两条直线的位置关系1(1)
两条直线的位置关系(1)
父亲上学时，按照当时来讲，是有钱家的孩子才能上得了学的，大冬天的能提着暖手的火炉子上学，相当得气派，穿着得自然要好点。父亲的婆婆赵氏很支持我父亲的学业，因此，父亲能顺利地从 陕西泾干中学高中毕业。听父亲讲过，家里人把一头毛驴卖掉了供我父亲上学。父亲的勤奋也证明了这头毛驴卖掉是正确的。在我爷爷的八个孩子当中，父亲排行老二，也就只有父亲一个人跳出了农门， 到了外面做事，当了国家干部。也有人说，父亲是赵氏一手养大看大的娃娃，性格和脾气很像赵氏，而赵氏出自泾阳县里的一个大家族。在历史上，从赵氏的娘家大户焦家的确走出了几位泾阳名人， 《泾阳县志》2001年版上都有记载。
父亲的家境是一个殷实的家庭，有着好地百亩，有着好多长工，比如叫什么王相、什么张相。回想当年定成分时，我们家被什么的小组划定成为了富农。而事实上，有人也说了是我爷爷得罪了村里 的人，我们家顶多是一个中农。父亲的父亲，也就是我爷爷是过继给了同村的另一户杨家。因此，我爷爷的名字从原本的德理改成了长德，在家排行老四。我祖爷，按照血统上讲的是应该是杨居耀，过 继给了另一户杨家，我祖爷名字改叫成了杨天佑，有着一大家子的人，还有要经营的生意，听我父亲讲是在甘肃张掖一带。杨天佑有三个女儿，没有儿子，我爷爷到了杨天佑家，延续了香火。而杨天佑 家里的生意都是由我父亲的婆婆赵氏，也就是杨天佑的内人来经营着的。电游网 Leabharlann
11.3.1两条直线的位置关系(1)
联立方程组，行列式法判断方程组解的情况.
二、两条直线位置关系
已知两条直线方程为
l1 : a1 x b1 y c1 0 l2 : a2 x b2 y c2 0
c1 b1 c2 b2 , Dy a1 a2 c1 c2
记D
a1
b1
a2 b2
, Dx
Dx Dy 当 D 0 时，两直线相交于点 ( , ) ； D D
x m 2 y 6 解：联立方程组，整理得： (m 2) x 3my 2m 1 m2 D m(m 1)(m 3) m 2 3m
Dx 6 m2 2m 3m 1 6 2m(m 3)(m 3)
l1 : x m y 6 0, l2 : (m 2) x 3my 2m 0
三、典型例题
例1.判定下列各组直线的位置关系，如果相交， 那么求出交点坐标:
2 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : y 0
3 4 解: D 4 两直线相交. 1 0
即两直线相交, 交点坐标为(4,0)
三、典型例题
例1.判定下列各组直线的位置关系，如果相交， 那么求出交点坐标:
当 D Dx Dy 0 时，两直线重合；
当 D 0, Dx 0 或 Dy 0 时，两直线平行.
三、典型例题
例1.判定下列各组直线的位置关系，如果相交， 那么求出交点坐标:
1 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : 7 x 12 y 1 0 2 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : y 0 3 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : 6 x 8 y 5 0
两条直线的位置关系(相交平行重合)
或 A1 B1 C1 A2 B2 C2
( A2、B2、C2 0)
(2)求过点A（1，-4）且与直线2x+3y+5=0平 行的直线的方程
解：设∵直所线求方直程线为与2已x知+直3y线+平C=行0 ∴代所入求点直（线1，k=-4-）32 。得 2-12+C=0 ∴C=所1求0 直线的方程是y+4=- 32(x-1) 所即求直2x线+3的y+方10程=0是 2x+3y+10=0
例2.已知直线方程l1：x+mБайду номын сангаас+6=0, l2:(m-2) x+3y+2m=0 , 当m为何值时 l1、 l2（1）相交 （2）平行 （3）重合
例3.已知三条直线ax+y+1=0, x+y+a=0 x+ay+1=0 可构成三角形，求a的取值条件。
两条直线的位置关系(1)
---------相交、平行、重合
问1.两条不重合直线l1与l2的倾斜角相等， 这两条直线的位置关系如何？
两直线平行或重合 问2.两条直线l1与l2平行， 1)这两条直线的倾斜角大小有何关系？
2)这两条直线的纵截距相等吗？
3)斜率相等吗？ 1)两直线平行倾斜角相等；
2)如果纵截距存在，则纵截距不相等； 3) 倾斜角不为900时斜率相等，为900时斜率不存在
已知直线l1与l2的斜截式方程为
l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2,
直线l1∥ l2
k1=k2且b1 ≠ b2
直线l1、 l2重合
k1=k2且b1 = b2
直线l1、 l2相交
人教版高中数学必修一 两条直线的位置关系(1)-课件
x
2
y
5
0，
可得 x 3, y 1.
