行列式试题库1
(完整版)行列式试题库1
一．判断题（易）1、n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）．答案：×（较容易）2、62162100000000λλλ=λλλ．（ ）．答案：×（较容易）3、82182100000000k k k k k k=．（ ）．答案： √（较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √二．填空题（中等）1.设1234577733324523332246523=A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________答案：0，0（中等）2.1234243141321432=D , 求11213141+++A A A A =________答案：0（较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3（较容易）4.db acd b c a bd c a b d a c = ．答案：0（较容易）5.yx yx x y x y x y x x y x 323222 +++++=．答案：)(2y x xy +-（较容易）6. 6217213424435431014327427246-=答案：510294⨯-（中等）7．已知三阶行列式 987654321 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ），则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为．答案： 987321 c b a（中等）8． 设行列式30402222,075322D =-- 则第四行各元素余子式之和的值为 .答案：–28（较容易）9．11110011110y y y x xx--= ．答案：22x y（中等）10． 行列式1111111111111111--+---+---x x x x = ．答案：4x（较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解．答案：1，0（较容易）2. 设222233331111a bcdD ab c da b c d =,则D=______________答案：()()()()()()d c d b d a c b c a b a ------（较容易）13. 已知四阶行列式D 的第二行元素分别为3, 1, -1, 2, 他们对应的余子式分别为1, 2, 2, -1, 则行列式=D ______ 答案：-1（较容易）14. 设A 是三阶方阵, 且3||=A , 则|)2(|1-A =_______答案：124（容易）15. A 为正交矩阵, 则=||A _____________答案：1或-1 （较容易）16. 已知四阶行列式D 的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=________ 答案：5（容易）17. 行列式25613412a中元素a 的代数余子式 = _________ 答案：－４（较容易）18.四阶行列式D 的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则D= _________ 答案：0（较容易）19.设A 是三阶行列式，且1A =，则2A A =______ 答案：512（较容易）20.设五阶矩阵A 的行列式2A =-，则其伴随矩阵*A 的行列式*A = ____ 答案：16（容易）21. 已知三阶行列式251102321-=D , 则第3行第2列元素的代数余子式32A =_____________答案：7（容易）22. 按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 ．. 答案：1（容易）23. 当=i =k 时排列1274i 56k 9为偶排列． 答案：8，3（容易）24. 排列1 3 …（12-n ）2 4…（n 2）的逆序数为 _______ ． 答案：(1)2n n - （容易）25. 在五阶行列式中项5541322413a a a a a 前面应冠以 号（填正或负）． 答案：负（容易）26. 四阶行列式中含有因子2311a a 且带负号的项为_____ 答案：44322311a a a a -（容易）27. 设A 为n 阶矩阵,且T A A E =，则必有________A =答案：1 或－1（容易）28. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果2A =,则*A =________答案：12n -（容易）29. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果 2A =- ,则*A =________答案：1(2)n --（容易）30. 设A 为n 阶矩阵,且TA A E =，则必有T A =________答案：1 或－1（容易）31.设A 是n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 若a A =||, 则||*A =__________答案：1n a-（容易）32.若2||44-=⨯A , 则=||*A _________ 答案：8（容易）33.设3211111410D -=-,则313233A A A ++=_____ 答案：0（较容易）34. 若0x a aax a a ax=，则a =_____答案：2a -或0（较容易）35.已知3021111xy z =，则33332222x y zx y z x y z ++=+++_____ 答案：2（较容易）36.设12234000000000a a D a a =121340000200003004a a D a a =，则1D =_____2D 答案:24（容易）37.120034000054045D --==-- ____答案:-18（容易）38.1200340000130051D ==- ____答案:32（较容易）39.1111001100111001D == ____答案:0（较容易）40.若齐次线性方程组03030x y z x y z x y z λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩有非零解,则λ=____答案:12λ=-（容易）41.行列式A 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系____ 答案:(1)i jij ij A M +=-（较容易）42.若n 阶方阵A 的秩为n-1,在A =____ 答案:0（较容易）43.设A,B 是两个三阶的方阵,且1A =-,2B =,那么133()TA B -=____答案:278-（容易）44.设三阶方阵A 的不同特征值为-1,2,4 ,则A =____ 答案:-8（较容易）45.若A,B 为n 阶方阵,且1,32A B ==-,则*12A B --=____ 答案:12(1)3n +- （容易）46.A 为三阶方阵,2A =,则12A =____ 答案:14（较容易）47.设行列式2345246812035643D =,则414243442468A A A A +++=____答案:0（较容易）48.若3022111xy z =-,则413111111x y z ---=____答案:2（较容易）49.8276412549162523451111= ____答案:12（较容易）50. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则11121321222331323332623a a a a a a a a a ---= ____ 答案:-18（较容易）51. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = ____ 答案:24（容易）52.已知三阶方阵A 的三个特征值为1，－2，3 ，则A =____ 答案：－6（容易）53. 010000200000100n D n n ==- 答案：1(1)!n n +-（容易）54. 0x y Dxz y z=---＝答案：0（容易）55.已知125328401390216D ----=,23A = 答案：－9（容易）56. efcfbf de cdbd aeacab ---= 答案：4abcdef（较容易）57. 33221111110011001b b b b b b D ------== 答案：1（较容易）行列式2001021*********＝答案：9三．选择题（容易）1. 如果⎩⎨⎧=-+=+-0)1(202)1(2121x k x x x k 仅有零解,则( ).A. 1≠k ,B. 1-≠k 或3≠k ,C. 3=k ,D. 1-≠k 且3≠k .答案：D（较容易）2. 设,,D αβγ=, ,,αβγ分别表示行列式D 的三个列，则D =（ ）A. ,,γβαB. ,,αββγγα+++C. ,,αβγ---D. ,,ααβαβγ+++答案：D（较容易）3．四阶行列式D=112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ） A. 12341234a a a a b b b b - B. 12341234a a a a b b b b +C. 12123434 ()()a a b b a a b b --D. 23231414()()a a b b a a b b --答案：D（容易）4.如果1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a =（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 答案:D（较容易）5.已知4阶方阵A ，其第三列元素分别为1，3，－2，2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式A =( )A. 5B. -5C. -3D. 3 答案:A（中等）6.设231111111()114118x f x x x -=-,则方程()0f x =的三个根分别为( )A. 1,-1,2B. 1,1,4C. 1,-1,8D. 2,4,8 答案: A（较容易）7.行列式112233110a ba ca ba c ab ac ++++++=( )A. 0B. b c -C. 21()()c b a a --D. 21()b a a - 答案:C（容易）8.行列式132520103D -=--中元素32a 的代数余子式为( ) A. 0 B. -10 C. 10 D. 3 答案:B（容易）9.行列式21312201D -=中元素32a 的代数余子式为( ) A. 4 B. -4 C. 0 D. 2 答案:A（较容易）10.若1112132122233132331a a a a a a a a a = 则313233212223111213222333a a a a a a a a a ---=( ) A. -5 B. 6 C. -1 D. 1 答案: B（较容易）11.设22115()114723f x x x =+-,则方程()0f x =的根分别为( )A. 1,1,3,3B. -1,-1,3,3C. -1,-1,-3,-3D. 1,-1,3,-3答案：D (较容易)12.已知111213212223313233a a a a a a d a a a =,则行列式313233111213211122122313333232323a a a a a a a a a a a a ---=+++( )A. 6d -B. 6dC. 3d -D.3d 答案：A（较容易）13.1231231233a a a b b b c c c ⨯=( ) A. 123123123333a a a b b b c c c B. 123123123333333333a a a b b b c c c C. 123123123333a a a b b b c c c -D. 123123123333a a a b b b c c c 答案:D（较容易）14.行列式0003001002000100000002D -==--( ) A. -12 B. 12 C. -6 D. 6 答案:A（较容易）15.设det()n ij D a =,则0n D =的充分必要条件是( ) A. n D 中有两行(列)元素对应成比例 B. n D 中有一行(列)的元素均为零 C.11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+== D. 11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+=≠ 答案:C（中等）16.1223()71043171xx x x f x x--=--是( )次多项式A. 4B. 3C. 2D. 1 答案:C （较容易）17.四阶行列式D 的某行元素依次为-1,0,k,6, 它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且9D =-,则k =( )A. 0B. 3C. 1D. -1 答案:B(较容易)18.若1112132122233132331a a a a a a a a a =,则131112112321222133313231454545a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 5 B. -5 C. 20 D. -20 答案:A（容易）19.222a ab acab bbc ac bc c =( ) A. abc B. 1 C. 0 D. 222a b c 答案:C（较容易）20. 设*1,A A -分别为n 阶方阵A 的伴随矩阵和逆矩阵,则*1A A -=（ ） A. nA B. 1n A- C. 2n A- D. 3n A-答案:C（较容易）21.已知A 为三阶矩阵,其第三行元素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则A =( )A. 5B. -5C. 7D. -7 答案:C（较容易）22.如果1112132122233132331a a a a a a a a a =,则111112132121222331313233423423423a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 8 B. -12 C. 24 D. -24 答案：B（较容易）23.行列式103100204199200395301300600=（ ）A. 1000B. -1000C. 2000D.-2000 答案：C（较容易）24.行列式40105022*********D =的值为（ ）A. -12B. -24C. -36D. -72 答案：D（较容易）25.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则（ ） A. A 中必有两行(列)的对应元素成比例;B. A 中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;C. A 中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;D. A 中至少有一行(列)向量为零向量答案：C（较容易）26. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则行列式2A =( )A. 0B. 1C. 6D. 36 答案：D（较容易）27. 如果m a a a a a a a a a D ==333231232221131211，1312112322213332311333333333a a a a a a a a a D = 那么=1D （ ）．A.m 3；B.m 3-；C. m 9；D. m 27-．答案：D（较容易）28.已知0001001010001000001D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则D =（ ）A. 1B. -1C. (1)2(1)n n -- D. (1)(2)2(1)n n ---答案：D29.行列式D 非零的充要条件是（ ） A.D 的所有元素都不为零 B.D 至少有2n n -个元素不为零 C.D 的任意两列元素之间不成比例D.以D 为系数行列式的线性方程组有惟一解 答案：D四．解答题（较难）1.123111111111111111(0,1,2,,)111111+++≠=+i na a a a i n a解：123111111111111111111111++++na a a a 11213111111000000+-=--na a a a a a a 112131111110000000+---na a a a a a a 11223111110000000=++=∑ni ina a a a a a 231120000100=⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦∑ni i n a a a a a a 111(1)===+∑∏nni i i i a a（较难）2．12323413452121-nnn 解：12323413452121-nnn ＝1223123411245212121++++++++++++-n n n n n n ＝123011113410111(1)(12)14522011111211121------++++=-----n n n n n n n n n＝1111111111(1)(1)211111111+---------+---------n n n n n n n n ＝11000(1)(1)20001111+-+----n n n nn n n＝12000(1)(1)(1)2n nn n n n n n+-+--＝(1)(4)11322(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22-++--++----=-n n nn n n n n n n n（较难）3．-=------n x a a a a a xa a a D a axa a a a aax解：00--=+-------n xa a x a a a axaaxaa D a a a x aa a aa＝111000()()()0000---+-+--+=-+++---n n n x a a x x a a x x a D x a D a x a x aaaaa由递推关系有1()()2⎡⎤=++-⎣⎦n n n D x a x a （较难）4．111111-=--n n D n n解：10100111001011111+----==+------n nnn nDn n n n＝111(1)(1)01010+---------n n n n n＝121(1)(1)(1)(1)010111+------------n n n n n n n＝254113112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)+-+----------=-+n n n n n n n n n＝222(1)1122(1)(1)(1)(1)(1)++-----+=-+n nn n n n n n n（中等）5. 写出四阶行列式23740101201035--=D 中元素4,13323=-=a a 的代数余子式，并求其值.解： 23701135)1(3223-⨯-=+A 237013430---.96102623343=+-=--=2015)1()2(23020135)1(223333++-⨯-=--⨯-=A .2010)2(-=⨯-=.176)20(4960033332323-=-⨯+-=+++=A a A a D（中等）6. 计算行列式7325254346323214-----解:7325254346323214----- =13723103419503100010------1373103195010)1(121----⨯=+137231031500-----.310625)697(5723315=⨯=+-=--=（中等）7. 计算(2)≥n n 阶行列式000100000001000aa D a a = 解: 按第一行展开，得()1000000000001000010na aa a D aa a+=+-．再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到()()()()1112222111nn n n n n n D a a a a a a +-+---=+--=-=-（中等）8．