人教版高中数学选修2-1 空间向量及其运算导学案

3.1.1 空间向量及其运算

【使用说明及学法指导】

1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；

2．小组合作，动手实践。

【学习目标】

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题

【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

一、自主学习

1.预习教材P 84～ P 86, 解决下列问题

复习1：平面向量基本概念：

具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法.

复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：

1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.

2. 实数与向量的积：

实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：

(1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与b ；

当λ＜0时，λa 与b ；

当λ＝0时，λa ＝ .

3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？

加法交换律：a ＋b ＝b ＋a

加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）

数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2.导学提纲

1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________.

2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-.

a b

3.点C 在线段AB 上，且52

AC CB =,则AC = AB , BC = AB .

4.知识反思：可以发现平面向量和空间向量存在怎样的位置关系？

5.知识拓展

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.

二、典型例题

例1、（1）给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；

③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有AC=11C A ;

④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；

⑤空间中任意两个单位向量必相等．

其中假命题的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

（2） 化简下列各式：

⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++

⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.

⑸ OA OC BO CO +++; ⑹ AB AD DC --;

⑺ NQ QP MN MP ++-.

例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

AB BC +⑴；

'AB AD AA ++⑵；

1'2

AB AD CC ++⑶ 1(')2

AB AD AA ++⑷．

变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .

例3.在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用b ，c ，d 表示向量BD ，BC 、CD ，BM ，DM 和AQ

三、当堂练习

1. 下列说法中正确的是（ ）

A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;

B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;

C. 空间向量的减法满足结合律;

D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.

2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++=

3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）

A. 00a b =

B. 00a b =或00a b =-

C. 01a =

D. ∣0a ∣=∣0b ∣

4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ ）

A. 矩形

B. 菱形

C. 正方形

D. 平行四边形

5. 下列说法正确的是（ ）

A. 零向量没有方向

B. 空间向量不可以平行移动

C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

6.在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子：

⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB

四、课堂小结

1．知识：

2．数学思想、方法：3．能力：

五、课后巩固

1.完成书86页练习

2.课本第97页A组1题