因此 l1与 l2相交,而且交点的坐标为(-3,-1).
例题2.已知直线 l 过点(1，-4)且与直线2x+3y+5=0平行， 求直线 l 的方程. 解：设直线 l 的方程为2x+3y+C=0.由于 l 过点(1,-4),
因此 2 1+3（-4）+C=0
解得C=10. 因此直线 l 的方程为2x+3y+10=0.
北京市中小学空中课堂
两条直线的位置关系（1）
高二年级 数学
主讲人 李娜 北京市第八中学
判断两条直线的位置关系
若两条直线 l1 : y=k1x b1,l2 : y k2 x b2
y l2
y l2
b2
l1 b2
O
x
x
O
b1
b1
l1
k1 k2
bk11
=k2 b2
y l2 (l1)
b2(b1 )
（1）l1 : x y 1 0,l2 : 2x 2 y 1 0
1
另解：两条直线的一般式方程满足：2
=
1 2
1 1
所以两直线平行.
例题1.判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求出交点坐标：
（2）l1 : x 2 y 1 0,l2 : x 2 y 5 0
解方程组 x 2 y 1 0，
课堂小结
1.通过斜截式方程判断两条直线的位置关系； 2.通过一般式方程判断两条直线的位置关系； 3.求两条直线的交点坐标.
人教社作B版业课本
P91练习A第1、2、3题；
谢谢
在 v1 与 v2 共线时，存在实常数 ，使得 v1 v2 因为 v1 与 v2 都不是零向量，所以 0，且
第讲两直线的位置关系
从而得两条直线的交点为(9，－4)， 又当 x＝9，y＝－4 时，有 9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5， 即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 上， 故直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．
证法二：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0. 则直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过直线 x＋2y－1＝0 与 x＋y－5＝0 的交点． 由方程组xx＋ ＋2y－y－51＝＝00. ， 解得 x＝9，y＝－4，即过点(9，－4)． 所以直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 经过定点(9，－4)．
(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合． 解题思路：根据两直线的位置关系列式再求解．
解析：(1)由已知1×3≠m(m－2)， 即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3. 故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交． (2)当 1·(m－2)＋m·3＝0，即 m＝12时，l1⊥l2. (3)当m－1 2＝m3 且26m≠m3 ，即 m＝－1 时，l1∥l2.
等于( D )
A．2
B．1
C．0
D．－1
4．(2010年上海)圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线 3x＋4y＋4＝0 的距离 d＝__3__.
5．原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则l的斜率为__2_. 解析：kOP＝－12＝－12，则 kl＝2.
考点1 两直线的平行与垂直关系
例1：已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 求m的值，使得：
证法三：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)＝x＋y－5. 由 m 为任意实数，知关于 m 的一元一次方程 m(x＋2y－1)＝ x＋y－5 的解集为 R， ∴xx＋ ＋2y－y－51＝＝00. ， 解得 x＝9，y＝－4. 所以直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．
2.1两条直线的位置关系(1)
4、填空： ∵∠A+∠B=90º，∠B+∠C=90º ∴∠A ∠C( ) ∵∠1+∠3=90º，∠2+∠4=90º且∠1=∠2 ∴∠3 ∠4( ) 5、一个角的补角与这个角的余角的和比平角少 10°，求这个角．
课后反思：
七年级数学导学案第 17 课时 主备人：曹晓磊
审核人：
施晓海
审批人： 王文锦
课题：2.1 两条直线的位置关系(1) 学习目标： 在具体情景中了解对顶角、 补角、 余角， 知道对顶角相等、 等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题。
一、自主预习：预习书 38-39 页
在同一平面内，两条直线的位置关系有 只有一个公共点的两条直线叫做 做 ， 在同一平面内， 平行线。 和 ， ，这个公共点叫 叫做
1
三、当堂检测：1、判断题：对的打“√”, 错的打“×” 。
① 一个角的余角一定是锐角。 （ ② 一个角的补角一定是钝角。 （ ） ） 互为余角。 （ ）
③ 若∠1+∠2+∠3=90°， 那么∠1、 ∠2、 ∠3 2、下列说法正确的是（ ）
A. 相 等 的 角 是 对 顶 角 C.两条直线相交所成的角是对顶角 角是对顶角
，
一个角 30
45
60
25
83
∠
O
O
O
∠
这个角 的余角 这个角 的补角 （2）性质 如图，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2 问题 1：哪些角互为补角？哪些角互为余角有什么关系？为什么？ 3 4 ∵∠1+∠3=90º，∠2+∠4=90º ∴∠3=90º-∠1，∠4=90º-∠2 A B N ∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 问题 3：∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？你能仿照问题 2 写出
高中数学优秀教案第二册上.两条直线的位置关系(一)
两条直线的平行与垂直一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直,能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．(二）能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论,培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．(三)学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识,激发学生学习的兴趣．训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．二、教材分析1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．公式的记忆与应用．3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑,上课时要注意解决好这个问题．推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．三、活动设计提问、讨论、解答．四、教学过程（一)特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时:（1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°,互相平行；（2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二）斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和l2的斜率为k1和k2,它们的方程分别是l1: y=k1x+b1; l2: y=k2x+b2．两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．