第10章 弹性力学空间问题
弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法
t
2
yz zdz
（10.10）
将式（10.3）和（10.5）代入式（10.9），（10.10）得
Mx
D
2w x2
2w y 2
,
My
D
2w y 2
2w x2
M
xy
D(1
)
2w xy
（10.11）
FQx
D
x
2w x2
2w y 2
,
FQy
D
y
2w x2
2w y 2
将式（10.3）和（10.5）与（10.11）进行比较， 可以得到用内力矩表示的薄板应力
D 4 w q
（10.7） （c） （10.8a）
即
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
（10.8b）
方程（10.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或 挠曲微分方程。它是薄板弯曲问题的基本方程。 从薄板中取出微元体进行平衡分析，同样可推导 出该方程式。
纵上所述，薄板弯曲问题归结为：在给定的薄 板侧面的边界条件下求解挠曲微分方程。求得挠 度w后，然后就可以按公式（10-3）、（10-5）和 （10-7）求应力分量。
薄板的小挠度弯曲理论，普遍采用以下三个计
算假定：
（1）、变形前垂直于中面的任一直线线段，变形 后仍为直线，并垂直于变形后的弹性曲面，且长度 不变。这就是Kichhoff的直法线假设；
（2）、垂直于板中面方向的应力分量σz、τzx 、 τzy较小，它们引起的形变可以略去不计，但它们本 身却是维持平衡所必须的，不能不计。
薄板弯曲问题的经典解法
第10章 薄板弯曲问题
在弹性力学中， 将两个平行面和垂 直于该平面的柱面 所围城的物体称为 平板，简称为板， y 如图10-1所示。
弹性力学课件
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
弹性力学空间问题解答
将式（7-12）代入式（7-9）,得应力分量与位移函数的关系式:
（7-14）
对空间轴对称问题，只要找到满足式（7-13）的位移函数 ，代入式（7-12）和式（7-14）求出位移和应力分量。如能满足边界条件，即为问题的解。 拉甫位移函数的量纲比应力分量高三次
球坐标表示的基本方程（自学）
见教材P144~145
7-3 半空间体在边界上受法向集中力 设有一半空间体，不计体力，在水平边界受法向集中力P作用。 x y z M(r，z) r z 选P的作用点为坐标原点，Oz轴与P的作用线重合。水平边界面为xOy面。
在半空间体中过任一点M（r，z），作与边界平面平行的水平截面，取半空间体的上部分，在z方向有平衡条件
03
在柱坐标系下的应力分量为
应变分量为
位移分量为
7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程
01
平衡方程
02
（7-1）
柱坐标表示的基本方程
几何方程
（7-2）
（7-3）
或
（7-4）
物理方程
（7-5）
当物体的几何形状、约束情况以及外力都对称于z轴时，则称为空间轴对称问题。
在空间轴对称问题中，有： 应力分量、应变分量、位移分量仅是r，z的函数，与q无关。
空间问题求解的基本思路与平面问题相同，只是问题的维数从二维扩展到三维，求解更复杂。
（参考教材第6、7章）
202X年12月20日
7-1 空间问题的基本方程
平衡微分方程方程
几何方程
物理方程
各种弹性常数之间的关系
相容方程
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，z方向给定位移为 ，则
（7-7）
（7-6）
几何方程：将式（7-5）代入式（7-2），得
弹性力学习题解答
习题解答 第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
解：(1)pi iq qj jkpq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jkpj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。
证：20ijk jkjk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e ()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。
2.5设有矢量i i u =u e 。
原坐标系绕z 轴转动θu 在新坐标系中的分量。
解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。
第10章 弹性力学空间问题
第十章弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。
本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。
通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。
另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。
本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。
然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。
通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。
另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。
二、重点1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。
