高三数学大一轮复习空间向量及其运算学案理新人教A
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案空间向量及其运算1
第六节空间向量及其运算空间向量及其应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．知识点一空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的长度或模．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c.其中{a，b，c}叫作空间的一个基底．个唯一的有序实数组{}3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.易误提醒(1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量．(2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．[自测练习]1．已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12cD.23a ＋23b －12c 解析：如图所示， MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC → ＝OB →－23OA →＋12(OC →－OB →)＝12OB →－23OA →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.答案：A知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a ·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23易误提醒 (1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算． 必备方法 用空间向量解决几何问题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }． (2)用a ，b ，c 表示相关向量． (3)通过运算完成证明或计算问题．[自测练习]3．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．解析：设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(1－0)2＋(0－y )2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y )2＋(1－0)2，解得y ＝－1.∴M (0，－1,0)．答案：(0，－1,0)考点一 空间向量的线性运算|1．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a ＋b ＋c C.12(a ＋b ＋c ) D.13(a ＋b ＋c )解析：如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：D2.如图所示，已知空间四边形O -ABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23ON →－23OM →＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →，又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 根据空间向量的基本定理，x ＝16，y ＝z ＝13.答案：16，13，13(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．(2)空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决．考点二 共线向量与共面向量定理的应用|已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 中边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．[证明] (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)任取一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形， 所以EG ，FH 被点M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →)＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB→＋OC →)．(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3 OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内．考点三 利用空间向量证明平行、垂直|如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：OD 1⊥平面AB 1C .[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)， ∴OD 1→＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM →＝(－1，－1，2)，∴OD 1→＝BM →.又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .∵OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)， ∵OD 1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0， OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴OD 1→⊥OB 1→， OD 1→⊥AC →，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴OD 1⊥平面AB 1C .(1)设直线l 1的方向向量为v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量为v 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(3)设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.2.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ； (2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭⎫1，12，2.(1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵C 1E 1→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，得n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .又∵CE ⊄平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.令a ＝－1，得m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .16.混淆空间“向量平行”与“向量同向”致错【典例】 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．[解析] 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2＋y －2＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6，时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，所以a ，b 两向量反向，不符合题意，舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. [答案] x ＝1，y ＝3[易误点评] 只考虑a ∥b ，忽视了同向导致求解多解．[防范措施] 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反之不成立，也就是说两向量同向是两向量平行的充分不必要条件．[跟踪练习] (2015·成都模拟)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2u －1,2λ)，若a ∥b ，则λ与u 的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：由a ∥b 验证当λ＝2，u ＝12时成立．答案：AA 组 考点能力演练1．(2015·深圳模拟)已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于( )A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 解析：MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝12(c －a －b )．答案：D2．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形解析：由AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，知该四边形一定不是平面图形，故选D.答案：D3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.657解析：由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.答案：D4．(2016·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66C ．－66D ．±6解析：OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66. 答案：C5．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，AB 的中点为M ，则|CM |等于( ) A.534 B.532 C.532D.132解析：设M (x ，y ，z )，则x ＝3＋12＝2，y ＝3＋02＝32，z ＝1＋52＝3，即M ⎝⎛⎭⎫2，32，3，|CM |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532.故选C. 答案：C6．(2016·合肥模拟)向量a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，则a ＋6b －8c ＝________. 解析：由a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，∴a ＋6b －8c ＝(28，－26，－7)． 答案：(28，－26，－7)7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________．解析：由于a 与2b －a 互相垂直，则a ·(2b －a )＝0，即2a·b －|a |2＝0，所以2|a ||b |cos a ，b －|a |2＝0，则42cosa ，b －4＝0，则cos a ，b＝22，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45°8．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos OA →，BC →的值为________．解析：OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos OA →，OC→－|OA →||OB→|·cos OA →，OB →．∵OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos OA →，BC →＝0.答案：09．(2016·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b＝AC →.(1)求a 和b 夹角的余弦值．(2)设|c |＝3，c ∥BC →，求c 的坐标．解：(1)因为AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝ 5.所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5＝－1010. (2)BC →＝(－2，－1,2)．设c ＝(x ，y ，z )，因为|c |＝3，c ∥BC →，所以x 2＋y 2＋z 2＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1，z ＝2，λ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，所以c ＝±(－2，－1,2)．10．(2016·太原模拟)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模．(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．(3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：如图，建立空间直角坐标系．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1，0,1)，所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝11030. (3)依题意，得C 1(0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0. 所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 所以A 1B →⊥C 1M →.所以A 1B ⊥C 1M .B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)解析：经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°，故选B.答案：B2．(2014·高考江西卷)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2,3,4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )解析：由对称性知质点经点E 反射到平面ABCD 的点E 1(8,6,0)处．在坐标平面xAy 中，直线AE 1的方程为y ＝34x ，与直线DC 的方程y ＝7联立得F ⎝⎛⎭⎫283，7，0.由两点间的距离公式得E 1F ＝53， ∵tan ∠E 2E 1F ＝tan ∠EAE 1＝125，∴E 2F ＝E 1F ·tan ∠E 2E 1F ＝4.∴E 2F 1＝12－4＝8.∴L 3L 4＝E 1E 2E 2E 3＝E 2F E 2F 1＝48＝12.故选C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.解析：∵e 1，e 2是单位向量，e 1·e 2＝12，∴cos 〈e 1，e 2〉＝12，又∵0°≤〈e 1，e 2〉≤180°，∴〈e 1，e 2〉＝60°.不妨把e 1，e 2放到空间直角坐标系O -xyz 的平面xOy 中，设e 1＝(1,0,0)，则e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，再设OB →＝b ＝(m ，n ，r )，由b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，得m ＝2，n ＝3，则b ＝(2，3，r )．而x e 1＋y e 2是平面xOy 上任一向量，由|b －(x e 1＋y e 2)|≥1知点B (2，3，r )到平面xOy 的距离为1，故可得r ＝1.则b ＝(2，3，1)，∴|b |＝2 2.又由|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1知x 0e 1＋y 0e 2＝(2，3，0)，解得x 0＝1，y 0＝2. 答案：1,2,22。
[精品]新人教版A版高考数学理科一轮复习7.6 空间向量及其运算优质课教案
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第六节空间向量及其运算空间向量及其应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．知识点一空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的长度或模．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R ，使a ＝λb .(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组{}x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中{a ，b ，c }叫作空间的一个基底．3．两个向量的数量积(1)非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .易误提醒 (1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量．(2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．(4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．[自测练习]1．已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12cD.23a ＋23b －12c 解析：如图所示，MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC → ＝OB →－23OA →＋12(OC →－OB →)＝12OB →－23OA →＋12OC → ＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k λ＋，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.答案：A知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).易误提醒(1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算．必备方法用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底{a，b，c}．(2)用a，b，c表示相关向量．(3)通过运算完成证明或计算问题．[自测练习]3．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M 在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．解析：设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)考点一 空间向量的线性运算|1．设三棱锥O ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( )A ．a ＋b －cB ．a ＋b ＋c C.12(a ＋b ＋c ) D.13(a ＋b ＋c )解析：如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：D2.如图所示，已知空间四边形O ABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB→＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23ON →－23OM → ＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →，又OG →＝xOA →＋yOB→＋zOC →， 根据空间向量的基本定理，x ＝16，y ＝z ＝13.答案：16，13，13(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．(2)空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决．考点二 共线向量与共面向量定理的应用|已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 中边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA→＋OB →＋OC →＋OD →)．[证明] (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH→＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)任取一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形， 所以EG ，FH 被点M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋OB →＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OC →＋OD →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明PA →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3 OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC→共面． (2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内．考点三 利用空间向量证明平行、垂直|如图所示的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：OD 1⊥平面AB 1C .[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，∴OD1→＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM →＝(－1，－1，2)， ∴OD 1→＝BM →.又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .∵OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)， ∵OD1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0， OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0， ∴OD 1→⊥OB 1→， OD 1→⊥AC →，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴OD 1⊥平面AB 1C .(1)设直线l 1的方向向量为v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量为v 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(3)设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.2.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ； (2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz ，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2.(1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵C 1E 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0,1)，∴⎩⎨⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，得n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .又∵CE ⊄平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)，∴⎩⎨⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.令a ＝－1，得m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .16.混淆空间“向量平行”与“向量同向”致错【典例】 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．[解析] 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2＋y －2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6，时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，所以a ，b 两向量反向，不符合题意，舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.[答案] x ＝1，y ＝3[易误点评] 只考虑a ∥b ，忽视了同向导致求解多解． [防范措施] 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反之不成立，也就是说两向量同向是两向量平行的充分不必要条件．[跟踪练习] (2015·成都模拟)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2u －1,2λ)，若a ∥b ，则λ与u 的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：由a ∥b 验证当λ＝2，u ＝12时成立．答案：AA 组 考点能力演练1．(2015·深圳模拟)已知三棱锥O ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于( )A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 解析：MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝12(c －a －b )． 答案：D2．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形解析：由AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，知该四边形一定不是平面图形，故选D.答案：D3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.657解析：由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.答案：D4．(2016·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66 C ．－66D ．± 6解析：OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66. 经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66.答案：C5．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，AB 的中点为M ，则|CM |等于( )A.534B.532C.532D.132解析：设M (x ，y ，z )，则x ＝3＋12＝2，y ＝3＋02＝32，z ＝1＋52＝3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，|CM |＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＝532.故选C.答案：C6．(2016·合肥模拟)向量a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，则a ＋6b －8c ＝________.解析：由a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，∴a ＋6b －8c ＝(28，－26，－7)．答案：(28，－26，－7)7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________．解析：由于a 与2b －a 互相垂直，则a ·(2b －a )＝0，即2a·b－|a |2＝0，所以2|a ||b a ，b －|a |2＝0，则42a ，b－4＝0，则a ，b＝22，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45°8．