探索两直线位置关系1.1 两条直线的位置关系(第1课时)
《两直线的位置关系》课件
CHAPTER 04
两直线的关系应用
解析几何中的应用
解析几何的基本概念
01
解析几何是研究图形与坐标之间的关系，通过代数方法解决几
何问题。两直线的位置关系是解析几何中的基本问题。
直线的方程
02
在二维坐标系中，直线可以用一个或两个方程来表示。例如，
通过两点式、点斜式、截距式等可以求出直线的方程。
两直线的交点
两直线的斜率与截距
斜率的定义与计算
总结词
斜率是直线在平面上的一个重要属性，它表示直线相对于x轴 的倾斜程度。
详细描述
斜率是直线方程y=kx+b中k的值，它表示直线在y轴上的单 位长度内，x轴的变化量。如果k为正数，则直线向右上方倾 斜；如果k为负数，则直线向右下方倾斜。
截距的定义与计算
总结词
截距是直线与y轴和x轴相交的点，表示直线在坐标轴上的位置。
判断方法
斜率法
若两直线斜率相等且截距不等，则两 直线平行；若斜率不存在且截距相等 ，则两直线平行。
交点法
若两直线无公共点，则两直线平行或 重合；若两直线有且仅有一个公共点 ，则两直线相交；若两直线有无数个 公共点，则两直线重合。
平行与垂直的性质
平行性质
平行直线间的距离是固定的，且与两直线的方向向量或斜率有关。
03
两直线相交于一点，这个点是两直线的交点。求两直线的交点
可以通过联立两直线的方程来求解。
三角函数图象中的应用
01
三角函数的图象与性质
三角函数（如正弦、余弦、正切等）的图象是周期性的，这些图象在某
些部分表现出直线性。
02
三角函数与直线的交点
在三角函数的图象中，求直线与三角函数的交点可以通过将直线的方程
北师版数学七年级下册教学课件 第2章 相交线与平行线1 两条直线的位置关系(第1课时)
解:互余的角:∠AOD和∠EOD,∠EOD和 ∠EOC,∠EOC和∠COB,∠AOD和∠BOC;
互补的角:∠AOD和∠BOD,∠AOE和 ∠BOE,∠AOC和∠BOC,∠AOC和 ∠DOE,∠EOC和∠BOD;
相等的角:∠AOD=∠EOC,∠EOD=∠BOC.
3.如图所示,小颖想测量一堵拐角高
墙在地面上所成的角∠AOB的度数,人 不能进入围墙内,你能帮小颖想出简单 的测量方法吗?请简述你的方法,并说 C
【知识归纳】 在同一平面内,两条直线的位置关系有相交
和平行两种.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线 为相交线.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
对顶角的定义与性质
观察下面两个图形,思考以下几个问题.
问题1 观察上面图中的∠1与∠2、∠3与∠4的位置有什么关系,大小有 何关系,为什么? 问题2 剪子在剪东西的过程中,∠1和∠2还保持相等吗?∠3和∠4呢? 你有何结论? 【归纳总结】 如图①所示,直线AB和CD相交于点O,∠1和∠2有公 共点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫对顶 角.对顶角有如下性质:对顶角相等.
[知识拓展]
1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种,相交
时两条直线只有一个公共点,平行指的是两条直线平行,而不是线段
或射线.
2.对顶角必须具备的两个要素:①有公共顶点;②两边互为反向延 长线.
3.互为余角、互为补角是指两个角之间的关系,是成对出现的.两 角互为补角并不一定一个是钝角一个是锐角,也有可能是两个直角.
【即时练习】
1.下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是 ( D )
2.如图所示,有一个破损的扇形零件,利用图中的量角器可以量出这 个扇形零件的圆心角的度数.你能说出所量角是多少度吗?为什么?
第二章第01讲 两条直线的位置关系(7类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第01讲两条直线的位置关系(7类热点题型讲练)1．理解对顶角、补角和余角的概念，能在图形中辨认；2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；3．掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题．4．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；5．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；6．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．知识点01相交线1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O2.对顶角的概念及性质对顶角的概念概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.性质：对顶角相等.3.互补与互余互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.知识点02垂线1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线l的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线l的距离，此时线段AB叫垂线段.题型01对顶角的定义【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在下图中，1∠为对∠，2顶角的是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，1∠与2∠是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各图中，1∠和2∠是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．题型02利用对顶角相等求角度【例题】（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分BOD ∠，若40AOC ∠=︒，则COE ∠的度数为（）A ．145︒B ．150︒C ．155︒D ．160︒【变式训练】A ．20︒B 2．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图，两直线相交于一点，若则∠3的度数为题型03求一个角的余角、补角【例题】（2023上·四川内江题型04垂线的定义的理解与应用【例题】（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图，P 是直线l 外一点，A ，B ，C 三点在直线l 上，且PB l ⊥于点B ，90APC ∠=︒，则下列结论中正确的是（）①线段BP 的长度是点P 到直线l 的距离；②线段AP 是A 点到直线PC 的距离；③在PA PB PC ，，三条线段中，PB 最短；④线段PC 的长度是点P 到直线l 的距离A ．①②③B ．③④C ．①③D ．①②③④【变式训练】1．（2023下·河南濮阳·七年级统考期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l 是起跳线，则需要测量的线段是（）A ．AEB ．AC C ．AD D ．BE2．（2023下·山东临沂·七年级校考阶段练习）如图所示，下列说法不正确的是（）A ．点B 到AC 的垂线段是线段ABB ．点C 到AB 的垂线段是线段AC C ．线段AD 是点D 到BC 的垂线段D ．线段BD 是点B 到AD 的垂线段题型05利用垂线的定义求角的度数【例题】（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，直线、AB CD 相交于点O ，EO OF ⊥，且OC 平分AOE ∠，若36BOF ∠=︒．(1)求AOC ∠的度数；(2)写出DOF ∠的度数是________°．【变式训练】1．（2023上·北京石景山·七年级统考期末）已知：OA OB ⊥，射线OC 是平面上绕点O 旋转的一条动射线，OD 平分BOC ∠．(1)如图，若40BOC ∠=︒，求AOD ∠．(2)若()0180BOC αα∠=︒<<︒，直接写出AOD ∠的度数．（用含α的式子表示）2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，直线AB 与CD 相交于点F ，EF AB ⊥于点F ．题型06作垂线与求点到直线的距离(1)画线段AB，画直线(2)过点D画直线AC的垂线，垂足为(3)点D到直线AC的距离为线段【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C都在格点上．(1)过点A作直线BC的垂线，垂足为G；(2)过点A作直线AH AB⊥，垂足为A，直线AH交BC于点H；(3)点A到直线BC的距离等于__________个单位长度．2．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P 是AOB ∠的边OB 上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．(1)过点P 画OB 的垂线，交OA 于点E ；过点P 画OA 的垂线，垂足为F ；(2)线段PF 的长度是点P 到______的距离，线段______的长度是点E 到直线OB 的距离，所以线段PE PF OE 、、这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．题型07与对顶角、余角、补角、直角有关的综合计算问题【例题】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，75BOC ∠=︒，射线ON 将AOD ∠分成两个角，且:2:3AON NOD ∠∠=．(1)求AON ∠的度数；(2)若OM 平分BON ∠，则OB 是COM ∠的平分线吗？判断并说明理由．【变式训练】1．（2023下·陕西西安·七年级校联考阶段练习）如图，直线AB CD ，相交于点O ，OM CD ⊥，垂足为O ，28BOD =︒∠(1)求AOM ∠的度数．(2)若OA 平分MOE ∠，求∠BOE 的度数．2．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 与CD 相交于O ，OF ，OD 分别是AOE ∠，∠BOE 的平分线．(1)写出DOE ∠的两个补角；(2)若62BOE ∠=︒，求AOD ∠和EOF ∠的度数；(3)试问射线OD 与OF 之间有什么特殊的位置关系？为什么？一、单选题1．（2023下·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）下列图中，1∠与2∠是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）如图，直线AB CD 、相交于点O ，OE 平分BOC ∠，若:2:5BOD BOE ∠∠=，则AOE ∠的大小为（）A ．60︒B ．90︒C ．100︒D ．105︒3．（2023下·七年级单元测试）如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，则下列说法正确的是（）A ．线段AC 的长表示点C 到AB 的距离B ．线段CD 的长表示点A 到CD 的距离C ．线段BC 的长表示点B 到AC 的距离D ．线段BD 的长表示点C 到DB 的距离4．（2023上·贵州遵义·七年级校联考期末）如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，DOE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠=︒，则BOD ∠的度数为（）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．56︒5．（2023下·天津·七年级校考期末）已知OA OB ⊥，直线CD 经过点O 且40AOC ∠=度，则BOD ∠等于（）A ．130︒B ．50︒C ．130︒或50︒D ．40︒二、填空题9．（2023上·黑龙江哈尔滨·EO AB ⊥，垂足为O ，则∠10．（2023下·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，直线28BOD =︒∠．（1）AOM ∠的度数为（2）若OA 平分MOE ∠三、解答题11．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，点O 为直线AB 上一点，130BOC ∠=︒，OM 平分AOC ∠．(1)求AOM ∠的度数；(2)作射线OP ，若BOP ∠与AOM ∠互余，求COP ∠的度数．12．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）如图，OE CD ⊥于点O ，过点O 作直线AB ．(1)已知35AOC ∠=︒，求∠BOE 的度数．(2)若:3:1BOC BOD ∠∠=，求AOE ∠的度数．13．（2023下·北京怀柔·七年级统考期末）如图，在射线AB 上有一点M ，请选择适当的工具作图，完成以下问题：(1)过点M 作射线AC 的垂线，垂足为点H ；(2)在线段HC 上任取一点N （不与H ，C 重合），连接MN ；(3)在线段MA ，MH ，MN 中，线段______最短，依据是__________．14．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 是BOC ∠的平分线，且::1:2:4BOC DOF AOC ∠∠∠=．(1)若BOC x ∠=︒，则DOF ∠=______︒，AOC ∠=_______︒；（用含x 的式子表示）(2)求AOD ∠的度数；(3)若:1:4,BOE BOF ∠∠=试判断OE 与OF 的位置关系，并说明理由．15．（2023上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE AB ⊥，OF CD ⊥，(1)图中AOF ∠的余角是（把符合条件的角都填出来）(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：①；②；③．(3)①如果160AOD ∠=︒．那么根据可得②如果4AOD EOF ∠=∠，求。
