2[1].2.3两条直线位置关系
两直线的位置关系公式
两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。
在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。
下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。
1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。
此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。
如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。
在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。
用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。
相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。
直线相交的条件是它们的斜率不相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。
重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。
这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。
在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。
直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。
高二上学期数学人教B版选择性必修第一册2.2.3两条直线的位置关系(2)课件(共21张PPT)
高二上学 期数学 人教B版 选择性 必修第 一册2. 2.3两 条直线 的位置 关系（2 ）课件 (共21 张PPT）
例题2.分别求下列直线的方程： (2)过点(1,2)且与直线 2x+y 10 0 垂直的直线 l2 ； 解：(2)依题意可设 l2 的方程为 x 2 y C 0 由于 l2 过点(1,2)，因此 1 2 2 C 0 解得 C 3. 因此直线 l2 的方程为 x 2 y 3 0 .
解：（1）将
l2
的方程化为斜截式为
y 1x1 22
，l2
的斜率为
1 2
，又因为
l1
的斜率为2，而且
1 2
2=1
1，
从而 l1 与 l2不垂直.
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设直线 l1 : A1x B1 y C1 0,l2 : A2 x B2 y C2 0 当 B1 B2 0 时，
则两条直线垂直的充要条件是 A1A2 B1B2 0 当 B1 B2 =0 时，两条直线垂直时上式仍然成立. 因此两条直线垂直的充要条件是 A1A2 B1B2 0
2.2.3 两条直线的位置关系
张喜林制2.2.3 两条直线的位置关系教材知识检索考点知识清单1． 两条直线相交、平行与重合的条件已知两条直线的方程为：.0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l21l l 与相交的条件是 或21l l 与平行的条件是 且 或21l l 与重合的条件是 =/λ（)0或2．两条直线垂直的条件已知两条直线,0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 21l l 与垂直的条件是要点核心解读1．判定两条直线相交、平行的方法方法一：解由两直线方程组成的方程组，由方程组的解的情况判定两直线的位置关系，这种方法虽然思路清晰，但运算较繁琐．方法二：利用斜率判断，但要保证两直线的斜率都存在．,:,:22221111b x k y l b x k y l +=+=21l l 与相交的条件是：;21k k =/21l l 与平行的条件是：21k k =且⋅=/21b b,0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l21l l 与相交的条件是：;0A 21211221B B A A B A B =/=/-或 21l l 与平行的条件是：0012211221=/-=-C B C B B A B A 且或⋅=/=212121C C B B A A 具体步骤如下：(1)给222111C B A C B A 、、、、、赋值；(2)计算;,1221212211C B C B D B A B A D -=-=(3)若,01=/D 则21l l 和相交；(4)若,0,021=/=D D 则21l l 和平行．2．判定两条直线垂直的方法已知两条直线如下：,0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l21l l 与垂直的条件是：.02121=+B B A A设1l 的斜率2111,l B A k -=的斜率,222B A k -=则有.121-=k k 具体步骤如下：(1)给222111C B A C B A 、、、、、赋值；(2)计算;2121B B A A M +=(3)若M=O ，则;21l l ⊥若M≠0，则21l l 与不垂直．3．与直线0:=++C By Ax l 平行或垂直的直线若直线l l 与/平行，则/l 可设为);(0C D D By Ax =/=++若直线/l 与l 垂直，则/l 可设为.0/=+-D Ay Bx过点),(00y x 且与0=++C By Ax 平行的直线可表示为;0)()(00=-+-y y B x x A过点),00y x （且与0=++C By Ax 垂直的直线可表示为.0)()(00=---y y A x x B 典例分类剖析考点1 已知两直线垂直或平行，求直线方程命题规律考查两直线垂直或平行时斜率之间的关系，依已知条件写出直线方程（如例1）．[例1] 求满足下列条件的直线L 的方程．(1)过点P(2，-1)且与直线0623=--y x 平行；(2)过点P(l ，-1)且与直线0132=++y x 垂直．[答案] (1)解法一：已知直线0623=--y x 的斜率 ⋅=231k 已知直线与L 平行，l ∴的斜率⋅=23k 由点斜式得L 的方程为),2(231-=+x y 即.0823=--y x解法二：设直线的方程为,023=+-C y x 由点P （2，-1）在直线上，得,0)1(223=+-⨯-⨯C .8-=∴C 故直线L 的方程为.0823=--y x(2)解法一：直线0132=++y x 的斜率,32/-=k 由垂直条件得L 的斜率,231/=-=k k 由点斜式得L 的方程为),1(231-=+x y 故L 的方程为.0523=--y x 解法二：由L 与直线0132=++y x 垂直可设L 的方程为 .023=+-C y x 点P(l ，-1)在L 上， =+-⨯-⨯∴C )1(213,0得l C ∴-=,5的方程为.0523=--y x母题迁移 1．已知),0,3().0,1()3,0(C B A 、、-求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）．考点2 求参数的值命题规律已知两直线平行或垂直求参数的值．[例2] (1)直线,04)3()2(:21=+-++y m m x m l ,01)3(42:2=--+y m x l 如果,//21l l 求m 的值．(2)直线3)1(:1=-+y a ax l 与2)32()1(:2=++-y a x a l 互相垂直，求a 的值．[答案] (1)解法一：当21l l 的斜率都存在时，由,//21l l 得,422m m =+解得,4-=m 当21l l 的斜率不存在时，21l l 与的方程分别为,21,54=-=x x 显然.3,//21=m l l 故4-=m 或3=m 即为所慕． 