抽样调查-整群抽样培训课件
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全部入样。 我们先考虑最简单的情形：每个群所包含的单元数M相等，称
为群规模相等。（实际问题中只要群规模接近，也可视为群规模相 等）。
在群规模相等的情况下，整群抽样一般采用简单随机抽样方法 抽取群，这时对总体均值的估计十分简单。
一、群规模相等时的估计
1、均值估计量 及其y 方差
若按简单随机抽样,且群的大小相等,都等于 M ，则对 总体 均值的估计为：
Vsr(sy)(1N nM M )n S2M 1nfM S2
但如果该整体被等分为N个规模为M的群，定义
为群内相关系数,描述同一群内成对个体单元之间
的相关程度,其表达式为：
E(Yij Y)(Yik Y)
E(Yij Y)2
根据组合及平均值的计算， 又可表示为：
NM
2(Yij Y)(Yik Y)
i1 jk
四、附号说明
总体群（PSU)数：N
样本群数：n
第i个群中的单元（SSU)数量：
Mi
总体第 i 群中第 j个单元的指标值：
Y ij
样本第 i 群中第 j个单元的观测值：
y ij
总体中单元总数：
N
M0 Mi
i1
总体中第i群的群总值：
Mi
Yi Yij i 1
样本中第i群的群总值：
Mi
yi yij i 1
群规模相等时整群抽样总体群内方差：
Sw2N(M 11)iN 1
M
(YijYi)2
j1
群规模相等时整群抽样样本群内方差：
sw 2n(M 11)i n1jM 1 (yijyi)2
§4.2 等概率整群抽样
个二在级N抽个样初单级元抽。样对单于元整中群，抽第样i个而初言级，单被元抽含中的群中所有二级单M元i
总体总值 YNM Y 的估计量为：
Y NMy
总体总值 YNM Y的估计量的方差为：
V (Y ) V (Ny ) M N 2 M 2 V (y )
v(Y )N 2M 2v(y)N 2M (1 nf)S b 2
下面我们看一个整群抽样的例题
【例4.11】 在一次对某中学在校生零花钱的调查
中，以宿舍作为群进行整群抽样，每个宿舍都有M=6
(M1)(NM1)S2
于是置信度为95%的置信区间为98.17±1.96×4.34， 也即[89.66元，106.68元】
2、整群抽样效率分析
在整群抽样中，由于
V(y)1nMf Sb2
估计量的方差主要依赖群间的变异性。因此
整群抽样中 较大，则整群抽样就会损失精度。
S
2 b
下面我们用方差分S 析w2 表来讨论这一问题。
群规模相等时的整群抽样
总体中第i群的个体均值：
Y i Yi M
样本中第i群的群均值：
yi
yi M
总体中的群均值：
Y n Yi
N i 1
样本中的群均值：
y
n
yi
n i 1
总体中的个体均值：
N Mi
Y
Yij
M i1 j1
0
总体方差： 样本方差：
S2M 0 11iN 1jM 1(YijY)2
s2 n 1
n mi
1 f nM
Sb2
证明：因为 yMy, V(y)M2V(y),
N
V(y)1f
(Yi Y)2
i1
n N1
N
所以
V(y)1f
(Yi Y)2
i1
nMM(N1)
1nM f Sb2
定理4.3 V ( y ) 的样本估计为： v(y)1nMf sb2
由于 sb2是Sb2 的无偏估计， 因而 v(y)是V(y) 的无偏估计。
y1 n
n i1
yi
7589 8
93.3398.17
sb2
M n1
n i1
(yi
y)
6 [(7598.17)2 (93.3398.17)2 926.63 81
下面计算估计量方差的估计值：
v(y)1nM f sb2
10.025942.66318.81 86
s(y) v(y) 18.814.34
名学生。用简单随机抽样在全部N=315间宿舍中抽取
n=8间宿舍。全部48个学生上周每人的零花钱 及
相关计算数据如下表。试估计该学校学生平均每周
y ij
的零花钱 ，并给出其95%置信区间。
Y
8个宿舍48名学生每周零花钱支出额
i
y ij
yi
s
2 i
解：已知 故
N31 ,n5 8,M6,fn0.02,54 N
三、群的规模
