2m,n,m-2n), C(m+ 3,n-3,9)三点共线,则m+n=例 2 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中(1)点 E1 , F1分别是 A1B1 , C1 D1的一个四平分点,求 BE1与 DF1所成的角的余弦值.(2) B1E1 D1F1A1B1,求 BE1与 DF1所成角的余弦值.3例 3 在直三棱柱ABC—A1B1C1中, ABC 90 ,CB 1,CA 2, AA16 ,点 M 是CC1的中点,求证:AM BA1 .变式:正三棱柱 ABC— A1B1C1的侧棱长为 2,底面边长为 1,点 M 是BC的中点,在直线 CC1上求一点 N,使得 MN AB1三、拓展训练例 4 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O1、O2、O3分别是平面 A1B1C1D1、平面 BB1C1C、平面 ABCD 的中心.(1)求证: B1O3⊥ PA;(2)求异面直线PO3与 O1O2所成角的余弦值;(3)求 PO2的长.变式 :直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1 的底面 △ ABC 中,CA =CB = 1,∠ BCA =90°, AA 1= 2,N 是 AA 1 的中点.(1)求 BN 的长;(2)求 BA 1, B 1C 所成角的余弦值.四、变式训练: 课本第 97 页练习 1-3 题五、课后稳固1.课本第 98 页 A 组 5.6.7.8.9.10.11 题2..在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中, E 、F 分别为 D 1D 、BD 的中点, G 在棱 CD 上,且 CG = 1CD ,H 为 C 1G 的中点,4(1)求证: EF ⊥ B 1C ;(2)求 EF 与 C 1G 所成的角的余弦值;(3)求 FH 的长 .。