计算行列式ab b b ba b b D bb a b bbba= 解: D =()()()()1111a n b b b b a n ba b b a n bb a b a n bbba+-+-+-+- []11(1)11b b ba b ba nb b a b bba=+-=[]1(1)b b ba ba nb a ba b-+---（较容易）9.计算行列式 .2143000012009687843415089715032-=D 解:231509750821001414437896823034(83)0340210141021020003400102141111(412)1116176.34D --===+⋅--=⋅=+=⨯=（较容易）10. k 取何值时，下列齐次线性方程组有非零解：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++.02,0,0321321321x x x x kx x kx x x 解: 方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零.2111111--=kk D kkk k --++2211011kk k --+2201111)1(11(1)011004k k k+-).4)(1(k k -+=即 .0)4)(1(=-+k k所以当1-=k 或4=k 时，齐次线性方程组可能有非零解.（中等）11. 计算行列式1314211311023351-----=D .解： 1192101110160551003351-----=D 1113200112033515----=112320011103351)5(-----=1300320011103351)5(------=211000320011103351)5(-----=55-=（中等）12. 计算行列式x a a a x a aa x D n=．解： xa a a x a a n x D n r r r n111])1([)(21-+=+++ax a x a n x ---+=00111])1([1)]()1([---+=n a x a n x（中等）13. 计算行列式的值1118101711101325--=D解：10113-D=1181107113521101--0217015501101---==8200712055100111---8201790055100111--410017900551001112--=1794100551001112---=38194100551001112-=----=（难）4. 计算n 阶行列式的值52 (00)35...000... 00 (5200) (35)200...035=n D解 按第一行展开，得：21116552 (00)35...000..................00...52000 (350)00 (0323)5-----=-=n n n n n D D D D 按第一列展开得到递推式：2165---=n n n D D D写作）（211232----=-n n n n D D D D ，可得）（1221232D D D D n n n -=--- 写作）（211323----=-n n n n D D D D ，可得）（1221323D D D D n n n -=---而195235,521===D D⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴--nn n nn n D D D D 233211 解之得1123++-=n n n D （中等）15. 计算n 阶行列式xyy x y x yxy x D 0 (00)...0000 00 (000) (00)00...00=的值解 按照第一列展开nn n n n n n n n y x y y x x y y xy x y y x x y x y xx D 111111111)1()1(...000 0...00...00...00)1(...000 0...00...00...0)1(+-+--+-+-+=⨯-⨯+⨯=-⨯+-⨯=（较容易）16. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组 1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故11011111111(1)012200λλμλλμλμμμλμμμ----===--即0μ=或1λ=齐次线性方程组有非零解。
高中数学 行列式 试题及解析
高中数学行列式试题一．选择题（共12小题）1．定义：，若复数z 满足，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i2．下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A ．B ．C ．D ．3．三阶行列式中，元素9的代数余子式的值为（）A．38B．﹣38C．360D．﹣3604．定义行列式运算，将函数的图象向左平移n （n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则n的最小值为（）A ．B ．C ．D ．5．行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．126．定义行列式运算：＝a1a4﹣a2a3，函数f（x ）＝，则要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位7．＝（）A．cos2θB．sin2θC．1D．﹣118．定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i9．设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1＝0与a2x+b2y+c2＝0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．展开式为ad﹣bc的行列式是（）A ．B ．C ．D ．12．若规定＝ad﹣bc 则不等式≤0的解集（）A．{x|x≤﹣2或x≥1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1} D．∅二．填空题（共23小题）13．若＝0，则锐角x ＝．14．已知，则λ＝．15．已知行列式中的元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}2的第n+j 项，则此行列式的值是．16．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．17．把表示成一个三阶行列式是18．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式﹣1，则实数x的取值集合为．19．行列式的最大值为．20．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为10，则的模为．21．行列式中x的系数是22．行列式的元素π的代数余子式的值等于．23．三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为．24．若行列式，则m的值是．25．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为26．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于．27．函数的最小正周期T＝．28．已知矩阵A＝，B＝，C＝，且A+B＝C，则x+y的值为．29．方程，x∈（3，4）实数解x为．30．方程组的增广矩阵是．331．若行列式＝0，则x ＝．32．对于下列四个命题①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；②已知集合A＝正四棱柱，B＝长方体，则A∩B＝B；③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧；④对2×2数表定义平方运算如下：＝，则＝其中真命题是（将你认为的正确命题的序号都填上）．33．设A为3×4矩阵，则A的列向量组必线性（相关、无关）34．规定运算，则＝．35．已知矩阵A＝，B＝，则A+B＝．4参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．定义：，若复数z 满足，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i【分析】化简行列式，再计算．【解答】解：复数z 满足＝iz+i，则z ＝＝1﹣i．故选：B．【点评】本题考查行列式，复数，属于基础题．2．下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果．【解答】解：∵sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，对于A ：＝sinαcosβ+cosαsinβ；故错；对于B ：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错；对于C ：＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确；对于D ：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．故选：C．【点评】本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．3．三阶行列式中，元素9的代数余子式的值为（）5A．38B．﹣38C．360D．﹣360【分析】根据行列式的展开A32＝﹣（8×7﹣6×3），即可得出结论．【解答】解：行列式中元素9的代数余子式的A32＝﹣（8×7﹣6×3）＝﹣38，故选：B．【点评】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．4．定义行列式运算，将函数的图象向左平移n （n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则n的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】函数＝＝2sin（x +），从而y＝2sin[（x+n）+]的图象关于y轴对称，n＞0，由此能出n的最小值．【解答】解：∵，∴函数＝＝2sin（x +），∵f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，∴y＝2sin[（x+n）+]的图象关于y轴对称，n＞0，∴n +＝+kπ，k∈Z，即n＝k，k∈Z，n＞0．∴当k＝1时，n 取最小值．故选：D．【点评】本题考查实数值的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．5．行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．126【分析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素7的代数余子式为：D13＝（﹣1）4＝2×6﹣5×3＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查余子式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余子式的性质的合理运用．6．定义行列式运算：＝a1a4﹣a2a3，函数f（x ）＝，则要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位【分析】由二阶行列式的性质得：f（x ）＝，再由三角函数恒等式和诱导公式得到f（x）＝2cos（2x ﹣），由此利用三角函数图象的平移变换能求出结果．【解答】解：f（x ）＝＝＝2sin（2x ﹣）＝2cos[﹣（2x ﹣）]＝2cos（2x ﹣），∴要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象y＝2cos2x 的图象向右平移个单位．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象的平移变换，是中档题，解题时要认真审题，注意二阶行列式、三角恒等式、三角函数图象的平移变换诱导公式等知识的合理运用．7．＝（）A．cos2θB．sin2θC．1D．﹣1【分析】本题可根据二阶行列式的定义算法进行计算，然后根据三角函数计算公式可得结果．【解答】解：由题意，可知：＝cosθ•cosθ﹣sinθ•（﹣sinθ）＝cos2θ+sin2θ＝1．7故选：C．【点评】本题主要考查二阶行列式的定义计算，以及三角函数计算．本题属基础题．8．定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【分析】直接利用新定义，求出z的表达式，通过复数的基本运算，求出复数z即可．【解答】解：因为，所以＝zi+z＝2．所以z ＝＝＝1﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，行列式的应用，考查计算能力．9．设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1＝0与a2x+b2y+c2＝0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若，则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，所以，故可得结论【解答】解：若，则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2，故“”是“l1∥l2”的不充分条件；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，∴，故“”是“l1∥l2”的必要条件所以“”是“l1∥l2”的必要而不充分条件故选：B．【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．810．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．【解答】解：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣9a3b2c1；故正确；对于④故选：C．【点评】本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．11．展开式为ad﹣bc的行列式是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，＝ad﹣bc．故选：B．【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．12．若规定＝ad﹣bc 则不等式≤0的解集（）A．{x|x≤﹣2或x≥1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．∅【分析】按照新的运算＝ad﹣bc ，则不等式≤0，可化为：2x•x+2（x ﹣2）≤0，解此二次不等式即可得出答案．【解答】解：由题意可知：不等式的解集≤0可化为2x•x+2（x﹣2）≤0即x2+x﹣2≤0，求得x的解集﹣2≤x≤1．故选：C．【点评】本题考查其他不等式的解法，解答关键是理解行列式的计算方法，是基础题．二．填空题（共23小题）1013．若＝0，则锐角x＝．【分析】直接利用矩阵知识的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：由于＝0，所以2cos2x﹣sin2x＝0，由于x为锐角，所以sin x＝cos x，解得x＝．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：矩阵知识的应用，三角函数关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14．已知，则λ＝3．【分析】由行列式的公式化简求解．【解答】解：＝（λ﹣4）+2λ＝5，解之得λ＝3，故答案为：3．【点评】本题考查行列式，属于基础题．15．已知行列式中的元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}的第n+j项，则此行列式的值是0．【分析】根据题意等比关系代入求解．【解答】解：因为元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}的第n+j项，所以设等比数列的公比为q，则a n+2＝qa n+1，，，…，，∴＝＝＝0，（两列（或行）相同的行列式值为0），故答案为：0【点评】本题考查行列式，等比数列，属于基础题．16．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．【分析】先求出代数余子式，再进行化简，求解．【解答】解：元素1的代数余子式为＝8x﹣45＞0，故，故答案为：【点评】本题考查代数余子式，属于基础题．17．把表示成一个三阶行列式是【分析】本题根据行列式第一列进行展开的逆运算即可得到结果．【解答】解：根据行列式按第一列展开式，可知：2++3＝2•（﹣1）1+1•+（﹣1）•（﹣1）2+1•+3•（﹣1）3+1•＝．故答案为：．【点评】本题主要考查行列式按列展开的相关概念．本题属基础题．18．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式﹣1，则实数x的取值集合为{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．【分析】本题先根据行列式代数余子式的定义写出第1行第2列的元素1的代数余子式，然后根据二阶行列式的计算法则进行计算，再化简三角函数，即可得到实数x 的取值集合．【解答】解：由题意，第1行第2列的元素1的代数余子式为：（﹣1）1+2•．（﹣1）1+2•＝﹣1，则＝1，即﹣sin（π+x）﹣cos（﹣x）＝1．sin x﹣（cos cos x+sin sin x）＝1，整理，得：cos x＝﹣1．∴x＝π+2kπ，k∈Z．故答案为：{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．【点评】本题主要考查行列式的代数余子式及二阶行列式的定义计算能力，三角函数知识．本题属基础题．19．行列式的最大值为13．【分析】先写出行列式结果，再用三角函数知识求解最大值．【解答】解：原式＝，所以当时，行列式的最大值为13．故答案为：13【点评】本题考查行列式与三角函数的综合应用，属于基础题．20．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为10，则的模为10．【分析】直接求代数余子式，求出k，再代入求向量的模．【解答】解：元素﹣3对应的行列式为，∴k＝6，∴，∴，所以向量的模为为10．故答案为：10．【点评】此题考查行列式的代数余子式，向量的模的公式．21．行列式中x的系数是﹣3【分析】利用行列式展开式能求出行列式中x的系数．【解答】解：行列式＝35﹣2x﹣4﹣7﹣x﹣40＝﹣3x﹣16．∴行列式中x的系数是﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查行列式中未知数的系数的求法，考查行列式展开式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．行列式的元素π的代数余子式的值等于7．【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【解答】解：行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1＝﹣（4cos﹣9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点评】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为4．【分析】利用代数余子式的定义、行列式的展开法则直接求解．【解答】解：三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为：（﹣1）1+1＝0﹣（﹣4）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查代数余子式的求法，考查代数余子式、行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．