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则OA →，BC →的值为________．解析：OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC→OA →，OC→－|OA →||OB→OA →，OB →．∵OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，∴OA →·BC →＝0， 即OA →⊥BC →，∴OA →，BC →＝0.答案：09．(2016·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 夹角的余弦值． (2)设|c |＝3，c ∥BC→，求c 的坐标． 解：(1)因为AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)， 所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝ 5.所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5＝－1010.(2)BC →＝(－2，－1,2)．设c ＝(x ，y ，z )，因为|c |＝3，c ∥BC →， 所以x 2＋y 2＋z 2＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，z ＝2，λ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，所以c ＝±(－2，－1,2)．10．(2016·太原模拟)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模．(2)求cos 〈BA1→，CB 1→〉的值．(3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：如图，建立空间直角坐标系．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1，0,1)，所以|BN →|＝－2＋－2＋－2＝ 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA1→·CB 1→|BA1→||CB 1→|＝11030.(3)依题意，得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 所以A 1B →⊥C 1M →.所以A 1B ⊥C 1M .B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)解析：经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°，故选B.答案：B2．(2014·高考江西卷)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2,3,4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )解析：由对称性知质点经点E 反射到平面ABCD 的点E 1(8,6,0)处．在坐标平面xAy 中，直线AE 1的方程为y ＝34x ，与直线DC 的方程y ＝7联立得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫283，7，0.由两点间的距离公式得E 1F ＝53，∵tan ∠E 2E 1F ＝tan ∠EAE 1＝125，∴E 2F ＝E 1F ·tan∠E 2E 1F ＝4.∴E 2F 1＝12－4＝8.∴L 3L 4＝E 1E 2E 2E 3＝E 2F E 2F 1＝48＝12.故选C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.解析：∵e 1，e 2是单位向量，e 1·e 2＝12，∴cos 〈e 1，e 2〉＝12，又∵0°≤〈e 1，e 2〉≤180°，∴〈e 1，e 2〉＝60°.不妨把e 1，e 2放到空间直角坐标系O xyz 的平面xOy 中，设e 1＝(1,0,0)，则e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，0，再设OB →＝b ＝(m ，n ，r )，由b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，得m＝2，n ＝3，则b ＝(2，3，r )．而x e 1＋y e 2是平面xOy 上任一向量，由|b －(x e 1＋y e 2)|≥1知点B (2，3，r )到平面xOy 的距离为1，故可得r ＝1.则b ＝(2，3，1)，∴|b |＝2 2.又由|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1知x 0e 1＋y 0e 2＝(2，3，0)，解得x 0＝1，y 0＝2.答案：1,2,2 2。
新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：7.5 空间向量及其运算Word版含答案
7.5空间向量及其运算必备知识预案自诊知识梳理1.空间向量及其有关概念2.空间向量的数量积及空间向量的坐标运算(1)两个非零向量的数量积:①a·b=|a||b|cos<a,b>,特别地,零向量与任意向量的数量积为0;②若a与b都是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;③设a=(a1,a2,a3),则|a|2=a·a,|a|=√a·a=√a12+a22+a32.(2)空间向量的坐标运算:3.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:O 是直线l 上一点,在直线l 上取非零向量a ,则对于直线l 上任意一点P ,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λa . 把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量.(2)平面的法向量:直线l ⊥α平面,取直线l 的方向向量a ,称向量a 为平面α的法向量. (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一. 4.空间位置关系的向量表示1.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A ,B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线: (1)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ); (2)对空间任意一点O ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (t ∈R ); (3)对空间任意一点O ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (x+y=1). 2.证明空间四点共面的方法已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若满足向量关系式OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中x+y+z=1),则点P 与点A ,B ,C 共面. 3.确定平面的法向量的方法(1)直接法:观察是否有垂直于平面的向量,若有,则此向量就是法向量.(2)待定系数法:取平面内的两个不共线向量a ,b ,设平面的法向量为n =(x ,y ,z ),由{n ·a =0,n ·b =0,解方程组求得.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. ( ) (2)|a|-|b|=|a+b|是a ,b 共线的充要条件.( ) (3)空间中任意两非零向量a ,b 共面.( )(4)对于空间非零向量a ,b ,若a ·b<0,则a 与b 的夹角为钝角. ( )(5)对于非零向量b ,由a ·b=b ·c ,得a=c . ( ) 2.(2020北京朝阳检测)已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k ),若α∥β,则k 等于( )A.2B.-4C.4D.-23.在如图所示的坐标系中,ABCD-A 1B 1C 1D 1为棱长是1的正方体,给出下列结论:①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1); ②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1); ③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0); ④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.44.(2020山东烟台月考)若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为n =(-2,0,-4),则直线l 与平面α的位置关系为 .5.正四面体A-BCD 的棱长为2,E ,F 分别为BC ,AD 的中点,则EF 的长为 .关键能力学案突破考点空间向量的线性运算【例1】(1)如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的是( )A.-12a+12b+cB.12a+12b+c C.-12a-12b+cD.12a-12b+c(2)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( )A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1解题心得进行向量的线性运算,有以下几个关键点(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.对点训练1如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,M ,N ,P 分别是AA 1,BC ,C 1D 1的中点,试用a ,b ,c 表示以下各向量:(1)AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(3)MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .考点共线、共面向量定理的应用【例2】(1)已知a =(λ+1,0,2),b =(6,2μ-1,2λ),若a ∥b ,则λ与μ的值可以是( ) A.2,12B.-13,12C.-3,2D.2,2(2)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1,点M ,N 分别在AC 1和BC 上,且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤k ≤1).判断向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.解题心得共线、共面向量定理的类比对点训练2(1)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n=.(2)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ等于.考点空间向量数量积的应用【例3】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求证:AC1⊥BD;(3)求BD1与AC夹角的余弦值.解题心得空间向量数量积的应用(1)求夹角.设向量a,b所成的角为θ,则cosθ=a·b|a||b|,进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离).运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题.利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.对点训练3(1)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC 的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则直线l与直线QB1所成角的余弦值为()A.√33B.√105C.√54D.√32(2)已知空间向量a=(1,-λ,λ-1),b=(-λ,1-λ,λ-1)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是.考点利用空间向量证明平行、垂直【例4】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30°.求证:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.解题心得1.用向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.对点训练4如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.7.5 空间向量及其运算必备知识·预案自诊知识梳理1.互相平行或重合 同一个平面 存在唯一一个实数λ,使a =λb 存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =x a +y b2.(2)(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) (a 1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3) (λa 1,λa 2,λa 3) a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0考点自诊1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×2.C 因为α∥β,所以1-2=2-4=-2k ,所以k=4. 3.C 因为DD 1∥AA 1,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),故①正确;因为BC 1∥AD 1,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),故②正确;因为直线AD ⊥平面ABB 1A 1,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0).故③正确;因为点C 1的坐标为(1,1,1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面B 1CD 不垂直,故④错误. 4.l ⊥α 因为a =-12n ,所以l ⊥α.5.√2 |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2(EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12+22+12+2(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,所以|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,所以EF 的长为√2. 关键能力·学案突破例1(1)A (2)C (1)BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(b-a )=-12a +12b+c .故选A .(2)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗,故x=12,y=12.故选C .对点训练1解(1)∵P 是C 1D 1的中点,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c +12AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c +12b. (2)∵N 是BC 的中点,∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b+12c. (3)∵M 是AA 1的中点,∴MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+a+c+12b=12a+12b+c.又NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12c+a. ∴MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12b+c +a+12c =32a+12b+32c.例2(1)A ∵a ∥b ,∴b =k a (k ∈R ),即(6,2μ-1,2λ)=k (λ+1,0,2),∴{6=k (λ+1),2μ-1=0,2λ=2k ,解得{λ=2,μ=12或{λ=-3,μ=12.故选A .(2)解∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =k (C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k (C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -k AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -k (AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -k AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴由共面向量定理知向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.对点训练2(1)-3 (2)657 (1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-1,1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(m+1,n-2,-2),且A ,B ,C 三点共线,∴存在实数λ,使得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),∴{m +1=3λ,n -2=-λ,-2=λ,解得{λ=-2,m =-7,n =4.∴m+n=-3.(2)由题意,可设a =x b +y c ,故(2,-1,3)=x (-1,4,-2)+y (7,5,λ), 即{-x +7y =2,4x +5y =-1,-2x +λy =3,解得λ=657.例3(1)解设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则|a|=|b|=|c |=1,<a ,b>=<b ,c>=<c ,a >=60°,所以a ·b=b ·c=c ·a =12.因为AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+c ,所以|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b+b ·c+c ·a )=1+1+1+2×(12+12+12)=6. 所以|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,即AC 1的长为√6.(2)证明BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a ,又由(1)知AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+c ,所以AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b+c )·(b-a )=a ·b+b 2+b ·c-a 2-a ·b-a ·c =12+1+12-1-12−12=0,所以AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AC 1⊥BD.(3)解BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,所以|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(b+c-a )·(a+b )=b 2-a 2+a ·c+b ·c=1.所以cos <BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√66. 所以BD 1与AC 夹角的余弦值为√66.对点训练3(1)B (2)(2-√22,2+√22) (1)取C 1D 1的中点E ,则平面PQEM 是经过点M ,P ,Q 的平面,延长PQ ,交DC 延长线于点F ,则EF 是经过点M ,P ,Q 的平面与平面CDD 1C 1的交线l ,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则E 0,12,1,F 0,32,0,Q 12,1,0,B 1(1,1,1),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),QB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,0,1,设直线l 与直线QB 1所成角为θ,则cos θ=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||QB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√54=√105,故直线l 与直线QB 1所成角的余弦值为√105.(2)∵a 与b 的夹角为钝角,∴a ·b <0,且a 与b 不反向共线.由a ·b =-λ-λ(1-λ)+(λ-1)2<0,化为2λ2-4λ+1<0,解得2-√22<λ<2+√22,若a 与b 反向共线,则存在负实数k ,使得a =k b ,得到{1=-λk ,-λ=k (1-λ),λ-1=k (λ-1),此方程组无解,故实数λ的取值范围是2-√22,2+√22.例4证明以点C 为坐标原点,分别以CB ,CD ,CP 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.∵PC ⊥平面ABCD ,∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角.∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=2√3,PB=4.∴D (0,1,0),B (2√3,0,0),A (2√3,4,0),P (0,0,2),M (√32,0,32),∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,3,0),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,32). (1)设n =(x ,y ,z )为平面PAD 的一个法向量,由{DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{-y +2z =0,2√3x +3y =0. 令y=2,得n =(-√3,2,1).∵n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√3×√32+2×0+1×32=0,∴n ⊥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又CM ⊄平面PAD ,∴CM ∥平面PAD.(2)如图,取AP 的中点E ,连接BE ,则E (√3,2,1),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1).∵PB=AB ,∴BE ⊥PA.又BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1)·(2√3,3,0)=0,∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BE ⊥DA.又PA ∩DA=A ,∴BE ⊥平面PAD.又BE ⊂平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PAD.对点训练4证明由题意知AA 1,AB ,AC 两两垂直,以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2,则A (0,0,0),A 1(2,0,0),B (0,2,0),B 1(2,2,0),C (0,0,2),C 1(2,0,2),M (1,0,0),N (1,1,1).(1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又MN ⊄平面A 1B 1C 1,故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2).因为MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2),所以{n 1·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·B C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x 1+2y 1=0,x 1+2z 1=0, 令x 1=2,则平面MBC 1的一个法向量为n 1=(2,1,-1).同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2=(0,1,1).因为n 1·n 2=2×0+1×1+(-1)×1=0,所以n 1⊥n 2,所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C.。
新人教A版版高考数学一轮复习立体几何立体几何中的向量方法教学案理解析版