选修2-1 空间向量导学案

选修2-1    空间向量导学案

§3.1.1 空间向量及其加减运算【学习要求】1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的加法、减法运算.【学法指导】结合平面向量的相关性质,类比学习空间向量的概念与运算.通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想.【知识要点】1.空间向量(1)空间向量的定义在空间,把具有______和______的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的________或______. (2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示,有向线段的________表示向量的模.如图,a 的起点是A ,终点是B ,则a 也可记作________,其模记为_____或________. (3)特殊向量 名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫______,记为____ 单位向量 ______的向量叫单位向量相反向量 与向量a 长度____而方向____的向量,记为____相等向量方向____且模____的向量称为相等向量,____且____的有向线段表示同一向量或相等向量2.空间向量的加法、减法类似平面向量,定义空间向量的加、减法运算(如图): OB →=OA →+OC →=__________;CA →=OA →-OC →=__________. 3.空间向量加法的运算律(1)交换律 a +b =________;(2)结合律 (a +b )+c =__________.【问题探究】探究点一 空间向量的概念问题1 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →,OB →,OC →,它们和以前所学的向量有什么不同?问题2 空间向量和平面向量有什么区别?它有什么作用?问题3 向量可以用有向线段表示,是否可以说向量就是有向线段? 问题4 “空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确? 例1 给出下列命题:①两个空间向量相等,则它们起点相同,终点也相同; ②若空间向量a ,b ,满足|a |=|b |,则a =b ;③在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,必有AC →=A 1C 1→; ④若空间向量m ,n ,p 满足m =n ,n =p ,则m =p ; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确的命题的个数是 ( )A .1B .2C .3D .4 跟踪训练1 下列说法中正确的是( )A .若|a |=|b |,则a 、b 的长度相同,方向相同或相反B .若向量a 是向量b 的相反向量,则|a |=|b |C .空间向量的减法满足结合律D .在四边形ABCD 中,一定有AB →+AD →=AC →探究点二 空间向量的加减运算问题1 怎样计算空间两个向量的和与差?问题2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求?例2 如图,已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.(1)AA ′→-CB →; (2)AA ′→+AB →+B ′C ′→.跟踪训练2 化简:(1)(AB →-CD →)-(AC →-BD →); (2)(AB →+CD →)-(AC →+BD →).【当堂检测】1.下列命题中,假命题是 ( )A .向量AB →与BA →的长度相等 B .两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C .只有零向量的模等于0 D .共线的单位向量都相等2.如图所示,平行四边形ABCD 的对角线交点是O ,则下列等式成立的是 ( )A .OA →+OB →=AB → B .OA →+OB →=BA →C .AO →-OB →=AB →D .OA →-OB →=CD →3.下列说法中正确的是 ( )A .若|a |<|b |,则a <bB .若向量a 是向量b 的相反向量,则a +b =0C .如果两向量平行,则两向量相等D .在四边形ABCD 中,一定有AB →-AD →=DB →4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知下列各式:①(AB →+BC →)+CC 1→;②(AA 1→+A 1D 1→)+D 1C 1→;③(AB →+BB 1→)+B 1C 1→;④(AA 1→+A 1B 1→)+B 1C 1→.其中运算的结果为AC 1→的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个【课堂小结】1.空间向量的概念和平面向量类似,向量的模,零向量,单位向量,相等向量等都可以结合平面向量理解. 2.向量可以平移,任意两个向量都是共面向量.因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同,可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.§3.1.2 空间向量的数乘运算【学习要求】1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律,了解共线(平行)向量、共面向量的意义.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论,并能运用它们证明空间向量的共线和共面问题.【学法指导】利用空间向量的数乘运算,理解和表示共线向量和共面向量,充分体现向量的工具性.【知识要点】1.空间向量的数乘运算 (1)向量的数乘:实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量,记作_______,称为_______________.当λ>0时,λa 与向量a 方向________;当λ<0时,λa 与向量a 方向________;λa 的长度是a 的长度的________倍. (2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律:分配律:________________,结合律:______________ 2.共线向量(1)共线向量定义表示空间向量a ,b 的有向线段所在的直线_______,则向量a ,b 叫做______或_______,记作________. (2)两向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使__________ (3)共线向量的推论如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线,那么对于空间任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP →=OA →+ta ,①其中a 叫直线l 的____________.在l 上取AB →=a ,则①式可化为____________.此推论可以用来判断三点共线. 3.共面向量(1)共面向量的概念平行于______________的向量,叫做共面向量. (2)三个向量共面的充要条件若两个向量a ,b 不共线,则向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ,y ),使_____【问题探究】探究点一 空间向量的数乘运算问题1 思考实数λ和空间向量a 的乘积λa 的意义? 问题2 空间向量的数乘运算满足哪些运算律?例1 设A 是△BCD 所在平面外的一点,G 是△BCD 的重心.求证:AG →=13(AB →+AC→+AD →).探究点二 向量共线问题问题1(1)两向量共线时,它们的方向有什么关系? (2)在两向量共线的充要条件中,为什么要求b ≠0? 问题2 向量共线在几何中有什么应用?例2 如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 在A 1D 1上,且A 1E →=2ED 1→,F 在对角线A 1C 上,且A 1F →=23FC →. 求证:E ,F ,B 三点共线. 跟踪训练2 如图所示,四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点, F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF →=23CB →,CG →=23CD →.求证:四边形EFGH 是梯形.探究点三 向量共面问题问题1 如何理解向量与平面平行?问题2 在三个向量共面的充要条件中,若两向量a 、b 共线,那么结论是否还成立?问题3 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,满足向量关系式OP →=xOA →+yOB →+zOC →(其中x +y +z =1)的点P 与点A ,B ,C 是否共面? 问题4 向量共面在几何中有什么应用?问题5 已知A 、B 、M 三点不共线,对于平面ABM 外的任一点O ,确定在下列各条件下,点P 是否与A 、B 、M 一定共面?(1)OB →+OM →=3OP →-OA →; (2)OP →=4OA →-OB →-OM →.例3 如图所示,已知平行四边形ABCD ,过平面AC 外一点O 作射线OA ,OB , OC ,OD ,在四条射线上分别取点E ,F ,G ,H ,并且使OE OA =OF OB =OG OC =OHOD =k ,求证:E ,F ,G ,H 四点共面.跟踪训练3 如图所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上,且BM =13BD ,AN =13AE .求证:向量MN →,CD →,DE →共面.【当堂检测】1.下列命题中是真命题的是( )A .分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量B .若|a |=|b |,则a ,b 的长度相等而方向相同或相反C .若向量AB →,CD →满足|AB →|>|CD →|,且AB →与CD →同向,则AB →>CD →D .若两个非零向量AB →与CD →满足AB →+CD →=0,则AB →∥CD →2.空间的任意三个向量a ,b,3a -2b ,它们一定是 ( )A .共线向量B .共面向量C .不共面向量D .既不共线也不共面向量3.对于空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C 有6OP →=OA →+2OB →+3OC →,则( ) A .四点O ,A ,B ,C 必共面 B .四点P ,A ,B ,C 必共面 C .四点O ,P ,B ,C 必共面 D .五点O ,P ,A ,B ,C 必共面4.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →=a ,BD →=b ,则AF →=______________【课堂小结】空间向量的数乘运算和平面向量完全相同;利用数乘运算可判定两个向量共线,三个向量共面问题,在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题.§3.1.3 空间向量的数量积运算【学习要求】1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中一些简单的问题.【学法指导】数量积是向量最重要的运算,利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角;通过类比平面向量的数量积,学习空间两向量的数量积,通过向量积的运用,培养数学应用意识.【知识要点】1.空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB 叫做向量a ,b 的夹角 记法 _______范围〈a ,b 〉∈________.当〈a ,b 〉=π2时,a ______b想一想:〈a ,b 〉与〈b ,a 〉相等吗?〈a ,b 〉与〈a ,-b 〉呢? 2.空间向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a ,b ,则_________________叫做a ,b 的数量积,记作a·b . (2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律 (λa )·b =__________ 交换律 a·b =________分配律a ·(b +c )=________________(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①若a ,b 是非零向量,则a ⊥b ⇔___________②若a 与b 同向,则a·b =________;若反向,则a·b =________. 特别地,a·a =________或|a |=a·a ③若θ为a ,b 的夹角,则cos θ=________ ④|a·b |≤|a |·|b |【问题探究】探究点一 空间向量的数量积运算问题1 空间两个向量的夹角是怎样定义的,范围怎样规定? 问题2 类比平面向量的数量积,说出空间向量的数量积a·b 的定义? 问题3 请你类比平面向量说出a·b 的几何意义. 问题4 给出下列各式:①|a·b |=|a||b |;②(a·b )c =a (b·c );③m·(a -b )=m·a -m·b ;④m·a =m·b ⇒a =b ;⑤若a·b =3,则a =3b.其中正确的式子是________例1 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =4,E 为侧面AB 1的中心,F 为A 1D 1的中点.试计算:(1)BC →·ED 1→;(2)BF →·AB 1→;(3)EF →·FC 1→. 跟踪训练1 已知正四面体OABC 的棱长为1.求:(1)OA →·OB →; (2)(OA →+OB →)·(CA →+CB →); (3)|OA →+OB →+OC →|.探究点二 利用数量积求夹角问题1 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值? 问题2 利用数量积怎样证明两个向量垂直?证明:(三垂线定理)在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直.已知:如图,PO ,P A 分别是平面α的垂线、斜线,AO 是P A 在平面α内的射影,l ⊂α,且l ⊥OA ,求证:l ⊥P A .跟踪训练2 如图所示,已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形, 且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°. 求证:CC 1⊥BD .探究点三 利用数量积求距离问题 类比平面向量,说出利用数量积求长度或距离的方法.例3 已知a ,b ,c 中每两个的夹角都是π3,且|a |=4,|b |=6,|c |=2,试计算|a +b +c |.跟踪训练3 如图所示,已知线段AB 在平面α内,线段AC ⊥α,线段BD ⊥AB ,线段DD′⊥α于D′,如果∠DBD′=30°,AB=a,AC=BD=b,求CD的长.【当堂检测】1.设a、b、c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a·b)·c-(c·a)·b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·a)·c-(c·a)·b与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.①②B.②③C.③④D.②④2.已知a,b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于()A.7 B.10 C.13 D.43.如图所示,已知P A⊥平面ABC,∠ABC=120°,P A=AB=BC=6,则PC等于()A.6 2 B.6 C.12 D.144【课堂小结】空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角;利用数量积求两异面直线所成的角,关键在于在异面直线上构造向量,找出两向量的关系;证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零,求线段长度转化为求向量的数量积.§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示【学习要求】1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.【学法指导】从空间向量的正交分解到空间向量基本定理,是特殊到一般的思想.把空间向量用不共面的三个向量表示是利用向量解决几何问题的基础.【知识要点】1.空间向量基本定理定理:如果三个向量a,b,c________,那么对于空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p =_________.其中__________叫做空间的一个基底,__________都叫做基向量.2.空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O的____________的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.(2)空间直角坐标系以e1,e2,e3的公共起点O为______,分别以___________的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p,一定可以把它________,使它的起点与原点O重合,得到向量OP→=p.由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=______________把__________称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作____________.【问题探究】探究点一空间向量的基底问题1平面向量的基底要求二个基向量不共线,那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件?问题2基向量和基底一样吗?0能否作为基向量?问题3类比平面向量的正交分解,空间向量也可以正交分解,请思考此时的基底应满足什么条件?例1若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底?跟踪训练1设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间的基底的向量组有 ()A.1个B.2个C.3个D.4个探究点二用基底表示向量问题1和平面向量基本定理类似,请你思考怎样用空间的基底来表示任何一个空间向量?问题2用基底表示向量应注意哪些问题?例2如图所示,空间四边形OABC中,G、H分别是△ABC、△OBC的重心,设OA→=a,OB→=b,OC→=c.试用向量a,b,c表示向量GH→.跟踪训练2在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB→=a,AD→=b,AA′→=c,P是CA′的中点,M是CD′的中点,N是C′D′的中点,点Q是CA′上的点,且CQ∶QA′=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量:(1)AP→;(2)AM→;(3)AN→;(4)AQ→.探究点三空间向量的坐标表示问题1怎样把空间向量用坐标表示?问题2空间向量的坐标表示和利用空间向量基本定理表示向量是什么关系?例3已知P A垂直于正方形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点,并且P A=AD=1,求向量MN→、DC→的坐标.跟踪训练3在直三棱柱ABO—A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,则在如图所示的空间直角坐标系中,求DO→,A1B→的坐标.【当堂检测】1.O 、A 、B 、C 为空间四点,且向量OA →,OB →,OC →不能构成空间的一个基底,则 ( ) A .OA →、OB →、OC →共线 B .OA →、OB →共线 C .OB →、OC →共线D .O 、A 、B 、C 四点共面2.已知e 1,e 2,e 3是空间直角坐标系中分别与x 轴、y 轴、z 轴同向的单位向量,且p =e 1+2e 2-3e 3,则p 的坐标是 ( )A .