我们首先研究两条直线平行（不重合）的情形．如果l1∥l2(图1—29），那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2,那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2．两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq \x( )要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．现在研究两条直线垂直的情形．如果l1⊥l2,这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1（图1—30），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l1、l2的斜率是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°．可以推出α1=90°+α2．l1⊥l2．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之,如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即（三）例题例1 已知两条直线l1：2x—4y+7=0，L2：x—2y+5=0．求证：l1∥l2．证明两直线平行,需说明两个要点：(1）两直线斜率相等；(2)两直线不重合．证明：把l1、l2的方程写成斜截式:∴两直线不相交．∵两直线不重合，∴l1∥l2．例2求过点A(1，-4），且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．即2x+3y+10= 0．解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0,将A(1,-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0．例3 已知两条直线l1：2x—4y+7=0，l2：2x+y—5=0．求证：l1⊥l2．∴l1⊥l2．例4 求过点A（2，1)，且与直线2x+y—10=0垂直的直线方程．解法1 已知直线的斜率k1=-2．∵所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是x—2y=0．解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A（2，1)代入方程得m=0,所求直线的方程是x—2y=0．（四)两条直线的夹角两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．l1到l2的角有三个要点:始边、终边和旋转方向．现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0，那么θ=90°,下面研究1+k1k2≠0的情形．由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2（图1—32)，甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角．tgα1=k1，tgα2=k2．∵θ=α2—α1(图1-32)，或θ=π-（α1—α2)=π+(α2-α1)，∴tgθ=tg（α2-α1)．或tgθ=tg［π（α2—α1）]=tg(α2-α1）．可得即eq \x( )上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．（五)夹角公式从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角（就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了，这时可以用下面的公式(六）例题解：k1=—2，k2=1．∴θ=arctg3≈71°34′．本例题用来熟悉夹角公式．例2 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0），l1到l2的角是θ，求证:证明:设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(—2，0）在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰的顺序无关．设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则．因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．解得k3=2．因为l3经过点（—2,0），斜率为2,写出点斜式为y=2［x-（-2)]，即2x—y+4=0．这就是直线l3的方程．讲此例题时，一定要说明：无须作图,任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等,要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．(四)课后小结(1）斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；（2）两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直线的设法；（4）与已知直线垂直的直线的设法．（5)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；（6）l1到l2的角的正切公式;（7)l1与l2的夹角的正切公式；（8）等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．五、布置作业1．7练习第1，2,3题习题三第3，10题。
11.3两条直线的位置关系(1)
例2：求经过原点且过直线 l1 : x 2 y 2 0与 l2 : 2 x y 2 0 的交点的直线l的方程。
例题
例3、讨论下列各组直线之间的位置关系： (1)l1 : x m y 6 0,
2
(2)l1 : y 1 k1 x 3,
l2 : m 2x 3my 2m 0; l2 : y 1 k 2 x 3 。
Dx D y 此时直线l1、l2相交于一点 ， D D 此时直线l1与直线l2相交
2 当D 0时，
（i）若Dx 0 或D y 0
方程组无解，两直线l1、l2没有公共 点，即两直线平行。
（ii）若Dx D y 0
方程组有无数解，两直线l1、l2重合。
例题
例 1、判断下列各组直线的 位置关系， 若相交，求出交点坐标 ：
例题
例4、是否存在实数k，使直线 l1 : 3x k 2 y 6 0, l2 : kx 2k 3 y 2 0 平行？若存在，求k的值； 若不存在，请说明理由。
a1 x b1 y c1 0 a 2 x b2 y c 2 0
的解取决于系数构成的 行列式的值：
D a 1 b1 a 2 b2
Dx c1 b1 c 2 b2
Dy
a 1 c1 a2 c2
1当D 0， 即a1b2 a2b1时，
x 方程组有唯一解 y Dx D Dy D 。
11.3两条直线的位置关系
两条直线的相交、平行ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ重合
提问：在同一平面内两条直线的位置关 系有哪几种？这些位置关系在直线方程 上是怎样体现的呢？
设直角坐标平面上两条 直线的方程分别为
两条直线的位置关系(1)
a2 1 a
a a
2 1
;
k2
a 1 2a 3
1 a 2a 3
又两直线垂直k1 k2 1
即 a 2 1 a 1a 1 a 1 2a 3
(2)当a 1时, (a 2)x (1 a) y 3 0的斜率不存在
而(a 1)x (2a 3) y 2 0的斜率为0
§7. 3. 2两条直线的位置关系（二）
复习回顾： 上节课，我们研究学习了两直线平行或垂直
的充要条件及其应用: 平行问题
1.当直线L1和直线L2的斜率都存在时
得到: l1 // l2 k1 k2且b1 b2
2.当直线L1和直线L2的斜率都不存在时
得到: l1 // l2 或两直线重合
3.当直线L1和直线L2的斜率有一条存在, 有一 条不存在时
两直线仍然垂直a 1也符合题意
综上所述, a 1.