[考纲传真] 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．１．异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l１，l２的方向向量，则a与b的夹角〈a，b〉l１与l２所成的角θ范围0＜〈a，b〉＜π0<θ≤错误!关系cos〈a，b〉＝错误!cos θ＝|cos〈a，b〉|＝错误!２．直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝错误!.３．二面角（１）如图１，AB，CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈错误!，错误!〉．（２）如图２３，n１，n２分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n１，n２〉|，二面角的平面角大小是向量n１与n２的夹角（或其补角）．[常用结论]点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|错误!|＝错误!.[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．（）（２）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．（）（３）两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．（）（４）两异面直线夹角的范围是错误!，直线与平面所成角的范围是错误!，二面角的范围是[0，π]．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）√２．已知两平面的法向量分别为m＝（0,１,0），n＝（0,１,１），则两平面所成的二面角为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!πＣ．错误!或错误!π Ｄ．错误!或错误!πC [∵m＝（0,１,0），n＝（0,１,１），∴m·n＝１，|m|＝１，|n|＝错误!，∴cos〈m，n〉＝错误!＝错误!，∴〈m，n〉＝错误!.∴两平面所成的二面角为错误!或错误!π，故选Ｃ．]３．如图所示，在正方体ABCDA１B１C１D１中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B１M与D１N所成角的余弦值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A [以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设AB＝２，则N（１,0,0），D１（0,0,２），M（１,１,0），B１（２,２,２），∴错误!＝（—１，—１，—２），错误!＝（１,0，—２），∴错误!·错误!＝—１＋４＝３，|错误!|＝错误!，|错误!|＝错误!，∴cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!＞0，∴B１M与D１N所成角的余弦值为错误!.故选Ａ．]４．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝—错误!，则l与α所成的角为________．错误![设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝错误!，又θ∈错误!，∴θ＝错误!.]５．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．４５°[如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝１，则A（0,0,0），D（0,１,0），P（0,0,１），由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.∴错误!＝（0,１,0），错误!＝错误!分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈错误!，错误!〉＝４５°.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为４５°.]求异面直线所成的角１．已知直三棱柱ABCA１B１C１中，∠ABC＝１２0°，AB＝２，BC＝CC１＝１，则异面直线AB１与BC所成角的余弦值为（）１Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C [在平面ABC内过点B作AB的垂线，以B为原点，以该垂线，BA，BB１所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则A（0,２,0），B１（0,0,１），C错误!，C１错误!，错误!＝（0，—２,１），错误!＝错误!，cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!，故选Ｃ．]２．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝２，∠BAD＝60°.（１）求证：BD⊥平面PAC；（２）若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．[解] （１）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.（２）设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝２，所以BO＝１，AO＝CO＝错误!.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，—错误!，２），A（0，—错误!，0），B（１,0,0），C（0，错误!，0）．所以错误!＝（１，错误!，—２），错误!＝（0,２错误!，0）．设PB与AC所成角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!.即PB与AC所成角的余弦值为错误!.[规律方法] 用向量法求异面直线所成角的一般步骤１选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；２确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；３利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；４两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.求直线与平面所成的角【例１】（２0１8·合肥一模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．（１）求证：平面BDM∥平面EFC；（２）若DE＝２AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．[解] （１）连接AC，交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点，又M为AE的中点，∴MN∥EC.∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF，DE都垂直底面ABCD，∴BF∥DE.∵BF＝DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.（２）∵DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设AB＝２，则DE＝４，从而D（0,0,0），B（２,２,0），M（１,0,２），A（２,0,0），E（0,0,４），∴错误!＝（２,２,0），错误!＝（１,0,２），设平面BDM的法向量为n＝（x，y，z），则错误!得错误!令x＝２，则y＝—２，z＝—１，从而n＝（２，—２，—１）为平面BDM的一个法向量．∵错误!＝（—２,0,４），设直线AE与平面BDM所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，错误!〉|＝错误!＝错误!，∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为错误!.[规律方法] 利用向量法求线面角的方法１分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角或其补角；２通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.１１１１别为A１B１，BC的中点．（１）求异面直线BP与AC１所成角的余弦值；（２）求直线CC１与平面AQC１所成角的正弦值．[解] 如图，在正三棱柱ABCA１B１C１中，设AC，A１C１的中点分别为O，O，连接OB，OO１，则OB⊥OC，OO１⊥OC，OO１⊥OB，１如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB＝AA１＝２，所以A（0，—１,0），B（错误!，0,0），C （0,１,0），A１（0，—１,２），B１（错误!，0,２），C１（0,１,２）．（１）因为P为A１B１的中点，所以P错误!，从而错误!＝错误!，错误!＝（0,２,２），故|cos〈错误!，错误!〉|＝错误!＝错误!＝错误!.因此，异面直线BP与AC１所成角的余弦值为错误!.（２）因为Q为BC的中点，所以Q错误!，因此错误!＝错误!，错误!＝（0,２,２），错误!＝（0,0,２）．设n＝（x，y，z）为平面AQC１的法向量，则错误!即错误!不妨取n＝（错误!，—１,１）．设直线CC１与平面AQC１所成角为θ，则sin θ＝|cos〈错误!，n〉|＝错误!＝错误!＝错误!，所以直线CC１与平面AQC１所成角的正弦值为错误!.求二面角【例２】（２0１8·湖北二模）如图１，等腰直角三角形ABC的底边AB＝２，点D在线段AC上，DE⊥AB 于点E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图２）．图１图２（１）求证：PB⊥DE；（２）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为３0°，求平面PDE与平面PBC所成的锐二面角的正弦值．[解] （１）证明：∵DE⊥PE，DE⊥BE，PE∩BE＝E，∴DE⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，∴PB⊥DE.（２）由题知DE⊥PE，DE⊥EB，且PE⊥EB，∴DE，BE，PE两两互相垂直．分别以错误!，错误!，错误!的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Exyz.设|PE|＝a（0＜a＜１），则B（0,２—a,0），D（a,0,0），C（１,１—a,0），P（0,0，a），∴错误!＝（0,２—a，—a），错误!＝（１，—１,0）．设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z），则错误!∴错误!∴平面PBC的一个法向量为n＝（a，a,２—a），∵直线PD与平面PBC所成的角为３0°，且错误!＝（a,0，—a），∴sin ３0°＝错误!，∴a＝２（舍）或a＝错误!.∴平面PBC的一个法向量为n＝错误!.易知平面PDE的一个法向量为m＝（0,１,0），设所求的锐二面角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!，所以sin θ＝错误!，即平面PDE与平面PBC所成的锐二面角的正弦值为错误!.[规律方法] 利用向量计算二面角大小的常用方法１找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐钝二面角.２找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.得点D在平面ABC内的射影恰好落在边AB上．（１）求证：平面ACD⊥平面BCD；（２）当错误!＝２时，求二面角DACB的余弦值．[解] （１）证明：如图，设点D在平面ABC内的射影为点E，连接DE，则DE⊥平面ABC，所以DE⊥BC.因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AD.又AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BCD.（２）以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AD＝a，则AB＝２a，所以A（0，—２a,0），C（—a,0,0）．由（１）知AD⊥BD，又错误!＝２，所以∠DBA＝３0°，∠DAB＝60°，所以AE＝AD cos∠DAB＝错误!a，BE＝AB—AE＝错误!a，DE＝AD sin∠DAB＝错误!a，所以D错误!，所以错误!＝错误!，错误!＝（—a,２a,0）．设平面ACD的法向量为m＝（x，y，z），则错误!即错误!取y＝１，则x＝２，z＝—错误!，所以m＝错误!.因为平面ABC的一个法向量为n＝（0,0,１），所以cos〈m，n〉＝错误!＝错误!＝—错误!.所以二面角DACB的余弦值为错误!.１．（２0１8·全国卷Ⅱ）如图所示，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝２错误!，PA＝PB＝PC＝AC＝４，O为AC的中点．（１）证明：PO⊥平面ABC；（２）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为３0°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．[解] （１）证明：因为AP＝CP＝AC＝４，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝２错误!.连接OB.因为AB＝BC＝错误!AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝错误!AC＝２．由OP２＋OB２＝PB２知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.（２）如图，以O为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O（0,0,0），B（２,0,0），A（0，—２,0），C（0,２,0），P（0,0,２错误!），错误!＝（0,２,２错误!）．取平面PAC的一个法向量错误!＝（２,0,0）．设M（a,２—a,0）（0＜a≤２），则错误!＝（a,４—a,0）．设平面PAM的法向量为n＝（x，y，z）．由错误!·n＝0，错误!·n＝0得错误!可取n＝（错误!（a—４），错误!a，—a），所以cos〈错误!，n〉＝错误!.由已知可得|cos〈错误!，n〉|＝错误!，所以错误!＝错误!，解得a＝—４（舍去）或a＝错误!，所以n＝错误!.又错误!＝（0,２，—２错误!），所以cos〈错误!，n〉＝错误!.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为错误!.２．（２0１6·全国卷Ⅱ）如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝５，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝错误!，EF交BD于点H.将△DEF沿EF 折到△D′EF的位置，OD′＝错误!.（１）证明：D′H⊥平面ABCD；（２）求二面角BD′AC的正弦值．[解] （１）证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得错误!＝错误!，故AC∥EF.因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB＝５，AC＝6得DO＝BO＝错误!＝４．由EF∥AC得错误!＝错误!＝错误!.所以OH＝１，D′H＝DH＝３．于是D′H２＋OH２＝３２＋１２＝１0＝D′O２，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.（２）如图，以H为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，错误!的方向为y轴正方向，错误!的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则H（0,0,0），A（—３，—１,0），B（0，—５,0），C（３，—１,0），D′（0,0,３），错误!＝（３，—４,0），错误!＝（6,0,0），错误!＝（３,１,３）．设m＝（x１，y１，z１）是平面ABD′的法向量，则错误!即错误!所以可取m＝（４,３，—５）．设n＝（x２，y２，z２）是平面ACD′的法向量，则错误!即错误!所以可取n＝（0，—３,１）．于是cos〈m，n〉＝错误!＝错误!＝—错误!，sin〈m，n〉＝错误!.因此二面角BD′AC的正弦值是错误!.。
高三数学大一轮复习 8.6空间向量及其运算教案 理 新人教A版
§8.6空间向量及其运算2014高考会这样考 1.考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3.考查空间向量基本定理及其意义．复习备考要这样做 1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．(4)共面向量：平行于同一个平面的向量．2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.推论如图所示，点P在l上的充要条件是OP→＝OA→＋t a①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝OA→＋tAB→或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.(2)共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝__1__.(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3． 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ；③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )，a⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.[难点正本 疑点清源]1． 空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．比如：(1)定义式：a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉或cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |，用于求两个向量的数量积或夹角；(2)非零向量a ，b ，a⊥b ⇔a·b ＝0，用于证明两个向量的垂直关系；(3)|a |2＝a·a ，用于求距离等等． 2． 用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底{a ，b ，c }；(2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．1． 已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________．答案 －13解析 ∵a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)， ∴(a ＋b )·(a －b )＝－20－5＋12＝－13. 2． 下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC→ (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确．．．的所有命题的序号为__________．答案 ②③④解析 ①中四点恰好围成一封闭图形，正确； ②中当a 、b 同向时，应有|a |＋|b |＝|a ＋b |； ③中a 、b 所在直线可能重合；④中需满足x ＋y ＋z ＝1，才有P 、A 、B 、C 四点共面． 3． 同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是____________________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23解析 设与a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)同时垂直b 单位向量是c ＝(p ，q ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＋r 2＝1，2p ＋2q ＋r ＝0，4p ＋5q ＋3r ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝13，q ＝－23，r ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－13，q ＝23，r ＝－23，即同时垂直a ，b 的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23.4． 如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是 ( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →) ＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .5. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 与A 1D 、AC 都垂直 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B解析 设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1，1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC . 题型一 空间向量的线性运算例1三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.思维启迪：利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．解MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.探究提高用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．如图所示，ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若AE→＝12EC→，A1F→＝2FD→，若AB→＝b，AD→＝c，AA1→＝a，试用a，b，c表示EF→.解 如图，连接AF ，则EF →＝EA →＋AF →.由已知ABCD 是平行四边形， 故AC →＝AB →＋AD →＝b ＋c ， A 1D →＝A 1A →＋AD →＝－a ＋c .由已知，A 1F →＝2FD →，∴AF →＝AD →＋DF → ＝AD →－FD →＝AD →－13A 1D →＝c －13(c －a )＝13(a ＋2c )，又EA →＝－13AC →＝－13(b ＋c )，∴EF →＝EA →＋AF →＝－13(b ＋c )＋13(a ＋2c )＝13(a －b ＋c )． 题型二 共线定理、共面定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维启迪：对于(1)只要证出向量BD →与EH →共线即可；对于(2)只要证出EG→＝EF→＋EH→即可；对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量OM→可由向量OG→和OE→表示，再将OG→与OE→分别用向量OC→，OD→和向量OA→，OB→表示．证明(1)连接BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知EH→＝12BD→，同理FG→＝12BD→，所以EH→＝FG→，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG → ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋OB →＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OC →＋OD → ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 探究提高 在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a ＝λb 关系，即可判定两直线平行．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为BC边上的中点，求证：A 1B ∥平面AC 1D .证明 设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ， 则BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→ ＝a ＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ，AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ，BA 1→＝AC 1→－2AD →，∵A 1B ⊄平面AC 1D ，∴A 1B ∥平面AC 1D . 题型三 空间向量数量积的应用例3 已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标． 思维启迪：利用两个向量的数量积可以求向量的模和两个向量的夹角．解 (1)由题意可得：AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →| ＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin〈AB →，AC →〉＝32， ∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1，∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．探究提高 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算；(3)通过数量积可以求向量的模.如图所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值． 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.|AC1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a·c ＋b·c ＝1.∴cos〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC→|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.空间向量运算错误典例：(12分)如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ∶QA 1＝4∶1，设AB → ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示以下向量： (1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.易错分析 解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算，特别是减法运算理解不清，如把CA 1→误认为是AC →－AA 1→；另一个错误是向量的数乘表示不准，如把CQ →＝45CA 1→，误认为CQ →＝34CA 1→.规范解答解 如图连接AC ，AD 1. (1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→) ＝12(a ＋b ＋c )．[3分] (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→) ＝12(a ＋2b ＋c )．[6分] (3)AN →＝12(AC 1→＋AD 1→)＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)]＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→)＝12(a ＋2b ＋2c ) ＝12a ＋b ＋c .[9分] (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA 1→－AC →) ＝15AC →＋45AA 1→＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c .[12分] 温馨提醒 (1)空间向量的加减法运算和数乘是表示向量的基础；(2)空间任一向量用一组基底表示是唯一的；(3)空间向量共线和两直线平行是不同的. 方法与技巧1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题． 失误与防范1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b ＝b·a ，a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 成立，(a·b )·c ＝a·(b·c )不一定成立．2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则 ( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面 答案 D解析 OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．2． 已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是 ( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2 答案 A解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.3. 如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1,1,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，32D ．(1,1,2)答案 A解析 设PD ＝a (a >0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，a 2，∴DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，∵cos〈DP →，AE →〉＝33，∴a 22＝a2＋a 24·33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．4． 如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于 ( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144 答案 C解析 因为PC →＝PA →＋AB →＋BC →， 所以PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以|PC →|＝12.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 6． 若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________.答案 －2或255解析 由已知得89＝a·b |a||b |＝2－λ＋45＋λ2·9， ∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.7． 在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)、B (10，－1,6)、C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________． 答案 2解析 由题意知AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，可解得x ＝2.三、解答题(共22分)8． (10分)如图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B 、G 、N 三点共线．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B 、G 、N 三点共线．9． (12分)已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)．k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k的值为2或－52.方法二 由(2)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA→＋yMB →. 其中真命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 其中①③为真命题．2． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 答案 A解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z ) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 3. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB＝∠AOC ＝π3， 则cos 〈OA →，BC →〉的值为 ( )A ．0 B.12C.32D.22答案 A解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－12|a||b |＝0， ∴cos〈OA →，BC →〉＝0.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.答案 60°解析 由条件知(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2＋16a·b －15|b |2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a·b ＝0.两式相减，得46a·b ＝23|b |2，∴a·b ＝12|b |2. 代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |＝|b |.∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝12|b |2|b |2＝12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°.5. 如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，AB ⊥BC ， BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案 3－2cos θ解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ，即AD 的长为3－2cos θ.6． 已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝1＋t 2＋2t －12 ＝5⎝⎛⎭⎪⎫t －152＋95，∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值355. 三、解答题7． (13分)直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |. AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