(1,2,3)B .(-1,-2,3)C .(1,2,-3)D .(1,-2,-3)3.已知点A 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(8,6,4),其中a =i +j ,b =j +k ,c =k +i ,则点A 在基底{i ,j ,k }下的坐标是 ( )A .(12,14,10)B .(10,12,14)C .(14,12,10)D .(4,3,2)4.从空间一点P 引出三条射线P A ,PB ,PC ,在P A ,PB ,PC 上分别取PQ →=a ,PR →=b ,PS →=c ,点G 在PQ 上,且PG =2GQ ,H 为RS 的中点,则GH →=______________.(用a ,b ,c 表示)【课堂小结】1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底;基底选定后,任一向量可由基底唯一表示. 2.向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示.在表示向量时,要结合图形的几何性质,充分利用向量的线性运算.§3.2 立体几何中的向量方法第1课时 空间向量与平行关系【学习要求】1.理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系.【学法指导】在学习用空间向量方法证明平行关系、垂直关系时,应先复习必修二中学习的线面、面面平行与垂直的判定定理,将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算,体现向量的工具性作用.【知识要点】1.直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的________向量,叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l ⊥α,取直线l 的__________n ,叫做平面α的法向量2.空间中平行关系的向量表示设直线l ,m 的方向向量分别为a ,b ,平面α,β的法向量分别为μ,v ,则线线平行 l ∥m ⇔________⇔a =kb (k ∈R) 线面平行 l ∥α⇔________⇔________ 面面平行 α∥β⇔________⇔____________ 线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b =0 线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔a =ku ,k ∈R 面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u·v =0.【问题探究】探究点一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系问题1 对于一条确定的直线和一个确定的平面,它的方向向量及法向量有几个? 问题2 怎样求一个平面的法向量?试一试 已知A (1,0,1),B (0,1,1),C (1,1,0),求平面ABC 的一个法向量. 例1 根据下列条件,判断相应的线、面位置关系:(1)直线l 1,l 2的方向向量分别是a =(1,-3,-1),b =(8,2,2); (2)平面α,β的法向量分别是u =(1,3,0),v =(-3,-9,0);(3)直线l 的方向向量,平面α的法向量分别是a =(1,-4,-3),u =(2,0,3); (4)直线l 的方向向量,平面α的法向量分别是a =(3,2,1),u =(-1,2,-1). 跟踪训练1 根据下列条件,判断相应的线、面位置关系:(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a =(2,3,-1),b =(-6,-9,3); (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a =(-2,1,4),b =(6,3,3); (3)平面α与β的法向量分别是u =(1,-1,2),v =⎝⎛⎭⎫3,2,-12; (4)平面α与β的法向量分别是u =(2,-3,4),v =(4,-2,1);(5)直线l 的方向向量,平面α的法向量分别是a =(0,-8,12),u =(0,2,-3).探究点二 用向量法证明立体几何定理例2 证明:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.已知:直线l ,m 和平面α,β,其中l ,m ⊂α,l 与m 相交,l ∥β,m ∥β,求证:α∥β. 跟踪训练2 用向量方法证明:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.已知:直线l ,m 和平面α,其中l ⊄α,m ⊂α,且l ∥m ,求证:l ∥α.探究点三 利用空间向量证明平行关系问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系?例3 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点, 求证:(1)FC 1∥平面ADE ; (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .跟踪训练3 如图,在四棱锥S —ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD ,E 、F 分别为AB 、SC 的中点.证明:EF ∥平面SAD .【当堂检测】1.若a =(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 ( )A .(0,1,2)B .(3,6,9)C .(-1,-2,3)D .(3,6,8)2.若A (-1,0,1),B (1,4,7)在直线l 上,则直线l 的一个方向向量为( ) A .(1,2,3) B .(1,3,2) C .(2,1,3) D .(3,2,1)3.若两个不同平面α,β的法向量分别为u =(1,2,-1),v =(-3,-6,3),则 ( ) A .α∥β B .α⊥β C .α,β相交但不垂直 D .以上均不正确 4.已知l ∥α,且l 的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1,12,2,则m =______ 5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,证明:平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.【课堂小结】1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)进行向量运算,研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等); (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.证明线面平行问题,可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系;也可以转化为线线平行,利用向量共线来证明.第2课时 空间向量与垂直关系【学习要求】1.能利用向量叙述线线、线面、面面的垂直关系. 2.进一步体会直线的方向向量,平面法向量的作用.【学法指导】在平行关系的基础上,利用直线的方向向量和平面的法向量判定立体几何中的垂直关系,体现了转化的数学思想.【知识要点】空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直设直线l 的方向向量为a =(a 1,a 2,a 3),直线m 的方向向量为b =(b 1,b 2,b 3),则l ⊥m ⇔___ 设直线l 的方向向量是a=(a 1,b 1,c 1),平面α的法向量为u =(a 2,b 2,c 2),则l ⊥α⇔________若平面α的法向量为u =(a 1,b 1,c 1),平面β的法向量为v =(a 2,b 2,c 2),则α⊥β⇔____________【问题探究】探究点一 证明线线垂直问题 怎样证明两条直线互相垂直?例1 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC =3,BC =4,AB =5,AA 1=4,求证:AC ⊥BC 1.跟踪训练1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中,E 、F 分别是AB 、BC 上的动点,且AE =BF ,求证:A 1F ⊥C 1E .探究点二 证明线面垂直问题 怎样利用向量方法证明线面垂直?例2 如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 与BD 的交点,G 为CC 1的中点.求证:A 1O ⊥平面GBD .跟踪训练2 如图所示,在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的 中点.求证:EF ⊥平面B 1AC . 探究点三 证明面面垂直问题 怎样证明两个平面垂直?例3 在四面体ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,BC =CD ,∠BCD =90°,∠ADB =30°,E 、F 分别是AC 、AD 的中点,求证:平面BEF ⊥平面ABC . 跟踪训练3 如图所示,在六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形,DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,DD 1⊥平面ABCD ,DD 1=2. 求证:(1)A 1C 1与AC 共面,B 1D 1与BD 共面;(2)平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.【当堂检测】1.若直线l 1、l 2的方向向量分别为a =(1,2,-2),b =(-2,3,2),则 ( ) A .l 1∥l 2 B .l 1⊥l 2 C .l 1、l 2相交但不垂直 D .不能确定 2.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为u =(-2,0,-4),则 ( ) A .l ∥α B .l ⊥α C .l ⊂α D .l 与α斜交3.平面α的一个法向量为(1,2,0),平面β的一个法向量为(2,-1,0),则平面α与平面β的位置关系是 ( ) A .平行 B .相交但不垂直 C .垂直 D .不能确定4.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,P A ⊥平面ABCD ,AP =AB =2, BC =22,E ,F 分别是AD ,PC 的中点.证明:PC ⊥平面BEF .【课堂小结】1.用空间向量法解决立体几何中的垂直问题,主要是运用直线的方向向量与平面的法向量,同时也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理.2.用法向量来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题,思路清楚,不必考虑图形的位置关系,只需通过向量运算,就可得到要证明的结果.第3课时空间向量与空间角【学习要求】1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题.【学法指导】空间中的各种角都可以转化为两条直线所成的角,可以通过两个向量的夹角求得,体现了数学中的转化与化归思想.通过本节的学习进一步体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.【知识要点】1.两条异面直线所成的角设两条异面直线a,b所成的角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则cos θ=_______.2.直线和平面所成的角设直线和平面所成的角为θ,且直线的方向向量为a,平面的法向量为b,则sin θ=_______3.二面角的平面角设二面角α—l—β的锐二面角大小为θ,且两个半平面的法向量分别为a,b,则cos θ=_______.【问题探究】探究点一求两条异面直线所成的角问题1怎样求两条异面直线所成的角?问题2两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量夹角有什么区别?例1如图所示,三棱柱OAB—O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=3,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.跟踪训练1长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,BC=BB1=2,E,F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心,求异面直线AF与BE所成角的余弦值.探究点二求直线和平面所成的角问题1直线和平面所成角的范围是什么?问题2直线与平面所成的角θ和直线方向向量a与平面法向量b的夹角有什么关系?例2如图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.跟踪训练2如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,P A⊥底面ABCD,且P A=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(1)求证:PB⊥DM;(2)求BD与平面ADMN所成的角.探究点三求二面角问题怎样利用向量法求两个平面所成的二面角的大小?例3在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中,AB⊥AC,P A⊥平面ABCD,且P A=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD的夹角.跟踪训练3如图,已知四棱锥P—ABCD中,P A⊥底面ABCD,且ABCD为正方形,P A=AB=a,点M是PC的中点.(1)求BP与DM所成的角的大小;(2)求二面角M—DA—C的大小.例4甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处.从A,B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.跟踪训练4已知矩形ABCD中,AB=1,BC=3,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与ACD 垂直,则B与D之间的距离为________【当堂检测】1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于() A.30°B.150°C.30°或150°D.以上均错2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量,法向量,若cos〈m,n〉=-12,则l与α所成的角() A.30°B.60°C.120°D.150°3.正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为()A.24B.23C.63D.324.二面角α—l—β中,平面α的一个法向量n1=⎝⎛⎭⎫32,-12,-2,平面β的一个法向量n2=⎝⎛⎭⎫0,12,2,则二面角α—l—β的大小为()A.120°B.150°C.30°或150°D.60°或120°5.P A⊥平面ABC,AC⊥BC,P A=AC=1,BC= 2.求二面角A—PB—C的余弦值.【课堂小结】利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量;其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.习题课立体几何中的向量方法【学习要求】通过利用向量方法解决综合性较强的问题,进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用.【学法指导】结合例题的解题过程,对立体几何中的三种方法(综合法、向量法、坐标法)进行比较,进一步体会向量方法与坐标方法相结合的优越性.【知识要点】设直线l ,m 的方向向量分别为a ,b ,平面α,β的法向量分别为u ,v ,则 线线平行 l ∥m ⇔a ∥b ⇔_____________ 线面平行 l ∥α⇔________⇔________ 面面平行 α∥β⇔u ∥v ⇔______________ 线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔__________ 线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔____________ 面面垂直 α⊥β⇔u ⊥v ⇔__________线线夹角 l ,m 的夹角为θ(0≤θ≤π2),cos θ=__________线面夹角 l ,α的夹角为θ(0≤θ≤π2),sin θ=__________面面夹角 α,β的夹角为θ (0≤θ≤π2),cos θ=__________【问题探究】题型一 立体几何中的综合性问题 例1 如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD , PD =DC ,点E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F . (1)求证:P A ∥平面EDB ; (2)求证:PB ⊥平面EFD ;(3)求二面角C —PB —D 的大小.跟踪训练1 如图所示,正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,AB =AE ,F A =FE ,∠AEF =45°. (1)求证:EF ⊥平面BCE ;(2)设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ,求证:PM ∥平面BCE .题型二 立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题,在命题中多以解答题的一步出现,试题有一定的难度.这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定的假设,然后由此肯定的假设出发,结合已知条件进行推理论证,若导致合理的结论,则存在性也随之解决;若导致矛盾,则否定了存在性.例2 如图,在三棱锥P -ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上,已知BC =8,PO =4,AO =3,OD =2. (1)证明:AP ⊥BC .(2)在线段AP 上是否存在点M ,使得二面角A -MC -B 为直二面角?若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由.跟踪训练2 如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AD =1,E 为CD 的中点. (1)求证:B 1E ⊥AD 1.(2)在棱AA 1上是否存在一点P ,使得DP ∥平面B 1AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由.(3)若二面角A -B 1E -A 1的大小为30°,求AB 的长.【当堂检测】1.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°, FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF . (1)求证:BD ⊥平面AED ;(2)求二面角F -BD -C 的余弦值. 2.如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,MD ⊥平面ABCD ,NB ⊥平面ABCD ,且MD =NB =1,E 为BC 的中点.在线段AN 上是否存在点S ,使得ES ⊥平面AMN?【课堂小结】1.解决立体几何问题一般有三种方法:综合法、向量法、坐标法.综合法以逻辑推理作为工具解决问题;向量法利用向量的概念及其运算解决问题;坐标法利用数及其运算来解决问题.一般情况下,我们遵循的原则是:以综合法为基础,以向量法为主导,以坐标法为中心.2.对于探索性问题,一般先假设存在,利用空间坐标系,结合已知条件,转化为代数方程是否有解的问题,若有解满足题意则存在,若没有满足题意的解则不存在.章末复习课【知识网络】。