解法二：若,//21l l 则有 ⎩⎨⎧=/-⨯--⨯-=⨯---⨯+②①.0)3(44)1()3(,02)3()3(4)2(22m m m m m m m 解得.4-=m当3=m 时，直线21l l 与的方程分别为,21,54=-=x x 显然,//21l l 综上所述.34=-=m m 或 (2)解法一：当a=l 时，;,52,32121l l y l x l ⊥==故为为 当23-=a 时，1l 的方程为2,32523l y x =+-的方程为,225=-x 显然21l l 、不垂直； 当1=/a 且23-=/a 时，由121-=⋅k k 得,13211-=+-⨯-a a x a 解得.3-=a 综上所述，当a=l 或a= -3时，⋅⊥21l l解法二：利用,02121=+B B A A 即,0)32)(1()1(=+-+-a a a a.31-==a a 或解得[点拨] 用斜率来判断两直线的平行或垂直时，应分有无斜率两种情况加以讨论j 而用一般式Ax+ By+C=0判断时，要注意A 、B 为零时的特殊情况，即方程中x 和y 的系数有字母参数时，应分等于零和不等于零两种情况讨论，以避免遗漏特殊情况．母题迁移 2．已知两条直线0111=++y b x a 和+x a 2012=+y b 的交点为P(2，3)，求过两点 ),(),(2211b a B b a A 、的直线方程．考点3 两相交直线命题规律已知两直线相交，求交点坐标或求其相关参数．[例3] 已知两条直线+-=++x m l my x l )2(:,056:21,0215=+m y 当m 为何值时，:21l l 与(1)相交；(2)平行；(3)重合．[答案].0215)2(:,056:21=++-=++m y x m l my x l (1)当01221=/-B A B A 即0)2(15=/--m m 即5=/m 且3-=/m 时，21l l 与相交． (2)当⎩⎨⎧=/-=-,0,012211221C B C B B A B A 即⎩⎨⎧=/-=--,0182,0)2(152m m m 即5=m 时，21l l 与平行． (3)当⎩⎨⎧=-=-,0,02211221l C B C B B A B A 即⎩⎨⎧=-=--,0182,0)2(152m m m 即3-=m 时，21l l 与垂合． 综上可知，当5=/m 时且3-=/m 时，21l l 与相交；当5=m 时，;//21l l 当3-=m 时，21l l 与重合．母题迁移 3．求经过两直线042:1=+-y x l 和+x l :202=-y 的交点P ，并且与直线0543:3=+-y x l 垂直的直线L 的方程．优化分层测讯第一课时 两条直线平行或重合学业水平测试1．下列说法正确的个数有( )．①若两直线21l l 和的斜率相等，则;//21l l ②若,//21l l 则两直线的斜率相等；③若直线21l l 和中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则21l l 与相交；④若直线21l l 与的斜率都不存在，则⋅21//l lA.1个B.2个C.3个 D ．4个2．直线02=+-k y x 与0124=+-y x 的位置关系是( )．A ．平行B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合3．若直线022=++y ax 与023=--y x 平行，那么实数a 为( )．3.-A 6.-B 23.-C 32.D 4．已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为5．直线012=++y x 与直线0336=++y x 的位置关系为6．已知直线0653:1=-+y x l 和,03106:2=++y x l 求证：⋅21//l l高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．若方程01)253()26(22=-++-+--a y a a x a a 表示平行于y 轴的直线，则a 的值是( )．32.A 21.-B 1.C D ．不存在 2．直线04)1(2:1=+++y m x l 与直线023:2=-+y mx l 平行，则m 的值为( )．2.A3.-B 32.-或C 32.--或D3．直线014=-+y Ax 与直线03=--C y x 重合的条件是( )．0,12.=/=C A A ⋅=-=41,12.C A B 41,12.-=/-=C A C 41,12.-=-=C A D 4．（2009年上海）已知直线01)4()3(:1=+-+-y k x k l 与:2l 032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是( )．A.l 或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或25．下列叙述中，直线21l l 与一定平行的是( )．1l ①的斜率为2,2l 经过点);8,4()4,2(B A 、1l ②经过点2),3,5().3,3(l Q P -平行于x 轴，但不经过P 、Q 两点；1l ③经过点2),2,5()0,1(l N M h --经过点、)3,4(-R );5,0(S 1l ④的斜率为2,5l 经过点⋅)7,2()6,1(B A N①.A ②.B ③.C ④.D6．已知直线L 的方程为),(,0),(111y x P y x f =和),(222y x P 分别是直线L 上和直线L 外的点，则方程 ,),(),(211x f y x f y x f （--0)2=y 表示( )．A ．与L 重合的直线B ．过点1P 且与L 垂直的直线C ．过点2P 且与L 平行的直线D ．不过点2P 但与L 平行的直线7．已知直线--=⋅+-+-x k l y k x k l )3(2:01)4()3(:21与032=+y 平行，则k 的值是( )．A.l 或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或28．过点（-1，3）且斜率为23-k 的直线1l 与过点)0,2(k -且斜率为32+k k 的直线2l 平行，则实数k 的值是( )． 91.或-A 91.或B 9.C 1.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知直线L 过直线01053:1=--y x l 和01:2=++y x l 的交点，且平行于,052:3=-+y x l 则直线L 的方程是10.过点(2，1)且与直线0132=++y x 平行的直线方程为11.方程0=++C By Ax 与方程0122=+++C By Ax 表示两平行直线的条件是12．直线022:=--y x l 关于点(2，3)对称的直线/l 的方程是三、解答题（10分x4 =40分）13.已知两条直线,023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l 当m 为何值时，:21l l 与(1)相交；(2)平行；(3)重合．14.已知集合|),{(},123|),{(y x B a x y y x A =+=--=},15)1()1(2=-+-y a x a 当a 取何值时，∅=B A ？15.直线L 与直线024=-⋅-x x 平行且L 与两坐标轴所围成的三角形的周长为12，求直线L 的方程．16.已知三角形ABC 的顶点为),5,2()3,3().1,6(C B A 、(1)求AC 边上的中线的中点坐标；(2)求一点D ，使A 、B 、C 、D 四点能构成平行四边形．第二课时两直线相交和垂直学业水平测试1．