北师大版七年级数学下册两条直线的位置关系(第1课时)课件
图4
归纳总结
作业
习题2.1： 1、3题
呢？你有何结论？
向延长线。
直线AB与CD相交于点O，∠1与 ∠2有公共顶点O，它们的两边互 为反向延长线，这样的两个角叫 做对顶角。
A2 C 4 3O
1
D
B
对顶角相等
反馈训练
1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（D ）
1
2
A
1
2
B
1
C2
1 2
D
2.如图所示，有一个破损 的扇形零件，利用图中的 量角器可以量出这个扇形 零件的圆心角的度数吗？ 你能说出所量角的度数是 多少吗？为什么？
自学交流二
内容：看p39页内容，解决下列问题 1.什么是余角？什么是补角？ 2.它们有什么性质？ 方法：先自学，再在小组内交流， 组长负责解决交流中遇到的问题， 并推举代表在班内展示或提出质疑。 时间：自学3分钟，交流4分钟。
展示释疑
如果两个角的和是900，那么称这两个角 互为余角
如果两个角的和是1800，那么称这两个角 互为补角。
注意：互余与互补是指两角之间的数量关系， 与它们的位置无关。
DO C 12 34
图2.2
AN B 图2.3
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球， 反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 2.2抽象成成图2.3，ON与DC交于点O， ∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
DO
C
12
34
图2.2
学习目标
1、知道同一平面内两条直线的位置关 系：相交、平行。 2、知道对顶角、余角、补角的概念及 性质。 3、能运用对顶角、余角、补角的性质 解决一些实际问题。
自学交流一
人教版B版高中数学必修2：两条直线的位置关系_课件1
4．在知识交汇点处命题是解析几何的显著特征．与 平面向量、三角函数、不等式、数列、导数、立体几何 等知识结合，考查综合分析与解决问题的能力．如结合 三角函数考查夹角、距离，结合二次函数考查最值，结 合向量考查平行、垂直、面积，直线与圆锥曲线的位置 关系与向量结合求参数的取值范围等，与导数结合考查 直线与圆锥曲线位置关系将成为新的热点，有时也与简 易逻辑知识结合命题．
数学总复习
7．两直线的位置关系 对于直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
l1∥l2⇔ k1＝k2 且 b1≠b2
l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 . 对于直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0.
l1∥l2⇔A1B2＝A2B1 且 A2C1≠A1C2(或 B1C2≠B2C1)． l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝ 0 .
命题会紧紧围绕数形结合思想、方程思想、分类讨 论思想、运动变化的观点展开．
●备考指南 1．直线与圆的方程部分 概念多、基本公式多，直线的方程、圆的方程又具 有多种形式，高考命题又以考查基本概念的理解与掌握 为主，故复习时首先要深刻理解直线与圆的基本概念， 清楚直线与圆的方程各自特点、应用范围，熟练地掌握 待定系数法．还应与其它知识尤其是向量结合起来，要 充分利用图形的几何性质和方程的消元技巧，以减少计 算量．深刻领会并熟练运用数形结合的思想方法．
数学总复习
二、分类讨论思想 在直线的方程中，涉及分类讨论的常见原因有：确 定直线所经过的象限；讨论直线的斜率是否存在；直线 是否经过坐标原点等．
数学总复习
三、对称思想 在许多解析几何问题中，常常涉及中心对称和轴对 称的性质，许多问题，抓住了其对称性质，问题可迎刃 而解．
数学总复习
两条直线的位置关系第1课时课件初中数学北师大版七年级下册
3.补角和余角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，类似地， 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 性质：同角(等角)的补角相等，同角(等角)的余角相等.
12
C
4 O3
D
∠1和∠3是对顶角，所以∠1=∠3，故④正确；
B
∠1和∠4是邻补角，所以∠1+∠4=180°，故⑤正确；
四、典型例题
例2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOD与∠BOE互为余角，∠BOE=18°，
求∠AOC的度数.
C
E
分析：根据余角定义可得∠BOD=90°-18°=72°，再根据
创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线.
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种: 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
三、概念剖析
思考：两直线相交只有一个交点，那么两直线相交形成了几个角呢？
A
D
2
1
3
4
C
B
很显然，两直线相交形成了4个角，我们用∠1，∠2，∠3，∠4表示.
求∠2的度数．
A
解：设∠1=2x，∠2=3x，
∵∠AOC和∠DOB是对顶角(对顶角的定义) CDO Nhomakorabea1
2
E
B
∴∠AOC=60°=∠1+∠2，
∵∠1：∠2=2：3，
∴2x+3x=60°，x=12°，
则∠2=3x=3×12°=36°．
四、典型例题
例3.如图ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2. ∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？∠3与∠4有什么关系？为什么？
高中数学优秀教案第二册上.两条直线的位置关系(一)
两条直线的平行与垂直一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直,能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．(二）能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论,培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．(三)学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识,激发学生学习的兴趣．训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．二、教材分析1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．公式的记忆与应用．3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑,上课时要注意解决好这个问题．推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．三、活动设计提问、讨论、解答．四、教学过程（一)特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时:（1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°,互相平行；（2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二）斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和l2的斜率为k1和k2,它们的方程分别是l1: y=k1x+b1; l2: y=k2x+b2．两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．我们首先研究两条直线平行（不重合）的情形．如果l1∥l2(图1—29），那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2,那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2．两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq \x( )要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．现在研究两条直线垂直的情形．如果l1⊥l2,这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1（图1—30），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l1、l2的斜率是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°．可以推出α1=90°+α2．l1⊥l2．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之,如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即（三）例题例1 已知两条直线l1：2x—4y+7=0，L2：x—2y+5=0．求证：l1∥l2．证明两直线平行,需说明两个要点：(1）两直线斜率相等；(2)两直线不重合．证明：把l1、l2的方程写成斜截式:∴两直线不相交．∵两直线不重合，∴l1∥l2．例2求过点A(1，-4），且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．即2x+3y+10= 0．解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0,将A(1,-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0．例3 已知两条直线l1：2x—4y+7=0，l2：2x+y—5=0．求证：l1⊥l2．∴l1⊥l2．例4 求过点A（2，1)，且与直线2x+y—10=0垂直的直线方程．解法1 已知直线的斜率k1=-2．∵所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是x—2y=0．解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A（2，1)代入方程得m=0,所求直线的方程是x—2y=0．（四)两条直线的夹角两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．l1到l2的角有三个要点:始边、终边和旋转方向．现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0，那么θ=90°,下面研究1+k1k2≠0的情形．由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2（图1—32)，甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角．tgα1=k1，tgα2=k2．∵θ=α2—α1(图1-32)，或θ=π-（α1—α2)=π+(α2-α1)，∴tgθ=tg（α2-α1)．或tgθ=tg［π（α2—α1）]=tg(α2-α1）．可得即eq \x( )上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．（五)夹角公式从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角（就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了，这时可以用下面的公式(六）例题解：k1=—2，k2=1．∴θ=arctg3≈71°34′．本例题用来熟悉夹角公式．例2 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0），l1到l2的角是θ，求证:证明:设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(—2，0）在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰的顺序无关．设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则．因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．解得k3=2．因为l3经过点（—2,0），斜率为2,写出点斜式为y=2［x-（-2)]，即2x—y+4=0．这就是直线l3的方程．讲此例题时，一定要说明：无须作图,任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等,要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．(四)课后小结(1）斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；（2）两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直线的设法；（4）与已知直线垂直的直线的设法．（5)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；（6）l1到l2的角的正切公式;（7)l1与l2的夹角的正切公式；（8）等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．五、布置作业1．7练习第1，2,3题习题三第3，10题。
高中数学同步教学 两条直线的位置关系 第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件
解:法一
解方程组
x 2y 1, 2x ky 3,
得
x
y
k k
k
1
6, 4
. 4
即前两条直线的交点为(
k k
6 4
,
k
1
4
).
