随机过程补充例题

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随机过程习题

随机过程习题一、判断题：5个，10分1、随机过程依照状态空间，可分为离散状态过程和连续状态过程。

2、非齐次泊松过程一定是独立增量过程。

3、设?N(t),t?0?是一个更新过程，Tn是第n次更新发生的时刻，N(t)?n?Tn?t4、任意马尔可夫链都存在极限分布。

5、时齐的连续时间马尔可夫链的转移速率qij有qii?二、填空题：5个，15分?qj?iij。

1、若随机变量X的矩母函数为et2?2，则其期望E(X)为．2、设随机过程X(t)?R?t?C,t?(0,?),C为常数， R服从区间[0,1]上的均匀分布,则其均值函数为．3、设某设备的使用期限为10年, 在前5年内它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次。

则它在使用期内只维修过一次的概率是．4、人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，若某人投保时健康, 3年后他仍处于健康状态的概率是．5、设时齐连续时间马尔可夫链{X(t),t?0}是正则的，由状态i经时间t后转移到状态j的概率为Pij(t)，则limP(t)? ．ijt?0三、计算题：5个，40分1、设数Y在区间(0,1)上随机地取值,当观察到Y=y(02求P{N(1)?2N(1)?1}。

4、设?N(t),t?0?是一个更新过程，Xn是第n?1次更新和第n次更新相距的时间，且P(Xi?1)?1， 3P(Xi?2)?2，i?1,2,?，求P{N(2)?1}。

35、设马尔可夫链的状态空间S?{1,2,3,4}，转移概率矩阵为 ?1??4P??0?0??1?14000141001??4?0?， 1??0??试判断状态1是否是常返态。

四、应用题：2个，1题10,2题15分，共25分 1、一队同学顺次等候体检，设每人体检所需要的时间服从均值为2min的指数分布，并且与其他人所需时间是相互独立的，则1h内平均有多少同学接受过体检？在这1h内最多有40名同学接受过体检的概率是多少？ 2、我国某种商品在国外销售情况共有连续24个季度的数据（1表示畅销，2表示滞销）： 112122111212112211212111 如该商品销售状态满足马尔可夫性和齐次性. 1)确定销售状态的转移概率矩阵； 2)如果现在是畅销，预测这以后第四个季度的销售情况； 3)如果影响销售所有因素不变，预测长期的销售情况. 五、证明题：1个，10分将2个红球放入盒子甲，4个白球放入盒子乙，每次从两个盒子中各取一球交换，以X(n)记第n次交换后盒子甲中的红球数。

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

应用随机过程习题

应用随机过程习题随机过程是概率论和统计学中的一种数学模型，用来描述随机事件在时间上的演化。

应用随机过程的习题有很多，可以涵盖多个领域，例如通信、金融、电力系统等。

下面我将给出一些应用随机过程的习题，并进行详细的解答。

习题1：航空公司的每小时飞行延误时间服从均值为2小时的指数分布。

计算飞行延误时间小于等于3小时的概率。

解答：首先，我们知道指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ为参数。

延误时间小于等于3小时的概率可以表示为P(X≤3)，其中X为随机变量表示延误时间。

由于题目已经给出了参数λ=1/2小时^-1，我们可以直接代入计算概率。

P(X ≤ 3) = ∫[0, 3] λe^(-λx) dx= ∫[0, 3] (1/2)e^(-(1/2)x) dx=[-e^(-x/2)]，0,3=-(e^(-3/2)-1)≈0.7769所以飞行延误时间小于等于3小时的概率约为0.7769习题2：染料厂制造的染料每小时以恒定速率泄漏。

设染料从泄漏口出来的间隔时间服从均值为30分钟的指数分布。

求在1小时内泄漏从未中断的概率。

解答：设泄漏从未中断的概率为P(X>1)，其中X为随机变量表示泄漏中断的时间。

由于题目已经给出了参数λ=1/30分钟^-1，我们可以直接代入计算概率。

P(X>1)=1-P(X≤1)= 1 - ∫[0, 1] λe^(-λx) dx= 1 - ∫[0, 1] (1/30)e^(-(1/30)x) dx=1-[-e^(-x/30)]，0,1=1-(e^(-1/30)-1)≈0.0335所以在1小时内泄漏从未中断的概率约为0.0335习题3：商店的顾客到达服从均值为10分钟的指数分布，服务时间服从均值为8分钟的指数分布。

