解方程高级跟踪训练
2012年中考数学复习考点跟踪训练08 列方程(组)解应用题
考点跟踪训练8 列方程(组)解应用题一、选择题1．(2010·曲靖)练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元．如果设水性笔的单价为x 元，那么下面所列方程正确的是( )A ．5(x －2)＋3x ＝14B ．5(x ＋2)＋3x ＝14C ．5x ＋3(x ＋2)＝14D ．5x ＋3(x －2)＝14答案 A解析 水性笔的单价为x 元，则练习本的单价为(x －2)元，5本练习本和3支水性笔的总价为5(x －2)＋3x 元，故选A.2．(2010·恩施)某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润．若该商品标价为28元，则商品的进价为( )A. 21元B. 19.8元 C ．22.4元 D ．25.2元答案 A解析 设该商品的进价为x 元，28×0.9－x ＝20%x,1.2x ＝28×0.9，x ＝21.3．(2011·泰安)某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买了多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，12x ＋16y ＝400B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，16x ＋12y ＝400 C.⎩⎪⎨⎪⎧ 16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400 D.⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋16y ＝30，x ＋y ＝400 答案 B解析 甲种奖品每件16元、x 件需16x 元，乙种奖品每件12元、y 件需12y 元，合计16x ＋12y ＝400，故选B.4．(2010·绵阳)有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为( )A ．129B ．120C ．108D ．96答案 D解析 设1艘大船一次载客x 人，1艘小船一次载客y 人，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＝46，2x ＋3y ＝57，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝7，∴3x ＋6y ＝3×18＋6×7＝54＋42＝96. 5．(2011·凉山)某品牌服装原价173元，连续两次降价x %后售价为127元，下面所列方程中正确的是( )A ．173()1＋x %2＝127B ．173()1－2x %＝127C ．173()1－x %2＝127D ．127()1＋x %2＝173答案 C解析 该品牌服装降价一次后为173－173×x %＝173(1－x %)元，降价两次后为173(1－x %)－173(1－x )×x %＝173(1－x %)2元，故选C.二、填空题6．(2011·湘潭)湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为________．答案 50－8x ＝38解析 每个莲蓬的单价为x 元，8个莲蓬合计8x 元，找回(50－8x )元，所以50－8x ＝38.7．(2011·浙江)如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，则买5束鲜花和5个礼盒的总价为 ________元．答案 440 解析 设一束鲜花的价格为x 元，一个礼盒的价格为y 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝143，①2x ＋y ＝121，②由①＋②得3x ＋3y ＝264.∴x ＋y ＝88.∴5x ＋5y ＝88×5＝440.8．(2011·潼南)某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a 度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加20%收费．某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a ＝________度．答案 40解析 0.50×100<56，可知该用户超量用电.0.50a ＋0.50(1＋20%)(100－a )＝56,0.5a ＋60－0.6a ＝56，－0.1a ＝－4，a ＝40.9．(2011·上海)某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．答案 20%解析 设每年屋顶绿化面积的增长率为x .2000(1＋x )2＝2880.(1＋x )2＝1.44.1＋x ＝±1.2.所以x 1＝0.2，x 2＝－2.2(舍去)．故x ＝0.2＝20%.10．(2011·宿迁)如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m 2，则AB 的长度是______m(可利用的围墙长度超过6m)．答案 1解析 设AB 长为x m ，则BC ＝(6－2x )m.∴x (6－2x )＝4，x 2－3x ＋2＝0.x 1＝2，x 2＝1.当x ＝2时，AB ＝2，BC ＝2，不合题意，舍去，所以x ＝1.三、解答题11．(2011·安徽)江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000千克的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量3倍还多2000千克．求粗加工的该种山货质量．解 设粗加工的该种山货质量为x 千克，根据题意，得x ＋(3x ＋2000)＝10000.解得 x ＝2000.答：粗加工的该种山货质量为2000千克．12．(2011·扬州)古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A 、B 两个工程队先后接力完成．A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天．(1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12x ＋8y ＝ 乙：⎩⎨⎧ x ＋y ＝ x 12＋y 8＝根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x ，y 表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x 表示____________________，y 表示 __________________；乙：x 表示 ____________________，y 表示 __________________；(2)求A 、B 两工程队分别整治河道多少米？(写出完整的解答过程)解 (1) 甲：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，12x ＋8y ＝180； 乙：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝180，x 12＋y 8＝20. 甲：x 表示A 工程队工作的天数，y 表示B 工程队工作的天数；乙：x 表示A 工程队整治的河道长度，y 表示B 工程队整治的河道长度；(2)若解甲的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20， ①12x ＋8y ＝180， ② ①×8，得：8x ＋8y ＝160， ③③－②，得：4x ＝20，∴x ＝5.把x ＝5代入①得：y ＝15，∴ 12x ＝60,8y ＝120.若解乙的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝180， ①x 12＋y 8＝20， ② ②×12，得：x ＋1.5y ＝240， ③③－①，得：0.5y ＝60.∴y ＝120.把y ＝120代入①，得，x ＝60.答：A 、B 两工程队分别整治河道60米和120米．13．(2011·益阳)某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨(含14吨)时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？(2)设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式；(3)小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？解 设每吨水的政府补贴优惠价为x 元，市场调节价为y 元．⎩⎨⎧ 14x ＋()20－14y ＝29，14x ＋()18－14y ＝24，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.5. 答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝x ；当x >14时，y ＝14×1＋()x －14×2.5＝2.5x －21，所求函数关系式为：y ＝⎩⎨⎧x ()0≤x ≤14，2.5x －21()x >14. (3)∵x ＝24>14，∴把x ＝24代入y ＝2.5x －21，得：y ＝2.5×24－21＝39.答：小英家3月份应交水费39元．14．(2011·烟台)去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务．部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？解 设原计划每天打x 口井，由题意可列方程30x －30x ＋3＝5， 去分母得，30(x ＋3)－30x ＝5x (x ＋3)，整理得，x 2＋3x －18＝0，解得x 1＝3，x 2＝－6(不合题意，舍去)．经检验，x 2＝3是方程的根，∴x ＝3.答：原计划每天打3口井．15．(2011·衢州)某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？小明的解法如下：解 设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有()x ＋3株，平均单株盈利为()3－0.5x 元，由题意，得()x ＋3()3－0.5x ＝10.化简，整理得x 2－3x ＋2＝0.解这个方程，得x 1＝1，x 2＝2，∴x ＋3＝4或5.答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系：________________________________________________.请用一种与小明不相同的方法求解上述问题．解 (1)平均单株盈利×株数＝每盆盈利；平均单株盈利＝3－0.5×每盆增加的株数；每盆的株数＝3＋每盆增加的株数．(2)解法解法2(图象法)：如图，纵轴表示平均单株盈利，横坐标表示株数，则相应长方形面积表示每一盆盈利.从图象可知，每盆植入4株或5株时，相应长方形面积都是10.答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．解法3(列分式方程)：设每盆花苗增加x 株时，每盆盈利10元，根据题意，得10x ＋3＝3－0.5x . 解这个方程，得x 1＝1，x 2＝2.经验证，x1＝1，x2＝2是所列方程的解．∴x＋3＝4或5.答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．四、选做题16．(2011·义乌)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？解(1)2x,50－x.(2)由题意得：(50－x)(30＋2x)＝2100，化简得：x2－35x＋300＝0，解得：x1＝15, x2＝20，∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去. ∴x＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．。
(新课标)华东师大版八年级数学下册同步跟踪训练：解分式方程及考点解析
（新课标）2017-2018学年华东师大版八年级下册16.3.2解分式方程一．选择题（共8小题）1．分式方程的解是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=22．分式方程的解为（）A．1 B．2 C．3 D．43．分式方程=的解是（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．无解4．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是（）A．1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D．x﹣1+2x=35．分式方程的解为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．6．将分式方程=去分母后得到的整式方程，正确的是（）A．x﹣2=2x B．x2﹣2x=2x C．x﹣2=x D．x=2x﹣47．如果方程+1=有增根，那么m的值等于（）A．﹣5 B．4 C．﹣3 D．28．若关于x的方程有增根，则m的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1二．填空题（共6小题）9．方程的解是_________ ．10．分式方程=0的解是_________ ．11．分式方程=的解为_________ ．12．若分式方程有增根，则a的值为_________ ．13．若解分式方程产生增根，则m的值为_________ ．14．关于x的方程=0有增根，则m= _________ ．三．解答题（共8小题）15．解方程：．16．解方程：．17．解分式方程：+=1．18．解方程：﹣=．19．若关于x的方程+=有增根，求增根和m的值．20．（1）若分式方程=2﹣有增根，试求m的值．（2）当x为何值时，分式的值比分式的值大3．21．当m为何值时，=有增根．22．若关于x的方程+=有增根，试求k的值．16.3.2解分式方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．分式方程的解是（）A． x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=2考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘（x﹣2），得2x﹣5=﹣3，解得x=1．检验：当x=1时，（x﹣2）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=1．故选：C．点评：考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．2．分式方程的解为（）A． 1 B．2 C．3 D． 4考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：5x=3x+6，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选：C．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．3．分式方程=的解是（）A． x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．无解考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：转化思想．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x+1=3，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故选：C点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．4．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是（）A． 1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D．x﹣1+2x=3考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：分式方程两边乘以最简公分母x﹣1，即可得到结果．