二重积分的算法
§ 二重积分的计算
x1
y
x
x2 y,
c y d .
［Y－型］
其中函数x1 y, x2 y在区间c,d 上连续.
［Y－型］
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点.
下面我们通过曲顶柱体体积的计算来说明二重积分
f x, y d 化为二次积分的方法，
y1 x
x, y dydx.
上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分，
其中括号内的积分
y2 x y1 x
f
x,
y dy
是将x看作常数，
把f(x,y) 看作变量y的函数，其积分结果是x的函数，
再对x计算在区间[a,b]上的定积分。
先对y后对x的二次积分通常又记为：
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
0 x 1.
xy2dxdy
1
dx
x xy2dy
0
x2
D
y x
1 0
x
1 3
y
3
y
x
2
dx
1
1
x
x3 x6 dx
1
30
40
(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为：
D
y
x
y,
0 y 1.
1
x y2dxdy
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
现在用一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族
射线 常数将D划分为任意的n个小闭区域。
小闭区域的面积 i 为：
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分是微积分中的一个重要概念，也是数学计算中常用的工具之一、它是对二元函数在一些区域上的求和，可以用来计算曲线下面的面积、质心、重心、弯矩等问题。
在进行二重积分的计算时，有四个基本的运算公式，分别是加法公式、乘法公式、换元公式和分部积分公式。
下面将详细介绍这四个公式以及它们的应用。
一、加法公式加法公式是用来计算两个区域上的二重积分的和的公式，具体形式如下：∬(R1∪R2)f(x,y)dA=∬R1f(x,y)dA+∬R2f(x,y)dA其中，R1和R2是两个不相交的区域，f(x,y)是定义在R1∪R2上的函数，dA表示面积元素。
加法公式的应用非常广泛，可以用于计算不规则区域上的积分，将区域分成若干个小区域，然后分别计算每个小区域上的积分再求和即可。
二、乘法公式乘法公式是用来计算两个函数的乘积的积分的公式，具体形式如下：∬Rf(x,y)g(x,y)dA=∬Rf(x,y)dA·∬Rg(x,y)dA其中，f(x,y)和g(x,y)是定义在区域R上的函数，dA表示面积元素。
乘法公式可以简化积分的计算，将二重积分分成两个单变量的积分，分别计算再相乘即可。
三、换元公式换元公式是用来进行变量替换的公式，可以将一个二元函数在坐标变换后的区域上的积分转化为原区域上的积分，具体形式如下：∬Rf(x,y) dA = ∬R'(f(g(u,v),h(u,v)) ，J(u,v)， du dv其中，R是原区域，R'是通过坐标变换得到的新区域，f(x,y)是定义在R上的函数，J(u,v)，是变换后的雅可比行列式。
换元公式可以简化积分的计算，通过适当的坐标变换可以将原积分转化为更简单的形式，例如将直角坐标系中的积分转化为极坐标系中的积分等。
四、分部积分公式分部积分公式是用来计算二重积分中的积分运算的公式，具体形式如下：∬R(∂f/∂x + ∂g/∂y) dA = ∮C(f dx + g dy)其中，R是区域，C是区域R的边界曲线，f(x,y)和g(x,y)是定义在R上的函数，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示函数f和g关于x和y的偏导数。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
第二节二重积分计算
y1(x) y y2 (x) a x b.
(1)
在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平
面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投
影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y) 为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面
的面积可以由对变元y的定积分来表示.
得
x y
2, 1. 2
x轴上的积分区间为[1,2].
D
x2 y2
dxdy
12
x 2 dx 1x
x
1 y2
dy
12
x2
1x
y 1
x
dx
12
x
2
x
1 x
dx
1 4
x4
2x2
2 1
9. 4
解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入 口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子 区域.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤： (1) 画出积分区域D的图形. (2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方 法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线 与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线， 作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称 之为出口曲线，作为积分上限.
x2 y2
dxdy
，其中D由不等式
y
x，1
xy
及 x 2所确定.
解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.