解法二: A1 a 2, A2 a 1; B1 1 a, B2 2a 3 又 两直线垂直 (a 2) (a 1) (1 a) (2a 3) 0 整理得(a 1) (a 1) 0 a 1
令y 0, 得x轴上的截距为a m 3
由题意得( m) ( m) 7
4
33
解得m 4
所求直线的方程为3x 4 y 4 0
三、课堂练习： 1.已知两点 A（7， 4），B（ 5，6），求线段 AB的 垂直平分线的方程。
2.求经过点 A（2，1）且与直线 2x y 10 0垂直 的直线 l的方程。
一、先分析两直线平行的情况
分析：（1）当B1 0，B2 0时，把直线l1和l2化成
立体几何——两条直线之间的位置关系（一）
立体几何——两条直线之间的位置关系（一）一、知识导学1.平面的基本性质. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4.异面直线. 异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.5.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,则a与b异面.三、经典例题导讲[例1]在正方体AB CD-ABCD中,O是底面AB CD的中心，M、N分别是棱D D、DC的中点，则直线OM( ).A .是AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于M N.C .垂直于MN，但不垂直于A C.D .与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABC D中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又, GH∥BD,GH=BD,四边形EFG H是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD, 又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,,直线EG,FH,AC相交于一点T.[例3]判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题．[例4]如图，在四边形AB CD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明∵ AB//CD， AB，CD确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，即 E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F，G，H四点必定共线．点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABC D中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形A BCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形A B CD的两条腰．∴ AB，CD必定相交于一点，设 AB ∩CD＝M．又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．∴ M∈α∩β．又∵α∩β＝，∴ M∈，即 AB，CD，共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明 1?若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A ∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可证 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α内．2?当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．[例7]在立方体AB CD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面A C内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD, 交AC于点O.(2)BD1和AC是异面直线.交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所(3)过O作BD1的平行线成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC证明：∵PA ⊥平面ABC∴PA⊥BA又∵BA⊥AC ∴BA⊥平面PAC∴AD是BD在平面PAC内的射影又∵BD⊥PC∴AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1．如图, P 是△ABC 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 后，在包括AB 、BC 、CA 的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( )A.2对B.3对C.4对D.6对2. 两个正方形A B CD 、ABEF 所在的平面互相垂直，则异面直线A C 和BF 所成角的大小为 ．3. 在棱长为a 的正方体A B CD －A1B1C 1D 1中，体对角线D B 1与面对角线BC1所成的角是 ，它们的距离是 .4.长方体中，则所成角的大小为_ ___. 5.关于直角A O B 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角. 其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形A BCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱P A、PB上的点，且与P 点不重合．求证：EF和DH是异面直线．。
七年级下册数学两条直线的位置关系(一)
七年级下册数学两条直线的位置关系(一)