人教新课标版数学高二选修2-1导学案 空间向量及其加减运算教师版

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3.1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差,了解向量加法的交换律和结合律.【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题:通过学生对课本的预习,让学生通过观看《3.1.1空间向量及其加减运算》课件“新课导入”部分,回顾平面向量的有关知识,引入本节课要学习的空间向量及其加减运算的知识.二、自主学习知识点一 空间向量的概念(1)在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模,a 的起点是A ,终点是B ,则a 也可记作AB →,其模记为|a |或|AB →|.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示 零向量规定长度为0的向量叫零向量,记为0 单位向量模为1的向量叫单位向量 相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量,称为a 的相反向量,记为-a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量(1)类似于平面向量,可以定义空间向量的加法和减法运算.OB →=OA →+AB →=a +bCA →=OA →-OC →=a -bOB →=OA →+AB →=OA →+OC →=a +b(2)空间向量加法交换律a +b =b +a空间向量加法结合律(a +b )+c =a +(b +c )三、合作探究问题1 类比平面向量的概念,给出空间向量的概念.答案 在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.问题2 下面给出了两个空间向量a 、b ,作出b +a ,b -a .答案 如图,空间中的两个向量a ,b 相加时,我们可以先把向量a ,b 平移到同一个平面α内,以任意点O 为起点作OA →=a ,OB →=b ,则OC →=OA →+OB →=a +b ,AB →=OB →-OA →=b-a .问题3 由上述的运算过程总结一下,如何求空间两个向量的和与差?下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则?答案 先将两个向量平移到同一个平面,然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可;图1是三角形法则,图2是平行四边形法则.探究点1 有关空间向量的概念的理解例1 给出以下结论:①两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同;②若空间向量a ,b 满足|a |=|b |,则a =b ;③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,必有AC →=A 1C 1→;④若空间向量m ,n ,p 满足m =n ,n =p ,则m =p ;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4答案 C解析 两个空间向量相等,它们的起点、终点不一定相同,故①不正确;若空间向量a ,b 满足|a |=|b |,则不一定能判断出a =b ,故②不正确;在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,必有AC →=A 1C 1→成立,故③正确;④显然正确;空间中任意两个单位向量的模必相等,但这两个向量不一定相等,故⑤错误.故选C.反思与感悟 在空间,平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反.探究点2 空间向量的加减运算例2 如图,已知长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.(1)AA →′-CB →;(2)AA ′→+AB →+B ′C →′.解 (1)AA ′→-CB →=AA ′→-DA →=AA ′→+AD →=AD ′→.(2)AA ′→+AB →+B ′C ′→=(AA ′→+AB →)+B ′C ′→=AB ′→+B ′C ′→=AC ′→.向量AD ′→、AC ′→如图所示.反思与感悟 根据向量相等的概念,向量运算时可以根据需要进行平移向量;化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简,在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法,也可以按减法法则进行运算,加减法之间可相互转化,另外化简的结果要在图中标注好.四、当堂测试1.下列命题中,假命题是( )A .同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小B .两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同C .只有零向量的模等于0D .共线的单位向量都相等答案 D解析 容易判断D 是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.2.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,与向量AD →相等的向量共有( )A .1个B .2个C .3个D .4个答案 C解析 与AD →相等的向量有A 1D 1→,BC →,B 1C 1→,共3个.3.向量a ,b 互为相反向量,已知|b |=3,则下列结论正确的是( )A .a =bB .a +b 为实数0C .a 与b 方向相同D .|a |=3答案 D解析 向量a ,b 互为相反向量,则a ,b 模相等、方向相反.故D 正确.4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知下列各式:①(AB →+BC →)+CC →1;②(AA →1+A 1D →1)+D 1C →1;③(AB →+BB →1)+B 1C 1;④(AA →1+A 1B →1)+B 1C →1.其中运算的结果为AC →1的有________个.答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断:①(AB →+BC →)+CC →1=AC →+CC →1=AC →1;②(AA →1+A 1D →1)+D 1C →1=AD →1+D 1C →1=AC →1;③(AB →+BB →1)+B 1C →1=AB →1+B 1C →1=AC →1;④(AA →1+A 1B →1)+B 1C →1=AB →1+B 1C →1=AC →1.所以4个式子的运算结果都是AC →1.5.化简2AB →+2BC →+3CD →+3DA →+AC →=________.答案 0解析 2AB →+2BC →+3CD →+3DA →+AC →=2AB →+2BC →+2CD →+2DA →+CD →+DA →+AC →=0.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算.加法运算是对有限个向量求和,交换相加向量的顺序其和不变.(2)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即A 1A 2→+A 2A 3→+A 3A 4→+…+A n -1A n =A 1A n →(n ≥2,且n ∈N *).(3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即A 1A 2→+A 2A 3→+A 3A 4→+…+A n A 1→=0(n ∈N *).(4)空间向量减法运算时,一定要抓住向量的起点与终点.。