若行列式，则m的值是0.5．【分析】利用行列式展开法则直接求解．【解答】解；∵行列式，∴2﹣1﹣2m＝0，解得m＝0.5．∴m的值为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为6【分析】利用代数余子式的定义直接求解．【解答】解：三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为：（﹣1）3＝﹣（18﹣24）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查三阶行列式中元素的化数余子式的求法，考查代数余子式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于4．【分析】推导出|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），从而﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），由此能求出a的值．【解答】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），∴|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），∴﹣6＜ax﹣2＜6，即﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．27．函数的最小正周期T＝π．【分析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∵ω＝2，∴T＝π．故答案为：π【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．28．已知矩阵A＝，B＝，C＝，且A+B＝C，则x+y的值为6．【分析】由题意，，求出x，y，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∴x＝5，y＝1，∴x+y＝6．故答案为6．【点评】本题考查矩阵的加法，考查学生的计算能力，比较基础．29．方程，x∈（3，4）实数解x为．【分析】通过二阶行列式的定义，利用二倍角的余弦函数及同角公式，求出tan2x＝，再结合x的范围，求出结果即可．【解答】解：因为，所以cos x cos x﹣sin x cos x＝，即×﹣sin2x＝，∴tan2x＝，∵x∈（3，4）∴2x＝，∴x＝故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的定义、三角函数的同角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．30．方程组的增广矩阵是．【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．31．若行列式＝0，则x＝1．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵＝0，∴2×2x﹣4＝0，即2x＝2，∴x＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．32．对于下列四个命题①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；②已知集合A＝正四棱柱，B＝长方体，则A∩B＝B；③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧；④对2×2数表定义平方运算如下：＝，则＝其中真命题是③④（将你认为的正确命题的序号都填上）．【分析】①根据向量夹角的范围和钝角的范围可以判断①的真假；②利用长方体包含正四棱柱，进行判断；③把点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）分别代入x+y﹣2，判断x+y﹣2是否异号；④利用已知定义进行代入计算验证．【解答】解：①当向量夹角为π时，满足，但不是钝角，故①错误；②∵长方体底是长方形，正四棱柱底是正方形，∴A∩B＝A，故②错误；③∵|a|+|a﹣3|＞2，cosα+sinα≤＜2，∴|a|+|a﹣3|﹣2＞0，cosα+sinα﹣2＜0，∴点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧，故③正确；④对2×2数表定义平方运算如下：∴＝＝＝故答案为：③④．，【点评】此题考查的知识点比较多，有向量的计算，正四棱柱和长方体定义，集合之间的关系，以及矩阵的计算．33．设A为3×4矩阵，则A的列向量组必线性相关（相关、无关）【分析】利用矩阵的列向量的性质直接求解．【解答】解：A为3×4矩阵，三行四列矩阵，也就是4个3维列向量，故A的列向量组必线性相关．故答案为：相关．【点评】本题考查A的列向量组是否线性相关的判断，考查矩阵的列向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．34．规定运算，则＝1．【分析】根据新运算可知该运算式表示了两对角相乘的差，注意a、b、c、d的位置．再利用复数的运算法则计算即可．【解答】解：根据题目的新规定知，＝1×2﹣（﹣i）i＝2+i2＝2﹣1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式，解题的关键是根据题目信息列出算式．35．已知矩阵A＝，B＝，则A+B＝．【分析】利用矩阵的加法法则及其意义进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵矩阵A＝，B＝，则A+B＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了矩阵的加法的意义，是一道考查基本运算的基础题．。
线性代数试题及答案。。
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
高二数学矩阵行列式试题
高二数学矩阵行列式试题1.如图，单位正方形OABC在二阶矩阵T的作用下，变成菱形OA1B1C1．求矩阵T；设双曲线F：x2－y2=1在矩阵T对应的变换作用下得到曲线F´，求曲线F´的方程．【答案】（1）T=；（2）x2-y2=3.【解析】（1）利用待定系数法，即可求矩阵T；（2）曲线C上任意一点，根据矩阵变换公式求出对应的点，解出由表示的式子，将点P的坐标代入曲线C的方程，化简即得曲线的方程.试题解析：（1）设T=，由=，解得由=，解得所以T=．（2）设曲线F上任意一点P（x，y）在矩阵T对应的变换作用下变为P¢（x¢，y¢），则=，即，所以因为x2－y2=1，所以（2x´-y´）2-（2y´-x´）2=9，即x´2-y´2=3，故曲线F´的方程为x2-y2="3."【考点】矩阵变换的性质.2.已知矩阵M=，（1）求矩阵M的逆矩阵；（2）求矩阵M的特征值和特征向量；（3）试计算.【答案】（1）；（2）和；（3）【解析】掌握矩阵运算以及矩阵变换的规律,直接根据矩阵乘法的定义.矩阵的运算难点是乘法运算，解题的关键是熟悉乘法法则,并且要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点.对于矩阵乘法，应注意几何意义在解题中的应用．还要注意矩阵的知识并不是孤立存在的，解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合．另对运算律的灵活运用将有助于我们简化运算，而运算中求矩阵的逆是重要的环节，在求逆之前首先必须熟悉公式再进行应用．试题解析：（1）|M|="-3" ,矩阵M的特征多次式为，对应的特征向量分别为和，所以【考点】矩阵变换的有关内容.3.已知矩阵有一个属于特征值的特征向量，①求矩阵；②已知矩阵，点，，，求在矩阵的对应变换作用下所得到的的面积．【答案】①②的面积为【解析】①根据矩阵有一个属于特征值1的特征向量可得，从而可求矩阵；②先计算，从而可得点变成点即可计算的面积.试题解析：①由已知得：，∴解得故.②∵∴，，即点，，变成点，，∴的面积为4.已知阶矩阵，向量。
高三数学矩阵行列式试题
高三数学矩阵行列式试题1.设矩阵M=（其中a＞0，b＞0）．（1）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M－1；（2）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，求a，b 的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）设矩阵M的逆矩阵，则又M=，所以=，所以,即,故所求的逆矩阵（2）设曲线C上任意一点P(x,y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点，则=,即又点在曲线C′上，所以,则为曲线C的方程，又已知曲线C的方程为,故又a＞0，b＞0，所以2.已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′x＋by＝1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．【答案】（1）（2）(1,0)【解析】(1)设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下像是M′(x′，y′)．由＝＝，得.又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1即x＋(b＋2)y＝1.依题意，得解得(2)由A＝，得解得y＝0.，又点P(x0，y)在直线l上，所以x＝1.故点P的坐标为(1,0)．3.已知矩阵M＝，N＝．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．【答案】（1）MN＝＝；（2）P(， 1).【解析】（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用＝，转化为关于的二元一次方程，解出，即点P的坐标；法二，求出MN的逆矩阵，直接计算. 试题解析：（1）MN＝＝； 5分（2）设P(x，y)，则解法一：＝，即解得即P(， 1)． 10分解法二：因为＝．所以＝＝．即P(， 1)． 10分【考点】矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.4.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）若点A（２，２）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－２，２），求矩阵M的逆矩阵【答案】由题意知，，即，所以解得所以．………………5分由，解得. …………………………………10分另解：矩阵的行列式，所以.【解析】略5.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是【答案】.【解析】由定义，得，则在上单调递减，又因为在上单调递减，所以.【考点】新定义题目，二次函数的单调性.6.定义式子运算为，将函数（其中）的图象向左平移个单位，得到函数y="g" （x）的图象．若y=g（x）在[]上为增函数，则的最大值（）A．6B．4C．3D．2【答案】C【解析】由定义式子运算为，可得函数（其中）的图象向左平移个单位，得到函数y="g" （x）的图像，y="g" （x）在上递增，又因为y=g（x）在[]上为增函数，所以，解得，所以的最大值为3.【考点】三角函数图像平移及单调性.7.（本小题满分14分）已知线性变换是按逆时针方向旋转的旋转变换，其对应的矩阵为，线性变换：对应的矩阵为．（Ⅰ）写出矩阵、；（Ⅱ）若直线在矩阵对应的变换作用下得到方程为的直线，求直线的方程．【答案】（1）（Ⅰ），．（Ⅱ）．【解析】（1）（Ⅰ），．（Ⅱ）由于, 进一步由得, 根据即得．试题解析：（1）（Ⅰ）， 2分． 3分（Ⅱ）, 4分由得, 5分由题意得得，所以直线的方程为． 7分【考点】矩阵与变换．8.（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵，其中．若点在矩阵的变换下得到点．（1）求实数的值；（2）若，求【答案】（1）；（2）．【解析】（1）矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个的矩阵就是个数排成行列的一个数阵．由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型．矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘，列方程组求得；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．试题解析：（1）由，得所以（2）．令，得，．属于的一个特征向量，属于的一个特征向量，所以．．【考点】矩阵的应用．9.已知矩阵，求矩阵【答案】【解析】由逆矩阵公式得，再利用矩阵运算得试题解析：解：，【考点】逆矩阵10.变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝．（1）点P(2，1)经过变换T1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y＝x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程.【答案】（1）P'(-1,2).（2）y－x＝y2.【解析】（1）先写出旋转矩阵M1＝，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M＝M2M1＝，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y－x＝y2. 试题解析：解：(1)M1＝，M1＝．所以点P(2,1)在T1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2).(2)M＝M2M1＝，设是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是,则M＝,也就是即所以,所求曲线的方程是y－x＝y2.【考点】旋转矩阵，矩阵变换11. [选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵矩阵B的逆矩阵，求矩阵AB.【答案】【解析】先求逆矩阵的逆：，再根据矩阵运算求矩阵AB.试题解析：解：设，则，即，故，解得，所以.因此，.【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.12.矩阵与变换求椭圆在矩阵对应的变换作用下所得的曲线的方程．【答案】【解析】实质为相关点法求轨迹：先根据矩阵运算得相关点之间关系代入，得所求曲线的方程试题解析：设椭圆上的点在矩阵对应的变换作用下得到点，则，………………………………………………5分则代入椭圆方程，得，所以所求曲线的方程为．……………………………………………10分【考点】矩阵运算13.设矩阵，求矩阵的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．【答案】特征值对应的一个特征向量为，特征值对应的一个特征向量为【解析】先根据逆矩阵公式得，再根据特征多项式得，解得，最后根据对应向量关系求对应特征向量试题解析：矩阵的逆矩阵为，则特征多项式为令，解得，设特征向量为，则，易算得特征值对应的一个特征向量为，同理可得特征值对应的一个特征向量为【考点】特征值及特征向量14.（选修４－２：矩阵与变换）已知a、b∈R，若M＝所对应的变换T把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a、b.【答案】a＝1，b＝－4.【解析】实际上利用转移法求动点轨迹：先根据矩阵运算得到对应动点之间关系，设，则，再代入得（－2－b）x＋（2a－3）y＝3.最后根据两直线重合得－2－b＝2，2a－3＝－1.则a＝1，b＝－4.试题解析：设，则∵，∴ 2（－x＋ay）－（bx＋3y）＝3.即（－2－b）x＋（2a－3）y＝3.此直线即为2x－y＝3，∴－2－b＝2，2a－3＝－1.则a＝1，b＝－4.【考点】矩阵运算15.已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成.（1）求矩阵；（2）求矩阵的另一个特征值.【答案】(1)M=.（2）矩阵M的另一个特征值为.【解析】（1）先设矩阵M=，由二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量及矩阵对应的变换将点换成，得到关于的方程组，即可求得矩阵；（2）由（1）知，矩阵的特征多项式为，从而求得另一个特征值为2.试题解析：设M=，M，M，解得即M=.（2）则令特征多项式，解得.矩阵M的另一个特征值为.16.运用旋转矩阵,求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程.【答案】x+y-1=0【解析】旋转矩阵=.直线2x+y-1=0上任意一点(x0,y)旋转变换后为(x',y'),得=,∴即直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程是x+y-x+y-1=0,即x+y-1=0.17.2×2矩阵M对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2).(1)求矩阵M.(2)设直线l在矩阵M对应的变换作用下得到了直线m:x-y=4.求直线l的方程.【答案】(1) (2) x+y+2=0【解析】(1)设M=,则有=,=,所以且解得所以M=.(2)设直线l上一点为(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为(x',y'),因为==且直线m:x'-y'=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4,即x+y+2=0为直线l的方程.18.已知2×2矩阵M=,矩阵M对应的变换将点(2,1)变换成点(4,-1),求矩阵M将圆x2+y2=1变换后的曲线方程.【答案】2x2-2xy+5y2=9【解析】由已知得M=,即=,∴解得∴M=.设点P(x,y)是圆x2+y2=1上的任意一点,变换后的点为P'(x',y'),则M=,所以从而又点(x,y)在圆x2+y2=1上,则(x'-2y')2+(x'+y')2=9,即2x'2-2x'y'+5y'2=9,∴圆x2+y2=1变换后的曲线方程为2x2-2xy+5y2=9.19.曲线x2-4y2=16在y轴方向上进行伸缩变换,伸缩系数k=2,求变换后的曲线方程.【答案】x2-y2=16【解析】设变换后的曲线上任意一点为(x,y),其在x2-4y2=16上的对应点为(x0,y),由题意已知变换对应的矩阵A=,则=,∴,∴,∴x2-4()2=16,即x2-y2=16.20.[选修4-2：矩阵与变换]已知：点在变换：作用后，再绕原点逆时针转90°，得到点，若点的坐标为（-3,4），求点的坐标.【答案】.【解析】在变换作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：，设，求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A的坐标．试题解析：根据题意知，在变换作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：，设，则由，得，∴，即.。
线性代数复习题部分参考答案