作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方 向看，入口曲线为y 1 ，出口曲线为y=x，
二重积分定理公式
二重积分定理公式
二重积分公式是f(x,y)≦g(x,y)。
设二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域，并以表示第个子域的面积。
在上任取一点作和。
如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及的取法无关，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即。
这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为二重积分号。
二重积分应用
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分,其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数字。
因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数，其积分区域D是由所围成的区域。
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。
对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
二重积分的计算法
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
第二节_二重积分的计算法
第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。
则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。
二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。
计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。
1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。
具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。
(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。
(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。
(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。
2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。
具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。
(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。
(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。
3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。
具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。
(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。
(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。
(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。
4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。
二重积分的概念和计算方法
二重积分的概念和计算方法在数学中，我们经常遇到需要对二维区域上的函数进行求和或求平均的情况。
为了解决这类问题，人们引入了二重积分的概念。
本文将探讨二重积分的概念以及常见的计算方法。
一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的函数进行求和的操作。
它可以看作是将一个二维区域分割成无穷多个小的矩形，然后对每个小矩形内的函数值进行求和的过程。
一般来说，我们通过累次积分的方法来计算二重积分。
对于函数f(x, y)在区域D上的二重积分，可以表示为：∬f(x, y)dA其中，D表示二维区域，dA表示微元面积。
二重积分的结果是一个数值，代表了函数f(x, y)在区域D上的总体特征。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，计算二重积分需要先确定积分范围。
一般情况下，我们将区域D分割成一个个小矩形或小三角形，根据积分的性质进行求和。
对于给定的函数f(x, y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(x, y)dxdy其中，积分区域D的边界可以表示为[a, b]和[c(x), d(x)]，其中c(x)和d(x)是关于x的函数。
通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。
2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算更为方便。
特别是当积分区域具有简单的几何形状，如圆形、扇形或圆环等情况下，使用极坐标系可以简化计算过程。
对于给定的函数f(x, y)，在极坐标系下的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(r, θ)rdrdθ其中，积分区域D的边界可以表示为[r1(θ), r2(θ)]和[a, b]，其中r1(θ)和r2(θ)是关于θ的函数。
通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。
3. 格林公式的应用在某些情况下，利用格林公式可以简化二重积分的计算。
二重积分数值计算方法
二重积分数值计算方法二重积分是数学分析中的重要概念，用于计算平面区域上的面积、质心、重心等物理量。
而二重积分的数值计算方法则是将二重积分转化为数值计算问题，通过近似的方式求得积分的近似值。
本文将介绍二重积分数值计算方法的原理和常用算法。
一、二重积分的定义和性质二重积分是对二元函数在平面区域上的积分，其定义如下：∬f(x,y)dA = limΔx,Δy→0 ΣΣf(xi,yi)ΔA其中，f(x,y)为定义在平面区域D上的函数，ΔA为平面上的小面积，ΣΣ表示对所有小面积求和。
二重积分具有线性性质和可积性质，可以按照不同的积分顺序进行计算。
二、二重积分的数值计算方法由于二重积分的计算通常比较复杂，无法直接求得解析解，因此需要借助数值计算方法来进行近似计算。
常用的二重积分数值计算方法有以下几种：1. 矩形法矩形法是最简单的数值计算方法，将平面区域划分为若干个小矩形，然后在每个小矩形中选取一个点进行函数值的计算，最后将所有小矩形的函数值相加并乘以对应的小面积即可。
矩形法的精度较低，适用于简单的计算问题。
2. 梯形法梯形法是将平面区域划分为若干个小梯形，然后在每个小梯形中计算两个顶点的函数值，并将两个顶点的函数值加权平均，最后将所有小梯形的函数值相加并乘以对应的小面积即可。
梯形法的精度较矩形法高，适用于一般的计算问题。
3. 辛普森法辛普森法是将平面区域划分为若干个小矩形和小梯形，然后在每个小矩形和小梯形中计算三个顶点的函数值，并将三个顶点的函数值加权平均，最后将所有小矩形和小梯形的函数值相加并乘以对应的小面积即可。
辛普森法的精度较高，适用于复杂的计算问题。
4. 蒙特卡洛法蒙特卡洛法是通过随机采样的方式来进行积分的近似计算，将平面区域内的点随机散布，然后计算这些点的函数值并求平均，最后将平均值乘以平面区域的面积即可。
蒙特卡洛法的精度较高，适用于复杂的计算问题。
二重积分数值计算方法在实际问题中具有广泛的应用，例如计算平面区域的面积、质心、重心等物理量。
第92节二重积分的计算方法
e 1 y2 y2dy2
1(1 2).