人教课标版高中数学选修2-1:《空间向量及其加减运算》教案-新版

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3.1.1 空间向量及其加减运算一、教学目标 (一)核心素养通过本节课学习,使同学们理解空间向量的有关概念,掌握空间向量的加减运算法则及运算律,能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义,并通过空间几何体加深对运算的理解. (二)学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.掌握空间向量的加减运算法则及运算律.3.培养学生的类比思想、转化思想,数形结合思想,培养探究、研讨、综合自学应用能力,培养学生空间想象能力. (三)学习重点 1.空间向量的有关概念.2.空间向量的加减运算的平行四边形法则和三角形法则.3.空间向量的加减运算在空间几何体中的应用.(四)学习难点 1.对空间向量相关概念的理解及与平面向量的关系.2.熟练掌握加减法的运算法则.二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 (1)读一读:阅读教材第84页至第85页,填空:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量可以用有向线段来表示.向量a r 的起点是A ,终点是B ,则向量记作AB uu u r.我们规定,长度为0的向量叫做零向量.模为1的向量称为单位向量.与向量a r为长度相等而方向相反的向量,称为a r 的相反向量,记为a r.方向相同且模相等的向量称为相等向量. 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.(2)写一写:空间向量的加法和减法运算的字母表示是什么?OA AB OB +=uu r uu u r uu u r ,OA OC CA -=uu r uuu r uu r .空间向量的加法运算满足的交换律和结合律是什么? a b b a +=+r r r r ,()()a b c a b c ++=++r r r r r r .2.预习自测(1)以下说法正确的是( )A .向量AB uu u r 的长度与向量BA uu r的长度相等 B .零向量没有方向C .若空间向量a r ,b r 满足||||a b =r r,则a b =r rD .空间中任意两个单位向量必相等 【知识点】空间向量概念的应用.【解题过程】相反向量长度相同,A 正确;零向量的方向为任意方向,B 错误;向量相等既要长度相等,也要方向相同,C 错误;单位向量方向不确定,D 错误. 【思路点拨】理解向量的各种概念.【答案】A .(2)向量AB BC CD ++uu u r uu u r uu u r的化简结果是 . 【知识点】空间向量加法的字母运算.【解题过程】=C+=AB BC CD A CD AD ++uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r【思路点拨】空间向量加法的字母运算的关键是首尾相接.【答案】AD uuu r.(3)向量AB CB -uu u r uu r的化简结果是( ) A .CA uu rB .AC uuu rC .0rD .BA BC -uu r uu u r【知识点】空间向量减法的字母运算.【解题过程】AB CB -uu u r uu r AB BC =+uu u r uu u r .AC =uuu r【思路点拨】利用相反向量的概念,将空间向量的加法运算转化为减法运算. 【答案】B .(4)在正方体1111D C B A ABCD -中,下列选项中化简后为零向量的是( )A .1AB AD AA ++uu u r uuu r uuu r B .1AB AC BB -+uu u r uuu r uuu r C .1111AB AD C A ++uu u r uuuu r uuu u rD .1AC CB AB +-uuu r uuu r uu u r【知识点】在空间几何体中进行空间向量的加法运算.【解题过程】1111AB A D C A ++uu u r uuuu r uuu u r AB AD CA =++uuu r uuu r uu r 0AC CA =+=uuu r uu r r .【思路点拨】利用正方形中的平行四边形的性质进行空间向量的加法运算. 【答案】C . (二)课堂设计 1.知识回顾(1)平面向量的定义及表示方法;(2)平面向量中零向量、单位向量、相反向量、相等向量的概念; (3)平面向量中加减法的平行四边形法则和三角形法则. 2.问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的概念★ ●活动① 类比提炼概念在必修四中,我们学习了平面向量的一些概念,那么在空间中,空间向量的概念和平面向量有什么异同呢?在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(space vector ).向量的大小叫做向量的长度或模(modulus ).【设计意图】从平面向量到空间向量,从二维到三维,体会概念的类比过程. ●活动② 辨析概念,理解特殊向量在平面向量中,我们是用什么来表示向量的呢?(抢答)与平面向量一样,空间向量可以用有向线段来表示.向量a 的起点是A ,终点是B ,则向量记作AB uu u r ,其模记作||a r 或||AB uu u r .【设计意图】通过深入类比,学生的思维逐步过渡到空间向量上. ●活动③ 辨析概念,理解特殊向量与平面向量一样,空间向量也有一些特殊的向量.我们规定,长度为0的向量叫做零向量(zero vector ),记为0r.模为1的向量称为单位向量(unit vector ).与向量a r 为长度相等而方向相反的向量,称为a r 的相反向量,记为a -r.方向相同且模相等的向量称为相等向量(equal vector ).【设计意图】通过概念辨析,加深对向量内涵与外延的理解,突破重点. 探究二 探究空间向量的加减法运算★ ●活动① 平移类比,提炼运算法则 空间任意两个向量一定共面吗?(抢答)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.已知空间向量a r ,b r,我们可以把它们移到同一个平面α内,以任意点O 为起点,作向量OA a =uu r r ,OB b =uu u r r.类似于平面向量,我们可以定义空间向量的加法和减法运算:OB OA AB a b =+=+uu u r uu r uu u r r r ,CA OA OC a b =-=-uu r uu r uuu r r r .【设计意图】通过平移类比,用平面向量引出空间向量的运算法则. ●活动② 巩固理解,深入探究平面向量的加法有哪些运算律呢?空间向量呢?(抢答)交换律:a b b a +=+r r r r ,结合律:()()a b c a b c ++=++r r r r r r,空间向量的加法运算律和平面向量一致.【设计意图】通过抢答,学生在复习平面向量的加法运算律的同时,得到空间向量的加法运算律,理解更加深入.探究三 探究空间向量的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习,我们知道了空间向量是平面向量在空间的推广,各种概念、运算和平面向量基本一致.那有哪些内容和平面向量是不一样的呢?(抢答)在空间中,三个以上的向量进行加减法,要考虑三个向量不共面的情况. 【设计意图】通过学生归纳知识点和方法,培养学生数学对比、归类、整理意识. ●活动② 互动交流、初步实践例1 已知a r ,b r为空间向量,以下命题正确的是( )A .若||||a b =r r,则a b =r rB .若||||a b <r r,则a b <r r C .若a b =r r ,则||||a b =r rD .若a b ≠r r ,则a r 与b r的方向不同 【知识点】空间向量大小和方向概念. 【数学思想】转化思想.【解题过程】A 中,向量相等还需要方向相同,故错误;B 中,向量不能比较大小; D 中,与可能为平行关系.【思路点拨】深刻理解向量的定义,既有大小又有方向. 【答案】C .同类训练 给出以下命题:①若向量a r 是b r 的相反向量,则||||a b =r r; ②空间向量的减法满足结合律;③在正方体1111D C B A ABCD -中,必有11AC A C =uuu r uuu u r.其中正确命题的个数是( ) A .0B .1C .2D .3【知识点】空间向量的概念. 【数学思想】转化思想.【解题过程】由相反向量的定义知①正确;减法不满足结合律,②错误;③中11//C A AC , 符合向量相等的定义,正确. 【思路点拨】熟悉、理解各种概念. 【答案】C .【设计意图】通过概念辨析,学生对向量概念理解更加深刻. ●活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在长方体1111D C B A ABCD -中,3=AB ,2=AD ,11=AA ,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中: (1)单位向量共有多少个? (2)模为5的向量有哪些?【知识点】空间向量的表示法,向量的模. 【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】(1)∵11111====DD CC BB AA ,∴向量1AA uuu r ,1A A uuu r ,1BB uuu r ,1B B uuu r ,1CC uuu r ,1C C uuu r,1DD uuur ,1D D uuur都是单位向量.(2)∵51111====C B BC D A AD ,∴向量1AD uuu r ,1D A uuu r ,1A D uuu r ,1DA uuu r ,1BC uuu r ,1C B uuu r ,1B C uuu r,1CB uuu r都是符合题意.【思路点拨】先找出满足条件的线段.【答案】(1)8个;(2)1AD uuu r ,1D A uuu r ,1A D uuu r ,1DA uuu r ,1BC uuu r ,1C B uuu r ,1B C uuu r ,1CB uuu r.同类训练 在长方体1111D C B A ABCD -中,3=AB ,2=AD ,11=AA ,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中:(1)与AB uu u r相等的向量有哪些?(2)试写出向量AB uu u r的相反向量.【知识点】空间向量的表示法,相等向量与相反向量. 【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】(1)∵1111//////C D DC B A AB ,∴向量DC uuu r ,11A B uuu u r ,11D C uuuu r 与AB uu ur 相等. (2)同(1)分析,向量BA uu r ,CD uu u r ,11B A uuu u r ,11C D uuuu r 是AB uu ur 的相反向量. 【思路点拨】先找出直线AB 的平行线,再确定方向.【答案】(1)DC uuu r ,11A B uuu u r ,11D C uuuu r ;(2)BA uu r ,CD uu u r ,11B A uuu u r ,11C D uuuu r.【设计意图】通过向量的列举,使学生对向量的各种概念更加熟悉,巩固基础. ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 在平行六面体1111D C B A ABCD -中,求证:1112AC AB AD AC ++=uuu r uuu r uuu r uuu r .【知识点】空间几何体中向量的加法运算. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵平行六面体的六个面均为平行四边形, ∴AC AB AD =+uuu r uu u r uuu r ,11AB AB AA =+uuu r uu u r uuu r ,11AD AD AA =+uuu r uuu r uuu r ,且AD BC =uuu r uu u r ,11AA CC =uuu r uuu r∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r 1112()2()2AB AD AA AB BC CC AC =++=++=uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r .【思路点拨】将坐标的向量都用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r表示出来,再根据空间向量的加法法则得到答案.【答案】见解题过程.同类训练 在平行六面体1111D C B A ABCD -中,试用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r 表示向量1A C uuu r.【知识点】空间几何体中向量的加法和减法运算.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】1111A C AC AA AB BC AA AB AD AA =-=+-=+-uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r.【思路点拨】利用平移使所有向量的起点都为A 点,从而可使用三角形法则.【答案】11A C AB AD AA =+-uuu r uu u r uuu r uuu r.【设计意图】巩固空间向量的加减法运算,培养学生数形结合的能力. 3. 课堂总结 知识梳理(1)在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(space vector ).向量的大小叫做向量的长度或模(modulus ).(2)我们规定,长度为0的向量叫做零向量(zero vector ),记为0r .模为1的向量称为单位向量(unit vector ).与向量a r 为长度相等而方向相反的向量,称为a r 的相反向量,记为a -r .方向相同且模相等的向量称为相等向量(equal vector ).(3)已知空间向量a r ,b r ,以任意点O 为起点,作向量OA a =uu r r ,OB b =uu u r r.我们可以定义空间向量的加法和减法运算:OB OA AB a b =+=+uu u r uu r uu u r r r ,CA OA OC a b =-=-uu r uu r uuu r r r.空间向量的加法交换律:a b b a +=+r r r r ,结合律:()()a b c a b c ++=++r r r r r r . 重难点归纳(1)空间向量是平面向量在空间中的推广,是既有大小又有方向的量.要注意零向量,单位向量,相反向量,相等向量的规定.(2)两个空间向量的加减法的运算法则和运算律与平面向量类似;三个以上的空间向量进行加减法,要考虑三个向量不共面的情况. (三)课后作业 基础型 自主突破1.下列说法正确的是( ) A .单位向量都相等B .任一向量与它的相反向量不相等C .若||||a b =r r,则a r 与b r 的方向相同或相反D .若a r 与b r 是相反向量,则||||a b =r r 【知识点】空间向量的概念. 【数学思想】转化思想.【解题过程】单位向量方向没有规定,A 错误;零向量的相反向量是本身,B 错误;向量的大小和方向没有必然联系,C 错误. 【思路点拨】深刻理解各种概念. 【答案】D .2.在三棱柱111C B A ABC -中,AC uuu r 与11A C uuu u r 是________向量,AB uu u r 与11B A uuu u r是________向量 【知识点】相等向量与相反向量. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵11//C A AC ,且AC uuu r 与11A C uuu u r 方向相同,∴AC uuu r 与11A C uuu u r是相等向量,同理,AB uu u r 与11B A uuu u r是相反向量.【思路点拨】熟记相等向量与相反向量的定义. 【答案】相等,相反.3. 在空间四边形OABC 中,OA AB CB +-uu r uu u r uu r等于( ) A .OA uu rB .AB uu u rC .OC uuu rD .AC uuu r【知识点】空间向量的加减法.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】OA AB CB +-uu r uu u r uu r ()OA AB BC =++=uu r uu u r uu u r OB BC +uuu r uu u r OC =uuu r . 【思路点拨】利用加法结合律和三角形法则.【答案】C .4.在三棱柱111C B A ABC -中,若CA a =uu r r ,CB b =uu r r ,1CC c =uuu r r ,则1A B =uuu r( )A .a b c +-r r rB .a b c -+r r rC .a b c -++r r rD .a b c -+-r r r 【知识点】空间向量的加减法.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】 1A B =uuu r 111A C C C CB ++=uuu u r uuu r uu r 1CA CC CB --+=uu r uuu r uu ra b c -+-r r r 【思路点拨】将一个向量通过加法法则拆分成已知向量. 【答案】D .5.在长方体1111D C B A ABCD -中,1BA BC DD ++=uu r uu u r uuur( )A .11DB uuuu r B .1D B uuu rC .1DB uuu rD .1BD uuu r【知识点】空间向量的加法运算. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】=++1DD =+1DD 1BD . 【思路点拨】利用图形和加法结合律,依次运算. 【答案】D .6.已知长方体1111D C B A ABCD -,化简下列向量表达式:(1)1AA CB -uuu r uu r ;(2)11111AB B C C D ++uuu r uuu u r uuuu r .【知识点】空间几何体中向量的加减法运算. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】(1)AA -1AA +=11111AD D A AA =+=. (2)111111AD D C C B AB =++.【思路点拨】熟练掌握加法的三角形法则. 【答案】(1)1AD (2)1AD . 能力型 师生共研7.在空间四边形ABCD 中,2AB CA BC AD BD ++-+=uu u r uu r uu u r uuu r uu u r________.【知识点】空间向量的加减法运算.【数学思想】转化思想.【解题过程】2AB CA BC AD BD ++-+=uu u r uu r uu u r uuu r uu u r 2()()AB BC CA BD DA ++++uu u r uu u r uu r uu u r uu u r2220AB BA BA AB BA =++=+=uu u r uu r uu r uu u r uu r r .【思路点拨】利用加法在正方体1111D C B A ABCD -中的三角形法则.【答案】0r.8.已知正方体1111D C B A ABCD -的中心为O ,则在下列各结论中,正确的共有( )①OA OD +uu r uuu r 与11OB OC +uuu r uuu r是一对相反向量; ②OB OC -uu u r uuu r 与11OA OD -uuu r uuu r是一对相反向量;③OA OB OC OD +++uu r uu u r uuu r uuu r 与1111OA OB OC OD +++uuu r uuu r uuu r uuu r是一对相反向量.④1OA OA -uuu r uu r 与1OC OC -uuu r uuu r是一对相反向量;A .1个B .2个C .3个D .4个【知识点】相反向量的定义,向量的加减法. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】画图,利用向量的运算可知②是相等向量,①③④是相反向量. 【思路点拨】数形结合,利用图形和平行四边形法则进行运算. 【答案】C . 探究型 多维突破9.在正方体1111D C B A ABCD -中,下列各式运算结果为向量1AC uuu r的有( ). ①1()AB BC CC ++uu u r uu u r uuu r ;②11111()AA A D D C ++uuu r uuuu r uuuu r ; ③111()AB BB B C ++uu u r uuu r uuu u r ;④11111()AA A B B C ++uuu r uuu u r uuu u r .A .1个B .2个C .3个D .4个【知识点】空间几何体中向量的加法运算. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】①1()AB BC CC ++uu u r uu u r uuu r 11AC CC AC =+=uuu r uuu r uuu r;②11111()AA A D D C ++uuu r uuuu r uuuu r 1111AD D C AC =+=uuu r uuuu r uuu r ;③111()AB BB B C ++uu u r uuu r uuu u r 1111AB B C AC =+=uuu r uuu u r uuu r ;④11111()AA A B B C ++uuu r uuu u r uuu u r 1111AB B C AC =+=uuu r uuu u r uuu r .【思路点拨】利用加法三角形法则和结合律.【答案】D .10.已知矩形ABCD ,P 为平面ABCD 外一点,M ,N 分别为BC ,PD 的中点,若AB a =uu u r r ,AD b =uuu r r ,AP c =uu u r r ,则MN =uuu r ________(用a r ,b r ,c r 表示). 【知识点】空间几何体中向量的加减运算.【数学思想】数形结合思想. 【解题过程】=MN MC CD DN ++=uuu r uu u r uuu r 1122BC BA DP ++uu u r uu r uu u r 11()22AD AB AP AD =-+-=uuu r uu u r uu u r uuu r 12AB AP -+uu u r uu u r 12a c =-+r r . 【思路点拨】利用中点性质,将向量用已知向量表示. 【答案】12a c -+r r . 自助餐1.下列说法正确的是( )A .向量AB uu u r 与BA uu r 的长度相等B .将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则他们的终点构成一个圆C .空间向量就是空间中的一条有向线段D .不相等的两个空间向量的模必不相等【知识点】空间向量的概念.【数学思想】转化思想. 【解题过程】向量AB uu u r 与BA uu r 的长度都是线段AB 的长度,A 正确;将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则他们的终点构成一个球面,B 错误;有向线段只是用来表示空间向量,两者并不相同,C 错误;不相等的两个空间向量的模可能相等,D 错误.【思路点拨】熟悉空间向量的概念.【答案】A .2.在平行六面体1111D C B A ABCD -中,试用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r 表示向量1BD uuu r .【知识点】空间几何体中向量的加法和减法运算.【数学思想】数形结合思想【解题过程】1111()BD AD AB AB AD AA AB AD AA =-=-++=-++uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r .【思路点拨】利用平移使所有向量的起点都为A 点,从而可使用三角形法则.【答案】11BD AB AD AA =-++uuu r uu u r uuu r uuu r .3.在长方体1111D C B A ABCD -中,设AB a =uu u r r ,AD b =uuu r r ,1AA c =uuu r r ,则||a b c ++r r r 与||a b c --r r r 的大小关系为( )A .>B . <C .=D .不能确定【知识点】向量的加减法,向量的模.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】1||||a b c AC ++=r r r uuu r ,1||||a b c D B --=r r r uuu r ,由长方体的对角线长度相等,可得||a b c ++r r r =||a b c --r r r .【思路点拨】画图,合理运算,由长方体的几何性质可得.【答案】C . 4.已知长方体1111D C B A ABCD -,1AD AB A A +-=uuu r uu u r uuu r ________ .【知识点】空间几何体中向量的加减法运算.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】1AD AB A A +-=uuu r uu u r uuu r 1AD AB AA ++=uuu r uu u r uuu r 1AC uuu r .【思路点拨】掌握加法的三角形法则.【答案】1AC uuu r .5.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,求证:四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】相等向量的应用.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由题意,可得EF 是ABC ∆的中位线,∴2EF AC =uu u r uuu r ,同理有2HG AC =uuu r uuu r ,∴EF HG =uu u r uuu r ,即HG EF //,故四边形EFGH 是平行四边形.【思路点拨】利用中位线的性质,得到两个向量相等.【答案】见解题过程.6.在长方体1111D C B A ABCD -中,下列关于1AC uuu r 的表达式错误的是( )A .11111AA AB A D ++uuu r uuu u r uuuu rB .111AB DD DC ++uu u r uuur uuuu r C .111AD CC D C ++uuu r uuu r uuuu r D .111AB B C CC ++uu u r uuu u r uuu r【知识点】空间几何体中向量的加法运算.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】111AB DD D C ++uu u r uuur uuuu r 111()AB DD D C =++=uu u r uuur uuuu r 111AB DC AB AB AC +=+≠uu u r uuur uu u r uuu r uuu r .【思路点拨】考虑加法结合律,结合图形得到答案.【答案】B .。

