2.1.3分层抽样

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课件4：2.1.3 分层抽样

【变式与拓展】 3.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、 180个、150个销售点，公司为了调查其产品销售的情况，需要从这600个销售点中抽取容量为100的样本，记这项调查为①.在某地区有20个销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务的情况，记这项调查为②.则完成①、② 这两项调查宜采用的方法依次是( )
练习为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( C )
A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
题型 3 三种抽样方法的综合应用例3 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从
这些人中抽取一个容量为n的样本.如果采用系统抽样和分
层抽样，不用剔除个体；若样本容量增加1，则在采用系
统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.
技巧总结三种抽样方法各自的适用范围 ①简单随机抽样——总体中的个体数较少； ②系统抽样——总体中的个体数较多； ③分层抽样——总体由差异明显的几部分组成.
题型 1 分层抽样的概念例1 设广州亚运会主体育场馆有由学生、工人和其他人组成的志愿者共2008人，其中学生1600人，工人303人，现要从中抽取容量为 40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的 ________(将你认为正确的选项的序号都填上). ①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样. 解析：因为个体差异较大，只用到分层抽样.又学生、工人样本容量较大，用系统抽样方法，对系统抽样中每一段，宜用简单随机抽样. 答案：①②③

2.1.3分层抽样

§2.1.3分层抽样【知识与技能】1．当总体中一部分个体与另一部分个体有明显的差异且易于区别时，常将相近的个体归成一组，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样称为分层抽样，其中所分成的各部分称为层，分层抽样时，每一个个体被抽到的概率都是相等的，分层抽样适用于总体由差别明显的几部分组成的情况；在每一层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样。

分层抽样是等概率抽样，它也是公平的，用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量n。

为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于N2.分层抽样的步骤：第一步：分层第二步：按比例确定每层抽取的个体的个数；第三步：各层抽样；第四步：综合每层抽样，抽取样本。

【过程与方法】知识探究（三）：分层抽样的基本思想思考1：某地区有高中生2400人，初中生10800人，小学生11100人.当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查,你认为应当怎样抽取样本？样本容量与总体个数的比例为1:100，则高中应抽取人数为2400*1/100=24人,初中应抽取人数为10800*1/100=108人，小学应抽取人数为11100*1/100=111人.思考2：具体在三类学生中抽取样本时（如在10800名初中生中抽取108人），可以用哪种抽样方法进行抽样？思考3：在上述抽样过程中，每个学生被抽到的概率相等吗？归纳:1.分层抽样:若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本.分层抽样又称类型抽样2. 应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。

（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。

2.1.3分层抽样

课堂小结
1.分层抽样的定义以及分层抽样的步骤： ①分层 ②求比 ③定数 ④抽样 ⑤组样 2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别和联系.
【课后作业】
课本P61 探究题留给大家课后思考
联系
简单随机抽样是基础，分层抽样和系统抽样转化为简单随机抽样
适用范围总体中个体数目较少
分层抽样
（2）每次抽出个体后不再将它放将总体分为几层, 各层抽样时回，即不放每层按比例抽取采用简单随机抽样或系回抽样统抽样
将总体平均分成在确定第一个总体中个体时采用简个体数几段，按等距的单随机抽样目较多规则抽取样本总体是由差异明显的几部分组成
关于分层抽样，有以下几点需要注意：
①在分层抽样中，要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； ②在分层抽样中，由于各层抽取的个体数与这一层个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，所以每一个个体被抽到的可能性都是相等的； ③分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，每一部分称为层，在每一层中实行简单随机抽样或者系统抽样; ④分层抽样中分多少层，要视具体情况而定.总的原则是：层内样本的差异要小，而层与层之间的差异尽可能地大，否则将失去分层的意义; ⑤在分层抽样中,由分层抽样确定每层的个体数，由简单随机抽样或者系统抽样抽出每层的个体.
③某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，
后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，
拟抽取一个容量为20的样本.
③分层抽样
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
类别
简单随机抽样系统抽样
共同点（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等

2_1 _3分层抽样

总体由差异明显的几部分组成
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
从总体中逐个不放回抽取
将总体分成均衡几部分，按规则进行抽取
将总体分成几层，按比例分层抽取
用简单随机抽样抽取起始号码
用简单随机抽样或系统抽样对各层抽样
总体中的个体数较少
总体中的个体中高三学生500人，为了了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数
2、甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取的人数为多少？
2.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬菜类共40种、10种、20 种、30种，现从中抽取一个容量为20的样本实行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬菜食品种数之和是多少？
例2 某中学有180名教职员工，其中教学人员144人，管理人员12人，后勤服务人员24人，设计一个抽样方案，从中选择15人去参观旅游.
分析：这总体具有某些特征，它能够分成几个不同的部分：不到35岁；35～49岁；50岁以上，把每一部分称为一个层，所以该总体能够分为3个层。因为抽取的样本为100，所以必须确定每一层的比例，在每一个层中实行简单随机抽样。
解：抽取人数与职工总数的比是100：500＝1：5，则各年龄段（层）的职工人数依次是125：280：95＝25： 56：19，然后分别在各年龄段（层）使用简单随机抽样方法抽取。答：在分层抽样时，不到35岁、35～49岁、50岁以上的三个年龄段分别抽取25人、56人和19人。