§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。
但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。
某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。
因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。
本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。
特别是关于空间轴对称问题的基本方程。
弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
弹性力学 空间问题基本理论共55页文档
45、自己的饭量自己知道。——苏联来自弹性力学 空间问题基本理论
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
弹塑性力学部分习题
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2018/10/7
18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
2018/10/7
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题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
弹性力学空间轴对称问题有限元法
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述
一、柱坐标系
由于轴对称性质，采用柱坐标系（ r、θ、z ） 分析轴对称问题
w r
u z
• 尽管点的位移发生在平面内，但是，对于垂直于 平面的线元素却存在着伸缩的可能，因此，轴对 称问题的环向应变不为零。
2）几何方程
• 对于周向应变，尽管不存在周向位移，但由于A点 发生径向位移后，它与轴的距离变为，从而导致 产生周向的变形，如图所示，则产生周向应变为
(r u)d rd rd
Ke
B
eT
e
DB
dv
Ve
Fbe NeTf dv
Ve
Fqe NeT f dS Se
Fe 0
BeT0 dv
Ve
Fe 0
BeTD0 dv
Ve
Ke 2
BeT
e
DB
rdrdz
e
Fbe 2 NeTf rdrdz e
Fqe 2 NeT f rds Se
Fe 0
2
BeT0 rdrdz
u r
u
r
z
r u r w
rz
z
w
u
r z
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程
（2）应力应变关系 —物理方程
1
1 1
0
r
σ
z rz
E 1 1 1
2
1 1
1
1
1
1
弹性力学及有限元方法-空间问题
4．2 应变与应力
– 将假定的位移代入式(4．12)，得到单元内应
变为：
– 将应变矩阵[B]按节点分块表示为：
– 由(4．12)，得到应变矩阵[B]中任一子矩阵 [Bi] 为：
• 其中bi、ci及D如前，而
• 按物理关系式，有应力 • 注意轴对称问题三角形单元的形函数虽与平面
问题三角形单元相同，但其应变、应力则不相
• 同理，用v式可求得a5到a8 ，用w求得a9到 a12 ,为：
• 用矩阵记法统一表达为：
• [N]为形状函数矩阵，可表示为：
• [I]为三阶单位矩阵，而各节点的形状函数 可按下式计算得到，即
• 如记矩阵
为四面体单元的体积，其他系 数皆可由[L]确定，如
• 为矩阵第一行各元素的代数余子式。同样 可以确定al、bl、cl、dl…an、bn、cn、dn等， 它们是矩阵[L]第二、三、四行元素的代数 余子式。
• 轴对称问题中，上述截面内任一点p，实 际上代表一个半径为r的圆周(图4-2)，当 此圆周上各点都有径向位移u时，圆周被 拉伸，多出一个环向应变q。有：
• 全部应变的4项分量与两项位移分量之间 的几何关系（几何方程），以矩阵表示为:
• 轴对称问题的4项应力分量，以列阵表示为：
• 轴对称问题的应力与应变间的物理关系仍写为：
用位移法，就是只研究这个代表截面的位 移求得一个截面的位移分布，也就有了整 个三维结构内的位移分布，从而可以求得 体内任一点的应变及应力。这样，一个三 维问题，就可以转化为一个二维问题。 由于结构的变形是对称于中心轴的，因而 子午面内各点都只有沿径向r的位移u和沿 轴向z的位移w，一般应为截面坐标r，z的 函数，即
• 单元内应变为常值，按物理方程，单元内的 应力也是常值。当然，一般受力情况下，三 维体内有限大小的四面体内的应力并不是常 值，用常应力单元来代替它，只是近似的。 • 对此单元，单元间的应力是不连续的。只有 当单元划分得较小时，单元内的应力才会接 近于常值，此时计算的应力在单元间的不连 续才会比较小，因而可以作为真实应力分布 的近似。 • 一般，把这种单元应力的计算值作为单元中 心一点的应力近似值是比较适当的。
弹性力学问题的基本解法
求得
其中
u v w x y z
w v u x 2G , yz G x y z v u w y 2G , xz G y z x v u w z 2G , xy G解法
w v u x 2G , yz G x y z v u w y 2G , xz G y z x v u w z 2G , xy G z x y
公式a
代入
x yx zx 2u Fx 0( 2 ) x y z t xy y zy 2v Fy 0( 2 ) x y z t xz yz z 2w Fz 0( 2 ) x y z t
公式2-18
位移解法
u w v x , yz x y z v u w y , xz y z x w v u z , xy z x y