解答：解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3，故选：B．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．分式方程的解为（）A． x=﹣B．x=C．x=D．考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x=2，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．故选：B点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．将分式方程=去分母后得到的整式方程，正确的是（）A． x﹣2=2x B．x2﹣2x=2x C．x﹣2=x D．x=2x﹣4考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：常规题型．分析：分式方程两边乘以最简公分母x（x﹣2）即可得到结果．解答：解：去分母得：x﹣2=2x，故选：A．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7．如果方程+1=有增根，那么m的值等于（）A．﹣5 B．4 C．﹣3 D． 2考点：分式方程的增根．菁优网版权所有专题：计算题．分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣4）=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．解答：解：方程两边都乘（x﹣4），得x+1+（x﹣4）=﹣m∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣4）=0，解得x=4，当x=4时，m=﹣5．故选A．点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．若关于x的方程有增根，则m的值是（）A． 3 B．2 C 1 D．﹣1考点：分式方程的增根．菁优网版权所有专题：计算题．分析：有增根是化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m的值．解答：解：方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故选：B．点评：增根问题可按如下步骤进行：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．二．填空题（共6小题）9．方程的解是x=2 ．考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：观察可得最简公分母是x（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘x（x+2），得2x=x+2，解得x=2．检验：把x=2代入x（x+2）=8≠0．∴原方程的解为：x=2．故答案为：x=2．点评：本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．10．分式方程=0的解是x=﹣3 ．考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x+1+2=0，解得：x=﹣3经检验x=﹣3是分式方程的解．故答案为：x=﹣3点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11．分式方程=的解为x=1 ．考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣6=﹣x﹣2，移项合并得：4x=4，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．故答案为：x=1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．12．若分式方程有增根，则a的值为 4 ．考点：分式方程的增根．菁优网版权所有专题：计算题．分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣4）=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．解答：解：方程两边都乘（x﹣4），得x=2（x﹣4）+a∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣4=0，解得x=4，当x=4时，a=4．故答案为4．点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．13．若解分式方程产生增根，则m的值为 3 ．考点：分式方程的增根．菁优网版权所有专题：计算题．分析：方程两边都乘以最简公分母（x﹣3），化为整式方程，进而把增根x=3代入可得m的值．解答：解：去分母得：x=2（x﹣3）+m，当x=3时，m=3，故答案为3．点评：考查增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．关于x的方程=0有增根，则m= 9 ．考点：分式方程的增根．菁优网版权所有专题：计算题．分析：首先将方程化为整式方程，求出方程的根，若方程有增根，则方程的根满足分母x2﹣m=0，由此求得m的值．解答：解：方程两边都乘以（x2﹣m），得：x﹣3=0，即x=3；由于方程有增根，故当x=3时，x2﹣m=0，即9﹣m=0，解得m=9；故答案为：m=9．点评：解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．三．解答题（共8小题）15．解方程：．考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．解答：解：方程两边都乘3（x+1），得：3x﹣2x=3（x+1），解得：x=﹣，经检验x=﹣是方程的解，∴原方程的解为x=﹣．点评：当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．16．解方程：．考点：解分式方程．菁优网版权所有分析：首先找出最简公分母，进而去分母求出方程的根即可．解答：解：方程两边同乘以x﹣2得：1=x﹣1﹣3（x﹣2）整理得出：2x=4，解得：x=2，检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的根，故此方程无解．点评：此题主要考查了解分式方程，正确去分母得出是解题关键．17．解分式方程：+=1．考点：解分式方程．菁优网版权所有分析：根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．解答：解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得3+x（x+3）=x2﹣93+x2+3x=x2﹣9解得x=﹣4检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，∴x=﹣4是原分式方程的解．点评：本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．18．解方程：﹣=．考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题；转化思想．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：（x+1）2﹣2=x﹣1，整理得：x2+x=0，即x（x+1）=0，解得：x=0或x=﹣1，经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=0．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．19．若关于x的方程+=有增根，求增根和m的值．考点：分式方程的增根．菁优网版权所有专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．解答：解：去分母得：﹣3（x+1）=m，由分式方程有增根，得到x2﹣1=0，即x=1或x=﹣1，把x=1代入整式方程得：m=﹣6；把x=﹣1代入整式方程得：m=0．点评：此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．（1）若分式方程=2﹣有增根，试求m的值．（2）当x为何值时，分式的值比分式的值大3．考点：分式方程的增根；解分式方程．菁优网版权所有分析：（1）根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；（2）根据两个分式值的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．解答：解：（1）方程两边都乘以（x﹣5），得x=2（x﹣5）+m．化简，得m=﹣x+10．分式方程的增根是x=5，把x=5代入方程得m=﹣5+10=5；（2）分式的值比分式的值大3，得﹣=3．方程得两边都乘以（x﹣2），得x﹣3﹣1=3（x﹣2）．解得x=1，检验：把x=1代入x﹣5≠0，x=1是原分式方程的解，当x=1时，分式的值比分式的值大3．点评：本题考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程得出关于m的方程是解题关键．21．当m为何值时，=有增根．考点：分式方程的增根．菁优网版权所有专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．解答：解：去分母得：（m﹣1）x﹣（x+1）=（m﹣5）（x﹣1），去括号得：（m﹣2）x﹣1=（m﹣5）x﹣m+5，移项合并得：3x=﹣m+6，解得：x=，由分式方程有增根，得到x（x+1）（x﹣1）=0，即x=0或1或﹣1，当x=0时，m=6；当x=1时，m=3；当x=﹣1时，m=9．点评：此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．22．若关于x的方程+=有增根，试求k的值．考点：分式方程的增根．菁优网版权所有分析：根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案．解答：解：去分母，得（x+1）+（k﹣5）（x﹣1）=（k﹣1）x．化简，得3x+6﹣k=0．当x=1时，3+6﹣k=0，解得k=﹣9；当x=0时，6﹣k=0，解得k=6；当x=﹣1时，﹣3+6﹣k=0，解得k=3．点评：本题考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程是解题关键．。
教你巧解分式方程
教你巧解分式方程同一个方程，用不同的方法，解题的难度就不一样.那么怎样选择合适的方法使解方程更简单呢？下面举例说明．一、交叉相乘法例1 解方程：xx 213=- 分析：可直接将两个分式的分子与分母交叉相乘来求解.解：原方程可化为3x=2（x-1）.解得x=-2.经检验，x=-2是原方程的根.跟踪训练1 解方程：x x 415=+二、同分母分式加减法例2 解方程：2322-+-x x x ＝1． 分析：方程左边的两个分式的分母相同，我们可以先利用同分母分式相加减的法则进行处理，使方程简化．解：原方程可化为：2123--x x ＝1．所以3x+2=x-2.解得x=-2.经检验，x=-2是原方程的根.跟踪训练2 解方程：5253-+-x x x ＝3．三、减常数法例3 解方程：78--x x ＝8． 分析：观察此方程发现，x-8=（x-7）-1，将78--x x 写成71-7--x x =1-71-x ，此时再解方程就简单多了.解：原方程可化为1-71-x =8，即71-x =-7.解得x=748.经检验，x=748.是原方程的根. 跟踪训练3 解方程：69++x x ＝2.四、分组通分法例4 解方程：51413121+++-+-+x x x x ＝0． 分析：若直接去分母，则运算量较大．若把一、二两项合为一组，三、四两项合为一组，分别通分，它们的分子恰好相等，这样再去分母就比较容易了． 解：原方程可化为）（）（51-413121++-+-+x x x x ＝0． 化简，得)5)(41)3)(2(1++-++x x x x （＝0. 去分母化简，得4x+14=0.解得x=-27. 经检验，x=-27是原方程的根. 跟踪训练4 解方程：4131-21-11+++++x x x x ＝0．答案1．x=42．x=183．x=－34．x=－25。
第五章 二元一次方程组易错剖析+重难点突破训练(含答案) 2024-2025-北师大版数学八年级上册
第五章二元一次方程组易错点剖析易错点一对二元一次方程（组）的定义理解不彻底【例1】下列方程中，是二元一次方程的是（）.A. 3x−2y=4zB. 6xy+9=0C. 1x +4y=6 D. 4x=y−24本题容易受6xy+9=0中的xy影响导致误选，二元一次方程（组）必须符合以下三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，注意xy的次数是2；（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.跟踪练习1. 下列方程中，是二元一次方程的是（）.A. xy=2B. 3x+4y=0C. x+1y=2 D. x2+2y=4易错点二解方程组时不注意项的符号导致错误【例2】解方程组：{x−2y=2,①x−y=−2.②用加减消元法中减法消元时，易出现符号错误，所以要特别细心.跟踪练习2. 解方程组：{2x−5y=−3,①2x−3y=−1.②易错点三不理解待定系数法而出错【例3】已知一次函数图象经过点(0,3)，(3,0)，写出它的表达式： .本题容易把待定的系数与变量混为一谈，直接误认为k=3，b=3，做出错误的答案.因此，用待定系数法解题，要牢牢把握准所求的系数.跟踪练习3. 已知一次函数的图象经过点(1,3)和点(−2,−3)，则此一次函数的表达式是 .易错点四列方程组解应用题时不能正确理解题意【例4】现有食盐水两种，一种含盐12%，另一种含盐20%，分别取这两种盐水a kg和b kg，将其混合成18%的盐水100kg，求a，b的值.在列方程时，对背景不熟而出错，如：列方程12%a+20%b=100×18 %，方程左边表示混合之前两种食盐水的含盐量之和，而右边表示最后盐水中的含盐量.因此，解题时，要深刻理解题意，找准等量关系.跟踪练习4. 今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数.重难点突破重难点一 二元一次方程（组）的有关概念注意理解定义中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数，且“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.1. 下列四个方程中是二元一次方程的是（ ）.A. 4x−1=xB. x +1x =2C. 2x−3y =1D. xy =82. 已知2x 3−k +y =0是二元一次方程，那么k 的值为（ ）.A. 3 B. 0 C. 2 D. 43. 在下列方程组：①{x +y =5,3y−x =1,②{xy =1,x +2y =3,③{1x +1y =1,x +y =1,④{x =1,y =3中，是二元一次方程组的是（ ）.A. ①③B. ①④C. ①②D. 只有①4. 已知3x a−1−5y b +2=1是关于x ，y 的二元一次方程，则a +b = .5. 若方程组{x +y ∣a∣−2=0,(a−3)x +9=0是二元一次方程组，求a 的值.重难点二 求解二元一次方程组解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法，核心思想是“消元”.6. 方程组{x +y =5,x−y =1的解是（ ）.A. {x =3,y =2 B. {x =−2,y =−3 C. {x =4,y =1 D. {x =4,y =37. 方程组{x +y =10,2x +y =16的解是（ ）.A. {x =7,y =3B. {x =6,y =4C. {x =5,y =5D. {x =1,y =98. [2023·深圳期末]解方程组：（1） {y =2x ,x +y =12；（2） {3x +5y =21,2x−5y =−11.重难点三 二元一次方程组的应用利用二元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤：（1）审，（2）设，（3）找，（4）列，（5）解，（6）答.9. 