2.1.3分层抽样

练习2：某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A中型号产品有16件，那么此样本容量n=______. 80
练习3：（1）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本; (2) 从10名同学中抽取3人参加座谈会。 Ⅰ 简单随机抽样 Ⅱ 系统抽样方法 Ⅲ 分层抽样方法问题与方法配对正确的是（ A ） A (1) Ⅲ, (2) Ⅰ B (1) Ⅰ , (2) Ⅱ C (1) Ⅱ, (2) Ⅲ D (1) Ⅲ, (2) Ⅱ
联系适用范围
分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成
例3. 某学校高中一年级有x个学生，二年级有y个学生，三年级有z个学生，采用分层抽样抽取一个容量为45人的样本，一年级被抽取20人，三年级被抽取10人，二年级共有学生300人，则此学校共有高中学生（ B ） A 800人 B 900人 C 901人 D 909人
分层抽样的优点：
1.更充分地反映了总体的情况； 2. 等可能抽样,每个个体被抽取的可能性都是n/N; 3.将总体有明显差异的几部分分层,分层抽取时采用简单随机抽样或系统抽样.
分层抽样又称类型抽样,应遵循的要求：
1.当总体个体差异明显时,采用分层抽样. 2.分层时将相似的个体归入一类 ,即为一层 ,分层要求每层的个体互不交叉 ,即遵循不重复 ,不遗漏的原则 ,即保证样本结构与总体结构的一致性； 3. 分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,抽取比例由每层个体占总体的比例确定;
分层抽样：

2.1.3分层抽样

应取
60 4567 23 12000
3926
“一般”占 12000
应取 60 3926 20
12000
“不喜爱”占
1072 12000
应取 60 1072 5
12000
因此分别抽取12人,23人,20人，采用怎样的抽样方法较为合理？（1）从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；（2）某学校有160名教职工,其中教师120名,行政人员16名,后勤人员24名。为了了解教职工对学校在校务公开方面的某意见,拟抽取一个容量为20的样本。
解：（1）确定样本容量与总体的个体数之比100： 500=1：5。
（2）利用抽样比确定各年龄段应抽取的个体数，依次为125/5=25，280/5=56，95/5=19。
（3）利用简单随机抽样或系统抽样的方法，从各年龄段分别抽取25，56，19人，然后合在一起，就是所抽取的样本。
数学运用
（1）分层抽样中,在每一层进行抽样可用_简__单__随_机__抽__样__
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.
2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法.
建构数学
概念：分层抽样
一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样。其中所分成的各个部分称为“层”。
说明:
1、使用分层抽样的前提是总体可以分层,每层的差别比较大,而层内个体间的差别较小.
很喜爱

课件4：2.1.3 分层抽样

课外书籍阅读情况，采用下列哪种方法抽取样本最合适(四所大
学图书馆的藏书有一定的差距)( D )
A．抽签法
B．随机数表法
C．系统抽样法
D．分层抽样法
(2)某校高三年级有男生 800 人，女生 600 人，为了解该年级学
生的身体健康情况，从男生中任意抽取 40 人，从女生中任意抽
取 30 人进行调查．这种抽样方法是( D )
(1)简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用． (2)三种抽样方法的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法． (3)三种抽样方法中每个个体被抽到的可能性都是相同的．
3.(1)某饮料公司在华东、华南、华西、华北四个地区分别有 200 个、180 个、180 个、140 个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这 700 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调查为①；在华南地区中有 20 个特大型销售点，要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
层抽样是公平的．
3．分层抽样需注意的问题 (1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间的样本差异要大，且互不重叠． (2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定． (3)各层抽样按简单随机抽样或系统抽样进行．
4．三种抽样方法的选择简单随机抽样、系统抽样及分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的机会都相等，体现了抽样方法的公平性和客观性．其中简单随机抽样是最基本的抽样方法，在系统抽样和分层抽样中都要用到简单随机抽样．当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体数较多时，常采用系统抽样；当已知总体是由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样．

课件3：2.1.3 分层抽样

①分层抽样中分多少层、如何分层，要视具体情况而定，总的原则：层内样本的差异要小，各层之间样本的差异要大，且互不重叠. ②为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样. ③在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.
2.分层抽样的优点是：
使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法.
1.某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2, 若该校取一个容量为n的样本，则n=_3_6_0_.
2.某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为__8_人.
二、分层抽样的步骤： (1)分层：按某种特征将总体分成若干部分； (2)按比例确定每层应抽取个体的个数； (3)各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取； (4)综合每层抽样，组成样本.
例：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.
2.1 随机抽样
2.1.3 分层抽样
前面我们学过系统抽样与简单随机抽样,这两者之间有什么区别？ (1)简单随机抽样适合总体数目较少时，而系统抽样适合总体数目较多时；
(2)系统抽样比简单随机抽样更容易实施,可节约抽样成本； (3)系统抽样所得样本的代表性和具体的编号有关,而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关；