给出下列四个命题：①若两条直线互相平行，则这两条直线的斜率相等；②若两条直线的斜率相等，则这两条直线互相平行；③若两条直线互相垂直，则这两条直线斜率的乘积等于-1;④若两条直线的斜率乘积等于-1，则这两条直线互相垂直，其中，正确命题的个数为( )．A.l 个B.2个C.3个D.4个2．直线012=++y ax 与直线02=-+y x 互相垂直，那么a 的值等于( )．1.A 31.-B 32.-C 2.-D 3．直线3)23(=+-y x 和直线2)32(=-+y x 的位置关系是( )．A ．相交但不垂直B ．垂直C ．平行D ．重合4．过点(3，5)且与073)5(3=-+++-m y m mx 垂直的直线方程为5．已知直线024=-+y mx 与052=+-n y x 互相垂直，且垂足为(1，p)，则p n m ++的值为6．当a 为何值时，直线01)1()2(:1=--++y a x a l 与直线:2l 02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．若点A （3，-4）与点B(5，8)关于直线L 对称，则直线L 的方程为( )．0166.=++y x A 0226.=--y x B 0166.=++y x C 0166.=-+y x D2．由三条直线033,022=--=+-y x y x 和0526=++y x 围成的三角形是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．已知两直线02:1=-+y mx l 和043)2(:2=+-+y x m l 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则m 的值为( )．31.-或A 31.或-B 212.-或C 221.-或D 4.若点PP （a,b ）与点)1,1(+-a b Q 是轴对称的两点，则对称轴的方程是( )．0.=+y x A 0.=-y x B 01.=-+y x C 01.=+-y x D5．直线L 过点（-1，2）且与直线0432=+-y x 垂直，则L 的方程是( )．0123.=-+y x A 0723.=++y x B 0532.=+-y x C 0832.=+-y x D6．若三条直线021010832=+++=--=++k ky x y x y x h 、相交于一点，则k 的值为( )． 2.-A 21.-B 2.C 21.D 7．过直线042=+-y x 和05=+-y x 的交点，且垂直于直线02=-y x 的直线方程是( )．082.=++y x A 082.=--y x B 0.82.x y x C -+ 082.=+-y x D8．（2008年四川）将直线x y 3=绕原点逆时针旋转,90o 再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为( )．3131+-=⋅x y A 131+-=⋅x y B 33-=⋅x y C 131+=⋅x y D 二、填空题（5分x4 =20分）9．求过直线012=+-y x 和013=-+y x 的交点，且与直线03=-y x 垂直的直线方程是10．已知.023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l 若,21l l ⊥则m 的值为11.直线0=-+a ay x 与直线01)32(=---y a ax 互相垂直，则a 的值为12.点P(3，5)关于直线023:=+-y x l 的对称点/P 的坐标是三、解答题（10分x4 =40分）13．求与直线0534=+-y x 垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线方程．14.已知两条直线,0)1(:,04:21=++-=++b y x a l by ax l 若,21l l ⊥且1l 过点（-1，1），求a 、b 的值．15.求过直线053=-+y x 和0432=+-y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．16．已知点A 的坐标为（-4，4），直线L 的方程为.023=-+y x求：(1)点A 关于直线L 的对称点,/A(2)直线L 关于点A 的对称直线/l 的方程．。
2.1.3两条直线的位置关系
[思路探究] 1.若两直线斜率相等，能否判定这两直线就一定平行？ 2．判断两直线平行的关键点是什么？
第二章
解析几何初步
栏目导引
[边听边记]
1－－2 (1)直线 l1 的斜率 k1＝2－－1＝1，
－ 1－ 4 5 直线 l2 的斜率 k2＝－1－3＝4， 因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (2)因为 l1，l2 都与 x 轴垂直且 l1，l2 不重合， 故 l1∥l2. (3)由题意可知直线 l1 的斜率 k1＝tan 60° ＝ 3， － 2 3－ 3 直线 l2 的斜率 k2＝ －2－1 ＝ 3， 因为 k1＝k2，所以 l1∥l2 或 l1，l2 重合．
所示 ) 若 l1，l2 的斜率都不存在，则
k1· k2＝－1 (如图 ⊥ l2⇔ ______________
③所示) 若 l1，l2 有一条直线的斜率不 存在，则 l1⊥l2⇔另一条直线
l1∥l2 (如图②所示)或 l1 与 ______
重合 l2_____
为0 (如图④所示) 的斜率______
1．3
两条直线的位置关系
第二章
解析几何初步
栏目导引
第二章
解析几何初步
栏目导引
在平面几何中，两条直线平行，同位角相等． [问题 1] 在平面直角坐标系中，若 l1∥l2，那么它们的倾斜角有什么关系？
斜率有什么关系？
[提示] 倾斜角相等，斜率相等或不存在． [问题2] 若l1，l2的斜率相等，l1与l2一定平行吗？
第二章
解析几何初步
栏目导引
[规律方法]
判断两条直线是否平行的步骤
第二章
解析几何初步
栏目导引
1．判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(1,2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－1,5)． (2)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,1)，l2 经过点 M(－1,4)，N(－1，5)． (3)l1 经过点 A(－1,2)，B(－3,1)，l2 经过点 M(－1,4)，N(1,5)．
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系 Ting Bao was revised on January 6, 20021两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.选择题：设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行； 必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1； 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) B ．