人教版高中数学选修2-1导学案:第三章第一节空间向量的数乘运算第一课时

人教版高中数学选修2-1导学案:第三章第一节空间向量的数乘运算第一课时

第三章第一节空间向量的数乘运算第一课时设计者:曾刚 审核者: 执教: 使用时间:学习目标1.掌握解空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简;2. 了解共线向量定理及它们的推论;3. 能用两个空间向量共线的充要条件判断两个空间向量共线;4. 能用共线向量定理解决简单的立体几何中的问题.________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 请你试试化简以下式子: (1) 5(32a b -r r )+4(23b a -r r );⑵ ()()63a b c a b c -+--+-r r r r r r .问题2. 在平面上有两个向量,a b r r , 若b r 是非零向量,则a r 与b r 平行的充要条件是什么?问题3. 空间任意两个向量有几种位置关系?如何判定它们的位置关系? 【思维导航】(1)类比共线的两个平面向量对空间任意两个向量,a b r r (0b ≠r r ), //a b r r 的充要条件是什么? (2)两个向量,a b r r 共线向量的充要条件中需要注意些什么?【技能提炼】 1. 已知直线AB ,点O 是直线AB 外一点,若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,且x +y =1,试判断A,B,P 三点是否共线?【变式】1.已知A,B,P 三点共线,点O 是直线AB 外一点,若12OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r ,那么t =*2.如图,已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′,点E 在AC ′上,且AE ∶EC ′=1∶2,点F ,G 分别是B ′D ′和BD ′的中点,求下列各式中的x ,y ,z 的值.(1)AE →=xAA ′→+yAB →+zAD →;(2)BF →=xBB ′→+yBA →+zBC →;(3)GF →=xBB ′→+yBA →+zBC →.【变式1】已知长方体''''ABCD A B C D -,M 是对角线AC '中点,化简下列表达式: ⑴ 'AA CB -u u u r u u u r ; ⑵ '''''AB B C C D ++u u u u r u u u u r u u u u r ;⑶ '111222AD AB A A +-u u u r u u u r u u u r【变式2】如图,已知,,A B C 不共线,从平面ABC 外任一点O ,作出点,,,P Q R S ,使得: ⑴22OP OA AB AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⑵32OQ OA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ⑶32OR OA AB AC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ⑷23OS OA AB AC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r .【思考】类比空间向量与平面向量,你能得到在空间向量的化简运算中的异同点吗?在空间向量中的化简运算中要注意些什么?教师问题创生学生问题发现变式反馈1.下列说法正确的是( ) A. 向量a r 与非零向量b r 共线,b r 与c r 共线,则a r 与c r 共线;B. 任意两个相等向量不一定是共线向量;C. 任意两个共线向量相等;D. 若向量a r 与b r 共线,则a b λ=r r .*2.设M 是△ABC 的重心,记a =BC →,b =CA →,c =AB →,a +b +c =0,则AM →为( )A.b -c 2B.c -b 2C.b -c 3D.c -b 3*3. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++r r r r r r ,0a ≠r r ,若//a b r r ,求实数.x4. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -,M 是AC 与BD 交点,若',,AB a AD b AA c ===u u u r u u u r r u u u r r r ,则与'B M u u u u r 相等的向量是( )A. 1122a b c -++r r r ;B. 1122a b c ++r r r ;C. 1122a b c -+r r r ;D. 1122a b c --+r r r。