高三数学一轮复习精品教案1：空间向量及其运算(理)教学设计
第6节空间向量及其运算和空间位置关系1．空间向量及其有关概念 语言描述共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b≠0)，a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 共面向量定理若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb空间向量 基本定理定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }使得p ＝x a ＋y b ＋z c推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对平面ABC 内任一点P 都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC 且x ＋y ＋z ＝12．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角 公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 231．共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量． 『试一试』1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ―→，OB ―→，OC ―→不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．『解析』对于①，“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．『答案』②③ 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中正确命题的个数是________．『解析』a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；据空间向量的意义知，a ，b 所在直线异面，则a ，b 必共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ，故④不正确．综上可知四个命题中正确的个数为0.『答案』01．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB ―→为直线l 的方向向量，与AB ―→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2．建立空间直角坐标系的原则：(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．『练一练』1．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标是(x,0，y )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是________．『解析』PA ＝(－x,1，－y )，AB ＝(－1，－1，－1)，AC ＝(2,0,1)，∵P A ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，即PA ·AB ＝x ＋y －1＝0，PA ·AC ＝2x ＋y ＝0， ∴x ＝－1，y ＝2，故P 点的坐标是(－1,0,2)． 『答案』(－1,0,2)2．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 『解析』∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 『答案』90°3．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．『解析』建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，12，则1A M ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，－1，DN ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，所以cos 〈1A M ，DN 〉＝1A M ·DN|1A M |·|DN |＝0，所以1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.『答案』90°考点一空间向量的线性运算1．在四面体O ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．『解析』OE ＝12(OD ＋OA )＝12⎣⎡⎦⎤12OC ＋OB＋OA＝12a ＋14b ＋14c . 『答案』12a ＋14b ＋14c2.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简1A O －12AB －12AD ＝________；(2)用AB ，AD ，1AA 表示1OC ，则1OC ＝________. 『解析』(1) 1A O －12AB －12AD ＝1A O －12(AB ＋AD )＝1A O －AO ＝1A O ＋OA ＝1A A . (2)OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )，∴1OC ＝OC ＋1CC ＝12(AB ＋AD )＋1AA＝12AB ＋12AD ＋1AA . 『答案』(1)1A A (2)12AB ＋12AD ＋1AA『备课札记』2题中条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA .试求x ，y ，z 的值. 『解』EO ＝ED ＋DO ＝－231DD ＋12(DA ＋DC )＝12AB －12AD －231AA ，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.考点二共线、共面向量定理的应用『典例』 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . 『证明』 (1)连结BG ， 则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ， 由共面向量定理知： E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ， 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .『备课札记』 『类题通法』1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确． 『针对训练』已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ＝13(OA ＋OB＋OC )．(1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 『解』(1)由OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ∴MA ，MB ，MC 共面． (2)由(1)知MA ，MB ，MC 共面，且共过同一点M ，∴四点M ，A ，B ，C 共面．从而点M 在平面ABC 内．考点三利用空间向量证明平行或垂直『典例』 (2014·汕头模拟)如图所示的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；『证明』 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，∴1OD ＝(－1，－1，2)． 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连结OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .『备课札记』 『类题通法』利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R)．l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.『针对训练』已知在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 是CC 1的中点，点F 为BD 1的中点．(1)证明AC 1∥平面BDE ； (2)证明平面BDE ⊥平面AA 1C 1C . 证明：(1)以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz ，则B (0,1,0)，D (1,0,0)，D 1(1,0,2)，F (12，12，1)， C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A (1,1,0)． 则BD ＝(1，－1,0)，DE ＝(－1,0,1)， 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·BD ＝x －y ＝0，n ·DE ＝－x ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故平面EBD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 又1AC ＝(－1，－1,2)，则1AC ·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0，所以1AC ⊥n ，即直线AC 1的方向向量与平面BDE 的一个法向量垂直， 又AC 1不在平面BDE 内，故AC 1∥平面BDE .(2)由(1)知平面BDE 的一个法向量n ＝(1,1,1)，又BD 为平面AA 1C 1C 的一个法向量且BD ＝(1，－1,0)．又BD ·n ＝(1，－1,0)·(1,1,1)＝0，所以BD ⊥n ，即两个平面的法向量互相垂直． 所以平面BDE ⊥平面AA 1C 1C .『课堂练通考点』1．在空间四边形ABCD 中，AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝________. 『解析』如图，令AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0 『答案』02．A ，B ，C ，D 是空间四点，有以下条件：①OD ＝OA ＋12OB ＋13OC ；②OD ＝12OA＋13OB ＋14OC ；③OD ＝12OA ＋13OB ＋15OC ；④OD ＝12OA ＋13OB ＋16OC .能使A ，B ，C ，D 四点一定共面的条件是________．(填序号)『解析』对于共面四点A ，B ，C ，D ，当能写成OD ＝x OA ＋y OB ＋z OC 时，应有x ＋y ＋z ＝1.经检验只有④满足．『答案』④3．(2014·上饶模拟)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |＝________.『解析』以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2.设M (x ，y ，z ) ∵点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32 ＝216a . 『答案』216a 4．在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC )＝________.『解析』依题意有AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋12×2BG ＝AB ＋BG ＝AG .『答案』AG5.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值． 『解』∵BC ＝AC －AB ， ∴OA ·BC ＝OA ·(AC －AB ) ＝OA ·AC －OA ·AB＝|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉－|OA ||AB |cos 〈OA ，AB 〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA ，BC 〉＝OA ·BC |OA ||BC |＝24－1628×5＝3－225.故OA 与BC 夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.。
高三数学大一轮复习空间向量及其运算学案理新人教A
学案45 空间向量及其运算导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．自主梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向______且模______的向量． (3)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a∥b 的充要条件是______________________________．推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝___________________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(4)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O 有，OP →＝__________________或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOM →，其中x ＋y ＋z ＝____.2．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________________________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________叫做向量a与b 的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b ______________，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知两个非零向量a ，b ，则______________________叫做向量a ，b 的数量积，记作________，即______________________________．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________________； ②交换律：a·b ＝________；③分配律：a·(b ＋c )＝________________.4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝____________________. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b (b ≠0)⇔____________⇔________，__________，________________， a ⊥b ⇔________⇔_________________________________ (a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝_____________________________________________________________，cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝_________________________________________________________ .若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则|AB →|＝__________________________________________________________________. 自我检测1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝322．(2011·青岛月考)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 3．(2011·广州调研)在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.4．有下列4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面； ②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面)．探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q 为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2(2011·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC ＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3(2011·泉州月考)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3 已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )则P 、A 、B 、C 四点共面．其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( )A ．既垂直于AC ，又垂直于MNB ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MN 都不垂直 3．(2011·绍兴月考)如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°4．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a 等于( )A ．16B ．4C ．2D ．85．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A. 2 B ．211 C ．3 2 D ．4 2 二、填空题(每小题4分，共12分) 6.(2011·信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝________.7．(2011·铜川模拟)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________．(填所有正确的序号) 8．(2011·丽水模拟)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________． 三、解答题(共38分) 9．(12分)如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.10．(12分)(2009·福建)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E 为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．11．(14分)(2011·汕头月考)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD 的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．学案45 空间向量及其运算自主梳理1．(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)存在实数λ，使得a ＝λb OA →＋tAB → (4)OM →＋xMA →＋yMB →1 2.x a ＋y b ＋z c 3.(1)①∠AOB 〈a ，b 〉 0≤〈a ，b 〉≤π 互相垂直 ②|a||b |cos 〈a ，b 〉 a·b a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉(2)①λ(a·b ) ②b·a ③a·b ＋a·c 4.(1)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (2)a ＝λb a 1＝λb 1 a 2＝λb 2 a 3＝λb 3 (λ∈R ) a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 (3)a 21＋a 22＋a 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12 自我检测1．C [∵a∥b ，∴2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.]2．A [B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－A 1B 1→＋A 1A →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AD →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .]3.97解析 ∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，∴|AC ′→|2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2AB →·AD →＋2AD →·AA ′→＋2AA ′→·AB →＝32＋42＋52＋2×3×4×cos 60°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝97，∴|AC ′→|＝97.4．B [①正确．②中若a 、b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M 、A 、B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．]5．共面解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →， 即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 课堂活动区例1 解题导引 欲证a ⊥b ，只要把a 、b 用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a·b ＝0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法．证明 如图所示.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .∵OM →＝12(OB →＋OC →)＝12(b ＋c )，ON →＝12(OA →＋OC →)＝12(a ＋c )，∴PM →＝PO →＋OM →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(b ＋c －a )， QN →＝QO →＋ON →＝－12b ＋12(a ＋c )＝12(a ＋c －b )．∴PM →·QN →＝14[c －(a －b )][c ＋(a －b )]＝14[c 2－(a －b )2]＝14(|OC →|2－|BA →|2) ∵|AB →|＝|OC →|，∴PM →·QN →＝0. 即PM →⊥QN →，故PM ⊥QN .变式迁移1 23解析 设{AB →，AC →，AD →}为空间一组基底， 则AF →＝12AB →＋12AC →，CE →＝12CA →＋12CD →＝12CA →＋12(AD →－AC →)＝－AC →＋12AD →.∴AF →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AC →＋12AD →＝－12AB →·AC →－12AC →2＋14AB →·AD →＋14AC →·AD →＝－14AB →2－12AC →2＋18AB →2＋18AC →2＝－12AC →2.又|AF →|＝|CE →|＝32|AC →|，∴|AF →|·|CE →|＝34|AC →|2.∴cos 〈AF →，CE →〉＝AF →·CE →|AF →||CE →|＝－12AC →234|AC →|2＝－23.∴异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为23.例2 解题导引如图所示，建立坐标系后，要证MN 平行于平面EBC ，只要证MN →的横坐标为0即可．(1)证明 如图所示，以BA →、BC →、BE →为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，D (1,1,0)，E (0,0,1)，B (0,0,0)，设AN AE ＝DM DB＝λ，则MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝λBD →＋DA →＋λAE → ＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．∵0<λ<1，∴λ－1≠0，λ≠0，且MN →的横坐标为0. ∴MN →平行于平面yBz ，即MN ∥平面EBC .(2)解 由(1)知|MN →|＝λ－12＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，MN 取得长度的最小值为22.变式迁移2 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE . 则点N 、E 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0、(0,0,1)．∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.又点A 、M 的坐标分别为(2，2，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线． ∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)得，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，B (0，2，0)，∴DF →＝(0，2，1)，BF →＝(2，0,1)． ∴AM →·DF →＝0，AM →·BF →＝0.