求平均每分钟服务完的顾客数。

解答：设顾客到达和服务完的速率为λ和μ，分别表示单位时间内到达和服务完的顾客数。

根据泊松过程的理论，平均每分钟服务完的顾客数为λ/μ。

随机过程部分试题

1，若从t=0开始每隔0.5秒抛一枚均匀的硬币作试验，定义随机过程X(t)={cosπt,t时刻抛得正面2t, t时刻抛得反面求：（1）X(t)的一维分布函数F(12;x)和F(1;x)（2）X(t)的二维分布函数F(0.5,1;x1,x2)（2）X(t)的均值函数μx(t)和方差函数σX2(t)解：硬币出现正、反面得概率均为1/2F(0.5,1;x1,x2 )=F(0.5;x1)F(1;x2)={0,x1<0或x2<−112,0≤x1≤1或x2≥2或x1≥1，−1≤x2<214，0≤x1<1，−1≤x2<21，x1≥1，x2≥22，设为参数为σ2的维纳过程, 求积分过程的均值函数和相关函数。

解：设，由与的对称性维纳过程是均方连续, 均方不可导, 均方可积的二阶矩过程.假设乘客按照参数为λ的poisson过程来到一个火车站乘坐某次列车，若火车在时刻t启程，试求在[0，t]内到达车站乘坐该次列车的乘客等待时间总和的数学期望。

设在时间间隔[0，τ]内到达的乘客数为，则时间间隔[0，t]内乘客的总等待时间为某人备有r把伞用于上下班. 如果一天的开始他在家(一天的结束他在办公室)中而且天下雨,只要有伞可取到,他将拿一把到办公室(家)中. 若天不下雨那么他不带伞.假设每天的开始(结束)下雨的概率为p,且与之前下不下雨独立.(1)定义一个有r+1个状态的Markov链并确定转移概率;(2)计算极限分布;(3)这人被雨淋湿的平均次数,所占比率是多少(称天下雨而全部伞却在另一边为被淋湿)?设{Xn}为此人在第n天身边拥有的雨伞数,则I={0, 1,2,…,r},注意到下雨才用伞,而每天的开始下不下雨与之前独立,即知为Markov链.该链的一步转移概率为:于是计算极限分布的状态方程，记显然处于的极限状态才可能被淋湿,但每天的开始(结束)下雨的概率为p, 所以此人被雨淋湿的平均次数,所占比率即被淋湿的概率为某一个只有一名理发师的理发部，至多容纳4名顾客。

随机过程试题及解答

2016随机过程（A ）解答1、（15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。

1) 求)(t X 的一维概率密度函数；2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

3) 求)(t X 的二维概率密度函数；解：由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布，且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+{}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+故： (1) )(t X的一维概率密度函数为：()222218(1)(),x t t t f x ex ---+=-∞≤≤∞(2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为：{}{}(,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+{}{}{}22()13()413st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+（3）相关系数：(,)s t ρρ====)(t X 的二维概率密度函数为：2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x eρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。

问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。

数理统计与随机过程例题精选

数理统计与随机过程例题精选
例1：设ζ，η为相互独立，数字期望均为0、方差均为1的随机变量，令ζ（t）=ζ+ηt，求ζ（t）的均值、方差和相关函数。
解：
1 (t ) E[ (t )] E ( ) tE() 0;
(t ) D[ (t )] D( t ) D( ) t D( ) 1 t ;
0 0 3 4 P 1 1 4 2 0 1
1 4 1 2 3 4
2 0 1 4 1 4
1 2 3
P X 0 0, X 2 1, X 4 1 P X 2 1, X 4 1| X 0 0 P X 1 0, X 2 0, X 3 0, X 4 0 | X 0 0
(4) E[N(5)]=5 , D N 5 5 , Cov[ N (5), N (12)] D N 5 5.
例3：证明:正弦波X (t ) Acos( t ) t , 2 x, 0 x 1 其中是常数, A与相互独立, A~f ( x) , 0, 其它在(0, 2 )上均匀分布,是平稳过程; 并判断其是否为各态历经过程.
（2）ξt的均值函数;(3) ξt的相关函数。
解：（1）P{在[0，t]内发生偶数次“随机点”}
( t ) 2 ( t ) 4 p0 (t ) p2 (t ) e t {1 } 3 t cosht 2! 4!
（2）显然
E (t ) 1 e t cosht (1) e t sinh t e t (cosht sinh t ) e t e t e 2 t
3/4 1/4 0 3/4 1/4 0 0