2.1.3分层抽样

系统抽样时，将总体中的个体均分后的每一段进行抽样时，采用简单随机抽样；系统抽样每次抽样时，总体中各个个体被抽取的概率也是相等的 ; 如总体的个体数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行.需要说明的是整个抽样过程中每个个体被抽到的概率仍然相等.
探究：假设一个地区有高中生2400人，初中生10900 人，小学生11000人，此地区的教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查，应当怎样抽取样本？
例 2 、一个单位的职工有 500人，其中不到 35 岁的有 125 人， 35～49岁的有280人，50岁以上的有95人.为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取 100 名职工作为样本，应该怎样抽取？分析：这总体具有某些特征，它可以分成几个不同的部分：不到35岁；35～49岁；50岁以上，把每一部分称为一个层，因此该总体可以分为 3 个层 .由于抽取的样本为 100 ，所以必须确定每一层的比例，在每一个层中实行简单随机抽样. 解：抽取人数与职工总数的比是 100：500＝1：5，则各年龄段（层）的职工人数依次是 125/5=5，280/5=56,95/5=19 然后分别在各年龄段（层）运用简单随机抽样方法抽取. 答：在分层抽样时，不到35岁、35～49岁、50岁以上的三个年龄段分别抽取25人、56人和19人.
分层抽样的抽取步骤：
（1）总体与样本容量确定抽取的比例；（2）由分层情况，确定各层抽取的样本数；（3）各层的抽取数之和应等于样本容量；（4）对于不能取整的数，求其近似值；
4．三种抽样方法的比较
5．课堂练习
一个电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为 12000人，其中持各种态度的人数如下所示：很喜爱 2435 喜爱 4567 一般 3926 不喜爱 1072

2.1.3 分层抽样

分析：保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样共同的特征.
（2）如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n样本，那么每个个体被抽到的可能性为（ C ）
1 A． N
1 B. n
n C. N
D. N
n
分析:根据每个个体都等可能入样，所以其可能性等于样本容量与总体容量之比.
定层抽取容量
抽样组样结束
要点分析：（1）当总体是由差异明显的几个部分组成时 ,往往选用分层抽样的方法.
（2）每个个体被抽中的可能性相同（3）每一层抽取的数=
该层个体数总体个体数样本 × 容量
〖探究交流〗（1）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行（C） A、每层等可能抽样 B、每层不等可能抽样 C、所有层按同一抽样比等可能抽样 D、以上答案都不对
B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽档法,分层抽样法
5、某单位有工程师6人,技术员12人,技工18 人,要从这些人中抽取一个容量为n的样本;如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体; 如果样本容量增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求得样本容量为___. 6
4、(2004年全国高考湖南卷)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180 个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和销后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查采用的抽样方法依次是( B ) A.分层抽样法,系统抽样法

2.1.3分层抽样

3.甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有 1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（） A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人 C.20人，30人，10人 D.30人，50人，10人 4.某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125 人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．怎样抽取样本？
变式：一个单位有职工500人，其中不到35岁的有 125人，35岁至49岁的有279人，50岁以上的有96人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？练习：某单位有老年人28人，中年人54人，青年人 81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（） A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老年人中剔除1人，再用分层抽样
总体中的个体数较多
总体由差异明显的几部分组成
分层抽样
随堂练习
1．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000 家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法（） ①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样 A.②③ B.①③ C.③ D.①②③ 2.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、 20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（） A.4 B.5 C.6 D.7

2.1.3分层抽样

（1）分层（2）求比（3）定数（4）层抽（5）汇总思考1：在上面的分层抽样中，每个个体被抽到的概率相等吗？若相等，概率为多少？在分层抽样中每个个体被抽到的概率是相同的，都是n/N，与层数及分层无关。
3、分层抽样的特点：
（1）分层抽样中总体的个体必须是有限的；（2）分层抽样是不放回抽样；（3）分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的总体；
2.1.3分层抽样
一、分层抽样
1.定义：当总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。
例1. 假设某地区共有中小学生24300人，其中高中生2400 人，初中生10900人，小学生11000人。此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取243名进行调查。你认为应当怎样抽取样本？
（4）在每一层进行抽样时，采用的是简单随机抽样或系统抽样；
（5）分层抽样是等概率抽样。即总体中的各个个体被抽到的可能性相同，都是n/N.
．三种抽样方法的比较
类别共同点各自特点相互联系适用范围总体中的个体数较少总体中的个体数较多，差异不明显总体由差异明显的几部分组成简单随机抽三种抽样从总体中逐样都是总体个抽取有限的不将总体均分成在起始部分系统抽样放回抽样，几部分，按事抽样时，采抽样过程先确定的规则用简单随机中每个个在各部分中抽抽样体被抽取取的概率相分层抽样等将总体分成各层抽样时几层，分层采用简单随机抽样或系进行抽取统抽样