∴AM →⊥DF →，AM →⊥BF →， 即AM ⊥DF ，AM ⊥BF . 又DF ∩BF ＝F ， ∴AM ⊥平面BDF .例3 解题导引 建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标．第(1)题证明FG →与平面BOE 的法向量n 垂直，即FG →·n ＝0即可．第(2)题设出点M 的坐标，利用MF →∥n 即可解出，然后检验解的合理性．(1)证明如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz .则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)． 由题意，得G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)， 所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0.又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE . (2)解 设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)．因为FM ⊥平面BOE ，所以FM →∥n ，因此x 0＝4，y 0＝－94，即点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫4，－94，0. 在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0，x －y <8.经检验，点M 的坐标满足上述不等式组．所以，在△AOB 内存在一点M ，使PM ⊥平面BOE . 由点M 的坐标，得点M 到OA ，OB 的距离分别为4，94.变式迁移3 解(1)以点B 为原点，以BA 、BC 、BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，B 1(0,0,3a )，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ＝22AC ＝2a ，∴A (2a,0,0)，C (0，2a,0)，C 1(0，2a,3a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，32a ，A 1(2a,0,3a )，∴BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，32a ，A 1C →＝(－2a ，2a ，－3a )，cos 〈BE →，A 1C →〉＝BE →·A 1C →|BE →||A 1C →|＝－72a 2112a ×13a＝－7143143.∴直线BE 与A 1C 所成的角的余弦值为7143143.(2)假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，并设AF →＝λAA 1→＝λ(0,0,3a )＝(0,0,3λa ) (0<λ<1)，∵D 为A 1C 1的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，3a ，B 1D →＝⎝⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，3a －(0,0,3a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，B 1F →＝B 1B →＋BA →＋AF →＝(0,0，－3a )＋(2a,0,0)＋(0,0,3λa )＝(2a,0,3a (λ－1))，CF →＝CA →＋AF →＝(2a ，－2a,0)＋(0,0,3λa )＝(2a ，－2a,3λa )．∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF →⊥B 1D →，CF →⊥B 1F →， ⎩⎪⎨⎪⎧CF →·B 1D →＝0CF →·B 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3λa ×0＝09λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝23或λ＝13∴存在点F 使CF ⊥面B 1DF ，且当λ＝13时，|AF →|＝13|AA 1→|＝a ，当λ＝23时，|AF →|＝23|AA 1→|＝2a .课后练习区1．C [②③④均不正确．]2．A [以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建系，设棱长为2，则M (0,0,1)，N (0,1,2)，O (1,1,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∴AC →＝(－2,2,0)，MN →＝(0,1,1)，OM →＝(－1，－1,1)， ∴OM →·AC →＝0，OM →·MN →＝0， ∴OM ⊥AC ，OM ⊥MN .] 3．B [如图建立坐标系，设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)， ∴EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22·8＝12.∵〈EF →，BC 1→〉∈[0°，180°] ∴EF 与BC 1所成的角是60°.]4．A [由PC →＝λ1PA →＋λ2PB →得：(2a －1，a ＋1,2)＝λ1(－1，－3,2)＋λ2(6，－1，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ1＋6λ2＝2a －1－3λ1－λ2＝a ＋1，2λ1＋4λ2＝2 解得a ＝16.]5．B [过A 、B 分别作AA 1⊥x 轴，BB 1⊥x 轴，垂足分别为A 1和B 1，则AA 1＝3，A 1B 1＝5，BB 1＝2， ∵AB →＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1B →， ∴AB →2＝AA 1→2＋A 1B 1→2＋B 1B →2＋2AA 1→·B 1B →＝32＋52＋22＋2×3×2×cos 60°＝44.∴|AB →|＝211.]6.12解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →， 又EF →＝ED →＋DC →＋CF →，∴2EF →＝AB →＋DC →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)，∴λ＝12.7．①②解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋(A 1A →＋DD 1→)＝B 1D 1→≠BD 1→. 8．(1,1,1)解析 设DP ＝y >0，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，y )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，y 2，DP →＝(0,0，y )，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，y 2.∴cos 〈DP →，AE →〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝12y 2y 2＋y 24＝y 8＋y 2＝33. 解得y ＝2，∴E (1,1,1)． 9．证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)， BD 1→＝(3,3,3)．(2分)所以BD 1→＝BE →＋BF →. 故BD 1→、BE →、BF →共面．又它们有公共点B ，∴E 、B 、F 、D 1四点共面．(6分)(2)设M (0,0，z )，则GM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－23，z .而BF →＝(0,3,2)，由题设，得GM →·BF →＝－23×3＋z ·2＝0，得z ＝1.(8分)∴M (0,0,1)，E (3,0,1)，∴ME →＝(3,0,0)． 又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，∴ME →·BB 1→＝0， ∴ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC .又∵BB 1∩BC ＝B ，∴ME ⊥平面BCC 1B 1.(12分) 10.解 (1)如图所示，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D —xyz . 依题意，得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0.(2分) ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1，AM →＝(－1,0,1)．∵cos 〈NE →，AM →〉＝NE →·AM →|NE →|·|AM →|＝－1252×2＝－1010，∴异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010. (6分)(2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN . ∵AN →＝(0,1,1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)， 又EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0，∴ES →＝EA →＋AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，λ－1，λ.(8分)由ES ⊥平面AMN ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0.(10分)故λ＝12，此时AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，|AS →|＝22.经检验，当AS ＝22时，ES ⊥平面AMN . 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时AS ＝22.(12分)11．(1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q ＋r －p )，(2分) ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q·p ＋r·p －p 2) ＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0. ∴MN ⊥AB又∵CD →＝AD →－AC →＝r －q ，∴MN →·CD →＝12(q ＋r －p )·(r －q ) ＝12(q ·r －q 2＋r 2－q ·r －p ·r ＋p ·q ) ＝12(a 2cos 60°－a 2＋a 2－a 2cos 60°－a 2cos 60°＋a 2cos 60°) ＝0，∴MN ⊥CD .(4分)(2)解 由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )， ∴|MN →|2＝MN →2＝14(q ＋r －p )2 ＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q·r －p·q －r·p )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22 ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长为22a .(9分) (3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )， MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q·p ＋r·q －12r·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－12a 2·cos 60° ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22.(12分) 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos θ即32a ·32a ·cos θ＝a 22.∴cos θ＝23，(13分)∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.(14分)（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算教案理含解析新人教A版
高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算教案理含解析新人教A版§8.6空间向量及其运算最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1.空间向量的有关概念及定理语言描述共线向量(平行向量)如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量共线向量定理两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝x b共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝x a＋y b空间向量分解定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝x a＋y b＋z c2.两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，通常规定0≤〈a ，b 〉≤π. 3.两条异面直线所成的角把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角. 4.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉； ②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a·a ，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 数乘向量λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)共线a∥b (b ≠0)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3(b 与三个坐标平面都不平行)垂直 a⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1.共线向量与共面向量相同吗？提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面.( √ )(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) (5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( × ) 题组二 教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________. 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2. 题组三 易错自纠4.在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3，2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直答案 B解析 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， ∴AB →＝－3CD →， ∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5.已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 答案 2 6 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0， ∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______. 答案 18解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面， ∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型一 空间向量的线性运算例1 如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)MP →＋NC 1→.解 (1)因为P 是C 1D 1的中点， 所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c . 思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点.用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案 12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 ∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. (2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( )A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c ) 答案 B解析 NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝12(a ＋b －c ). 题型二 共线定理、共面定理的应用例2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH . 证明 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面. (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线 空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB →且同过点PMP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1).(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1—→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→ ＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面. (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面， ∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内； 当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1. 题型三 空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点.(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值. (1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos60°＋a 2cos60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD .(2)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60° ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角.(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值. 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1， ∴cos〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1.已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A.(0,3，－6)B.(0,6，－20)C.(0,6，－6)D.(6,6，－6)答案 B解析 由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).2.在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3.已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32B.－2C.0D.32或－2 答案 B解析 当m ＝0时，a ＝(1,3，－1)，b ＝(2,0,0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m，解得m ＝－2. 4.在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为( ) A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(0,0，－3)答案 C解析 设P (0,0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2， 解得z ＝3.5.已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6B.2π3 C.π3D.π6答案 D解析 ∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1,1,2)， ∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A.3B.2C.1D.3－ 2 答案 D解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2， 故|BD →|＝3－ 2.7.已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________. 答案 －9解析 由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.8.已知a ＝(x ,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，则c ＝________. 答案 (3，－2,2) 解析 因为a ∥b ，所以x－2＝4y ＝1－1， 解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)， 又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0， 即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2).9.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________. 答案 平行解析 如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN →共面. 又VA ⊄平面PMN ， ∴VA ∥平面PMN .10.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝3A 1B 1—→2； ②A 1C →·(A 1B 1—→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________. 答案 ①②解析 ①中，(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝A 1A →2＋A 1D 1—→2＋A 1B 1—→2＝3A 1B 1—→2，故①正确；②中，A 1B 1—→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确.11.已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →).(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内. 解 (1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面.(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面. ∴点M 在平面ABC 内.12.已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2). (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)令AE →＝tAB →(t ∈R )， 所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB → ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25.13.(2018·本溪模拟)如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案 56解析 连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ， OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c . 又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 所以x ＝16，y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.14.A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定答案 C解析 ∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形.15.已知O (0,0,0)，A (1,2,1)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________. 答案 (1,1,2)解析 由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1,1,2).16.如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点.(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值.(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |， 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos〈AC ′→，CE →〉＝AC ′→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
高三数学大一轮复习 8.6空间向量及其运算教案 理 新人教A版