线性代数复习题部分参考答案线性代数试题（一） 一、填空题（每小题4分）1.行列式4100031000210001的值 242.设a b 为实数，则当a= 0 且b= 0 时，10100--a b b a =03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 -1 4.已知矩阵A 3×2 B 2×3 C 3×3，则B A ⋅为 3 × 3 矩阵 5.A 为n 阶方阵，且d A =，则A K ⋅=d K n ⋅ 二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵B ，等于对B 施行相应的 ① 变换 ①行变换 ②列变换 ③既不是行变换也不是列变换4.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④25.向量组r ααα⋅⋅⋅21线性无关的充要条件是 ②①向量组中不含0向量 ②向量组的秩等于它所含向量的个数 ③向量组中任意r -1个向量无关 ④向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出 6.向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②设解 ③只有0解 ④有非0解8.当K= ④ 时，（2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K ）的内积为2 ①-1 ②1 ③23 ④329.已知A 2=A ，则A 的特征值是 ③①λ=0 ②λ=1 ③λ=0或=λ1 ④λ=0和λ=110.1111111111111111b a a +-+的值为 ④ ①1 ②0 ③a ④-a 2b线性代数试题（二）一、填空题（4分/题）1.行列式21064153247308021的值为 0 2.二次型yz xy z y x yz x f 222)(2221-+-+=对应的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121011 3.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 -14.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= 24二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3. 向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t4.齐次线性方程组Ax=0是Ax=B 的导出组则①Ax=0只有零解,Ax=B 有唯一解 ②Ax=0有非零解,Ax=B 有无穷多解 ③U 是Ax=0的通解,X0是Ax=B 的一个解,则X0+U 是Ax=B 的通解 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα线性代数试题（三） 一、填空题（4分/题）1.向量)1.0.0.1(=α )0.1.1.0(-=β，则2βα+= （2. 1. -1. 2）2.设aER bER ，则当a= 0 ，b= 0 时10100b a a b -=03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 1 4.已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= 85.已知A3×3 B3×2 C2×4，则矩阵A.B.C 为 3 × 4 矩阵6.用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 初等列变换7.向量组γααα⋅⋅⋅21.可由向量组s βββ⋅⋅⋅21线性表示且γααα⋅⋅⋅21.线性无关则 s ≤γ 8.如果线性方程组Ax=B 有解则必有)(A γ=)~(A γ9.行列式1111141111311112的值为 6 10.当K= 2 时（1. 0. 0. 1）与（a. 1. 5. 3）的内积为5 二、选择题（4分/题）1.已知矩阵满足A 2=3A ，则A 的特征值是 ③ ①λ=1 ②λ=0 ③λ=3或λ=0 ④λ=3和λ=02.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②没解 ③只有零解 ④有非0解3.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④2 4.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②D 中对角线上元素全为0 ③D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
(完整版)线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A。
m+n B. —(m+n） C. n-m D. m—n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D。
120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3。
设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6 B。
6C。
2 D. –24。
设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A。
A =0 B. B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
｜A|≠0时B=C5。
已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1 B。
2C。
3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则( ）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1(α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-βs）=0D。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs和不全为0の数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。
设矩阵Aの秩为r，则A中( ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。
高三数学行列式试题
高三数学行列式试题1.关于方程的解为．【答案】2【解析】原方程为，即，，所以，．【考点】行列式，指数方程．2.函数的最小正周期=____________．【答案】【解析】由题意，其最小正周期为．【考点】行列式，三角函数的周期．3.若，则【解析】．【考点】考查矩阵的运算，属容易题。
4.不等式的解为 .【答案】x0【解析】由行列式的定义可知不等式为，整理，得：，解得：，所以x0。
【考点】行列式；不等式的解法。
点评：以行列式为背景，考查不等式的，属于基础题型。
5.若，则行列式．【答案】【解析】解：则行列式=cos2θ-sin2θ=1-2sin2θ=1-2×9 /25 ="7/" 25 ，故答案为 7/ 256.若行列式，则=__________【答案】1【解析】，则，．7.已知,则 ( )A －2008B 2008C 2010D -2010【答案】A【解析】略8.定义运算：，将函数的图象向左平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为【答案】【解析】略9.定义行列式运算，将函数的图象向左平移t（t>0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为______．【答案】【解析】由题意得，向左平移个单位后得到，因为是奇函数，故，故的最小值为．【考点】本题考查三角函数的图像和性质点评：解决本题的关键是利用三角函数左移个单位，注意把系数2提出来，奇函数关于原点对称求出10.计算= ．【答案】2【解析】由行列式的定义知【考点】行列式的计算。
一、线性代数测试题及习题选解
第一章 行列式测试题一、填空题1. 排列134782695的逆序数为 .2. 已知2413201xx的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A . 3、________9124943332212441002700001300=--；4、设方程0111111211122221121112=-------n n n n n n n a a a a a a a a a xxx，其中()1,,2,1-=n i a i 互不相等，则方程的全部解为________；5、设3256411222245233355554321=D 则________333231=++A A A ；________3534=+A A ； ________3534333231=++++A A A A A ；二、选择题1、 n 阶行列式D 非零的充要条件是________；（a ）D 的所有元素非零； （c ）D 的任意两列元素之间不成比例 （b ）D 至少有n 个元素非零；（d ）以D 为系数行列式线性方程组有唯一解；2.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x az y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111cb a （ ）. （a ） 0 （b ） 1 （c ） -4 （d ） 4 3、 ______=xyyy x yyy x； （a ）()3y x - ； （b ）()()22y x y x ++； （c ）()()22y x y x -+ ； （d ）()()22y x y x +-4、若111213212223313233a a a D a a a a a a =，1112131212223313233222222222a a a D a a a a a a =，则1D =（ ）. （a ）2D ； （b ）-2D ； （C ）8D ； （d ）-8D三. 计算行列式1、6003003013952001992041001032、6142302151032121----3、yy x x -+-+1111111111111111 4、aa a a a a a a a ---------1111000110001100015、11111111111121+++n a a a，021≠n a a a四、证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑=ni i n n a a a a a a a a a D 102121010100101111；五.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-=-+-=+-+44637232232432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x六、问λ、μ取何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？第二章 矩阵与向量测试题一. 填空题:1.设n 维向量321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα--- 的秩=r .2.向量组γβα,,线性相关的充分必要条件为 .3.设21,αα线性无关，而321,,ααα线性相关，则向量组3213,2,ααα 的极大无关组为 .4.已知)8,,6,2(),4,2,3,1(21k ==αα线性相关,则=k .5.已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量组γβα,,的秩为 .二. 判断题1.如果向量组,,αβγ只有一个极大无关组，则,,αβγ一定线性无关. ( )2.设,αβ线性相关，0γ≠，则α+γ与β+γ也线性相关. ( )3.如果20α-β+γ≠,则,,αβγ线性无关. ( )4.向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数. ( )5.如果向量组12(,),(,)a b c d α=α=线性无关，那么向量组1(,)a c β=,2β=(,)b d 一定线性无关. ( )三. 设向量(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0),α=β=γ=求α-β及32α+β-γ.四.判断下列向量组的线性相关性:1.)7,4,2(1=α,)5,2,0(2=α,)1,1,1(3=α2.),,(1z y x =β, ),,(2y z x =β,),,(3x z y =β,),,(4y x z =β五. c 取何值时，向量组111111(,,),(,,),(,,)222222c c c ------线性相关?六.求下列向量组的秩及一个最大无关组，并把剩余向量用最大无关组线性表示：1.1(1,2,1,4)=-α，2(9,100,10,4)=α，3(2,4,2,8)=---α2.123(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7)==---=---βββ七. .已知向量组123(1,2,3),(3,0,1),(9,6,7)'''α=-α=α=-与向量组1(0,1,1)'β=- ，23(,2,1),(,1,0)a b ''β=β=具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值.八. 已知321ααα,,是3R 的一组基,证明,21αα+,32αα+13αα+线性无关.九. 求矩阵310211211344⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩.十.对于λ的不同取值，矩阵11221511061Aλ-⎡⎤⎢⎥=-λ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩为多少？第三章 矩阵的运算测试题一． 判断题1．2222)(B AB A B A ++=+ （ ） 2．22))((B A B A B A -=-+ （ ） 3．若A A =2，则E A =或0=A （ ） 4．若AY AX =，且A 可逆，则Y X = （ ）二．填空题1．n 阶方阵A 可逆的充要条件是 _______________________________。
试题：行列式：定义与性质
1.给定一个3×3的矩阵A=(231456789)，下列关于其行列式的值描述正确的是？• A. det(A)=0• B. det(A)=1• C. det(A)=−1• D. det(A)=2答案: A解析: det(A)=2(5∗9−6∗8)−3(4∗9−6∗7)+1(4∗8−5∗7)= 2(45−48)−3(36−42)+(32−35)=−6+18−3=0.2.下列叙述中，哪一条对于一个n×n矩阵B成立，当且仅当det(B)≠0？• A. 矩阵B的行列式可以分解为更小的行列式。
• B. 矩阵B存在逆矩阵。
• C. 矩阵B的行向量线性相关。
• D. 矩阵B的列向量形成一组线性无关的基。
答案: B解析: 当行列式det(B)≠0时，矩阵B是满秩的，从而可以找到其逆矩阵。
3.如果矩阵C的每一行都乘以常数k，得到矩阵D，则矩阵D的行列式det(D)与C的行列式det(C)之间的关系是？• A. det(D)=k n det(C)，其中n是矩阵的阶数。
• B. det(D)=kdet(C)。
• C. det(D)=det(C)。
• D. det(D)=1kdet(C)。
答案: A解析: 每一行乘以k相当于整个行列式乘以k n，其中n是矩阵的阶数。
4.如果矩阵E的两个行互换，得到矩阵F，则下列关于det(F)与det(E)关系的描述正确的是？• A. det(F)=det(E)。
• B. det(F)=−det(E)。
• C. det(F)=2det(E)。
• D. det(F)=0。
答案: B解析: 行列式的值会因行（或列）的互换而变号。
5.如果矩阵G的一行（或一列）的元素都是另一个矩阵H中的行（或列）的两倍，det(G)与det(H)之间的关系是？• A. det(G)=2det(H)。
• B. det(G)=2n det(H)，其中n是矩阵的阶数。
• C. det(G)=det(H)。
高代行列式测试题
高等代数《行列式》测 验一 填空题（2'612'⨯=）1. 六阶行列式的展开式共有（ ）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 2402. 排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为（ ）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2a -或a +23. 0001002003004000=( ).(A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 124. 已知1112131111121213212223212122222331323331313232334142434141424243,,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式1112131112212223212231323331324142434142a a ab b a a a b b a a a b b a a a b b ++=++（ ）.(A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) ()m n -+5. 已知231421,111D =- ij A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（ ）. (A) 1112130A A A ++= (B) 1121310A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立6. 0001000020010n n =-( ).(A) 1(1)!n n +- (B) (1)2(1)!n n n --(C) (1)2(1)!n n n +- (D)!n二 填空题（2'816'⨯=）1. 2011阶反对称行列式的值为 .2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ，l = .3. 排列(1)321n n -的逆序数为 , 13(21)24(2)n n -的逆序数为 .4. 线性方程组 1212040x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩有唯一解，则λ满足 .5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2n n -，则D = .6.211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为 .7.1111123414916182764= .8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值为1,2,5,4, 则行列式D = .三计算题（8'756'⨯=）1. 01000020000100nn-2.000000000000nx yx yx yDx yy x=3.121111100100100naaa4.12111111naaa5.12112122121111nnnn na a aa b a aa ab aa a a b+++6.1221 00010010000001nn x ax ax ax ax a-----+7.123123123123,nnnnx a a a aa x a a aa a x a aa a a x a++++（用3种方法求解）四．应用题（8'216'⨯=）1 一城市局部交通流如下图所示（单位：辆/小时）（1）建立12345,,,,x x x x x 所满足的线性方程组； （2）要同时控制2200x ≤与350x ≤可行吗？2. ,,A B C 3家公司相互拥有的股份及单独营业的净收入如下表所示，设,,A B C 的联合收入为,,.x y z(1)建立 ,,x y z 所满足的线性方程组； (2) 求3家公司的实际收入。
(完整版)第一章行列式试题及答案
第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλNO2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++111222c bcacbc b ab ac ab a ( )(A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1二 填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。
第一章行列式专项测试题参考答案(1)
第一章 行列式
1. 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性.