七年级下册数学两条直线的位置关系
引言
本文将介绍七年级下册数学中，关于两条直线的位置关系的内容。
通过本篇文章，读者将了解两条直线的位置关系的定义以及常见的几
种情况。
一、两条直线的位置关系定义
两条直线的位置关系可以分为以下几种：
1.相交：两条直线交于一点，称为相交。
2.平行：两条直线不相交，且在同一平面上不相交的直线在无穷远
处相交，称为平行。
3.重合：两条直线方程相同，表示两条直线重合。
二、两条直线位置关系的解释说明
相交
当两条直线存在一点同时属于两条直线时，我们称它们为相交。
相交的情况可以分为以下几种： - 点相交：两条直线相交于一个点。
- 线段相交：两条直线相交于一条线段。
- 射线相交：两条直线相交
于一条射线。
平行
当两条直线不存在任何一个公共点时，我们称它们为平行。
平行的情况包括： - 平行线：两条直线在无穷远处相交。
- 平行线段：两条直线在无穷远处相交，并且在同一平面上不相交。
重合
当两条直线的方程相同，表示两条直线完全重合。
结论
通过本文我们了解了七年级下册数学中关于两条直线的位置关系的定义和解释。
对于数学问题，理解数学中的基本概念和定义是解决问题的关键。
希望本文能对读者在学习数学过程中的理解有所帮助。
数学(七下)2.1两条直线的位置关系(一)
D E C
A
A O B
O
动手实践三
D
O
2 1 34
C
图2.1—7
A N B 图2.1—8
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球， 反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 2.1—7抽象成成图2.1—8，ON与DC交于点O， ∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
动手实践三
D
O
2 1 34
C
A N B 图2.1—7 图2.1—8 小组合作交流，解决下列问题：在图2.1—8中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 你还能得到哪些结论？
动手实践、探究新知 问题2:剪子可以看成图2.1—4， 那么剪子在剪东西的过程中， ∠1和∠2还保持相等吗？∠3和 ∠4呢？你有何结论？
A
4 D
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 1
C
2.1─5
对顶角相等
B
巩固练习 1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（D ）
1
2
1
2
1
1
A
B
C
2
2
D
2.如图所示，有一个破损 的扇形零件，利用图中的 量角器可以量出这个扇形 零件的圆心角的度数吗？ 你能说出所量角的度数是 多少吗？为什么？
C A B A C
两条直线的位置关系(1)两条直线的相交、平行与重合
Ax+By+m=0(m≠C),代入已知条件求出m即可.
当堂达标
堂达标
1.判断下列各对直线是否平行 : （p91练习A）
(1) 3x+4y-5=0, 6x+8y-7=0
平行
(2) y=3x+4, 2y-6x+1=0
平行
(3) x=3, 3x+5=0
平行
(4) x+y=0 , x-y=0
不平行
2.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方
程是(
)
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
解析:因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求
直线斜率k= 12 ,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B.
答案:A
课堂小结
判断两直线位置关系的解法有三种:
一是根据方程组的解的个数判定;
二是根据方程的系数间的关系判定;
三是化成斜截式方程判定.
作业布置
P91练习A1，2，3
感谢观看
(方法二)(1)因为 A1=4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,
所以 A1B2-A2B1=4×2-1×3=5≠0,所以两直线相交.
4 + 3-2 = 0,
= 2,
解方程组
得
= -2,
+ 2 + 2 = 0,
所以两直线的交点坐标为(2,-2).
1
(2)因为 A1=1,B1=2,C1=-2,A2=2,B2=4,C2=-1,所以 A1B2-A2B1=1×41
典例解析
两条直线的位置关系教案(1)
两条直线的位置关系教案(1)2.2.3两条直线的位置关系（1）第一课时：两条直线相交、平行、重合的条件一、教案背景可以说，解析几何的精髓就是用代数方法解决几何问题.本章教材的主题就是建立代数与几何的联系，用代数方法研究几何,本课时教学内容也正是在具体认识直线方程的概念及其几种形式的基础上，用坐标法研究直线与直线的位置关系，强化解析几何的思想，体会数形结合思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力，为学生以后选修圆锥曲线打下基础.二、教学课题本课时教材是在理解了直线方程的含义，掌握并能熟练应用直线方程的几种形式基础上，继续学习两条直线的位置关系，从而为进一步学习点到直线的距离，两条直线的夹角，以及直线与圆的位置关系等做好先期准备.1、利用直线的点斜式方程，理解过定点的直线系及直线系方程的表示形式.2、在认识过定点的直线系的基础上进一步认识平行直线系，从而推导出两条直线位置关系的等价条件.3、利用两条直线相交、平行、重合的条件解决简单的实际应用问题.三、教材分析（一）教材内容两条直线的位置关系是人教B版必修2第二章平面解析几何初步的第二单元直线的方程的第三节课内容，本节课教材内容主要有两个：1、两条直线相交、平行与重合的条件2、两条直线垂直的条件本课时教案正是本节课教材的第一个内容，是在学生已经探索并掌握了直线方程的含义以及如何利用已知条件求出直线的方程基础上，进一步利用解方程组的思想探索两条直线的位置关系的条件，并会利用两条直线相交或平行的条件判断两条直线相交、平行和重合，进而能求出两直线的交点坐标.