2.1.3分层抽样

2．1.3分层抽样考点学习目标核心素养分层抽样的概念理解分层抽样的概念数学抽象分层抽样的使用条件和操作步骤掌握分层抽样的使用条件和操作步骤，会用分层抽样法进行抽样逻辑推理、数学运算问题导学(1)什么叫分层抽样？(2)分层抽样适用于什么情况？(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？1．分层抽样的概念一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．分层抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)更充分地反映了总体的情况，使样本具有较强的代表性．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n N.3．分层抽样中分层原则(1)层内样本的差异要小，各层之间样本的差异要大．(2)分层后总体中的每个个体互不重叠，也不遗漏．4．抽样比(1)分层抽样也称“按比例抽样”，这里的“按比例”是指：①样本中第n层的个体数总体中第n层的个体数＝样本容量总体容量；②总体中第m层的个体数总体中第n层的个体数＝样本中第m层的个体数样本中第n层的个体数.(2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相等的，与层数、分层情况无关．■名师点拨如果总体的个数为N，样本容量为n，N i为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数n i＝n ·N i N ，每个个体被抽到的可能性是n i N i ＝1N i ·n ·N i N ＝n N.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊的分层抽样．( )(2)在分层抽样时，每层可以不等可能抽样．( )(3)在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关．( ) 解析：(1)因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取时是按事先定好的规则进行的，各层编号有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样．(2)分层抽样时，每层仍然要等可能抽样． (3)与层数及分层无关．答案：(1)× (2)× (3)×(2020·江西省临川第一中学期末考试)为创建文明城市，共建美好家园，某市教育局拟从3 000名小学生，2 500名初中生和1 500名高中生中抽取700人参与“城市文明知识”问卷调查活动，应采用的最佳抽样方法是( )A ．简单随机抽样法B ．分层抽样法C ．系统抽样法D ．简单随机抽样法或系统抽样法解析：选B.根据题意，所有学生明显分成互不交叉的三层，即小学生，初中生，高中生，故采用分层抽样法．故选B.分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )A ．每层等可能抽样B ．每层可以不等可能抽样C ．所有层按同一抽样比等可能抽样D ．所有层抽取个体数量相同解析：选C.保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样．一个班共有54人，其中男同学、女同学之比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为________，每个女同学被抽取的可能性为________．解析：男、女每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有54×59＝30(人)，女同学共有54×49＝24(人)，所以每个男同学被抽取的可能性为530＝16，每个女同学被抽取的可能性为424＝16.答案：16 16分层抽样的判断某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有18名女排运动员，要从中选出4人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )A ．①用简单随机抽样法，②用系统抽样法B ．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法C ．①用系统抽样法，②用分层抽样法D ．①用分层抽样法，②用系统抽样法【解析】 ①因家庭收入不同其社会购买力也不同，宜用分层抽样的方法．②因总体个数较小，宜用简单随机抽样法．【答案】 B判断一个抽样方法是不是分层抽样的条件(1)看它是否具有分层抽样的特点，如总体中个体差异是否明显．(2)是否按照相同比例从各层中抽取．至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可采用简单随机抽样，也可采用系统抽样．(3)在分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会都是相等的，体现了抽样的公平性．(2018·高考全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．解析：因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．答案：分层抽样分层抽样中的有关计算(1)某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．(2)某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑 a b c 剪纸xyz其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．【解析】 (1)设该单位老年职工人数为x ，由题意得3x ＝430－160，解得x ＝90.则样本中的老年职工人数为90×32160＝18.(2)法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，故“剪纸”社团的人数占总人数的25，所以“剪纸”社团的人数为800×25＝320；因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x ＋y ＋z ＝32＋3＋5＝310，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310＝96.由题意知，抽样比为50800＝116，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116＝6.法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，故“剪纸”社团的人数占总人数的25，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×25＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x ＋y ＋z ＝32＋3＋5＝310，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×310＝6.【答案】 (1)18 (2)6分层抽样中有关计算的方法(1)抽样比＝样本容量n 总体容量N ＝该层抽取的个体数该层的个体数.(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解．1．为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选 B.根据分层抽样的特点可知，抽样比例为1248＝14，则应抽取的中型城市数为16×14＝4.2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工为________人．解析：抽样比为25∶200＝1∶8，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为80×18＝10.答案：10分层抽样的设计与应用一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？【解】用分层抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层，按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽出95×15＝19(人)．(3)在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本． (4)汇总每层抽样，组成样本．分层抽样的操作步骤第一步，计算样本容量与总体的个体数之比．第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数．第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体．第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本．在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程．解：先将产品按等级分成三层：第一层，一等品20个；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个．然后确定每一层抽取的个体数，因为20∶30∶50＝2∶3∶5，所以应在第一层中抽取产品6个，在第二层中抽取产品9个，在第三层中抽取产品15个．再分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数表法在各层中抽取，取到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本．三种抽样方法的选择及应用为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．根据上面的叙述，回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽样方法？【解】(1)三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩．第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.(2)三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．选择抽样方法的思路(1)判断总体是否由差异明显的几部分组成，若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单随机抽样或系统抽样．(2)判断总体容量和样本容量的大小．当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数表法；当总体容量较大、样本容量也较大时，采用系统抽样．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如下表所示：管理技术开发营销生产合计老年40404080200 中年80120160240600 青年40160280720 1 200 合计160320480 1 040 2 000(2)若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对某运动会筹备情况的了解程度，则应怎样抽样？