2－ 2 －1 ＋1解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2，∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析 若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析 若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0，若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点A (m ＋1，0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4，3)，D (0，5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1 解析 由题意得：k AB ＝m －0－5－m ＋1＝m －6－m ，k CD ＝5－30－－4＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m ＝12，所以m ＝－2当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎨⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0 解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．填空题：已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为_____解析 由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25(当且仅当ba＝ab ，即a ＝b ＝5时取等号)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________ 解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________解析由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1， 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为______ 解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________解析由题意得⎩⎨⎧a ＋ba －1＝0，4a 2＋－b 2＝|b |a －12＋1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为_______ 解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－－3|1＋1＝2 2.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析 设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3313，413.解答题：已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α，要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22. 所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0.设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0，即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程 解 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程 解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程． 解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)， 又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 解方程组⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解 依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0， 联立l AC 、l CM 得⎩⎨⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎨⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.专项能力提升若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．23 解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求m －02＋n －02的最小值，而m －02＋n －02表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.已知直线l ：y ＝12x －1，(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ； (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．解 (1)设Q (x 0，y 0)，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－3＝－2，y 0＋42＝12·x 0＋32－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝295，y 0＝－85，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295，－85.(2)在l 上任取一点，如M (0，－1)，则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与l 平行， ∴所求方程为y －7＝12(x －4)，即为x －2y ＋10＝0.。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
的取值范围。
1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
重合。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
2_1两条直线的位置关系教案
2.1 两条直线的位置关系教学目标：知识与技能：在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。
过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观点、推理水平和有条理表达的水平。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，理解到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的相关问题，这些问题能够抽象成数学问题，用数学方法予以解决。
教学重点：（1）让学生了解同一平面，两条直线的位置关系（2）理解掌握对顶角的定义及其性质（3）理解掌握余角、补角的定义及其性质教学难点：补角、余角性质的应用教法与学法指导以学生活动为主线，通过精心设计的问题导语启发、点拨，引导学生观察、探究、讨论、对比、归纳、发现、创造等参与活动的综合形式教学.指导学生在课堂实践活动中，自主探索,合作交流,获得知识, 提升技能,培养创造意识.一、感受生活，引入课题请同学们欣赏幻灯片，同学们看到有一些相互平行的直线，也有纵横相交的直线。
--------由此引出课题。
二、自主学习，探究新知两条直线的位置关系：相交与平行1.一般地，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种： 和 .2. _______________________________为相交线。