因为三条直线交于一点,所以第三条直线必过此交点,
故有 3k( k 6 )+4( 1 )=5,
k4
k4
解得 k=1 或 k=- 16 . 3
法二 过直线 x-2y-1=0 与 2x+ky-3=0 的交点的直线可设为 x-2y-1+λ (2x+ky-3)= 0(λ∈R),即(1+2λ)x+(kλ-2)y-1-3λ=0.由于三条直线交于
类型三 直线位置关系的综合应用
【例3】 当m为何值时,三条直线l1:4x+y-3=0与l2:x+y=0,l3:2x-3my-4=0能围成一 个三角形?
解:三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点, 所以 4×(-3m)-2≠0 且-3m-2≠0,
解得 m≠- 1 且 m≠- 2 ;
6
3
又因为 l1:4x+y-3=0 与 l2:x+y=0 的交点为(1,-1),
解:法一 设直线 l 的斜率为 k,则因 l 与直线 3x+4y+1=0 平行,所以 k=- 3 , 4
又因为 l 经过点(1,2),所以 l 的方程为 y-2=- 3 (x-1),即 3x+4y-11=0. 4
法二 设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线的方程为 3x+4y+m=0, 又因为 l 经过点(1,2),所以 3×1+4×2+m=0, 即 m=-11, 所以所求直线 l 的方程为 3x+4y-11=0.
北师大版初中七年级数学下册第二章集体备课教案教学设计含教学反思
第二章相交线与平行线1 两条直线的位置关系第1课时对顶角、余角和补角【知识与技能】在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.【过程与方法】经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.【情感态度】激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决.【教学重点】1.余角、补角、对顶角的概念.2.理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.【教学难点】对“在同一平面内的两条直线”含义的理解.理解等角的余角相等，等角的补角相等.一、情景导入，初步认知向同学们展示一些生活中的图片，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系.【教学说明】数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备.通过亲身经历提炼有关数学信息的过程，可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学.二、思考探究，获取新知探究1：相交线、平行线1.从上面的图片中，你能找出两条直线有几种位置关系吗？2.请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，在同一平面内，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？.【归纳结论】同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种；若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线；同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.【教学说明】让学生用两支笔动手操作，不但培养了学生的动手能力，还能让学生更深层次的体会到平行线的含义，进一步明确同一平面内两条直线的位置关系.探究2：对顶角的概念和性质请先画一画：两条直线直线AB和CD，交于点O，再回答下列问题1.观察：∠1和∠2的位置有什么关系？大小有何关系？为什么？小组合作交流，尝试用自己的语言描述对顶角的定义.2.剪刀可以看成两直线相交，那么剪刀在剪东西的过程中，∠1和∠2还保持相等吗？∠3和∠4呢？你有何结论？【归纳结论】两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角.对顶角相等.探究3：余角、补角的概念和性质1.用量角器，量出∠1、∠2、∠3、∠4的度数，观察∠1与∠3有什么关系？2.图中还有哪些角，具有这种关系？【归纳结论】如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.类似的，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.3.打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图抽象成几何图形，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.小组合作交流，解决下列问题：问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？你还能得到哪些结论？【归纳结论】同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.【教学说明】概括归纳得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，积累数学活动经验.三、运用新知，深化理解1.在下列4个判断中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②不相交的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行的两条射线一定相交；④在同一平面内，不平行的两条直线一定相交.其中正确的个数是(D)A.4B.3C.2D.12.如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是60°3.已知∠α=24°，且∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠γ的余角和补角的度数分别为66°，156°.4.判断.（1）一个角有余角也一定有补角.（）（2）一个角有补角也一定有余角.（）（3)一个角的补角一定大于这个角.（）答案：（1）√（2）×（3）×5.填表：从中，你发现一个锐角的补角比它的余角大.答案：表格第一行：58°，148°；第二行：27°37′，117°37′；第三行：90°-x，180°-x；空格：90°.6.已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.分析：可以利用方程思想解决这道题.解：设这个角为x°，则180-x=4（90-x），∴x=60.答：这个角是60°.7.如图，E、F是直线DG上两点，∠1=∠2，∠3=∠4=90°，找出图中相等的角并说明理由.解：∠5=∠6，理由是：等角的余角相等.8.如图，已知AOB是一直线，OC是∠AOB的平分线，∠DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？解：互余：∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠4与∠3；互补：∠1与∠EOB，∠3与∠EOB，∠4与∠AOD，∠2与∠AOD，∠AOC 与∠BOC，∠AOC与∠DOE，∠BOC与∠DOE.相等：∠AOC=∠BOC=∠DOE，∠1=∠3，∠2=∠4.【教学说明】巩固本节课的知识点，检验学生的掌握程度.四、师生互动，课堂小结1.你学到了哪些知识点？2.你学到了哪些方法？3.你还有哪些困惑？五、教学板书1.布置作业：教材“习题2.1”中第1、2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节的教学是非常成功的一节课，学生的积极性、主动性完全迸发，整个课堂完全就是和谐统一的有机整体.仔细想想，从中得出：对于新旧知识具有类似内容的情况可以用类比的方法，这样省时高效；对于几何命题的验证，可通过多种方法证明，如本节的“等角的余角相等”，可以通过测量、叠合法、逻辑证明等方法，这样可以让不同的学生得到清晰而深刻的理解；更重要的是通过本节学习知道说明一个几何命题的过程是怎样的，须经历“猜想—推理—结论”这样一个过程，为以后的学习做了铺垫.第2课时垂直【知识与技能】1.会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线.2.通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用.3.初步尝试进行简单的推理.【过程与方法】通过从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力.【情感态度】激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性.【教学重点】根据点与线之间垂直的线段最短的原理，解决生活中的一些简单问题.【教学难点】根据点与线之间垂直的线段最短的原理，解决生活中的一些简单问题.一、情景导入，初步认知观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？【教学说明】数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，既复习了上一节课的知识点——两条直线的位置关系，又体会到生活中存在大量特殊的相交线——垂直，在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”.二、思考探究，获取新知1.在上面的三幅图形中，我们找出了一些相交的两条直线，那么它们有什么特殊的位置关系？这种位置关系我们称为什么呢？【归纳结论】两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.通常用“⊥”表示两直线垂直.如图1，记作：AB⊥CD;如图2，记作：l⊥m.2.思考：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？（1）你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？（2）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？说出你的画法和理由.（3）你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看吧！请说明理由.3.动手画一画：（1）请画出直线m与点A，你有几种画法？（2）过点A画m的垂线，你能画几条？请用自己的语言概括你的发现.【归纳结论】平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.动手画一画.请画出直线l与l外一点P，O是垂足，在l上取点A、B、C，比较PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？【归纳结论】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短.线段PO的长度，叫做点P到l的距离.【教学说明】通过动手画图，可以加深学生对知识的理解，能更好的关注知识的形成过程，这也是促使学生认真审题的重要策略.三、运用新知，深化理解1.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列的结论中正确的个数是（C）①点B到AC的垂线段是线段AB；②线段AC是点C到AB的垂线段；③线段AD是点D到BC的垂线段；④线段BD是点B到AD的垂线段.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是（C）A.垂线最短B.过一点确定一条直线与已知直线垂直C.垂线段最短D.以上说法都不对3.已知线段AB=10cm，在同一平面内，点A，B到直线l的距离分别为6cm，4cm.符合条件的直线l有（C）A.1条B.2条C.3条D.4条4.如图，直线a⊥b，∠1=50°，则∠2=40度.解析：∵a⊥b，∴∠1与∠2互余，∵∠1=50°，∴∠2=90°-∠1=90°-50°=40°5.如图，OA⊥OB，OB平分∠MON，若∠AON=120°，求∠AOM的度数.解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠AON=120°，∴∠BON=120°-90°=30°，∵OB平分∠MON，∴∠MOB=∠NOB=30°，∴∠AOM=90°-30°=60°6.如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M，N是分别位于公路AB两侧的两所学校.（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来.（2）当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？解：（1）如图所示：过M作ME⊥AB，过N作NF⊥AB，当汽车行驶到点E处时，对M学校影响最大；当汽车行驶到点F处时，对N 学校影响最大；（2）由A向E行驶时，对两学校影响逐渐增大；由F向B行驶时，对两学校的影响逐渐减小；由E向F行驶时，对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大.【教学说明】可以满足不同层次学生学习的需要，能激发学生认知上的冲突，从而促使他们去探索，去对自身的认知结构进行调整和变革.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.五、教学板书1.布置作业：教材“习题2.2”中第2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本课时遵循“开放”的原则，在把握教材编写意图的基础上，进行了再创造.通过重组教材，恰当地创设情境,为学生构建了有效开放的学习环境.教学效果较好.2 探索直线平行的条件第1课时利用同位角判定两条直线平行【知识与技能】1.会识别由“三线八角”所成的同位角.2.掌握直线平行的条件，并能解决一些问题.【过程与方法】经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题.【情感态度】进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力.【教学重点】会识别各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”.【教学难点】判断两直线平行的说理过程.一、情景导入，初步认知1.在同一平面内，两条直线的位置关系是.2.在同一平面内，的两条直线是平行线.3.如教材中P44彩图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹的角为多少度时才能使木条a与木条b平行？你能说明其中的道理吗？【教学说明】教师通过设置问题，层层设疑，在引导学生思考、层层释疑的基础上，既复习旧知识，又做好新知识学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题，引起认知冲突，从而自然引入新课.二、思考探究，获取新知1.动手操作移动活动木条，完成书中P44的做一做内容.2.