某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：甲食材乙食材每克所含蛋白质0.3单位0.7单位每克所含碳水化合物0.6单位0.4单位若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（）.A. {0.3x+0.6y=21,0.7x+0.4y=40 B. {0.6x+0.3y=21, 0.4x+0.7y=40C. {0.3x+0.7y=21,0.6x+0.4y=40 D. {0.3x+0.7y=40, 0.6x+0.4y=2110. [2023·东莞校考]某车间有60名工人，每人平均每天可加工螺栓14个或螺母20个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设分配x 人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组为某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示：购买商品A的数量/个购买商品B的数量/个购买总费用/元第一次购物65 1 140第二次购物37 1 110第三次购物98 1 062（1）在这三次购物中，第次购物打了折扣；（2）求出商品A，B的标价.12. 某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车.据了解，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计95万元.（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案.重难点四二元一次方程与一次函数的综合一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.13. 如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)，则关于x，y 的二元一次方程组{kx−y=−b,y−x=2的解是（）.A. {x=3,y=4 B. {x=2,y=4 C.{x=1.8,y=4 D.{x=2.4,y=414. 若关于x，y的二元一次方程组{y=kx+b,y=mx+n的解为{x=2,y=5,则一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点坐标为（）.A. (2,5)B. (5,2)C. (−2,−5)D. (1,5)15. 如图是函数y=−x+4与y=x+2的图象，则方程组{y=−x+4,y=x+2的解是 .16. 如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,b)，分别与x 轴交于A，B两点.（1）求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组{2x−y=−1,mx−y=−4的解；（2）求△ABP的面积；（3）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD的长为2，直接写出a的值.第五章二元一次方程组易错点剖析易错点一对二元一次方程（组）的定义理解不彻底跟踪练习1．B本题容易受6xy+9=0中的xy影响导致误选，二元一次方程（组）必须符合以下三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，注意xy的次数是2；（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.【例1】 D易错点二解方程组时不注意项的符号导致错误跟踪练习2．解：①−②，得−2y=−2，解得y=1，把y=1代入②，得2x −3=−1，解得x=1，所以原方程组的解为{x=1,y=1.用加减消元法中减法消元时，易出现符号错误，所以要特别细心.【例2】解：①−②，得−y=4，∴y=−4.把y=−4代入②，得x −(−4)=−2，解得x=−6，所以原方程组的解为{x=−6,y=−4.易错点三不理解待定系数法而出错跟踪练习3．y=2x+1本题容易把待定的系数与变量混为一谈，直接误认为k=3，b= 3，做出错误的答案.因此，用待定系数法解题，要牢牢把握准所求的系数.【例3】y=−x+3易错点四列方程组解应用题时不能正确理解题意跟踪练习4．解：设去年外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，由题意得{x−y=20,(1+30%)x+(1+20%)y=226,解得{x=100, y=80,所以(1+30%)x=(1+30%)×100=130，(1+20%)y=(1+20%)×80=96.答：该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人.在列方程时，对背景不熟而出错，如：列方程12%a+20%b= 100×18%，方程左边表示混合之前两种食盐水的含盐量之和，而右边表示最后盐水中的含盐量.因此，解题时，要深刻理解题意，找准等量关系.【例4】解：根据题意得{a+b=100,12%a+20%b=100×18%,解得{a=25, b=75.答：a，b的值分别为25，75.重难点突破重难点一二元一次方程（组）的有关概念1．C2．C3．B4．15．解：∵方程组{x+y∣a∣−2=0,(a−3)x+9=0是二元一次方程组，∴|a|−2=1且a−3≠0，∴a=−3．重难点二求解二元一次方程组6．A7．B8．（1）解：{y=2x①,x+y=12②,将①代入②,得3x=12，解得x=4.将x=4代入①，得y=8，∴原方程组的解为{x=4,y=8.（2）{3x+5y=21①,2x−5y=−11②,①+②，得5x=10，解得x=2，将x=2代入①，得6+5y=21，∴5y=15，解得y=3，∴原方程组的解为{x=2,y=3.重难点三二元一次方程组的应用9．C10．{x+y=60,20x=2×14y11．（1）三解：∵第三次购买的数量最多，总费用最少，∴小明以折扣价购买商品A，B是第三次购物．故答案为三．（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得{6x+5y=1140,3x+7y=1110,解得{x=90,y=120.答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元．12．（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元．依题意，得{2x+3y=80,3x+2y=95,解得{x=25, y=10,答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元，10万元．（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，m<n，依题意，得25m+10n=200，∴m=8−25n.∵m，n均为正整数，∴n为5的倍数，∴m=6，n=5或m=4，n=10或m=2，n=15，∵m<n，∴m=6，n=5不合题意，舍去，∴共有2种购买方案.方案一：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆；方案二：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆.重难点四二元一次方程与一次函数的综合13．B14．A15．{x=1,y=316．（1）解：把点P(1,b)的坐标代入y=2x+1，得b=2+1= 3，把点P(1,3)的坐标代入y=mx+4，得m+4=3，∴m=−1.∵直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,3)，∴关于x,y的方程组{2x−y=−1,mx−y=−4的解为{x=1, y=3.（2）∵l1：y=2x+1，l2：y=−x+4，∴A (−12,0)，B(4,0)，∴AB=4−(−12)=92.设点P到x轴的距离为ℎ，则ℎ=3，∴S △ABP =12AB ⋅ℎ=12×92×3=274．（3） 直线x =a 与直线l 1 的交点C 的坐标为(a ,2a +1)，与直线l 2 的交点D 的坐标为(a,−a +4)．∵CD =2，∴|2a +1−(−a +4)|=2，即|3a−3|=2，∴3a−3=2 或3a−3=−2，∴a =53或a =13．。
华师大版七年级数学上册 跟踪训练：3.3.3 多项式(含详细解析)
3.3.2多项式一．选择题（共9小题）1．多项式2a2b﹣a2b﹣ab的项数及次数分别是（）A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，22．如果整式x n﹣2﹣5x+2是关于x的三次三项式，那么n等于（）A． 3 B．4 C．5 D．63．多项式1+2xy﹣3xy2的次数及最高次项的系数分别是（）A．3，﹣3 B．2，﹣3 C．5，﹣3 D．2，34．多项式y﹣x2y+25的项数、次数分别是（）A．3、2 B．3、5 C．3、3 D．2、35．一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第10个式子是（）A．a10+b19B．a10﹣b19C．a10﹣b17D．a10﹣b216．下列叙述中，错误的是（）A．﹣2y的系数是﹣2，次数是1 B．单项式ab2的系数是1，次数是2C．2x﹣3是一次二项式D． 3x2+xy﹣4是二次三项式7．多项式x+xy2+1的次数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．下列说法中正确的个数是（）（1）a和0都是单项式；（2）多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab+1的次数是3；（3）单项式的系数为﹣2；（4）x2+2xy﹣y2可读作x2，2xy，﹣y2的和．A．1个B．2个C．3个D．4个9．若m，n为自然数，则多项式x m﹣y n﹣4m+n的次数应当是（）A．m B．n C．m+n D．m，n中较大的数二．填空题（共7小题）10．多项式xy2﹣9xy+5x2y﹣25的二次项系数是_________．11．下列各式中，单项式有_________；多项式有_________．①，②﹣m，③，④﹣2，⑤，⑥，⑦2x2y2，⑧2（a2﹣b2），⑨x3y3﹣y2，⑩．12．多项式x2y﹣5x2﹣2x2y2+3x2y2是_________次_________项式，次数最高的项是_________．13．如果（m﹣1）x4﹣x n+x﹣1是二次三项式，则m=_________，n=_________．14．若多项式3x m y2+（m+2）x2y﹣1是四次三项式，则m的值为_________．15．当k=_________时，多项式x2﹣3kxy﹣3y2+xy﹣8是不含xy的二次多项式，这时单项式的系数为_________．16．把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是_________．三．解答题（共7小题）17．已知关于x、y的多项式mx2+2xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣3y合并后不含有二次项，求n m的值．18．如果多项式4x4+4x2﹣与3x n+2+5x的次数相同，求代数式3n﹣4的值．19．化简关于x、y的多项式4xy+ax2+axy+9y﹣a﹣2bx2，发现不含二次项．（1）求常数a、b的值；（2）当y=﹣2时，求多项式的值．20．关于x的多项式（a﹣4）x3﹣x b+x﹣b的次数是2，求当x=﹣2时，这个多项式的值．21．若关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关，求a+b的值．22．当m为何值时，（m+2）x y2﹣3xy3是关于x、y的五次二项式．23．若要使多项式mx3+3nxy2+2x﹣xy2+y不含三次项，求m+3n．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．多项式2a2b﹣a2b﹣ab的项数及次数分别是（）A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2考点：－多项式．分析：－多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．解答：－解：2a2b﹣a2b﹣ab是三次三项式，故次数是3，项数是3．故选：A．点评：－此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．2．如果整式x n﹣2﹣5x+2是关于x的三次三项式，那么n等于（）A． 3 B．4 C．5 D． 6考点：－多项式．专题：－计算题．分析：－根据题意得到n﹣2=3，即可求出n的值．解答：－解：由题意得：n﹣2=3，解得：n=5．故选：C点评：－此题考查了多项式，熟练掌握多项式次数的定义是解本题的关键．3．多项式1+2xy﹣3xy2的次数及最高次项的系数分别是（）A．3，﹣3 B．2，﹣3 C·5，﹣3 D．2，3考点：－多项式．专题：－压轴题．分析：－根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得此多项式为3次，最高次项是﹣3xy2，系数是数字因数，故为﹣3．解答：－解：多项式1+2xy﹣3xy2的次数是3，最高次项是﹣3xy2，系数是﹣3；故选：A．点评：－此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式次数的计算方法与单项式的区别．4．多项式y﹣x2y+25的项数、次数分别是（）A．3、2 B．3、5 C．3、3 D．2、3考点：－多项式．专题：－分类讨论．分析：－多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．解答：－解：多项式y﹣x2y+25的包括y、﹣x2y、25三项，y的次数为1，﹣x2y的次数为3，25是常数项，故多项式y﹣x2y+25是三次三项式．故选C．点评：－此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．5．一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第10个式子是（）A．a10+b19B．a10﹣b19C．a10﹣b17D．a10﹣b21考点：－多项式．专题：－规律型．分析：－把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．解答：－解：多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，a n，第二项依次是b，﹣b3，b5，﹣b7，…，（﹣1）n+1b2n﹣1，所以第10个式子即当n=10时，代入到得到a n+（﹣1）n+1b2n﹣1=a10﹣b19．故选B．点评：－本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．6．下列叙述中，错误的是（）A．﹣2y的系数是﹣2，次数是1 B．单项式ab2的系数是1，次数是2 C．2x﹣3是一次二项式D．3x2+xy﹣4是二次三项式考点：－多项式．分析：－根据单项式的系数和次数，多项式的项数和次数分别判断即可．解答：－解：A、系数为﹣2，y的指数为1，所以次数是1，所以正确；B、系数是1，但字母的指数和为3，所以次数为3，不正确；C、是一次二项式；D、最高次为2次，且有三项，所以是二次三项式；故选：B．点评：－本题主要考查单项式和多项式的有关概念，掌握单项式的系数和次数、多项式的项数和次数是解题的关键．7．多项式x+xy2+1的次数是（）A．0 B．1 C．2 D． 3考点：－多项式．分析：－根据多项式次数的定义确定即可，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．解答：－解：多项式x+xy2+1的次数是1+2=3．故选D．点评：－考查了多项式次数的定义，其中在确定单项式次数时，注意是所有字母的指数和，数字的指数不能加上．8．下列说法中正确的个数是（）（1）a和0都是单项式；（2）多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab+1的次数是3；（3）单项式的系数为﹣2；（4）x2+2xy﹣y2可读作x2，2xy，﹣y2的和．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：－多项式；单项式．专题：－应用题．分析：－根据单项式、多项式的次数、单项式的系数、多项式的定义分别对4种说法进行判断，从而得到正确结果．解答：－解：（1）根据单项式的定义，可知a和0都是单项式，故说法正确；（2）根据多项式的次数的定义，可知多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab+1的次数是4，故说法错误；（3）根据单项式的系数的定义，可知单项式的系数为﹣，故说法错误；（4）根据多项式的定义，可知x2+2xy﹣y2可读作x2，2xy，﹣y2的和，故说法正确．