公式2-16
代入
x 2G x , yz G yz y 2G y , xz G xz z 2G z , xy G xy
公式2-19 代入
f x x l yx m zx n f y xy l y m zy n f z xz l yz m zx n
求 得
u u u v w u f l G l m n G l m n x y z x x x v u v v v w f m G l m n G l m n x y z y y y w w w v w 公式2-24 u f n G x l y m z n G z l z m z n
弹性力学ppt课件
一维拉伸或压缩问题建模与求解
建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
02
弹性力学分析方法与技巧
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
确定边界条件和 验证解析解的正
初始条件
确性
根据问题的具体条件和假 设，建立平衡方程、几何 方程和物理方程。
针对问题的特点，选择合 适的坐标系，如直角坐标 系、极坐标系或柱坐标系 ，并进行必要的坐标系转 换。
地基基础
地基基础是土木工程中的重要组成部分，弹性力学可用于分析地基的承载力和 变形特性。通过弹性力学方法，可以对地基进行稳定性评估和加固设计。
机械工程：零部件设计、优化等方面应用
零部件设计
在机械工程中，弹性力学可用于零部件的设计和强度校核。 例如，通过弹性力学分析，可以确定机械零件在受力时的应 力分布和变形情况，进而优化零件的形状和尺寸。
要较高的数学水平。
02
数值法优点
适用于复杂形状和边界条件的问题求解，具有较高的计算精度和效率；
缺点：需要专业的有限元软件支持，对计算机性能要求较高。
03
实验法优点
能够直接观测和验证物理现象和规律，为理论分析和数值模拟提供重要
依据；缺点：受实验条件和成本限制，难以实现大规模和复杂条件下的
实验研究。
弹性力学第十章 空间问题的解答
径向正应变
剪应变：
环向正应变
轴向正应变
z z
z
位移分量： u 0 环向位移
u
uz
径向位移
轴向位移
, , z , z z , , , z , z z , u , uz 基本未知量：
共10个
二、轴对称问题的平衡微分方程:
根据轴对称的特点，宜采用圆柱坐标 ,, z 表示。若取对称轴为 z 轴，则轴对称问题的应力 分量、形变分量和位移分量都将只是 和 z 的 函数，而与 坐标无关。
轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或 半空间体。
ρ
例如：受轴对称荷载的厚壁筒、回转圆盘、无限体 或半无限体受集中力等
z
其中：
e z
例题：设有半空间体，其比重为p，在水平边 界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分 量和应力分量。并假设在z = h处w =0。
q
x
R
解:
1、 由于任意铅直平 面都是对称面，假设
y
z
u 0, v 0, w w( z ) (1) u v w d w e x y z d z
经约简并略去高阶微 量，得：
z
z
z z
Fb 0 z
z
z
z z
z
根据z方向的平衡， 可得: x
z d ( d ) d d z z z d d z z z d z d d z z d d Fb z d d d z 0
第10章_弹性力学空间问题
第十章弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。
本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。
通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。
另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。
本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。
然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。
通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。
另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。
二、重点1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。
§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。
但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。
某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。
因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。
本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。
特别是关于空间轴对称问题的基本方程。
清华大学弹性力学-空间问题
A
ABC S 则：
x面
PABC 的体积为 V
ABC 上的应力为 SN
BPC lS CPA m S APB nS
4
由
z
C N
Fx 0 :
X N S x lS yx m S zx nS XV 0
y
yx ZN yz P zy
xy
x
xz
B y
XN YN
当 PABC → P 时:
X N l x m yx n zx
zx
o
x
A
z
同理，由 F y 0, Fz 0 :
Y N m y n zy l xy Z N n z lz xy m yz