0
3
0
6
6e
二、在极坐标下二重积分的计算
i1 2 (ri ri)2i 1 2 ri2i
1 2(2ri ri)rii
ri (ri2ri)rii
rri ri r ri
i i
f(x,y)d的值D 等 为于 底以 ， zf以 (x,y)曲 为
D
曲顶的柱体的体积．
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
z
zf(x,y)
y
A(x0 )
y2(x)
a x0
bx
y1(x)
得
Df(x ,y )da b d x 1 2 ((x x ))f(x ,y )d y .
x
例3 求 （ x2y)dxdy， 其 D 是中 由y 抛 x2和 x 物 y2 线
D
所 围 成. 的 平 面 区 xy2(0,0) ,(1,1),
(x2
y)dxdy
1
dx
x(x2y)dy
0
x2
D
1 [x 2(xx 2)1(xx 4)d ]x 33 .
0
2
140
y x2
x
例4 求x2ey2dxdy,其D 中 是(0 以 ,0)(,1,1),(0,1)为顶点
D
三角形 . 区域
解 因为ey2dy无法用初等函数表示y
考虑改变积分次序
x2ey2dxdy
1
dy
yx2ey2dx
00
x
D
e1 y2
y3 dy
i
ririi,
第二节二重积分的计算法
第二节二重积分的计算法第二节学习的是二重积分的计算法。
二重积分的计算法可以通过分别采用直角坐标系和极坐标系进行求解。
本文将详细介绍这两种方法的具体步骤。
在直角坐标系中，假设被积函数为f(x,y)，要计算其在D上的二重积分，其中D是一个有界区域，可以采用以下步骤进行求解：1.将区域D进行划分，然后选择该划分的一个子区域Di，其面积为ΔA。
2. 在子区域Di内任选一个点(xi, yi)，将该点作为积分的取值点。
3. 将函数值f(xi, yi)与子区域的面积ΔA相乘，得到局部的积分量f(xi, yi)ΔA。
4.将所有子区域的局部积分量相加，得到近似的二重积分。
5.使用极限的思想，当划分的子区域趋近无穷小时，近似的二重积分趋近于准确的二重积分。
6.对于具体的函数形式，可以通过积分的性质进行变换，求解更为简便。
在计算二重积分时，需要注意以下几点：1.对于非均匀分布的划分，可以通过增加划分数量来提高近似的准确度。
2.划分的子区域大小越小，计算结果越准确，但也会增加计算的复杂度。
3.当函数比较复杂时，可以选择适当的数值计算方法来求解。
接下来，我们将介绍使用极坐标系进行二重积分的计算方法。
极坐标系中的二重积分采用极坐标系下的面积元素dA=rdrdθ。
具体步骤如下：1.将被积函数f(x,y)转换为极坐标下的形式f(r,θ)。
2.将被积区域D在极坐标系下的范围确定，也即确定r的取值范围和θ的取值范围。
3. 计算面积元素dA，即dA=rdrdθ。
4.将被积函数f(r,θ)与面积元素dA相乘，得到局部的积分量f(r,θ)dA。
5.将所有局部积分量相加，得到近似的二重积分。
6.使用极限的思想，当面积元素dA趋近无穷小时，近似的二重积分趋近于准确的二重积分。
极坐标系的二重积分计算方法可以简化计算过程，特别适用于对称性较强的函数和区域。
在实际应用中，二重积分的计算方法可以进一步推广到多重积分的计算。
多重积分的计算涉及到更高维度的坐标系和更复杂的积分区域，但基本的思想和步骤与二重积分类似。
高等数学 二重积分的计算法
解 在极坐标系下
D：0 a ，0 2.
ex2 y2dxdy
2 d
0
a e 2 d
0
D
(1 e a2 ).
利用上面结果可以求广义积分 ex2dx. 0
D1 {( x, y) | x 2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x 2 y2 2R2 }
2a
x
图 A
2 cos
yo
D
x
a 2
图 B
解 由对称
性
V 4 4a2 x2 y2dxdy
D
其中 D 为半圆 y 2ax x2及 x 轴所围
周的闭区域 . 在极坐标系中，成闭区域 D
可用不等式0 来表示 . 于
2
cos
,
0
2
是 V 4 4 2 2 dd
D
4 2 d
则
x
v
2
u
,
y
v
2
u.
D D, 即 x 0 u v; y 0 u v;
y x2
( x 2
y)dxdy
1dx 0
x
x
2
(
x
2
y)dy
D
1[ x2(
0
x
x2)
1 2
(
x
x4 )]dx
33 140
.