解：(1)用分层抽样法，并按老年职工4人，中年职工12人，青年职工24人抽取．(2)用分层抽样法，并按管理岗位2人，技术开发岗位4人，营销岗位6人，生产岗位13人抽取．(3)用系统抽样法，对全部2 000人随机编号，号码为0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100，200，…，1 900，所得到的号码对应的20人即为要抽取的人．1．(2020·贵州省铜仁市第一中学期末考试)某高校有男学生3 000名，女学生7 000名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生300名，女学生700名进行调查，则这种抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法解析：选D.总体由男生和女生组成，比例为3 000∶7 000＝3∶7，所抽取的比例也是3∶7，这种抽样方法是分层抽样法．故选D.2．(2020·广西钦州市期末考试)某中学共有1 000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为()A．20 B．25C．30 D．35解析：选D.高一年级抽取的人数为3501 000×100＝35.故选D.3．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人进行某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，3，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，3，…，270，并将整个编号平均分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④36，62，88，114，140，166，192，218，244，270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是( ) A ．②③都不能为系统抽样 B ．②④都不能为分层抽样 C ．①④都可能为系统抽样 D ．①③都可能为分层抽样解析：选D.系统抽样又名“等距抽样”，做到等距的有①③④，但只做到等距还不一定是系统抽样，还应做到10段中每段要抽1个，检查这一点只需看第一个元素是否在1～27 范围内，结果发现④不符合，同时，若为系统抽样，则分段间隔k ＝27010＝27，④也不符合这一要求，所以可能是系统抽样的为①③，因此排除A ，C ；若采用分层抽样，一、二、三年级的人数比例为4∶3∶3，由于共抽取10人，所以三个年级应分别抽取4人、3人、3人，即在1～108范围内要有4个编号，在109～189和190～270范围内要分别有3个编号，符合此要求的有①②③，即它们都可能为分层抽样(其中①③在每一层内采用了系统抽样，②在每一层内采用了简单随机抽样)，所以排除B.4．某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．解析：设应抽取的男生人数为x ，则x 900－400＝45900，解得x ＝25.答案：25[A 基础达标]1．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样解析：选C.我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理，故选C.2．(2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学期末考试)某校共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，用分层抽样抽取一个容量为20的样本，则应抽取的后勤人员人数是() A．3 B．2C．15 D．4解析：选A.因为160人抽取20人，所以抽取的比例为20160＝18，因为后勤人数为24，所以应抽取24×18＝3.故选A.3．(2020·河北省枣强中学期末考试)某中学高二年级共有学生2 400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生()A．1 260 B．1 230C．1 200 D．1 140解析：选D.设女生总人数为x人，由分层抽样的方法，可得抽取女生人数为80－42＝38(人)，所以802 400＝38x，解得x＝1 140.故选D.4．(2020·河北省石家庄市期末考试)某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人依次抽取的人数是()A．7，11，19 B．7，12，17C．6，13，17 D．6，12，18解析：选D.由题意，老年人27人，中年人54人，青年人81人的比例为1∶2∶3，所以抽取人数：老年人：16×36＝6，中年人：26×36＝12，青年人：36×36＝18.故选D.5．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为() A．100 B．150C．200 D．250解析：选A.抽样比为703 500＝150，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则n5 000＝150，故n＝100.6．(2020·四川省遂宁市期末考试)已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为________．解析：某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为200×2 0003 500＋2 000＋4 500＝40.答案：407．某校对全校共1 800名学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是________．解析：设抽取的女生人数为x，则x＋(x＋20)＝200，解得x＝90，则抽取的女生人数为90，抽取的男生人数为200－90＝110，据此可知该校的女生人数应是1 800×90200＝810.答案：8108．(2020·湖南省张家界市期末联考)我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题“今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣____________人”．解析：今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣487×7 2508 750＋7 250＋8 350＝145(人)．答案：1459．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作为样本，用系统抽样法将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．(1)若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是多少？ (2)若用分层抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取多少名？解：(1)由分组可知，分段的间隔为5.又第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.(2)由题意知，40岁以下年龄段的职工人数为200×50%＝100.若用分层抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取40200×100＝20(名)．10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a 、b 、c ，则有x ×40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ×10%＋3xc4x ＝10%，解得b ＝50%，c ＝10%，故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75(人)；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15(人)．即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60人，75人，15人．[B能力提升]11．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()A．4 B．5C．6 D．7解析：选C.四类食品的种数比为4∶1∶3∶2，则抽取的植物油类的种数为20×110＝2，抽取的果蔬类的种数为20×210＝4，二者之和为6种，故选C.12．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．解析：由分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件，所以在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品总数为4 800×35＋3＝1 800(件)．答案：1 80013．某单位有工程师6人、技术员12人、技工18人．要从这些人中抽取一个容量为n 的样本，如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，那么不用剔除个体；如果样本容量增加一个，那么在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.解：依题意，知总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的抽样比是n36，抽取工程师的人数为n 36×6＝n 6，技术员的人数为n 36×12＝n 3，技工的人数为n 36×18＝n2，所以n 应是36的约数且是6的倍数，即n ＝6，12，18. 当样本容量为n ＋1时，系统抽样的间隔为35n ＋1.因为35n ＋1必须为整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.14．(选做题)为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)．(2)若从高校B 相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程．解：(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有x 54＝13⇒x ＝18，3654＝y3⇒y ＝2.故x ＝18，y ＝2. (2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36；第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号；第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．。