（二）教学目标1、知识与技能目标：（1）理解两条直线相交或平行的等价条件，特别注意与已知直线平行的直线系的应用；（2）通过学习本课时知识，进一步提高学生对直线的认识，提高学生对归纳猜想、类比转化、重合条件的思路．四、教学方法教之道在于导，学之道在于悟，教学这门艺术在于精心设问，巧妙引导学生答问，积极引领学生感受数学，探索数学和应用数学的意识.俗话说得好：“教无定法，贵在得法”，本课时教学，教法上本着“教师为主导，学生为主体，解决问题为主线，能力发展为目标”的教学思想，主要采取“问题探究”式教学方法.通过创设问题情境，以直线的点斜式方程的特殊形式为切入点，在认知冲突中激发学生的探索欲望：通过两个探究问题，引导学生自主探究与合作交流相结合去研究，从而得出两条直线相交、平行与重合的条件；通过恰当的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，从而提高学生的思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体.同时借助多媒体、投影辅助教学，增强教学的直观性，从而提高课堂效率.五、教学过程（一）创设情境，提出问题从课本一道习题推导斜截形式下两条直线相交、平行、重合的条件在直线方程)1-xy中，k取遍所有实数，可k=1+(得无数条直线，这无数条直线都过哪一点？回答：由直线的点斜式方程可知，这些直线都过定点)11-(，．据此引导学生探究：（1），该方程所表示的直线可以说成是过一定点的直线系吗？（2），该定点是否可以看成某两条特殊直线的交点呢？在直线方程b kx y +=中，当k 值固定，b 取遍所有实数，也可得无数条直线，这无数条直线又可以说成是什么样的直线系呢？回答：该方程表示斜率为k 的平行直线系.（二）自主探究，形成概念 对于直线 111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，同学们会得出:1l ∥2l ；且2121b b k k ≠=⇔ ；相交与2121k k l l ≠⇔ .212121b b k k l l ==⇔且重合与继续探究一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件已知两条直线的方程为 ,0:1111=++C y B x A l.0:2222=++C y B x A l 为此，我们解方程组 0111=++C y B x A 0222=++C y B x A当01221≠-B A B A 时，得12212121B A B A B C C B x --= .12212112B A B A C A C Ay --= 因此，当01221≠-B A B A 时，方程组有唯一一组解.这时，两条直线相交，交点的坐标就是.,）（y x 当.000211221211221≠-≠-=-C A C A B C C B B A B A 或，且时方程组无解.又由直线方程的一般形式可知2211B A B A 与，与不能同时为0，由此可进一步推知这两条直线没有公共点，也就是这两条直线平行.如果.0212121）（，，≠===λλλλC C B B A A 则方程组中两个方程的解集完全相同，由此可知两个方程表示同一条直线，即直线与重合.通过以上分析，我们可以得到一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件：1l ∥2l .000211221211221≠-≠-=-⇔C A C A B C C B B A B A 或，且 ⇔相交与21l l 01221≠-B A B A ..021212121）（，，重合与≠===⇔λλλλC C B B A A l l（三）典例剖析，深化概念例题1 已知直线,0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 求证：当21C C ≠时，1l ∥2l . 证明：因为,0=-BA AB所以1l ∥2l ，或.21重合与l l 又因为:)(1212C C B BC BC -=- 当0≠B 时，由已知有21C C≠，所以,012≠-BC BC 因此两条直线平行; 当0=B 时，又直线方程的定义可知0≠A ,于是两条直线方程变为,,21A C x A C x -=-= 这是两条与x 轴垂直的直线，所以它们平行或重合.又由于21C C ≠,所以它们是平行的直线.结论：与直线0=++C By Ax 平行的直线的方程可以表示成).(0C D D By Ax ≠=++例题 2 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：（1） ;1),2,1(21+=-x y （2）.0532),4,1(=++-y x解：（1） 因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为 .21b x y +=由于所求直线过点),2,1(-代入方程，得.25=b因此所求直线方程为 .0522521=+-+=y x x y ，即（2） 设所求的直线方程为.032=++D y x由于所求直线过点),4-,1(代入方程，得.10=D因此，所求直线方程为.01032=++y x（四）课堂练习，学以致用教材第84页 练习 A 1, 2 (1),(3), (5) , 3(五) 课堂小结，认识升华两种不同形式下的两条直线相交、平行、重合的等价条件.若111:b x k y l +=，222:b x k y l+=，则 ；且平行与212121b b k k l l ≠=⇔ ；相交与2121k k l l ≠⇔.212121b b k k l l ==⇔且重合与若,0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 则 .00021122121122121≠-≠-=-⇔C A C A B C C B B A B A l l 或，且平行与 ⇔相交与21l l 01221≠-B A B A ..021212121）（，，重合与≠===⇔λλλλC C B B A A l l (六) 课后作业，巩固提高教材第84页 练习A 2 (2), (4),练习B 1 （1），（2），（3）（七）板书设计 2.2.3两条直线的位置关系（1）斜截形式下两条直线相交、平行、重合的条件一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件例题应用（1）（2）六、教学反思课堂教学过程是一个定位，设计，操作和反思的过程，教师要向学生提供有效的学习资源，学习方法和学习氛围.