故说法正确的共有2个．故选：B．点评：－本题考查了单项式、单项式的系数，多项式、多项式的次数的定义．属于基础题型，比较简单．用到的知识点有：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数．几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．9．若m，n为自然数，则多项式x m﹣y n﹣4m+n的次数应当是（）A．m B．n C．m+n D．m，n中较大的数考点：－多项式．分析：－由于多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，因为m，n均为自然数，而4m+n是常数项，所以多项式的次数应该是x，y的次数，由此可以确定选择项．解答：－解：∵多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，而4m+n是常数项，∴多项式x m﹣y n﹣4m+n的次数应该是x，y中指数大的，∴D是正确的．故选D．点评：－此题考查的是对多项式有关定义的理解．二．填空题（共7小题）10．多项式xy2﹣9xy+5x2y﹣25的二次项系数是﹣9．考点：－多项式．分析：－先找出多项式的二次项，再找出二次项系数即可．解答：－解：多项式xy2﹣9xy+5x2y﹣25的二次项﹣9xy，系数是﹣9．点评：－多项式是由单项式组成的，本题首先要确定是由几个单项式组成，要记住常数项也是一项，单项式前面的符号不能漏掉．11．下列各式中，单项式有①②③④⑦；多项式有⑥⑧⑨．①，②﹣m，③，④﹣2，⑤，⑥，⑦2x2y2，⑧2（a2﹣b2），⑨x3y3﹣y2，⑩．考点：－多项式；单项式．分析：－解决本题关键是搞清单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断．解答：－解：在①，②﹣m，③，④﹣2，⑤，⑥，⑦2x2y2，⑧2（a2﹣b2），⑨x3y3﹣y2，⑩中，单项式有①②③④⑦；多项式有⑥⑧⑨．故答案为：①②③④⑦；⑥⑧⑨．点评：－主要考查了整式的有关概念．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．12．多项式x2y﹣5x2﹣2x2y2+3x2y2是四次三项式，次数最高的项是x2y2．考点：－多项式．分析：－根据多项式的项与次数，可得答案．解答：－解：x2y﹣5x2﹣2x2y2+3x2y2=x2y﹣5x2+x2y2，是四次三项式，最高次项是x2y2，故答案为：四，三，x2y2．点评：－本题考查了多项式，利用了多项式的项与次数，先合并再判断．13．如果（m﹣1）x4﹣x n+x﹣1是二次三项式，则m=1，n=2．考点：－多项式．分析：－根据多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m﹣1=0，n=2，再解即可．解答：－解：由题意得：m﹣1=0，n=2，解得：m=1，n=2，故答案为：1；2．点评：－此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式的项数和次数定义．14．若多项式3x m y2+（m+2）x2y﹣1是四次三项式，则m的值为2．考点：－多项式．分析：－根据四次三项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是3，所以可确定m 的值．解答：－解：∵多项式3x m y2+（m+2）x2y﹣1是四次三项式，∴m+2=4，∴m=2．故答案为：2．点评：－本题考查了与多项式有关的概念，解题的关键理解四次三项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．15．当k=时，多项式x2﹣3kxy﹣3y2+xy﹣8是不含xy的二次多项式，这时单项式的系数为0．考点：－多项式；单项式．分析：－利用多项式的定义得出﹣3k+=0，进而得出答案．解答：－解：∵多项式x2﹣3kxy﹣3y2+xy﹣8是不含xy的二次单项式，∴﹣3kxy+xy=0，则﹣3k+=0，解得：k=，故这时单项式的系数为：0．故答案为：，0．点评：－此题主要考查了多项式的定义，得出﹣3k+=0是解题关键．16．把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．考点：－多项式．分析：－按照x的次数从大到小排列即可．解答：－解：按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．点评：－主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题（共7小题）17．已知关于x、y的多项式mx2+2xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣3y合并后不含有二次项，求n m的值．考点：－多项式．分析：－由于多项式mx2+2xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣3y合并后不含有二次项，即二次项系数为0，在合并同类项时，可以得到二次项为0，由此得到故m、n的方程，即m﹣3=0，2n+2=0，解方程即可求出m，n，然后把m、n的值代入n m，即可求出代数式的值．解答：－解：∵多项式mx2+2xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣3y合并后不含有二次项，即二次项系数为0，即m﹣3=0，∴m=3；∴2n+2=0，∴n=﹣1，把m、n的值代入n m中，得原式=﹣1．点评：－考查了多项式，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值．18．如果多项式4x4+4x2﹣与3x n+2+5x的次数相同，求代数式3n﹣4的值．考点：－多项式．分析：－由单项式的次数为所有字母的指数和，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数得出4+2=n+1，求出n的值，再代入计算即可．解答：－解：∵多项式4x4+4x2﹣与3x n+2+5x的次数相同，∴4+2=n+1，∴n=5．则3n﹣4=3×5﹣4=11，即3n﹣4=11．点评：－本题考查了单项式与多项式的次数的定义，牢记定义是解题的关键．19．化简关于x、y的多项式4xy+ax2+axy+9y﹣a﹣2bx2，发现不含二次项．（1）求常数a、b的值；（2）当y=﹣2时，求多项式的值．考点：－多项式．分析：－（1）直接利用多项式的定义进而求出即可；（2）利用（1）中所求，进而求出y=﹣2时得出值．解答：－解：（1）∵关于x、y的多项式4xy+ax2+axy+9y﹣a﹣2bx2，发现不含二次项，∴a=﹣4，a﹣2b=0，故b=﹣2；（2）故4xy+ax2+axy+9y﹣a﹣2bx2=9y+，当y=﹣2时，原式=9y+=﹣18+=﹣．点评：－此题主要考查了多项式的定义，正确把握定义是解题关键．20．关于x的多项式（a﹣4）x3﹣x b+x﹣b的次数是2，求当x=﹣2时，这个多项式的值．考点：－多项式；代数式求值．分析：－根据已知二次多项式得出a﹣4=0，b=2，求出a=4，b=2，代入二次多项式，最后把x=﹣2代入求出即可．解答：－解：∵关于x的多项式（a﹣4）x3﹣x b+x﹣b的次数是2，∴a﹣4=0，b=2，∴a=4，b=2，即多项式为：﹣x2+x﹣2，当x=﹣2时，﹣x2+x﹣2=﹣（﹣2）2﹣2﹣2=﹣8点评：－本题考查了求代数式的值的应用，关键是求出二次多项式．21．若关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关，求a+b的值．考点：－多项式．分析：－根据题意得出a﹣5=0，﹣2+b=0进而求出即可．解答：－解：∵关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关，∴a﹣5=0，﹣2+b=0解得：a=5，b=2，则a+b=7．点评：－此题主要考查了多项式，正确把握多项式的系数定义是解题关键．22．当m为何值时，（m+2）x y2﹣3xy3是关于x、y的五次二项式．考点：－多项式．分析：－根据多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．解答：－解：（m+2）x y2﹣3xy3是关于x、y的五次二项式，，解得m=2，m=﹣2（不符合题意的要舍去）．点评：－本题考查了多项式，利用了多项式的次数．23．若要使多项式mx3+3nxy2+2x﹣xy2+y不含三次项，求m+3n．考点：－多项式．分析：－根据多项式的定义进而得出m+3n﹣1=0，求出即可．解答：－解：∵多项式mx3+3nxy2+2x﹣xy2+y不含三次项，∴m+3n﹣1=0，∴m+3n=1．点评：－此题主要考查了多项式的定义，利用多项式不含三次项得出三次项系数和为0进而求出是解题关键．。
课时练+第七单元《用方程解决问题》
四、培优训练 曲妍养的金鱼数量是曲米的 2 倍,如果曲妍送给曲米 6 条,曲米和曲妍的金鱼数量就一样
多。曲米和曲妍各有多少条金鱼?
相遇问题
一、每日口算
7 3 12 4 5 3 6 15 1 24 3 6 17 7 21
6、解方程。 3.4 x －48=26.8
13 ( x +5) =169
42 x +25 x =134
5 x －0.8×2.5=5
7、王叔叔、李叔叔两人骑车分别从相距 60km 的两城同时出发，相向而行，经过 2 时两人相遇。王 叔叔每时行 14 km,李叔叔每时行多少千米？ (列方程解答)
练习六
6、某市北站和南站大约相距 9km。一列慢车从北站开出,平均每时行 95km,一列高铁从南站开出，平 均每时行 220km。两车同时开出,相背而行,多少时后两车相距 639 km? (列方程解答)
7、曲波和曲奇合作抄写一-篇美文.曲波每分写 80 个字,曲奇每分写 26 个字。抄完时，曲波抄写的字 数比这篇美文总字数的一半多 50 个字。两人抄写完这篇美文用了多少分？ (列方程解答)
B.100x-75x= 1200
C.1200- 100x= 950-75x
D. 1200-75x = 950 一 100x
三、解方程。
x +6 x =147 x ÷5=4.5
9 m - 6 m =72 5 m -0.8×2.5=5
3 y +5 y =328 1x1x 2 23 3
四、看图列方程解答问题。 1、植物邮票和动物邮票各有多少张？
2021年高中数学课时跟踪训练十二抛物线的标准方程苏教版选修
2021年高中数学课时跟踪训练十二抛物线的标准方程苏教版选修1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是________．2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上的点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为________．3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 4．抛物线x 2＝－ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值是________． 5．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．6．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5.7．设抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．8．一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2 m 时，水宽4 m ，若水面下降1 m ，求水的宽度．答 案课时跟踪训练(十二)1．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p 2＝2，所以焦点坐标为(0,2)．答案：(0,2)2．解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在x 轴上，且过p (－3，m )，可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由抛物线的定义可知，3＋p 2＝5.∴p ＝4. ∴抛物线方程为y 2＝－8x .答案：y 2＝－8x3．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，由p 2＝2，得p ＝4. 答案：44．解析：由条件知，a ＞0，且a 4＝2，∴a ＝8. 答案：8 5．解析：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，则c ＝1，c a ＝2，∴a ＝12， 即m ＝a 2＝14，n ＝c 2－a 2＝34，∴mn ＝14×34＝316. 答案：3166．解：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，且－p 2＝－3，∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义，得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .7．解：当m ＞0时，由2p ＝m ，得p 2＝m 4，这时抛物线的准线方程是x ＝－m4. ∵抛物线的准线与直线x ＝1的距离为3，∴1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝3，解得m ＝8，这时抛物线的方程是y 2＝8x .当m ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－m4－1＝3，解得m ＝－16.这时抛物线的方程是y 2＝－16x .综上，所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .8．解：如图建立直角坐标系．设抛物线的方程为x 2＝－2py ，∵水面离拱顶2 m 时，水面宽4 m ，∴点(2，－2)在抛物线上，∴4＝4p ，∴p ＝1.∴x 2＝－2y ，∵水面下降1 m ，即y ＝－3，而y ＝－3时，x ＝±6，∴水面宽为2 6 m.即若水面下降1 m ，水面的宽度为2 6 m.。
2012年中考复习考点跟踪训练7 一元二次方程(含答案)