(1) 53412
(2)135 (2n −1)246 (2n)
【解析】（1） (53412) = 4 + 2 + 2 + 0 + 0 = 8 ，偶排列；
（2）前 n 个元素135 (2n −1) 相互之间不构成逆序，后 n 个元素 246 (2n) 相互之间也不 构成逆序，因此逆序数为前 n 个元素中的每个元素与后 n 个元素所构成的逆序个数之和.
0 b3 a3
0 0 a2 b2
b4 0 0 a4
b4 a4 0 0
0 0 b3 a3
= (a1a4 − b1b4 ) (a2a3 − b2b3 )
（法二）直接按第 1 行（列）展开，过程略.
a1 + b1 12. 计算行列式 D = a2 + b2
a3 + b3
2a1 − b1 2a2 − b2 2a3 − b3
a11 a12 = −3 a21 a22
a31 a32
a13 a23 + 0 = −3M . a33
爱启航在线考研
x − 2 x −1 x − 2 x −3
2x − 2 2x −1 2x − 2 2x −3
10. 记行列式
为 f (x) ，则方程 f (x) = 0 的根的个数为
3x − 3 3x − 2 4x − 5 3x − 5
1 2 4 001
2 −5 1 2
−3 7 −1 4
6. 计算行列式 D =
.
5 −9 2 7
4 −6 1 2
【答案】-9
【解析】（化零降阶法）
2 −5 1 2 2 −5 1
线性代数与概率统计试题
1-1 线性代数第一单元行列式试题（1）三阶行列式100021234的值是（）A．5B．5-C．11D．11-（2）以下哪一种行列式的值不一定为零（）A．行列式有某一行元素全为1 B．行列式有两行完全相同C．行列式有两行元素对应成比例D．行列式有某一行元素全为零（3）式子13324-的运算结果等于下面哪个行列式（）A．3364-B．33212-C．39612-D．1964-（4）如果111213212223313233a a aD a a aa a a=＝5，那么111213212223313233222222222a a aa a aa a a=（）A．40；B．－10；C．10；D．－40．（5）已知1112223331a b cD a b ca b c==，则111122223333234234234a ab ca ab ca ab c--=-（）A．－8；B．－2；C．6；D．－24．（6）三阶行列式231503201298523-=（）A．－70；B．70；C．63；D．82．（7）根据行列式的性质，下列等式正确的是（）A．123187894296765345=；B．123187894296765345=-；C．123123894765765894=；D．123231894948765657=-．（8）以下哪一个是对角行列式（）A．100010002B．100020234C．125020004D．0220（9）行列式 000000000a b cde f =（ ）A ．－abdf ；B ．cdf ；C ．abdf ；D ．abcdef ．（10）下列n （n > 2）阶行列式的值必为零的是 （ ）A ．行列式中非零元素的个数小于n ；B ．行列式中有一半的元素等于零；C ．行列式主对角线上的元素全为零；D ．行列式的元素中每个数都重复出现n 次．（11）设三阶行列式231316124-，角子式23=K （ ）A ．9B ．1C ．7D ．6（12）计算三阶行列式231326124--，其结果为 （ ）A ．30B ．40C ．50D ．60（13）已知行列式111112341358141020D =，则代数余子式32A 的值为 （ ）A ．－11；B ．11；C ．－17；D ．17．（14）设i j D a =是n 阶行列式，且0D ≠，i j A 是元素i j a 的代数余子式，则231ni i i a A ==∑（ ）A ．0；B ．D ；C ．1D； D ．难以确定其值．（15）克莱姆法则中，第i 个未知量的解为 （ ）A ．=i i D x DB ．1=i i x DC ．=i i Dx D D ．=i i jD x D（16）已知12211a b a b m -=，则方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是 （ ）A ．1122c b x m c b =，1122a c y ma c =；B ．11221a c x a c m =，11221c b y c b m =；C ．1122a c x ma c =，1122c b y m c b =；D ．11221c b x c b m =，11221a c y a c m =．（17）设D 是含有n 个变量和n 个方程组的线性方程组的系数行列式，下列说法中正确的是（ ）A ．若0D ≠，则线性方程组有解；B ．若0D =，则线性方程组无解；C ．若线性方程组有解，则必有0D ≠； D ．若线性方程组无解，则必有0D =．（18）已知方程组 302020k x y z x k y z k x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k = （ ）A ．2；B ．1；C ．0；D ．3．（19）方程组 304050x k y z y z k x y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩只有零解的充分必要条件是 （ ） A ．1k ≠且3k ≠； B ．3k ≠； C ．1k ≠或3k ≠； D ．1k ≠．（20）关于齐次线性方程组的解，叙述正确的是 （ ）A ．齐次线性方程组一定有零解B ．齐次线性方程组一定有非零解C ．齐次线性方程组可能无解D ．齐次线性方程组一定有零解和非零解1-2 线性代数第二单元矩阵试题（1）矩阵的线性运算不包括下列的哪一个运算 （ ）A ．乘法B ．减法C ．数乘D ．加法（2）以下的矩阵乘法式中，不可以运算的是 （ ）A ．3232⨯⨯⋅B B B ．2222⨯⨯⋅A BC ．2222⨯⨯⋅A AD ．3223⨯⨯⋅A B（3）已知矩阵等式AX AY =且≠A O ，则 （ ）A ．不一定有=X YB ．A 是对称矩阵时=X YC ．一定有=X YD ．A 是可逆矩阵时≠X Y（4）计算矩阵的乘积122120************-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1661543117-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B ．302156939--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ．1136511647---⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭D ．319053269-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（5）已知A ，B 都是n 阶方阵，则必有 （ ）A ．=AB BA ； B ．=AB BA ；C ．T T T()=A B AB ；D ．222()=AB A B ．（6）已知222()2+=++A B A AB B ，则矩阵A ，B 必定满足 （ ）A ．=AB BA ； B ．A=B ；C ．AB 是对称矩阵；D ．A ，B 都是对角矩阵．（7）设A ，B ，C 是同阶的非零矩阵，则=AB AC 是=B C 的 （ ）A ．必要非充分条件；B ．充分非必要条件；C ．充分必要条件；D ．非充分非必要条件． （8）设1234⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则TA = （ ） A ．1324⎛⎫⎪⎝⎭B ．1234⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4321⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2- （9）以下哪一个矩阵是对称矩阵。
(完整版)行列式试题库1
一．判断题a11 a12 a1n（易） 1、n阶队列式a21 a22 a2n 是由n 2个数组成的 n 行 n 列的数表（）．an1an 2ann答案：×0 0 0 12、0 0 2 0（较简单） 1 2 6 ．（）．6 0 0 0答案：×0 0 0 k13、0 0 k2 0k8（较简单）k1 k2 ．（）．k8 0 0 0答案：√（较简单） 4. 若方阵 A 的各行元素之和为零，则 A 0 ( ) 答案：√二．填空题1 2 3 4 57 7 7 3 3（中等） 1. 设A 3 2 4 5 2 ,A31A32 A33 _________, A34A35 ________3 3 3 2 24 65 2 3 答案： 0， 01 2 3 4（中等） 2. D 2 4 3 1 求A11A21A31 A41=________ 4 1 3,21 4 3 2答案： 0（较简单） 3. 5 阶队列式D的第 2 列元素挨次为1,1,0,2,1 它们对应的余子式分别为－ 1,3, －2,0,1 ，则D ________.答案： 3c ad b（较简单） 4. a c d b= ．a c b dc a b d答案： 02x 2 y x x y（较简单） 5.2x 3y x y x = ．2x 3y x y答案：2xy( x y)246 427 327（较简单） 6. 1014 543 443 =342 721 621答案： 294 1051 2 3（中等） 7．已知三阶队列式 D 4 5 6 ，它的元素 a ij的代数余子式为A ij（i 1,2,3, j 1,2,3），7 8 9则与 aA21 bA22 cA23对应的三阶队列式为．1 2 3答案： a b c7 8 93 04 0（中等） 8．设队列式D 2 2 2 2.0 7 0, 则第四行各元素余子式之和的值为5 3 2 2答案：– 28x x 0 0（较简单） 9．1 1 x 1 1= ．0 0 y y1 1 1 1 y答案： x2 y21 1 1 x 1（中等） 10．队列式 1x 1 x 1 1 =．1 1 1 1x 1 1 1 14答案： xx1 x2 x3 0（较简单） 11．当 = 或= 时，齐次方程组x1 x2 x3 0 有非零解．x1 2 x2 x3 0答案： 1， 01 1 1 1a b c d（较简单） 2. 设 Db2 c2 2 , 则 D=______________a2 da3 b3 c3 d 3答案： ( d c)(d b)(d a)(c b)(c a)(b a)（较简单） 13. 已知四阶队列式 D 的第二行元素分别为3, 1, -1, 2,他们对应的余子式分别为 1, 2, 2, -1, 则队列式 D ______答案： -1（较简单） 14. 设 A是三阶方阵,且| A| 3,则|(2A) 1 |=_______答案：124（简单） 15. A 为正交矩阵,则| A|_____________答案： 1 或-1（较简单）16. 已知四阶队列式D的第 3 列元素分别为 1,3,-2,2, 他们对应的余子式分别为 3,-2,1,1, 则队列式 D=________答案： 52 5 6（简单） 17. 队列式a 1 3 中元素 a 的代数余子式= _________4 1 2答案：－４（较简单）18. 四阶队列式 D 的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则 D= _________答案： 0（较简单）19. 设 A 是三阶队列式，且 A 1，则 A 2 A ______答案： 512（较简单）20. 设五阶矩阵 A 的队列式 A 2 ，则其陪伴矩阵 A*的队列式 A* ____答案： 161 2 3（简单）21.已知三阶队列式D 2 01,则第3行第2列元素的代数余子式1 5 2A32=_____________答案： 7（简单） 22.按自然数从小到大为标准次序，摆列4132 的逆序数为．.答案： 1（简单） 23. 当 ik时摆列 1274 i 56 k 9 为偶摆列．答案： 8， 3（简单） 24. 摆列 13 （ 2n 1） 2 4（ 2n ）的逆序数为 _______．答案：n(n1)2（简单） 25. 在五阶队列式中项 a 13a 24 a 32 a 41a 55 前方应冠以 号（填正或负） ．答案：负（简单） 26. 四阶队列式中含有因子 a 11a 23 且带负号的项为 _____答案： a 11 a 23 a 32 a 44（简单） 27. 设 A 为 n 阶矩阵 , 且 A TA E ，则必有 A________答案： 1 或－1（简单） 28. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，假如 A2,则 A *________答案： 2n 1（简单） 29. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，假如 A 2,则A*________答案： ( 2)n 1（简单） 30. 设 A 为 n 阶矩阵 , 且 A TAE ，则必有A T________答案： 1 或－1（简单） 31. 设 A 是 n 阶方阵 , A * 为其陪伴矩阵 , 若| A|a , 则| A * | =__________答案： a n 1（简单） 32. 若|A 4 4 | 2 , 则 | A *| _________答案： 82 1 1（简单） 33. 设 D 31 1 1 ,则A 31 A 32A33_____41 0答案： 0x aa（较简单） 34. 若 ax a 0 ，则 a _____a ax答案：2a 或 0x y z x y z（较简单） 35. 已知3 0 2 1 ，则 3x 3 3y 3z 2 _____1 1 1 x2 y 2 z 2答案： 20 0 0 a1 a1 0 0 0（较简单） 36. 设D20 0 a2 0 0 2a2 0 0_____ D2 0 a3 0D10 0 3a3，则 D10 0a4 0 0 0 0 0 0 4a4答案 :241 2 0 03 4 0 0____（简单） 37. D0 5 40 0 4 5答案 :-181 2 0 03 4 0 0____（简单） 38. D0 1 30 0 5 1答案 :321 1 1 10 0 1 1____（较简单） 39. D0 1 11 0 0 1答案 :0x y z 0（较简单） 40. 若齐次线性方程组x 3y z 0 有非零解,则____x y 3z 01答案 :2（简单） 41. 队列式 A 中元素a ij的代数余子式A ij与余子式 M ij 之间的关系 ____答案 : A ij( 1)i j M ij（较简单） 42. 