§8.6 空间向量及其运算2014高考会这样考 1.考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3.考查空间向量基本定理及其意义．复习备考要这样做 1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．1． 空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2． 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(2)共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝__1__.(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ；③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )，a⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.[难点正本 疑点清源]1． 空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．比如：(1)定义式：a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉或cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |，用于求两个向量的数量积或夹角；(2)非零向量a ，b ，a⊥b ⇔a·b ＝0，用于证明两个向量的垂直关系； (3)|a |2＝a·a ，用于求距离等等．2． 用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．1． 已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________．答案 －13解析 ∵a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)， ∴(a ＋b )·(a －b )＝－20－5＋12＝－13. 2． 下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确．．．的所有命题的序号为__________． 答案 ②③④解析 ①中四点恰好围成一封闭图形，正确； ②中当a 、b 同向时，应有|a |＋|b |＝|a ＋b |； ③中a 、b 所在直线可能重合；④中需满足x ＋y ＋z ＝1，才有P 、A 、B 、C 四点共面．3． 同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是____________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23解析 设与a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)同时垂直b 单位向量是c ＝(p ，q ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＋r 2＝1，2p ＋2q ＋r ＝0，4p ＋5q ＋3r ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝13，q ＝－23，r ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－13，q ＝23，r ＝－23，即同时垂直a ，b 的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23.4． 如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .5. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 与A 1D 、AC 都垂直 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B解析 设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1，1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .题型一 空间向量的线性运算例1 三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.思维启迪：利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可． 解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →. 解 如图，连接AF ，则EF →＝EA →＋AF →. 由已知ABCD 是平行四边形， 故AC →＝AB →＋AD →＝b ＋c ，A 1D →＝A 1A →＋AD →＝－a ＋c .由已知，A 1F →＝2FD →，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →－FD →＝AD →－13A 1D →＝c －13(c －a )＝13(a ＋2c )，又EA →＝－13AC →＝－13(b ＋c )，∴EF →＝EA →＋AF →＝－13(b ＋c )＋13(a ＋2c )＝13(a －b ＋c )． 题型二 共线定理、共面定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维启迪：对于(1)只要证出向量BD →与EH →共线即可；对于(2)只要证出EG →＝EF →＋EH →即可；对于(3)，易知四边形EFGH 为平行四边形，则点M 为线段EG 与FH 的中点，于是向量OM →可由向量OG →和OE →表示，再将OG →与OE →分别用向量OC →，OD →和向量OA →，OB →表示．证明 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形． 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋OB →＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OC →＋OD → ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 探究提高 在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a ＝λb 关系，即可判定两直线平行．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，求证：A 1B ∥平面AC 1D .证明 设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ， 则BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→ ＝a ＋c ， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ， AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ， BA 1→＝AC 1→－2AD →，∵A 1B ⊄平面AC 1D ，∴A 1B ∥平面AC 1D . 题型三 空间向量数量积的应用例3 已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．思维启迪：利用两个向量的数量积可以求向量的模和两个向量的夹角． 解 (1)由题意可得： AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1，∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．探究提高 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算；(3)通过数量积可以求向量的模.如图所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值． 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a·c ＋b·c ＝1.∴cos〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.空间向量运算错误典例：(12分)如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ∶QA 1＝4∶1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示以下向量： (1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.易错分析 解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算，特别是减法运算理解不清，如把CA 1→误认为是AC →－AA 1→；另一个错误是向量的数乘表示不准，如把CQ →＝45CA 1→，误认为CQ →＝34CA 1→.规范解答解 如图连接AC ，AD 1. (1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→) ＝12(a ＋b ＋c )．[3分] (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→)＝12(a ＋2b ＋c )．[6分] (3)AN →＝12(AC 1→＋AD 1→)＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)]＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→)＝12(a ＋2b ＋2c )＝12a ＋b ＋c .[9分] (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA 1→－AC →)＝15AC →＋45AA 1→＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c .[12分] 温馨提醒 (1)空间向量的加减法运算和数乘是表示向量的基础；(2)空间任一向量用一组基底表示是唯一的；(3)空间向量共线和两直线平行是不同的.方法与技巧1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题． 失误与防范1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b ＝b·a ，a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 成立，(a·b )·c ＝a·(b·c )不一定成立．2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则 ( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面 答案 D解析 OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．2． 已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2答案 A解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.3. 如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，32D ．(1,1,2)答案 A解析 设PD ＝a (a >0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，a 2，∴DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，∵cos〈DP →，AE →〉＝33，∴a 22＝a2＋a 24·33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．4． 如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144答案 C解析 因为PC →＝PA →＋AB →＋BC →， 所以PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以|PC →|＝12.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 6． 若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________.答案 －2或255解析 由已知得89＝a·b |a||b |＝2－λ＋45＋λ2·9， ∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.7． 在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)、B (10，－1,6)、C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________． 答案 2解析 由题意知AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，可解得x ＝2.三、解答题(共22分)8． (10分)如图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B 、G 、N 三 点共线．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B 、G 、N 三点共线．9． (12分)已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)．k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.方法二 由(2)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 其中①③为真命题．2． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 答案 A解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 3. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为 ( )A ．0 B.12 C.32D.22答案 A解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a·(c －b )＝a·c －a·b＝12|a||c |－12|a||b |＝0， ∴cos〈OA →，BC →〉＝0.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.答案 60°解析 由条件知(a ＋3b )·(7a －5b ) ＝7|a |2＋16a·b －15|b |2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a·b ＝0. 两式相减，得46a·b ＝23|b |2，∴a·b ＝12|b |2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |＝|b |. ∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝12|b |2|b |2＝12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°.5. 如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC＝CD ＝1，则AD 的长为________． 答案3－2cos θ解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.6． 已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．答案355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝1＋t2＋2t －12＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值355.三、解答题7． (13分)直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． (1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ， |AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12c＝12c 2＝12|a |2， ∴cos〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
高三人教A版数学一轮复习课件：第7章第6节空间向量及其运算
向量数乘可以用于表示向量的大小和 方向的变化，例如在物理中表示力的 大小和方向的变化。
03
向量的运算定理
向向量之间线性关系的定理。
详细描述
向量共线定理指出，如果存在实数λ，使得其中一个向量可以表示为另一个向量的倍数， 则这两个向量共线。
公式表示
数乘的几何意义
数乘可以改变向量的长度和方向，当$k>0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{a}$同向；当$k<0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{a}$反向。
向量在物理中的应用
总结词
向量在物理中是描述物理量的一种重要工具 ，它能够清晰地表达物理量的方向和大小。
详细描述
在物理中，向量被广泛应用于描述速度、加 速度、力等物理量。通过向量的运算，我们 可以方便地解决与物理量有关的计算问题。 例如，利用向量的加法、减法、数乘等运算 ，可以计算速度和加速度；利用向量的点乘 和叉乘，可以描述力的合成与分解。
向量的平行与垂直
向量$vec{a}$和$vec{b}$平行当且仅当存在实数$k$使得$vec{a} = kvec{b}$， 向量$vec{a}$和$vec{b}$垂直当且仅当$vec{a} cdot vec{b} = 0$。
向量的运算性质的应用
向量加法的几何意义
向量加法对应于向量的平行四边形法 则或三角形法则，可以用于解决力的 合成与分解、速度和加速度的合成和 分解等问题。
向量在其他领域的应用
总结词
向量不仅在几何和物理中有应用，在其他领 域如计算机图形学、经济学等也有广泛的应 用。
2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第六讲 空间向量及其运算学案(理,含解析)新人教版
学习资料2022版高考数学一轮复习第七章立体几何第六讲空间向量及其运算学案（理，含解析）新人教版班级：科目：第六讲空间向量及其运算(理)知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念（1）空间向量：在空间中,具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量,其大小叫做向量的__长度__或__模__．(2）相等向量：方向__相同__且模__相等__的向量．（3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线__平行__或__重合__，则这些向量叫做__共线向量__或__平行向量__．(4）共面向量：平行于同一__平面__的向量叫做共面向量．2．空间向量中的有关定理（1)共线向量定理:对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R,使a＝λb．(2）共面向量定理：若两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y),使p＝x a＋y b．(3）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c．其中｛a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律（1）已知两个非零向量a，b，在空间任取一点,作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作__〈a，b〉__,其范围是__0≤〈a，b〉≤π__，若〈a，b〉＝错误!，则称a与b__互相垂直__，记作a⊥b．向量a，b的数量积a·b＝__|a｜|b｜cos〈a,b>__．（2）空间向量数量积的运算律结合律：（λa）·b＝λ(a·b)；交换律:a·b＝b·a;分配律：a·(b＋c）＝__a·b＋a·c__．知识点二空间向量的坐标表示及其应用设a＝（a1，a2,a3)，b＝（b1，b2，b3）．向量表示坐标表示数量积a·b__a1b1＋a2b2＋a3b3__共线a＝λb（b≠0）__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__垂直a·b＝0（a≠0，b≠0)__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__模|a|__错误!__夹角〈a，b>(a≠0,b≠0）cos〈a,b〉＝__错误!__错误!错误!错误!错误!1．向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：错误!＝x错误!＋y错误!(其中x＋y＝1）,O 为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!（其中x＋y＋z＝1),O为空间中任意一点．双基错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．（√）(2)在向量的数量积运算中（a·b）·c＝a·(b·c）．（×）(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c．(×)（4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．（×）(5)若A，B，C，D是空间任意四点,则有错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0．（√）（6)若a·b＜0，则<a，b〉是钝角．（×)题组二走进教材2．（必修2P97A组T2）如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则下列向量中与错误!相等的向量是（A)A．－错误!a＋错误!b＋c B．错误!a＋错误!b＋cC ．－错误!a －错误!b ＋cD ．错误!a －错误!b ＋c[解析] 错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!）＝c ＋错误!（b －a ）＝－错误!a ＋错误!b ＋c ．3．(必修2P 98T3)正四面体ABCD 的棱长为2，E ,F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为__错误!__．[解析] ｜错误!｜2＝错误!2＝(错误!＋错误!＋错误!）2＝错误!2＋错误!2＋错误!2＋2（EC ，→·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!）＝12＋22＋12＋2（1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|错误!|＝错误!，∴EF 的长的错误!．题组三 走向高考4．（2018·课标Ⅱ）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝错误!,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为（ C )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误![解析] 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵AB ＝BC ＝1，AA 1＝错误!，∴A （1,0,0)，D 1(0，0，错误!)，D （0，0,0)，B 1(1,1，错误!)，AD 1，→＝(－1,0,错误!)，错误!＝(1,1，错误!），设异面直线AD 1与DB 1所成的角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!,∴异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为错误!，故选C ．5．（2020·江苏，22)在三棱锥A －BCD 中,已知CB ＝CD ＝错误!，BD ＝2,O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO ＝2，E 为AC 的中点．求直线AB与DE所成角的余弦值．[解析］连接OC，因为CB＝CD，O为BD的中点，所以CO⊥BD．又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．以{错误!，错误!，错误!}为基底,建立空间直角坐标系O－xyz．因为BD＝2，CB＝CD＝5，AO＝2,所以B（1，0,0)，D（－1，0,0），C(0，2，0），A(0，0,2)．因为E为AC的中点，所以E(0,1,1)．则错误!＝（1,0,－2）,错误!＝(1，1，1),所以｜cos〈错误!，错误!〉|＝错误!＝错误!＝错误!．因此，直线AB与DE所成角的余弦值为错误!．考点突破·互动探究考点一空间向量的线性运算—-自主练透例1 (1）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中,O为AC的中点．①化简错误!－错误!错误!－错误!错误!＝__错误!__．②用错误!，错误!，错误!，表示错误!,则错误!＝__错误!错误!＋错误!错误!＋错误! __．(2）在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心，用基向量错误!，错误!，错误!表示错误!,错误!．［解析]（1)①错误!－错误!错误!－错误!错误!＝错误!－错误!(错误!＋错误!)＝错误!－错误!＝错误!＋错误!＝错误!．②因为错误!＝错误!错误!＝错误!(错误!＋错误!）．所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!（错误!＋错误!）＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!．（2）错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!)＝错误!错误!＋错误![错误!（错误!＋错误!）－错误!]＝－错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!．错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!．名师点拨］(1)用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．(2)向量加法的多边形法则首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．提醒:空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算．〔变式训练1〕(1)如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1，→＝a ,错误!＝b ，错误!＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点,试用a ，b ，c 表示以下各向量：①错误!＝__a ＋c ＋错误!b __；②错误!＋错误!＝__错误!a ＋错误!b ＋错误!c __．(2)（2021·晋江模拟)设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1,若错误!＝x 错误!＋y 错误!＋z 错误!，则(x ，y ，z ）为__错误!__．[解析] （1）①因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝错误!＋错误!＋错误!＝a ＋错误!＋错误!错误!＝a ＋c ＋错误!错误!＝a ＋c ＋错误!b ．②因为M 是AA 1的中点，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝－错误!a ＋错误!＝错误!a ＋错误!b ＋c ．又NC 1→＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!c ＋a ,所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!a ＋错误!b ＋错误!c ．（2）如图所示，取BC的中点E，连接AE．则错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!(错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!＋错误!－错误!）＝14(错误!＋错误!＋错误!),∴x＝y＝z＝错误!．考点二空间向量共线、共面定理的应用——师生共研例2 如图所示,已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足错误!＝k错误!,错误!＝k错误!（0≤k≤1)．(1)向量错误!是否与向量错误!，错误!共面？（2）直线MN是否与平面ABB1A1平行？[解析］（1)∵错误!＝k错误!,错误!＝k错误!,∴错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝k错误!＋错误!＋k错误!＝k（错误!＋错误!）＋错误!＝k（错误!＋错误!）＋错误!＝k错误!＋错误!＝错误!－k错误!＝错误!－k（错误!＋错误!）＝（1－k)错误!－k错误!,∴由共面向量定理知向量错误!与向量错误!，错误!共面．（2)当k＝0时，点M、A重合,点N、B重合,MN在平面ABB1A1内，当0＜k≤1时,MN不在平面ABB1A1内，又由（1)知错误!与错误!、错误!共面,所以MN∥平面ABB1A1．名师点拨1．证明空间三点P、A、B共线的方法(1）错误!＝λ错误!(λ∈R）；（2)对空间任一点O，错误!＝错误!＋t错误!(t∈R)；（3)对空间任一点O，错误!＝x错误!＋y错误!(x＋y＝1)．2．证明空间四点共面的方法对空间四点P,M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面．（1）错误!＝x错误!＋y错误!；（2)对空间任一点O，错误!＝错误!＋x错误!＋y错误!；(3）对空间任一点O，错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!（x＋y＋z＝1)；(4)错误!∥错误!(或错误!∥错误!或错误!∥错误!）．〔变式训练2〕已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足错误!＝错误!（错误!＋错误!＋错误!)．(1）判断错误!，错误!，错误!三个向量是否共面;（2)判断点M是否在平面ABC内．［解析]（1)由题知错误!＋错误!＋错误!＝3错误!，所以错误!－错误!＝（错误!－错误!）＋(错误!－错误!）,即错误!＝错误!＋错误!＝－错误!－错误!，所以错误!,错误!