改变图中∠1的大小，按照上面的方式再做一做，∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？小组内交流.3.如图，直线AB，CD被直线l所截：具有∠1与∠2，这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，相对位置是相同的角，我们把这样的角称为同位角.4.图中还有其他的同位角吗？这些角相等也可以得出两直线平行吗？【归纳结论】两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称“同位角相等，两直线平行”.两直线平行，用符号“∥”表示.如直线a与b平行，记作“a∥b”.5.想一想，如何利用三角板画平行线？小明是这样作的，你认为他作得对不对？你能说明其中的原理吗？6.动手画一画：①你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画几条？②在下图中，分别过C，D画直线AB的平行线EF、GH.那么EF与GH有怎样的位置关系？【教学说明】由浅入深，充分地让学生经历了解决问题的过程，较好的突出了重点，突破了难点.【归纳结论】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.平行于同一条直线的两条直线互相平行.几何语言：∵a∥b，a∥c，∴b∥c （平行于同一条直线的两条直线互相平行）.三、运用新知，深化理解1.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行.2.如图所示，FE⊥CD，∠2＝26°，当∠1＝64°时，AB∥CD.3.如图，当∠1=∠D时，可以得到AD∥BC，其理由是同位角相等，两直线平行.4.如图，已知∠1=∠2,试说明AB与CD的关系.解：AB∥CD.理由：∵∠1=∠2（已知）∠2=∠3（对顶角相等）∴∠1=∠3（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）5.如图，若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，则AB、CD、EF的位置关系如何？解：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∴∠1=∠3，∴AB∥CD.又∵∠1=∠4，∴AB∥EF，∴AB∥CD∥EF.6.如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B+∠C，AE是∠DAC的平分线，则AE与BC平行吗？为什么？解：AE∥BC.理由：∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C,∴∠DAC＝2∠B.∵AE是∠DAC的平分线,∴∠DAC＝2∠1,∴∠B＝∠1,∴AE∥BC.7.如图，BE平分∠FBD，∠ABC=∠C，那么直线FB与AC平行吗？试说明理由.解：FB∥AC.理由如下：∵BE平分∠FBD，∴∠DBE=∠FBE，∵∠DBE=∠ABC，∴∠FBE=∠ABC，∵∠ABC=∠C,∴∠FBE=∠C，∴FB∥AC.【教学说明】进一步激发学生的探究兴趣，学生学会用所学知识解释和解决实际生活中的问题，提高能力.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.五、教学板书1.布置作业：教材“习题2.3”中第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.整节课构建了“以问题研究和学生活动”为中心的课堂学习环境，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点.所以，合理把握教学问题，是保证学生自主、合作、探究的学习方式纵向发展的关键，要克服以完成教学任务为主要目标，不舍得给学生探究时间的倾向，要给学生提供较为充分的思维、探究的时间和空间.第2课时利用内错角、同旁内角判定两条直线平行【知识与技能】1.会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角.2.经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题.【过程与方法】经历观察、操作、想象、图例、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力.【情感态度】使学生在参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系.【教学重点】弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的结论.【教学难点】会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的结论.一、情景导入，初步认知小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）.他只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1.如图，直线AB，CD被直线l所截如上图，∠4和∠5在截线的两侧，在被截线的内部，具有这样位置关系的角叫做内错角.∠4和∠7在截线的同旁，在被截线的内部，具有这种位置关系的角叫做同旁内角.2.请找出其他的内错角和同旁内角.3.议一议：（1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？（2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？【归纳结论】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称“内错角相等，两直线平行”.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称“同旁内角互补，两直线平行”.【教学说明】本环节选取了课本的议一议，采取的方式是先独立思考、探究，再讨论交流，目的是充分发挥每一个学生的积极性，尽可能的找到多种方法，这样合作交流才有更充分的内容，才能够互相启发，博采众长.在学生交流的基础上，教师再利用课件展示，进一步验证结论，从而引导学生得出结论.三、运用新知，深化理解1.如图所示，∠1与∠2是内错角的是（D）2.如图所示，与∠C互为同旁内角的角有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示，下列条件中不能判定DE∥BC的是（C）A.∠1=∠CB.∠2=∠3C.∠1=∠2D.∠2+∠4=180°4.如图所示，∠DCB和∠ABC是直线和被直线所截而成的角.答案：AB；CD；BC；同旁内.5.如图所示，∠1=∠2，则∥，理由是.答案：AB；CD；内错角相等，两直线平行.6.如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？为什么？解：EB∥CF.理由如下：∵AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C,∴∠ABC=∠BCD=90°,∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴EB∥CF（内错角相等，两直线平行）.7.如图所示，AB与CD相交于点O，∠A+∠1=110°，∠B+∠2=110°，判断AC与DB的位置关系，并说明理由.解：AC∥DB.理由如下：∵AB与CD相交于点O,∴∠1=∠2,∵∠A+∠1=110°，∠B+∠2=110°∴∠A=∠B,∴AC∥DB.（内错角相等，两直线平行）.8.如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由.解：AB∥CD.理由如下：∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线,∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2,又∵∠1+∠2=90°,∴∠ABD+∠BDC=180°,∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.【教学说明】通过练习及时巩固所学知识，并学会灵活应用.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.五、教学板书1.布置作业：教材“习题2.4”中第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节课的学习，学生初步了解了内错角和同旁内角，但在三线八角图中，找同位角、内错角、同旁内角就有些混乱了，不过能通过观察内错角、同旁内角度数的变化发现“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的结论.在实际应用中比较乱，容易出现“同旁内角相等，两直线平行”的错误. 所以在教学中要重点强调.3 平行线的性质第1课时平行线的性质【知识与技能】经历探索平行线性质的过程，掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算.【过程与方法】经历观察、测量、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，能有条理地思考和表达自己的探索过程和结果，从而进一步增强分析、概括、表达能力.【情感态度】在自己独立思考的基础上,积极参与小组活动.在对平行线的性质进行的讨论中,敢于发表自己的看法,并从中获益.【教学重点】理解平行线的性质.【教学难点】学会利用平行线的性质解决实际问题.一、情景导入，初步认知窗户的内窗的两条竖直的边是平行的,在推动过程中,两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠１、∠２有什么数量关系?【教学说明】通过引入生活中的平行线，激发学生的求知欲.二、思考探究，获取新知1.现在我们反过来思考这个问题，如果先知道两条直线平行，对应的同位角、内错角、同旁内角会产生怎样的关系呢？2.已知直线a∥b，测量角的度数,把结果填入表内，并分析各角之间的关系.（1）图中有几对同位角？它们的大小有什么关系？为什么？（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？（4）换一组平行线试一试，你能得到同样的结论吗？【教学说明】通过测量、猜想、验证，让学生在动手探索的过程中感知平行线的性质.【归纳结论】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简称“两直线平行，同位角相等”.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称“两直线平行，内错角相等”.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称“两直线平行，同旁内角互补”.三、运用新知，深化理解1.如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°,则∠DBC的度数为（A）A.55°B.65°C.75°D.125°2.如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1)∠1=∠2；(2)∠1=∠3；(3)∠3=∠2中正确的个数为（D）A.0B.1C.2D.33.如图，已知：DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数.解：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD.∵∠ACB＝50°，∴∠BCD=25°.∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD=25°.∵DE∥BC，∴∠BDE+∠B=180°.∴∠BDE=180°-∠B=110°.∴∠BDC=∠BDE-∠EDC=110°-25°=85°.【教学说明】通过练习及时巩固平行线的三条性质.四、师生互动，课堂小结通过刚才的应用，大家能谈一谈今天学习的平行线有哪些性质？五、教学板书1.布置作业:教材“习题2.5”中第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试，在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂放交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学习．第2课时平行线的判定与性质的综合应用【知识与技能】经历掌握平行线性质与判定的过程，能用它们进行简单的推理和计算.【过程与方法】经历观察、测量、推理、交流等活动，进一步提高推理能力.【情感态度】通过学习平行线性质和判定直线平行条件的联系与区别，让学生懂得事物既是普遍联系又是相互区别的辩证唯物主义思想．【教学重点】平行线的三条性质及简单应用.【教学难点】平行线的性质与平行线判定方法的区别.一、情景导入，初步认知在前几节课我们探究了如何去判别两条直线是平行的，即平行线的判定.下面我想请同学来回答一下有哪些方法可以判定两条直线平行？二、思考探究，获取新知请用学过的同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件填空：（1）因为∠1=∠5(已知)；所以a∥b（）.（2）因为∠4=∠(已知)；所以a∥b（内错角相等，两直线平行）.（3）因为∠4+∠=180°(已知)；所以a∥b（）.【教学说明】判定平行线的条件和平行线的性质是互逆的,对初学者来说易将它们混淆．因此,复习判定直线平行的条件能为后面学习性质做好准备.三、运用新知，深化理解1.见教材52例1、例2、例3，2.如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线（D）A.互相垂直B.互相平行C.互相重合D.以上均不正确3.如图已知∠1＝∠2，∠BAD＝∠BCD，则下列结论(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)∠B＝∠D；(4)∠D=∠ACB中正确的有（C）A.1个B.2个C.3个D.４个4.如图，如果∠1=∠2，那么∠2+∠3=180°吗？为什么？解：∵∠1=∠2，∴L1∥L2. ∴∠2+∠3=180°.5.如图，AB∥CD，BF∥CE，则∠B与∠C有什么关系？请说明理由.解：∵AB∥CD，∴∠B=∠1.∵BF∥CE，∴∠C=∠2.∵∠1+∠2=180°，∴∠B+∠C=180°.即∠B与∠C互补.6.如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，试探索∠BEF与∠EFC之间的关系，并说明理由.解：∠BEF=∠EFC.理由如下：分别延长BE.DC相交于点G.。
北师大版数学七年级下册第二章1两条直线的位置关系(共76张PPT)
图2-1-5 注意 (1)垂线是直线,垂线段特指一条线段,点到直线的距离是指垂线段 的长度. (2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后 计算或度量垂线段的长度,在实际问题中要应用其“最近性”解决问题.