若 n 阶方阵 A 的秩为 n-1, 在A ____答案 :0（较简单） 43. 设 A,B 是两个三阶的方阵, 且A 1, B 2 ,那么 3(A T B 1)3 ____27答案 :8（简单） 44. 设三阶方阵 A 的不一样特点值为 -1,2,4 , 则 A ____答案 :-8（较简单）45. 若 A,B 为 n 阶方阵 , 且A 1 , B 3 ,则2A*B 1 ____ 答案 : ( 1)n 12 23（简单） 46.A 为三阶方阵 , A 2,则1A ____ 2答案:142 3 4 547. 设队列式D 2 4 6 84A42 6A43 8A44____（较简单）1 2 0 , 则2A41 35 6 4 3答案 :0x y z 4 1 3（较简单）48.若3 0 2 2 ,则 x 1 y 1 z 1 ____1 1 1 1 1 1答案 :28 27 64 125（较简单） 49. 4 9 16 25____ 2 3 4 51 1 1 1答案 :12a11 a12a13a11 3a12a13（较简单）50. 假如 D a21a22a23 3 ,则 2a21 6a22 2a23 = ____ a31a32a33a31 3a32a33答案 :-18a11 a12a13 2a11 2a12 2a13（较简单）51. 假如 D a21a22a23 3 ,则 2a21 2a22 2a23 = ____ a31a32a33 2a31 2a32 2a33答案 :24（简单） 52. 已知三阶方阵 A 的三个特点值为1，－ 2，3 ，则 A ____ 答案：－ 60 1 0 L 00 0 2 L 0（简单） 53. D n M M M O 00 0 0 L n 1n 0 0 L 0答案： ( 1)n 1n!0 x y（简单） 54. D x 0 z＝y z 0答案： 01 2 5 3（简单） 55. 已知 D 2 8 4 0 A23 1 3 9,2 1 0 6答案：－ 9ab ac ae（简单） 56. bd cd de =bf cf ef答案： 4abcdef1 b1 0 0（较简单） 57. D1 1 b1 b2 00 1 1 b2 =b30 0 1 1 b3 答案： 12 0 0 1（较简单）队列式0 2 1 0 ＝0 1 2 01 0 0 2答案： 9三．选择题（简单） 1.(k 1)x1 2x 2 0假如( k 1)x仅有零解 , 则( ).2x1 2 0A.k 1 ,B. k 1 或 k 3,C.k 3 ,D.k 1 且 k 3.答案： D（较简单） 2. 设 D, , , , , 分别表示队列式 D 的三个列，则 D （ ）A., ,B., ,C., ,D., ,答案： Da 1 0 0b 10 a 2 b 2 0）（较简单） 3．四阶队列式 D= b 3 a 3 的值等于（0 0b 4 0a 4A. a 1a 2a 3a 4 b 1b 2b 3b 4B. a 1 a 2 a 3 a 4 b 1b 2 b 3b 4C. (a 1a 2 b 1b 2 )(a 3a 4 b 3b 4 )D. (a 2 a 3 b 2b 3 )( a 1a 4 b 1b 4 )答案： Da11a 12 a 132a 11 2a 12 2a 13（简单） 4. 假如 a 21a 22 a23 2 ，则 2a 21 2a 22 2a 23（ ）a31a32a332a 31 2a 32 2a 33A.2B. 4C. 12D. 16答案 :D（较简单） 5. 已知 4 阶方阵 A ，其第三列元素分别为 1，3，－ 2， 2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则队列式A ( )A. 答案 :A1 1 1 11 1 1 x, 则方程 f ( x)0 的三个根分别为 ( )（中等） 6. 设 f (x)1 4 x2 111 8 x 3A. 1,-1,2B. 1,1,4C. 1,-1,8D. 2,4,8答案:Aa 1b a 1c 1（较简单） 7. 队列式 a 2b a 2c 1=( )a 3b a 3c 0A. 0B. b cC. (c b)(a2 a1)D. b(a2 a1 ) 答案 :C1 3 2（简单） 8. 队列式 D 5 2 0 中元素 a32的代数余子式为( )1 0 3A. 0B. -10C. 10D. 3答案 :B2 1 3（简单） 9. 队列式 D 0 1 2 中元素 a32的代数余子式为( )2 0 1A. 4B. -4C. 0D. 2答案 :Aa 11 a12a13a31a32a33（较简单）10. 若a21 a22a23 1 则2a21 2a22 2a23 ( )a 31 a32a33 3a11 3a12 3a13A. -5B. 6C. -1D. 1答案:B1 1 5（较简单）11. 设f ( x) 1 1 x2 4 ,则方程 f ( x) 0 的根分别为( )7 x2 2 3A. 1,1,3,3B. -1,-1,3,3C. -1,-1,-3,-3D. 1,-1,3,-3答案： D(较简单 )a11 a12a13 3a31 3a32 3a3312. 已知a21 a22a23 d ,则队列式a11a12a13 ( )a31 a32 a33 2a21 3a11 2a22 3a12 2a23 3a13 A. 6d B. 6d C. 3d D. 3d答案： Aa1 a2 a3（较简单） 13. 3 b1 b2 b3 ( )c1 c2 c33a1 a2 a3 3a1 3a2 3a3 3a1 3a2 3a3 A. b1 3b2 b3 B. 3b1 3b2 3b3 C. b1 b2 b3c1 c2 3c3 3c1 3c2 3c3 c1 c2 c3a1 3a2 a3D. b1 3b2 b3c1 3c2 c3答案 :D0 0 0 3 00 0 1 0 0（较简单） 14. 队列式 D 0 2 0 0 0 ( )1 0 0 0 00 0 0 0 2A. -12B. 12C. -6D. 6答案 :A（较简单） 15. 设 D n det(a ij ) ,则 D n 0 的充足必需条件是( )A.D n中有两行(列)元素对应成比率B.D n中有一行(列)的元素均为零C. a i1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0(i j )D. ai1Aj 1ai 2Aj 2ainAjn 0(i j )答案 :Cx x 1 x（中等） 16.2 23 xf ( x)10 4是( ) 次多项式7 317 1 xA.答案 :C（较简单） 17. 四阶队列式D的某行元素挨次为-1,0,k,6,它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且 D 9 ,则 k ( )A. 0B. 3C. 1D. -1答案 :Ba11 a12 a13 a13 4a11 a12 5a11( 较简单 )18. 若a21 a22 a23 1 ,则 a23 4a21 a22 5a21 ( )a31 a32a33a33 4a31a32 5a31A. 5B. -5C. 20D. -20 答案 :Aa2 ab ac（简单） 19. ab b2 bc ( )ac bc c2A. abcB. 1C. 0D. a2b2c2答案 :C（较简单） 20. 设 A* , A 1分别为n阶方阵A的陪伴矩阵和逆矩阵,则A*A1 （）A.nB. An 1 n 2 n 3 A C. A D. A答案 :C（较简单） 21. 已知 A 为三阶矩阵 , 其第三行元素分别为 1,3,-2, 它们的余子式分别为 3,-2,1, 则A ()A. 5B.-5C.7D. -7答案 :Ca11 a12a13 4a11 2a11 3a12a13（较简单） 22. 假如a21 a22a23 1 ,则 4a21 2a21 3a22a23 ( )a31 a32a33 4a31 2a31 3a32a33A.8B. -12C. 24D. -24答案： B103 100 204（较简单） 23. 队列式199 200 395 （）301 300 600A. 1000B. -1000C. 2000答案： C0 1 0 5（较简单） 24. 队列式D40 2 2 63 3 0 的值为（）70 4 0 8A. -12B. -24C. -36D. -72答案： D（较简单） 25. 设A为n阶方阵，且 A 0 ，则（）A. A 中必有两行(列)的对应元素成比率;B. A 中随意一行(列)向量是其他行（列）向量的线性组合;C. A 中必有一行(列)向量是其他行（列）向量的线性组合;D.A中起码有一行 ( 列 ) 向量为零向量答案： C（较简单） 26.已知三阶矩阵 A 的特点值为1， 2，3，则队列式A2=( )A. 0B. 1C. 6D. 36答案： Da11 a12a13 3a31 3a32 3a33（较简单） 27. 假如 D a21a22a23 m， D1 3a21 3a22 3a23 a31a32a33 3a11 3a12 3a13那么D1（）．A. 3m；B.3m ；C. 9m ；D. 27m ．答案： D0 0 0 1 00 0 1 0 0（较简单）28. 已知D1 0 0 ，则 D （）0 01 0 0 0 00 0 0 0 1n ( n 1) (n 1)( n 2)C. ( 1) 2D. ( 1) 2答案： D29. 队列式 D 非零的充要条件是（）A.D 的全部元素都不为零B.D 起码有n2n 个元素不为零C.D 的随意两列元素之间不可比率D. 以 D为系数队列式的线性方程组有唯一解答案： D四．解答题1 a1 1 1 L 1 11 1 a2 1 L 1 1（较难） 1.1 1 1 a3 L1 1L( a i 0,i 1,2, , n)M M M M 11 1 1 L 1 1 a n 解：1 a 1 1 1 L 1 1 1 1 a2 1 L 1 1 1 1 1 a3 L 1 1 MM MM11 11L1 1 a n1 a 1 1 1 L 1 1 a 1a 20 L0 0a 1 0 a 3 L 0 0M MMMMM a 1 0 0 L0 a n1 a 11 1 L 1 1 a 1 a2 0 L 0 0 a 1 0 a3 L 0 0 M M M M M Ma 10 L0 a nna1 a 1111 L1 1a ii 20 a 2 0 L 0 0 00 a 3 L 0 0MMMMMM00 0 L 0 a na 2 0 L1 a 1na 1 0 a 3L 0(1n1ni 2a i L LL )a ii 1a ii 10 0 L a n 1 2 3 L n2 3 4 L 1 （较难） 2． 34 5 L 2 LLL L Ln 1 2 L n 11 2 3 L n 1 2 L n 2 3 L n2 3 4 L1 12 L n3 4L1 解：345 L 2＝1 2 Ln 4 5 L 2 LL L LLL L L L L n 1 2Ln 1 1 2 L n 1 2Ln 1123L n1 1 L n 11 3 4 L 1 n(n 011 L 1 ＝(1 2Ln) 1 4 5 L 2 1)L L L2LLLLL0 n 1 1 L11 12 L n 11 12 L n 1 n1 1 L 1 n 1 0 01 1L n 1 10 ＝ (1)n1n(n 1)LL L ＝ (1)n 1 n(n 1)L21 n 1 L 1 120 nn11L11n 111L0 n L n 0 L L L 0 0L11n 1＝ ( 1)n 1n(n 20 L 0 n 1)nLn 0 ( 1)L L LL n Ln 2n(n 1)(n 1)( n 4)＝( 1)n 1( 1) n( 1) n 1L ( 3 n 2( 1) 2n(n 1)2 1) n2x a a L ax aL（较难） 3． D n aa x La aa a aaL L LL L La a a L a xx a a L 0 x a a L a 解： D na x a La x a L a L L LLL L L L L Laaa Lx aaaa Lax a a x0 L 00 x a a x L 0＝ ( x a)D n 1LL LL L( x a) D n 1 a( x a)n 10 00 x a 0aaaLa由递推关系有 D n1 ( x a)n ( x a)n 21 1 L n （较难） 4． D nL L LL1 n L1n1L 11 n 0 L n 1 0 0 L n 1 解： D nLL LL L L L L 1 n n 1 L 0 0 n 1 Ln1L111L1n0 L n 1 ＝ ( 1)( 1)n 1LL LL0 n 1 Ln 1 0L 0n 10 L n 1 ＝ ( 1)( 1)n 1(1)n( n1) L LLL0 n 1 Ln 11 L1n 2n 1nn 13n 1n25n 4n 1＝ (1)( 1) (1) L( n( 1)2(n 1)1) ( 1) ( 1)n2nn2n＝ (1)2( n 1) ( 1) 2(n 1)n1 ( 1)2( n 1)n15 3 0 1（中等） 5. 写出四阶队列式D 02 1 0中元素 a 231, a 33 4 的代数余子式，并求其10 4 73 02值 .5 3 1 0 3 34 解：A23( 1)231 0 71 0 70 3 20 323 34 610296.325 3 1A33( 1)332 0 (2) (1)225 1322( 2) 1020.Da 23A23a 33A330 96 4 ( 20)176.412 3 （中等） 6.计算队列式 23 6 434 525 2 3741230 1 0 0解 :23 64 =10 3 0534 52194 310523732 713105 00 51 31( 1)12 193 101 310 5 5( 7 69)5 62 310.23 73 7 13 23713a 0 0 L 0 10 a0 L 0 0 （中等） 7. 计算 n(n2) 阶队列式 D 0 0a L 0 0L L LL L L1 00 L0 aa 0 L 0 0 0 a0 L0 0 a L 0a L解 : 按第一行睁开，得D1 n L L LL ． aL L LL1 LL0 0 0 L a0 0 La1 00 L再将上式等号右侧的第二个队列式按第一列睁开，则可获得D a n1 1 n1n 1 1a n 2a n a n 2a n 2 a 2 1a b b L bb a b L b （中等） 8．计算队列式 Db b a L bL L LL Lbbb Laa n 1b b b L ban 1 b a b Lb 解 :Da n 1b b aL bLL LL Lan 1 bbb La1 b b L b 1 b bLb1 a b Lba ba (n 1)b1 b a L b = a (n 1)ba bL L LL L O1bb L aa b2 3 150 97 5081 4 43 78 968（较简单）9. 