，错误!共面．(2)由(1）知,错误!,错误!，错误!共面且基线过同一点M，所以M，A,B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．考点三,空间向量的坐标运算-—师生共研例3（2021·安庆模拟)已知空间三点A（－2，0,2）,B(－1,1，2）,C(－3,0，4）,设a＝错误!，b ＝错误!．（1）若｜c ｜＝3，且c ∥错误!,求c ；(2)求a 和b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值；（4)若λ(a ＋b )＋μ(a －b ）与z 轴垂直，求λ，μ应满足的关系．[解析] (1)∵c ∥BC ，→,所以c ＝m 错误!＝m (－2，－1，2）＝（－2m ,－m ，2m )．所以|c ｜＝错误!＝3｜m ｜＝3．即m ＝±1．所以c ＝(－2，－1,2）或c ＝(2,1，－2)．(2)因为a ＝（1，1,0)，b ＝(－1，0,2），所以a ·b ＝(1,1，0)·（－1,0，2)＝－1．又｜a ｜＝错误!＝错误!,｜b |＝错误!＝错误!，所以cos 〈a ，b 〉＝错误!＝错误!＝－错误!．所以a 和b 夹角的余弦值为－错误!．(3）解法一：因为k a ＋b ＝(k －1，k ，2），k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，所以（k －1,k ，2）(k ＋2，k ，－4）＝(k －1）(k ＋2）＋k 2－8＝0．所以k ＝2或k ＝－错误!．即当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时,k ＝2或k ＝－错误!．解法二:由（2)知｜a ｜＝2，｜b ｜＝错误!，a ·b ＝－1，所以（k a ＋b ）·(k a －2b ）＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－错误!．（4）因为a ＋b ＝（0，1,2），a －b ＝（2,1,－2)，所以λ(a ＋b ）＋μ（a －b ）＝（2μ，λ＋μ，2λ－2μ）．因为[λ(a ＋b ）＋μ(a －b ）］·（0，0，1）＝2λ－2μ＝0，即当λ,μ满足关系λ－μ＝0时，可使λ（a ＋b )＋μ(a －b )与z 轴垂直．名师点拨空间向量的坐标运算与平面向量坐标运算类似，可对比应用．利用空间向量的坐标运算解题是高考立体几何大题的必考内容，而寻求三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系是解题的突破口．〔变式训练3〕（1）与向量（－3，－4，5）共线的单位向量是（A）A．错误!和错误!B．错误!C．错误!D．错误!或错误!(2）已知向量a＝(1,1，0)，b＝(－1,0，2)，且k a＋b与2a－b互相垂直，则k＝(D) A．－1 B．错误!C．错误!D．错误!［解析]（1)与向量a＝（－3，－4，5）共线的单位向量为±错误!＝±错误!（－3，－4，5）＝错误!或错误!．(2）由题意,得k a＋b＝(k－1，k，2），2a－b＝（3，2，－2)，所以（k a＋b)·(2a－b）＝3（k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝错误!．名师讲坛·素养提升向量在立体几何中的简单应用例 4 (1）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝错误!AD＝错误!AA1＝错误!，点P为线段A1C上的动点，则下列结论错误的是（B)A．当错误!＝2错误!时，B1，P，D三点共线B．当错误!⊥错误!时，错误!⊥错误!C．当错误!＝3错误!时，D1P∥平面BDC1D．当错误!＝5错误!时,A1C⊥平面D1AP(2）(2021·广东珠海期末改编)已知球O的半径为2，A，B是球面上的两点，且AB＝2错误!，若点P是球面上任意一点，错误!·错误!的取值可能是：①－2;②0;③2；④4．则其中正确的有(）个．(D)A．1 B．2C．3 D．4（3）二面角α－l－β为60°，A，B是棱l上的两点,AC，BD分别在半平面α，β内,AC⊥l,BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为（A）A．2a B．错误!aC．a D．错误!a[解析]（1)如图建立空间直角坐标系，A1（1，0,1），C（0，错误!，0），D1（0，0，1）,A(1,0，0），B1（1，错误!，1），D（0，0，0)，当错误!＝2错误!时,错误!＝错误!,错误!＝错误!＋错误!＝错误!，而错误!＝（1，错误!,1)，∴错误!＝错误!错误!,∴B1、P、D三点共线，A正确;错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋λ错误!＝(－λ，错误!λ,1－λ）．当错误!⊥错误!时，错误!·错误!＝5λ－1＝0，∴λ＝错误!，∴错误!·错误!＝错误!·错误!＝－错误!≠0，∴错误!⊥错误!错；当A 1C ，→＝3错误!时，错误!＝错误!， 错误!＝错误!－错误!＝错误!，又错误!＝(1,错误!，0），错误!＝（0，错误!，1)， ∴错误!＝错误!错误!－错误!错误!， ∴D 1P ∥平面BDC 1,C 正确； 当错误!＝5错误!时，错误!＝错误!, 从而错误!＝错误!，又错误!·错误!＝（－1，0,1)·（－1,错误!,－1）＝0， ∴A 1C ⊥AD 1，错误!·错误!＝（－错误!，错误!，错误!)·（－1，错误!，－1)＝0, ∴A 1C ⊥AP ，∴A 1C ⊥平面D 1AP ，D 正确，故选B ． (2)由球O 的半径为2，A ,B 是球面上的两点， 且AB ＝2错误!,可得∠AOB ＝错误!，错误!·错误!＝2×2×(－错误!)＝－2，｜错误!＋错误!|＝2，错误!·错误!＝(错误!－错误!）·（错误!－错误!)＝错误!·错误!－（错误!＋错误!）·错误!＋错误!2＝－2－｜错误!＋错误!|·|错误!｜cos θ＋4＝2－4cos θ∈[－2，6]，故①②③④都正确，选D ．（3）∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴<错误!，错误!〉＝60°，且错误!·错误!＝0,错误!·错误!＝0， ∴错误!＝错误!＋错误!＋错误!． ∴|错误!｜＝错误!＝a 2＋a 2＋(2a )2＋2a ·2a ·cos 120°＝2a ．故选A ．例5如图,在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中,AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°,D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证:CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．［解析] 解法一：由题意可知CA 、CB 、CC ′两两垂直，如图建立空间直角坐标系,且设AC ＝BC ＝AA ′＝2a ，则错误!＝(0,2a ，a ），错误!＝（－a ,a ，－2a )，错误!＝（－2a,0,2a ） (1）∵CE ，→·错误!＝0＋2a 2－2a 2＝0, ∴错误!⊥错误!，即CE ⊥A ′D ． （2)记异面直线CE 与AC ′所成角为θ，则cos θ＝｜cos<错误!，错误!〉｜＝错误!＝错误!＝错误!． 解法二：(1)证明：设错误!＝a ，错误!＝b ，错误!＝c ， 根据题意得|a |＝｜b |＝|c ｜， 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴错误!＝b ＋错误!c ，错误!＝－c ＋错误!b －错误!a ， ∴错误!·错误!＝－错误!c 2＋错误!b 2＝0, ∴错误!⊥错误!，即CE ⊥A ′D ．(2）∵错误!＝－a ＋c ，|错误!|＝错误!|a |，错误!＝b ＋错误!c ，｜错误!|＝错误!|a|，错误!·错误!＝（－a＋c)·错误!＝错误!c2＝错误!|a｜2，∴cos〈错误!,C错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为错误!．名师点拨空间向量数量积的应用中的主要题型(1)求夹角:设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝错误!，进而可求两异面直线所成的角．（2)求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．（3)解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．注：若几何体中存在两两垂直的三线，可建空间直角坐标系，“坐标化”求解．〔变式训练4〕（1）如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°．则AC1＝__错误!__；BD1与AC夹角的余弦值为__错误!__．（2)(2021·湖南省六校联考）如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面是边长为a的菱形，∠BAD＝60°，AA1＝2a,则直线A1C1与B1C成角的余弦值为__错误!__．［解析]（1）记错误!＝a，错误!＝b,错误!＝c,则|a｜＝｜b｜＝|c｜＝1,<a，b>＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°, ∴a·b＝b·c＝c·a＝错误!．∴｜错误!|2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×错误!＝6．∴｜错误!｜＝错误!，即A1C的长为错误!．又错误!＝b＋c－a，错误!＝a＋b，∴｜错误!|＝错误!，｜错误!｜＝错误!．∴错误!·错误!＝（b＋c－a）·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．∴cos错误!,错误!＝错误!＝错误!．∴AC与BD1夹角的余弦值为错误!．(2)连接AC、BD相交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB⊥CD，如图建立空间直角坐标系，则B1（0，错误!,2a)，C错误!，C1错误!，A1错误!,∴错误!＝（－错误!a,0,0)，错误!＝错误!，记B1C与A1C1所成角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!．注：本题也可连AC、AB1,解△AB1C，求cos∠ACB1即可．。
高考数学一轮复习 第八章 立体几何8.6空间向量及其运算教学案 理 新人教A版
8.6 空间向量及其运算考纲要求1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得______．(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使________．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得______________．其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个______．推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的一个有序实数组{x ，y ，z }，使OP →＝____________.2．两个向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA uu r ＝a ，OB uu u r＝b ，则______叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定____≤〈a ，b 〉≤____.若〈a ，b 〉＝____，则称向量a ，b 互相垂直，记作a⊥b .(2)两向量的数量积．两个非零向量a ，b 的数量积a·b ＝______________. (3)向量的数量积的性质(e 是单位向量)：①a·e ＝|a|______________；②a⊥b ⇔a·b ＝____；③|a |2＝a·a ＝____；④|a·b |____|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律：①(λa )·b ＝λ(a·b )；②a ·b ＝______(交换律)； ③a ·(b ＋c )＝____________(分配律)． 3．空间向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 a±b ＝____________________； λa ＝________________(λ∈R )； a·b ＝________________；a⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝____；a∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； |a |2＝a·a ⇒|a |＝a 21＋a 22＋a 23(向量模与向量之间的转化)；cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23.(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则A B →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)， |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值为( )．A ．1 B.15 C.35 D.753．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )．A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,24．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________．5．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 的夹角的余弦值为__________．一、空间向量的线性运算【例1－1】 如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 分别表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.【例1－2】已知O 是空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝__________.方法提炼空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导．请做演练巩固提升1 二、空间向量的数量积【例2】已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设AB →＝a ，AC →＝b ，(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． 方法提炼1．两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，这是与空间向量的加、减、数乘等线性运算最大的区别．2．利用两空间向量的数量积运算公式，可以求向量的模、求两个向量的夹角、证明两个向量垂直等．请做演练巩固提升3三、空间向量的坐标运算【例3－1】 已知：a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ， 求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．【例3－2】 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点．(1)求|BN →|；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M . 方法提炼空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约，可以将空间元素的位置关系转化成数量关系，将逻辑推理转化成数量计算，可以化繁为简，因此是处理空间问题的一种重要工具和方法．请做演练巩固提升2正确构建空间直角坐标系【典例】 (12分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求OD →的坐标；(2)设AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．规范解答：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD sin 30°＝32. OE ＝OB －BD cos 60°＝1－12＝12.∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即OD →的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(6分)(2)依题意，OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB →＝(0，－1,0)，OC →＝(0,1,0)，∴AD →＝OD →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC →＝OC →－OB →＝(0,2,0)．(8分)由AD →和BC →的夹角为θ，得cos θ＝AD →·BC →|AD →||BC →|＝－32×0＋－＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32202＋22＋02＝－105. ∴cos θ＝－105.(12分) 答题指导：解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误； (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化． 另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的方法．1．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( )．A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝132．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )．A ．－2B ．－143 C.145D ．23．如图，在30°的二面角αl β的棱上有两点A ，B ，点C ，D 分别在α，β内，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．4．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是__________．5．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(2)求BD1与AC夹角的余弦值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)a ＝λb (2)p ＝x a ＋y b (3)p ＝x a ＋y b ＋z c 基底 x OA uu r ＋y OB uu u r ＋z OC uuu r2．(1)∠AOB 0 ππ2(2)|a||b|cos 〈a ，b 〉 (3)①cos 〈a ，e 〉 ②0 ③a 2④≤ (4)②b·a ③a·b ＋a·c3．(1)(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 0 基础自测1．A 解析：①错，向量a ，b 所在的直线可能重合；②错，向量a ，b 可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量；④错，a ，b ，c 要求不共面．2．D 解析：k a ＋b ＝(k －1，k,2),2a －b ＝(3,2，－2)． ∵(k a ＋b )⊥(2a －b )，∴3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75.3．A 解析：∵a ∥b ，∴2μ－1＝0，∴μ＝12，排除C ，D 两项．代入A ，B 选项验证可得，λ＝2成立． 4．(5,13，－3) 解析：设D (x ，y ，z )，则AB uu u r ＝DC uuu r ，∴(－2，－6，－2)＝(3－x,7－y ，－5－z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－2，7－y ＝－6，－5－z ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴D (5,13，－3)．5．－215 5 解析：∵a ·b ＝1×0＋2×2＋(－2)×4＝－4，且|a |＝12＋22＋(－2)2＝3，|b |＝0＋22＋42＝25，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－43×25＝－215 5.考点探究突破【例1－1】 解：(1)AP uu u r ＝1AA uuu r ＋11A D uuuu r ＋1D P uuu r ＝a ＋c ＋12b .(2)1A N uuu r ＝1A A uuu r ＋AB uu u r ＋BN uuu r ＝－a ＋b ＋12c .(3)MP uuu r ＋1NC uuu r ＝1MA uuu r ＋11A D uuuu r ＋1D P uuu r ＋NC uuu r ＋1CC uuu r＝12a ＋c ＋12b ＋12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c . 【例1－2】 －1 解析：∵A ，B ，C ，D 四点共面，∴OA uu r ＝m OB uu u r ＋n OC uuu r ＋p OD uuu r ，且m ＋n ＋p ＝1.由条件知OA uu r ＝(－2x )OB uu u r ＋(－3y )OC uuu r ＋(－4z )OD uuu r，∴(－2x )＋(－3y )＋(－4z )＝1. ∴2x ＋3y ＋4z ＝－1.【例2】 解：(1)∵c ∥BC uu u r，∴c ＝k BC uu u r，k ∈R .又∵BC uu u r＝(－2，－1,2)，∴可设c ＝(－2k ，－k,2k )．又∵|c |＝4k 2＋k 2＋4k 2＝3|k |＝3， ∴k ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB uu u r ＝(1,1,0)，b ＝AC uuu r＝(－1，0,2)，∴a ·b ＝－1，|a |＝2，|b |＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010.(3)∵k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1, 0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∵k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，解得k ＝2或k ＝－52.【例3－1】 解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)． 又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0， 即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2， 于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为cos θ＝5－12＋338·38＝－219.【例3－2】 解：如图所示，建立以C 为原点的空间直角坐标系C xyz ，(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，则|BN uuu r |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴1BA uuu r ＝(1，－1,2)，1CB uuu r＝(0,1,2)． ∴1BA uuu r ·1CB uuu r ＝3，|1BA uuu r |＝6，|1CB uuu r|＝5，∴cos〈1BA uuu r ，1CB uuu r 〉＝1111||BA CB BA CB ⋅uuu r uuu ruuu r uuu r ＝3010.(3)证明：依题意得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，∴1C M uuuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.又1A B uuu r＝(－1,1，－2)，∴1A B uuu r ·1C M uuuu r ＝－12＋12＋0＝0.∴1A B uuu r ⊥1C M uuuu r，即A 1B ⊥C 1M .演练巩固提升1．D 解析：由题图可知OG uuu r ＝OM uuu r ＋MG uuu r，而MG uuu r ＝23MN uuu r ，MN uuu r ＝MA u u u r ＋AB uu u r ＋BN uuu r＝12OA uu r ＋OB uu u r －OA uu r ＋12BC uu u r ＝－12OA uu r＋OB uu u r ＋12(OC uuu r －OB uu u r ) ＝－12OA uu r ＋12OB uuu r ＋12OC uuu r .OG uuu r ＝12OA uu r ＋21113222OA OB OC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭uu r uu u r uuu r＝16OA uu r ＋13OB uuu r ＋13OC uuu r .∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.2．D 解析：a －λb ＝(λ－2,1－2λ，3－λ)． 由a ⊥(a －λb )得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0， 解得λ＝2.3.3－ 3 解析：∵BD ⊥AB ，CA ⊥AB ，∴AC uuu r 与BD uu ur 的夹角为30°.∵|CD uu u r|＝|CA uu r ＋AB uu u r ＋BD uu u r |，∴|CD uu u r |2＝|CA uu r ＋AB uu u r ＋BD uu u r |2＝|CA uu r |2＋|AB uu u r |＋|BD uu u r |2＋2CA uu r ·AB uu u r ＋2AB uu u r ·BD uu u r ＋2CA uu r ·BD uu u r＝3＋2|CA uu r|·|BD uu u r |cos 150°＝3－ 3.∴|CD uu u r|＝3－ 3.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析：设OQ uuu r ＝λOP uu u r ＝(λ，λ，2λ)，则QA uu r ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB uu u r＝(2－λ，1－λ，2－2λ)． ∴QA uu r ·QB uu u r ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23. ∴当λ＝43时，QA uu r ·QB uu u r 取最小值为－23.此时，OQ uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，即Q 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.5．解：记AB uu u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA uuu r＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.(1)|1AC uuu r |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|1AC uuu r|＝6，即AC 1的长为 6.(2)1BD uuu r＝b ＋c －a ，AC uuu r ＝a ＋b ，∴|1BD uuu r |＝2，|AC uuu r |＝3，1BD uuu r ·AC uuur＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos〈1BD uuu r ，AC uuu r 〉＝11||||BD AC BD AC uuu r uuu ruuur uuu r ＝66. ∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：空间向量的概念与运算
教材改编题
3.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2， 则m＝__1_0_.
∵l1⊥l2，∴a⊥b， ∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 空间向量的线性运算
例 1 (1)在空间四边形 ABCD 中，A→B＝(－3,5,2)，C→D＝(－7，－1，－4)，
跟踪训练 1 (1)已知 a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝0,6，－6)
√B.(0,6，－20)
D.(6,6，－6)
由 b＝12x－2a，得 x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝ (0,6，－20).