考点跟踪训练7 一元二次方程一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A. x＝0B. x＝1C. x＝0或x＝1D. x＝0或x＝－1 2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝93．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A() A．－1 B．0 C．1 D．25．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或8二、填空题6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________.8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．x2－y2－4＋(3 5x－5y－10)2＝0的解是__________________．9．(2011·黄石)解方程：||10．(2011·兰州)关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是__________．三、解答题11．(2011·南京)解方程：x2－4x＋1＝0.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4.14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解．15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．参考答案一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A. x＝0B. x＝1C. x＝0或x＝1D. x＝0或x＝－1答案 C解析x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，∴x1＝0，x2＝1.2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9答案 C解析x2－2x－5＝0，x2－2x＝5，x2－2x＋1＝5＋1，(x－1)2＝6.3．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根答案 A解析x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2，方程有两个不相等的实数根．4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A() A．－1 B．0 C．1 D．2答案 A解析当x＝－a时，得a2－ab＋a＝0，a(a－b＋1)＝0，又a≠0.所以a－b＋1＝0，a－b＝－1.5．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或8答案 D解析由题意，得b2－4ac＝0，(m－2)2－4(m＋1)＝0，m2－8m＝0，m＝0或m＝8. 二、填空题6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．答案x1＝0，x2＝2解析x2－2x＝0，x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2.7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________.答案a1＝2＋11，a2＝2－11解析a2－4a－7＝0，a2－4a＝7.a2－4a＋4＝11，(a－2)2＝11，a－2＝±11，∴a＝2±11. 8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．答案 1，－3解析 当x ＝2时，4＋2m －6＝0,2m ＝2，m ＝1，∴x 2＋x －6＝0.(x －2)(x ＋3)＝0，x 1＝2，x 2＝－3，另一根是－3.9．(2011·黄石)解方程：||x 2－y 2－4＋(3 5x －5y －10)2＝0的解是__________________．答案 ⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝2 5，y ＝4解析 ⎩⎨⎧ x 2－y 2－4＝0，3 5x －5y －10＝0，代入消去x ，得y 2－5y ＋4＝0，y 1＝1，y 2＝4， 相应地x 1＝5，x 2＝2 5.10．(2011·兰州)关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是__________．答案 x 1＝－4，x 2＝－1解析 依题意，有x ＋2＝－2或x ＋2＝1，∴x ＝－4或x ＝－1.三、解答题11．(2011·南京)解方程：x 2－4x ＋1＝0.解 解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12>0，x ＝4±122＝2±3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.解 (x －2)(x ＋1)＝0，解得x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4. 解 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，①x 2＋3y －3y 2＝4，② 由①得： x ＝2y .③将③代入②，化简整理，得：y 2＋3y －4＝0.解得：y ＝1或y ＝－3.将y ＝1或y ＝－3代入①，得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－3. ∴原方程的解有两个，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6，y 2＝－3. 14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解． 解 由|a －1|＋b ＋2＝0，得a ＝1，b ＝－2.由方程1x－2x ＝1得2x 2＋x －1＝0. 解之，得x 1＝－1，x 2＝12. 经检验，x 1＝－1，x 2＝12是原方程的解． ∴原方程的根为x 1＝－1，x 2＝12. 15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．解 由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121，解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.答：这两段铁丝的总长为420 cm.四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．解 (1)依题意，b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，－8k ＋4≥0，解得k ≤12. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－()x 1x 2－1，即2(k －1)＝－()k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 综合①、②可知k ＝－3.解法二：依题意可知x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.由(1)可知k ≤12. ∴2(k －1)<0，即x 1＋x 2<0，∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.。
《解方程(2)》素养教案
《解方程（2）》教学设计一、教学内容教材P68例2、例3。
二、教学目标1.运用知识迁移，结合直观图例，应用等式的性质，让学生自主探索和理解简易方程的解法。
2.经历自主探究的过程，进一步提高学生分析、迁移的能力。
3.帮助学生养成自觉检验的学习习惯。
三、重点难点重点：应用等式的性质理解和较熟练地掌握简易方程的解法。
难点：理解解方程的方法。
四、教学过程（一）复习导入师：前面我们学习了等式的性质，同学们还记得等式的性质2具体内容吗？【学情预设】学生能完整说出等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
师：大家记得很熟练，这节课我们继续来学习运用等式的性质解方程。
（板书课题：解方程（2））（二）探究新知1.教学教材P68例2。
课件出示教材P68例2。
（1）自主探究。
学生自主尝试探索解方程的方法，然后小组交流，指名汇报。
（2）借助直观图理解解方程的方法。
课件出示天平图。
师：怎样能既让天平保持平衡又可以看出x表示多少。
小组交流，集体汇报。
【学情预设】等式两边同时除以3。
师：你是根据什么来解答的？【学情预设】根据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
师：现在你能完整写出解方程的过程吗？【学情预设】学生能自己解出方程，但可能格式不规范。
师及时进行规范。
（3）检验。
师：你能检验一下我们的答案是否正确吗？【学情预设】有上节课运用等式的性质1解方程的经验，同学们都能正确写出检验过程。
2.教学教材P68例3。
（1）自学提示。
自学教材P68例3，思考例3运用到等式的性质几，和同学讨论解方程要注意什么。
（2）方法探究。
课件出示教材P68例3，让学生说一说解答的过程。
【学情预设】由于此题是“a－x”类型，有些学生在做题时可能会出现困难，不知道怎么做。
有些学生可能会在等号两边同时加上“x”，当方程变成“20＝9＋x”后，就不会继续做了。
师：根据等式的性质，只要等式的两边同时加或减相等的数或式子，左右两边仍然相等。
第8篇 第1节 跟踪训练40 直线与方程
第八篇平面解析几何第1节直线与方程质疑探究1：任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？提示：每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．质疑探究2：直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．由k＝tan θθ≠π2知(1)当θ∈[0，π2)时，k>0，θ越大，斜率就越大；(2)当θ∈[π2，π)时，k<0，θ越大，斜率也越大．2．直线方程的五种形式提示：直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．3．两条直线位置关系的判定4.两条直线的交点设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若方程组有唯一解，则l 1与l 2相交，此解就是l 1、l 2交点的坐标；(2)若方程组无解，则l 1与l 2无公共点，此时l 1∥l 2； (3)若方程组有无数组解，则l 1与l 2重合． 5．几种距离 (1)两点距离两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 (2)点线距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)线线距离两平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．若直线过点P (1－a,1＋a )，Q (3,2a )，且倾斜角为135°，则a 等于( ) A ．12 B ．－12 C ．14D ．－14解析：由题意知直线PQ 的斜率 k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －12＋a＝－1，解得a ＝－12.故选B. 答案：B2．点(1,1)到直线x ＋2y ＝5的距离为( ) A ．55 B ．855 C ．355D ．255解析：直线方程化为一般式x ＋2y －5＝0， 所以d ＝|1＋2×1－5|12＋22＝25＝255. 故选D. 3．若直线x －2y ＋4＝0与直线kx ＋y －2＝0垂直，则k 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12解析：由两直线垂直的充要条件， 得1×k ＋(－2)×1＝0，解得k ＝2. 故选A. 答案：A4．过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距之和等于0的直线方程为_____．解析：设直线在x 、y 轴上的截距为a ，b ，由已知a ＋b ＝0， ①当a ＝0时，b ＝0，此时直线过坐标原点O . 故k ＝－4－03－0＝－43，方程为y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②当a ≠0时，b ＝－a ，由截距式方程得直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y －a ＝0.由M 在直线上得3－(－4)－a ＝0，解得a ＝7. 此时直线方程为x －y －7＝0，故直线方程为4x ＋3y ＝0或x －y －7＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x －y －7＝0即时突破1 直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B ．(0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π解析：由x sin α－y ＋1＝0 得y ＝x sin α＋1.设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝sin α， ∵－1≤sin α≤1，∴－1≤tan θ≤1.又∵0≤θ＜π， ∴0≤θ≤π4或3π4≤θ<π，∴倾斜角θ的变化范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π， 故选D.即时突破2 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程．(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)法一 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6，解得k ＝－23或k ＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. 法二 由题知直线l 在x 轴、y 轴上的截距均不为0， 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则由题意得⎩⎨⎧12|ab |＝3，－3a ＋4b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6，4a －3b ＝ab① 或 ⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－6，4a －3b ＝ab .②解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝－4，②无解．所以直线方程为x 3＋y 2＝1或x －32＋y－4＝1，即2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ， 它在x 轴上的截距为－6b ， 由已知得|－6b ·b |＝6， ∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.即时突破3 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2时或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8. 即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.P261[课时跟踪训练(40)直线与方程]261页[2015年高三总复习]课时跟踪训练(40) 直线与方程一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于( ) A ．π3B ．2π3C ．π6D ．56π解析：斜率k ＝－1－33－(－3)＝－33，又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝56π.故选D. 答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0， x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D. 答案：D3．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0 解析：因所求直线与直线x －2y ＋3＝0垂直， 故可设为2x ＋y ＋m ＝0. 又因为所求直线过点(－1,3)， 所以有2×(－1)＋3＋m ＝0， 解得m ＝－1.故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.故选A. 答案：A4．(2014济南一模)已知直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2解析：由l 1∥l 2，得(a －1)×a －2×1＝0， 即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，l 1：－2x ＋2y ＋1＝0，即2x －2y －1＝0， l 2：x －y ＋3＝0，显然l 1∥l 2. 当a ＝2时，l 1：x ＋2y ＋1＝0， l 2：x ＋2y ＋3＝0，显然l 1∥l 2， 综上，a ＝－1或2.故选D. 答案：D5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．故选B.答案：B6．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( ) A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0解析：法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1，∵直线过点P (1,4)， ∴1a ＋4b ＝1， 即a ＝b b －4. ∵a >0，b >0， ∴bb －4>0， 即b >4.∴a ＋b ＝b ＋b b －4＝b ＋4b －4＋1＝(b －4)＋4b －4＋5≥9.(当且仅当a ＝3，b ＝6时，“＝”成立)， 故直线方程为2x ＋y －6＝0.故选B. 