群的规模是指组成群的单元的数量。 群的规模大，估计的精度差，但费用省； 群的规模小，估计的精度可以提高但费用增大。 实践中，确定群的规模涉及多种因数，如群的具 体 结构、精度、费用、调查实施的组织管理等。 群的规模又有两种情况：一种是总体中的各个群 规模相等；另一种是总体中各个群的规模不相等。
Y
n
y
i1
Biblioteka Baidu
M yij 1n j1nMni1
yi
Y 定理4.1 y 是 的无偏估计，即
E(y) Y
这样的结果是显然的，因为是按简单随机
方法抽取群，所以样本群均值 值 的无偏估计，因而
是总体群均
y
Y
E(y) Y Y M
定理4.2 y 的方差为:
V (y)1 nfN 1 1 iN 1(YiY)2
二、群的划分
整群抽样中的群大致可分为两类：
一类是根据行政或地域形成的群体，如学校企业和街道，对此采 用整群调查是为了方便调查，节约费用。 另一类群则是调查人员人为确定的，如将一大块面积划分若干块 较小面积的群，这时就需要考虑如何划分群，以使在相同调查费 用下调查误差最小。
群划分的一般原则 为了提高精度,划分群时应力争使同一群内各单元之间的差异尽可 能大,以避免同一群内各单元提供重复信息.这个原则与分层抽样中 划分层的原则恰好相反.由此看来,整群抽样和分层抽样是针对不同 总体结构而提出的两种不同抽样方法.
总体方差分析表
N M
N1 SSB (YiY)2
i1j1
Sb 2N SS 1B
NM
N (M 1 ) SSW(Y i Y i)2
i 1j 1
S w 2N (S M S 1 )W
NM
N M 1 SS T (Y ijY)2
i 1j 1
S2SST N M 1
我们将整群抽样与简单随机抽样的效率进行比较，假设直接 从总体中抽取一个样本容量为nM的简单随机样本，则样本均值的 方差为：
(yij yi)2
mi 1i1 j1
i1
总体群间方差：
Sb2
1 N N1i1
Mi j1
(Yi Y)2
样本群间方差：
sb2
1 n n1i1
mi j1
(yi y)2
总体中第i个群群内方差：
Si2
Mi j1
(Yij Yi )2 Mi 1
样本第i个群群内方差：
si2
mi j1
(yij yi )2 mi 1
为群规模相等。（实际问题中只要群规模接近，也可视为群规模相 等）。
在群规模相等的情况下，整群抽样一般采用简单随机抽样方法 抽取群，这时对总体均值的估计十分简单。
一、群规模相等时的估计
1、均值估计量 及其y 方差
若按简单随机抽样,且群的大小相等,都等于 M ，则对 总体 均值的估计为：
Vsr(sy)(1N nM M )n S2M 1nfM S2
但如果该整体被等分为N个规模为M的群，定义
为群内相关系数,描述同一群内成对个体单元之间
的相关程度,其表达式为：
E(Yij Y)(Yik Y)
E(Yij Y)2
根据组合及平均值的计算， 又可表示为：
NM
2(Yij Y)(Yik Y)
i1 jk
四、附号说明
总体群（PSU)数：N
样本群数：n
第i个群中的单元（SSU)数量：
Mi
总体第 i 群中第 j个单元的指标值：
Y ij
样本第 i 群中第 j个单元的观测值：
y ij
总体中单元总数：
N
M0 Mi
i1
总体中第i群的群总值：
Mi
Yi Yij i 1
样本中第i群的群总值：
Mi
yi yij i 1
群规模相等时整群抽样总体群内方差：
Sw2N(M 11)iN 1
M
(YijYi)2
j1
群规模相等时整群抽样样本群内方差：
sw 2n(M 11)i n1jM 1 (yijyi)2
§4.2 等概率整群抽样
个二在级N抽个样初单级元抽。样对单于元整中群，抽第样i个而初言级，单被元抽含中的群中所有二级单M元i
总体总值 YNM Y 的估计量为：
Y NMy
总体总值 YNM Y的估计量的方差为：
V (Y ) V (Ny ) M N 2 M 2 V (y )
v(Y )N 2M 2v(y)N 2M (1 nf)S b 2
下面我们看一个整群抽样的例题
【例4.11】 在一次对某中学在校生零花钱的调查
中，以宿舍作为群进行整群抽样，每个宿舍都有M=6
(M1)(NM1)S2