5
X N , Y N , Z N 为S N 在 x , y , z轴上的投影
x z
y （平衡方程）
3
§4-2 应力状态和主应力 1. 一点应力状态 N ― 平面ABC的外法线
z C N
N的方向弦为：
xy xz zx z
SN
y
yx yz P zy
x
cos( N , x ) l cos( N , y ) m
B y
cos( N , z ) n
o x
0 z z 0
o
P z
A d
z dz z
y
x
（柱坐标） d
z
z
z z
只有四个应力分量：
, , z , z z
d z d
z
dz
dz
14
小结：
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第十章弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。
本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。
通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。
另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。
本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。
然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。
通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。
另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。
二、重点1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。
§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。
但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。
某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。
因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。
本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。
特别是关于空间轴对称问题的基本方程。
学习要点：1、空间柱坐标系；2、柱坐标基本方程；3、空间轴对称问题的基本方程。
1、空间柱坐标系在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的，而在柱坐标系下，空间一点M的位置坐标用（ρ，ϕ，z）表示。
直角坐标与柱坐标的关系为：x =ρ cos ϕ，y =ρ sin ϕ ，z = z柱坐标下的位移分量为：uρ，uϕ ， w柱坐标下的应力分量为：σρ，σϕ σz，τρϕ，τϕ z，τzρ柱坐标下的应变分量为：ερ，εϕ εz，γρϕ，γϕ z，γzρ以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。
2、柱坐标基本方程1、平衡微分方程2、几何方程3、物理方程其中3、空间轴对称问题的基本方程对于轴对称问题，即物体的几何形状，边界条件和约束条件等外界因素均对称于某一坐标轴，例如z轴时，则根据变形的对称性，有根据几何方程，则，而根据本构方程，则。
其余应变分量和应力分量仅是坐标ρ,z的函数，而与坐标ϕ 无关。
因此，基本方程可以简化为1、平衡微分方程2、几何方程3、本构方程§10.2 球坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关，但是坐标系的选择与问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。
因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
对于球体、特别是球对称问题，采用球坐标求解将更为方便。
这些问题如果应用直角坐标问题可能得不到解答。
本节讨论空间球坐标系的基本方程表达形式。
对于空间球对称问题的基本方程表达形式作专门的探讨。
学习要点：1、球坐标的基本方程；2、空间球对称问题的基本方程1、球坐标的基本方程在球坐标系下，空间一点M的位置是用3个坐标（R，θ，ϕ）表示。
直角坐标与球坐标的关系为如果分别采用表示柱坐标下的位移分量；采用和分别表示柱坐标下的应力和应变分量。
则它们应该满足下列方程，有1、平衡微分方程2、几何方程3、物理方程2、空间球对称问题的基本方程对于球对称问题，也就是说物体的几何形状，约束条件，外力和其他外界因素都对称于某一点（例如坐标原点）。
由于变形的对称性，则。
根据几何方程和本构方程，则和，其余的应变分量和应力分量也仅是坐标R的函数，而与坐标θ，ϕ 无关。
而且。
因此基本方程可以简化为如果将球对称位移代入平衡微分方程，则球对称条件下的位移表示的平衡微分方程为§10.3 半无限平面受法向力的作用学习思路:1885年，布西内斯科（Boussinesq.J.V）首先求解了半无限平面受法向集中力作用的问题，因此该问题称为布西内斯科问题。
这一问题的求解是弹性力学最有理论价值的结论之一。
布西内斯科问题的求解对于地基应力、基础沉陷和弹性力学接触等领域的研究工作具有重要的应用价值，为相关学科的理论研究奠定了基础。
根据结构分析，问题是空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。
求解方法采用位移法，求解步骤为：1、建立位移表示的平衡微分方程。