法二 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，∵直线过点P (1,4)，∴1a ＋4b＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )×(1a ＋4b )＝1＋4a b ＋b a ＋4＝5＋(4a b ＋b a )≥5＋24a b ×ba＝9. (当且仅当4a b ＝ba ，即b ＝2a ，也就是a ＝3，b ＝6时等号成立)∴截距之和最小时直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.故选B.答案：B 二、填空题7．已知直线l 经过点P (2014,1)，Q (2014，m 2)(m ∈R )，则直线l 的倾斜角的取值范围是________． 解析：直线l 的斜率k ＝m 2－12013－2014＝1－m 2.因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[π2，π).答案：[0，π4]∪[π2，π)8．过点(3,0)且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程为______． 解析：设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α， 则tan α＝12.∴所求直线的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.故直线方程为y －0＝43(x －3)，即4x －3y －12＝0. 答案：4x －3y －12＝09．已知A (3,0)，B (0,4)，点P (x ，y )在直线AB 上，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，即4x ＋3y －12＝0，而x 2＋y 2表示P 点与坐标原点O 的距离，故其最小值为点O 到直线AB 的距离d ＝|－12|42＋32＝125. 答案：12511 / 1110．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为____________． 解析：设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0，整理得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0. 由点到直线距离公式得|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，解得λ＝±3.∴所求直线为x ＝1或4x －3y ＋5＝0.答案：x ＝1或4x －3y ＋5＝0三、解答题11．已知A (1，－4)，B (3，－2)和直线l ：4x －3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使得|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离等于3.解：由|P A |＝|PB |知点P 在线段AB 的中垂线上，而k AB ＝－2－(－4)3－1＝1， AB 中点M 1＋32，－4－22，即M (2，－3)． 故AB 中垂线的斜率k ＝－1k AB＝－1， 其方程为y －(－3)＝－1×(x －2)，即y ＝－x －1.设P (a ，－a －1)，由已知P 到直线l 的距离为3， 故|4a －3(－a －1)－2|42＋(－3)2＝3，整理得|7a ＋1|＝15， 解得a ＝2或a ＝－167. 所以点P 的坐标为(2，－3)或－167，97. 12．(2014合肥月考)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．k 1＝k 2，即a b＝1－a . 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.。
考点跟踪训练6 一次方程与方程组
考点跟踪训练6 一次方程与方程组一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2011·凉山)下列方程组中是二元一次方程组的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，x ＋y ＝2B. ⎝ ⎛5x －2y ＝3，1x＋y ＝3 C.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝0，3x －y ＝15 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x 2＋y 3＝72．(2012·广东模拟)若x ＝1m是方程mx －3m ＋2＝0的根，则x －m 的值为( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．23．(2012·菏泽)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根 为( )A ．±2 B. 2C ．2 D. 44．(2012·临沂)关于x 、y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.则|m －n |的值是( ) A ．5 B ．3C ．2D ．15．(2010·台湾)解二元一次联立方程式⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋6y ＝3，6x －4y ＝5，得y ＝( ) A ．－112 B ．－217C ．－234D ．－1134二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2011·滨州)依据下列解方程0.3x ＋0.50.2＝2x －13的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．解：原方程可变形为3x ＋52＝2x －13， ( ) 去分母，得3(3x ＋5)＝2(2x －1). ( )去括号，得9x ＋15＝4x －2. ( )( )，得9x －4x ＝－15－2. ( )合并，得5x ＝－17. ( )( )，得x ＝－175. ( ) 7．(2012·张家界)已知(x －y ＋3)2＋2－y ＝0，则x ＋y ＝________．8．(2012·连云港)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝6的解为________． 9．(2011·湛江)若x ＝2是关于x 的方程2x ＋3m －1＝0的解，则m 的值为________．10．(2012·达州)若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3k －1，x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y >1，则k 的 取值范围是______________．三、解答题(每小题10分，共40分)11．(1)(2010·乐山)解方程：5(x －5)＋2x ＝－4.(2)(2012·常德)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，①2x －y ＝1.②12．(2012·普陀区二模)解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5xy ＋6y 2＝0，①x ＋y ＝2.②13．(2012·昆山一模)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－6，ax －by ＝－4与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝16，bx ＋ay ＝－8的解相同，求 (2a ＋b )2012的值．14．已知关于x的方程a(2x－1)＝3x－2无解，试求a的值．四、附加题(共20分)15．已知关于x、y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，求这个公共解．。
石家庄市第四中学七年级数学下册 第六章 二元一次方程组 6.2《二元一次方程组的解法》综合练习2 冀
二元一次方程组的解法跟踪反馈，挑战自我 一、选择题1、下列各方程是二元一次方程的是（ ）（A ）8x+3y=y （B ）2xy=3（C ）2239x y -=（D ）13x y =+2、如果单项式2222m n n m ab+-+与57a b 是同类项，那么mn 的值是（ ）（A ）－3（B ）－1（C ）13（D ）33、关于x 、y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k 的值是（ ）（A ）34k =-（B ）34k =（C ）43k =（D ）43k =-4、方程kx+3y=5有一组解21x y =⎧⎨=⎩，则k 的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）0（D ）25、如果4(1)6x y x m y +=⎧⎨--=⎩中的解x 、y 相同，则m 的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－26、方程组 的解为⎩⎨⎧==y x 2） （A ）1，2（B ）1，3（C ）2，3（D ）2，47、方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（ ）（A ）21x y =⎧⎨=⎩ （B ）12x y =-⎧⎨=-⎩ （C ）32x y =⎧⎨=⎩ （D ）12x y =⎧⎨=⎩ 8、方程组712x y xy +=⎧⎨=⎩的一个解是（ ）⎩⎨⎧=+=+32y x y x（A ）25x y =⎧⎨=⎩ （B ）62x y =⎧⎨=⎩ （C ）43x y =⎧⎨=⎩ （D ）34x y =-⎧⎨=-⎩二、填空题1、21x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程2x+by=－2的一个解，则b 的值等于 2、写出二元一次方程3x+y=9的所有正整数解是 3、已知2(234)370x y x y +-++-=，则x= _________，y=_________4、已知方程组11235mx ny mx ny ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解是32x y =⎧⎨=-⎩，则m= __________，n=____________ 5、若x+3y=3x+2y=7，则x=__________，y=__________6、若一个二元一次方程的一个解为⎩⎨⎧-==12y x ，则这个方程可以是：_____________（中要求写出一个）.7、如右图，正方形是由k 个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k=_________.8、已知31x y =⎧⎨=⎩和211x y =-⎧⎨=⎩都是ax+by=7的解，则a= ________，b=______________三、解答题1、用代入法解下列方程组（1）⎩⎨⎧=+=-74823x y y x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=-3593332y y x yx 2、用加减法解方程组（1）⎩⎨⎧-=-=t s t s 41835276 （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+743243y x yx3、已知方程组⎩⎨⎧=++=+ay x a y x 32253的解适合x+y=8，求a 的值.4、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧-=+=-33211231332by ax y x by ax y x 和的解相同，求A.b 的值.提升能力，超越自我1、解方程组 ⎩⎨⎧+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x2、 已知方程组⎩⎨⎧=+=-2,4by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==1,2y x ，求b a 32-的值.3、在公式Sn=na1+2)1(-n n d 中，已知S2=5，S4=14，求S6的值.4、甲、乙两人解同一个二元一次方程组，甲正确地得出解为x=3，y=-2，乙因把这个方程组的第二个方程x 的系数抄错了，得到一个错误的解为x= -2，y=2，他们解完后，原方程组的三个系数又被污染而看不清楚，变成下面的形式：278x y x y 请你把原方程组的三个被污染的系数找出来.5、小明的外婆送来满满一篮鸡蛋，这只篮子最多只能装55只左右的鸡蛋.小明3只一数，结果剩下1只，但忘了数多少次，只好重数，他5只一数剩2只，可又忘了数多少次.他准备再数时，妈妈笑着说：“不用数了，共有52只.”小明很惊讶，妈妈笑而未答，让他好好动脑筋想想.后来，他用方程知识解决了这个问题，你知道小明是怎样解决的吗？参考答案跟踪反馈，挑战自我 一、1、A ；2、C ；3、B ；4、A ；5、B6、A ；7、A ；8、C ； 二、1、6；2、12,63x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩； 3、-3，103； 4、1，2；5、1，2；6、13x y x y +=⎧⎨-=⎩； 7、8； 8、2，1；三、1、（1）⎩⎨⎧-==12y x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==47629y x 2、（1）⎩⎨⎧==32t s （2）⎩⎨⎧==43y x 3、解法一：⎩⎨⎧=++=+ay x a y x 32253①×2，得6x+10y=2a+4 ③，②×3，得6x+9y=3a ④，③－④，得y=4－a ，把y=4－a 代入②，得：2x+3（4－a ）=a ，解得x=2a －6，所以⎩⎨⎧-=-=ay a x 462代入x+y=8，得（2a+6）+（4－a ）=8，解得a=10解法二：⎩⎨⎧=++=+ay x a y x 32253 ，把②代入①，得3x+5y=2x+3y+2，整理，得x+2y=2 ③，把方程③与x+y=8组成方程组，⎩⎨⎧=+=+822y x y x③－④，得y=－6，把y=－6代入④，得x=14，所以⎩⎨⎧-==614y x① ②① ②③ ④把⎩⎨⎧-==614y x 代入②中，a =2×14+3×（－6）=10，所以a=10 4、解：求得方程组⎩⎨⎧=+=-1123332y x y x 解为⎩⎨⎧==,13y x 将其代入ax+by=－1，2ax+3by=3，可得⎩⎨⎧=+-=+33613b a b a由①得，b=－3a －1 ③，把③代入②，得6a+3（－3a －1）=3，解得a=－2 把a=－2代入④，得b=5所以a=－2，b=5提升能力，超越自我1、原方程组的解为⎩⎨⎧==75y x2、6；3、S6=274、解：要求三个被污染的系数，首先可以把原方程组设为278ax by cx y 接着再考虑怎么求a ，b ，c 的值.把甲的解x=3，y=-2代入方程组，得3223148a b c ，求出c=-2乙得到的虽然不是原方程组的解，却是第一个方程的解，把x= -2，y=2代入第一个方程，得-2a+2b=2，这样就得到一个关于a ，b 的方程组322222a b a b ，解得45a b 所以原方程组被污染的三个系数分别是：a=4，b=5，c=-2.5、设这只篮子装了m 只鸡蛋，每3只一数，数了x 次剩1，每5只一数，数了y 次剩2，则有⎩⎨⎧=+=+my mx 2513，消去m 得，3x+1=5y+2，即y=513-x ，∵x 、y 都是正整数，3x+1是55左右的数，∴3x －1必是53左右的数，且能被5整除，当3x －1=55时，x=1832，不合题意，当3x －1=50时，x=17，m=3x+1=52符合题意.① ②∴这一篮鸡蛋共有52只.二元一次方程组的解法（3）重点难点重点：熟练应用加减法消元法解二元一次方程组．难点：用减法消元时，当减去一个负系数时，总以为这个负系数为“-”就是减号．疑点：如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．解决办法：只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元．教学过程设计（一）师生互动活动设计1．教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗？从而导入新课即加减法解二元一次方程组．2．通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性．3．通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论．