例 4
1
计算积分 I 2 dy
y
e
y x
dx
1dy
y
e
y x
dx
.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
二重积分计算技巧总结
极坐标下的二重积分是考试的重点内容，如 2013 年考研题中： Dk 是圆域 x y 1 在第 k 象限的区域 ， I k
y x dxdy ，则 I
Dk
k
哪个大于 0？
若积分次序为先 后 r ，则对应方法为“同心园 交点” ，其中由同心园确定 r 的范围，交 点确定 的范围。值得注意的是有多个交点的情况，也需要割一下。还是以上例为例。
y2 y u u ,v 则 x 2 , y . v v x x
1 v2 J 1 v
2u u v3 4 u v 2 v
于是原区域 D 变换成新区域 D m, n , ，这样原来不规则的区域变成了矩形区域， 方便积分。 面积 S
1dxdy 1 J dudv
这种形式的积分次序为先x在做题时积分次序由积分区域和被积函数确定所以需要分析一下积分区域的形状和被积函数的形式比如被积函数为显然先对y积分是不行的需先对x积分
第五章
二重积分
一、常规方法 二重积分的计算重点在于化二重为两个一重积分， 转化的方法有直角坐标系的计算、 换元法 （一般换元和极坐标换元） ，在计算之前首先画出积分区域的图。 一、直角坐标系下的二重积分 直角坐标系下的二重积分为： （1）
其中左、右表示区域的上曲线和下曲线，值得注意的是要把左、右曲线表示成 x y 的 形式，即把 x 表示成关于 y 的形式。但是，如果积分区域有几个左或几个右的时候需要将区 域“割”一下。这种形式的积分次序为先 x 后 y。 在做题时， 积分次序由积分区域和被积函数确定， 所以需要分析一下积分区域的形状和被积 函数的形式，比如被积函数为 e y ，显然先对 y 积分是不行的，需先对 x 积分。 二、换元法 （1）一般换元法的二重积分 用换元法求二重积分时重要的是要确定新的积分区域和新的微元。 将原区域变换成新区域时 只要区域边界一一对应即可，而微元变换为 dxdy J dudv ，其中 J 为雅可比行列式，如
二重积分的数值计算和算法设计
二重积分的数值计算和算法设计二重积分是高等数学中重要的概念之一，它在实际应用中有着广泛的应用，比如物理学、金融学、统计学等一、什么是二重积分二重积分是在二维平面上求一个平面区域上的函数值的平均值，可以用于求面积、质心、惯性矩等.当被积函数 $f(x,y)$ 连续时，二重积分的计算公式为$$\iint_D f(x,y) \, \mathrm{d}A$$其中 $D$ 是平面上的一个有限闭区域，$\mathrm{d}A$ 是面积元。
二、二重积分的数值计算在很多情况下，二重积分很难通过解析的方式求解，这时我们需要使用数值计算的方式。
常用的数值计算算法有：矩形法、梯形法、辛普森法。
这些方法可以将二重积分变成多维积分，进一步转化为求解一维积分的问题，例如：矩形法的基本思想是将区域 $D$ 划分为若干个小矩形，然后把每个小矩形看作一面积元，对每个小矩形做一个面积公式，这样就相当于把二重积分转化为多个一重积分之和，然后再把它们相加即可得到原二重积分的近似值。
梯形法的基本思想是将区域 $D$ 划分为若干个小梯形，对每个小梯形做一个面积公式，这样就相当于把二重积分转化为多个一重积分之和，然后再把它们相加即可得到原二重积分的近似值.辛普森法的基本思想是将区域 $D$ 划分为若干个小梯形，不同于梯形法，辛普森法对每两个相邻的小梯形做一个简单二次函数的插值，然后将相邻两个小梯形和所在高度的三个位置计算一次牛顿-莱布尼茨公式，即可得到原二重积分的近似值。
当然，这些数值计算的方法都只是近似值，真实的二重积分值只有在精度趋于无穷时才能得到。
三、算法设计在实际应用中，需要根据具体问题的特点来选择合适的数值计算算法，并根据实际的输入数据的复杂度来选择合适的数据结构和算法。
例如，在求解面积的时候，我们可以先对平面区域进行参数化，然后使用梯形法或辛普森法进行计算；在求解质心时，我们需要用到面积元上的重心，可以通过参数方程和矩形法进行计算。
二重积分的计算方法
5 若区域为组合 域，如图则：
.