3. ________________________________叫做平行线.强调关键词“在同一平面内”的意义。
（结合反例）设计意图：独立思考、学会思考是创新的核心。
数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备。
通过亲自经历提炼相关数学信息的过程，能够让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学。
充分利用现代化教学手段增强直观教学，引起学生学习的兴趣：通过师生互动，生生互动，增加学生之间的凝聚力，在相互探讨中激发学生学习积极性，提升学课堂效率。
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.选择题：设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行； 必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1； 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2，∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7 D.133解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析 若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析 若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0，若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点A (m ＋1，0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4，3)，D (0，5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1 解析 由题意得：k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m－6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m＝12，所以m ＝－2当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0 解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．填空题：已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为_____解析 由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b ＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25(当且仅当b a ＝ab ，即a＝b ＝5时取等号)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________ 解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________解析 由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)，∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1， 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为______ 解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋(－b )2＝|b |(a －1)2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为_______解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析 设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.解答题：已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sinα，要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±22.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程解点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程． 解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)， 又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43， 由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解 依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0， 联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤P A (当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝P A ＝(5－2)2＋(0－1)2＝10.专项能力提升若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值，而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.已知直线l ：y ＝12x －1，(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ； (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．解 (1)设Q (x 0，y 0)，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l 上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－3＝－2，y 0＋42＝12·x 0＋32－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝295，y 0＝－85，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295，－85.(2)在l 上任取一点，如M (0，－1)，则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与l 平行， ∴所求方程为y －7＝12(x －4)，即为x －2y ＋10＝0.。
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16 k 1或k 3
2 2 6 16 k 4, , ,1, 3 3 3
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 பைடு நூலகம்2
x
1
O
2
甲
乙
丙
结论3： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
两直线的斜率都不存在时，互相平行.