人教版高中数学选修2-1导学案第三章第一节空间向量的数量积

人教版高中数学选修2-1导学案第三章第一节空间向量的数量积

第三章第一节空间向量的数量积设计者:曾刚 审核者: 执教: 使用时间:学习目标1.理解空间向量夹角和模的概念及表示方法;2. 能用数量积判断向量的垂直;3. 掌握两个空间向量的数量积的概念及其表示方法,并能利用两个空间向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 什么是平面向量a r 与b r 的数量积? 你能用数量积解决什么问题?问题2. 空间向量的数量积是什么?它和平面向量的联系和区别是什么?问题3. 类比平面向量数量积的几何意义和解决的问题,你能得出空间向量的几何意义和运算律是什么?你能解决空间中哪些几何问题?【试试】(1) 范围: ,a b ≤<>≤r r ,a b 〈〉r r =0时,a b r r 与 ; ,a b 〈〉r r =π时,a b r r 与 (2),,a b b a <>=<>r r r r 成立吗? ⑶,a b <>=r r ,则称a r 与b r 互相垂直,记作 .(4)已知向量,a b r r ,则 叫做,a b r r 的数量积,记作a b ⋅r r ,即a b ⋅=r r .【反思】(1)两个空间向量的数量积是数量还是向量? (2)0a •=r r (选0还是0r )(3) 空间向量数量积的性质:①设单位向量e r ,则||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r .②a b a b ⊥⇔⋅=r r r r .③a a ⋅=r r = .(4) )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r (吗?举例说明.(5) 若a b a c ⋅=⋅r r r r ,则b c =r r 吗?举例说明.(6) 若0a b ⋅=r r ,则00a b ==r r r r 或吗?为什么?【技能提炼】1. 用向量方法证明:在平面上的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.【反思】你能得出什么结论或方法吗?【变式】用向量方法证明:已知:,m n 是平面α内的两条相交直线,直线l 与平面α的交点为B ,且,l m l n ⊥⊥.求证:l α⊥.2.如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为( ) A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°教师问题创生学生问题发现变式反馈1.下列命题中: ①若0a b •=r r ,则a r ,b r 中至少一个为0r ②若a r 0≠r 且a b a c •=•r r r r ,则b c =r r ③()()a b c a b c ••=••r r r r r r ④22(32)(32)94a b a b a b +•-=-r r r r r r 正确有个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2. 已知向量,a b u u r u u r 满足1a =r ,2b =r ,3a b +=r r ,则a b -=r r ____.3.222,,2a b a b ==⋅=-r r r r 已知, 则a b r r 与的夹角大小为_____.4. 如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠='DAA ∠=60°,求'AC 的长.。

人教版高中数学选修2-1空间向量及其运算导学案

人教版高中数学选修2-1空间向量及其运算导学案

人教版高中数学选修2-1空间向量及其运算导学案3.1.1 空间向量及其运算【使用说明及学法指导】1.先自学课本,理解概念,完成导学提纲;2.小组合作,动手实践。

【学习目标】1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法;2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;一、自主学习1.预习教材P 84~ P 86, 解决下列问题复习1:平面向量基本概念:具有和的量叫向量,叫向量的模(或长度);叫零向量,记着;叫单位向量. 叫相反向量, a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有,,和共三种方法.复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算:1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个量,记作,其长度和方向规定如下:(1)|λa |= . (2)当λ>0时,λa 与b ;当λ<0时,λa 与b ;当λ=0时,λa = .3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗?加法交换律:a +b =b +a加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c )数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb 2.导学提纲1.空间向量中的零向量,单位向量,相等向量分别如何表示:__________、_________、_____________.2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-.a b3.点C 在线段AB 上,且52AC CB =,则AC = AB , BC = AB .4.知识反思:可以发现平面向量和空间向量存在怎样的位置关系?5.知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”,空间的平移包含平面的平移.二、典型例题例1、(1)给出下列命题:①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量a 、b 满足|a |=|b |,则a =b ;③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,必有AC=11C A ;④若空间向量m 、n 、p 满足m =n ,n =p ,则m =p ;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中假命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4(2)化简下列各式:⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.⑸ OA OC BO CO +++; ⑹ AB AD DC --;⑺ NQ QP MN MP ++-.例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -(如图),化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:AB BC +⑴;'AB AD AA ++⑵;1'2AB AD CC ++⑶ 1(')2AB AD AA ++⑷.变式:在上图中,用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .例3.在四面体ABCD 中,M 为BC 的中点,Q 为△BCD 的重心,设AB=b AC=c AD=d ,试用b ,c ,d 表示向量BD ,BC 、CD ,BM ,DM 和AQ三、当堂练习1. 下列说法中正确的是()A. 若∣a ∣=∣b ∣,则a ,b 的长度相同,方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量,则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中,一定有AB AD AC +=.2. 长方体''''ABCD A B C D -中,化简'''''AA A B A D ++=3. 已知向量a ,b 是两个非零向量,00,a b 是与a ,b 同方向的单位向量,那么下列各式正确的是()A. 00a b =B. 00a b =或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中,若AC AB AD =+,则四边形是()A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是()A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量6.在三棱柱ABC-A'B'C'中,M,N 分别为BC ,B'C'的中点,化简下列式子:⑴ AM + BN ⑵'A N -'MC + 'BB四、课堂小结1.知识:2.数学思想、方法:3.能力:五、课后巩固1.完成书86页练习2.课本第97页A组1题。

高二数学(人教A版)选修2-1导学案:3. 1.3空间向量的数量积

高二数学(人教A版)选修2-1导学案:3. 1.3空间向量的数量积

编号:gswhsxxx 2—1—03-03文华高中高二数学选修2-13. 1.3.《空间向量的数量积》教学目标1、能说出空间向量夹角和模的概念及表示方法;2、会运用两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。

3、激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神.教学重、难点空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

学习方法由平面向量类比到空间向量的思想学习过程一、知识衔接:复习:空间向量基本定理及其推论;二、新课导学:1、自主学习(1).空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量,a b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则------____叫做向量a 与b 的夹角,记作,a b <>;且规定0,a b π≤<>≤,显然有,,a b b a <>=<>; 若,2a b π<>=,则称________,记作:____;(2).向量的模:设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做______,记作:||a ;(3).向量的数量积:已知向量,a b ,则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积,记作___,即________.已知向量AB a =和轴l ,e 是l 上与l 同方向的单位向量,作点A 在l 上的射影A ',作点B 在l 上的射影B ',则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影;可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅.(4).空间向量数量积的性质:1.________2.________3.________(5).空间向量数量积运算律:1.________2. ________ (交换律).3.________ (分配律).三、合作探究:1、已知空间四边形ABCD 中,AB CD ⊥,AC BD ⊥,求证:AD BC ⊥.A CB A ' B ' e2、在空间四边形OABC 中,8OA =,6AB =,4AC =,5BC =,45OAC ∠=,60OAB ∠=,求OA 与BC 的夹角的余弦值。

3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)

3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)