于是置信度为95%的置信区间为98.17±1.96×4.34， 也即[89.66元，106.68元】
2、整群抽样效率分析
在整群抽样中，由于
V(y)1nMf Sb2
估计量的方差主要依赖群间的变异性。因此
整群抽样中 较大，则整群抽样就会损失精度。
S
2 b
下面我们用方差分S 析w2 表来讨论这一问题。
群规模相等时的整群抽样
总体中第i群的个体均值：
Y i Yi M
样本中第i群的群均值：
yi
yi M
总体中的群均值：
Y n Yi
N i 1
样本中的群均值：
y
n
yi
n i 1
总体中的个体均值：
N Mi
Y
Yij
M i1 j1
0
总体方差： 样本方差：
S2M 0 11iN 1jM 1(YijY)2
s2 n 1
n mi
1 f nM
Sb2
证明：因为 yMy, V(y)M2V(y),
N
V(y)1f
(Yi Y)2
i1
n N1
N
所以
V(y)1f
(Yi Y)2
i1
nMM(N1)
1nM f Sb2
定理4.3 V ( y ) 的样本估计为： v(y)1nMf sb2
由于 sb2是Sb2 的无偏估计， 因而 v(y)是V(y) 的无偏估计。
y1 n
n i1
yi
7589 8
93.3398.17
sb2
M n1
n i1
(yi
y)
6 [(7598.17)2 (93.3398.17)2 926.63 81
下面计算估计量方差的估计值：
v(y)1nM f sb2
10.025942.66318.81 86
s(y) v(y) 18.814.34
名学生。用简单随机抽样在全部N=315间宿舍中抽取
n=8间宿舍。全部48个学生上周每人的零花钱 及
相关计算数据如下表。试估计该学校学生平均每周
y ij
的零花钱 ，并给出其95%置信区间。
Y
8个宿舍48名学生每周零花钱支出额
i
y ij
yi
s
2 i
解：已知 故
N31 ,n5 8,M6,fn0.02,54 N
三、群的规模
群的规模是指组成群的单元的数量。 群的规模大，估计的精度差，但费用省； 群的规模小，估计的精度可以提高但费用增大。 实践中，确定群的规模涉及多种因数，如群的具 体 结构、精度、费用、调查实施的组织管理等。 群的规模又有两种情况：一种是总体中的各个群 规模相等；另一种是总体中各个群的规模不相等。
Y
n
y
i1
Biblioteka Baidu
M yij 1n j1nMni1
yi
Y 定理4.1 y 是 的无偏估计，即
E(y) Y
这样的结果是显然的，因为是按简单随机
方法抽取群，所以样本群均值 值 的无偏估计，因而
是总体群均
y
Y
E(y) Y Y M
定理4.2 y 的方差为:
V (y)1 nfN 1 1 iN 1(YiY)2
二、群的划分
整群抽样中的群大致可分为两类：
一类是根据行政或地域形成的群体，如学校企业和街道，对此采 用整群调查是为了方便调查，节约费用。 另一类群则是调查人员人为确定的，如将一大块面积划分若干块 较小面积的群，这时就需要考虑如何划分群，以使在相同调查费 用下调查误差最小。
群划分的一般原则 为了提高精度,划分群时应力争使同一群内各单元之间的差异尽可 能大,以避免同一群内各单元提供重复信息.这个原则与分层抽样中 划分层的原则恰好相反.由此看来,整群抽样和分层抽样是针对不同 总体结构而提出的两种不同抽样方法.
总体方差分析表
N M
N1 SSB (YiY)2
i1j1
Sb 2N SS 1B
NM
N (M 1 ) SSW(Y i Y i)2
i 1j 1
S w 2N (S M S 1 )W
NM
N M 1 SS T (Y ijY)2
i 1j 1
S2SST N M 1
我们将整群抽样与简单随机抽样的效率进行比较，假设直接 从总体中抽取一个样本容量为nM的简单随机样本，则样本均值的 方差为：
(yij yi)2
mi 1i1 j1
i1
总体群间方差：
Sb2
1 N N1i1
Mi j1
(Yi Y)2
样本群间方差：
sb2
1 n n1i1
mi j1
(yi y)2
总体中第i个群群内方差：
Si2
Mi j1
(Yij Yi )2 Mi 1
样本第i个群群内方差：
si2
mi j1
(yij yi )2 mi 1