计算队列式 D0 0 210 .0 0 0 3 40 010 2解 :2 3 150 97 5081 4 43 78 9682 3 2 1 00 1 4 D0 0 2 1 0 0 3 4 (8 3) 0 34 1 40 00 3 4 10 21 020 0 1 02111 412)11 16 176.34 11(4（较简单） 10.k 取何值时，以下齐次线性方程组有非零解：x 1 x 2 kx 3 0,x 1 kx 2 x 3 0,x 1 x 22x 30.解 :方程组有非零解的必需条件是系数队列式等于零.11 k1 1 k1 1 k D1 k 10 k 1 1 k(k 1) 0 1111 22 2 k2 2 k1 1 k(k 1) 0 11(k 1)(4 k).即 ( k 1)( 4 k) 0.0 0 4 k因此当 k1或 k 4时，齐次线性方程组可能有非零解.1 5 3 3 （中等） 11.计算队列式 D2 0 1 13 1 1 .241311 5 3 31 5 3 3 1 53 3 解： D0 1055211 01 1 1 016 1011 52( 5)0 2 3 0 3 00 219 11 0 1 112111 53 3153 311 111 1( 5)(5) 023 550 02 311310 02x a a （中等） 12. 计算队列式 D na xa．a ax1 11 1 1 1r 1 (r 2r n )a xax a0 解： D n[ x ( n 1)a][ x (n 1) a]a a xx a[ x (n 1)a]( xa) n15 2 3 1 （中等） 13. 计算队列式的值 D0 1 1 17 1 0 1811 15 2 3 1 1 0 11(2) ( 1)解： D0 1 1 125 3 17 1 0 1=7 0 118 1 1 1 1 8 1 11 0 1 11 1 1 01 11 0 0 5 5 1 015 521 5 5 0 7 12 =21 7=0 9 170 0 8 2 0 02 80 02 81 1 1 01 11 0 0 15 52 0 1 5 529 170 0 1 4( 9)0 0 0 1 4 09 171 1 1 00 1 553820 140 0195 3 0 ... 0 02 53 ... 0 0 （难） 4.计算 n 阶队列式的值 D n0 2 5 ... 0 0 ... ... ... ... ... ...0 0 0 (5)30 0 0 ...2 5解 按第一行睁开，得：2 3 0 ... 0 00 5 3 ... 0 00 2 5 ... 0 0 按第一列睁开5D n 16D n 2D n 5D n 1 3... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 5 30 0 (2)5n 1获得递推式： D n 5D n 1 6D n 2写作D n 2D n 1（ ） 2D n 1 n 22D 1）3 D n 1 2D n 2 ，可得 D n 3 （ D 2写作（ ） n 2D n 3D n 12 D n 1 3D n 2 ，可得 D n 3D n 1 2 （ D 2 3D 1）而 D 15, D 25 32 195D n 2D n13n解之得 D n3n 12n1D n 3D n2n 1x y 0 0 ... 0 00 xy 0 ... 0 0 （中等） 15. 计算 n 阶队列式 D 0 0x y ... 0 0的值... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... x yy 00 0 ... 0 x解 依据第一列睁开xy 0 ... 0 y 0 0 00 x y 0x y 0 ... 0 Dx (1)1 10 0 x ...y( 1)n 1 0 x y ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ...0 0 0 (x)n 10 0 0 ...yn 1x x n 1 y ( 1)n 1y n 1x n( 1) n 1 y nx 1 x 2 x 3 0 （较简单） 16. 问 ， 取何值时，齐次线性方程组x 1x 2 x 3 0 有非零解？x 1 2 x 2x 3解：齐次方程组有非零解的必需条件是系数队列式等于零，故1 1 0 11 111 11(1)1122 0即0 或1 齐次线性方程组有非零解。
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一．判断题（易）1、n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）．答案：×（较容易）2、62162100000000λλλ=λλλ．（ ）．答案：×（较容易）3、82182100000000k k k k k k=．（ ）．答案： √（较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √二．填空题（中等）1.设1234577733324523332246523=A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________答案：0，0（中等）2.1234243141321432=D , 求11213141+++A A A A =________答案：0（较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3（较容易）4.db acd b c a bd c a b d a c = ．答案：0（较容易）5.yx yx x y x y x y x x y x 323222 +++++=．答案：)(2y x xy +-（较容易）6. 6217213424435431014327427246-=答案：510294⨯-（中等）7．已知三阶行列式 987654321 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ），则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为．答案： 987321 c b a（中等）8． 设行列式30402222,075322D =-- 则第四行各元素余子式之和的值为 .答案：–28（较容易）9．11110011110y y y x xx--= ．答案：22x y（中等）10． 行列式1111111111111111--+---+---x x x x = ．答案：4x（较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解．答案：1，0（较容易）2. 设222233331111a bcdD ab c da b c d =,则D=______________答案：()()()()()()d c d b d a c b c a b a ------（较容易）13. 已知四阶行列式D 的第二行元素分别为3, 1, -1, 2, 他们对应的余子式分别为1, 2, 2, -1, 则行列式=D ______ 答案：-1（较容易）14. 设A 是三阶方阵, 且3||=A , 则|)2(|1-A =_______答案：124（容易）15. A 为正交矩阵, 则=||A _____________答案：1或-1 （较容易）16. 已知四阶行列式D 的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=________ 答案：5（容易）17. 行列式25613412a中元素a 的代数余子式 = _________ 答案：－４（较容易）18.四阶行列式D 的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则D= _________ 答案：0（较容易）19.设A 是三阶行列式，且1A =，则2A A =______ 答案：512（较容易）20.设五阶矩阵A 的行列式2A =-，则其伴随矩阵*A 的行列式*A = ____ 答案：16（容易）21. 已知三阶行列式251102321-=D , 则第3行第2列元素的代数余子式32A =_____________答案：7（容易）22. 按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 ．. 答案：1（容易）23. 当=i =k 时排列1274i 56k 9为偶排列． 答案：8，3（容易）24. 排列1 3 …（12-n ）2 4…（n 2）的逆序数为 _______ ． 答案：(1)2n n - （容易）25. 在五阶行列式中项5541322413a a a a a 前面应冠以 号（填正或负）． 答案：负（容易）26. 四阶行列式中含有因子2311a a 且带负号的项为_____ 答案：44322311a a a a -（容易）27. 设A 为n 阶矩阵,且T A A E =，则必有________A =答案：1 或－1（容易）28. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果2A =,则*A =________答案：12n -（容易）29. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果 2A =- ,则*A =________答案：1(2)n --（容易）30. 设A 为n 阶矩阵,且TA A E =，则必有T A =________答案：1 或－1（容易）31.设A 是n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 若a A =||, 则||*A =__________答案：1n a-（容易）32.若2||44-=⨯A , 则=||*A _________ 答案：8（容易）33.设3211111410D -=-,则313233A A A ++=_____ 答案：0（较容易）34. 若0x a aax a a ax=，则a =_____答案：2a -或0（较容易）35.已知3021111xy z =，则33332222x y zx y z x y z ++=+++_____ 答案：2（较容易）36.设12234000000000a a D a a =121340000200003004a a D a a =，则1D =_____2D 答案:24（容易）37.120034000054045D --==-- ____答案:-18（容易）38.1200340000130051D ==- ____答案:32（较容易）39.1111001100111001D == ____答案:0（较容易）40.若齐次线性方程组03030x y z x y z x y z λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩有非零解,则λ=____答案:12λ=-（容易）41.行列式A 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系____ 答案:(1)i jij ij A M +=-（较容易）42.若n 阶方阵A 的秩为n-1,在A =____ 答案:0（较容易）43.设A,B 是两个三阶的方阵,且1A =-,2B =,那么133()TA B -=____答案:278-（容易）44.设三阶方阵A 的不同特征值为-1,2,4 ,则A =____ 答案:-8（较容易）45.若A,B 为n 阶方阵,且1,32A B ==-,则*12A B --=____ 答案:12(1)3n +- （容易）为三阶方阵,2A =,则12A =____ 答案:14（较容易）47.设行列式2345246812035643D =,则414243442468A A A A +++=____答案:0（较容易）48.若3022111xy z =-,则413111111x y z ---=____答案:2（较容易）49.8276412549162523451111= ____答案:12（较容易）50. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则11121321222331323332623a a a a a a a a a ---= ____ 答案:-18（较容易）51. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = ____ 答案:24（容易）52.已知三阶方阵A 的三个特征值为1，－2，3 ，则A =____ 答案：－6（容易）53. 010000200000100n D n n ==- 答案：1(1)!n n +-（容易）54. 0x y Dxz y z=---＝答案：0（容易）55.已知125328401390216D ----=,23A = 答案：－9（容易）56. efcfbf de cdbd aeacab ---= 答案：4abcdef（较容易）57. 33221111110011001b b b b b b D ------== 答案：1（较容易）行列式2001021*********＝答案：9三．选择题（容易）1. 如果⎩⎨⎧=-+=+-0)1(202)1(2121x k x x x k 仅有零解,则( ).A. 1≠k ,B. 1-≠k 或3≠k ,C. 3=k ,D. 1-≠k 且3≠k .答案：D（较容易）2. 设,,D αβγ=, ,,αβγ分别表示行列式D 的三个列，则D =（ ）A. ,,γβαB. ,,αββγγα+++C. ,,αβγ---D. ,,ααβαβγ+++答案：D（较容易）3．四阶行列式D=112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ） A. 12341234a a a a b b b b - B. 12341234a a a a b b b b +C. 12123434 ()()a a b b a a b b --D. 23231414()()a a b b a a b b --答案：D（容易）4.如果1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a =（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 答案:D（较容易）5.已知4阶方阵A ，其第三列元素分别为1，3，－2，2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式A =( )A. 5B. -5C. -3D. 3 答案:A（中等）6.设231111111()114118x f x x x -=-,则方程()0f x =的三个根分别为( )A. 1,-1,2B. 1,1,4C. 1,-1,8D. 2,4,8 答案: A（较容易）7.