应用随机过程第1章补充例题及作业

第 1 章补充例题及作业
例 3 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：
e x f ( x, y ) 0
（1）问变量 X 与 Y 是否相互独立？（2）求条件分布密度函数 fY | X ( y | x) ；（3）计算条件期望 E (Y | X ) 。
0 y x other
Y 0 1 2
X
0 0.25 0.05 0.05
10 0.05 0.15 0.10
20 0.05 0.05 0.25
（1）研究吸烟数量多与健康状态差有无关联？要求利用条件分布说明；（2）研究每天吸 x 支烟（x = 0,10,20）的人的平均健康状态值，并写出条件期望 E (Y | X ) 的分布律。 5. 已知 X
N (0,1) ，U 与 X 相互独立， P{U 0} P{U 1}
1 ，令 2
X Y X
证明： Y
U 0 U 1
。
N (0,1) ，但 ( X , Y ) 不服从二维正态分布。
isX itY
注：( X , Y ) 的二维特征函数为： XY ( s, t ) E (e 为： (t ) exp(i t
1 2
1
（3）计算 E ( X | X Y n) 。 ) 的二项分布。
4. 为研究吸烟与身体健康之间的关系，以 X 表示每人每天吸烟的数量，分为 3 类：0 支、10 支和 20 支；以 Y 表示人的健康状态，分为 3 等：好、中、差，分别表示为 Y=0、Y=1 和 Y=2。在某地区随机抽样调查得到 X 与 Y 的联合分布如下表所示。
1/ 2 1/ 6 1/ 3
2 / 6 1/ 3 0
则有：Y (Y1 , Y2 , Y3 ) K ( X1 , X 2 , X 3 ) KX ，其中 X ( X1 , X 2 , X 3 ) 是三维正态随机变量。而正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量，即 Y (Y1,Y2,Y3) 是三维正态随机变量，其均值向量与协方差矩阵为： Y K X (0,0,0) ， Y K Y K I 。所以有 Y1 , Y2 , Y3 相互独立并且都服从标准正态分布。例 5 假设 E ( X | Y ) EX ，证明随机变量 X 与 Y 不相关。

随机过程课后习地的题目

习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。

求X 的特征函数、EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。

4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求的分布。

5．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

6．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的概率密度函数。

8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。

求X+Y 的分布。

9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。

10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nk k X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f tn e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

随机过程练习题[1]

S (t ) X (t ) Y (t )
是具有强度的泊松过程． 6．设齐次马氏链的转移概率矩阵为
1 / 3 1 / 2 P 1/ 4 0
1/ 3 1/ 3 0 1/ 2 0 0 1/ 4 0 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2
(1) 此链有几个状态？ (2) 试画出转移概率图；（3）从第 2 个状态至少要几步才能转移到第 3 个状态？ 7．设齐次马氏链 { X n , n 1} 的状态空间为 S {0,1,2} ，一步转移概率矩阵为
1 / 2 1 / 2 0 P 1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 3 / 4 1/ 4
初始分布 P ( X 0 i ) 1 / 3, i 0, 1, 2 ．试求：（1） P ( X 0 0, X 2 1) ；（2） P ( X 2 0) ． 8．设马氏链 { X n , n 1} 的状态空间为 S {1,2,3} ，一步转移概率矩阵为
试证此链不是遍历的． 10．设齐次马氏链 { X n , n 0} 的状态空间为 S {0,1,2} ，一步转移概率矩阵为
1 / 2 1 / 3 1 / 6 P 1 / 3 2 / 3 0 0 1/ 2 1/ 2
（画出转移概率图；（2）此链是否遍历？（3）若遍历，求其平稳分布．
随机过程练习题
1．设 Y (t ) Xt a, t T , X 为随机变量， a 为常数，且 E ( X ) 机过程 Y (t ), t T 的均值函数、协方差函数．
, D( X ) 2 ，试求随
2．设随机过程 X (t ) X 1 X 2 t , t R ， X 1 , X 2 为相互独立的随机变量，且都服从正态分布 N (0, ) ．试求随机过程 X (t ) 的一维分布．

(完整版)随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

随机过程题目

1、Poisson 过程
2、更新过程
3、Lundberg-Cramer 破产模型
4、鞅
1、设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已有无数患者等候，而每次专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是独立的指数分布，求8:00-12:00门诊结束时接受过治疗的患者在医院停留的平均时间。