2.1.3--分层抽样

依题意，女生400名，男生人数为900-400=500，
样本容量为45，则
x 45 500 900
解得x=25，所以应抽取的男生为25名.
答案：25
5.一个电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示:
很喜爱喜爱
一般
不喜爱
1.在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较合
适？ (1)从20台电脑中抽取4台进行质量检测. 简单随机抽样
(2)从2004名同学中，抽取一个容量为20的样本.系统抽样
(3)某中学有180名教工，其中业务人员136名，管理
人员20名，后勤人员24名，从中抽取一个容量为15
的样本.
分层抽样
2.用随机数法从100名学生（男生25人）中抽取20 1
3.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
类别
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
共同点
（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样
各自特点
从总体中逐个抽取
联系
适用范围
是系统抽样总体中
和分层抽样个体较
的基础
少
将总体平均分成几部分，按预先制定的规则在各部分抽取
探究点分层抽样的概念及特点例1 假设某地区有高中生2 400人,初中生10 900人, 小学生11 000人.此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因,要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查,你认为应当怎样抽取样本?
近视率/%
80 60 40 20
0 小学

2.1.3分层抽样

思考1：上述抽样过程是什么抽样方法？系统抽样思考2：上述抽样得到的样本是否具有代表性？本质与分层抽样的效果是相同的。
思考3：如果在编号时，不按照高中，初中，小学的顺序，而是把所有学生混合编号，用系统抽样的方法得到的样本还具有代表性吗？不一定结论：在系统抽样中，如果编号时是按各层依次编号，并且分组中，每组内的个体都是同一层的个体，这样抽出的结果就与分层抽样得到的结果都具有代表性。
问题3 上述两种抽样是否公平呢？上述两种抽样得到的样本能很好地反映总体吗？不一定原因：我们已知总体是由差异明显的几个部分组成，而调查血压指标恰与几个部分年龄差异有关。
案例2 某高中在校生1200人，其中男生720人，女生480人，要抽出100名学生调查平均身高。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ问题若用简单随机抽样或系统抽样得到的样本能很好地反映总体吗？不一定
案例3 假设某地区有高中生2400人，初中生 10900人，小学生11000人。此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生抽取1%的学生进行调查。你认为应当怎样抽取样本？探索：对于案例3，我们做如下抽样：第一步：对所有学生进行编号高中生1，2，3，......，2400 初中生2401，2402，......，13300 小学生13301，13302，......，24300 第二步：分组，每100人一组，共分243组。
我们知道，小学生中眼睛近视的比例较小，到初中，比例有所增大，到了高中，比例最大。影响学生视力的因素是非常复杂的，除了自身机体因素外，还与学生课业负担因素有关。
所以，不同年龄阶段的学生近视情况可能存在明显的差异。如果不考虑年龄因素，抽取的样本中，小学生所占的比例大或高中生所占的比例大，都不能代表总体的情况。为了提高总体的代表性，我们可以将全体学生分成高中，初中，小学三部分分别抽样。另外，三个部分学生的人数相差较大，还应考虑他们在样本中所占比例的大小。

2.1.3分层抽样

分层抽样常识探求〔三〕：分层抽样的全然思维思索1：某地域有高中生2400人，初中生10800人，小教师11100人.当地教导局部为了理解当地域中小教师的远视率及其构成缘故，要从当地域的中小教师中抽取1%的教师进展考察,你以为该当怎样样抽取样本？样本容量与总体个数的比例为1:100，那么高中应抽取人数为2400*1/100=24人,初中应抽取人数为10800*1/100=108人，小学应抽取人数为11100*1/100=111人.思索2：详细在三类教师中抽取样本时〔如在10800名初中生中抽取108人〕，能够用哪种抽样办法进展抽样？思索3：在上述抽样进程中，每个教师被抽到的概率相称吗？归结:1.分层抽样:假定总体由差别清晰的几多多局部构成，抽样时，先将总体分红互不穿插的层，而后依照确信的比例，从各层独破地抽取确信数目的团体，再将各层掏出的团体合在一同作为样本.分层抽样又称模范抽样2.应用分层抽样应依照以下央求：(1)分层：将类似的团体纳入一类，即为一层，分层央求每层的各个团体互不穿插，即依照不反复、不脱漏的原那么。