1 两条直线的位置关系
例4 在图2-1-6所示的各图中,分别过点P作AB的垂线.
点拨 除了互补的两个角和为180°外,由平角的定义也可以得到和为180°.
1 两条直线的位置关系
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题型二 垂线性质在生活中的应用
例2 如图2-1-9所示,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政 府准备投资修建一个蓄水池.
图2-1-9 (1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它到四个村庄距离之 和最小; (2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠使水渠最短?并说明理由.
1 两条直线的位置关系
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知识点三 余角和补角 1.如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角. 2.如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角. 3.余角、补角的性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等. 注意 (1)互余、互补都是指两个角之间的关系.当∠1+∠2+∠3=90°时,不 能说∠1、∠2、∠3互余;当∠1+∠2+∠3=180°时,也不能说∠1、∠2、 ∠3互补.(2)互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐角一个 钝角,也可能都是直角.(3)互余和互补都是反映两个角的数量关系,而不是 位置关系.
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②必须强调“平面内”,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的直线 有无数条. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简称:垂线段 最短.
两条直线的位置关系教案(1)
两条直线的位置关系教案(1)2.2.3两条直线的位置关系（1）第一课时：两条直线相交、平行、重合的条件一、教案背景可以说，解析几何的精髓就是用代数方法解决几何问题.本章教材的主题就是建立代数与几何的联系，用代数方法研究几何,本课时教学内容也正是在具体认识直线方程的概念及其几种形式的基础上，用坐标法研究直线与直线的位置关系，强化解析几何的思想，体会数形结合思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力，为学生以后选修圆锥曲线打下基础.二、教学课题本课时教材是在理解了直线方程的含义，掌握并能熟练应用直线方程的几种形式基础上，继续学习两条直线的位置关系，从而为进一步学习点到直线的距离，两条直线的夹角，以及直线与圆的位置关系等做好先期准备.1、利用直线的点斜式方程，理解过定点的直线系及直线系方程的表示形式.2、在认识过定点的直线系的基础上进一步认识平行直线系，从而推导出两条直线位置关系的等价条件.3、利用两条直线相交、平行、重合的条件解决简单的实际应用问题.三、教材分析（一）教材内容两条直线的位置关系是人教B版必修2第二章平面解析几何初步的第二单元直线的方程的第三节课内容，本节课教材内容主要有两个：1、两条直线相交、平行与重合的条件2、两条直线垂直的条件本课时教案正是本节课教材的第一个内容，是在学生已经探索并掌握了直线方程的含义以及如何利用已知条件求出直线的方程基础上，进一步利用解方程组的思想探索两条直线的位置关系的条件，并会利用两条直线相交或平行的条件判断两条直线相交、平行和重合，进而能求出两直线的交点坐标.（二）教学目标1、知识与技能目标：（1）理解两条直线相交或平行的等价条件，特别注意与已知直线平行的直线系的应用；（2）通过学习本课时知识，进一步提高学生对直线的认识，提高学生对归纳猜想、类比转化、重合条件的思路．四、教学方法教之道在于导，学之道在于悟，教学这门艺术在于精心设问，巧妙引导学生答问，积极引领学生感受数学，探索数学和应用数学的意识.俗话说得好：“教无定法，贵在得法”，本课时教学，教法上本着“教师为主导，学生为主体，解决问题为主线，能力发展为目标”的教学思想，主要采取“问题探究”式教学方法.通过创设问题情境，以直线的点斜式方程的特殊形式为切入点，在认知冲突中激发学生的探索欲望：通过两个探究问题，引导学生自主探究与合作交流相结合去研究，从而得出两条直线相交、平行与重合的条件；通过恰当的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，从而提高学生的思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体.同时借助多媒体、投影辅助教学，增强教学的直观性，从而提高课堂效率.五、教学过程（一）创设情境，提出问题从课本一道习题推导斜截形式下两条直线相交、平行、重合的条件在直线方程)1-xy中，k取遍所有实数，可k=1+(得无数条直线，这无数条直线都过哪一点？回答：由直线的点斜式方程可知，这些直线都过定点)11-(，．据此引导学生探究：（1），该方程所表示的直线可以说成是过一定点的直线系吗？（2），该定点是否可以看成某两条特殊直线的交点呢？在直线方程b kx y +=中，当k 值固定，b 取遍所有实数，也可得无数条直线，这无数条直线又可以说成是什么样的直线系呢？回答：该方程表示斜率为k 的平行直线系.（二）自主探究，形成概念 对于直线 111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，同学们会得出:1l ∥2l ；且2121b b k k ≠=⇔ ；相交与2121k k l l ≠⇔ .212121b b k k l l ==⇔且重合与继续探究一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件已知两条直线的方程为 ,0:1111=++C y B x A l.0:2222=++C y B x A l 为此，我们解方程组 0111=++C y B x A 0222=++C y B x A当01221≠-B A B A 时，得12212121B A B A B C C B x --= .12212112B A B A C A C Ay --= 因此，当01221≠-B A B A 时，方程组有唯一一组解.这时，两条直线相交，交点的坐标就是.,）（y x 当.000211221211221≠-≠-=-C A C A B C C B B A B A 或，且时方程组无解.又由直线方程的一般形式可知2211B A B A 与，与不能同时为0，由此可进一步推知这两条直线没有公共点，也就是这两条直线平行.如果.0212121）（，，≠===λλλλC C B B A A 则方程组中两个方程的解集完全相同，由此可知两个方程表示同一条直线，即直线与重合.通过以上分析，我们可以得到一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件：1l ∥2l .000211221211221≠-≠-=-⇔C A C A B C C B B A B A 或，且 ⇔相交与21l l 01221≠-B A B A ..021212121）（，，重合与≠===⇔λλλλC C B B A A l l（三）典例剖析，深化概念例题1 已知直线,0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 求证：当21C C ≠时，1l ∥2l . 证明：因为,0=-BA AB所以1l ∥2l ，或.21重合与l l 又因为:)(1212C C B BC BC -=- 当0≠B 时，由已知有21C C≠，所以,012≠-BC BC 因此两条直线平行; 当0=B 时，又直线方程的定义可知0≠A ,于是两条直线方程变为,,21A C x A C x -=-= 这是两条与x 轴垂直的直线，所以它们平行或重合.又由于21C C ≠,所以它们是平行的直线.结论：与直线0=++C By Ax 平行的直线的方程可以表示成).(0C D D By Ax ≠=++例题 2 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：（1） ;1),2,1(21+=-x y （2）.0532),4,1(=++-y x解：（1） 因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为 .21b x y +=由于所求直线过点),2,1(-代入方程，得.25=b因此所求直线方程为 .0522521=+-+=y x x y ，即（2） 设所求的直线方程为.032=++D y x由于所求直线过点),4-,1(代入方程，得.10=D因此，所求直线方程为.01032=++y x（四）课堂练习，学以致用教材第84页 练习 A 1, 2 (1),(3), (5) , 3(五) 课堂小结，认识升华两种不同形式下的两条直线相交、平行、重合的等价条件.