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点. ①化简—A1→O －12A→B－12A→D＝__—_A_1→A____；
—A1→O －12A→B－12A→D＝—A1→O －12(A→B＋A→D)＝—A1→O －A→O＝—A1→O ＋O→A＝—A1→A .
②用A→B，A→D，—AA→1 表示—OC→1，则—OC→1＝_12_A→_B_＋__12_A_→_D_＋__—A__A→_1_.
则 λ＋μ＝1 是 A，B，C 三点共线的充要条件
由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线， 反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确； 若A→B，C→D共线，则 AB∥CD 或 A，B，C，D 四点共线，所以 B 不 正确； 由 A，B，C 三点不共线，对空间任意一点 O，若O→P＝34O→A＋18O→B＋ 18O→C，因为34＋18＋18＝1， 可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
【新教材】高三人教A版数学一轮复习课件：第7章 7.5 空间向量及其运算
一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.
对点训练1
如图,在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用
基向量 , , 表示 , .
2
2
解 = + = + = + ( − )
③若=x+y ,则 P,M,A,B 四点共面;
④若点 P,M,A,B 共面,则=x+y .
其中正确说法的个数是( B )
A.1
B.2
C.3D.4
①正确.②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb不成立.③正确.④中若点
M,A,B共线,点P不在此直线上,则 =x+y 不成立.
(3)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0.( √ )
(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.( × )
(5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).( × )
2.已知x,y∈R,有下列说法:
①若p=xa+yb,则p与a,b共面;
②若p与a,b共面,则p=xa+yb;
1 1
1
3 1 3
∴ + 1 =( a+ b+c)+(a+ c)= a+ b+ c.
2 2
2
2 2 2
=
1
c+a,
2
解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的
向量,这是用向量解决立体几何问题的基本方法.解题时应结合已知和所求
视察图形,灵活运用相关的运算法则和公式来表示所需向量.
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学案45 空间向量及其运算导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．自主梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向______且模______的向量． (3)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a∥b 的充要条件是______________________________．推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝___________________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(4)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O 有，OP→＝__________________或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOM →，其中x ＋y ＋z ＝____.2．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________________________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________叫做向量a与b 的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b ______________，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知两个非零向量a ，b ，则______________________叫做向量a ，b 的数量积，记作________，即______________________________．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________________； ②交换律：a·b ＝________；③分配律：a·(b ＋c )＝________________. 4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝____________________. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b (b ≠0)⇔____________⇔________，__________，________________， a ⊥b ⇔________⇔_________________________________ (a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝_____________________________________________________________，cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝_________________________________________________________ .若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则|AB →|＝__________________________________________________________________.自我检测1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝322．(2011·青岛月考)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 3．(2011·广州调研)在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.4．有下列4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面； ②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面)．探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q 为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2(2011·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC ＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3(2011·泉州月考)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3 已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )则P 、A 、B 、C 四点共面．其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( )A ．既垂直于AC ，又垂直于MNB ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MN 都不垂直 3．(2011·绍兴月考)如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°4．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a 等于( )A ．16B ．4C ．2D ．85．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A. 2 B ．211 C ．3 2 D ．4 2二、填空题(每小题4分，共12分) 6.(2011·信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝________.7．(2011·铜川模拟)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________．(填所有正确的序号) 8．(2011·丽水模拟)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．三、解答题(共38分) 9．(12分)如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.10．(12分)(2009·福建)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．11．(14分)(2011·汕头月考)如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．学案45 空间向量及其运算自主梳理1．(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)存在实数λ，使得a ＝λb OA →＋tAB → (4)OM→＋xMA →＋yMB →1 2.x a ＋y b ＋z c 3.(1)①∠AOB 〈a ，b 〉 0≤〈a ，b 〉≤π 互相垂直 ②|a||b |cos 〈a ，b 〉 a·b a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉(2)①λ(a·b ) ②b·a ③a·b ＋a·c 4.(1)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (2)a ＝λb a 1＝λb 1 a 2＝λb 2 a 3＝λb 3 (λ∈R ) a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 (3)a 21＋a 22＋a 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12 自我检测1．C [∵a∥b ，∴2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.]2．A [B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－A 1B 1→＋A 1A →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AD →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .]3.97解析 ∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，∴|AC ′→|2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2AB →·AD →＋2AD →·AA ′→＋2AA ′→·AB →＝32＋42＋52＋2×3×4×cos 60°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝97，∴|AC ′→|＝97.4．B [①正确．②中若a 、b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M 、A 、B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．]5．共面解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →， 即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 课堂活动区例1 解题导引 欲证a ⊥b ，只要把a 、b 用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a·b ＝0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法．证明 如图所示.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .∵OM →＝12(OB →＋OC →)＝12(b ＋c )，ON →＝12(OA →＋OC →)＝12(a ＋c )，∴PM →＝PO →＋OM →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(b ＋c －a )， QN →＝QO →＋ON →＝－12b ＋12(a ＋c )＝12(a ＋c －b )．∴PM →·QN →＝14[c －(a －b )][c ＋(a －b )]＝14[c 2－(a －b )2]＝14(|OC →|2－|BA →|2) ∵|AB →|＝|OC →|，∴PM →·QN →＝0. 即PM →⊥QN →，故PM ⊥QN .变式迁移1 23解析 设{AB →，AC →，AD →}为空间一组基底， 则AF →＝12AB →＋12AC →，CE →＝12CA →＋12CD →＝12CA →＋12(AD →－AC →)＝－AC →＋12AD →.∴AF →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AC →＋12AD →＝－12AB →·AC →－12AC →2＋14AB →·AD →＋14AC →·AD →＝－14AB →2－12AC →2＋18AB →2＋18AC →2＝－12AC →2.又|AF →|＝|CE →|＝32|AC →|，∴|AF →|·|CE →|＝34|AC →|2.∴cos 〈AF →，CE →〉＝AF →·CE →|AF →||CE →|＝－12AC →234|AC →|2＝－23.∴异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为23.例2 解题导引如图所示，建立坐标系后，要证MN 平行于平面EBC ，只要证MN →的横坐标为0即可．(1)证明 如图所示，以BA →、BC →、BE →为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，D (1,1,0)，E (0,0,1)，B (0,0,0)， 设AN AE ＝DM DB＝λ，则MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝λBD →＋DA →＋λAE →＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．∵0<λ<1，∴λ－1≠0，λ≠0，且MN →的横坐标为0. ∴MN →平行于平面yBz ，即MN ∥平面EBC .(2)解 由(1)知|MN →|＝λ－12＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，MN 取得长度的最小值为22.变式迁移2 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE . 则点N 、E 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0、(0,0,1)．∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.又点A 、M 的坐标分别为(2，2，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线． ∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)得，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，B (0，2，0)，∴DF →＝(0，2，1)，BF →＝(2，0,1)． ∴AM →·DF →＝0，AM →·BF →＝0.∴AM →⊥DF →，AM →⊥BF →， 即AM ⊥DF ，AM ⊥BF . 又DF ∩BF ＝F ， ∴AM ⊥平面BDF .例3 解题导引 建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标．第(1)题证明FG →与平面BOE 的法向量n 垂直，即FG →·n ＝0即可．第(2)题设出点M 的坐标，利用MF →∥n 即可解出，然后检验解的合理性．(1)证明如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz .则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)． 由题意，得G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)， 所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0.又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE . (2)解 设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)．因为FM ⊥平面BOE ，所以FM →∥n ，因此x 0＝4，y 0＝－94，即点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫4，－94，0. 在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0，x －y <8.经检验，点M 的坐标满足上述不等式组．所以，在△AOB 内存在一点M ，使PM ⊥平面BOE . 由点M 的坐标，得点M 到OA ，OB 的距离分别为4，94.变式迁移3 解(1)以点B 为原点，以BA 、BC 、BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，B 1(0,0,3a )，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ＝22AC ＝2a ，∴A (2a,0,0)，C (0，2a,0)，C 1(0，2a,3a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，32a ，A 1(2a,0,3a )，∴BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，32a ，A 1C →＝(－2a ，2a ，－3a )，cos 〈BE →，A 1C →〉＝BE →·A 1C →|BE →||A 1C →|＝－72a 2112a ×13a＝－7143143.∴直线BE 与A 1C 所成的角的余弦值为7143143.(2)假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，并设AF →＝λAA 1→＝λ(0,0,3a )＝(0,0,3λa ) (0<λ<1)，∵D 为A 1C 1的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，3a ，B 1D →＝⎝⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，3a －(0,0,3a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，B 1F →＝B 1B →＋BA →＋AF →＝(0,0，－3a )＋(2a,0,0)＋(0,0,3λa )＝(2a,0,3a (λ－1))，CF →＝CA →＋AF →＝(2a ，－2a,0)＋(0,0,3λa ) ＝(2a ，－2a,3λa )．∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF →⊥B 1D →，CF →⊥B 1F →， ⎩⎪⎨⎪⎧CF →·B 1D →＝0CF →·B 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3λa ×0＝09λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝23或λ＝13∴存在点F 使CF ⊥面B 1DF ，且当λ＝13时，|AF →|＝13|AA 1→|＝a ，当λ＝23时，|AF →|＝23|AA 1→|＝2a .课后练习区1．C [②③④均不正确．]2．A [以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建系，设棱长为2，则M (0,0,1)，N (0,1,2)，O (1,1,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∴AC →＝(－2,2,0)，MN →＝(0,1,1)，OM →＝(－1，－1,1)， ∴OM →·AC →＝0，OM →·MN →＝0， ∴OM ⊥AC ，OM ⊥MN .] 3．B [如图建立坐标系，设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)， ∴EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22·8＝12.∵〈EF →，BC 1→〉∈[0°，180°] ∴EF 与BC 1所成的角是60°.]4．A [由PC →＝λ1PA →＋λ2PB →得：(2a －1，a ＋1,2)＝λ1(－1，－3,2)＋λ2(6，－1，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ1＋6λ2＝2a －1－3λ1－λ2＝a ＋1，2λ1＋4λ2＝2 解得a ＝16.]5．B [过A 、B 分别作AA 1⊥x 轴，BB 1⊥x 轴，垂足分别为A 1和B 1，则AA 1＝3，A 1B 1＝5，BB 1＝2， ∵AB →＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1B →， ∴AB →2＝AA 1→2＋A1B 1→2＋B 1B →2＋2AA 1→·B 1B →＝32＋52＋22＋2×3×2×cos 60°＝44.∴|AB →|＝211.]6.12解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →， 又EF →＝ED →＋DC →＋CF →，∴2EF →＝AB →＋DC →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)，∴λ＝12.7．①②解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋(A 1A →＋DD 1→)＝B 1D 1→≠BD 1→. 8．(1,1,1)解析 设DP ＝y >0，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，y )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，y 2，DP →＝(0,0，y )，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，y 2.∴cos 〈DP →，AE →〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝12y 2y 2＋y24＝y8＋y2＝33. 解得y ＝2，∴E (1,1,1)． 9．证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)， BD 1→＝(3,3,3)．(2分)所以BD 1→＝BE →＋BF →. 故BD 1→、BE →、BF →共面．又它们有公共点B ，∴E 、B 、F 、D 1四点共面．(6分)(2)设M (0,0，z )，则GM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－23，z .而BF →＝(0,3,2)，由题设，得GM →·BF →＝－23×3＋z ·2＝0，得z ＝1.(8分)∴M (0,0,1)，E (3,0,1)，∴ME →＝(3,0,0)． 又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，∴ME →·BB 1→＝0， ∴ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC .又∵BB 1∩BC ＝B ，∴ME ⊥平面BCC 1B 1.(12分) 10.解 (1)如图所示，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D —xyz . 依题意，得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0.(2分) ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1，AM →＝(－1,0,1)．∵cos 〈NE →，AM →〉＝NE →·AM →|NE →|·|AM →|＝－1252×2＝－1010，∴异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010. (6分)(2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN . ∵AN →＝(0,1,1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)， 又EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0，∴ES →＝EA →＋AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，λ－1，λ.(8分)由ES ⊥平面AMN ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0.(10分)故λ＝12，此时AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，|AS →|＝22.经检验，当AS ＝22时，ES ⊥平面AMN . 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时AS ＝22.(12分)11．(1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知：|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，(2分) ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q·p ＋r·p －p 2) ＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0. ∴MN ⊥AB又∵CD →＝AD →－AC →＝r －q ， ∴MN →·CD →＝12(q ＋r －p )·(r －q )＝12(q ·r －q 2＋r 2－q ·r －p ·r ＋p ·q ) ＝12(a 2cos 60°－a 2＋a 2－a 2cos 60°－a 2cos 60°＋a 2cos 60°) ＝0，∴MN ⊥CD .(4分)(2)解 由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝MN →2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q·r －p·q －r·p )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22 ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长为22a .(9分)(3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q·p ＋r·q －12r·p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－12a 2·cos 60°＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a22.(12分)又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos θ即32a ·32a ·cos θ＝a 22. ∴cos θ＝23，(13分)∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.(14分)。