随机过程习题答案

随机过程习题答案

1、已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx和my，它们的自

相关函数分别为Rx(,)和Ry(,)。(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求

Z(t)=X(t)+Y(t)

的自相关函数。

答案:

(1) R(,),E,,,,z(t，,)z(t),Ex(t，,)y(t，,)x(t)y(t)z

,,,x(t)y(t)R(),Ex(t，)x(t)Ey(t，)y(t),,,,利用和独立的性质:z,

,R(,)R(,)xy

(2) ，，，，R(,),E,,z(t，,)z(t),E,,x(t，,)，y(t，,)，x(t)，y(t)z

,E,,x(t，,)x(t)，x(t，,)y(t)，y(t，,)x(t)，y(t，,)y(t)

仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质: R(,),R(,)，2mm，R(,)zxxyy2、一个RC低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n/20 的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一

维概率密度函数。

电流:i(t)

R 电压:x(t) C 电压:y(t)

答案:

Y(s)1H(s),,(1) 该系统的系统函数为 X(s)1，RCs

1H(j,),则频率响应为 1，jRC,

n0()而输入信号x(t)的功率谱密度函数为 ,,PjX2

该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为:

n/220P(j,),P(j,)H(j,), YX22，，1，RC,

对求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数: P(j,)Y

,,11/2nj,j,,,0,()()R,Pj,ed,,ed, YY2,,2,,,,,,22，，1，RC,

(2) 线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。因此，为了求输

出的一维概率密度函数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。

均值:已知输入均值m=0，则输出均值m=mH(0)=0 xyx

2方差:R(0),Var(Y)，m Yy

,1/2n0()(0)因为均值为0，所以方差 VarY,R,d,Y2,2,,,2，，1，RC,

一维PDF:略

3、理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为B，其在通带的频率增益为1。假定输入是均

值为0、双边功率谱密度函数为n/2的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功0

率谱密度函数;(2)求输出信号的平均功率;(3)求输出信号的一维概率密度函数。

答案:类似上一题，仅需注意的是:

f,B,,,f，B1,2(/2)2(/2),,,cc(a) 此处滤波器的频率响应为

Hj,,(),otherwise0,

(b) 平均功率等于功率谱密度函数的积分，也即等于输出信号y(t)的自相关在处,,0

的值，即 R(0)Y

4、设x1(t)与x2(t)为零均值且互不相关的平稳随机过程。x1(t)通过某个LTI系统所得的输出

为y1(t)，x2(t)通过同一个LTI系统的输出为y2(t)。试证明y1(t)与y2(t)互不相关。答案:就是要证明y1(t)与y2(t)的协方差为0。

由于x1(t)与x2(t)为零均值，显而易见y1(t)与y2(t)的均值都为0。

所以，我们仅需要证明y1(t)与y2(t)的互相关为0。

设LTI系统的单位冲激响应为h(t)，则:

, y(t),x(t,,)h(,)d,11,,,

, y(t),x(t,,)h(,)d,22,,,

所以有:

,,，，,,,Ey(t)y(t),Ex(t,)h()dx(t,v)h(v)dv,,1212,,,,,,,,，，

,,，，,,, ,Ex(t,)x(t,v)h()h(v)ddv 12,,,,,,,,，，

,,,,,Ex(t,,)x(t,v)h(,)h(v)d,dv12,,,,,,

再利用x1(t)与x2(t)互不相关的性质，则有:

,,,,,,,,，从而完成证明。

Ey(t)y(t),Ex(t,,)Ex(t,v)h(,)h(v)d,dv,01212,,,,,,

教材:2.8和2.9题 ,答案略