（二）整体感知加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元．故在教学中应教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题．（三）教学过程1．创设情境，复习导入（先引入课本P11页两思路问题）（1）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？（2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确．例4：5316(1)2 232(2)2 x y xx y y+=⎛=⎫⎧⎧⎨⎨ ⎪-=-=⎩⎩⎝⎭学生活动：口答第（1）题，在练习本上完成第（2）题，一个同学说出结果．上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解．对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容．【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题．2．一起探究（1）上面第（2）题的两个方程中，未知数y 的系数有什么特点？（互为相反数）．（2）能否根据这一特点来尽快实现消元，得到一个一元一次方程呢？试着解这个方程组并与同学交流．学生思考、讨论，按自己的想法来解．找学生说出自己的做法．一位同学的做法：根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉y ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．解：①＋②，得417=x x=2把2=x 代入①，得10316y +=∴2y =∴22x y =⎧⎨=⎩3．做一做，谈一谈 比较用这种方法得到的x 、y 值是否与用代入法得到的相同．（相同）上面方程组的两个方程中，因为y 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了y ．练习：解方程组3x 2y 73x y 5+=⎧⎨+=⎩分析：哪个未知数的系数有特点？（x 的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去x ？（相减）学生活动：仿照上题消元的思路独自求解此题． 解：①－②，得y=2 把2y =代入②，得3x+2=5∴3x=3∴x=1∴12 xy=⎧⎨=⎩谈一谈：（1）检验一下，所得结果是否正确？（2）用②－①可以消掉x吗？（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）（3）把y=2代入①，x的值是多少？（1），是代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等．【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性．例5：解方程组5x6y7(1) 234(2) x y+=⎧⎨+=⎩（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（②×2）归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边都乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元．学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示．解：②×2，得 4x+6y=8①-③，得 x=-1把x=-1代入②，得 -2+3y=4，即 y=2所以，方程组的解是12xy=-⎧⎨=⎩．谈一谈：（1）在例5的解法中，②×2的目的是什么？①-③的目的是什么？（2）在例5的方程组中，进行怎样的变形可以由两个方程的加（或减）消去未知数x？我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解．像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法（elimination by addition or subtraction），简称“加减法”．学生活动：总结用加减法解二元一次方程组的步骤．①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．②加减消元．③解一元一次方程．④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．4．尝试反馈，巩固知识P13 练习．【教法说明】通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力．5．变式训练，培养能力（1）选择：二元一次方程组324526x yx y-=⎧⎨-=⎩的解是（）A．11xy=⎧⎨=-⎩ B．112xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩C．112xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩D．112xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩（2）已知()222350x y x y+-+-+=，求x、y的值．学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成．【教法说明】第（1）题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性；第（2）题通过分析，学生可得方程组202350x yx y+-=⎧⎨-+=⎩从而求得x、y的值．此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力．6．总结、扩展1．用加减法解二元一次方程组的思想：2．用加减法解二元一次方程组的步骤：() () () () 1 2 3 4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩7．布置作业P13 A.B8．板书设计有理数加法的运算律及运用教学目标:1.能运用加法运算律简化加法运算.2.理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练.教学重点:如何运用加法运算律简化运算.教学难点:灵活运用加法运算律.教与学互动设计:(一)情境创设，导入新课思考:在小学里，我们学过的加法运算有哪些运算律？它们的内容是什么？能否举一两个例子来？那这些加法运算律还适用于有理数范围吗？今天，我们一起来探究这个问题. (二)合作交流，解读探究计算:20+(-30)与(-30)+20两次得到的和相同吗？得出结论:20+(-30)=(-30)+20换几组数去试:得到加法交换律:a+b= (学生填).其实，学生在小学中就已经接触到运算律，此时，可以让学生回忆在小学中除了学习了加法的交换律，还学习了加法的哪种运算律？(结合律)计算:(1)[8+(-5)]+(-4);(2)8+[(-5)+(-4)].得出结论:加法结合律:(a+b)+c= .【例1】计算:16+(-25)+24+(-35)【例2】课本P20例3说明:把互为相反数的一对数结合起来相加，可以使运算简化，这种方法是使用加法交换律和加法结合律.总结:在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算:①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加;②有相反数可以互相消去，和为0，可以先行相加;③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加.(三)应用迁移，巩固提高【例3】利用有理数的加法运算律计算，使运算简便.(1)(+9)+(-7)+(+10)+(-3)+(-9)(2)(+0.36)+(-7.4)+(+0.03)+(-0.6)+(+0.64)(3)(+1)+(-2)+(+3)+(-4)+…+(+2003)+(-2004)【例4】某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下:(单位:千米)+15，+14，-3，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18.(1)他将最后一名乘客送到目的地，该司机与下午出发点的距离是多少千米？(2)若汽车耗油量为a公升/千米，这天下午汽车共耗油多少公升？(四)总结反思，拓展升华本节课我们探索了有理数的加法交换律和结合律.灵活运用加法的运算律会使运算简便.一般情况下，我们将互为相反数的数相结合，同分母的分数相结合，能凑整数的数相结合，正数负数分别相加，从而使计算简便.(五)课堂跟踪反馈夯实基础1.运用加法的运算律计算(+6)+(-18)+(+4)+(-6.8)+18+(-3.2)最适当的是( )A.[(+6)+(+4)+18]+[(-18)+(-6.8)+(-3.2)]B.[(+6)+(-6.8)+(+4)]+[(-18)+18+(-3.2)]C.[(+6)+(-18)]+[(+4)+(-6.8)]+[18+(-3.2)]D.[(+6)+(+4)]+[(-3.2)+(-6.8)]+[(-18)+18)]2.计算:(-2)+4+(-6)+8+…+(-98)+100.提升能力3.小李到银行共办理了四笔业务，第一笔存入了120元，第二笔支取了85元，第三笔支取了70元，第四笔存入了130元.如果将这四笔业务合并为一笔，请你替他策划一下这一笔业务该怎样做？4.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负.某天自A地出发到收工时所走路线(单位:千米)为:+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5.(1)问收工时距A地多远？(2)若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工共耗油多少升？学生普遍能直观地看出4℃比-3℃高7℃，进一步地假定某地一天的气温是-3~4℃，那么温差(最高气温减最低气温，单位℃)如何用算式表示？按照刚才观察到的结果，可知4-(-3)=7 ①，而4+(+3)=7 ②，∴由①②可知:4-(-3)=4+(+3) ③，上述结论的获得应放手让学生回答.(二)动手实践，发现新知观察、探究、讨论:从③式能看出减-3相当于加哪个数吗？结论:减去-3等于加上-3的相反数+3.(三)类比探究，总结提高如果将4换成-1，还有类似于上述的结论吗？先让学生直观观察，然后教师再利用“减法是与加法相反的运算”引导学生换一个角度去验算.计算(-1)-(-3)就是要求一个数x，使x与-3相加得-1，因为2与-3相加得-1，所以x应是2，即(-1)-(-3)=2 ①，又因为(-1)+(+3)=2 ②，由①②有(-1)-(-3)=-1+(+3) ③，即上述结论依然成立.试一试:如果把4换成0、-5，用上面的方法考虑0-(-3)，(-5)-(-3)，这些数减-3的结果与它加上+3的结果相同吗？让学生利用“减法是加法的相反运算”得出结果，再与加法算式的结果进行比较，从而得出这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同的结论.再试:把减数-3换成正数，结果又如何呢？计算9-8与9+(-8);15-7与15+(-7)从中又能有新发现吗？让学生通过计算总结如下结论:减去一个正数等于加上这个正数的相反数.归纳:由上述实验可发现，有理数的减法可以转化为加法来进行.减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数.用字母表示:a-b=a+(-b).(在上述实验中，逐步渗透了一种重要的数学思想方法——转化)(四)例题分析，运用法则【例】计算:(1)(-3)-(-5); (2)0-7;(3)7.2-(-4.8); (4)-3-5.(五)总结巩固，初步应用总结这节课我们学习了哪些数学知识和数学思想？你能说一说吗？教师引导学生回忆本节课所学内容，学生回忆交流，教师和学生一起补充完善，使学生更加明晰所学的知识.。
七年级数学上册5.6应用一元一次方程—追赶小明知能演练提升(新版)北师大版
6 应用一元一次方程——追赶小明知能演练提升一、能力提升1.甲、乙两同学从学校去县城,甲每时走4 km,乙每时走6 km,甲先出发1 h,结果乙还比甲早到1h.若设学校与县城间的距离为s km,则以下方程正确的是().A.s4+1=s6-1 B.s4=s6-1C.s4-1=s6+1 D.4s-1=6s+12.甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行,2 h后相遇,若甲比乙每时多骑2.5 km,则乙每时骑().A.12.5 kmB.15 kmC.17.5 kmD.20 km3.在某公路的干线上有相距108 km的A,B两个车站,某日16时整,甲、乙两辆汽车分别从A,B两站同时出发,相向而行,已知甲车速度为45 km/h,乙车速度为36 km/h,两车相遇的时间为().A.16点20分B.17点20分C.17点30分D.16点50分4.在一段双轨铁道上,两列火车同向驶过,A列车车速为30 m/s,B列车车速为40 m/s,若A列车全长为180 m,B列车全长为160 m,则两列车错车时间为.5.(2017·北京石景山区一模)列方程解应用题:我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之.”译文:良马平均每天能跑240里,驽马平均每天能跑150里.现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它,问良马多少天能够追上驽马?(注:1 km=2里)6.如图,已知箭头的方向是水流的方向,一艘游艇从江心岛的右侧A点逆流航行3 h到达B点后,又继续顺流航行214h到达C点,总共行驶了198 km,已知游艇的速度是38 km/h.(1)求水流的速度.(2)由于AC段在建桥,游艇用同样的速度沿原路返回共需要多少时间?二、创新应用7.某住宅小区门口有一条大道,沿路向东是图书馆,向西是某中学,该中学2名学生在小区内参加义务劳动后来到小区门口,准备去图书馆,他们商议两种方案:方案一:直接从小区步行去图书馆.方案二:步行回校取自行车,然后骑自行车去图书馆.已知步行速度为5 km/h,骑自行车速度是步行速度的4倍,从学校到小区有3 km的路程,通过计算发现两种方案所用时间相同,请你根据上述条件提出问题并解答.知能演练·提升一、能力提升1.C2.B3.B4.34 s5.解设良马x天能够追上驽马.根据题意得240x=150×(12+x),解得x=20.答:良马20天能够追上驽马.6.解 (1)设水流的速度为x km/h,则游艇的顺流航行速度为(38+x)km/h,逆流航行速度为(38-x)km/h.根据题意,得3(38-x)+94(38+x)=198.解得x=2.答:水流的速度为2 km/h.(2)由(1)可知,游艇顺流航行速度为40 km/h,逆流航行速度为36 km/h.所以AB段的路程为3×36=108(km),BC段的路程为94×40=90(km).故沿原路返回时间为9036+10840=2.5+2.7=5.2(h).答:游艇用同样的速度沿原路返回共需要5.2 h.二、创新应用7.解提出问题:问住宅小区距离图书馆多远?设住宅小区距离图书馆x km,根据题意,得s 5=35+3+s4×5.解得x=5.答:住宅小区距离图书馆5 km.(答案不唯一)。
七年级数学下册7.2二元一次方程组的解法同步跟踪训练2华东师大版(new)
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2二元一次方程组的解法一．选择题（共8小题）1．方程组的解是（）A．B．C．D．2．方程组的解是（）A．B．C．D．3．若x=1，y=2满足方程（ax+by﹣12）2+|ay﹣bx+1｜=0,则a，b的值为（）A．a=3，b=4 B．a=﹣4，b=﹣3 C．a=2,b=5 D．a=﹣5，b=﹣24．解方程组时你认为最简单的方法是（)A．用代入法先消去x或y B．用①×15﹣②×23,先消去xC．用①×6﹣②×4，先消去y D．用①×3+②×2，先消去y5．若4a﹣3b=7，3a+2b=19，则14a﹣2b是（）A．48 B．52 C．58 D．606．已知两数x,y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是（） A．B．C．D．7．如果ma m b3﹣n与nab m是同类项，那么（m﹣n）2001的值是( ）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣320018．已知，则x y的值为（）A．16 B．9 C 8 D．6二．填空题（共6小题）9．二元一次方程组的解为_________ ．10．若｜x﹣8y+2｜+(2y﹣x+1）2=0,则（﹣x+5y)3的值是_________ ．11．若（3x﹣2y+4）2与|4x﹣y﹣3｜互为相反数，则x= _________ ,y= _________ ．12．x与y互为相反数,且x﹣y=3,那么x2+2xy+1的值为_________ ．13．方程组有正整数解，则正整数a= _________ ．14．若二元一次方程组的解中，x与y的值相等，那么m+n的值等于_________ ．三．解答题(共10小题）15．解方程组．16．解方程(组)：（1）．（2）．17．解方程组：（1）;(2）．18．解方程组:．19．解方程组：．20．解方程组．21．解方程组．22．解方程组：．23．解方程组：．24．解下列方程组：．7。