这课时教学指导思想是发挥学生的主体性，以问题链的形式逐步引导深入，为了使学生的认识符合从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律，所以充分渗透了数形结合的数学思想，在推导两直线相交、平行与重合垂直的位置关系的教学上给予学生足够的时间，并组织同学交流；但同时不应忽视教师的主导性，所以在推导过程之前，教师通过过定点的直线系的类比，培养学生自主探究问题的习惯，让学生体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程，更好的理解两直线平行的条件.通过解方程或方程组这一代数思想方法，探索与讨论如何用数量关系来说明两直线的位置关系，进一步体会几何问题代数化的思想方法，从而提高学生用代数方法处理数学问题的能力和计算推理能力.。
两直线的位置关系
例 3 求经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交 点，并且垂直于直线 3x＋4y－7＝0 的直线方程．
【思路】 (1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直 关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程． (2)因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直， 两条直线的斜 率互为负倒数，所以可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0，将两 条直线的交点坐标代入求出 m 值，就得到所求直线方程．
5 7 ∴交点为(－ ， )． 3 9
∵所求直线与 3x＋4y－7＝0 垂直， 4 ∴所求直线的斜率 k＝ . 3 7 4 5 由点斜式，得 y－ ＝ (x＋ )． 9 3 3 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
方法二 设所求直线的方程为 4x－3y＋m＝0. 5 x＝－3， 将方法一中求得的交点坐标 y＝7. 9 5 7 代入上式得 4· (－ )－3·＋m＝0. 3 9 ∴m＝9.代入所设方程． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
1 2 【答案】 a＝2，垂足坐标为( ，－ )或 a＝－3，垂足坐 2 3 9 2 标为(－ ， ) 17 17
例 2
(2013· 北京东城区)若 O(0,0)，A(4，－1)两点到直线
ax＋a2y＋6＝0 的距离相等，则实数 a＝________.
|4a－a2＋6| 6 2 【解析】 由题意，得 2 4＝ ，即 4 a － a ＋ 2 4 a ＋a a ＋a 6＝± 6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6.检验得 a＝0 不合题意，所 以 a＝－2 或 4 或 6.
(1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，把 l2 的方 程写成 4x＋8y－2＝0. |n＋2| ∴ ＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0.
两条直线的位置关系(1)(新教材)
两条直线的位置关系（1）目的：1、掌握两条直线平行的充要条件，会由直线方程判断两条直线是否平行； 2、通过教学，提倡形式用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的 渗透，同时，注意思考的严密性，表述的规范性，培养形式探索、概括能力。
过程：一、复习提问1、平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？2、两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？3、“βα=”是“βαtan tan =”的什么条件？4、在解析几何中是利用什么来判定两条直线平行的？ 二、新课两条直线的位置关系——平行设问1：已知直线1l 、2l 的斜截式方程为1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y += 求证：1l ∥2l 的充要条件是21k k =且21b b ≠。
必有性：如果1l ∥2l ，那么21b b ≠，它们的倾斜角相等21αα=， ∴21tan tan αα=，即21k k =充分性：如果21k k =，即21tan tan αα=。
∵︒<≤︒18001α，︒<≤︒18002α ∴21αα=，又21b b ≠，即两直线不重合，∴1l ∥2l 当直线1l 、2l 有斜截式方程1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=时， 直线1l ∥2l 的充要条件是21k k =且21b b ≠设问2：已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A求证：1l ∥2l 的充要条件是212121C C B B A A ≠= 设问3：已知两条直线的方程，如何判断两条直线平行？例1、两条直线1l ：0742=+-y x 2l ：052=+-y x 。
求证：1l ∥2l 证一：（见教材55页略）2证二:∵572412≠--=，∴1l ∥2l 例2、求使直线12=-ay x 和122=-ay x 平行的实数a 的取值。
空间两条直线
三、异面直线
1.定义:所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线. 其含义是不存在这样的平面,能同时经过这两条直线,应明确 分别在某两个平面内的两直线不一定是异面直线. 2.异面直线的判定方法： (1)定义法(反证法): (2)判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线 ,和平面内不 经过该点的直线是异面直线. 3.异面直线所成的角:
D B F C
若a、b是异面直线，且分别在平面α、β 内，α∩β = l ，则 直线 l 必定
A.分别与a、b相交 C. 与a、b都不相交 B.至少与a、b之一相交 D.至多与a、b之一相交
(2)范围： (0, ]
(3)求法:
2
①平移法：平移法求异面直线所成角的步骤是一作二证 三求, 关键是通过平移（中点平移，顶点平移以及补形法： 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六 面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转 化为两相交直线的夹角。 ②向量法
四、异面直线的距离的概念： 1.两条异面直线公垂线:和两条异面直线都垂直相交的直 线叫异面直线的公垂线。 2.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线在这两条异 面直线间的线段的长度叫做异面直线间的距离. 注:两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异 面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定 相交。 3.计算异面直线的距离的方法： (1)先确定异面直线公垂线的位置，再计算公垂线段的长度。 (2)向量法。
例 1． （1）空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分 别是四边上的中点， 则直线 EG和 FH的位置关系_____；
（答：相交）
（2）给出下列四个命题： ①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线 a, b ，如果 a 平行于平面 ，那么 b 不平行平面 ； ③两异面直线 a, b ，如果 a 平面 ，那么 b 不垂 直于平面 ； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条 平行直线 。其中正确的命题是_____。 （答：①③）
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小结：（两种形式使用条件） 斜截式要求斜率存在 一般式的等价条件转化为整式 特殊形式如何判断？
二．两条直线垂直的条件（特殊的相交）
1．已知两条直线的方程为:
l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，
y=k1x+b1
;
y=k2x+b2;
斜截式：
k1k2=－1
一般式：
20=0.
3x－4y+1=0
则过P与l平行的直线方程 4x+3y－7=0
是
.
过P与l垂直的直线方程
2．设直线l1：(m－2)x+3y+2m=0与 l2：x+my+6=0，
当m∈ {m|m≠3且m≠－1 }
时，l1与－l21相交;
当m= 1
2
当m=
时，l1与l2平行； 时，l1⊥l2.
感谢下 载
A1A2+B1B2=0.
两直线垂直位置关系的应用
1．判断下列各组中的两条直线是否垂直
（1）2x－4y－7=0与2x+y－5=0； （2）y=3x+1与y=－ 1 x+5； （3）2x=7与3y－5=03.
一般地，我们可以把与直线Ax+By+C=0 垂直的直线方程表示为Bx－Ay+D=0.
2．求通过下列各点且与已知直线垂直的 直线方程。
2.2.3两条直线的位置关系(一)
平面内两条直线的交点个数分类：
没有交点 只有一个交点
三种位置关系
平行 相交
有无数个交点
重合
问题1．已知两条直线的方程为:
l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，
y=k1x+b1
;
y=k2x+b2;
当它们斜平截式行： 、பைடு நூலகம்合k1=k2、,b1≠相b2 交时，应满足什么条
件平行？
一般式： 相交
A1 B1 C1 A2 B2 C2
重合
两直线平行、相交、重合位置关系的应用
1.下列直线中与直线x-y-1=0平行的是（ ）
A. x+y-1=0
B. x-y+1=0
C. ax-ay-a=0
D. x-y+1=0或ax-ay-a=0
2、若直线l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1平行， 求m.
x－2y+C=0，
因为直线过点(1，2)，代入方程，
解得C=3， 所以所求的直线方程为x－2y+3=0.
3．若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2
－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则 C
（
）
（A）a=2
（B）a=－2
（C）a=2或a=－2
（D）a=2，0，－2
课后检测
1．已知点P(1，1)和直线l：3x－4y－
（1）(－1，3)，y=2x－3； （2）(1，2)，2x+y－10=0.
解：（1）设所求的直线方程为y=－ 1 x+b
2
因为直线过点(－1，3)，代入方程，得b=
15
所以所求的直线方程为y=－ 2 x+ 2，
5 2
即x+2y－5=0.
（2）(1，2)，2x+y－10=0.
解：（2）设所求的直线方程为
3．求通过下列各点且与已知直线平行的 直线方程：
（1）(－1，2)，y=1 x+1；
2
（2）(1，－4) , 2x+3y+5=0.
答案： （1）x－2y+5=0.
（2）2x+3y+10=0.
4.给出下列几种说法: ①若直线l1与l2都无斜率,则l1与l2一定不垂直; ②l1⊥l2,则k1·k2=-1; ③若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2; ④若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等; ⑤若两直线的斜率不相等，则两直线不平行. 你认为正确的说法有_________. (把正确说法的序号都写上)