〔2〕分层抽样为保障每个团体等能够入样，需依照在各层中进展复杂随机抽样，每层样本数目与每层团体数目的比与这层团体数目与总体容量的比相称。

常识探求〔四〕：分层抽样的操纵步调某单元有职工500人，此中35岁以下的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人.为了考察职工的躯体状况，要从中抽取一个容量为100的样本.思索1：该项考察应采纳哪种抽样办法进展？思索2：按比例，三个年纪档次的职工分不抽取几多多人？35岁以下25人，35岁～49岁56人，50岁以上19人.思索3：在各年纪段详细怎样样抽样？怎样样取得所需样本？思索4：普通地，分层抽样的操纵步调怎样样？第一步，计划样本容量与总体的团体数之比.第二步，将总体分红互不穿插的层，按比例断定各层要抽取的团体数.第三步，用复杂随机抽样或零碎抽样在各层中抽取照应数目的团体.第四步，将各层抽取的团体合在一同，就失落失落落所取样本.思索5：在分层抽样中，假定总体的团体数为N，样本容量为n，第i层的团体数为k，那么在第i层应抽取的团体数怎样样算？思索6：样本容量与总体的团体数之比是分层抽样的比例常数，按那个比例能够断定各层应抽取的团体数，假定各层应抽取的团体数不全然上整数该如那儿置？调理样本容量，剔除团体.探求交换分层抽样又称模范抽样，破刻类似的团体纳入一类〔层〕,而后每层抽取假定干团体构成样本,因此分层抽样为保障每个团体等能够入样，必需进展〔C〕A、每层等能够抽样B、每层不等能够抽样C、一切层按分歧抽样比等能够抽样思索7：复杂随机抽样、零碎抽样跟分层抽样既有其特点，又有其特点，依照下表，你能对三种抽样办法作一个比拟吗？实际迁徙例1某公司共有1000名员工，下设假定干局部，现用分层抽样法，从全部员工中抽取一个容量为80的样本，曾经清晰策划部被抽取4个员工，求策划部的员工人数是几多多？50人.例2某中学有180名教人员工，此中涵养人员144人，治理人员12人，后勤效能人员24人，计划一个抽样计划，从当选取15人去不雅不雅赏巡游.用分层抽样，抽取涵养人员12人，治理人员1人，后勤效能人员2人.例3某公司在甲、乙、丙、丁四个地域分不有150个、120个、180个、150个贩卖点，公司为了考察产物的贩卖状况，需从这600个贩卖点中抽取一个容量为100的样本，记这项考察为①；在丙地域中有20个特大年夜型贩卖点，要从中抽取7个考察其贩卖支出跟售后效能等状况，记这项考察为②，实现这两项考察宜分不采纳什么办法？①用分层抽样，②用复杂随机抽样.小结功课1.分层抽样应用了考察者对考察货色事前操纵的种种信息，思索了坚持样本构造与总体构造的分歧性，从而使样本更存在代表性，在实际考察中被普遍应用.2.分层抽样是按比例分过错各层进展抽样，再将各个子样本兼并在一同构成所需样本.此中准确计划各层应抽取的团体数，是分层抽样进程中的要紧环节.3.复杂随机抽样是根底，零碎抽样与分层抽样是弥补跟开展，三者相反相成，统逐分歧.4、在抽样进程中，当总体中团体较多时，可采纳零碎抽样的办法进展抽样，零碎抽样的步调为：〔1〕采纳随机的办法将总体中团体编号；〔2〕将全部编号进展分段，断定分段距离k(k∈N)；〔3〕在第一段内采纳复杂随机抽样的办法断定肇端团体编号L；〔4〕依照事前预约的规那么抽取样本。

2.1.3分层抽样

的容量n=
80 。
4.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= 192 .
练习题：
1．为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（ A ）
（4）有甲厂生产的1000个篮球，抽取100 个入样。解：（4）总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样法。
简单随机抽抽样过程从总体中逐个
样本容量较
样
中每个个
抽取
小
体被抽取
系统抽样的概率相将总体均分成在起始部分总体中的个
等
几部分，按事抽样时，采体数较多，
先确定的规则用简单随机样本容量较
在各部分中抽抽样大
取
分层抽样
将总体分成几各层抽样时总体由差异
层，分层进行采用简单随明显的几部
（1）有30个篮球，其中甲厂生产的有21 个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样。
解：（1）总体由有差异明显的几个层次组成，需选用分层抽样法。
（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱 21个，另一箱9个。抽取3个入样。
解：（2）总体容量较小，用抽签法。
（3）有甲厂生产的300个篮球，抽取10 个入样。解：（3）总体容量较大，样本容量较小宜用随机数表法。
分层抽样能使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的抽样方法。
例如上例中高一、高二、高三的学生数分别为402，296，202
则三个层面上用上面方法求得的数目分别为20.1，14.8，10.1. 每层还是分别按 20，15，10名学生抽取。