2、
+1”分，负者记“
-1”分，和局不计分，且当两人中有一人获得2分时结束比赛。

Markov 链。

求
（1）一步转移概率矩阵。

（2）求在甲获得1分的情况下，不超过两局可结束比赛的概率。

1
2、
1元，出现反面则输1元。

假设每次赌博所下赌注将于前面硬币的投掷结果有关，
后所输（赢）的总钱数，
设Markov。

随机过程(超容易理解+配套例题)

t
令 m(t)
(s)ds
0
t
例设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。解考虑非齐次泊松过程，强度函数
1 2.5 (t ) 1 2
10
0t 5 5 t 10
, X n 1 in 1 , X n i )
2、转移概率
定义
i, j S ,
称
P X n 1 j X n i pij n
为n时刻的一步转移概率。若
i, j S , pij n pij
即pij与n无关，则称{Xn,n≥0}为齐次马尔可夫链。记P=(pij)，称P为 {Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
2、Poisson过程计数过程 {N(t),t 0}称为参数为 ( 0)的Poisson 过程，如果（1）N(0)=0; (2)过程有独立增量； (3)对任意的 s, t 0, P{N(t s) N(s) n} e t , n 0,1, 2.....
0 1 2 1 P 4 0 0 0 1 2 0 1 4 0 0 0 1 2 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0
2 5 1 3
6
4
假定某大学有一万人，每人每月使用一支牙膏，并且只使用“中华”牙膏和 “黑妹”牙膏两者之一。根据本月的调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查，使用黑妹牙膏的3000人中，有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏，40%的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70%的人下月将继续使用中华牙膏，30%的人将改用黑妹牙膏。 1）我们可以得到转移概率矩阵

概率统计随机过程习题

习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。

习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。

习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。

随机过程超容易理解配套例题

研究随机过程旳一种主要切入点就是研究一种随机信号旳数字特征，数字特征主要涉及数学期望、有关函数、方差、协方差、均方值。其中数学期望是一阶矩，背面四个是二阶矩。能够经过研究随机过程旳二阶矩特征来判断随机过程是否平稳等等。
Poisson过程
1、计数过程：随机过程N(t),t 0称为计数过程，假如N(t) 表达从0到t时刻某一特定事件A发生旳次数，它具有下列两个特点：
t
0
M
t
sf
s ds,
t0 t0
3、更新方程旳解
设更新方程中H(t)为有界函数，则方程存在惟一旳在有限区间内有界旳解
t
K (t) H (t) 0 H (t s)dm(s)
4、更新方程在人口学中旳一种应用
考虑一种拟定性旳人口模型
B(t) ------在时刻t女婴旳出生速率，即在 [t,t+dt]之间有
注：在有限旳时间内不可能有无限屡次更新发生。因为
If EX k 0
Tn
n
所以，if n ,
由大数定律知，依概率1有
n
Then Tn
从而，无穷屡次更新只可能在无限长旳时间内发生，即有限旳时间内最多只能发生有限次更新。
N t supn;Tn t maxn;Tn t
2、更新方程：如下形式旳积分方程称为更新方程
取有限或可列个值（称为过程旳状态，记为0，1，2，…），
而且，对任意n 0 及状态 i, j,i0,i1, ,in1 ，有
P( X n1 j X 0 i0 , X1 i1, , X n1 in1, X n i) P( X n1 j X n i)
2、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i pij n

随机过程习题及部分解答(共享).docx

随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量，求X(/)的一维概率密度Px(x；t)。

2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量，求X(/)的一维分布。

习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量，求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。

4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量，a为常数，试求X(/)的值与相关函数。

习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。

2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微，a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微，且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明：若X⑴,twT均方可微，/X/)是普通的可微函数，则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微，且X0)在[a,切上均方连续，则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明，设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程，且在T上均方可积，a和0为常数，则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。

随机过程习题集

随机过程习题集
1. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，且满足转移概率 P{X(t+s) = j | X(t) = i} = P{X(s) = j | X(0) = i}。

证明该随机过程是齐次马尔可夫过程。

2. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个连续时间马尔可夫链，其状态空间为非负整数集合。

设转移速率为λi>0，即
P{X(t+s) = i+1 | X(t) = i} = λi·s + o(s)，其中 o(s) 表示当
s 趋于 0 时，o(s)/s 无界。

证明该随机过程是无记忆的。

3. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，其状态空间为有限集合 S = {1, 2, ..., n}，转移概率矩阵为 P = [pij]，即 P{X(t+s) = j | X(t) = i} = pij。