若111:b x k y l +=，222:b x k y l+=，则 ；且平行与212121b b k k l l ≠=⇔ ；相交与2121k k l l ≠⇔.212121b b k k l l ==⇔且重合与若,0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 则 .00021122121122121≠-≠-=-⇔C A C A B C C B B A B A l l 或，且平行与 ⇔相交与21l l 01221≠-B A B A ..021212121）（，，重合与≠===⇔λλλλC C B B A A l l (六) 课后作业，巩固提高教材第84页 练习A 2 (2), (4),练习B 1 （1），（2），（3）（七）板书设计 2.2.3两条直线的位置关系（1）斜截形式下两条直线相交、平行、重合的条件一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件例题应用（1）（2）六、教学反思课堂教学过程是一个定位，设计，操作和反思的过程，教师要向学生提供有效的学习资源，学习方法和学习氛围.这课时教学指导思想是发挥学生的主体性，以问题链的形式逐步引导深入，为了使学生的认识符合从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律，所以充分渗透了数形结合的数学思想，在推导两直线相交、平行与重合垂直的位置关系的教学上给予学生足够的时间，并组织同学交流；但同时不应忽视教师的主导性，所以在推导过程之前，教师通过过定点的直线系的类比，培养学生自主探究问题的习惯，让学生体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程，更好的理解两直线平行的条件.通过解方程或方程组这一代数思想方法，探索与讨论如何用数量关系来说明两直线的位置关系，进一步体会几何问题代数化的思想方法，从而提高学生用代数方法处理数学问题的能力和计算推理能力.。
两条直线的位置关系(1)(新教材)
两条直线的位置关系（1）目的：1、掌握两条直线平行的充要条件，会由直线方程判断两条直线是否平行； 2、通过教学，提倡形式用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的 渗透，同时，注意思考的严密性，表述的规范性，培养形式探索、概括能力。
过程：一、复习提问1、平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？2、两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？3、“βα=”是“βαtan tan =”的什么条件？4、在解析几何中是利用什么来判定两条直线平行的？ 二、新课两条直线的位置关系——平行设问1：已知直线1l 、2l 的斜截式方程为1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y += 求证：1l ∥2l 的充要条件是21k k =且21b b ≠。
必有性：如果1l ∥2l ，那么21b b ≠，它们的倾斜角相等21αα=， ∴21tan tan αα=，即21k k =充分性：如果21k k =，即21tan tan αα=。
∵︒<≤︒18001α，︒<≤︒18002α ∴21αα=，又21b b ≠，即两直线不重合，∴1l ∥2l 当直线1l 、2l 有斜截式方程1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=时， 直线1l ∥2l 的充要条件是21k k =且21b b ≠设问2：已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A求证：1l ∥2l 的充要条件是212121C C B B A A ≠= 设问3：已知两条直线的方程，如何判断两条直线平行？例1、两条直线1l ：0742=+-y x 2l ：052=+-y x 。
求证：1l ∥2l 证一：（见教材55页略）2证二:∵572412≠--=，∴1l ∥2l 例2、求使直线12=-ay x 和122=-ay x 平行的实数a 的取值。
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(i )对于两条不重合的直线l i 、12,假设其斜率分别为k i 、k 2,那么有li//l 2?k i = k 2.(ii)当直线l i 、12不重合且斜率都不存在时,1i//12.②两条直线垂直：(i )如果两条直线l i 、l 2的斜率存在,设为k i 、k 2,那么有l i Xl 2?k i k 2=—i.(ii)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,li,l 2.(2)两条直线的交点直线l i: A i x+B i y+C i = 0, l 2： A 2x+B 2y+C 2= 0,那么l i 与l 2的交点坐标就是方程组 A i x+ B i y+ C i = 0, ■= Ax+ B 2y+ C 2= 02.几种距离⑴两点 P i (x i, y i ), P 2(x 2, y 2)之间的距离 |P i P 2| = M 取2 — x i 彳 + 力2 — y i ?2. ⑵点P 0(x 0, y 0)到直线l: Ax+ By+ C = 0的距离：d= (3)两条平行线Ax+By + C i = 0与Ax+By+C 2=0(其中C/C ?间的距离~=赛福. 选择题:设 aC R,那么 “a=i 〞 是“直线 li ：ax+ 2y —1 = 0与直线 l2：x+ (a+i)y+ 4=0平行〞的( )A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a=i 时,直线li ： x+ 2y —i=0与直线l2： x+ 2y+4 = 0平行; 必要性：当直线li: ax+ 2y —i = 0与直线l 2： x+(a+i)y+ 4= 0平行时有a= — 2或i ； 所以“a=i 〞是“直线li: ax+2y —1=0与直线l 2： x+(a+i)y+4= 0平行〞的充分不必 要条件点(a,2)(a>0)到直线l: x-y+3 = 0的距离为i,那么a 等于()的解.Ax 0+By 0+C|'A 2+ B 2|a- 2+3|解析 依题意得一］ ------- =1,解得 a= — 1 + 42或 a= - 1 —42,a>0, a=- 1 + \2.W+i直线11： (3+m)x+ 4y=5 —3m, I2: 2x+ (5+m)y=8平行,那么实数 m 的值为( ).、13 A. —7B. -1C. — 1 或一7D.W33+ m 5- 3m 21I 的斜率为一,在y 轴上的截距为 —T~, l 2的斜率为― --------- ,在y 轴上的截445+m=—4,符合题意两条直线1I : (a —1)x+2y+1=0, b: x+ay+ 3 = 0平行,那么a 等于( )A. — 1B, 2C. 0 或—2D. — 1 或 2解析 假设a = 0,两直线方程为—x+ 2y+1=0和x= —3,此时两直线相交,不平行,所以 a — 1 2 1aw0.当aw0时,假设两直线平行,那么有 ^1=1W3,解得a= —1或a = 2,选D. 1 a 3 点O(0, 0), A(0, b), B(a, a 3).假设AOAB 为直角三角形,那么必有( )A . b=a^B. b= a 3+ aC. (b —a 3)〞—a 3—： i= 0D. |b-a 3|+|b -a 3-1| = 0解析 假设以O 为直角顶点,那么B 在x 轴上,那么a 必为0,止匕时O, B 重合,不符合题意； 假设/A=；, 那么b=a 3w0,假设/B = ：,根据垂直关系可知a 2aj = —1,所以a(a 3—b) = —2 2 a 1,即b —a 3—1 = 0,以上两种情况皆有可能,故只有 C 满足条件. a过点A(m+1, 0), B(-5, m)的直线与过点C(-4, 3), D(0, 5)的直线平行,那么 m 的 值为()A. 2B. 2 — 72C. 2-1D. . 2+ 1解析 距为85+ m 又 = 1I // l 2, 3+ m 2 2由一 z — —d, m + 8m+7=0,得1 m — — 1 或一7. 45+mm= — 1 时,5 -3m 8= =5+ m2, 1I 与l 2重合,故不符合题意 m= — 7 时,5-3m 13/ 8A. — 1B. -2C. 2 D, 1m- 0 m 5 - 3 i解析由题意得：k AB= = , k cD= .由于AB//CD, 即k AB—5 — ?m +17 — 6 — m 0 —? — 4?一m 1 一所以 3— = 2",所以m= —26- m 2- 1一当0<k<2时,直线11：kx—y= k—1与直线12：ky—x=2k的父点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限kx- y= k —1, । k 2k_ 1 1解析解方程组彳得两直线的交点坐标为一, -------- ,由于0V k<1I ky- x= 2k 卜—1 k— 1)2k 2—1……厂所以——< 0, ——>0,故交点在第二象限.k-1 k-1假设直线11：y= k(x—4)与直线12关于点(2, 1)对称,那么直线12经过定点( )A. (0, 4)B. (0, 2)C. ( — 2, 4)D. (4, -2)解析直线11：y=k(x —4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线11：y= k(x —4)与直线12关于点(2,1)对称,故直线12经过定点(0,2).从点(2, 3)射出的光线沿与向量a=(8, 4)平行的直线射到y轴上,那么反射光线所在的直线方程为()A. x+ 2y —4 = 0 B, 2x+y—1=0 C, x+6y— 16 = 0 D, 6x+ y — 8=01 ............ ...... .解析由直线与向量a= (8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k= 2,所以直线的方程为y 1—3= 2(x- 2),其与y轴的父点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y轴的对称点为(一2,3),所以反射光线过点(一2,3)与(0,2),由两点式知A正确.