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0
那么L1∥L2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
（A 2 B2C2 0）
或A1B2－A2 B1＝0而B1C2－B2C1 0或A1C2－A2C1 0
l1与l2重合
练习 已知直线(a 2) x (1 a ) y 3 0
与
(a 1) x (2a 3) y 2 0 互相垂直，求的值
a 1
小结：
两直线平行
两直线垂直
结论4：
一般地，我们把与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程表示为Bx-Ay+D=0 ，其中D待 定（垂直直线系） 同样可证明与直线y=kx+b（k 0）垂直的
1 直线可表示为y= x+ b1 k
例5.求通过下列各点且与已知直线垂直 的直线方程： （1）（－1，3），y=2x-3
（2）（1，2），2x+y-10=0
k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不成立．
特殊情况下的两直线垂直．
当两条直线中有一条直线斜率不存在，另一条 直线的斜率为0时，两直线垂直。
l1 l2 k1 k2 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 0 为
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0. 那么L1⊥L2
A1A2+B1B2=0
例3.判断下列各组中的两条直线是否垂直 （1）2x-4y-7=0与2x+y-5=0
1 （2）y=3x+1与y= x+5 3
（3）2x＝7与3y-5=0
例4.求证：直线Ax+By+ C 1=0与直线 Bx-Ay+ C 2 =0垂直.
证明：因为 AB＋B(-A)＝0 所以这两条直线垂直
同样可证明与直线y=kx+b平行的 直线可表示为y= kx+ b1
例2.求通过下列各点且与已知直线 平行的直线方程。
1 (1)( 1,2), y x 1 2
(2)(1,4),2 x 3 y 5 0
1 若直线 x 2ay 1和 2 x 2ay 1 平行，则 a =
l1与l2相交
A1 B1 = C1 ( A2 B2C2 0) A2 B2 C2
或A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 ( 0)
A1 B1 （A 2 B2 0）或A1B2－A 2 B1 0 A 2 B2
例题讲解
已知直线1 : Ax By C1 0, l 2 : Ax By C 2 0, l 例1 求证：当 1 C2时，l1与l 2 平行. C 证 明 ： 因 为 BA 0, AB 所 以l 1与l 2 平 行 或 重 合 。 又 因 为 BC2－BC1＝B(C 2 C1 )
高一数学组
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
x
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2 那么 L1∥L2 k1=k2 且b1 b2
l1与l2重合 k1 k2且b1 b2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才 成立的，缺少这个前提，结论并不成立． 特殊情况下的两直线平行:
0
。
1
2 若直线 x ay 2a 2和 ax y a 1平行，则 a =
3 直线 Ax 2 y 1 0和直线 6 x 4 y C 0平行 的条件是
A 3且C －2 。
4.设三条直线
l1 : x 2 y 1, l2 : 2x ky 3, l3 : 3kx 4 y 5
当B 0时，已知 1 C2，所以 C
BC 2 BC 1 0,因此两直线平行；
当B 0时，由直线方程的定义 A 0， ，知 C1 C2 两直线方程为： x ,x , 都 与x轴 垂 直 A A 又由于 1 C2，所以两直线平行。 C
结论2：
由例1所证结论，我们把与直线 Ax+By+C=0平行的直线方程 表示成Ax+By+D=0 （D C）， 其中D待定（平行直线系）