考点跟踪训练45方程型综合问题
考点跟踪训练45 方程型综合问题一、选择题1．已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片．若将此10包饼干平分给23名学生，则最少剩多少片？( )A. 0B. 3C. 7 D ．10 答案 C解析 设这包饼干有y 片，则y >23x ＋3(x 是大于0的整数)，而10y ＝230x ＋30，因而10y23＝10x ＋3023＝10x ＋1＋723，考虑余数723，故最少剩7片．2．一元二次方程x 2＋x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的正根B ．有两个不相等的负根C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根 答案 C解析 由x 2＋x ＋2＝0，得x 2＋x ＋14＝－74，所以⎝⎛⎭⎫x ＋122＝－74，方程没有实数根．3．(2010·攀枝花)下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋1＝0B ．9x 2－6x ＋1＝0 C ．x 2－x ＋2＝0 D ．x 2－2x －1＝0 答案 D解析 x 2－2x －1＝0，x 2－2x ＋1＝2，(x －1)2＝2，x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. 4．(2010·莆田)在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )A ．x (x －1)＝10 B.x (x －1)2＝10C ．x (x ＋1)＝10 D.x (x ＋1)2＝10答案 B解析 设有x 人参加聚会，则每个人需握手(x －1)次，所以x (x －1)2＝10.5．设a 、b 是方程x 2＋x －2009＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为( ) A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 答案 C解析 根据题意，有a 2＋a －2009＝0，a 2＋a ＝2009；又a ＋b ＝－1，所以a 2＋2a ＋b ＝2008.二、填空题6．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润______元．答案 60解析 450×0.8－450÷(1＋50%)＝360－300＝60. 7．(2009·牡丹江)五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了________折优惠．答案 九解析 设贵宾卡又享受x 折优惠，则有10000×0.8×⎝⎛⎭⎫x 10＝10000－2800,800x ＝7200，x ＝9.8．(2011·铜仁)当k ________时，关于x 的一元二次方程x 2＋6kx ＋3k 3＋6＝0有两个相等的实数根．答案 ±1解析 当(6k )2－4×1×(3k 2＋6)＝0时，方程有两个相等的实数根，解这个方程，得k ＝±1.9．(2011·苏州)已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式()a －b ()a ＋b －2＋ab 的值等于________．答案 －1解析 由根与系数的关系得a ＋b ＝2，ab ＝－1，所以(a －b )(a ＋b －2)＋ab ＝(a －b )×0＋(－1)＝－1.10．(2009·江苏)某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程__________．答案 7800(1＋x )2＝9100 三、解答题11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3.过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E .(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式； (2)将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF ＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，得C (3,0)，D (2,2)， ∵∠ADE ＝90°－∠CDB ＝∠BCD ， 又∠AOD ＝∠COD ＝∠ADO ， ∴AD ＝AO ＝BC ＝2. 又∠DAE ＝∠B ＝90°， ∴△ADE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ＝1，∴OE ＝1， ∴E (0,1)．设过点E 、D 、C 的抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．将点E 的坐标代入，得c ＝1.将c ＝1和点D 、C 的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋1＝2，9a ＋3b ＋1＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－56，b ＝136.故抛物线的解析式为y ＝－56x 2＋136x ＋1.(2)EF ＝2GO 成立，证明如下：∵点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65，∴点M 的纵坐标为125.设DM 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)，将点D 、M 的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b 1＝2，65k ＋b 1＝125.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b 1＝3. ∴DM 的解析式为y ＝－12x ＋3.∴F (0,3)，EF ＝2.如图①，过点D 作DK ⊥OC 于点K ，则DA ＝DK .∵∠ADK ＝∠FDG ＝90°，∴∠FDA ＝∠GDK . 又∵∠FAD ＝∠GKD ＝90°，∴△DAF ≌△DKG . ∴KG ＝AF ＝1.∴GO ＝1.∴EF ＝2GO .(3)∵点P 在AB 上，G (1,0)，C (3,0)，设P (t,2)． ∴PG 2＝(t －1)2＋22，PC 2＝(3－t )2＋22，GC ＝2.①若PG ＝PC ，则(t －1)2＋22＝(3－t )2＋22， 解得t ＝2.∴P (2,2)，此时点Q 与点P 重合，∴Q (2,2)． ②若PG ＝GC ，则(t －1)2＋22＝22，解得t ＝1，∴P (1,2)，此时GP ⊥x 轴．GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73.∴Q ⎝⎛⎭⎫1，73. ③若PC ＝GC ，则(3－t )2＋22＝22， 解得t ＝3，∴P (3,2)，此时PC ＝GC ＝2，△PCG 是等腰直角三角形．如图②，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则QH ＝GH ，设QH ＝h ， ∴Q (h ＋1，h )．∴－56(h ＋1)2＋136(h ＋1)＋1＝h .解得h 1＝75，h 2＝－2(舍去)．∴Q ⎝⎛⎭⎫125，75.综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即Q 1(2,2)或Q 2⎝⎛⎭⎫1，73或Q 3⎝⎛⎭⎫125，75. 12．已知，如图抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a >0)与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为(1,0)，OC ＝3OB .(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 的面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)∵对称轴x ＝－3a 2a ＝－32，又∵OC ＝3OB ＝3，a >0，∴C (0，－3)． 把B (1,0)、C (0，－3)代入y ＝ax 2＋3ax ＋c 得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－3，a ＋3a ＋c ＝0，解得a ＝34，c ＝－3.∴y ＝34x 2＋94x －3(2)过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N .∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝152＋12·DM ·(AN ＋ON )＝152＋2DM .∵A (－4,0)，C (0，－3)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入求得：y ＝－34x －3，令D ⎝⎛⎭⎫x ，34x 2＋94x －3，M ⎝⎛⎭⎫x ，－34x －3， 则DM ＝－34x －3－⎝⎛⎭⎫34x 2＋94x －3 ＝－34(x ＋2)2＋3.当x ＝－2时，DM 有最大值3，此时四边形ABCD 面积有最大值272.(3)如图①所示，讨论：①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1，此时四边形ACP 1E 1为平行四边形，∵C (0，－3)，令34x 2＋94x －3＝－3得x 1＝0，x 2＝－3，∴CP 1＝3.∴P 1(－3，－3)．②如图②，平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴可令P (x,3)，由34x 2＋94x －3＝3得：x 2＋3x －8＝0，解得x 1＝－3＋412或x 2＝－3－412，此时存在点P 2⎝⎛⎭⎫－3＋412，3和P 3⎝⎛⎭⎫－3－412，3.综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2⎝⎛⎭⎫－3＋412，3，P 3⎝⎛⎭⎫－3－412，3.13．(2011·北京)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m >0)的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C .(1)求点A 的坐标； (2)当∠ABC ＝45°时，求m 的值；(3)已知一次函数y ＝kx ＋b ，点P (n,0)是x 轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数的图象于N .若只有当－2<n <2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．解 (1)∵ 点A 、B 是二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3 (m >0)的图象与x 轴的交点，∴ 令y ＝0，即mx 2＋(m －3)x －3＝0，解得x 1＝－1, x 2＝3m.又∵ 点A 在点B 左侧且m >0，∴ 点A 的坐标为(－1,0)．(2)由(1)可知点B 的坐标为(3m，0)．∵ 二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴ 点C 的坐标为(0，－3)．∵∠ABC ＝45°，∴3m＝3，∴m ＝1.(3)由(2)得，二次函数解析式为y ＝x 2－2x －3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2,5)和(2，－3)．将交点坐标分别代入一次函数解析式y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －2k ＋b ＝5，2k ＋b ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1. ∴ 一次函数的解析式为y ＝－2x ＋1.。
一元二次方程应用《每每型问题》专题训练
一元二次方程应用《每每型问题》专题复习“每每型”问题的特点就是每下降，就会增加，或每增加，就会减少，解题的关键就是找到单价与销售量的变化规律，再根据“销售利润=每件利润×销售量”列一元二次方程，求解。
那么，同学们想一想，列方程解应用题的一般步骤有哪些呢？［题型1］销量随价格变『例1』都司佳美商场售出一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定适当降价，经市场调查，这批衬衫每降价l元，商场每天可多售出2件，若商场平均计划每天盈利1 200元，每件衬衫降价多少元？『例2』某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件售价每涨1元，那么每星期少卖10件．那么如何定价才能使每星期的利润为1560元。
［题型2］价格随销量变『例1』某超市的某种商品现在的售价为每件50元，每周可以卖出500件．现市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件．已知该种商品的进价为每件40元，问如何定价才能使利润为9000元？（才能使利润最大？最大利润是多少？）【跟踪练习】1.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树?2. 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元,为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？3.（2007•呼伦贝尔）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？4. 水泥代销点销售水泥，每吨进价为250元，如果每吨售价定为290元时，平均每天售出16吨。
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王雷数学四升五创新思维暑假班解方程高级跟踪训练
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1． 2( 4 x ) 4( x 2) 3( x 7 ) 2(7 x )
6． 8( x 5) 6( x 2) 5( x 10 ) 4(5 x )
4． 7 ( x 2) 8( x 2) 6( x 3) 3( x 12 )
9． 9( x 1) 2(10 x ) 3( x 5) 2( x 6)
5． 10 ( x 2) 9( x 2) 6( 2 x ) 3( 2 x )
18． 9( x 1) 8( x 1) 4( x 5) 3( 2 x )
19． 3( x 2) 2( x 3) 2( x 5) 2( x 7 ) 14． 7 ( x 2) 2( x 3) 5(6 x ) 6(3 x )
16． 2( x 5) 3(5 x ) 2( x 8) 2( 4 x )
12． 6( 4 x ) 3( x 5)
17． 5( x 3) 2( x 1) 4(6 x ) 2(3 x )
13． 7 ( x 2) 4( x 2) 2( x 1)
2． 2( x 7 ) 4( x 5) 3( x 6) 2( x 1)
7． 5( x 3) 3( x 5) 2( x 6) 3( x 2)
3． 4( x 2) 2( x 3) 6(3 x ) 2(3 x )
8． 5( x 3) 3( x 5) 2( x 6) 3( x 5)
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