填空题：a, b 为正数,且直线ax+ by —6 = 0与直线2x+ (b —3)y+5=0互相平行,那么2a+3b 的最小值为 解析 由于直线ax+by —6 = 0与直线2x+(b —3)y+5=0互相平行,所以a(b —3)=2b,即 2 3 2 3 -+r= 1(a, b 均为正数),所以 2a+ 3b=(2a+3b) ；+7 = a b a bb a25(当且仅当g=萨 即a=b=5时取等号) 假设直线(3a+2)x+(1 —4a)y+8=0 与(5a —2)x+ (a + 4)y — 7 = 0 垂直,那么 a=解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a —2) + (1—4a)(a+4)=0,解得2=0或2 = 1. 两直线方程分别为l1: x+ y=1, l2： ax+ 2y= 0,假设l1,l2,那么a=,,2-4k ------- >0, 2k+1直线l 过点P(-1, 2)且到点A(2, 3)和点B(-4, 5)的距离相等,那么直线l 的方程为 解析 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k(x+ 1),即kx-y+k+2 = 0.13+靖+#13+6*2患=解析.l 1±l2, ..klk2=— 1, 1 - - a- 2 u直线y=kx+ 2k+1与直线y=1 ................ ......................................................... ___-2x+2的交点位于第一象限,那么实数 k 的取值范围是[y=kx+ 2k+1,解析由方程组1 1(y = 一尹2,解得2-4k6k+ 1直线平行),,交点坐标为必k+1 2k+ 1 2-4kx二 ,6k+1 V=2k+1_ _ 1 … (假设 2k+1=0,即 k= -2,那么两又•••交点位于第一象限,解得一6k+1------ >0,12k+16<k<2.门口 1,即 |3k — 1|=|—3k —3|, . .k= — %31 一. .直线 l 的方程为 y — 2= —a 〔x+ 1〕,即 x+3y — 5 = 0. 3 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x= —1,也符合题意.过点P(0, 1)作直线1,使它被直线11： 2x+ y-8=0和12： x —3y+ 10=0截得的线段被点P 平分,那么直线1的方程为解析 设11与1的交点为A(a,8-2a),那么由题意知,点A 关于点P 的对称点B(-a,2a-6) 在12上,代入12的方程得—a-3(2a-6)+10 = 0,解得a = 4,即点A(4,0)在直线1上,所 以直线1的方程为x+ 4y —4 = 0与直线11： 3x+2y — 6= 0和直线12： 6x+ 4y —3 = 0等距离的直线方程是3解析12： 6x+4y — 3=0化为3x+2y — ]=0,所以11与12平行,设与11, 12等距离的直线1 3 15的万程为3x+ 2y+c=0,那么：|c+ 6|=|c+]|,解得c=- -,所以1的万程为12x+ 8y-15 =0.两直线1I : ax —by+ 4 = 0和12： (a —1)x+ y+ b=0,假设1I //12,且坐标原点到这两条直 线的距离相等,那么a+b =[a +b ?a —1 ?= 0,解析 由题意得44 _|b|“a 2+ ?二 b?,?a -1y+18种情况均符合题意,- -a+b 的值为0或33...................... ,… ,一,… ……一,一•兀 一 • 直线1I : ax+ y- 1=0,直线12： x —y —3=0,右直线1I 的倾斜角为'那么a=; 假设1I 112,那么a=;假设1I // 12,那么两平行直线间的距离为解析 假设直线11的倾斜角为*那么一a=k=tan45 = 1,故a= — 1;假设11L2,那么ax 1+1 x (—|1-7-3?|1)=0,故a=1;假设1I //12,那么a= — 1, 1I : x — y+1=0,两平行直线间的距离 d= tV 1 + 1由题意知|2k- 3+ k+2| |-4k- 5+ k+ 2|a = 2, 解得b= 一2经检验,两I b = 2= 2 2.直线l:2x —3y+1=0,点A(—1, —2),那么点A 关于直线l 的对称点A'的坐标为(1)11 // 12； (2)11 ±12.解(1)当sin - 0时,直线11的斜率不存在,12的斜率为0, — ― 1 ... ........................ .. 当 sinaw0 时,k 1 = -—, k 2= —2sina,要使 11//12,需一 sin a / /所以a= k ：t^, k€Z,此时两直线的斜率相等.故当 后kJ, k€ Z 时,11//12.(2)由于 A 1A 2+ B 1B 2= 0 是 11 X12 的充要条件,所以 2sin a+ sin a= 0,即 sin a= 0,所以 a= k 九, kCZ. 故当 a= k TT , kC Z 时,11X12.如图,设一直线过点(一1,1),它被两平行直线11： x+ 2y —1 = 0, 12： x+ 2y —3=0所截的线 段的中点在直线13： x —y — 1 = 0上,求其方程.解 与11、12平行且距离相等的直线方程为 x+2y — 2 = 0.设所求直线方程为(x+2y — 2)+ Xx —y —1) = 0,即(1 +姒+(2—?y — 2-入=0.又直线过(一 1,1),1 ................. .... ..•.(1+ 2)(—1)+(2— ) 1—2—入 =0,解得 仁—%..••所求直线方程为 2x+7y- 5=0.3正方形的中央为点C(—1,0), 一条边所在的直线方程是x+ 3y —5 = 0,求其他三边所在直线 的方程解析设33 13'解做题 两直线y +2 2—X3=T,, ,一一x+ 1 3A' (x, y),由得?x 一 1 y 一 233—而解得£ L y —13,11： x+ysina —1=0 和 12： 2x sin a+ y+1=0,求a的值,使得:显然11不平行于12.sin2=一 2sin a,即 sin a= iz^. 2| — 1 — 5| 3A /10解 点C 到直线x+3y — 5 = 0的距离d=,—— —1 + 95设与x+ 3y — 5= 0平行的一边所在直线的方程是 x+ 3y+ m= 0(m w — 5),|— 1 + m| 3^/10那么点C 到直线x+ 3y+m=0的距离d=—/ --------- = * ,解得m= — 5(舍去)或m=7,A/1 + 95所以与x+ 3y- 5=0平行的边所在直线的方程是 x+3y+ 7 = 0. 设与x+3y — 5= 0垂直的边所在直线的方程是 3x —y+n = 0,所以与x+3y — 5=0垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y —3 = 0和3x- y+9 = 0. 直线l: 2x-3y+ 1 = 0,求直线m ： 3x-2y —6 = 0关于直线l 的对称直线m'的方程 解 在直线m 上任取一点,如M(2,0),那么M(2,0)关于直线l 的对称点M'必在直线m'上•・M '袅[2x — 3y+1 = 0,设直线m 与直线l 的交点为N,那么由S得N(4,3).[3x-2y-6 = 0,又 经过点N(4,3). .•・由两点式得直线 m'的方程为9x-46y+ 102=0. 求与直线3x+ 4y+ 1 = 0平行且过点(1, 2)的直线l 的方程. 解 依题意,设所求直线方程为3x+ 4y+c= 0 (cw1), 又由于直线过点(1, 2),所以3X1+4X2+c=0,解得c= -11. 因此,所求直线方程为3x + 4y —11 = 0.求经过两直线l1： x-2y + 4 = 0和l2： x+y —2=0的交点P,且与直线l3： 3x-4y+ 5= 0那么点C 至IJ 直线3x —y+n = 0的距离d = I —3+n| 3月,解得n= — 3或n = 9,2Xa+2-3Xb+0+ 1=0,设对称点M' (a , b),那么L 八b —0 a =13.L a-22X3=T,解得 ? 的30 1b =13垂直的直线l的方程.x- 2y+4 = 0,解解方程组i 得P(0, 2).Ix+ y- 2=0,由于13的斜率为3,且U13,所以直线l的斜率为一4,由斜截式可知1的方程为y= —Q X+ 2,即4x+ 3y—6 = 0. 34ABC的顶点A(5, 1), AB边上的中线CM所在直线方程为2x- y- 5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x- 2y-5=0,求直线BC的方程.解依题意知：k AC= —2, A(5, 1), ；1AC为2x+ y- 11 = 0,2x+ y—11 = 0,联立1AC、1CM 得 5 ,C(4, 3).2x— y —5 = 0,X0 + 5 y0 + 1设B(x0, y0), AB 的中点M 为(~下一,—2―),(2x0—y0— 1 = 0,代入2x—y—5= 0,得2x0 —y0—1 = 0, •. S .^(-1, —3),1x0- 2y0- 5= 0,6 6；k BC = 5,「.直线BC 的万程为y—3=5(x —4),即6x—5y —9 = 0.直线1经过直线11：2x+ y- 5=0与12：x —2y=0的交点.⑴假设点A(5, 0)到1的距离为3,求1的方程；(2)求点A(5, 0)到1的距离的最大值.