D
D1
D2
D3
6、如果积分区域既是X－型，
又是[Y－型], 则有
0
D3
D1
D2
f (x, y)d
b
[
2 (x)
f dy]dx
1
dx
1
( y x2 )dy
11.
1 0
1
x2
15
7.小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. ［X－型］
a
1( x)
D
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx［. Y－型］
1( ) r 2( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
图2
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
r 2( )
A
（3）区域如图3
,
D r ( )
0 r ( ).
2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
2a
例 5
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。
简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。
接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。
直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。
当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。
假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。
如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。
极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。
在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。
如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。
二重积分的计算法
rkrkk
d rd rd
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k
rk
rk
20
Df(x,y)dD f(rco ,srsin )rdrd
rd d
1. 极点在积分区域外
dr
d r
Dr2()
r2()
o
r1()o r1()
设 D: 1() r 2(),则 D f(rc o,rsi)n rdrd
d
1 2 ( ())f(rco,rs si)n rdr
（先对 x 积分，视 y 为常量， 对y 积分，视 x 为常量)
⑤、何时不得不将积分域D分块？ 穿入穿出不唯一。
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9
例 1 改 变 积 分 1 dx 1xf(x,y)d的 y次 序 . 00
解 积分区域如图
0 x1 Dx :0 x1x
0 y1 Dy :0 x1 y
y1x
原 式
2(y) f(x,y)dx
D
c
1(y)
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4
当被积函数 f(x,y)在D上变号时, 由于
f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)
2
2
f1(x,y)
f2(x,y)均非负
D f ( x ,y ) d x d y D f 1 ( x ,y ) d x d y
D f2(x,y)dxdy
0
0
0
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1 e y2 2
1 0
1 2
1
1 e
.
17
例8．求I= x y1 x 2 y 2 d x d y ,D :y x ,x 1 ,y 1 围 成 ；
D
y
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二重积分的算法
二重积分是微积分中的重要概念之一，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤，下面将介绍二重积分的算法。
一、二重积分的定义
二重积分是对二元函数在有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，其中D是一个有界闭区域，D的边界可以用一组参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b表示。
则称函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分为：
∬D f(x,y) dxdy
二、二重积分的计算方法
二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的直接计算法和极坐标系下的极坐标变换法。
1. 直接计算法
直角坐标系下的直接计算法是将二重积分转化为两个一重积分的叠加，按照积分的定义逐个计算。
具体步骤如下：
（1）确定积分区域D的范围和方向；
（2）将二重积分转化为两个一重积分，先对y进行积分，再对x进行积分；
（3）根据积分区域D的范围和方向，确定积分的上下限；
（4）按照一重积分的定义计算每个一重积分；
（5）将两个一重积分的结果相加，得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换法
极坐标系下的极坐标变换法是通过极坐标系下的变换公式将二重积分转化为极坐标系下的一重积分。
具体步骤如下：
（1）确定积分区域D的范围和方向；
（2）通过极坐标变换公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的一重积分；
（3）根据积分区域D的范围和方向，确定极坐标下的积分范围和方向；
（4）按照一重积分的定义计算极坐标下的一重积分；
（5）得到极坐标下的一重积分后，根据极坐标变换公式将其转化为直角坐标系下的二重积分。
3. 其他计算方法
除了直接计算法和极坐标变换法外，还有其他一些特殊情况下的计算方法，如利用对称性、变量替换等方法进行计算。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和积分区域的特点。
三、二重积分的性质
二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性、保序性、可
加性等。
这些性质在计算二重积分时起到了重要的作用，可以简化计算过程和提高计算效率。
四、二重积分的应用
二重积分在科学和工程领域中有广泛的应用，如计算质量、质心、面积、体积、物理力学中的质点转动惯量等。
通过对二重积分的计算，可以更好地理解和研究各种现象和问题。
总结：二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤。
常见的计算方法包括直接计算法和极坐标变换法，根据具体问题选择合适的方法进行计算。
二重积分具有一些重要的性质，这些性质在计算过程中起到了重要的作用。
二重积分在科学和工程领域中有广泛的应用，通过对二重积分的计算可以解决各种问题。
掌握二重积分的算法对于深入理解微积分和应用数学具有重要意义。