平面向量线性运算C(学生)

学科教师辅导讲义

2．(

)(

)

3342a b a b -+-r

r

r

r

；

3.()()

52423a b c a b c -+-+-r r r r r r

；

【例3】如果a r +b r =3c r ,a r -b r =-c r ,那么a r 与b r

是平行向量吗？如果是，求a b

r r .

12

【例4】如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点.

（1） 用向量AB u u u r 、AC u u u r 表示向量EF u u u r ,用向量DB u u u r 、DC u u u

r 表示向量HG u u u r ;

（2） 由AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，DC DB BC -=u u u r u u u r u u u r ，可推出向量EF u u u r 与HG u u u r

相等吗？四边形EFGH 是平行四边形吗？

【借题发挥】

1．如果2a

r

+b

r

=3c

r

，a

r

+2b

r

=c

r

，那么a

r

与b

r

是平行向量吗? 如果是，求

a

b

r

r.

2．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB CD

=，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD边的中点，用向量的方法证明四边形EFGH是菱形.

【例5】已知非零向量a

r

，求作-2a

r

，2a

r

.

【例6】如图，已知向量a

r

、b

r

，求作向量()

2a b

-+

r

r

.

【例7】如图，已知向量OA u u u r 、OB uuu r 和a r 、b r

，求作： （1） 向量a r 分别在OA u u u r 、OB uuu r

方向上的分向量； （2） 向量b r 分别在OA u u u r 、OB uuu r

方向上的分向量.

【借题发挥】

1． 如图，已知两个不平行的向量a r 、b r .求作：2a r +3b r ,2a r -3b r

.

2． 已知两个不平行的向量a r 、b r ，求作：3a r +52b r ，3a r 52

b r

.

【例8】如果向量a r

、b r

满足关系式(

)

560a b x +-=r

r

r

r

，试用a r

、b r

表示向量x r

.

【例9】如图，已知ABCD Y 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 交于点F ，设AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，分别求向量AE u u u r

、AF u u u r 、BF u u u r 、DF u u u r

关于a r 、b r 的分解式.

【借题发挥】

1．如果向量a r 、b r 满足关系式()()

8374a x b x -=-r r r r ，试用a r 、b r 表示向量x r

.

2．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上，DE ∥BC ,

2

3

AD AB =，试用向量BC uuu r 表示向量DE u u u r .

3．如图，点1B 、2B 、3B 在AB 上，1C 、2C 、3C 在AC 上，11223BB B B B B ==3B A =，

11223CC C C C C ==3C A =，试用向量AB u u u r 表示向量11B C u u u u r 、22B C u u u u u

r 、33B C u u u u r .

【随堂练习】

填空题：

1．已知m 、n 是实数，r a 、r

b 是向量，对于命题： ①-=-()r r r r m a b ma mb

②-=-()r r r

m n a ma na

③若=r r ma mb ，则=r r a b

④若=r r

ma na ，则m n =

其中正确命题为_____________________．

2．（1）()()

b a b a ρρρρ

7253--+- = ；

（2）()()c c b a c b a ρ

ρρρρρρ2

53232223+-+++-=

3.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC AB ∠==o

u u u r ，r a ，AC =u u u r r c ，BC =u u u r r

b ，则++=r r r a b

c ．

4．已知向量r a ，r b ，且3()2(2)4()0x a x a x a b ++---+=r r r r r r r r

，则x r =__________．

5．若向量x r 、y u r 满足+=-=23,32u r u r r u r u r r x y a x y b ，r a 、r

b 为已知向量，则x r =__________； y u r =___________．