2.1.3分层抽样

三种抽样方法的比较
某批零件共160个，其中一级品48个，二级个其中一级品个某批零件共品64个，三级品个，等外品个从中抽个三级品32个等外品16个从中抽取一个容量为20的样本的样本，取一个容量为的样本，请分别说明用简单随机抽样、随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取时总体中每个个体被取到的概率均相同。中每个个体被取到的概率均相同。
某公司在甲乙丙丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点。公司为了调某公司在甲乙丙丁四个地区分别有个个个个销售点。个销售点查销售情况，需从个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；再丙地区的样本，查销售情况，需从600个销售点中抽取一个容量为个销售点中抽取一个容量为的样本记这项调查为a；中有20个特大型销售点，要从中抽取个调查其收入和售后服务等情况记这项调查为b；个调查其收入和售后服务等情况，中有个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为；个特大型销售点则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是（则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ A。分层抽样法，系统抽样法。分层抽样法， C。系统抽样法，分层抽样法。系统抽样法，）
一个单位的职工有500人，其中不到岁的有岁的有125人，例、一个单位的职工有人其中不到35岁的有人 35～ 49岁的有岁的有280人， 50岁以上的有人。为了了解该单位岁以上的有95人～岁的有人岁以上的有职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取100名职工作为职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取名职工作为样本，应该怎样抽取？样本，应该怎样抽取？分析：这总体具有某些特征，分析：这总体具有某些特征，它可以分成几个不同的部不到35岁岁以上，分：不到岁；35～49岁；50岁以上，把每一部分称为一个～岁岁以上因此该总体可以分为3个层由于抽取的样本为100，所个层。层，因此该总体可以分为个层。由于抽取的样本为，以必须确定每一层的比例，在每一个层中实行简单随机抽样。以必须确定每一层的比例，在每一个层中实行简单随机抽样。抽取人数与职工总数的比是100：500＝1：5，则各解：抽取人数与职工总数的比是：＝：，年龄段（的职工人数依次是125：280：95＝25：56：19，年龄段（层）的职工人数依次是：：＝：：，然后分别在各年龄段（运用简单随机抽样方法抽取。然后分别在各年龄段（层）运用简单随机抽样方法抽取。答：在分层抽样时，不到35岁、35～49岁、50岁以上的三个在分层抽样时，不到岁～岁岁以上的三个年龄段分别抽取25人人和19人年龄段分别抽取人、56人和人。人和

课件6：2.1.3 分层抽样

自 1.互不交叉的层按照一定比例各层独立地我各层分层抽样校
2.差异明显的几部分对
名师讲解 1.分层抽样的特点 (1)适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况． (2)抽取的样本更充分的反映了总体的情况． (3)是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是Nn .
2．分层抽样的操作步骤 (1)将总体按一定标准进行分层． (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比． (3)按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的个体数． (4)在每一层进行抽样． (5)将每层中所抽的个体合在一起便得到所需要的样本．
方法 3：按 20:160＝1:8 的比例，从业务人员中抽取 12 人，从管理人员中抽取 5 人，从后勤人员中抽取 3 人，用随机数法从各类人员中抽取需要的人数，他们合在一起恰好抽到 20 人．
上述三种抽样方法，按简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是( )
A．方法 1、方法 2、方法 3 B．方法 2、方法 1、方法 3 C．方法 1、方法 3、方法 2 D．方法 3、方法 1、方法 2 【解析】由三种抽样方法的定义和特点可知．【答案】C
方法 2：将 160 人从 1 至 160 编号，按编号顺序分成 20 组，每组 8 人，1～8 号为第一组，9～16 号为第二组，…，153～160 号为第 20 组，先从第 1 组中用抽签方法抽到一个为 k 号 (1≤k≤8)，其余组抽取(k＋8n)号(n＝1,2，…，19)，如此抽取到 20 人．
第三步，按层依次分别抽取．在优秀生中用简单随机抽样法抽取 15 人；在良好生中用简单随机抽样法抽取 60 人；在普通生中用简单随机抽样法抽取 25 人.
随堂训练 1.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是( )

课件5：2.1.3 分层抽样

2.1.3 分层抽样
目标导航 1.理解分层抽样的概念. 2.掌握分层抽样的一般步骤. 3.区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当的方法进行抽样.
基础梳理知识点一分层抽样的概念一般地，在抽样时，将总体__分__成__互__不__交__叉__的__层___，然后__按__照__一__定__比__例__，从__各___层__独__立___地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样. 知识点二分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持___样__本__结__构__与 __总__体__结__构___的一致性，这对提高样本的代表性非常重要.当总体是由__差__异__明__显__ 的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法.
第二步：确定各个层次抽取的人数；因为样本容量与总体容量的比为 100∶1 000＝1∶10，所以在每一层次抽取的个体数依次为 11500，61000，21500，即 15，60，25. 第三步：按层次分别抽取. 在优秀生中采用随机数法抽取 15 人；在良好生中采用随机数法抽取 60 人；在普通生中采用随机数法抽取 25 人.
解：采用分层抽样法，具体步骤如下：第一步，将 3 万人分为 5 层，其中每一个乡镇为一层. 第二步，按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×135＝60(人)，300×125＝40(人). 300×155＝100(人)，300×125＝40(人)， 300×135＝60(人). 故各乡镇抽取人数分别为 60 人，40 人，100 人，40 人，60 人. 第三步，将抽出的 300 人合到一起即得一个样本.
②每个班抽取 1 人，共计 20 人，考察这 20 个学生的学习成绩； ③把学生按学习成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取 100 名学生进行考察.(已知若按成绩分，该校高一学生中优秀生共有 150 人，良好生共有 600 人，普通生共有 250 人) 根据上面的叙述，试回答下列问题： (1)上面三种抽样方式中，其总体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ (2)上面三种抽样方式中各自采用何种抽取样本的方法？ (3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.