证明当 t 趋于无穷大时，P(t) = [Pij(t)] 是一个稳态过程，即其转移概率与时间 t 无关。

4. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，其状态空间为非负整数集合。

记τ0 = 0 且τ1 = inf{t > 0: X(t) = 0}。

证明条件P{τ1 < ∞ | X(0) = i} = 1 当且仅当 i > 0。

5. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个服从泊松过程的随机过程，其到达速率为λ。

证明对于任意t ≥ 0，有P{X(t) ≥ 2} = 1 - e^(-λt) - λt e^(-λt)。

这是一些关于随机过程的习题，希望能对你有帮助！如果
你还有其他问题，可以继续提问。

随机过程习题答案

随机过程复习题一、填空题：1．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，)()]()([12123t t t X t X E -=-，则15486}6)5(,4)3(,2)1({-====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P2. 已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P 则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P 3．强度λ的泊松过程的协方差函数},min{),(t s t s C X λ= 4．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，则)]()([)(πωδπωδπω-++=X S5.对于平稳过程X (t)若)()]()([)()(τττX R t X t X E t X t X =+>=+<以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

6.已知平稳过程)(t X 的谱密度为23242++=ωωωω)(S ，则)(t X 的均方值=2222- 7. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量，则0)(>=<t X ，ωττcos 2)()(2a t X t X >=+<8．设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32()0(=p ，则2X 的分布律为 (2)P = (0.547,0.453)，234(1,1,0)________P X X X ====0.099.设...)2,1,0(=n Xn是只有两个状态的齐次马氏链，其n步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n nD C n P 21311)(，则n n C D ==nn 21,31二、计算与证明：1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为31，晴天转雨天的概率为21，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，nX 表示第n 天的状态（0或1）。

随机过程补充例题

随机过程补充例题例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。

甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。

他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。

求甲输光的概率。

解此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。

由题知，甲赢1元的概率为b p a b=+，输1元的概率为a q a b=+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金，inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ表示最终摸球次数。

如果inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。

设A =“第一局甲赢”，则()bp A a b=+，()ap A a b=+，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+01f =，0m n f +=解具有边界条件的差分方程由特征方程2()p q p q λλ+=+（1）当q p ≠时，上述方程有解121,q pλλ==，所以差分方程的通解为212()n qf c c p=+代入边界条件得1()11()nn n mq pf q p+-=--（2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为12n f c c n =+代入边界条件得1n nf n m=-+ 综合（1）（2）可得1()11()1n n m n q p p qq f p n p qn m +⎧-⎪-≠⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪+⎩若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为()lim 1n jian m q p q p p f p q→∞⎧>⎪==⎨⎪≤⎩由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时，他以正的概率()n q p输光，只是他的最初赌金n 越大输光的概率越小。

随机过程考试真题考试

P{ X o = 2} = P{ X 0 = 3} = 0时，经两步转移后处于状态 2的概率。

(2)求马尔可夫链的平稳分布。

5设马尔可夫链的状态空间 I =｛1,234,5｝，转移概率矩阵为:求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

6、设｛N(t),tX0｝是参数为几的泊松过程，计算E ［N(t)N(t +s)］。

7、考虑一个从底层启动上升的电梯。

以N i 记在i 第层进入电梯的人数。

假定 N i 相互独立,且叫是均值为的泊松变量。

在第i 层进入的各个人相互独立地以概率 p ij在第j 层离开电梯，2 P ij =1。

令O j =在第j 层离开电梯的人数。

j >1、设随机过程 X(t)=Rt +C , t €(0,oc ) , C 为常数，R 服从［0,1］区间上的均匀分布。

(1 )求X(t)的一维概率密度和一维分布函数; (2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。

2、设 M(t),-处<t <处｝是参数为CT 2的维纳过程，R~ N(1,4)是正态分布随机变量; 且对任意的-比<t <^，W(t)与R 均独立。

令 X(t)=W(t ) + R ,求随机过程｛x(t), <t <-^｝的均值函数、相关函数和协方差函数。

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即几=180 ;且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：『0.3 007(1)求两步转移概率矩阵0.70.2 0、0.80.3丿p ⑵及当初始分布为P{X 0 =1} =1, 「0.3 0.4 0.3 00.6 00.4 1 0 0 0.3 00 0.7O j与O k的联合分布是什么& 一质点在1,2,3点上作随机游动。

若在时刻t质点位于这三个点之一，则在［t,t +h）内, 它都以概率h +o（h）分别转移到其它两点之一。