行列式112233110a ba ca ba c ab ac ++++++=( )A. 0B. b c -C. 21()()c b a a --D. 21()b a a - 答案:C（容易）8.行列式132520103D -=--中元素32a 的代数余子式为( ) A. 0 B. -10 C. 10 D. 3 答案:B（容易）9.行列式21312201D -=中元素32a 的代数余子式为( ) A. 4 B. -4 C. 0 D. 2 答案:A（较容易）10.若1112132122233132331a a a a a a a a a = 则313233212223111213222333a a a a a a a a a ---=( ) A. -5 B. 6 C. -1 D. 1 答案: B（较容易）11.设22115()114723f x x x =+-,则方程()0f x =的根分别为( )A. 1,1,3,3B. -1,-1,3,3C. -1,-1,-3,-3D. 1,-1,3,-3答案：D (较容易)12.已知111213212223313233a a a a a a d a a a =,则行列式313233111213211122122313333232323a a a a a a a a a a a a ---=+++( )A. 6d -B. 6dC. 3d -D.3d 答案：A（较容易）13.1231231233a a a b b b c c c ⨯=( ) A. 123123123333a a a b b b c c c B. 123123123333333333a a a b b b c c c C. 123123123333a a a b b b c c c -D. 123123123333a a a b b b c c c 答案:D（较容易）14.行列式0003001002000100000002D -==--( ) A. -12 B. 12 C. -6 D. 6 答案:A（较容易）15.设det()n ij D a =,则0n D =的充分必要条件是( ) A. n D 中有两行(列)元素对应成比例 B. n D 中有一行(列)的元素均为零 C.11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+== D. 11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+=≠ 答案:C（中等）16.1223()71043171xx x x f x x--=--是( )次多项式A. 4B. 3C. 2D. 1 答案:C （较容易）17.四阶行列式D 的某行元素依次为-1,0,k,6, 它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且9D =-,则k =( )A. 0B. 3C. 1D. -1 答案:B(较容易)18.若1112132122233132331a a a a a a a a a =,则131112112321222133313231454545a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 5 B. -5 C. 20 D. -20 答案:A（容易）19.222a ab acab bbc ac bc c =( ) A. abc B. 1 C. 0 D. 222a b c 答案:C（较容易）20. 设*1,A A -分别为n 阶方阵A 的伴随矩阵和逆矩阵,则*1A A -=（ ） A. nA B. 1n A- C. 2n A- D. 3n A-答案:C（较容易）21.已知A 为三阶矩阵,其第三行元素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则A =( )A. 5B. -5C. 7D. -7 答案:C（较容易）22.如果1112132122233132331a a a a a a a a a =,则111112132121222331313233423423423a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 8 B. -12 C. 24 D. -24 答案：B（较容易）23.行列式103100204199200395301300600=（ ）A. 1000B. -1000C. 2000 答案：C（较容易）24.行列式40105022*********D =的值为（ ）A. -12B. -24C. -36D. -72 答案：D（较容易）25.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则（ ） A. A 中必有两行(列)的对应元素成比例;B. A 中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;C. A 中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;D. A 中至少有一行(列)向量为零向量答案：C（较容易）26. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则行列式2A =( )A. 0B. 1C. 6D. 36 答案：D（较容易）27. 如果m a a a a a a a a a D ==333231232221131211，1312112322213332311333333333a a a a a a a a a D = 那么=1D （ ）．A.m 3；B.m 3-；C. m 9；D. m 27-．答案：D（较容易）28.已知0001001010001000001D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则D =（ ）A. 1B. -1C. (1)2(1)n n -- D. (1)(2)2(1)n n ---答案：D29.行列式D 非零的充要条件是（ ） 的所有元素都不为零 至少有2n n -个元素不为零 的任意两列元素之间不成比例D.以D 为系数行列式的线性方程组有惟一解 答案：D四．解答题（较难）1.123111111111111111(0,1,2,,)111111+++≠=+i na a a a i n a解：123111111111111111111111++++na a a a 11213111111000000+-=--na a a a a a a 112131111110000000+---na a a a a a a 11223111110000000=++=∑ni ina a a a a a 231120000100=⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦∑ni i n a a a a a a 111(1)===+∑∏nni i i i a a（较难）2．12323413452121-nnn 解：12323413452121-nnn ＝1223123411245212121++++++++++++-n n n n n n ＝123011113410111(1)(12)14522011111211121------++++=-----n n n n n n n n n＝1111111111(1)(1)211111111+---------+---------n n n n n n n n ＝11000(1)(1)20001111+-+----n n n nn n n＝12000(1)(1)(1)2n nn n n n n n+-+--＝(1)(4)11322(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22-++--++----=-n n nn n n n n n n n（较难）3．-=------n x a a a a a xa a a D a axa a a a aax解：00--=+-------n xa a x a a a axaaxaa D a a a x aa a aa＝111000()()()0000---+-+--+=-+++---n n n x a a x x a a x x a D x a D a x a x aaaaa由递推关系有1()()2⎡⎤=++-⎣⎦n n n D x a x a （较难）4．111111-=--n n D n n解：10100111001011111+----==+------n nnn nDn n n n＝111(1)(1)01010+---------n n n n n＝121(1)(1)(1)(1)010111+------------n n n n n n n＝254113112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)+-+----------=-+n n n n n n n n n＝222(1)1122(1)(1)(1)(1)(1)++-----+=-+n nn n n n n n n（中等）5. 写出四阶行列式23740101201035--=D 中元素4,13323=-=a a 的代数余子式，并求其值.解： 23701135)1(3223-⨯-=+A 237013430---.96102623343=+-=--=2015)1()2(23020135)1(223333++-⨯-=--⨯-=A .2010)2(-=⨯-=.176)20(4960033332323-=-⨯+-=+++=A a A a D（中等）6. 计算行列式7325254346323214-----解:7325254346323214----- =13723103419503100010------1373103195010)1(121----⨯=+137231031500-----.310625)697(5723315=⨯=+-=--=（中等）7. 计算(2)≥n n 阶行列式00010000001000aa D a a = 解: 按第一行展开，得()100000000001000010na aa a D aa a+=+-．再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到()()()()1112222111nn n n n n n D a a a a a a +-+---=+--=-=-（中等）8．计算行列式ab b b ba b b D bb a b bbba= 解: D =()()()()1111a n b b b b a n ba b b a n bb a b a n bbba+-+-+-+- []11(1)11b b ba b ba nb b a b bba=+-=[]1(1)b b ba ba nb a ba b-+---（较容易）9.计算行列式 .2143000012009687843415089715032-=D 解:231509750821001414437896823034(83)0340210141021020003400102141111(412)1116176.34D --===+⋅--=⋅=+=⨯=（较容易）10. k 取何值时，下列齐次线性方程组有非零解：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++.02,0,0321321321x x x x kx x kx x x 解: 方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零.2111111--=kk D kkk k --++2211011kk k --+2201111)1(11(1)011004k k k+-).4)(1(k k -+=即 .0)4)(1(=-+k k所以当1-=k 或4=k 时，齐次线性方程组可能有非零解.（中等）11. 计算行列式1314211311023351-----=D .解： 1192101110160551003351-----=D 1113200112033515----=112320011103351)5(-----=1300320011103351)5(------=211000320011103351)5(-----=55-=（中等）12. 计算行列式x a a a x a aa x D n=．解： xa a a x a a n x D n r r r n111])1([)(21-+=+++ax a x a n x ---+=00111])1([1)]()1([---+=n a x a n x（中等）13. 计算行列式的值1118101711101325--=D解：10113-D=1181107113521101--0217015501101---==8200712055100111---8201790055100111--410017900551001112--=1794100551001112---=38194100551001112-=----=（难）4. 计算n 阶行列式的值52 (00)35...000... 00 (5200) (35)200...035=n D解 按第一行展开，得：21116552 (00)35...000..................00...52000 (350)00 (0323)5-----=-=n n n n n D D D D 按第一列展开得到递推式：2165---=n n n D D D写作）（211232----=-n n n n D D D D ，可得）（1221232D D D D n n n -=--- 写作）（211323----=-n n n n D D D D ，可得）（1221323D D D D n n n -=---而195235,521===D D⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴--nn n nn n D D D D 233211 解之得1123++-=n n n D （中等）15. 计算n 阶行列式xyy x y x yxy x D 0 (00)...0000 00 (000) (00)00...00=的值解 按照第一列展开nn n n n n n n n y x y y x x y y xy x y y x x y x y xx D 111111111)1()1(...000 0...00...00...00)1(...000 0...00...00...0)1(+-+--+-+-+=⨯-⨯+⨯=-⨯+-⨯=（较容易）16. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组 1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故11011111111(1)012200λλμλλμλμμμλμμμ----===--即0μ=或1λ=齐次线性方程组有非零解。