空间向量及其运算( 一 )教课目标:1.理解空间向量的观点,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.2.用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..教课要点:空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律.教课难点:用向量解决立几问题.讲课种类:新讲课 .课时安排: 1 课时 .教具:多媒体、实物投影仪.教课过程:一、复习引入:1.向量的观点(1)向量的基本因素:大小和方向 .(2) 向量的表示:几何表示法uuur r r rAB ,a;坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度:即向量的大小,记作| a |.(4)特别的向量:零向量 a =0|a|= 0.单位向量 a0为单位向量| a0|=1.(5)相等的向量:大小相等,方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2(6)平行向量 ( 共线向量 ) :方向同样或相反的向量,称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ,平行向量总能够平移到同向来线上,故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数目(内积)及其各运算的坐标表示和性质运算种类几何方法坐标方法运算性质向a b b a量1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c)的2.三角形法例( x1x2 , y1y2 )加uuur uuur uuur法AB BC AC向a b a( b)量a b uuur uuur的三角形法例( x1x2 , y1y2 )AB BA减uuur uuur uuur法OB OA AB向 1. a 是一个向量,知足:量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y)( a) ()a的向 ;()a a a 乘<0 时, a 与a异法向 ;( a b)a b=0 时 , a =0.a ∥b a ba ?b b ? a向 a ? b 是一个数( a) ? b a ? (b)(a ?b)量 1. a 0或b0 时,的a? b =0 a ?b( a b) ? c a ? c b ? c数 2. a 0且b0 时,x1 x2y1 y2量 a ? b | a || b | cos(a,b) a 2 | a |2| a |x2y2积| a ? b | | a || b |3.重要定理、公式:(1)平面向量基本定理e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么,关于这个平面内任一直量,有且仅有一对实数 1 ,2,使a1e1 2 e2(2)两个向量平行的充要条件a ∥b a =λb x1 y2x2 y10 .(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b a ·b=O x1 x2y1 y20 .(4)线段的定比分点公式设点 P分有向线段uuur uuur所成的比为λ,即PP=λ PP,则12uuur1uuur1uuur( 线段的定比分点的向量公式 ) OP =OP +OP1112x x1x2,1( 线段定比分点的坐标公式 )y y1y2. 1当λ=1时,得中点公式:uuur1uuur uuur x x1x2 ,2OP =2( OP1+ OP2)或y1y2y.2(5)平移公式设点 P( x, y) 按向量 a(h, k) 平移后获得点uuur uuur x x h, P (x , y ) ,则 OP = OP+ a或y,y k.曲线 y f (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数分析式为:y k f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理:a b c2R. sin A sin B sin C余弦定理: a2b2c22bc cos A cos A b2 c 2a22bcb2 c 2a22ac cos B cos B c2 a 2b22cac2a2b22ab cosC cosC a 2b2c2.2ab二、解说新课:1.空间向量的观点:在空间,我们把拥有大小和方向的量叫做向量.注:⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2.空间向量的运算定义:与平面向量运算同样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下(如图)uuur uuur uuur r vOB OA AB a bD'C'CbA'B'a aB bb D CaO AA Buuur uuur uuur r rBA OA OB a buuur rR)OP a(运算律:⑴加法互换律: a b b a⑵加法联合律:( a b ) c a (b c)⑶数乘分派律:( a b)a b3.平行六面体:平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体, 并记作:ABCD - A B C D .它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱 .三、解说典范:例 1.已知平行六面体 ABCD - A B C D 化简以下向量表达式,标出化简结果的向量.uuur uuur uuur uuur uuur ⑴ AB BC ;⑵ AB AD AA ;uuur uuur1 uuuur1 uuur uuur uuurD'C'⑶AB ADCC;⑷3( AB ADAA).2A'B'M解:如图:uuur uuur uuur ⑴ ABBC AC ;uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⑵ ABADAA =AC AA AC ;GDCABuuur uuur1 uuuuruuur uuuur uuuur⑶设 M 是线段 CC 的中点,则 ABADCCACCMAM ;2⑷设 G 是线段 AC 的三等份点,则1 uuur uuur uuur1 uuuuruuur3 (ABADAA )ACAG .3uuur uuuur uuuur uuur向量 AC, AC , AM , AG 以下图 :例 2 已知空间四边形ABCD ,连接 AC, BD ,设 M ,G 分别是 BC ,CD 的中点,化简以下各表uuur uuur uuur达式,并标出化简结果向量:(1) ABBCCD ;uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur(2) AB ( BD BC) ;( 3) AG (AB AC).A2 2解:如图, uuur uuur uuur uuur uuuruuur(1) AB BC CD AC CD AD ;uuur uuur uuur uuur uuur uuurB(2) AB 1 (BD BC ) AB 1 BC 1 BDDuuur 2uuuur uuuur uuur 2 2MGAB BM MG AG ;uuur 1 uuuruuur uuur uuuur uuuur C(3) AG ( ABAC) AG AM MG .2四、讲堂练习 :1.如图,在空间四边形ABCD 中, E, F 分别是 AD 与 BC 的中点,uuur1 uuur uuur求证: EF(AB DC).21 uuur1 uuuruuur uuur uuur uuuruuur证明: EF ED DC CF2 ADDC2CBA1 uuur uuur uuur1 uuur2( ABBD )DCCB2EBDFC1uuur uuur1uuur uuur2AB DC2(CB BD )1 uuur uuur1uuur2AB DC2CD1uuur uuur2( AB DC )r r r r r r r r r r r r r rr2.已知2x3y3a b4c ,3x y8a5b c ,把向量 x, y 用向量 a,b , c 表示.r r r r r r r r r r解 : ∵2x 3y3a b4c, 3x y8a5b cr r r r r r r r∴ x3a2b c , y a b2c uuur r uuur r uuur r3 .如图,在平行六面体ABCD ABCD 中,设AB a , AD b, AA c , E, F 分别是AD , BD 中点,uuuur uuur D' r r r;C'( 1)用向量a, b,c表示D B, EFuuur uuur uuur uuuur uuuur ( 2 )化简:AB BB BC C D2DE;uuuur uuuur uuuur uuur r r r 解 : ( 1)D B D A A B B Bb a cuuur uuur uuur uuur1 uuur r1 uuurEF EA AB BF D A a BDr 2r21r r 1 r1r r ( b c) a( a b )(a c ) 222A'B'EDCFA B五、小结:空间向量的有关的观点及空间向量的表示方法;平行六面体的观点;向量加法、减法和数乘运算 .六、课后作业:如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点,G 是△BCD 的重心.求证:uuur 1 uuur uuur uuurAG(AB AC AD) .3A七、板书设计(略).八、课后记:BG DC3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)。

人教版高中数学选修2-1导学案第3章第1节空间向量的数乘运算第2课时

人教版高中数学选修2-1导学案第3章第1节空间向量的数乘运算第2课时

第三章第一节空间向量的数乘运算第二课时设计者: 审核者: 执教: 使用时间:学习目标1.了解共面向量定理及它的推论;2. 能用共面向量定理解决简单的立体几何中的问题.________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 平面向量的基本定理是什么?问题2. 在平面中,两个平面向量共面应该满足什么条件?问题3. 空间任意两个向量不共线的两个向量,a b有怎样的位置关系?空间三个向量又有怎样的位置关系? 【思维导航】(1)共面向量是什么?(2)三个空间向量共面的充要条件是什么?你能证明它吗?问题4.如图,l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线,对空间的任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是什么?你能证明吗?【试试】若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式111236OP OA OB OC =++,则点P 与 A,B,C 共面吗?【反思】若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP xOA yOB zOC =++,且点P与 A,B,C 共面,则x y z ++= .aPO【技能提炼】1. 下列等式中,使M ,A ,B , C 四点共面的个数是( )①;OM OA OB OC =-- ②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++= ④0OM OA OB OC +++= . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【变式】1.已知A,B,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点,若向量()17,53OP OA OB OC R λλ=++∈则P,A,B,C 四点共面的条件是λ=*2 .已知i 、j 、k 是不共面向量,a =i -2j +k ,b =-i +3j +2k ,c =-3i +7j ,证明这三个向量共面.【思考】空间向量的化简与平面向量的化简相类比,你能得出应该注意的问题吗?教师问题创生学生问题发现变式反馈1.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量1D A 、1D C 、11AC是( ) A. 有相同起点的向量 B .等长向量 C .共面向量 D .不共面向量. 2. 在下列命题中:①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行;②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面;③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面;④已知三向量a 、b 、c 不共面,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p =x a +y b +z c .其中正确命题的个数为 ( ). A .0 B.1 C. 2 D. 3*3.已知三个向量a ,b ,c 不共面,并且p =a +b -c ,q =2a -3b -5c ,r =-7a +18b +22c ,向量p ,q ,r 是否共面?。

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3.1.1 空间向量及其运算
【使用说明及学法指导】
1.先自学课本,理解概念,完成导学提纲;
2.小组合作,动手实践。

【学习目标】
1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法;
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.
【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题
【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;
一、自主学习
1.预习教材P 84~ P 86, 解决下列问题
复习1:平面向量基本概念:
具有 和 的量叫向量, 叫向量的模(或长度); 叫零向量,记着 ; 叫单位向量. 叫相反向量, a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 , ,和 共三种方法.
复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算:
1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
2. 实数与向量的积:
实数λ与向量a 的积是一个 量,记作 ,其长度和方向规定如下:
(1)|λa |= . (2)当λ>0时,λa 与b ;
当λ<0时,λa 与b ;
当λ=0时,λa = .
3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗?
加法交换律:a +b =b +a
加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c )
数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb 2.导学提纲
1.空间向量中的零向量,单位向量,相等向量分别如何表示:__________、_________、_____________.
2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-.
a b
3.点C 在线段AB 上,且52
AC CB =,则AC = AB , BC = AB .
4.知识反思:可以发现平面向量和空间向量存在怎样的位置关系?
5.知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”,空间的平移包含平面的平移.
二、典型例题
例1、(1)给出下列命题:
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆; ②若空间向量a 、b 满足|a |=|b |,则a =b ;
③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,必有AC=11C A ;
④若空间向量m 、n 、p 满足m =n ,n =p ,则m =p ;
⑤空间中任意两个单位向量必相等.
其中假命题的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
(2) 化简下列各式:
⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++
⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.
⑸ OA OC BO CO +++; ⑹ AB AD DC --;
⑺ NQ QP MN MP ++-.
例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -(如图),化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:
AB BC +⑴;
'AB AD AA ++⑵;
1'2
AB AD CC ++⑶ 1(')2
AB AD AA ++⑷.
变式:在上图中,用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .
例3.在四面体ABCD 中,M 为BC 的中点,Q 为△BCD 的重心,设AB=b AC=c AD=d ,试用b ,c ,d 表示向量BD ,BC 、CD ,BM ,DM 和AQ
三、当堂练习
1. 下列说法中正确的是( )
A. 若∣a ∣=∣b ∣,则a ,b 的长度相同,方向相反或相同;
B. 若a 与b 是相反向量,则∣a ∣=∣b ∣;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD 中,一定有AB AD AC +=.
2. 长方体''''ABCD A B C D -中,化简'''''AA A B A D ++=
3. 已知向量a ,b 是两个非零向量,00,a b 是与a ,b 同方向的单位向量,那么下列各式正确的是( )
A. 00a b =
B. 00a b =或00a b =-
C. 01a =
D. ∣0a ∣=∣0b ∣
4. 在四边形ABCD 中,若AC AB AD =+,则四边形是( )
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 平行四边形
5. 下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
6.在三棱柱ABC-A'B'C'中,M,N 分别为BC ,B'C'的中点,化简下列式子:
⑴ AM + BN ⑵'A N -'MC + 'BB
四、课堂小结
1.知识:
2.数学思想、方法:3.能力:
五、课后巩固
1.完成书86页练习
2.课本第97页A组1题。

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