解(1)易知1不可能为12,可设经过两直线交点的直线系方程为(2x+ y-5)+ Xx-2y) =0,即(2+ ；)x+(1 —22)y—5 = 0,|10+ 5 b 5|•・•点A(5,0)到1的距离为3,二3,-?2+产+力―2产2 1即2攵—5计2 = 0,「•仁2,或仁2, ..1的万程为x= 2或4x— 3y —5 = 0.2x+ y — 5 = 0,⑵由i 解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,x- 2y=0,那么d& PA(当l,PA时等号成立).•・ dmax= PA=｛巧-2(+ R-11=回.专项水平提升假设点(m, n)在直线4x+ 3y—10=0上,那么m2+n2的最小值是( )A. 2B. 2或C. 4D. 273解析由于点(m, n)在直线4x+ 3y—10=0上,所以4m+3n—10= 0.欲求m2+n2的最小值可先求d,m—07+m―0y的最小值,而■［,加―0*+ ?n —0,?2表示4m+ 3n—10=0上的点(m, n)到原点的距离,如图.当过原点的直线与直线4m+3n—10= 0 垂直时,原点到点(m, n)的距离最小为2.所以m2+n2的最小值为4.直线l: y= 1x-1,⑴求点P(3,4)关于l对称的点Q;⑵求l关于点(2,3)对称的直线方程.r y0 —4I ^=-2,x.一3 一1解(1)设Q(x°, y°),由于PQ±l,且PQ中点在l上,有? 解得y0 + 4 1 x0+ 3-2- = 2 2—— 1,29 x0= 5, y0=-5,⑵在l上任取一点,如M(0, —1),那么M关于点(2,3)对称的点为N(4,7).二.当对称点不在直线上时,关于点对称的两直线必平行, 「•所求直线过点N且与l平行,_ _____ ___ _ 1 …所求万程为y—7 = 2〔x —4〕,即为x-2y+10=0.。
两条直线的位置关系(1)(201912)
复习回顾： 上节课，我们研究学习了两直线平行或垂直
的充要条件及其应用: 平行问题
1.当直线L1和直线L2的斜率都存在时
得到: l1 // l2 k1 k2且b1 b2
2.当直线L1和直线L2的斜率都不存在时
得到: l1 // l2 或两直线重合
3.当直线L1和直线L2的斜率有一条存在, 有一 条不存在时
显然：两直线相交
垂直问题 1.当直线L1和直线L2的斜率都存在时
得到: L1⊥L2 k1. k2= -1l1 // l2 或两直线重合
3.当直线L1和直线L2的斜率有一条存在, 有一 条不存在时
显然：两直线相交
思考：如何根据直线方程的一般式判定两直线 l1 : A1x B1 y C1 0，l2 : A2 x B2 y C2 0平行 或垂直？（其中A1, B1不全为0, A2 , B2不全为0）
A1 B1
A2 B2
且
C1 B1
C2 B2
即A1B2 A2 A1 0且B1C2 B2C1 0
（2）当B2
0时，l2的斜率不存在，x2
C2 A2
，则要使
l1
//
l2，必须l1的斜率也不存在，即B1
0，x1
C1 A1
； 天津办公家具 天津办公家具厂 天津办公家具公司
且x1
x2即
C1 A1
C2 A2
，即A1C2
A2C1
0
当B2
0时，l2的斜率不存在，x2
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第一环节 走进生活 引入课题 活动内容一：两条直线的位置关系 1． 请同学们自学第一节，提前两天搜集有关“两条直线的位置关系”的图片，提
炼出数学图形，进行归类，然后小组合作交流。 2． 教师提前一天进行筛选，捕捉出有代表性的答案，课堂上由学生本人主讲，最
课题 执教
班级
教 学 目 标
教学 重点
教学 难点
课 堂 教
2.1 两条直线的位置关系
时第 间 日)
总教时数( 时 周 星期 第
)节 本节第( 1 )教
节课 (
年月
1．知识与技能：在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定
义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决
吗？∠3 和∠4 呢？你有何结论？ 问题 3：下列各图中，∠1 和∠2 是对顶角的是（ ）
1
A
2
1
2
B
1
C
2
1
2
D
问题 4：如图 2.1—6 所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这
个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？为什么？
动手实践二 补 角 定 义 ： 一 般 地 ， 如 果 两 个 角 的 和 是 1800 ， 那 么 称 这 两 个 角 互 为 补 角
4/5
D E
C
A
2.1—13
A
O
B
2.1—14
Oபைடு நூலகம்
B
2.1—15
2.如图 2.1—14，点 O 在直线 AB 上，OC 平分∠BOD，OE 平分∠AOD，请找出∠COD 的
余角和补角，并说明理由。
3.学以致用： 如图 2.1—15：小颖想测量一堵拐角高墙在底面上所成的角∠AOB 度
数，人不能进入围墙内，你能帮小颖想出简单的测量方法吗？请简述你的方法。
（supplementary angle） 余角定义：
注意：互余与互补是指两个 角之间的数量关系，与它们
的位置无关。
2/5
如果两个角的和是 900，那么称这两个角互为余角（complementary angle）
巩固反馈：
问题 1：小组合作，每人编一道有关余角或者补角的题目，其余同学抢答，组长记
录、整理各种题型，练习 2 分钟。教师巡视，给予评价，捕捉好资源。
第六环节 布置作业 能力延伸
后概括出有关结论。 3． 巩固练习：教师展示下列图片，学生快速回答：
学
m
n
过
b a
程
2.1—1
2.1—2
2.1 —
结论：1.一般地，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：
3和
.
2.
定
义
分
别
为：
。
1/5
问题 1：在 2.1—1 中，直线 m 和 n 的关系是
；a 和 b 是
；
a和n是
。
问题 2：在 2,1—2 和 2.1—3 中你能提出哪些问题？
.
② 因为∠1+∠2=180º，∠2+∠3=180º，所以∠1= ，理由是
.
3/5
问题 2：
①用你手中的三角板，画一个直角三角形，如图 2.1—9.则∠A 是∠B 的 。
变式训练：
② 在①的基础上，做∠CDA=900。如图 2.1—10.
1. 则∠A 的余角有哪几个？为什么？
2. 请找出互补的角，并说明理由。
问题 2：教师将捕捉到的好资源用投影仪集体展示，全班抢答，及时给予评价。
问题 3：下列说法中，正确的有
。（填序号）
① 已知∠A=40º，则∠A 的余角=500②若∠1+∠2=90º，则∠1 和∠2 互为余角。
③若∠1+∠2+∠3=180º，则∠1、∠2 和∠3 互为补角。④若∠A=40º26′，则∠A 的 补角=139º34′⑤一个角的补角必为钝角。⑥一个锐角的补角比这个角的余角大 900
。
问题 2：如图 2.1—12，点 O 在直线 AB 上，∠DOC 和∠BOE 都等于 900.
请找出图中互余的角、互补的角、相等的角，并说明理由。先独立探究，再小组交
流。
第五环节 学有所思 反馈巩固 归纳总结：
1. 你学到了哪些知识点？ 2. 你学到了哪些方法？ 3. 你还有哪些困惑？ 巩固反馈 1. 如图 2.1-13，直线 AB 与 CD 交于点 O，∠BOC=900，EF 经过点 O. （1）指出图中所有的对顶角； （2）图中那些角与∠AOE 互余？互补？ （3）若∠BOF=34°，试求出∠AOF，∠BOE，∠DOE 的度数.
第二环节 动手实践 探究新知
动手实践一
请先画一画：两条直线直线 AB 和 CD， 交于点 O,再回答下列问题.
2 43
1
.
2.1—4
2.1—5
2.1—6
问题 1：观察 2.1—4：∠1 和∠2 的位置有什么关系？大小有何关系？为什么？小组
合作交流，尝试用自己的语言描述对顶角的定义。
问题 2:剪子可以看成图 2.1—4，那么剪子在剪东西的过程中，∠1 和∠2 还保持相等
3. 你还能提出哪些问题？试试看吧！
第四环节 拓展延伸，综合应用 E D
E D
C
A
O
B
C
2.1—11
B
A
O 2.1 —
问题 1：如图 2.1—11 已知：直线 AB 与 CD 交于点 O, ∠EO1D2=900,回答下列问题：
1. ∠AOE 的余角是
；补角是
。
2. ∠AOC 的余角是
；补角是
；对顶角是
一些实际问题。
2．过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，
进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数
量和图形的有关问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。 了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相
问题 2：∠3 与∠4 有什么关系？为什么？
同角或者等角的余角相等。
问题 3：∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？ 同角或者等角的补角相等。
你还能得到哪些结论？
第三环节 学以致用，步步为营
C
C
A 2.1—9
B
A D2.1—10 B
问题 1：①.因为∠1+∠2=90º，∠2+∠3=90º，所以∠1= ，理由是
动手实践三
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠
1=∠2，将图 2.1—7 抽象成图 2.1—8，ON 与 DC 交于点 O，∠DON=∠CON=900，∠
1=∠2
D
O
C
12
34
2.1—7
AN
B
2.1—8
小组合作交流，解决下列问题：在图 2.1—8 中
问题 1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？