2、引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。
这一方面简化问题分析，使得基本方程成为双调和方程；另一方面，乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。
3、根据问题的性质假设乐甫位移函数，并且通过边界条件确定函数的待定系数。
4、回代可以确定问题的位移，特别是半无限平面的沉陷等。
学习要点：1、位移表示的平衡微分方程；2、乐甫位移函数与基本方程；3、乐甫位移函数的选择与基本未知量；4、边界条件与布西内斯科解。
1、位移表示的平衡微分方程设半无限体的表面受法向集中力F的作用，选取坐标系如图所示在不计重力的条件下，求半无限体内的应力和位移分布情况。
对于半无限平面受法向集中力F的作用问题。
根据结构的受力分析，显然这是一个空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。
问题的求解有多种方法，下面讨论位移法求解。
将轴对称问题的本构方程代入平衡微分方程则可以得到位移表示的平衡微分方程其中，空间轴对称问题的拉普拉斯算符为。
如果不计体力，则平衡微分方程可以简化为2、乐甫位移函数与基本方程对于无体力的半无限平面受法向集中力作用问题，基本方程为在给定边界条件下求解位移表示的平衡微分方程。
对于空间轴对称弹性体分析，可以引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。
设位移分量为将上述位移分量代入平衡微分方程，可以得到关于ψ (ρ，z)的双调和方程。
ψ (ρ，z)称为乐甫函数。
因此，问题就归结于在给定的边界条件下求解双调和函数ψ (ρ，z)。
引入乐甫位移函数一方面可以简化问题，使得基本方程成为双调和方程；另一方面由于乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。
将乐甫函数表达的位移分量代入几何方程和本构方程，则问题求解的关键是建立双调和函数ψ (ρ，z)。
3、乐甫位移函数的选择与基本未知量根据量纲分析，应力分量表达式应为F乘以ρ，z，R等长度坐标的负二次幂，位移分量应为长度坐标的负一次幂函数。
如果注意到应变分量和位移分量之间的关系，以及应变分量和应力分量之间的关系，可以知道，乐甫函数ψ(ρ，z) 为ρ，z，R的正一次幂的双调和函数。
所以设乐甫位移函数为其中，而A和B为任意常数。
将乐甫函数代入位移和应力分量表达式，则可以得到位移分量应力分量4、边界条件与布西内斯科解根据面力边界条件，有。
根据上述边界条件第二式，可得考虑距离表面为z的水平面上的正应力的合力由平衡条件，有求解可以得到联立求解上述方程，可得。
回代可得位移分量为应力分量为根据位移表达式，对于任何一条常数的直线上，位移与距坐标原点的距离成反比。
在无穷远点，位移趋于零。
在z = 0的平面上，即半无限体表面上任一点的法向位移（即沉陷）为上式对于任意的z =0，而 ≠0均成立。
公式表明，半无限体表面的沉陷与该点到力的作用点的距离成反比。
上述公式称为布西内斯科解。
§10.4 半无限平面作用法向分布载荷学习思路:通过布西内斯科问题解答的叠加，可以得到表面区域作用分布载荷问题的解答。
本节讨论半无限体，表面半径为a到圆形区域，作用均匀法向分布力问题。
分析半无限弹性体的应力和位移分布等，特别是表面沉陷问题。
问题分为三个部分讨论。
一是载荷作用区域中心点下方的位移；二是载荷作用区域外的沉陷；三是载荷作用区域内的沉陷。
由于分布载荷是连续的，因此问题的迭加工作可以通过积分完成。
这里应该特别注意的是布西内斯科解的坐标在积分中的变换问题。
由于坐标的变换，因此对于每一个问题都要建立积分的局部坐标。
积分坐标变换是本节学习的难点。
学习要点：1、载荷作用区域中心点下方的位移；2、载荷作用区域外的沉陷；3、载荷作用区域内的沉陷。
1、载荷作用区域中心点下方的位移在半无限体的表面半径为a到圆形区域作用法向分布力，其应力分量和位移分布情况可以通过半无限体受法向集中力的结果迭加得到。
设圆形区域的半径为a，单位面积的压力为q，如图所示首先分析载荷作用圆形区域中心下面（即z轴上）任意一点的位移表达式。
对于圆形区域中心下面任意一点M，由于对称性，有z方向的位移分量可以根据公式的第二式得到。
引进变量 , 并且注意到则环形面积上的分布载荷q引起圆形区域中心下面任意一点M 的位移为所以令上式中z=0，则可得载荷圆域中心点的沉陷为2、载荷作用区域外的沉陷下面讨论半无限体表面的沉陷。
对于半无限体表面上的点M，则必须首先区分它在载荷圆形区域之外，还是在圆形区域之内。
如果点M位于载荷圆形区域之外，则由图可见变量s和ψ作为描述圆形区域的局部坐标，则根据公式可得图中阴影部分的合力在M点产生的沉陷为因此，M点的总沉陷为对上式进行积分，注意到弦mn的长度，即并且在积分时考虑对称性，可得积分上限ψ1是ψ的最大值，即圆的切线与OM之间的夹角，对于确定的点M，它是确定的值。
为了简化运算，我们引进变量ϕ，由图可见，它与ψ 之间的关系为a sinϕ = ρ sinψ由此可得将上式代入积分公式，并且注意到当ψ从0变化到ψ1时，ϕ由0变化到π/2，于是上式右边的两个积分为椭圆积分，他们可以按照 a/ρ 的数值从函数表中查出。
当ρ =a时，则3、载荷作用区域内的沉陷如果点M位于载荷圆域内部，考虑图中的阴影部分（其面积为d A=s dψd s）在点M 引起的沉陷，然后经积分，得到总沉陷为由于弦mn的长度，即，而ψ是由0变化到π/2的，所以利用关系式a sinϕ = ρsinψ，则上式成为上式右边的椭圆积分，可以通过查表而得到。
若令ρ =0，则可以得到公式的结果，它是半无限体表面的最大沉陷。
将公式和公式相比较，可见最大沉陷是载荷圆边界沉陷的π/2倍。
由公式可以看到，最大沉陷不仅与载荷集度q成正比，而且还与载荷圆的半径成正比。
半无限体表面作用分布载荷的应力分量同样可以使用叠加法求解。